一元二次函数图像
一元二次函数归纳
一元二次函数的图象一、 定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)1.当a ＞0时 函数图象开口向上；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增；2.当a ＜0时函数图象开口向下；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减；2.△＝b ²－4ac当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。
(如下图所示)三、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.例1：画出212y x =- 2y x =- 22y x =-的图象212y x =- 22y x =- 2y x =-归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。
(2)b 和a共同决定抛物线对称轴的位置例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，211)2y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。
21(1)2y x =-+ 211)2y x =--（可以看出，抛物线21(1)2y x =-+的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x 轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线211)2y x =--（的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。
关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系
1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数 一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域 一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数 ，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数 。
当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数 。
一元二次函数的图象和性质基础知识例题
a
a 1 在区间[0,1]上的最大值是 2，求实数 a 的值. 4 2
例 11、已知函数
2 上的最大值为 1，求实数 a 的值。 f ( x) ax2 (2a 1) x 3(a 0) 在区间 ，
3 2
2 22.设二次函数 f ( x) x x
. 个整数.
1 的定义域为 n, n 1 , n N ,则 f ( x ) 的值域中有 2
三、解答题 23.已知函数 f ( x) ax2 bx c(a 0, b R, c R) . （1）若函数 f ( x ) 的最小值 f (1) 0 ,且 c 1 ，
6
25.如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 B、C 两点,•与 y 轴交于 A 点. (1)根据图象确定 a、b、c 的符号,并说明理由; (2)如果点 A 的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.
7
13、已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点 P 的横坐标是 4,•图象交 x 轴于点 A(m,0)和点 B,且 m>4,那么 AB 的长是( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 二、填空题 14.已知二次函数 f ( x) 2 x 2 4 x 1 ，则其开口向 为 标为 ，最小值为 。
2
，对称轴为
，顶点坐标 ，与 x 轴的交点坐
，单调增区间为
，单调减区间为
15.已知函数 f ( x) 2( x m) 8x 1 的对称轴为 x 1 0 ，则 m 顶点坐标为
一元二次不等式(图像法)
1.X轴上的点的坐标具有的形式是：
(x,0)
2.二次函数f(x)=x2_x-2与x轴的交点坐标
0=x2-x-2
y
x1=-1或x2=2
x1 o
x2 x
所以f(x)=x2_x-2与x轴的交点坐标为
（-1，0）和（2，0）
预备知
识
a>0
一元二次方程ax2+bx+c=0的解情况
当⊿＞0时，方程有两
y>0 x<-1或x>2,
-1 o
2
x
y<0 -1<x<2
例.解不等式x2-x-6 >0.
y
解：x2-x-6=0的两个根
是x1=-2，x2=3。 函数y=x2-x-6
的图像如图，
x2-x-6>0
x<-2或x>3是 (, 2) (3, ).
不等的实根x1，x2.
一元二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 y
x1 o
x2 x
当⊿＝0 时，方程有两相
等的实根 X1=X2=X0
当⊿＜0 时，方程无实根
y
o x0
x
y
o
x
观察
y=x2-x-2图像上的点M的坐标(x,y)具有什么性
质
y
y=0, y>0, y<0
y=0 x=-1或x=2,
解不等式x2-x-6 <0.
解: x2-x-6=0的两个根
y
是x1=-2，x2=3。函数
y=x2-x-6 的图像如图
x2-x-6>0 -2<x<3
-2 o
一元二次函数总结
的解的数目来确定：
1程组有两组不同的解时 与 有两个交点;
2程组只有一组解时 与 只有一个交点;
3③方程组无解时 与 没有交点.
(6)抛物线与 轴两交点之间的距离:若抛物线 与 轴两交点为 由于 、 是方程 的两个根，故由韦达定理知:
八、二次函数与一元二次方程的关系:
可以看出,抛物线 的开口向下，对称轴是进过点（-1,０）且与x轴垂直的直线,记为x=－１，顶点是(－１，0）；抛物线 的开口向下,对称轴是x=1，顶点是(1，0）。
例3：画出函数 的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。抛物线 经过怎样的变换可以得到抛物线 ？
抛物线 的开口方向向下、对称轴是ｘ＝－1，顶点是（-１，-１)。
2．四、根的分布,根据函数图象来判断其所需要满足的条件
1.若ｘ＜y<ｍ﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足：
┏△>０
┣﹣２ａ／b<m
┗f（m）>０
2.若m<x＜y﹙ｍ为x轴上的一点﹚,则需满足：
┏△>0
┣﹣2a／b＞ｍ
┗ｆ（m)>0
3.若x<m<ｙ﹙m为ｘ轴上的一点﹚,则需满足：
4.若x,y∈﹙m,n﹚﹙ｍ,ｎ为x轴上的一点﹚,则需满足：
当ｘ∈﹙﹣∞,﹣2a／b]时递增;当x∈[﹣2a/b,﹢∞﹚时递减;
ﻩ
2.△=ｂ²－4ａｃ
Hale Waihona Puke 当△＞０时，函数图象与x轴有两个交点；
当△=0时，函数图象与x轴只有一个交点;
当△＜0时,函数图象与x轴没有交点。
（如下图所示)
三、抛物线 中, 的作用
(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.
一元二次函数的图像性质
【例 3】求函数 y x 2 6x 9 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】 y x2 6x 2 x2 6x 9 7 (x 3)2 7
由配方结果可知:顶点坐标为 (3， 7) ,对称轴为 x 3 ；
1 0
∴当 x 3 时, y min 7
函数在区间 (， 3] 上是减函数,在区间[3， ) 上是增函数。
一元二次函数的图像性质
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一、新授内容
1．函数 y ax2 bx c(a 0) 叫做一元二次函数。
2． 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3 ． 任 何 一 个 二 次 函 数 y ax2 bx c(a 0) 都 可 把 它 的 解 析 式 配 方 为 顶 点 式 ：
【例 4】求函数 y 5x 2 3x 1图象的顶点坐标、对称轴、最值。
b 3 3 , 4ac b2 4 (5) 1 32 29
2a 2 (5) 10 4a
4 (5)
20
∴函数图象的顶点坐标为 ( 3 , 29) ,对称轴为 x 29
10 20
20
5 0
∴当 x
3 时,函数取得最大值 10
6
4C
2
D
-5
AO
B
5
10
-2
-4
-6
-8
二、课堂训练
基础练习
一、选择题：
1．（2００3·大连)抛物线 y=(x－２)2＋3 的对称轴是(
).
Ａ.直线 x=－3
B.直线 x=3
C．直线ｘ=-2
一元二次方程的像与性质知识点总结
一元二次方程的像与性质知识点总结一元二次方程是数学中一种重要的二次函数形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的过程中，我们可以通过图像来研究方程的性质和特点。
本文将对一元二次方程的图像、根的性质、函数性质等知识点进行总结。
1. 一元二次函数的图像一元二次函数的图像是平面直角坐标系上的一条曲线，常被称为抛物线。
方程的图像的开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 顶点坐标一元二次函数的图像是对称的，其顶点是抛物线的最高（或最低）点，也是方程的图像横坐标轴的轴线。
顶点坐标可以通过利用平移法得到，顶点的横坐标为-x轴系数的倒数，纵坐标为代入横坐标得到的y 值。
即顶点坐标为（-b/(2a), f(-b/(2a))）。
3. 根的性质一元二次方程的根是方程的解，也即满足方程等式的x值。
通过求解可以得到方程的根。
- 当一元二次方程有两个不相等实数根时，方程的图像与x轴有两个交点。
- 当一元二次方程有两个相等实数根时，方程的图像与x轴有一个交点（切线）。
- 当一元二次方程无实数根时，方程的图像与x轴无交点，即抛物线不与x轴相交。
4. 函数性质一元二次函数是定义域为实数集的函数，具有以下性质：- 当a>0时，函数是上凸函数，即图像开口向上。
- 当a<0时，函数是下凸函数，即图像开口向下。
- 当a=0时，方程退化为一元一次方程 y = bx + c，其图像为一条直线。
- 函数的最值与顶点有关，当函数开口向上时，顶点是函数的最小值点；当函数开口向下时，顶点是函数的最大值点。
总之，一元二次方程的像与性质的了解对于解题和图像分析都具有重要意义。
通过对方程图像的观察和利用相应的性质，我们可以更好地理解和应用一元二次方程，提高解题的准确性和效率。
通过深入研究和练习，我们能够更加熟练地掌握一元二次方程相关知识，为数学学习打下坚实的基础。
一元二次函数知识点高一
一元二次函数知识点高一一、定义与图像特征一元二次函数是指形式为y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
一元二次函数的图像通常呈现抛物线的形状，开口方向由a的正负值决定。
1. 当a>0时，抛物线开口向上；2. 当a<0时，抛物线开口向下；3. 抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h为对称轴的横坐标，k为抛物线的最小值或最大值。
二、零点与根的求解一元二次函数的零点又称为根。
根的求解可通过下列方法进行：1. 因式分解：将一元二次函数表示为两个一次因子的乘积，然后令每个因子等于零，解方程得到根；2. 完全平方式：如果一元二次函数可以表示为(x±a)²形式，则可通过解方程(x±a)²=0来求得根；3. 利用一元二次函数求根公式：一元二次函数的根可通过求解一元二次方程ax²+bx+c=0来得到，其中，x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
三、最值与对称性1. 最值：对于开口向上的抛物线，最小值等于抛物线的顶点纵坐标k；对于开口向下的抛物线，最大值等于抛物线的顶点纵坐标k。
2. 对称性：一元二次函数关于对称轴x=h对称。
因此，若点(x, y)在抛物线上，则点(2h-x, y)也在抛物线上。
四、函数的变化规律一元二次函数随着自变量的变化呈现不同的特点：1. 当a>0时，抛物线开口向上，随着x的增大，函数值上升；随着x的减小，函数值下降。
函数的增减性为先减后增。
2. 当a<0时，抛物线开口向下，随着x的增大，函数值下降；随着x的减小，函数值上升。
函数的增减性为先增后减。
3. 抛物线与y轴的交点称为纵截距，当x=0时，纵截距为c。
五、二次函数的平移与伸缩一元二次函数可通过平移和伸缩来改变其图像位置和形状：1. 平移：将函数图像沿横轴或纵轴方向移动，可通过函数式中的加减操作实现。
如y=x²+3中，加3使整体上移。
一元二次函数的图像与性质.docx
一元二次函数的图象和性质(-)二次函数基本知识1.二次函数的定义：形如y = 加+ C(QH O且为常数)的函数叫关于X的二次函数。
2.二次函数的解析式的三种形式(1)-般式(三点式)：y = ax2+bx + c(a^O)f配方后为_____________________________ 。
其中顶点坐标为___________ ，对称轴为__________ 0(2)顶点式(配方式)：y = a(x-h)2+k(a^o)f其中顶点坐标为_______________ ,对称轴为_______(3)两根式(零点式)：y = a(x-x])(x-x2)(a^o),其中西‘吃是方程+Z?x + c = 0的两个根，同时也是二次函数的图像与兀轴交点(召,0),(花,0)的横坐标。
求函数解析式时，一般采用待定系数法3 •二次函数的图像和性质(1)二次函数y = ax2+bx + c(a^0)的图像是一条___________ ,其对称轴为_________ ,顶点坐标为 ________ ,开口方向由_____ 决定。
(2)二次函数y = ox? + bx + C(G H 0)的单调性以对称轴为分界。
在作二次函数草图时，往往抓住：开口方向，对称轴，与X轴交点，与『轴交点，顶点等。
(3)二次幣数y二处2+b兀+C(QH0),当△ = /?? _4QC>0时，图像与兀轴有两个交点M}(x,,0),,0),则\M^\=\X2-X\= J(血 + 西)2一4无內=J(--)2-4 -=血—仏_ _ \ a a \a\(4)关于二次函数y = /(x)的对称轴的判断方法：①若二次函数对定义域内所有兀，都有/(Xj) = /(X2),则其对称轴为兀二西[尢2②若二次函数对定义域内所有无，都有f(m+x) = f(m-x)1则其对称轴为x=m.4ac-b 24a(2)在闭区I 可n ］上的最值“轴变区间定” w + n③ 若二次函数对定义域内所有x,都有f(m+x) = f(n-x),则对称轴为% =——④.若二次函数对应方程为/(X)= 0两根为知兀2,则对称轴方程为：x =—---------二24.二次函数y = ax 2+bx+c(a^O)的最值 (1) 在(Y0,+00)上的最值二次函数加+C @H O)在闭区间［弘切上的最值问题，一般情况下，需要分三种情况讨论，依据对称轴与区间的位置关系：唸5,心存〃冷九再结合图像分析。
一元二次函数图象及性质高中
一元二次函数图象及性质高中一元二次函数是高中数学中常用的数学方程，它可以用来描述很多现实中的现象，因此在高中数学中进一步被研究。
本文将重点介绍一元二次函数的图象及其性质。
首先，让我们来认识一元二次函数。
一元二次函数是指满足y=ax+bx+c（a≠0）函数。
其中a,b,c是实数，其变量为x，而y 为此函数的值。
可以看到，这是由二次项、一次项和常数项组成的多项式所表示的函数关系。
其次，是一元二次函数的图象。
由于二次函数中项的系数a的符号决定图象的开口向上或者开口向下，可以将它分为上开口抛物线和下开口抛物线两种。
而抛物线的准线如果是凸线，则说明是上开口，如果是凹线，则说明是下开口。
图象的准线上的拐点，即这个函数的解析解，即x的值。
可以用一元二次方程的解析解公式来求解，即：x1,2＝-b±√(b-4ac)2a再者，是一元二次函数的特性。
一元二次函数的特性有以下几点：（1）它是可导函数，其导数为2ax+b；（2）一元二次函数的极值发生在其导数为零点，即2ax+b=0,即x=-b/2a；（3）当a大于0时，此函数为凸函数；当a小于0时，此函数为凹函数；（4）当a大于0时，此函数会趋近于水平线x轴，即一次项为零，y趋近于常数项c，得到函数的封闭上限；当a小于0时，此函数会趋近于垂直线y轴，即二次项为零，x趋近于常数项c，得到函数的封闭下限；（4）一元二次函数的图象与a的正负系数、b与c的正负系数有关，当a>0时，图象在y轴正向上开，当a<0时，图象在y轴反向下开，当a=0时，图象为一条直线；最后，我们来看一元二次函数在实际应用中的作用。
由于一元二次函数可以描述现实生活中的许多现象和例子，因此在实际中有很多应用。
比如，在金融学中，人们经常利用它来研究货币价格的变化趋势；在测绘学中，利用它来制作空间地形图；在机械学中，用它可以描述机械运动轨迹；在物理学中，用它可以描述质点运动曲线；此外，还有热学、化学等等。
一元二次函数图像
一元二次函数图像一、一元二次函数型式y ＝ax 2＋bx ＋c 或f (x)＝ax 2＋bx ＋c二、一元二次函数图像画法1、 形状：抛物线2、 开口：a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下3、 对称轴：x ＝－ab 2 4、 与x 轴的交点：方程的根5、 最大最小值：ab ac 424-三、例题1、 y ＝x 2－5x ＋6解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝25 方程根：x 2－5x ＋6＝0 x ＝2或x ＝3最小值：a b ac 424-＝－412、 y ＝x 2＋5x ＋6解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝－25 方程根：x 2＋5x ＋6＝0 x ＝－2或x ＝－3 最小值：a b ac 424-＝－413、 y ＝－x 2＋5x －6解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝25 方程根：－x 2＋5x －6＝0 x ＝2或x ＝3最大值：a b ac 424-＝414、 y ＝－x 2－5x －6解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝－25 方程根：－x 2－5x －6＝0 x ＝－2或x ＝－3 最大值：a b ac 424-＝415、 y ＝x 2－2x解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝1 方程根：x 2－2x ＝0 x ＝0或x ＝2 最小值：a b ac 424-＝－16、 y ＝－x 2－2x解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝－1 方程根：－x 2－2x ＝0 x ＝0或x ＝－2 最大值：a b ac 424-＝17、 y ＝x 2－2x ＋1解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－ab 2＝1 方程根：x 2－2x ＋1＝0 x ＝1最小值：a b ac 424-＝08、 y ＝－x 2＋2x －1解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－ab 2＝1 方程根：－x 2＋2x －1＝0 x ＝1最大值：ab ac 424-＝09、 y ＝x 2解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝0 方程根：x 2＝0x ＝0最小值：a b ac 424-＝010、 y ＝－x 2解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝0 方程根：－x 2＝0 x ＝0最大值：a b ac 424-＝011、 y ＝x 2＋x ＋1解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝－21 方程根：△＜0，方程无解 最小值：a b ac 424-＝4312、 y ＝－x 2＋x －1解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝21 方程根：△＜0，方程无解 最大值：a b ac 424-＝－43一元二次函数图像题1、y＝x2－7x＋102、y＝x2＋3x＋23、y＝－x2＋7x－124、y＝－x2－6x－85、y＝x2＋7x6、y＝－x2＋7x7、y＝x2＋4x＋48、y＝－x2＋6x－99、y＝x2＋x＋210、y＝－x2＋2x－4。
专题08 一元二次函数的图像和性质(解析版)
专题08 一元二次函数的图像和性质一、知识点精讲【问题1】函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝12x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．先列表：从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝12x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．【问题2】函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x 2＋b x a )＋c ＝a(x 2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a 224()24b ac b a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系表二、典例精析【典例1】求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．【答案】见解析【解析】∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C(，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．【说明】：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．【典例2】某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？【答案】见解析【分析】：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．【解析】由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋b 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得 k ＝－1，b ＝200． ∴ y ＝－x ＋200．设每天的利润为z （元），则z ＝(－x+200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．【典例3】把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值． 【答案】见解析 【解析】解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x+2b )224b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．【说明】：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．【典例4】已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．【答案】见解析【分析】本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论。
一元二次方程ppt课件
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
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公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
一元二次函数的图像及性质
§ 3.4一元二次函数的图象和性质1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。
1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。
② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(ab --∞上是减函数，在),2(+∞-a b上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x xx 【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
九年级一元二次函数知识点
九年级一元二次函数知识点一元二次函数是九年级数学学习的重要内容之一。
它在解决实际问题中具有广泛的应用。
本文将从基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等方面，深入探讨九年级一元二次函数的相关知识点。
首先，我们来了解一元二次函数的基本概念。
一元二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，a决定抛物线的开口方向，正值使抛物线开口向上，负值则开口向下；b决定抛物线的位置，正值使抛物线向左平移，负值则向右平移；c为常数项，决定抛物线与y轴的交点。
接下来，我们来探讨一元二次函数的图像与性质。
一元二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上，最低点称为顶点；当a<0时，抛物线开口向下，最高点称为顶点。
顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
抛物线在顶点对称，对称轴为x = -b/2a。
解析式与判别式是解一元二次方程的关键。
给定一元二次方程ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数且a≠0。
一元二次函数的解析式为x = (-b±√(b²-4ac))/2a。
判别式Δ = b²-4ac，它可以判断一元二次方程的解的性质。
当Δ>0时，方程有两个不相等实数解；当Δ=0时，方程有两个相等实数解；当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。
最后，我们来看一元二次函数在实际问题中的应用。
一元二次函数的应用非常广泛，例如在物理学、经济学和几何学等领域。
以抛物线的运动轨迹为例，当一个物体被抛出时，其轨迹可以用一元二次函数来描述。
在经济学中，一元二次函数可以用来分析企业的成本、收益和利润等情况。
在几何学中，一元二次函数可以用来求解问题，如确定两个点之间的最短距离。
总结起来，九年级一元二次函数是一个非常重要的数学知识点。
它不仅在解决实际问题中具有广泛的应用，而且通过学习一元二次函数的基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等内容，可以帮助学生加深对数学的理解，并提高解决问题的能力。
7、一元二次函数性质
第七节 一元二次函数及性质一、坐标系的建立，图像与x 轴的交点即为函数值为零的根，数形结合思想贯穿整个高中数学知识点与题型。
务必识记几个基础图像，如一次函数、反比例函数、二次函数等，且能看图说话。
二、高中阶段类似于y ＝a 2x 、y ＝a 2x ＋bx ＋c 、y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的函数都统称为二次函数而非抛物线。
对于二次函数来说：（1）当a ＞0时，函数y ＝a 2x ＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a -时，函数取最小值y ＝244ac b a-。
（2）当a ＜0时，函数y ＝a 2x ＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a -时，函数取最大值y ＝244ac b a-。
（3）当Δ＞0时，二次函数与x 轴有两个交点；反过来，若二次函数与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立。
（4）当Δ＝0时，x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若二次函数与x 轴有一个交点，则Δ＝0也成立。
（5）当Δ＜0时，二次函数与x 轴没有交点；反过来，若二次函数与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立。
三、二次函数图像画法及读图，简单的图像平移变换、带绝对值图像例题：1、把二次函数y ＝2x ＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值。
2、已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值。
图像法解一元二次不等式
方法二 运用图像分析
回忆：a>0与a<0的图像区别在于开口的方向
y
y
y
x1`
x2`
x xx
11
a<0
xx1
xx2
xx
1
2
a>0
同理利用第三部分 2 所学分析左2 图可知，不等式ax2 +bx+c>0(a<0)的解在两根之间，即｛x|x1`<x<x2`｝
六 思考 ax +bx2+c>0(a<0)的解法
问题：会求解a>0时不等式的解，当a<0时解？ 思考：a>0与a<0的区别在于符号的方向 想法一 利用不等式的性质，给不等式的两边同乘以一 负数，符号反向.
因为a<0，所以-a>0, 求ax +2 bx+c>0(a<0）的解 即求-ax –bx2-c<0(a<0）的解
同理先求方程-ax –bx-c=0的两根x1` x2`，在利用第三 部分 1 所学就可知解为｛x|x1`<x<x2`｝
综上可知：不等式的解为｛x|x1<x<x2｝
四 总结
y=ax2+2 bx+c(a>0)图像如下所示：
y
x
x
xx
1
2
• ax2+bx+c>0(a>0)解为｛x|x<x1或x>x2｝
在两根之外如
所示部分
• ax2+bx+c<0(a>0)解为｛x|x1<x<x2｝
在两根之间如
所示部分
五 拓展 ax2+bx+c>0(a<0)的解法
一元二次函数及其图像
04
求零点问题：利用 二次函数求解方程 的零点问题
平移
平移的概念：将函数图像沿x 轴或y轴移动一定距离
平移的方法：确定平移的方向 和距离，然后对函数解析式进 行相应的变换
平移的性质：平移不改变函数 的形状，只改变函数的位置
平移的应用：解决实际问题中 函数图像的平移问题
伸缩
01
02
03
04
旋转
05
一元二次函数的单调性由a的值决定：当a>0 时，函数在x轴上方的单调递增；当a<0时， 函数在x轴下方的单调递减。
特殊类型
01
抛物线： y=ax^2+bx+c， 其中a≠0
02
双曲线： y=ax^2+bx+c， 其中a=0
03
直线：y=bx+c， 其中a=0，b≠0
04
常数函数：y=c， 其中a=b=0
对称性：中心对称、轴对 称、原点对称等
2
渐近线：与x轴、y轴的交 点、斜率等
5
开口方向：向上、向下、 向左、向右等
3
截距：与x轴、y轴的交点、 截距值等
6
101
标准形式
一元二次函数 的一般形式： ax^2 + bx
+c=0
标准形式：y = ax^2 +
bx + c
其中，a、b、 c为常数，a
≠0
当a > 0时， 图像为向上开
口的抛物线
当a < 0时， 图像为向下开
口的抛物线
b^2 - 4ac决 定了图像的开 口方向和大小
顶点式
01
02
一元二次函数的顶点式：y=a(xh)^2+k
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元二次函数图像元二次函数型式
y= ax2+ bx+ C 或f (x) = ax2+ bx + C
元二次函数图像画法
1、形状：抛物线
2、开口：a> 0,开口向上；a v0,开口向下
b
3、对称轴：X = ---------
2a
4、与X轴的交点：方程的根
5、取大取小值：4ac -b2
4a
、例题
1、y = χ2—5x + 6
解：a=1, 开口向上
b 5
对称轴:X =——
2a 2
方程根:χ2- 5x + 6—0
X—2 或x—3
4ac -b21
最小值
4a4
2、y = x2+ 5x + 6
解：a=1, 开口向上
b5
对称轴:X=—=—
2a2
方程根2
:X + 5x + 6—0
X ——2 或X —- -3
4ac -b21最小值
4a4 3、y = —χ2+ 5x —6
解：a= —1,开口向下
对称轴：
b 5 X ———
2a 2
方程根：—χ2+ 5x —6—0
X—2 或x—3
最大值：
4ac-b2 1 4a 4
4、y=- x2- 5x —6
解：a=- 1,开口向下
b
X =-—
对称轴:
方程根:
2a 2
-χ2- 5x —6= 0
X=—2 或X = —3
5、6、
最大值:
4ac—b2 1
4a
y = x2-2x
解：a= 1 ,开口向上
b I
X = ------ =1
2a
χ2- 2x = 0 X= 0
或X= 2 4ac-b2 ,
-1
4a
对称轴:
方程根:
最小值:
y=-x2—2x
解：a= —1, 开口向下
对称轴:
方程根:
X=—b=-1
2a
-χ2- 2x = 0
最大值:
X = 0 或X=—2
4ac-b2 d
1
4a
2
7、y = X —2x + 1
对称轴：
b I
X =—= 1
2a
方程根：X2—2x + 1 =
X = 1
最小值：4ac-b2 C 0
4a
解：a= 1 ,开口向上
8、y = —χ2+ 2x —1
对称轴：
b I
X =—= 1
2a
方程根：—X2+ 2x —1 = 0
X = 1
解：a= —1,开口向下
最大值：
4ac-b2 C
=0 4a
2
9、y = X
解：a= 1 ,开口向上
b
对称轴：X =—= 0
2a
方程根：X2= 0
X = 0
4ac -b2
最小值：=0
4a
10、y = —X2
解：a= —1,开口向下
b
对称轴：X = ------- =0
2a
方程根：—X2= 0
X = 0
4ac —b2
最大值：=0
4a
2
11、y = X + X + 1
解：a= 1 ,开口向上
b1
对称轴：X =——
2a2
方程根：△< 0,方程无解
=、,亠 4ac —b23
最小值：
4a4
2
12、y = —X + X —1
解：a= —1,开口向下
,亠，b1
对称轴：X =—
2a2
方程根：△< 0,方程无解
=,一4ac —b23
最人值：
4a4
元二次函数图像题2
1、y= X - 7x + 10
2、y= χ2+ 3x + 2
2
3、y=- x + 7x- 12
4、y=- x2- 6x- 8
5、y= x2+ 7x
2
6、y= —X + 7χ
7、y= X2+ 4X+ 4
8、y=－X2+ 6X－9
9、y= X2+ X+ 2
10、y=－X2+ 2X－4。