8结构非线性分析

?? ?
d? dx
?? ( x ? ?n
xn )
?
0
? xn?1
?
??
(
xn
)
/?? ?
d? dx
? ? ?n
xn?1 ? xn ? ? xn?1
Newton-Raphson 迭代公式
? 针对结构平衡方程： Ψ(δ)=[K]{δ} -{R}={F (δ) } -{R}= 0
利用N-R公式，有：
?? ?
[
[
[
)][
B]dV
?P-δ凸时收敛，凹 时可能发散。
2、切线刚度 （N-R法）
任何具有一阶导数的连续函数 Ψ(x)，在xn点的 一阶Taylor展开：
?
(x)
?
?
( xn ) ?
?? ?
d? dx
?? ( x ?n
?
xn )
非线性方程 Ψ(x)=0 在xn附近的近似方程是线性方程
?
(xn ) ?
? 求解方法：割线刚度法（直接迭代法）、切线刚度法 （N-R法） 、初应力法（mN-R法）和增量法。
8.3 非线性求解方法
1、割线刚度法（直接迭代）
结构整体平衡方程： ?? ?? ?K (? )??? ?? ?R?? 0
（1）假定初始近似解： 可令：?? ?0 ? 0
（2）由本构关系求出 ?K (? 0 )?? ?K ?0
[KT ]0{?} ? {F}? {F}
式中：[K T]0为结构的起始切线刚度矩阵， {F} 为与初应力等价的节点荷载
? [ KT ]0 ? V [ B]T [ D][ B]dV
? {F} ?
?
[ B]T {?
V
0}dV
迭代过程
{? }1
?
[
KT
]
? 0
1{F
}
?弹性解
{?}1 ? [ B]{? }1
算例
?E，A，L，σ s
?杆I弹塑性，杆 II弹性。
?求3σ sA作用下2点位移。
?硬化：屈服后应力随应变继续增加；卸载后再加载 屈服应力提高，一般等于卸载时的应力。
?循环塑性特征
?循环塑性 一般表现
?循环硬松弛
?循环硬化
?循环蠕变
8.4.2 弹塑性模型基本法则
弹塑性模型三法则
屈服条件 流动法则
?KT ?? ?V ?B?T ?DT (? )?B??dV [ KT ]0
? ?? ?0
?
? ?K T
? ?? ?1
0
?0
?? ?1 ? ?? ?0 ? ? ?? ?0
3、初应力法（mN-R法）
材料本构关系可表示
?? ?? f (???)
设想用具有初应力的线弹性物理方程代替 上式：
?? ?? ?? ?e ? ?? 0?? ?D????? ?? 0?
硬化规律
判断何时屈服 Tresca, Mises
屈服后塑性应变 增量的方向，即 各分量的比值： 普朗特 -路斯
给定应力增量引 起的塑性应变增 量大小：等向、 随动、混合
1、屈服条件：米赛斯（Von Mises）
?Mises在Tresca 屈服条件（最大剪应力条件）基 础上，提出 材料在复杂应力状态下的 等效应力达 到单向拉伸的屈服极限 时，材料开始屈服。于是， 米赛斯屈服条件可写成 ：
d?
d?
?? ? ?n?1
?n
?
??
(?n )
?? ?
d?
d?
?? ? ?
KT
?KT ?n ? ?n?1 ? ? ? (?n )
?n?1 ? ?n ? ? ?n?1
每次迭代需要修改 K。
迭代过程 假设?? ?0 ? 0
{?} ? [ B]{? } {?}0
d?? ?? ?DT (???)?d??? [DT ]0
（3）由平衡方程求得下一步近似解：
?? ?1 ? ?K ?0?1?R?
?初始线 弹性解
（4 ）重复（ 2）和（ 3），直到两次结果非常接近。
?K ?n ? ?K (? n )? ?? ?n?1 ? ?K ?n?1?R?
R
{?} ? [ B]{? }
{? } ? [ D(? )]{?}
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K ] ? ? B] D(? T
第八章 非线性问题
8.1 非线性问题
?材料非线性： 材料本构关系非线性引起。可分为 两类：（1）非线性弹性问题（橡皮、塑料、土壤 等），过程可逆；（ 2）非线性弹塑性问题：材料 屈服以后表现，过程不可逆。二者加载同，卸载不 同。
?几何非线性 ：大位移、大转动引起。（板壳结构 大挠度问题，锻压成型）大位移小应变问题 材料线 性；大位移大应变问题 材料非线性 ，双重非线性 。
? ??s
式中等效应力为
1
?
?
? ? ?
1 2
[??
1
?
?
?2
2
?
??
2
?
?
?2
3
?
??
3
?
?
1
?2
]?? ?
2
?几何上以σ1 =σ2=σ3为轴线的圆柱面。
? 或用一般应力表示
1
? ? ?? ? ? ? ?
2 ?? ? x ? ? y 2 ? ? y ? ? z 2 ? ?? z ? ? x ?2 ?? 2
4、荷载增量法
?荷载增量法 ：把荷 载分成很多小的荷 载步，在每一个荷 载步上使用一次或 都多次 N-R方法。 实质上是分段线性 化。
[KT ]n{? ? }n?1 ? {? R}n
?n?1 ? ?n ? ? ?n?1
8.4 弹塑性本构关系
8.4.1 材料弹塑性行为 ?弹塑性：卸载后存 在不可恢复的残余变 形。它与非线性弹性 材料有显著区别：加 载同，卸载不同。
{? 0}1 ? f ({?}1) ? [ D]{?}1
? {F}1 ?
[
V
B]T {?
0}1 dV
? {? }1 ? [ K0 ]?1{F}1
{? }2 ? {? }1 ? ? {? }1
?修正N-R方法(mN-R,等刚度法)，
? 每次迭代不改变它的刚度值始终取初始刚度，计算 量小，但收敛慢些。
?接触非线性
8.2 非线性问题基本解决思路
? 材料非线性：分段线性化，方程形式不变，将材料本构 关系线性化，分段求解，将线性问题的方程推广用于非 线性问题。
? 几何非线性：常用增量分析法，建立变化位的平衡方程。 有两种表达格式：（1）在整个分析过程中参考位保持 不变，始终取初始位，称为完全Lagrange格式；（2）在 整个分析过程中参考位不断被更新，参考前面每一步荷 载步开始的位形，称为修正Lagrange格式 。
可改写为：
?? 0?? f (???) ? [D]{?} ? {? } ? {? }e
?? 0?? {? } ? {? }e ? f (???) ? [ D]{?}
?改写平衡方程
?V ?B?T ([D]{?}? ?? 0?)dV ? {F} (?V ?B?T ([D][ B]dV){?}? ?V ?B?T?? 0?)dV ? {F}