8结构非线性分析
第8章 非线性系统分析
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)
自动控制原理-第8章非线性控制系统
8非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u为电机的控制电压，纵坐标为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A1OA2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B1OB2区段•那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件（如晶体管、铁心等）都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。
自动控制原理第八章非线性控制系统分析
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
自动控制原理第8章_非线性控制系统分析
B1 1 3 2 N ( A) A A 2 16
8.2.3 典型非线性特性得描述函数
1.饱和特性的描述函数
X(t) X(t)
kA sin t 0 ω t 1 x(t ) ka b ω t 1 2
X(t)是单值奇函数，所以A1=0
非线性环节的描述函数总是输入信号幅值A的函数， 一般也是频率的函数，因此，描述函数一般记为
N ( A, j )
非线性元件的描述函数或等效幅相频率特性与输入 的正弦振荡的振幅A有关，这是非线性特性本质的反 映。它与线性环节的情况正好相反，线性环节的幅 相特性（频率特性）与正弦输入的幅值无关。
8.2.2描述函数
4 B1 [ kA sint sinω td (ω t ) ka sinω td (ω t )] π
1
e(t)
0
4kA 4ka sin2 d π π
1
2
1
0
4kA 1 1 4ka ( sin 2 1 ) cos 1 2 4
2k a a a A[arcsin( ) 1 ( )2 ] A A A
8.1.4
继电器特性
8.1.4
继电器特性
(t ) 0 m a e(t ) a, e 0 , 0 , (t ) 0 a e ( t ) m a , e x(t ) bsign[e(t )], e(t ) a b , e(t ) m a, e (t ) 0 (t ) 0 b , e(t ) m a, e
（6）气动或液压滑阀的搭接段。 放大器的输出饱和或输出限幅
8.1.3
第8章 非线性系统分析
不稳定节点
x 2 n x n x 0
2
1 0
相轨迹振荡远离原点，为不 稳定焦点。
dx/dt x
不稳定焦点
x 2 n x n x 0
2
0
相轨迹为同心圆，该奇点为中心 点。
dx/dt x
中心点
x 2 n x n x 0
R(s) 例8-7 继电控制系统， + 阶跃信号作用下，试用 相平面法分析系统运动。
e
+M -M
m
C(s) K s(Ts 1)
解 （1）作相平面图 线性部分 T c c Km 误差方程 e(t ) r (t ) c(t ) ———— 阶跃信号 r (t ) 1(t ), r (t ) 0, r(t ) 0 误差方程 T e e Km
x x sin x 0
奇点为
f ( x, x) x sin x 0
x0 无穷多个。 x k
4、奇点邻域的运动性质
由于在奇点上，相轨迹的斜率不定， 所以可以引出无穷条相轨迹。
dx 0 dx 0
相轨迹在奇点邻域的运动可以分为
1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点
（4）滞环特性
滞环特性为正向行程与反向行程不重叠，输入输出曲 线出现闭合环路。又称换向不灵敏特性。通常是叠加 在其它传输关系上的附加特性。
f(e) k +M -e +e0 e -e0 0 +e -M f(e) +M -e 0 -M +e e 0 f(e) e
饱和滞环
继电滞环
自动控制原理-第8章 非线性控制系统教案
8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
建筑结构非线性时程分析
建筑结构非线性时程分析摘要：非线性时程分析是目前模拟建筑结构罕遇地震性能最准确、最完善的方法，受理论水平和硬件条件所限，早期的非线性时程分析多采用了过多的简化，有悖于准确模拟的初衷。
在对当前国内外非线性时程分析技术研究前沿了解的基础上，对该技术最新进展进行介绍，并重点介绍非线性骨架曲线、剪力墙模拟、软件应用、计算收敛加速问题的最新应用情况。
关键词：非线性时程分析；构件骨架曲线；剪力墙abstract: nonlinear time-history analysis method is currently building structures under earthquake performance the most accurate, the most perfect, limited to the theoretical level and the hardware conditions, process analysis of early nonlinear multiple eases the excessive use, with the accurate simulation of the original. based on the nonlinear time-history analysis research in frontier technology on the knowledge, the introduction of the new progress of the technology, and introduces the latest application of nonlinear skeleton curves, shear wall model, software applications, convergence acceleration problem. keywords: nonlinear time-history analysis; component skeleton curve; shear wall中图分类号： f045.33文献标识码：a 文章编号：2095-2104（2013）0前言现代结构设计的发展对结构分析提出了更高的要求，随着计算技术的提高，更加精确的模拟真实结构成为越来越迫切的课题和要求。
131209第8章非线性控制系统分析
非线性系统的数学模型是非线性微分方程；但至今为止 非线性微分方程没有成熟的解法；
8.2 几种典型的非线性特性
饱和特性 死区特性 间隙特性 继电器特性 变增益特性
(1)饱和特性(如运算放大器，学习效率等)
1. 对系统而言，饱和特性往往促使系统稳 定，但会减小放大系数，从而导致稳定 精度降低。 2. 饱和特性的例子是放大器，许多执行元 件也具有饱和特性。例如伺服电机。 3. 实际上，执行元件一般兼有死区和饱和 特性。
y1 ( t )
4M
sin t
理想继电特性的描述函数：
4M N ( A) 0 A
一般继电特性的描述函数：
2M mh 2 h 2 2M h N ( A) 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A ( A h)
可能不稳定—发散、衰减等
3. 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自持振荡 4. 发生频率畸变—频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频 响应，组合振荡
非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化
非线性系统研究方法 仿真方法
全数字仿真 半实物仿真 相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。 同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
结构非线性分析与优化设计
结构非线性分析与优化设计结构非线性分析与优化设计是结构工程领域中的重要研究方向，它主要涉及结构的非线性行为和优化设计方法。
本文将从非线性分析和优化设计两个方面进行阐述。
结构非线性分析是指在结构受力过程中，考虑材料和结构的非线性特性，通过数值模拟方法对结构的力学行为进行分析。
相比于线性分析，非线性分析能够更准确地描述结构的实际受力情况，对于解决结构的强度、稳定性和动力响应等问题具有重要意义。
结构的非线性行为主要包括材料的非线性、几何的非线性和接触的非线性等。
材料的非线性是指材料的应力-应变关系在大应变条件下不再是线性的，例如混凝土的压缩变形、钢材的塑性变形等。
几何的非线性是指结构在承受大变形时，结构的刚度和形状发生变化，例如悬索桥的索线变形、高层建筑的侧移等。
接触的非线性是指结构中的接触面在受力过程中发生滑移或分离，例如螺栓连接的接触面滑移、接触面的分离等。
为了进行结构的非线性分析，需要选择适当的数值模拟方法。
常用的方法包括有限元法、边界元法、离散元法等。
有限元法是最常用的方法，它将结构离散为有限个小单元，通过求解节点上的位移和应力来得到结构的力学行为。
边界元法则是将结构的边界离散为小单元，通过求解边界上的位移和应力来得到结构的力学行为。
离散元法则是将结构离散为大量的小颗粒，通过求解颗粒之间的相互作用力来得到结构的力学行为。
结构的优化设计是指在满足一定约束条件下，通过调整结构的形状、尺寸和材料等参数，使结构在给定的性能指标下达到最优。
优化设计的目标可以是结构的强度、刚度、稳定性、自振频率等。
优化设计可以通过数值优化方法来实现，常用的方法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
这些方法通过迭代搜索的方式，在设计空间中寻找最优解。
结构的非线性分析与优化设计相互关联，非线性分析为优化设计提供了准确的力学行为，而优化设计则可以通过调整结构参数来改善结构的性能。
例如，在进行优化设计时，可以通过非线性分析得到结构的应力分布情况，然后根据应力分布情况调整结构的形状和尺寸，以提高结构的强度和稳定性。
第8章-非线性系统分析
令：
方程组可改写为
特征方程
线性化方程组
在一般情况下，线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但是，若线性化方程求解至少有一个根为零，根据李雅普诺夫小偏差理论，不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性，此时，平衡点附近的相轨迹要考虑高阶项。
(1) 无阻尼运动（=0） 此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程变为
对上式分离变量并积分，得
式中，A为由初始条件决定的积分常数。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
图8-1 无阻尼二阶线性系统的相轨迹
(2)欠阻尼运动（01） 系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为 式中,A、B、为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。
5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所有非线性系统，但对大多数非线性系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。 6．计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性系统的分析提供了有效工具。
例1：确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。
解：令
求得奇点（0，0），（-2，0）。
即
由
（1）奇点（0，0） 线性化方程为
特征根
非线性系统的分析
非线性系统理论1.1.非线性系统特点非线性系统与线性控制系统相比，具有一系列新的特点］，线性系统满足叠加原理，而非线性控制系统不满足叠加原理。
图8-1带滤波器的非线性系统2•非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数， 而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。
例：对于一由非线性微分方程 X=-x(1 ―) 描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x 1=0和x 2=1。
将上式改写为=—dt x(l - x)设20吋，系统的初态为咛积分上式可得dx3•非线性系统可能存在自激振荡现象 的情况： (1) 如图跳跃谐振和多值响应8 — 3 所砂)其输出存在极其复杂图8—3跳跃谐振与多值响应(2)分频振荡和倍频振荡非线性系统在正弦信号作用下， 其稳态分量除产生同频率振荡外,和分频振荡。
如图 8—4所示波形。
还可能产生倍频振荡4•非线性系统在正弦信号作用下, 的输入信号倍频信号分频信图8—4倍频撮荡与分频振荡8.1.2 研究非线性系统的意义与方法1•研究非线性系统的意义1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。
这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。
线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响。
2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响。
2•研究非线性系统的方法1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。
通过绘制控制系统相轨迹,达到分析非线性系统特性的方法。
2）描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。
它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。
3）计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。
8.2典型非线性特性的数学描述及其对系统性能的影响8.2.1饱和特性在电子放大器中常见的一种非线性，如图8-5所示，饱和装置的输入特性的数学描述如下：［辰。
sig 滋(f)8.2.2死区特性死区特性也称为不灵敏区，如图8-6所示。
结构非线性有限元分析现状综述
结构非线性有限元分析现状综述摘要:简要介绍非线性有限元概念及基本算法,浅谈结构非线性有限元分析之现状,例举数值算法和网格划分技术对结构非线性有限元分析的精度和效率的影响。
关键词:有限元分析网格ANSYS有限元方法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互连接在一起的单元的组合体,利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解区域待求的未知场函数,从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
随着单元数目的增加,即单元尺寸的缩小,解的近似程度不断改进,最后将收敛于精确解。
按所取基本未知量的不同有限元方法分为位移控制法和荷载控制法。
位移控制法选取节点位移为基本未知量,荷载控制法选取节点力为基本未知量。
位移控制法因为容易实现电算求解而应用广泛。
国际上通用的有限元软件有ABAQUS、ADINA、ANSYS、MARC、NASTRAN、SAP等。
其中ANSYS历经30多年的发展,已经能够紧跟计算机硬件、软件发展的最新水平,而成为计算机辅助工程(CAE)和工程数值分析和模拟最有效的软件。
结构非线性全过程分析中的迭代控制算法早被提出[1-3]。
牛顿－拉普森平衡迭代(NR法)迫使在每一个载荷增量的末端解达到平衡收敛。
在每次求解前牛顿－拉普森方法估算出残差矢量,这个矢量就是回复力(对应于单元应力的载荷)和所加载荷的差值,然后使用非平衡荷载进行线性求解,且核查收敛性。
如果不满足收敛准则,重新估算非平衡载荷,修改刚度矩阵,获得新解。
持续这种迭代过程直到问题收敛。
如果仅仅使用牛顿－拉普森法,正切刚度矩阵可能变为奇异矩阵,导致严重的收敛问题。
近年来,国内外对非线性结构问题的数值解法做了大量的研究。
修正的牛顿－拉普森迭代法的出现,为保证计算精度提供了保障。
但是,对求解结构极限强度而言,这种方法仍很难找到极限点。
Wright&Gaylord发展了假想弹簧法以保证后极限强度区域结构刚度矩阵的正定,并成功应用于框架结构的分析。
第8章非线性系统分析参考答案
10 10参考答案一、 填空题1.非本质；本质2.自持振荡3.初始条件；输入信号大小 4•饱和非线性；死区非线性； 间隙非线性；继电器非线性 5.不稳定6.稳定；不稳定；半稳定 7.自左向右；自右向左 二、 分析与计算题1.求y(t)二ax 3(t)的描述函数。
解：由于y(t)二ax 3(t)是单值奇函数，所以其傅里叶级数展开式中 将x(t)二Asin • .t 代入B 1的计算公式，可得1 Bi =—丄 y(t)sin co td co t兀©2 二3 3|0 aA sin ©t sin co td cc t JO'aA 3 sin ° co td cc t 所以由于西=(2s 1)(0.4s 1)，所以A o =O、A i =O 、如=0, 2aA 3 兀2aA 3 二 1-cos2 .t 2. *0( 2 )2-1 -2cos 2，t cos 2 td t2aA 3兀2aA 3 )41 +cos4ot1 —2cos2 t 2——d t )41 一 … 3 1 1( cos2 t cos4 t)d ・t 0 8 2 - 3 1 ( sin 2，t Tt 8 4 3aA 3 4兀 2aA 3 8丄 sin 4 t 32 JI 0)3N (A)=詈第 = 3aA 242 •设具有滞环继电器非线性特性的非线性系统结构如题图 试判断系统是否存在自持振荡，若存在，则求出自持振荡的幅值和频8.1 所示，已知b=1, a=0.3,(A — a)其描述函数负倒数特性为■: AN(A) 4b可见，描述函数负倒数特性的虚部为常数2. ■: aa，即1 4b (A — a)■aN(A)曲线为一条虚部为一；的直线。
题图8.1解：具有滞环的继电器非线性特性的描述函数为4b I ~N(A)二.1 -Gj J 二(2jg+1)(0.4ja+1)_10(1—2j J(1—0.4j J (1 4 -2)(10.16 .2)10(1 —2.4j. _0.8 ,2) ' 2 2~ (14 , )(1 0.16 .)210 _8豹 . 24co "(1 4.2)(1 0.16.2^j (1 4.2)(1 0.16 .2)1由以上可知，曲线与G j .)必有交点，而且交点为稳定的，因此会产生自持振荡。
结构非线性是什么
结构非线性是什么结构非线性，又称为非线性结构或非线性系统，是指系统内部的元素或组成部分之间的关系不遵循线性规律，即输入和输出之间的关系不是简单的比例关系。
相对于线性结构的输出随着输入的变化而以恒定速率变化，非线性结构的输出则可能呈现出复杂的非线性特征。
在现实生活中，大部分系统都具有一定的非线性特征，包括天气系统、交通系统、经济系统、生态系统等。
非线性结构的特点是具有复杂的动力学行为和多样的稳定态，在控制和预测方面具有挑战性。
非线性结构的一个重要特征是存在非线性耦合作用。
线性系统中，不同元素之间的相互作用是简单的叠加效应，而在非线性系统中，不同元素之间的相互作用可能产生非线性的引力或阻力，使得系统的行为变得复杂多样。
另外，非线性结构还表现出以下几个方面的特点：1.非线性响应：当系统受到外部激励时，其输出不是简单的线性响应，可能出现分岔、周期倍增、混沌等现象。
这意味着微小的扰动或变化可能对系统产生不可预测的巨大影响。
2.多重稳定态：非线性结构能够在不同的输入条件下呈现出不同的稳定态。
这意味着系统有可能同时存在多个平衡点，且在不同的输入条件下转变之间可能具有突变或不连续性。
3.尺度依赖性：非线性结构的行为在不同的空间尺度上可能呈现出不同的规律。
这使得我们在分析和预测非线性结构时需要考虑多个尺度的因素，以获得更准确的结果。
4.遗传性：非线性结构的特性可能通过遗传方式传递给后代系统。
这意味着非线性结构具有一定的内在记忆，历史变化对当前和未来行为有一定的影响。
非线性结构的研究对于我们理解和控制复杂系统、优化各种工程和科学问题都具有重要意义。
例如，在天气和气候预测中，非线性结构的天气系统具有混沌特性，微小的初始条件变化可能导致巨大的结果差异。
因此，我们需要开发出具有高分辨率和高精度的模型和方法来预测和控制天气系统。
另外，在经济领域，非线性结构也被广泛应用于金融市场预测、经济波动的研究和货币政策制定等方面。
为了研究非线性结构，科学家和工程师们提出了各种数学模型和方法。
ANSYS结构非线性分析指南
ANSYS结构非线性分析指南ANSYS是一款非常强大的有限元分析软件，广泛应用于各种工程领域的结构分析。
在常规的结构分析中，通常会涉及到线性分析，但一些情况下，结构出现了非线性行为，这时就需要进行非线性分析。
非线性分析可以更准确地模拟结构的真实行为，包括材料的非线性、几何的非线性和接触非线性等。
在进行ANSYS结构非线性分析时，需要考虑以下几个方面：1.材料的非线性：在材料的应力-应变关系中，材料的性质可能会发生变化，如塑性变形、损伤、软化等。
因此在非线性分析中，需要考虑材料的非线性特性，并正确选取材料模型。
2.几何的非线性：在一些情况下，结构本身的几何形态可能会发生较大变化，如大变形、屈曲等。
这需要考虑结构的几何非线性，并在分析中充分考虑结构的形变情况。
3.接触非线性：当结构中存在接触面时，接触面之间的接触力可能是非线性的，如摩擦力、法向压力等。
在进行非线性分析时，需要考虑接触面上的非线性行为，确保接触的可靠性。
在进行ANSYS结构非线性分析时，可以按照以下步骤进行：1.建立模型：首先需要根据实际情况建立结构的有限元模型，包括几何形状、边界条件和加载条件等。
在建立模型时，需要考虑到结构的材料、几何和接触情况，并进行合理的网格划分。
2.设置分析类型：在ANSYS中，可以选择静力分析、动力分析等不同的分析类型。
在进行非线性分析时，需要选择适合的非线性分析模块，并设置相应的参数。
3.设置材料模型：根据结构的材料特性，选择合适的材料模型，如弹塑性模型、本构模型等。
根据实际情况，设置材料的材料参数，确保材料的非线性行为能够得到准确的描述。
4.设置几何非线性：考虑结构的几何非线性时，需要选择合适的几何非线性选项，并设置合适的几何参数。
在进行大变形分析时，需要选择几何非线性选项，确保结构的形变情况能够得到准确的描述。
5.设置接触非线性：当结构存在接触面时，需要考虑接触面上的非线性行为。
在ANSYS中，可以设置接触类型、摩擦系数等参数，确保接触的可靠性。
第8章 非线性系统分析
实际上,一旦该系统参数发生微小变化,该周 期性状态就无法维持,要么发散至无穷大,要么 衰减至零。
而非线性系统中，除了稳定和不稳定运动形 式外，还有一个重要特征，就是系统可能发生 自持振荡----在没有周期
很小时 作为线性特性处理
较大时 将使系统静态误差增加， 系统低速不平滑性
理想死区特性的的数学描述为：
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使 控制的灵敏度下降，稳态误差加大；死区特性也 可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为 引入死区以提高抗干扰能力。
一定条件下，可进行线性化处理，作为线性系 统来分析。这类系统统称为非本质非线性系统。
但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化 处理时，就必须采用非线性系统理论来分析。 这类非线性称为本质非线性。
本章主要介绍分析非线性系统的两种常用方法： 相平面法和描述函数法。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线 性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。
x(t) Ae ntsin(d t ) d 1 2n
式中,A、为由初始条件确定的常数。时域 响应过程是衰减振荡的。
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇 点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线 收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。
欠阻尼二阶线性系统的响应和相轨迹
3、过阻尼运动（＞1）
1.相平面的基本概念
考察二阶非线性时不变微分方程:
..
.
x f (x, x)
•
描述该系统特性必须有两个变量 x 和 x ，
8结构非线性分析
)
0
xn1
(
xn
)
/
d dx
n
xn1 xn xn1
Newton-Raphson 迭代公式
针对结构平衡方程： Ψ(δ)=[K]{δ}-{R}={F (δ) } -{R}= 0
利用N-R公式，有：
d
d
n
n1
(n
)
求解方法：割线刚度法（直接迭代法）、切线刚度法 （N-R法） 、初应力法（mN-R法）和增量法。
8.3 非线性求解方法
1、割线刚度法（直接迭代）
结构整体平衡方程： K( ) R 0
（1）假定初始近似解： 可令： 0 0
（2）由本构关系求出 K ( 0 ) K 0
硬化法则
各项同性硬化
运动硬化Prager， Zeigler修正
假定材料进入屈服后，总应变增量可分成弹性 和塑性两部分
d de dp
与等效应力对应，定义等效应变为
1
2
x
y
21
3 2
(
2 xy
2 y z
2 yz
第八章 非线性问题
8.1 非线性问题
材料非线性：材料本构关系非线性引起。可分为 两类：（1）非线性弹性问题（橡皮、塑料、土壤 等），过程可逆；（2）非线性弹塑性问题：材料 屈服以后表现，过程不可逆。二者加载同，卸载不 同。
几何非线性：大位移、大转动引起。（板壳结构 大挠度问题，锻压成型）大位移小应变问题材料线 性；大位移大应变问题材料非线性，双重非线性。
工程结构的非线性动力学分析与研究
工程结构的非线性动力学分析与研究当今社会，工程结构是一个不可避免的话题。
从建筑到桥梁，从航天飞行器到海底管道，工程结构意味着我们的生产生活和技术实现的重大问题之一。
然而，由于现代工程结构的复杂性和变化性，非线性动力学问题是必须要考虑的。
本文将回顾工程结构的非线性动力学分析与研究，包括其基本原理、研究方法、应用前景等等。
工程结构的非线性动力学基础知识首先，我们需要了解非线性动力学的基础知识，这对于理解工程结构非线性动力学分析的原理与方法很关键。
线性动力学研究对象的运动是基于牛顿定律的，这意味着系统的响应是线性的，也就是说一种输入将会引起一种输出。
然而，当受到较大输入时，物体的运动不再遵循线性定律，也就是非线性动力学了。
非线性动力学问题的模型非常复杂，因此需要使用数学方法，但是这种问题是很难分析的。
我们可以利用计算机模拟的方法来处理非线性动力学问题。
工程结构的非线性动力学分析方法接下来我们来讨论工程结构的非线性动力学分析方法。
工程结构的非线性动力学分析是一个复杂的问题，需要研究新方法来解决它。
最常用的非线性动力学分析方法包括数值分析、试验分析和解析分析。
数值分析方法是在计算机上求解工程结构的非线性动力学问题，它可以通过实验数据导出数值解的方法，使我们能够了解工程结构随时间的变化和响应。
在数值分析中，有两种常见的方法: 有限元法和细小位移法。
这些方法的基本思想是将工程结构网格化，将结构分成更小的元素实施离散化处理，然后运用已有的线性动力学模型来计算每个元件的响应。
这些方法还包括对工程结构中的应力、应变、位移等变量进行模拟的方法，输出相应的结果。
试验分析方法是通过实验来验证工程结构的非线性动力学模型。
试验分析方法最重要的是模型制备和数据采集。
模型制备需要选择适当的材料，方法和尺寸，使模型能够在试验室中反映出现实中的工程结构。
数据采集是通过传感器等装置来测量模型中变量的值，如应力、位移等，并将这些数据记录下来以进行分析。
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8.2 非线性问题基本解决思路
? 材料非线性：分段线性化，方程形式不变，将材料本构 关系线性化，分段求解，将线性问题的方程推广用于非 线性问题。
? 几何非线性：常用增量分析法，建立变化位的平衡方程。 有两种表达格式：（1）在整个分析过程中参考位保持 不变，始终取初始位，称为完全Lagrange格式；（2）在 整个分析过程中参考位不断被更新，参考前面每一步荷 载步开始的位形，称为修正Lagrange格式 。
可改写为：
?? 0?? f (???) ? [D]{?} ? {? } ? {? }e
?? 0?? {? } ? {? }e ? f (???) ? [ D]{?}
?改写平衡方程
?V ?B?T ([D]{?}? ?? 0?)dV ? {F} (?V ?B?T ([D][ B]dV){?}? ?V ?B?T?? 0?)dV ? {F}
[KT ]0{?} ? {F}? {F}
式中：[K T]0为结构的起始切线刚度矩阵， {F} 为与初应力等价的节点荷载
? [ KT ]0 ? V [ B]T [ D][ B]dV
? {F} ?
?
[ B]T {?
V
0}dV
迭代过程
{? }1
?
[
KT
]
? 0
1{F
}
?弹性解
{?}1 ? [ B]{? }1
[
[
[
)][
B]dV
?P-δ凸时收敛，凹 时可能发散。
2、切线刚度 （N-R法）
任何具有一阶导数的连续函数 Ψ(x)，在xn点的 一阶Taylor展开：
?
(x)
?
?
( xn ) ?
?? ?
d? dx
?? ( x ?n
?
xn )
非线性方程 Ψ(x)=0 在xn附近的近似方程是线性方程
?
(xn ) ?
第八章 非线性问题
8.1 非线性问题
?材料非线性： 材料本构关系非线性引起。可分为 两类：（1）非线性弹性问题（橡皮、塑料、土壤 等），过程可逆；（ 2）非线性弹塑性问题：材料 屈服以后表现，过程不可逆。二者加载同，卸载不 同。
?几何非线性 ：大位移、大转动引起。（板壳结构 大挠度问题，锻压成型）大位移小应变问题 材料线 性；大位移大应变问题 材料非线性 ，双重非线性 。
? 求解方法：割线刚度法（直接迭代法）、切线刚度法 （N-R法） 、初应力法（mN-R法）和增量法。
8.3 非线性求解方法
1、割线刚度法（直接迭代）
结构整体平衡方程： ?? ?? ?K (? )??? ?? ?R?? 0
（1）假定初始近似解： 可令：?? ?0 ? 0
（2）由本构关系求出 ?K (? 0 )?? ?K ?0
硬化规律
判断何时屈服 Tresca, Mises
屈服后塑性应变 增量的方向，即 各分量的比值： 普朗特 -路斯
给定应力增量引 起的塑性应变增 量大小：等向、 随动、混合
1、屈服条件：米赛斯（Von Mises）
?Mises在Tresca 屈服条件（最大剪应力条件）基 础上，提出 材料在复杂应力状态下的 等效应力达 到单向拉伸的屈服极限 时，材料开始屈服。于是， 米赛斯屈服条件可写成 ：
{? 0}1 ? f ({?}1) ? [ D]{?}1
? {F}1 ?
[
V
B]T {?
0}1 dV
? {? }1 ? [ K0 ]?1{F}1
{? }2 ? {? }1 ? ? {? }1
?修正N-R方法(mN-R,等刚度法)，
? 每次迭代不改变它的刚度值始终取初始刚度，计算 量小，但收敛慢些。
4、荷载增量法
?荷载增量法 ：把荷 载分成很多小的荷 载步，在每一个荷 载步上使用一次或 都多次 N-R方法。 实质上是分段线性 化。
[KT ]n{? ? }n?1 ? {? R}n
?n?1 ? ?n ? ? ?n?1
8.4 弹塑性本构关系
8.4.1 材料弹塑性行为 ?弹塑性：卸载后存 在不可恢复的残余变 形。它与非线性弹性 材料有显著区别：加 载同，卸载不同。
（3）由平衡方程求得下一步近似解：
?? ?1 ? ?K ?0?1?R?
?初始线 弹性解
（4 ）重复（ 2）和（ 3），直到两次结果非常接近。
?K ?n ? ?K (? n )? ?? ?n?1 ? ?K ?n?1?R?
R
{?} ? [ B]{? }
{? } ? [ D(? )]{?}
K ] ? ? B] D(? T
d?
d?
?? ? ?n?1
?n
?
??
(?n )
?? ?
d?
d?
?? ? ?
KT
?KT ?n ? ?n?1 ? ? ? (?n )
?n?1 ? ?n ? ? ?n?1
每次迭代需要修改 K。
迭代过程 假设?? ?0 ? 0
{?} ? [ B]{? } {?}0
d?? ?? ?DT (???)?d??? [DT ]0
?KT ?? ?V ?B?T ?DT (? )?B??dV [ KT ]0
? ?? ?0
?
? ?K T
? ?? ?1
0
?0
?? ?1 ? ?? ?0 ? ? ?? ?0
3、初应力法（mN-R法）
材料本构关系可表示
?? ?? f (???)
设想用具有初应力的线弹性物理方程代替 上式：
?? ?? ?? ?e ? ?? 0?? ?D????? ?? 0?
?? ?
d? dx
?? ( ?1
?
??
(
xn
)
/?? ?
d? dx
? ? ?n
xn?1 ? xn ? ? xn?1
Newton-Raphson 迭代公式
? 针对结构平衡方程： Ψ(δ)=[K]{δ} -{R}={F (δ) } -{R}= 0
利用N-R公式，有：
?? ?
? ??s
式中等效应力为
1
?
?
? ? ?
1 2
[??
1
?
?
?2
2
?
??
2
?
?
?2
3
?
??
3
?
?
1
?2
]?? ?
2
?几何上以σ1 =σ2=σ3为轴线的圆柱面。
? 或用一般应力表示
1
? ? ?? ? ? ? ?
2 ?? ? x ? ? y 2 ? ? y ? ? z 2 ? ?? z ? ? x ?2 ?? 2
算例
?E，A，L，σ s
?杆I弹塑性，杆 II弹性。
?求3σ sA作用下2点位移。
?硬化：屈服后应力随应变继续增加；卸载后再加载 屈服应力提高，一般等于卸载时的应力。
?循环塑性特征
?循环塑性 一般表现
?循环硬松弛
?循环硬化
?循环蠕变
8.4.2 弹塑性模型基本法则
弹塑性模型三法则
屈服条件 流动法则