2020高三数学理科小题狂做(2)含答案

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普通高中2020届高三数学质量测评试题二理含解析

A. ，且与平行
B. ，且与相交
C。，且与异面
D. ，且与平行
【答案】D
【解析】
【分析】
取CF的中点H，连接 ,通过证明四边形为平行四边形,可得且 ,由在中, 分别为PD和PH的中点，可得且，综上,即可得到本题答案.
【详解】
取CF的中点H，连接，则在中， ,所以，，又因为且，所以，且 ,所以四边形为平行四边形,所以，且 .在中，分别为PD和PH的中点,所以，且，所以，且，即 .
∴ 展开式中含的项为，
展开式中含的项，
故的系数为。
故选：D。
【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.
5。已知函数，若函数在处切线方程为，则的值为（ )
A. 1B. 2C。 3D。 4
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数求导得 ,求得的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得的值,即可得答案。
【答案】 (1）。 1520 (2）。
【解析】
【分析】
第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第袋，则15个产品中次品个,正品个，分别进行计算，即可得答案。
【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个,第5袋取5个，共取15个。若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
参考公式：锥体的体积公式: （其中为锥体的底面积, 为锥体的高).
第Ⅰ卷（共60分）

2020年高考全国卷Ⅱ理数试题+答案

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3,2,1,0,1,2{--=U ，},1,0,1{-=A },2,1{=B 则=)(B A C U （）A ．}3,2{-B ．}3,2,2{-C ．}3,0,1,2{--D ．}3,2,0,1,2{--2．若α为第四象限角，则A ．02cos >αB ．02cos <αC ．02sin >αD ．02sin <α3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名4．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块5．若过点)1,2(的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032=--y x 的距离为A ．55B ．552C ．553D ．554 6．数列}{n a 中，21=a ，n m n m a a a =+，若515102122-=++++++k k k a a a ，则=kA ．2B ．3C ．4D ．57．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H8．设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两条渐近线分别交于E D 、两ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．329设函数12ln 12ln )(--+=x x x f ，则)(x fA ．是偶函数，且在),21(+∞单调递增B ．是奇函数，且在)21,21(-单调递减C ．是偶函数，且在)21,(--∞单调递增D ．是奇函数，且在)21,(--∞单调递减10. 已知ABC △是面积为439的等边三角形，且其顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为π16，则球O 到平面ABC 的距离为（） A ．3B ．23 C ．1 D ．23 11. 若y x y x ---<-3322，则（） A. 0)1ln(>+-x yB ．0)1ln(<+-x yC ．0ln >-y xD ．0ln <-y x12．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列⋯⋯n a a a 21满足),2,1)(1,0(⋯=∈i a i ，且存在正整数m ，使得),2,1(⋯==+i a a i m i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足),2,1(⋯==+i a a i m i 的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列⋯⋯n a a a 21，∑=+-⋯==mi k i i m kaa mk C 1)1,,2,1(1)(是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足)4,3,2,1(51)(=≤k k C 的序列是A ．11010…B ．11011…C ．10001…D ．11001…二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．已知单位向量b a ,的夹角为45°，k b a -与a 垂直，则=k _______．14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15．设复数21,z z 满足i z z z z +=+==322121，，则=-21z z ______． 16．设有下列四个命题： 1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4P ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是________． ①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=．（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC △周长的最大值．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()20,,2,1,⋯=i y x i i ，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑==20160i i x ，∑==2011200i i y ，()∑==-201280i i x x ，()∑==-20129000i iyy，()()080201∑==--i i iy y x x．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()()20,,2,1,⋯=i y x i i 的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数()()()()∑∑∑===----=ni ini i ni ii y y x x yyx x r 12121，414.12≈．19．（12分）已知椭圆1C :()012222>>=+b a by a x 的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与的2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且AB CD 34=．（1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点，若5=MF ，求1C 与2C 的标准方程．如图，已知三棱柱111C B A ABC -的底面是正三角形，侧面C C BB 11是矩形，M ，N 分别为BC ，11C B 的中点，P 为AM 上一点，过11C B 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：MN AA ∥1，且平面F C EB AMN A 111平面⊥；（2）设O 为△111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．21．（12分）已知函数()2sin sin 2f x x x =．（1）讨论()f x 在区间()0,π的单调性；（2）证明：()33f x ≤；（3）设*n ∈N ，证明：22223sin sin 2sin 4sin 24nnn x x x x ≤．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C ，2C 的参数方程分别为1C ：224cos 4sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），2C ：11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()221f x x a x a =-+-+．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围．参考答案1．A 2．D3．B4．C5．B6．C7．A8．B9．D10．C11．A12．C13．214．3615． 16．①③④17．解：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，② 由①，②得1cos 2A =-. 因为0πA <<，所以2π3A =. （2）由正弦定理及（1）得sin sin sin AC AB BCB C A===，从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=.故π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=+=++. 又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+18．解：（1）由已知得样本平均数20160120i iy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000．（2）样本(,)i i x y (1,2,,20)i =的相关系数20)()0.943(iix y y x r --===≈∑．（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．19．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =. 由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.20．解：（1）因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以1MN CC ∥．又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N ．又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN ．所以平面A 1AMN ⊥平面11EB C F ．（2）由已知得AM ⊥BC ．以M 为坐标原点，MA 的方向为x 轴正方向， MB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M -xyz ，则AB =2，AM连接NP ，则四边形AONP 为平行四边形，故1,0)3PM E ．由（1）知平面A 1AMN ⊥平面ABC ，作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC ．设(,0,0)Q a ，则1(NQ B a =，故21123223210(,,4()),||3333B E a a B E =-----=．又(0,1,0)=-n 是平面A 1AMN 的法向量，故1111π10sin(,)cos ,2||B E B E B E B E ⋅-===⋅n n n |n |．所以直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值为10．21．解：（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+ 2sin sin3x x =．当(0,)(,)33x π2π∈π时，()0f x '>；当(,)33x π2π∈时，()0f x '<．所以()f x 在区间(0,),(,)33π2ππ单调递增，在区间(,)33π2π单调递减．（2）因为(0)()0f f =π=，由（1）知，()f x 在区间[0,]π的最大值为33()3f π=，最小值为33()3f 2π=．而()f x 是周期为π的周期函数，故33|()|f x ≤．（3）由于32222(sin sin 2sin 2)nx xx333|sin sin 2sin 2|n x x x =23312|sin ||sin sin 2sin 2sin 2||sin 2|n n n x x x x x x -= 12|sin ||()(2)(2)||sin 2|n n x f x f x f x x -=1|()(2)(2)|n f x f x f x -≤，所以22223333sin sin 2sin 2()4n nnn x xx ≤=．22．解：（1）1C 的普通方程为4(04)x y x +=≤≤．由2C 的参数方程得22212x t t =++，22212y t t=+-，所以224x y -=．故2C 的普通方程为224x y -=．（2）由224,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 的直角坐标为53(,)22．设所求圆的圆心的直角坐标为0(,0)x ，由题意得220059()24x x =-+，解得01710x =．因此，所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 23．解：（1）当2a =时，72,3,()1,34,27,4,x x f x x x x -≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩因此，不等式()4f x ≥的解集为311{|}22x x x ≤≥或．（2）因为222()|||21||21|(1)f x x a x a a a a =-+-+≥-+=-，故当2(1)4a -≥，即|1|2a -≥时，()4f x ≥．所以当a ≥3或a ≤-1时，()4f x ≥．当-1<a <3时，222()|21|(1)4f a a a a =-+=-<，所以a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞．。

(整理版)高考数学小题狂做冲刺训练(详细解析)

高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕 1.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A.［0，2π］B.［0，2π〕∪［43π,π) C.［43π,π) D.(2π,43π］解析:∵y′＝3x 2-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞〕. 设倾斜角为α,那么tanα≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:B2.假设方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,那么a 2+b 2的最小值为( )A.3B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,那么a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,那么f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.应选B. 答案:B3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为yxn =(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情相同的情况下人均少支出75元，那么该家庭属于( )解析:设1998年人均食品消费x 元，那么人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，14005.462475%5.922%5.92=+⨯=x x x ≈0.3304＝33.04%,应选D.答案:D4.(海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,假设f′(x 0)＝2,那么x 0等于( )2B.eC.22ln 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B5.n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运桔祥数,那么在区间［1,2 008］内的所有奥运桔祥数之和为( )A.1 004B.2 026C.4 072D.2 044解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝)1lg()2lg(++n n ,a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2lg )2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=++••k k k . 由题意知k+2＝22,23,…,210,∴k＝22-2,23-2,…,210-2.∴S＝(22+23+…+210)-2×9＝20261821)21(49=---. 答案：B6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,假设采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的 2 000人再按系统抽样的方法进行,那么每人入选的概率〔〕A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为002125D ．都相等且为401解析：抽样的原那么是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i 〔i ＝1,2,…,6〕,假设a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,那么不同的排列方法种数为〔〕A ．18B ．30C ．36D ．48 解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,∴〔1〕当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种；〔2〕当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种；〔3〕当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.假设从中任选3人,那么选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为〔〕A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,根本领件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3〔n －1〕〔1≤n ≤6〕,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B9.复数i 3(1+i)2等于( )A.2B.-2 C解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2=2. 答案：A 10.(全国高考卷Ⅱ,4)函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称解析: x xx f -=1)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.函数13)(--=a axx f (a≠1).假设f(x)在区间(0,1］上是减函数，那么实数a 的取值范围是______________. 解析：由03)1(2)('<--=axa a x f ,⎪⎩⎪⎨⎧<->-②,0)1(2①,03a aax由①,得a ＜x3≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］ 13.平面上三点A 、B 、C满足3||=AB ,5||=CA ,4||=BC ,那么AB CA CA BC BC AB •+•+•的值等于________________.解析：由于0=++CA BC AB ，∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB •+•+•+++=++0)(225169=•+•+•+++=AB CA CA BC BC AB ,即可求值.答案：-2514.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________________________________.解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在21==q p 时成立，此时Dξ＝25，σξ＝5. 答案：215 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1z 表示z 1的共轭复数),z 2的实部是-1,那么z 2的虚部为___________________.解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),那么yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1. 答案：1。

2020年高考理科数学(2卷)：答案详细解析(word版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（II 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1. （集合）已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()C U A B =A. {}2,3-B. {}2,2,3-C. {}2,1,0,3--D. {}2,1,0,2,3--【解析】∵{1,0,1,2}A B =-，∴(){}C 2,3U AB =-. 【答案】A2. （三角函数）若α为第四象限角，则A. cos20α>B. cos20α<C. sin 20α>D. sin 20α<【解析】α为第四象限角，即π2π2π2k k α-+<<，∴π4π24πk k α-+<<， ∴2α是第三或第四象限角，∴sin 20α<.【答案】D3. （概率统计，同文3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05. 志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B4.（数列）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块. 已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【解析】设每一层有n 环，由题意可知从内到外每环的扇面形石板块数之间构成等差数列，且19a =，9d =，由等差数列性质可知，n S 、2n n S S -、32n n S S -也构成等差数列，且公差229d n d n '==.因下层比中层多729块，故有2322()()9729n n n n S S S S n ---==，解得9n =. 因此三层共有扇面形石板的块数为327127262726==272799=340222n S S a d ⨯⨯+=⨯+⨯. 【答案】C5. （解析几何，同文8）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．5 B. 25 C. 35 D. 45【解析】如图A5所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵ 圆过点（2, 1）且与两坐标轴都相切，∴ 222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===，即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=22211325521⨯--+或22255325=521⨯--+.图A5【答案】B6.（数列）数列()n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若1551210...22k k k a a a ++++++=-，则k =A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】∵m n m n a a a +=，∴211211n k n k k k a a a a a a a +--===，故有1210111551210...(222)(22)22k k k k k a a a a a ++++++=+++=-=-，∴42k a =又∵2111211112n n n n n n a a a a a a a a ---======，∴ 422k k a ==，∴4k =.【答案】C7.（立体几何）下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为A．E B．F C．G D．H【解析】由三视图的特点，如图A7所示，该端点在侧视图中对应的点为E.图A7【答案】A8．（解析几何，同文9）设O为坐标原点，直线x a=与双曲线C：22221 x ya b-=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D,E两点，若ODE∆的面积为8，则C的焦距的最小值为A．4B．8C．16D．32【解析】如图A8所示，双曲线C：22221x ya b-=（a>0,b>0）的渐近线为by xa=±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴ 1282ODE S a b ab ∆=⋅==， ∴ 焦距22226422248c a b a a =+=+≥⨯=，当且仅当22a =时，等号成立. 故C 的焦距的最小值为8.图A8【答案】B9.（函数）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f xA.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【解析】∵()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函数，∵()ln ||g x x =，1()g x x '=，（即ln ||x 与ln x ，二者的导函数相同） ∴224()2121(21)(21)f x x x x x -'=-=+--+，当1(,)2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 当11()22x ∈-，时，()0f x '>，()f x 在1(,)2-∞-单调递增.当1()2x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 【答案】D10.（立体几何，同文11）已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ．3B ．32 C ．1 D ．32【解析】由题意可知239344ABC S AB ∆==，∴3AB =，如图A10所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心，故123333O A == O 到平面ABC 的距离22111OO R O A =-=.图A10【答案】C11. （函数，同文12）若2233x y x y ---<-，则A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<【解析】2233x y x y ---<-可化为2323x x y y ---<-，设1()2323x x x x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴ x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A12. （概率统计）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12...n a a a 满足 {}0,1(1,2,...)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并满足(1,2,...)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的0-1序列12...n a a a ，11()(1,2,...1)i m i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1的序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A. 11010...B. 11011...C. 10001...D. 11001...【解析】解法一（计数思想）：由5111()(1,2,3,4)55i i k i C k a a k +==≤=∑，可得511i i k i a a +=≤∑. 因0=1i i k a a +⎧⎨⎩，故对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1，所以对于所有的(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的总个数不能超过4.A 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故A 选项不符合题意.B 选项：1i i k a a +=的个数为2412A =，故B 选项不符合题意. D 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故D 选项不符合题意.C 选项：1i i k a a +=的个数为222A =，即151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意. 解法二（排除法）：由解法一可知，对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1.A 选项：当2k =时，241a a =，411a a =，故A 选项不符合题意.B 选项：当1k =时，121a a =，451a a =，故B 选项不符合题意.D 选项：当1k =时，121a a =，511a a =，故D 选项不符合题意.C 选项：序列的一个周期内只有两个1，1i i k a a +=的情况只有151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意.解法三（答案验证法）：按照题设的定义11()(1,2,...1)i mi k i C k a a k m m +===-∑，逐个验证答案，使用排除法，即可得到正确选项. 如A 选项，121(2)(01010)=555C =++++>，排除A 选项，其余的这里不再赘述. 【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（平面向量）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =_______. 【解析】∵()ka b a -⊥，∴22()02ka b a ka a b k -⋅=-⋅=-=，∴22=k . 【答案】22 14.（概率统计）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.【解析】根据题意，先把4名同学分为3组，其中1组有两人，2组各有一人，即从4名同学中任选两人即可，故有24C 种选法；将分成的3组同学安排到3个小区，共有33A 种方法；所以不同的安排方法共有234336=C A 种.【答案】36 15.（复数）设复数1z ，2z 满足122z z ==,则123z z i +，则12z z -=_______.【解析】解法一：在复平面内，用向量思想求解，原问题等价于：平面向量b a ，满足2||||==b a ，且,1)3(=+b a ，求||b a -.∵2222||2||2||||b a b a b a +=-++，∴16||42=-+b a ，∴12||2=-b a ，∴32||=-b a . 即1223-=z z解法二：在复平面内，如图A15所示，因12122==+=z z z z ，则1z ，2z ，12+z z 组成一个等边三角形，所以1z ，2z 之间的夹角为120°，所以22o 1212122cos120=44423-=+-++=z z z z z z .图A15【答案】316.（立体几何，同文16）设有下列4个命题：1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________① 14p p ∧ ② 12p p ∧ ③ 23p p ⌝∨ ④ 34p p ⌝∨⌝【解析】由公理2可知，p 1为真，p 2为假，2p ⌝为真；若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3为假，3p ⌝为真；由线面垂直的定义可知p 4为真；所以①14p p ∧为真命题，②12p p ∧为假命题，③23p p ⌝∨为真命题，④34p p ⌝∨⌝为真命题，故真命题的序号是①③④.【答案】①③④三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共60分.17.（12分）（三角函数）ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=，（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC ∆周长的最大值.【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，△ 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅， △ 由△，△得1cos 2A =-. 因为0πA <<，所以2π3A =. （2）由正弦定理及（1）得23sin sin sin AC AB BC B C A ===，从而 23AC B =，3π)3cos 3AB A B B B =--=-. 故π333cos 323)3BC AC AB B B B ++=+=++. 又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值33+. 18.（12分）（概率统计，同文18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得()()()()22202020202011111601200-80-9000--800ii i i i i i i i i i xy x xy yx x y y ==========∑∑∑∑∑，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,2,,20i i x y i =⋯的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。

冲刺2020年高考数学小题狂刷卷(解析版)

冲刺2020年高考数学小题狂刷卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（）A ．(1,2)-B ．[1,2]-C ．(2,1)-D ．[2,1]-【答案】A 【解析】由题意2{|20}{|2A x x x x x =--≥=≥或1}x ≤-，所以{|12}R C A x x =-<<，故选A ．2．双曲线222=2x y -的焦点坐标为（）A ．(1,0)±B．(0) C ．(0,1)± D．(0,【答案】B 【解析】由2222x y -=可得22a 2,1b ==，焦点在x 轴上，所以222a 3c b =+=，因此c =所以焦点坐标为()；故选B ． 3．设实数x ，y 满足约束条件330200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】由实数x ，y 满足约束条件330200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩画出可行域如图阴影部分所示，可知当目标函数z x y =+经过点()3,0A 时取得最大值，则max 30 3.z =+= 故选D. 4．已知,,a b R ∈则“221a b +≤”是“1a b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】22221||1a b a b +≤⇔+≤，其表示的是如图阴影圆弧AB 部分，1a b +≤其表示的是如图阴影OAB ∆部分，所以 “221a b +≤”是“1a b +≤”的必要不充分条件.故答案选B.5．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．4B ．8C ．16D ．20【答案】C 【解析】由三视图知，该几何体是一个四棱锥，且其底面为一个矩形，底面积6212S =⨯=，高为4，故该几何体的体积111241633V Sh ==⨯⨯=，故选C. 6．函数()()22ln x x f x x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()f x Q 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+= ()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C .故选B ．7．设66016(1),x a a x a x +=+++L 则246a a a ++=（）A ．31-B ．32-C ．31D ．32【答案】C 【解析】二项式展开式的通项公式为6r r C x ，故2462466661515131a a a C C C ++=++=++=,故选C ．8．如图，半径为1的扇形AOB 中，23AOB π∠=，P 是弧AB 上的一点，且满足OP OB ⊥，,M N 分别是线段,OA OB 上的动点，则•PM PN u u u u v u u u v的最大值为（）A ．2BC ．1 D【答案】C【解析】•PM PN u u u u v u u u v 2()()PO OM PO ON PO OM PO OM ON =+⋅+=+⋅+⋅u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v0011cos150cos12010()0()122OM OM ON =++⋅≤+⨯-+⨯-=u u u u v u u u u v u u u v ，选C ．9．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP斜率为6得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D ．10．已知数列{}n a 满足()*11112n n n na a n a a +++=+∈N ，则（） A ．当()*01n a n <<∈N 时，则1n n a a +> B ．当()*1n a n >∈N 时，则1n n a a +<C ．当112a =时，则111n n a a +++> D ．当12a =时，则111n n a a +++>【答案】C 【解析】111111112n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++=+∴-+-=即111()(1)n n n n na a a a a ++--=．当01n a <<时，1110n n a a +-<，故1n n a a +<，A 错误．当1n a >时，1110n n a a +->，故1n n a a +>，B 错误．对于D 选项，当1n =时，12a =，212111922a a a a +=+=<D 错误．用数学归纳法证明选项C.易知0n a >恒成立,当1n =时，21211123a a a a +=+=> 假设当n k =时成立，111k k a a +++>2121122k k a k a +++>+,当1n k =+时,222222111122211111112443426k k k k k k k k k a a a a a k a a a a +++++++++⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即221k k a a +++> 成立,故111n n a a +++>恒成立，得证,故答案选C ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2020年高考数学(理)必刷试卷2(解析版)

2020年高考必刷卷（新课标卷）02数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 是虚数单位，如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数a 的值为( )A ．B ．－C ．3D ．－3 【答案】C 【解析】因为，由实部与虚部是互为相反数得，解得，故选C.考点：复数的概念与运算.2．已知集合2{|20},{|lg(1)}A x x x x y x =-<==-，则A B =U A ．(0,)+∞ B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(,0)-∞【答案】A 【解析】{02}A x x =<<,{1}B x x =>,{0}A B x x ⋃=>,选A.3．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（） A ．22b a ab b a ->>+ B ．22b a b a ab ->+> C ．22b a b a ab +>-> D ．22ab b a b a >->+【答案】B 【解析】【分析】首先得到0a <，0b >即0ab <，根据对数的运算法则可得121a b +<，即21b a ab+<，进而可得2b a ab +>，通过作差比较可得22b a b a ->+，综合可得结果.【详解】因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <，因为66612log 0.32log 2log 1.2a b +=+⨯=6log 61<=，即21b aab+<，又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->，所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>，故选B ．【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质比较大小，判断出ab 的符号以及根据对数的运算的性质得到21b aab+<是解题的关键，属于中档题. 4．下列四个命题中错误的是（） A ．回归直线过样本点的中心(),x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+k ，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位D ．若()()122,0,2,0F F -，124PF PF a a+=+，（常数0a >），则点P 的轨迹是椭圆【答案】D 【解析】A. 回归直线过样本点的中心(),x y ，正确；B. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1，正确；C. 在回归直线方程ˆ0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy平均增加0.2个单位，正确；D. 若12124(2,0),(2,0),(0)F F PF PF a a a-+=+>，则点P 的轨迹是椭圆，因为当2a =时，12PF PF +=4，P 的轨迹是线段12F F ，故错误，所以选D.5．函数()()21()1x x e f x x e -=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 的奇偶性和在0x >时函数值的特点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】因为()()21()1x x e f x x e -=+是偶函数，所以排除A ，C ，当0x >时，()0f x >恒成立，所以排除D.故选:B. 【点睛】本题考查函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想以及推理论证能力.6．若mn 、表示空间中两条不重合的直线，αβ、表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若//,m n n α⊂，则//m αB ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nC ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥【解析】【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断．【详解】对于A ，若n ⊂平面α，显然结论错误，故A 错误；对于B ，若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n 或m ，n 异面，故B 错误；对于C ，若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C 正确；对于D ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ，n 位置关系不能确定，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查了空间线面位置关系的性质与判断，属于中档题．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的13是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（） A ．46 B ．12C ．11D ．2【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为等差数列的问题，通过()3451213a a a a a ++=+和5120S =，求解出1a 即可. 【详解】设每个人所得面包数，自少而多分别为：12345,,,,a a a a a 且成等差数列由题意可知：()3451213a a a a a ++=+，5120S = 设公差为d ，可知：()111139235451202a d a d a d ⎧+=+⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩1126a d =⎧⇒⎨=⎩ 所以最少的一份面包数为12 本题正确选项：B本题考查利用等差数列求解基本项的问题，关键在于将文字描述的内容转化为等差数列中的关系式，利用通项公式和求和公式求解出基本项. 8．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且()13f π=，则()f x 的一个对称中心坐标是 A ．2(,0)3π- B ．(,0)3π-C ．2(,0)3π D ．5(,0)3π 【答案】A 【解析】试题分析：由的最小正周期为，得．因为()13f π=，所以12()232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，由，得，故．令1()23x k k Z ππ+=∈，得22()3x k k Z ππ=-∈，故()f x 的对称中心为，当时，()f x 的对称中心为，故选A ．考点：三角函数的图像与性质．9．在ABC ∆中，D 为BC 中点，O 为AD 中点，过O 作一直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r （0xy ≠），则11x y+=( ) A ．3 B ．2C ．4D ．14【答案】C 【解析】【分析】根据向量的线性运算，得1111(),()4444MO x AB AC ON AB y AC =-+==-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ，利用共线向量的条件得出111()()04416x y --+=，化简即可得到11x y +的值，即可求解.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，O 为AD 的中点，若,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以11()44MO AO AM x AB AC =-=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，11()()44ON AN AO y AB AC AB y AC =-=+=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为//MO ON u u u u r u u u r ，所以111()()04416x y --+=，即1()04x y xy +-=，整理得114x y +=，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算性质，以及向量的共线定理和三角形的重心的性质的应用，其中解答中熟记向量的线性运算，以及向量的共线定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC V 的面积为S ，且222S (a b)c =+-，a =，则tanC 等于( ) A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】D 【解析】()22222222cos 2S b c a b c a bc bc A bc =+-=+-+=+ ，而1sin 2S bc A =，所以sin 2cos 2A A =+ ，又根据22sin cos 1A A +=，即()2222cos 2cos 15cos 8cos 30A A A A ++=⇒++= ，解得cos 1A =- (舍)或3cos 5A =- ，4sin 5A = ，解得4tan 3A =- ，故选D.11．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ，E 为棱PA 的中点，则异面直线AB 与CE 所成角的正弦值为（）A ．2B C D ．2【答案】B 【解析】【分析】由异面直线所成角的定义及求法，得到ECD ∠为所求，连接ED ，由CDE ∆为直角三角形，即可求解．【详解】在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，可得ECD ∠即为异面直线AB 与CE 所成角，连接ED ，则CDE ∆为直角三角形，不妨设2AB a =，则,3DE EC a ==，所以sin DE ECD EC ∠==, 故选：B ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．设奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图像是连续不间断，,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，若()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是（）A ．,23ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】设g （x ）()f x cosx=，通过研究导函数及函数()f x 的奇偶性，可判断g （x ）在x ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数且单调递减，利用性质解得不等式即可．【详解】令()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x+''=.因为,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，∴当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()()cos f x g x x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.又()f x 是定义域在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，∴()()()()()cos cos f x f x g x g x x x--==-=--，则()()cosxf xg x =也是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数并且单调递减.又()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于()3cos cos 3f f m m ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()3g m g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴3m π>，又22m ππ-<<，∴32m ππ<<.故选：D 【点睛】本题考查了运用导数判断函数的单调性及应用，考查了函数奇偶性的应用，考查了构造法的技巧，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

函数的性质—小题狂刷2020年高考数学(理)(含解析)

狂刷04 函数的基本性质1．下列判断正确的是A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数B ．函数2()1f x x x =-C ．函数2211,02()11,02x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩是偶函数D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数2．函数3e e x xy x x--=-的图象大致是A ．B ．C ．D ．3．函数y =21xx -+，x ∈（m ，n ]最小值为0，则m 的取值范围是 A ．（1，2） B ．（–1，2）.C ．[1，2）D ．[–1，2）4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则()()()243f f f --，，的大小顺序是A ．()()()234f f f -<<-B ．()()()423f f f -<-<C ．()()()432f f f -<<-D ．()()()324f f f <-<-5．若()f x ，()g x 均是定义在R 上的函数，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若函数()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为A ．2B ．2-C ．1D ．1-7．关于函数()11f x x =--的下列结论，错误的是 A ．图象关于1x =对称B ．最小值为1-C ．图象关于点()11-，对称D ．在(]0-∞，上单调递减 8．设函数e ()(12e 1)x x f x g x -++=+，若()f x 是奇函数，(3)1g =，则(3)g -=A ．－1B ．1C ．－5D ．59．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=A ．2019B ．0C ．1D ．−110．定义运算：x ▽y ＝,0,0x xy y xy ≥⎧⎨<⎩，例如：3▽4＝3，(－2)▽4＝4，则函数f (x )＝x 2▽(2x －x 2)的最大值为_______________．11．已知函数|4|y x m =-在区间[)1,+∞上单调递增，则m 的取值范围为_______________． 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式()()31f x a f x +≥+恒成立，则实数a 的取值范围是_______________．13．下列函数中，既是偶函数，又在区间[]01，上单调递增的是 A ．cos y x =B ．sin y x =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =-14．若函数(2()sin ln 14f x x ax x=⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为A ．2B ．4C ．2±D ．4±15．已知()fx 为定义在()0,+∞上的函数，若对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x --＜，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则 A ．a b c ＜＜ B ．b a c ＜＜ C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜16．函数()f x 的定义域为(32,3)a a --，若(1)f x +为偶函数，且当(2,5)x a a ∈时，()x f x a =，则A ．13(3)()()32f a f f a a << B ．31(3)()()23f a f a f a<< C ．13()(3)()32f f a f a a << D ．13()()(3)32f f a f a a << 17．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有()()21f x f x +=-，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2log 3f x x =+，则()()20182019f f +=A ．3B ．2C ．2-D ．3-18．已知函数)32()log12f x x x x =++，若()7()f a a =∈R ，则()f a -=_______________．19．已知函数31()=2+e exxf x x x --，其中e 是自然数对数的底数，若()()21+20f a f a -≤，则实数a 的取值范围是_______________．20．已知()f x 是定义在R 上的函数，()11f =，且对任意x ∈R 都有：()()55f x f x +≥+与()1f x +≤()1f x +成立，若()()1g x f x x =+-，则()2017g =_______________．21．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．22．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．23．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则2sin cos ++x xx xA ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）24．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为25．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．26．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．5027．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]28．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．29．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．1．下列判断正确的是A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数B ．函数2()1f x x x =-C ．函数2211,02()11,02x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩是偶函数D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数【答案】B【解析】对于A ，22)(2--=x xx x f 的定义域为2x ≠，不关于原点对称，不是奇函数．对于B ，2()1f x x x =-2()1f x x x -=--对于C ，函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，关于原点对称．当0x >时，21()()12f x x -=---= 21(1)()2x f x -+=-；当0x <时，2211()()11()22f x x x f x -=-+=+=-．综上可知，函数()f x 是奇函数．对于D ，1)(=x f 的图象为平行于x 轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数．故选B.【名师点睛】对于C ，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明()f x -与()f x 的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．若D 项中的函数是()0f x =，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数．2．函数3e e x xy x x--=-的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令()3e e x x f x x x --=-，则()()f x f x -=，故函数()3e e x xf x x x--=-为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除C 选项；由30x x -≠，解得0x ≠且1x ≠±，()0.50.51e e 0.500.1250.5f -=<-，排除D 选项； ()10101e e 101100010f -=>-，故可排除B 选项. 所以本小题选A.【名师点睛】本小题主要考查函数图象的识别，主要通过函数的奇偶性和函数图象上的特殊点进行排除，属于基础题.求解时，根据奇偶性和函数的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 3．函数y =21xx -+，x ∈（m ，n ]最小值为0，则m 的取值范围是 A ．（1，2） B ．（–1，2）.C ．[1，2）D ．[–1，2）【答案】D 【解析】函数y =2313111x x x x x ---==+++–1，且在x ∈（–1，+∞）时，函数y 是单调递减函数，在x =2时，y 取得最小值0；根据题意x ∈（m ，n ]时y 的最小值为0，∴m 的取值范围是–1≤m <2．故选D ．4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则()()()243f f f --，，的大小顺序是A ．()()()234f f f -<<-B ．()()()423f f f -<-<C ．()()()432f f f -<<-D ．()()()324f f f <-<-【答案】A【解析】本题主要考查函数的性质．因为()f x 为定义在(,)-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，所以()()()()4422f f f f -=-=，，又0234<<<，所以()()()234f f f <<，所以()()()234f f f -<<-．故选A ．5．若()f x ，()g x 均是定义在R 上的函数，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若()f x 和()g x 都是偶函数，则()()()() f x f x g x g x -=-=，，()()()() f x g x f x g x -⋅-=⋅，即()()f x g x ⋅是偶函数，充分性成立；当()f x x =，()2g x x =时，()()f x g x ⋅是偶函数，但是()f x 和()g x 都不是偶函数，必要性不成立，∴“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，利用奇偶性的定义证明充分性成立，利用特殊函数证明必要性不成立，从而可得结果.属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质判断,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．若函数()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【解析】()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，()()()2222f x f x x x x x ∴=--=-+=--，又0x <时，()2f x x ax =-+，2a ∴=-.本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.根据函数为奇函数，求得当0x <时()f x 的解析式，与已知的解析式对应即可得到结果.7．关于函数()11f x x =--的下列结论，错误的是 A ．图象关于1x =对称B ．最小值为1-C ．图象关于点()11-，对称 D ．在(]0-∞，上单调递减【答案】C【解析】由题意可得：()21111x x f x x x x -≥⎧=--=⎨-<⎩，，，绘制函数图象如图所示，观察函数图象可得：图象关于1x =对称，选项A 正确；最小值为1-，选项B 正确；图象不关于点()11-，对称，选项C 错误；在(]0-∞，上单调递减，选项D 正确. 故选C.【名师点睛】本题主要考查分段函数的性质，函数图象的应用，函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.求解时，将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数图象考查函数的性质即可.8．设函数e ()(12e 1)x x f x g x -++=+，若()f x 是奇函数，(3)1g =，则(3)g -=A ．－1B ．1C ．－5D ．5【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以e 1e 122e ()()1e 1x x x x g x g x ----+=++-+---，所以g (－x )＝－g (x )－4，所以g (－3)＝－g (3)－4＝－5，故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的基本性质，利用函数的奇偶性的定义求函数值． 9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=A ．2019B ．0C ．1D ．−1【答案】B【解析】由()()()42f x f x f x +=-+=得：()f x 的周期为4. 又()f x 为奇函数，()11f ∴=，()()200f f =-=，()()()3111f f f =-=-=-，()()400f f ==，∴()()()()12340f f f f +++=.()()()()()()()()()123201*********f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=⨯+++-⎡⎤⎣⎦0=.本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查函数奇偶性和周期性的综合应用问题，关键是能够得到函数的周期，利用周期性和奇偶性求解出一个周期内的函数值的和.即根据()()2f x f x +=-可先推导出()f x 的周期为4，再利用函数为奇函数且周期为4求出()()()()12340f f f f +++=，最后根据周期性可求解出结果.10．定义运算：x ▽y ＝,0,0x xy y xy ≥⎧⎨<⎩，例如：3▽4＝3，(－2)▽4＝4，则函数f (x )＝x 2▽(2x －x 2)的最大值为_______________．【答案】4【解析】依题意得，当x 2(2x －x 2)≥0，即0≤x ≤2时，f (x )＝x 2的最大值是22＝4；当x 2(2x －x 2)＜0，即x ＜0或x ＞2时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1＜0．因此，函数f (x )的最大值是4．故填4．【名师点睛】本题主要考查不等式的解法与函数的性质等基础知识，意在考查考生的运算求解能力与推理能力．11．已知函数|4|y x m =-在区间[)1,+∞上单调递增，则m 的取值范围为_______________．【答案】(,4]-∞【解析】由于4()44=4()4mx m x y x m m m x x ⎧-≥⎪⎪=-⎨⎪-<⎪⎩，则函数4y x m =-的增区间为,4m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，减区间为,4m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，所以要使函数4y x m =-在区间[)1,+∞上单调递增，则14m≤，解得：4m ≤，故m 的取值范围为(,4]-∞.【名师点睛】本题主要考查分段函数的单调性，关键是掌握初等函数单调性的判断，属于基础题.求解时，先去绝对值，得到函数|4|y x m =-为分段函数，求出单调区间，即可得到m 的取值范围. 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式()()31f x a f x +≥+恒成立，则实数a 的取值范围是_______________．【答案】(,5]-∞-【解析】本题考查函数的性质．当0x ≥时，()2f x x =，此时()f x 单调递增；而()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上单调递增；若()()31f x a f x +≥+，则31x a x +≥+，即21a x ≥+在[2]x a a ∈+,上恒成立，即()221a a ≥++恒成立，解得5a ≤-，故实数a 的取值范围是(,5]-∞-．13．下列函数中，既是偶函数，又在区间[]01，上单调递增的是 A ．cos y x =B ．sin y x =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =-【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，cos y x =，为余弦函数，在[]01，上为减函数，不符合题意；对于B ，sin y x =，为偶函数，且在[]01，上，其解析式为sin y x =，单调递增，符合题意；对于C ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为偶函数，且在[]01，上，其解析式为12x y =（），单调递减，不符合题意；对于D ，3y x =-，为奇函数，不符合题意. 故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的定义，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．判断函数的奇偶性，首先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性，此时不必求f (－x )．当定义域关于原点对称时，若证明函数具有奇偶性，应运用定义，将f (－x )与f (x )进行比较，有时不易变形时，可直接计算f (－x )±f (x )，判断其是否为零；若证明函数不具有奇偶性，只需找到一组相反量的函数值，不满足f (－a )＝f (a )和f (－a )＝－f (a )即可． 14．若函数(2()sin ln 14f x x ax x=⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】C【解析】依题意，函数()f x 为偶函数.由于()sin m x x =为奇函数，故(2()ln 14g x ax x =++也为奇函数. 而(2()ln 14g x ax x-=-+，故((22()()ln 14ln 140g x g x ax x ax x -+=-+++=，即()222ln 140x a x +-=，解得2a =±.故选C.【名师点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查两个函数相乘的奇偶性判断，属于基础题.求解时，根据函数()f x 为偶函数，sin x 为奇函数，判断出(2()ln 14g x ax x =++为奇函数，根据奇函数的定义列方程，求得a 的值即可.15．已知()f x 为定义在()0,+∞上的函数，若对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x --＜，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则A ．a b c ＜＜B ．b a c ＜＜C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜【答案】B【解析】因为()f x 是定义在()0,+∞上的函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x --＜，故()()121221011f x f x x x x x -<-，∴函数()f x x 是()0,+∞上的增函数， ∵0.222122,00.21,log 52＜＜＜＜＞，∴20.220.22log 5＜＜，∴b a c ＜＜. 故选B.【名师点睛】本题主要考查函数的单调性，比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.求解时，由()()2112120x f x x f x x x --＜可知函数()f x x是()0,+∞上的增函数，结合自变量的大小比较函数值(即实数a ，b ，c 的大小)即可.16．函数()f x 的定义域为(32,3)a a --，若(1)f x +为偶函数，且当(2,5)x a a ∈时，()x f x a =，则A ．13(3)()()32f a f f a a << B ．31(3)()()23f a f a f a<< C ．13()(3)()32f f a f a a << D ．13()()(3)32f f a f a a << 【答案】A【解析】若(1)f x +为偶函数，则(1)(1)f x f x -+=+，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称．又函数()f x 的定义域为(32,3)a a --，则32321a a -+-=⨯，解得12a =，故当5(1,)2x ∈时，()1()2xf x =单调递减，又()33()2f a f =，1224()()(2)()3333f f f f a ==-=，3335()()(2)()2444f a f f f ==-=，所以345()()()234f f f <<，即13(3)()()32f a f f a a <<，故选A ． 17．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有()()21f x f x +=-，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2log 3f x x =+，则()()20182019f f +=A ．3B ．2C ．2-D ．3-【答案】C【解析】由()()21f x f x +=-得：()()3f x f x +=，即()f x 是周期为3的周期函数，()()()()()()2018201967331673310f f f f f f ∴+=⨯-+⨯=-+， ()f x Q 为R 上的奇函数，()()211log 42f f ∴-=-=-=-且()00f =， ()()201820192f f ∴+=-.本题正确选项为C.【名师点睛】本题考查利用抽象函数的周期性和奇偶性求解函数值的问题，关键是能够将自变量通过周期性和奇偶性转化为已知区间内的值，从而利用已知区间的解析式来进行求解.求解时，根据()()21f x f x +=-可得函数周期为3，从而将所求式子变为()()10f f -+，利用函数的奇偶性的性质和在30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的解析式即可求得结果. 18．已知函数)32()log12f x x x x =++，若()7()f a a =∈R ，则()f a -=_______________．【答案】7【解析】易知f （x ）的定义域为R ，且关于原点对称， ∵f （﹣x ）)32()log()12x x x =--++32log 21x x x ⎛⎫=-+++ ()32log12x x x =++=f （x ），∴f （x ）是R 上的偶函数， ∴f （﹣a ）＝f （a ）＝7．故答案为7．【名师点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，关键是对对数式的真数分子有理化，属基础题．求解时，先求出f （x ）的定义域，然后判断f （x ）的奇偶性，根据奇偶性可得答案． 19．已知函数31()=2+e exxf x x x --，其中e 是自然数对数的底数，若()()21+20f a f a -≤，则实数a 的取值范围是_______________．【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为()()312e ex x f x x x f x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 322e e 0x x x x f x x x --'=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增，又()()2120f a f a -+≤，即()()221f a f a ≤-，所以221aa ≤-，即2210a a +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．20．已知()f x 是定义在R 上的函数，()11f =，且对任意x ∈R 都有：()()55f x f x +≥+与()1f x +≤()1f x +成立，若()()1g x f x x =+-，则()2017g =_______________．【答案】1【解析】本题考查函数的性质与求值．因为()()1g x f x x =+-，所以()()1g x x f x +-=．所以()()()()()()5515515g x x f x f x g x x +++-=+≥+=+-+，()()()()()()1111111g x x f x f x g x x +++-=+≥+=+-+，所以()()5g x g x +≥，()()1g x g x +≤，所以()()()()()()54321g x g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤+≤+，所以()()1g x g x +=，所以()g x 是以1为周期的周期函数．所以()()()201711111g g f ==+-=．【解题技巧】推出()g x 是以1为周期的周期函数，是解决此题的关键．21．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．2sin cos ++x xx x22．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ； 36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，排除错误选项，通过计算特殊函数值，作出选择．本题注重基础知识、基本计算能力的考查．23．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C【解析】()f x Q 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．24．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为【答案】B【解析】()()()2e e 0,,x xx f x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A ； ()11e e 0f -=->Q ，∴舍去D ；()()()()()243e e e e 22e 2e ,xx x x x x x xx x f x x x ---+---++=='Q 2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C. 因此选B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 25．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D ．【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性．26．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()()()()113114f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=，，,因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ⎡⎤++++=+++++⎣⎦L ，因为()()()()3142f f f f =-=-，，所以()()()()12340f f f f +++=，因为()()200f f ==，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==L .故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．27．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围为[1,3].故选D.【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立.28．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．29．【2019年高考北京理数】设函数()e e x xf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】(]1;,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e x x f x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()e e e e x x x x a a --+=-+，即()()1e e 0x x a -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-. 若函数()e e xx f x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.。

2020届高三数学小题狂练二含答案

2020届高三数学小题狂练二姓名得分1．已知复数z 满足(2－i)z =5，则z = .2．已知向量24()，a =，11()，b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 .3．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标(,)m n ，则点P 落在圆1622=+y x 内的概率为_________.4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()log f x x =，则方程()1f x =的解集是 .5．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -= .6．若三条直线320x y -+=，230x y ++=，0mx y +=不能构成三角形，则m 的值构成的集合是 .7．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 .8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为 .9．已知(1)(1)()sin33x x f x ππ++=，则(1)(2)(2015)f f f +++=L .10．数列{}n a 中，11a =，1411++=+n n n a a a = . 11．已知点G 是ABC ∆的重心，若120A ∠=︒，2AB AC =-u u u r u u u r g ，则||AG u u u r 的最小值是 .12．双曲线221x y n-=（1n >）的两焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且满足12PF PF +=，则12PF F ∆的面积为 .答案1．2＋i2．3-3．294．{2,－12} 5．326．{3-，1-，2} 7．78．49．010．12764 11．23：1()3AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r12．1：12PF PF +=1212S PF PF =g ，平方减。

狂刷44+双曲线-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学(理)(解析版)

专题九解析几何狂刷44 双曲线1.双曲线222=2x y -的焦点坐标为（）A. (1,0)±B. (3,0)C. (0,1)±D. (0,3)±【答案】B 【解析】【分析】由双曲的标准方程求出22a ,b ，进而可求出2c ，然后即可求出焦点坐标.【详解】由2222x y -=可得22a 2,1b ==，焦点在x 轴上，所以222a 3c b =+=，因此3c =所以焦点坐标为()3,0；故选B【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质和标准方程，由标准方程可求出22a ,b ，并确定焦点位置，从而可得结果，属于基础题型.2.已知双曲线()22:30C x ay a a -=>，则双曲线C 的离心率为A.a B.1a +C.1a a+ D.3【答案】C 【解析】【分析】将已知方程化为标准方程的形式，可得到22,a c ；由22c e a=.【详解】由()2230x ay a a -=>得：双曲线标准方程为22133x y a -=，0a >233c a ∴=+，23a a = e ∴===本题正确选项：C【点睛】本题考查根据双曲线标准方程求解离心率的问题，属于基础题.3.焦点为06（，）且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是 A. 2211224y x -=B. 2212412y x -=C. 2212412x y -=D. 2211224x y -=【答案】A 【解析】【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线2212x y -=有相同的渐近线，且焦点在y 轴上可知，设双曲线的方程为()2202x y λλ-=>，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质222+=a b c ，求解出λ的值，即可求出答案．【详解】由题意知，设双曲线的方程为()2202x y λλ-=>，化简得()22102y x λλλ-=>．236λλ∴+=解得12λ=．所以双曲线的方程为2211224y x -=，故答案选A ．【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线22221x y a b-=有相同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，若0λ>，则双曲线的焦点在x 轴上，若0λ<，则双曲线的焦点在y 轴上．4.已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m >是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（） A. ()()p q ⌝∧⌝ B. ()p q ⌝∧ C. ()p q ∧⌝ D. p q ∧【答案】C 【解析】【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假．【详解】若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102m <<若102m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题若曲线C 为椭圆，则12m >且m≠1，所以命题q 为假命题因而()p q ∧⌝为真命题所以选C【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．5.已知双曲线2212x y a -=的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a =（）A.14B.12C. 1D. 8【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线2212x y a -=的一条渐近线方程为y x =2=，即可求出a ．【详解】根据双曲线方程可知其渐近线方程为：y =，而已知20x y -=是一条渐近线方程，故有2=，即12a =，选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的a ，b 关系，属于基础题．6.已知双曲线2211620x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上一点，且2PF 的中点M 在以O为圆心，1OF 为半径的圆上，则2PF =（） A. 12 B. 6C. 4D. 2【答案】C 【解析】【分析】1OM OF c ==，OM 是12PF F ∆的中位线，所以12PF c =，最后根据122PF PF a -=计算结果.【详解】由2211620x y -=可得6c ==，16OM OF c ===，OM 是12PF F ∆的中位线， 1212PF OM ==，2184PF PF =-=，故选C.【点睛】本题考查了双曲线的方程和与定义，意在考查转化与化归，数形结合分析问题的能力.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=，则C 的离心率为（）A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y ba=x 即y ＝2x ，由此可得b ：a ＝2：1，结合双曲线的平方关系可得c 与a 的比值，求出该双曲线的离心率．【详解】解：∵双曲线的方程为 ()2222100x y a b a b-=＞，＞，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，结合题意一条渐近线方程为y ＝﹣2x ，得 b ：a ＝2：1，设a＝t，b＝2t，则c==（t＞0）∴该双曲线的离心率是eca===，故选A．【点睛】求解离心率的常用方法1.利用公式eca=，直接求e.2.找等量关系，构造出关于a，c的齐次式，转化为关于e的方程求解．3.通过取特殊位置或特殊点求解．4变用公式,整体求出e：以椭圆为例,如利用e===,e==8.已知F为双曲线22:4(0)C x my m m-=>的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. 2B. 4C. 2mD. 4m【答案】A【解析】【分析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，计算可得c的值，即可得双曲线焦点的坐标，由a、b的值计算可得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．【详解】根据题意，双曲线C：x2﹣my2＝4m（m＞0）的标准方程为2244x ym-=1，其中a=b＝2，其焦点在x轴上，则有c=，0）其渐近线方程为yx±x＝0，+x＝0的距离d==2；故选A．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是将双曲线的方程变形为标准方程．9.已知双曲线2213x y -=的左.右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足12PF PF +=则12PF F ∆的面积为 ( )A. 1 D.12【答案】A 【解析】【分析】由双曲线的定义可得12PF PF -=12PF PF +=12PF PF ，的长，进而可求三角形的面积.【详解】由双曲线的定义可得12PF PF -=又12PF PF +=两式联立得：1PF =2PF =，又124F F =，所以2221212PF PF F F +=，即12PF F ∆为直角三角形，所以12121S 12PF F PF PF ∆==. 故选A【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，双曲线的焦点三角形问题，一般需要借助抛物线的性质，结合题中条件来处理，难度不大.10.已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（） A. [2,)+∞ B. (1,2),C. (2,)+∞D. (1,2]【答案】A 【解析】【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【详解】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，∴b a 22224a b e a +=…， 2e ∴…，故选A ．【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线40x -=垂直，则该双曲线的离心率为B.43C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】由双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线40x -=垂直可得b 0=，从而得到双曲线的离心率.【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为： bx ay 0±=又双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一条渐近线与直线40x -=垂直，即直线bx ay 0-=与直线40x +-=垂直， ∴b 0=，即c =2a ， ∴e 2= 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c 的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式，转化为a,c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12.设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c=2,213PF F S ∆=，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A.5π B.4π C.6π D.3π 【答案】D 【解析】【分析】由已知条件求出a 、b 的值，可得渐近线的方程，可得两条渐近线的夹角.【详解】解：由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得212)4PF PF -=（，可得1222PF PF a -==，可得a=1，b ==，可得渐近线方程为：y =，可得双曲线的渐近线的夹角为3π，故选D.【点睛】本题主要考察双曲线的性质及渐近线的方程，熟练掌握其性质是解题的关键.13.已知O 为坐标原点，双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F，焦距为C 的一条渐近线被以F 为圆心，OF 为半径的圆F 所截得的弦长为2，则C 的方程是（）A. 2214y x -=B. 221416x y -=C. 2214x y -=D. 22119y x -=【答案】A 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，可求出点F 到渐近线的距离刚好为b，由圆的知识列出方程，通过焦距为求出a ，b 即可得到双曲线方程．【详解】O 为坐标原点，双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F，焦距为c =C 的一条渐近线被以F 为圆心，OF 为半径的圆F 所截得的弦长为2，因为点F 到渐近线的距离刚好为b ，所以可得1==即有2b =，则1a =，所以双曲线方程为：2214y x -=．故选A ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力．14.已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程是_______.【答案】2y x =± 【解析】【分析】由离心率32e =可得b a =，再代入渐近线方程即可. 【详解】由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =，又双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程为b y x a =±，即2y x =±.故答案为：2y x =±. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查.利用双曲线的离心率求出a ，b 关系，然后求解渐近线方程即可.15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则此双曲线的焦距等于________.【答案】【解析】【分析】由点到直线的距离公式可得焦点(),0F c 到渐近线0bx ay +=的距离b =，再结合ca=，222c a b =+解方程组即可.【详解】由题意，不妨设渐近线方程为0bx ay +=，焦点(),0F c 到渐近线0bx ay +=的距离bc d b c ====ca=222c a b =+，可解得c = ∴该双曲线的焦距为2c =故答案为：【点睛】本题考查双曲线的方程，涉及到点到直线的距离公式，考查学生的运算能力，是一道容易题.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在双曲线C 上，若5PF a =，120PFO ∠=︒，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的离心率为__．【答案】32【解析】【分析】根据双曲线定义，用a 、c 表示出P 到左焦点、P 到右焦点、焦距，结合余弦定理即可求得离心率．【详解】设左焦点为1F ，由双曲线定义可得127PF PF a a =+= ，12F F c =，1120PFF ∠=o由余弦定理2221111cos 2PF FF PF PFF PF FF +-∠=代入得2221254492225a c a c a+--=⨯⨯ 化简得2225240c ac a +-= ，同除以2a 得225240e e +-=，即()()2340e e -+=所以32e =【点睛】本题考查了双曲线定义及离心率求法，余弦定理的简单应用，属于中档题．17.ABC ∆中，()5,0A -，()5,0B ，点C 在双曲线221169x y -=上，则sin sin sin A B C-=（） A.35B. 35±C.45D. 45±【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合双曲线定义，求出ABC ∆的三边关系，再利用正弦定理化简sin sin sin A BC-，求出它的值即可．【详解】ABC ∆中，()5,0A - ，()5,0B ，点C 在双曲线221169x y -=上，A ∴与B 为双曲线的两焦点，根据双曲线的定义得：28AC BC a -==，210AB c ==，则sin sin 84sin 105A B BC AC C AB --==±=±．故选D ．【点睛】本题考查了正弦定理的应用问题，考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．18.已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b ：-=>>的一个焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点相同，1C 与2C 交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（）C. 21【答案】D 【解析】【分析】由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c ==，不难得到,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程化简可得22241c e b-=，再化简整理可得212e e -=，解之即可得到结果.【详解】由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c ==，不妨设交点1,2p A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入22y px =可得1y p =，故,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线方程化简可得222214p p a b -=，即22241c e b -=，也即222241c e c a-=-，由此可得()22214e e -=，即212e e -=，也即2(1)2e -=，所以1e =+.所以本题应选D.【点睛】圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，也是高考和各级各类考试的重要内容和考点，解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，探寻出,22pc p c ==，及AF ⊥x 轴等条件，这些都是解答本题的重要条件和前提.解答时，将,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线方程化简得到222214p p a b-=后化简并求出双曲线的离心率仍是一个难点，因为22241c e b-=距离求出离心率的目标仍然较远，解这个方程不是很简单，这需引起足够的重视.19.已知双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则m =（）A. 1B.C. 2D. 3【答案】A 【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，列出等式，即可求出m .【详解】双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线方程为y =将y =0=0=与圆22(2)3x y -+== 解得1m = 故选A【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及直线与圆相切的性质，关键是利用点到直线的距离公式列出方程，属于基础题.20.已知A 为椭圆2229x y +=的左顶点，该椭圆与双曲线22221x y a b-=的渐近线在第一象限内的交点为B ，若直线AB 垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】【分析】利用渐近线与直线AB 垂直的关系，求出交点B ，代入椭圆方程可得.【详解】因为直线直线AB 垂直于双曲线的另一条渐近线，所以直线AB 的方程为(3)ay x b=+，联立(3)a y x b b yxa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得交点2222233(,)a abB a b a b ----，代入椭圆方程整理得 224b a =，即有225c a =，故离心率为5.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解.圆锥曲线离心率的求解主要是寻求,,a b c 之间的关系式，结合离心率的定义可得.21.12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B两点，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（） A.3B.7C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】本题可先通过构造几何图形，先设2AF 为x ，再利用双曲线第一定义，列出1AF 与2AF 的关系式，1BF 与2BF 的关系式，利用几何关系，在12AF F △中，利用余弦定理即可求得答案．【详解】如图所示：设AB x =，由于2ABF V 为等边三角形，所以22AB AF BF x ===，所以1212BF BF AF x x a -=+-=，即12AF a =，又2122AF AF x a a -=-=，所以4x a =，在12AF F △中，12AF a =，24AF a =，122F F c =，12120F AF ︒∠=，所以根据余弦定理有：222(2)(4)(2)cos120224a a c a a︒+-=⋅⋅12=-，整理得：22252a c a -=-，即227c a =，所以离心率7ce a==故本题正确答案为B ．【点睛】圆锥曲线跟几何问题机关的解法，常从以下几个方向考虑：圆锥曲线第一定义．圆锥曲线第二定义．几何关系所涉及的解三角形知识．22.过(2,1)作圆223x y +=的切线，切点分别为,A B ，且直线AB 过双曲线2221(0)2x y a a -=>的右焦点，则双曲线的渐近线方程为A. 2y x =±B. y =±C. y x =D. y x =±【答案】B 【解析】【分析】由题意先求出直线AB 的方程，然后求出双曲线的右焦点，继而解出渐近线方程【详解】Q 过()2,1作圆223x y +=的切线，切点分别为,A B ，则,A B 两点在以点()2,1，()00，连接线段为直径的圆上则圆心为112，⎛⎫⎪⎝⎭，2r ==圆的方程为()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ ∴直线AB 为两圆公共弦所在直线则直线AB 的方程为：222215213044x x y y x y -++-+---+= 即230x y +-=，交x 轴302⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可得双曲线的右焦点为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2231224a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭解得12a =，22b =,b =故渐近线方程by x a=±，即y =± 故选B【点睛】本题主要考查了直线、圆、双曲线的综合问题，在解题过程中运用了直线与圆相切，两圆公共弦所在直线方程的求解，最后再结合条件计算出双曲线方程，得到渐近线方程，知识点较多，需要熟练掌握各知识点23.黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为12，把12称为黄金分割数. 已知双曲线()22211x y m -=的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m 的值为（）A. 21 C. 2D. 【答案】A 【解析】【分析】先求出双曲线的焦距，然后根据实轴长与焦距的比值为黄金分割数得到关于m 的方程，解方程可得所求．【详解】由题意得，在双曲线中2221),a b m ==，∴22221)c a b m =+=+．∵双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数12，∴2122a a c c ==，∴222a c ==，=，解得1)m =．故选A ．【点睛】本题考查双曲线的基本性质，解题的关键是根据题意得到关于参数m 的方程，考查对新概念的理解、运用和计算能力，属于中档题．24.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F 过坐标原点O 且倾斜角为60︒的直线与双曲线在第一象限内的交点为P ，当12PF F ∆为直角三角形时，该双曲线的离心率为（）【答案】C 【解析】【分析】对直角三角形中直角的情况分类解三角形，结合双曲线定义列方程即可求解．【详解】当P 为直角顶点时，OP 为斜边12F F 的中线，则2OP OF c ==，由260POF ︒∠=可得2OPF ∆是等边三角形，则2PF c =，1PF =，故)21a c =，1c e a ===. 当2F 为直角顶点时，在2OPF ∆中，由260POF ∠=︒得2PF =，在12F PF ∆中，由勾股定理可得1PF =,故2a c =，c e a ===. 故选C.【点睛】本题主要考查了三角形计算及双曲线定义，双曲线的简单性质，属于基础题．25.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12122,3AF a F AF π=∠=，则212ABF AF F S S =V V （） A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线定义得2||AF AB ，,再根据三角形面积公式得结果. 【详解】因为212AF AF a -=，12,AF a =所以24AF a =，因为122BF BF a -=,所以1222,BA AF BF a BA BF +-==,因为2123F AF π∠=，所以22,||4||43F AB F A a AB a π∠==∴=Q ，因此212221121|||sin||4232,1|2|||sin 23ABF AF F AB AF S AF a S AF a AF AF ====π|2π||V V 选C. 【点睛】本题考查双曲线定义以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.26.椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F 、2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则（）A.222212cos sin 1e e θθ+= B.222212sin cos 1e e θθ+= C. 2212221cos sin e e θθ+= D. 2212221sin cos e e θθ+=【答案】B 【解析】【分析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，并设1PF m =，2PF n =，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出1a 、2a 关于c 的等式，从而可得出1e 、2e 的关系式.【详解】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，并设1PF m =，2PF n =，焦距为2c ，在12PF F ∆中，由余弦定理得()2222cos 22m n mn c θ+-=，由椭圆和双曲线的定义得1222m n a m n a +=⎧⎨-=⎩，解得1212m a a n a a =+⎧⎨=-⎩. 代入()2222cos 22m n mn c θ+-=，得()()()()222121212122cos 24a a a a a a a a c θ++--+-=，即()222221221cos 22a a a a c θ++-=，()()222121cos21cos22a a c θθ∴-++=，即22222122sin 2cos 2a a c θθ+=，22221222sin cos 1a a c c θθ∴+=，因此，222212sin cos 1e e θθ+=. 故选B.【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.27.已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>>，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则此双曲线离心率的取值范围是（） A. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭B. ()1,2C. ()2,+∞D. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】先由双曲线的方程，得出以AB 为直径的圆的半径AF ，再由点在圆内，可得点到圆心的距离小于半径，从而可求出结果.【详解】由于双曲线22221(,0)x y a b a b -=>>，则直线AB 方程为x c =-，因此，设()()00,,,A c y B c y ---，所以220221y c a b -=，解之得20b y a =,得2b AF a=, 因为双曲线的右顶点()M a,0在以AB 为直径的圆内，所以MF AF <，即2a cb a+<,所以2222a ac b c a +<=-，所以2220c ac a -->，即()()c a c 2a 0+->,即c 2a >, 所以离心率e 2ca=>,故选C. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，由点和圆的位置关系判断a c ，关系即可求双曲线离心率的取值范围，属于基础题型.28.函数ln y x =在()()33P f ,处的切线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是_________.【答案】3【解析】【分析】由导数的几何意义可得切线的斜率为13，由已知可得渐近线方程为b y x a =±，所以13b a =，3a b =，再利用c e a ==计算即可得到答案.【详解】由已知，'11ln 3y x y k x =⇒=⇒=，双曲线的渐近线方程为by x a =±，因为切线与一条渐近线平行，所以13b a =，3a b =，所以c e a ===.故答案为：3【点睛】本题考查求双曲线的离心率问题，涉及到导数的几何意义，直线与直线的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.29.已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，点M 在C 的右支上，坐标原点为O ，若||2FM OF =，且120OFM ∠=o ，则双曲线C 的离心率为_________.【答案】12【解析】【分析】设双曲线C 的左焦点为1,F 由题意可得12MF F F c ==，由余弦定理可得1MF =，再利用双曲线的定义1||||2MF MF a -=，即可建立,a c 关系，从而使问题得到解决.【详解】设双曲线C 的左焦点为1,F 由题意可得12MF F F c ==，1120MFF ∠=︒，由余弦定理有 2221111||||||2||||cos MF MF F F MF F F MFF =+-⋅∠222214424()122c c c c =+-⋅⋅-=，即有1MF =，由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，即有c ，所以双曲线C 的离心率为c e a =.故答案为：12【点睛】本题考查求双曲线的离心率问题，涉及到余弦定理解三角形，双曲线的定义，考查学生的运算能力，是一道中档题.30.已知双曲线22:13y C x -=的左焦点为1F ，顶点(0,23)Q ，P 是双曲线C 右支上的动点，则1PF PQ+的最小值等于__________. 【答案】6 【解析】【分析】利用双曲线的性质，得到122PF PF =+，代入所求式子，结合两点距离直线最短原理，计算最小值，即可．【详解】结合题意，绘制图像：根据双曲线的性质可知1222PF PF a -==，得到122PF PF =+，所以12222PF PQ PF PQ QF +=++≥+，而(()20,23,2,0Q F ，所以 ()2222234QF =+=，所以最小值为6.【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了两点距离公式，难度中等．31.已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若5,2AF FB =u u u v u u u v则该双曲线的离心率为__________.【答案】147【解析】【分析】先求出直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±ba x 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用52AF FB =u u u v u u u v ，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率．【详解】解：双曲线2222x y a b-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍， ∴k l 222aba b =-，∴直线l 的方程为y 222aba b=-（x ﹣c ），与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 222abca b =+， ∵52AF FB =u u u r u u u r ，∴22252abc a b =+•2223abc a b-， ∴227a b =， ∴e 2147c a ==．故答案为2147：．【点睛】对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．（2019年高考浙江卷）32.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（）A.22B. 12 D. 2【答案】C 【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c =则该双曲线的离心率为 e ca==，故选C ．【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. （2018浙江）33.双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（）A. ()，)B. ()2,0-，()2,0C. (0,，(D. ()0,2-，()0,2【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)?，选B.【点睛】由双曲线方程22221(0,0)x y a b a b-=>>可得焦点坐标为(,0)(c c ±，顶点坐标为(,0)a ±，渐近线方程为b y x a=±. （2019年高考全国Ⅱ卷理数）34.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A.B.C. 2D.【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）35.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 A.324B.322C. 2D. 32【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．【详解】由2,,a b c ===．,2P PO PF x =∴=Q ，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在2y x =上，112224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．（2019年高考天津卷理数）36.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为C. 2【答案】D 【解析】【分析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率定义求得离心率．【详解】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±，则有(1,),(1,)b b A B a a ---∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D ．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度．（2017天津理科）37.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A. 22144x y -=B. 22188x y -=C. 22148x y -=D. 22184x y -=【答案】B 【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B.【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程，解方程组求出,a b ，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，（2）与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a b λλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程. （2018新课标全国Ⅱ理科）38.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为A. y =B. y =C. 2y x =±D. 2y x =±【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴=Q因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，选A. 点睛：已知双曲线方程22221(,0)x y a b a b -=>求渐近线方程：22220x y by x a b a -=⇒=±. （2017新课标全国II 理科）39.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（） A. 2【答案】A 【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．（2017新课标全国III 理科）40.已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（）A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=【答案】B【解析】【分析】根据渐近线的方程可求得,a b 的关系,再根据与椭圆221123x y +=有公共焦点求得c 即可.【详解】双曲线C 的渐近线方程为52y x =,可知5b a =①,椭圆221123x y +=的焦点坐标为(－3,0)和(3,0),所以a 2＋b 2＝9②,根据①②可知a 2＝4,b 2＝5. 故选：B.【点睛】本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法,属于基础题型. （2018新课标全国Ⅲ理科）41.设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF =，则C 的离心率为 A.5 B.3 C. 2D.2【答案】B 【解析】【详解】分析：由双曲线性质得到2PF b =，PO a =然后在2Rt PO F V 和在12Rt PF F △中利用余弦定理可得．详解：由题可知22,PF b OF c ==PO a ∴=在2Rt PO F V 中，222cos P O PF bF OF c∠==Q 在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)2222246322b c abc a b cc+-∴=⇒=⋅ e 3∴=故选B .。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(二)(全国Ⅱ卷) (含答案解析)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(二)(全国Ⅱ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合M={y|y=8x+1,x∈N,y∈N}的非空子集个数是()A. 3B. 7C. 15D. 312.复数z满足z=2+ii+i，则|z|=()A. √2B. 2C. √5D. √103.已知cos(α+π3)+cosα=1，则sin(π3−α)=()A. 13B. √33C. √3D. −√334.给出50个数：1，3，5，7，…，99，要计算这50个数的和．如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入()A. i≤50？和p=p+1B. i≤51？和p=p+1C. i≤51？和p=p+2D. i≤50？和p=p+25.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是()A. 1425B. 1225C. 34D. 356.已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是双曲线右支上任意一点，M是线段PF1的中点，则以PF1为直径的圆与圆x2+y2=a2的位置关系是()A. 相离B. 内切C. 相交D. 以上都有可能7. 在梯形ABCD 中，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 1B. 2C. 52D. 38. 已知函数f(x)=3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3，则ω的取值范围是( )A. (−∞,−92]∪[6,+∞) B. (−∞,−92]∪[32,+∞) C. (−∞,−2]∪[6,+∞)D. (−∞,−2]∪[32,+∞)9. 已知圆(x −1)2+(y −1)2=2经过椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( )A. 12B. √2C. 2D. √2210. 已知(1−px)n =b 0+b 1x +b 2x 2+⋯+b n x n ，若b 1=−3，b 2=4，则p =( )A. 1B. 12C. 13D. 1411. 如图是某四面体的三视图，则该几何体最长的棱长为( )A. 2√3B. 2√2C. √5D. 312. 函数f(x)=e x −x(e 为自然对数的底数)在区间[0,1]上的最大值是( )A. 1+1eB. 1C. e +1D. e −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x)=xlg(√a +x 2−x)为偶函数，则a =____.14.若实数x，y满足不等式组{y≥0x+y−1≥0x+2y−2≤0，则z=2x+y的最小值是____．15.已知圆x2+y2−2x+4y−20=0上一点P(a,b)，则a2+b2的最小值是______．16.如图，为测量某山峰的高度(即OP的长)，选择与O在同一水平面上的A，B为观测点．在A处测得山顶P的仰角为45°，在B处测得山顶P的仰角为60°.若AB=30米，∠AOB=30°，则山峰的高为______米．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在等差数列{a n}中，a1+a2=5，a3=7，记数列{1a n a n+1}的前n项和为S n(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求锐二面角F−AB−P的余弦值．19.如图所示，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率存在的直线l交抛物线C于A，B两点，已知当直线l的斜率为1时，|AB|=8．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)过点A作抛物线C的切线交直线x=p于点D，试问：是否存在定点M在以AD为直径的圆2上？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由20.某快餐连锁店，每天以每份5元的价格从总店购进早餐，然后以每份10元的价格出售，当天不能岀售的早餐立即以1元的价格被总店回收进行环保处理．该快餐连锁店记录了100天早餐的销售量(单位：份)，整理得下表：日销售量253035404550频数10162824148如果这个早餐店每天购入40份早餐，完成下列问题：(1)写出每天获得利润y与销售早餐份数x(x∈N)的函数关系式；(2)估计每天利润不低于150元的概率；(3)估计该快餐店每天的平均利润．21.已知函数．(Ⅰ)若a=1，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的极值点．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|2x−1|．(1)解不等式f(x)≤x+2；(2)若函数g(x)=|x+2019|+|x+2021−a|，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了非空真子集，是一道基础题．先求出集合中元素的个数，从而求出其非空真子集个数．解：∵集合，∴集合M的非空子集个数是24−1=15，故选C.2.答案：A解析：解：∵z=2+ii+i，∴|z|=|1−i|=√2，故选：A．先化简z，再求模即可．本题考查复数求模，正确化简复数是关键．3.答案：B解析：本题考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题．利用两角和与差的三角函数公式化简即可得解．解：由cos(α+π3)+cosα=1，得32cosα−√32sinα=1，所以√32cosα−12sinα=√33，从而sin(π3−α)=√33．故选B．4.答案：D解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：由已知，要计算50个数的和．故循环次数要50次，由循环变量的初值为1，故判断框①处应填：i ≤50？由于每次累加的值步长为2，故执行框②处应填：p =p +2，故选：D ．5.答案：A解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题型．由题意可知甲和乙分别中靶的概率，并且判断是甲和乙中靶是相互独立事件，由相互独立事件同时发生的概率公式计算即可．解：因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P(甲)=45，P(乙)=710，所以他们都中靶的概率是P =45×710=1425．故选A ．6.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质以及圆与圆的位置关系的判断，属中档题．由双曲线的定义和M ，O 均为中点，可得|MF 1|−|OM|=a ，即|OM|=|MF 1|−a ，进而可判断圆心距等于两圆的半径之差，故可知两圆的位置关系．解：如图，∵P 在双曲线右支上， ∴|PF 1|−|PF 2|=2a ， ∵M 是线段PF 1的中点， ∴|MF 1|=|PM|=12|PF 1|，∵O 是线段F 1F 2的中点， ∴|MO|=12|PF 2|，∴12|PF 1|−12|PF 2|=a ，∴|MF 1|−|OM|=a ， ∴|OM|=|MF 1|−a ，即圆心距等于两圆的半径之差，∴以线段PF 1为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2的位置关系是内切．故选B ．7.答案：C解析：本题考查了向量的线性运算，考查平面向量基本定理，属于较易题．由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得到λ、μ的值．解：∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得到λ=32、μ=1， ∴λ+μ=52．故选：C ．8.答案：D解析：本题考查求由三角函数的单调性求最值的应用，属于中档题．分ω的正负讨论，要使函数y =3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3可知，−π2+2kπ∈[−π3ω,π4ω]或−π2+2kπ∈[π4ω,−π3ω]，分别求出ω的范围即可．解：当ω>0时，要使函数y =3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3，则−π3ω≤−π2+2kπ≤π4ω，k ∈Z ，即{ω≥32−6kω≥−2+8k，k ∈Z ，则可得ω≥32；当ω<0，则π4ω≤−π2+2kπ≤−π3ω，k ∈Z ，{ω≤−2+8k ω≤32−6k，k ∈Z ，则可得ω≤−2，故选：D ．9.答案：D解析：本题考查椭圆的简单几何性质，以及a 、b 、c 的关系，属于基础题．由椭圆方程求出F 、B 的坐标，把坐标代入圆的方程求出b 、c ，由a 2=b 2+c 2求出a ，再求出椭圆C 的离心率．解：由题意得，椭圆的右焦点F 为(c,0)、上顶点B 为(0,b)，因为圆(x −1)2+(y −1)2=2经过椭圆的右焦点F 和上顶点B ，所以{(c −1)2+1=21+(b −1)2=2，解得b =c =2，则a 2=b 2+c 2=8，解得a =2√2，所以椭圆C 的离心率e =ca=22=√22．故选：D ．10.答案：C解析：本题考查二项式定理的应用，二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．由二项展开式的通项及题意，列方程组，解得n 与p 的值．解：(1−px)n =b 0+b 1x +b 2x 2+⋯+b n x n ，若b 1=−3，b 2=4，则{C n 1(−p )=−3C n 2(−p )2=4，解得{n =9p =13．故选C ．11.答案：D解析：本题考查简单几何体的三视图的应用，判断几何体的棱长是解题的关键，属于中档题．利用三视图画出几何体的直观图，通过三视图的数据，判断最长的棱长，求解即可．解：由题意可知几何体是正方体中的一部分，正方体的棱长为2，三视图对应的几何体的棱长分别为：AB =BC =BE =2，AE =AC =EC =2√2，AD =DE =√4+1=√5， DC =√5+4=3．最长的棱长为3．故选：D ．12.答案：D解析：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是求导确定函数的单调性，属于基础题．求导函数，确定函数的单调性，即可得到函数的最大值．解：求导函数，可得f ′(x)=e x −1 ∵x ∈[0,1]，∴f ′(x)≥0， f(x)在[0,1]单调递增， ∴f(x)max =f(1)=e −1，∴函数f(x)=e x −x 在区间[0,1]上的最大值是e −1，故选D ．13.答案：1解析：本题主要考查函数奇偶性，属于基础题．解：因为f(x)为偶函数，所以f(−x)−f(x)=0恒成立，所以−xlg(√a +x 2+x)−xlg(√a +x 2−x)=0恒成立，所以xlg a =0恒成立，所以lg a =0，故a =1．故答案为1．14.答案：1解析：解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示阴影部分的△ABC(包含边界)，由z =2x +y 可得y =−2x +z ，则z 为直线在y 轴上的截距把直线L ：y =−2x 向上平移至经过点A 时，z 最小，此时由{x +y −1=0x +2y −2=0可得A(0,1) 此时z =1，故答案为：1．根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数z =2x +y 可得y =−2x +z ，此时z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求z 的最值.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z的意义是关键．15.答案：30−10√5解析：解：圆x 2+y 2−2x +4y −20=0，化为标准方程为(x −1)2+(y +2)2=25 ∴圆心坐标为(1,−2)，半径r =5，∴原点到圆心的距离为√5，则a 2+b 2最小值为(5−√5)2=30−10√5．故答案为：30−10√5将圆的方程化为标准方程，求出原点到圆心的距离，即可求得a 2+b 2的最小值．本题考查直线与圆的位置关系，考查距离公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．16.答案：30√3解析：解：设OP =x ，在Rt △POA 中，由∠PAO =45°，得AO =x ，在Rt △POB 中，由∠PBO =60°，得OB =√33x ，在△AOB 中，∵AB =30，∠AOB =30°， ∴302=x 2+(√33x)2−2x ⋅√33x ⋅cos30°，得x 2=2700，x =30√3(米)．故答案为：30√3．设OP =x ，由已知求得OA ，OB ，在△AOB 中，由余弦定理列式求解x 值得答案．本题考查三角形的解法，考查余弦定理的应用，是中档题．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由{a 1+a 2=5a 3=7，即{2a 1+d =5a 1+2d =7，解得{a 1=1d =3， ∴a n =a 1+(n −1)d =1+3(n −1)=3n −2， ∴数列{a n }的通项公式为a n =3n −2，(n ∈N ∗). (2)∵1an a n+1=1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1)， ∴数列{1an a n+1}的前n 项和S n =1a 1a 2+1a 2a 3+1a 3a 4+⋯+1a n−1a n +1a n a n+1=13(1−14)+13(14−17)+13(17−110)+⋯+13(13n −5−13n −2)+13(13n −2−13n +1)=13(1−13n+1)=n3n+1．解析：本题考查等差数列的通项公式及裂项相消法求和，属于基础题． (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由{a 1+a 2=5a 3=7可解得a 1，d ，从而可求得a n ；(2)表示出1an a n+1，利用裂项相消法可求得S n ．18.答案：证明：(1)∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ．∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由题意得：B(1,0，0)，P(0,0，2)，C(2,2，0)，E(1,1，1)，D(0,2，0)， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以BE ⊥DC ；解：(2)BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，由点F 在棱PC 上，设CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,−2λ,2λ)，(0≤λ≤1)， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2λ,2−2λ,2λ)， ∵BF ⊥AC ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(1−2λ)+2(2−2λ)=0，解得：λ=34， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,32)，设平面FAB 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y +32z =0，不妨令z =1，可得n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,1)，因为PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AD ，又AD ⊥AB ，AP ∩AB =A ，AP ，AB ⊂平面ABP ，所以AD ⊥平面ABP ，可取平面ABP 的一个法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，则cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10=−3√1010，易知，二面角F −AB −P 是锐角，所以锐二面角F −AB −P 的余弦值为3√1010．解析：本题考查线面垂直的判定和性质，利用空间向量求二面角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可证明BE ⊥DC;(2)设CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,−2λ,2λ)，(0≤λ≤1)，通过BF ⊥AC ，解得：λ=34，求出平面FAB 的法向量，平面ABP 的一个法向量，即可得解．19.答案：解：(Ⅰ)由题意可得，直线l 的方程为y =x −p2，联立方程{y =x −p2y 2=2px，消去y 整理得x 2−3px +p 24=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=3p ，故|AB|=x 1+x 2+p =4p =8，∴p =2， ∴抛物线C 方程为y 2=4x ；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，直线x =−p2即x =−1，A(y 124,y 1)(y 1≠0)，设切线方程为y −y 1=k(x −y 124)，联立方程{y −y 1=k(x −y 124)y 2=4x，消去x 得：k 4y 2−y +y 1−ky 124=0，∵△=1−k(y 1−ky 124)=0，∴k 2y 124−ky 1+1=0，即k =2y 1，∴切线方程为y −y 1=2y 1(x −y 124)，则4x −2y 1y +y 12=0，令x =−1，得y =y 12−2y 1，即D(−1,y 12−2y 1y 12−2y 1)，∴以AD 为直径的圆为(x +1)(x −y 124)+(y −y 1)(y −y 12+2y 1)=0，由抛物线的对称性，若以AD 为直径的圆经过定点，则此定点一定在x 轴上， ∴令y =0，得(x −1)(x +2−y 124)=0，得x =1，故存在定点M(1,0)在以AD 为直径的圆上．解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由题意设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，再由抛物线的焦点弦长公式列式求得p ，则抛物线方程可求；(Ⅱ)设出A 的坐标，得到过A 点的切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式等于0把切线的斜率用A 的纵坐标表示，进一步求得D 点坐标，得到以AD 为直径的圆的方程，从而得到存在定点M(1,0)在以AD 为直径的圆上．20.答案：解：(1)y ={5x −4(40−x),x <40200,x ≥40，即y ={9x −160,x <40200,x ≥40．(2)根据(1)中函数关系完成统计表如下：所以获利不低于150元的概率为P =1−10+16100=0.74．(3)65×10100+110×16100+155×28100+200×(24100+14100+8100)=159.5，所以快餐店每天平均利润为159.5元．解析：【试题解析】本题考查函数与方程的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题． (1)利用已知条件，直接写出获得利润y 与销售早餐份数x(x ∈N)的函数关系式；(2)利用对立事件的概率以及古典概型求解即可．(3)利用分布表，转化求解期望即可得到该快餐店每天的平均利润．21.答案：解：f(x)的定义域为，(Ⅰ)若a =1，则，此时f(1)=2，因为f ′(x)=2x +1−12x ，所以f ′(1)=52，故所求切线方程为y −2=52(x −1)，即5x −2y −1=0； (Ⅱ)由于，，(1)当a ⩾0时，，f ′(x)=2x +a −12x=4x 2+2ax−12x，令f ′(x)=0，得x 1=−a+√a2+44>0，x 2=−a−√a 2+44<0(舍去)，且当x ∈(0,x 1)时，f ′(x)<0；当时，f ′(x)>0，所以f(x)在(0,x 1)上单调递减，在上单调递增，f(x)的极小值点为x =−a+√a2+44．(2)当a <0时，①当x ⩾−a 时，f ′(x)=4x 2+2ax−12x，令f ′(x)=0，得x 1=−a+√a2+44，x 2=−a−√a2+44<−a(舍去)，若−a+√a2+44⩽−a ，即a ⩽−√22时，则f ′(x)⩾0，所以f(x)在上单调递增；若−a+√a2+44>−a ，即−√22<a <0时，则当x ∈(−a,x 1)时，f ′(x)<0；当时，f ′(x)>0，所以f(x)在区间(−a,x 1)上单调递减，在上单调递增；②当0<x <−a 时，f ′(x)=−2x −a −12x =−4x 2−2ax−12x，令f ′(x)=0，得−4x 2−2ax −1=0，记，当，即−2⩽a <0时，f ′(x)⩽0，所以f(x)在(0,−a)上单调递减；当，即a <−2时，由f ′(x)=0，得x 3=−a−√a2−44，x 4=−a+√a2−44且0<x 3<x 4<−a ，当x ∈(0,x 3)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 3,x 4)时，f ′(x)>0；当x ∈(x 4,−a)时，f ′(x)<0，所以f(x)在区间(0,x 3)上单调递减，在(x 3,x 4)上单调递增；在(x 4,−a)上单调递减；综上所述，当a <−2时，f(x)的极小值点为x =−a−√a2−44和x =−a ，极大值点为x =−a+√a2−44；当−2⩽a ⩽√22时，f(x)的极小值点为x =−a ；当a >−√22时，f(x)的极小值点为x =−a+√a2+44．解析：本题考查导数的几何意义以及利用导数求函数的极值，考查分类讨论思想，属于较难题． (1)求出f(1)，利用导数求出f′(1)，即得切线斜率，由点斜式求得切线方程；(2)当a ⩾0时，去绝对值，求出导函数，得到导函数的零点，即可求得原函数的单调性，求得极值点，当a <0时，分段去绝对值，化为分段函数，再根据分段函数分别研究单调性，求得极值．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4．由曲线l 1的极坐标方程ρsin (θ−π4)=√22，得ρsin θ+ρcos θ=1，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，得l 1的直角坐标方程为x +y −1=0； (2)由l 1⊥l 2，得直线l 2的斜率k l 2=−1k l 1=1，所以l 2的倾斜角为π4，又l 2过圆心(−1,0)，所以l 2的方程为y =x +1，与x +y −1=0联立，得AB 的中点M(0,1)，故l 2的参数方程为{x =tcos π4y =1+tsinπ4,(t 为参数)，即{x =√22t y =1+√22t ,(t 为参数)，代入(x +1)2+y 2=4中，化简、整理得t 2+2√2t −2=0，设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则由韦达定理得t 1·t 2=−2，又线段PQ 为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)当x ≤−1时，不等式f(x)≤4可化为：−3x ≤x +2，解得：x ≥−12(舍去)；当−1<x <12时，不等式f(x)≤4可化为−x +2≤x +2，解得：x ≥0，即0≤x <12；当x ≥12时，不等式f(x)≤4可化为3x ≤x +2，解得：x ≤1，即12≤x ≤1．综上可得：不等式f(x)≤x +2的解集为[0,1]； (2)g(x)=|x +2019|+|x +2021−a|，则g(x)=|−x −2019|+|x +2021−a|≥|−x −2019+x +2021−a|=|a −2|， f(x)={−3x,x ≤−1−x +2,−1<x <123x,x ≥12，图象如图：则当x =12时，函数f(x)取最小值32，若对于任意的x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则|a −2|≤32，解得：12≤a ≤72．故实数a 的取值范围为[12,72].解析：(1)由函数f(x)=|x +1|+|2x −1|，利用零点分段法，可得不等式f(x)≤x +2的解集； (2)利用放缩法求得g(x)的最小值为|a −2|，由分段函数求得f(x)的最小值为32，若对于任意的x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则|a −2|≤32，求解可得实数a 的取值范围．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法及数学转化思想方法，是中档题．。

2020年高考理科数学全国2卷(word版,含答案)

1.【ID:4002669】已知集合，，，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：集合，，，则，则，故选：A．2.【ID:4002670】若为第四象限角，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：为第四象限角，则，，则，是第三或第四象限角或为轴负半轴上的角，，故选：D．3.【ID:4002671】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压份订单未配货，预计第二天的新订单超过份的概率为．志愿者每人每天能完成份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者()A. 名B. 名C. 名D. 名【答案】B【解析】解：第二天的新订单超过份的概率为，就按份计算，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于就按份计算，因为公司可以完成配货份订单，则至少需要志愿者为名，故选：B．4.【ID:4002672】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所．分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)．环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块．下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 块B. 块C. 块D. 块【答案】C【解析】解：设每一层有环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，由等差数列的性质可得，，，成等差数列，且，则，则，则三层共有扇面形石板块，故选：C．5.【ID:4002673】若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，则半径为，．故圆的方程为，再把点代入，求得或，故要求的圆的方程为或．故所求圆的圆心为或；故圆心到直线的距离或；故选：B．6.【ID:4002674】数列中，，，若，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由，且，取，得，，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，即．故选：C．7.【ID:4002675】右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在俯视图中对应的点为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图：根据三视图和几何体的的对应关系的应用，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，所以在侧视图中与点对应．故选：A．8.【ID:4002676】设为坐标原点，直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，若的面积为，则的焦距的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为，分别将，代入可得，即，，则，，当且仅当时取等号，的焦距的最小值为，故选：B．9.【ID:4002677】设函数，则()A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】解：由，得．又，为奇函数；由，．可得内层函数的图象如图，在上单调递减，在上单调递增，则上单调递减．又对数式是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，在上单调递减．故选：D．10.【ID:4002678】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则到平面的距离为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得，，可得：，球的表面积为，外接球的半径为：，解得，所以到平面的距离为：．故选：C．11.【ID:4002679】若，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，可得，令，则在上单调递增，且，所以，即，由于，故，故选：A．12.【ID:4002680】周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为的序列中，满足的序列是()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：对于A选项：序列，，不满足足，故排除A；对于B选项：序列，不满足条件，排除；对于C选项：序列，，，，符合条件，对于D选项：序列不满足条件．故选：C．13.【ID:4002681】已知单位向量，的夹角为，与垂直，则________．【答案】【解析】解：向量，为单位向量，且，的夹角为，，又与垂直，，即，则．故答案为：．14.【ID:4002682】名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去个小区，每个小区至少安排名同学，则不同的安排方法共有________种．【答案】36【解析】解：因为有一小区有两人，则不同的安排方式共有种．故答案为：．15.【ID:4002683】设复数，满足，，则________．【答案】【解析】解：复数，满足，，所以，，．得．．又，故．故答案为：．16.【ID:4002684】设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中所有真命题的序号是________．①②③④【答案】①③④【解析】解：设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．根据平面的确定定理可得此命题为真命题，：过空间中任意三点有且仅有一个平面．若三点在一条直线上则有无数平面，此命题为假命题，：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，：若直线平面，直线平面，则．由线面垂直的定义可知，此命题为真命题；由复合命题的真假可判断①为真命题，②为假命题，③为真命题，④为真命题，故真命题的序号是：①③④，故答案为：①③④，17. 中，．（1）【ID:4002685】求．【答案】【解析】，由正弦定理得：①，又由余弦定理得：②，由①②得：，又，．（2）【ID:4002686】若，求周长的最大值．【答案】【解析】由正弦定理及得，，，故，又，当，即时，的周长取最大值，为，的周长的最大值为．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，．（1）【ID:4002687】求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)．【答案】【解析】由已知得样本平均数为，，该地区这种野生动物数量的估计值为．（2）【ID:4002688】求样本的相关系数(精确到)．【答案】【解析】．（3）【ID:4002689】根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．【答案】见解析【解析】分层抽样．根据植被覆盖面积分层再随机抽样．理由：由于植被覆盖面积差异较大，即总体由差异明显的几个部分组成，分层抽样有利于保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本代表性．19. 已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且．（1）【ID:4002690】求的离心率．【答案】【解析】右焦点与焦点与重合，设抛物线方程为，则，抛物线方程为．在椭圆中，当时，，解得，，在抛物线中，当时，，，又，，①又，②联立①②可得：，解得或(舍去)，的离心率．（2）【ID:4002691】设是与的公共点，若，求与的标准方程．【答案】，【解析】解：由得，椭圆的离心率，，，方程为：，同时，方程为：．设，由抛物线的性质得：，，，又也在椭圆上，把代入的方程得：，即，解得或(舍去)，的标准方程为：，的标准方程为：．20. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．（1）【ID:4002692】证明：，且平面平面．【答案】见解析【解析】解法：三棱柱，故，又矩形，为中点，为中点，．四边形为平行四边形，．四边形为矩形，．平行四边形，四边形为矩形，．在等边中，为的中点，．，平面．又，平面．又平面，平面平面．解法：因为，分别为，的中点，所以．又由已知得，故．因为是正三角形，所以．又，故平面．所以平面平面．（2）【ID:4002693】设为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】【解析】解法：为中心，，不妨设，则，又面面且面．．又，平行四边形，．，，交面于，，为在面上的投影，为直角梯形．，，，有．．，设与面夹角为，则，．又，则．解法：由已知得．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．连接，则四边形为平行四边形，故，．由知平面平面．作，垂足为，则，垂足为，则平面．设，则，，故，．又是平面的法向量，故．所以直线与平面所成角的正弦值为．21. 已知函数．（1）【ID:4002694】讨论在区间的单调性．【答案】见解析【解析】．当时，；当时，．所以在区间，单调递增，在区间单调递减．（2）【ID:4002695】证明：．【答案】见解析【解析】，，，，则有当时，，又，即有以为周期，故可知上均有，即．（3）【ID:4002696】设，证明：．【答案】见解析【解析】，所以．22. 已知曲线，的参数方程分别为：(为参数)，：(为参数)．（1）【ID:4002697】将，的参放方程化为普通方程．【答案】：，，，：【解析】解：：，，，由的参数方程得，，则：．（2）【ID:4002698】以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，的交点为．求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．【答案】【解析】解：，，，设，，满足题意，则，即，，：，即，极坐标方程为，即．23. 已知函数．（1）【ID:4002699】当时，求不等式的解集．【答案】【解析】当时，，不等式的解集为．（2）【ID:4002700】若，求的取值范围．【答案】【解析】，，当时，等号成立，，，，，．。

2020年湖北省高考数学(理科)模拟试卷(2) 含详细答案解析

在 K 中随机取出两个不同的元素，则这两个元素中恰有一个元素在圆（
x﹣ 2） 2+（y+2）
2＝ 10 的内部的概率为（
）
1 A．
4
1 B．
2
3 C．
4
1 D．
3
【解答】解：由题意可得 K＝ { （﹣ 1，﹣ 1），（﹣ 1， 1），（1， 1），（ 1，﹣ 1） } ，其中在
圆（ x﹣2） 2+（ y+2） 2＝ 10 内的点有（ 1，﹣ 1），
D
．
[
??，
3
?? 2]
→→
→→
→
→
????????? ?????????
???? ???? 1
8．（ 5 分）在△ ABC 中， → + |????|
→
|????|
=
0， → ? → =
|???|? |???|?
，则△ ABC 为（ 2
）
A ．直角三角形
B．三边均不相等的三角形
C ．等边三角形
D ．等腰非等边三角形
20．如图，飞镖的标靶呈圆盘形，圆盘被
10 等分，按如图所示染色为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，
某人依次将若干支飞镖投向标靶，如果每次投射都是相互独立的．
（ 1）如果他投向标靶的飞镖恰有 2 支且都击中标靶，同时每支飞镖击中标靶的任意位置
都是等可能的，求“第Ⅰ部分被击中 2 次或第Ⅱ部分被击中 2 次”的概率；
）
1 A．
4
1 B．
2
4．（ 5 分）函数 ??(??=) 1-?????2?的图象大致是（
3 C．
4
）
1 D．
3
A．