第8章_欧拉图与哈密顿图
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欧拉图与哈密顿图
哈密顿回路。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.21
图G称为可2-着色（2-chromatic），
如果可用两种颜色给G的所有顶点着色， 使每个顶点着一种颜色，而同一边的两端点 必须着不同颜色。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.16
设图G是可2-着色的。如果G是哈密顿 图，那么着两种颜色的顶点数目相等；如 果G有哈密顿通路，那么着两种颜色的顶点 数目之差至多为一。
✓定理8.14
设图G为具有n个顶点的简单无向图，如果G的 每一对顶点的度数之和都不小于n – 1 ，那么G中有 一条哈密顿通路；如果G的每一对顶点的度数之和 不小于n，且n≥3，那么G为一哈密顿图。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.15
当n为不小于3的奇数时，
Kn上恰有 n 1 条互相均无任何公共边的 2
离散数学导论
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
➢ 定义8.19
图G称为欧拉图（Euler graph），
如果图G上有一条经过G的所有顶点、所有
边的闭路径。图G称为欧拉路径（Euler
walk），如果图G上有一条经过G 所有顶点、所有边的路径。
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
✓ 定理8.11
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.20
无向图G称为哈密顿图（Hamilton graph），
如果G上有一条经过所有顶点的回路
（也称这一回路为哈密顿回路）。称无向图有哈密顿 通路(非哈密顿图)，如果G上有一条经过所有顶点的
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.21
图G称为可2-着色（2-chromatic），
如果可用两种颜色给G的所有顶点着色， 使每个顶点着一种颜色，而同一边的两端点 必须着不同颜色。
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欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.16
设图G是可2-着色的。如果G是哈密顿 图，那么着两种颜色的顶点数目相等；如 果G有哈密顿通路，那么着两种颜色的顶点 数目之差至多为一。
✓定理8.14
设图G为具有n个顶点的简单无向图，如果G的 每一对顶点的度数之和都不小于n – 1 ，那么G中有 一条哈密顿通路；如果G的每一对顶点的度数之和 不小于n，且n≥3，那么G为一哈密顿图。
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欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.15
当n为不小于3的奇数时，
Kn上恰有 n 1 条互相均无任何公共边的 2
离散数学导论
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欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
➢ 定义8.19
图G称为欧拉图（Euler graph），
如果图G上有一条经过G的所有顶点、所有
边的闭路径。图G称为欧拉路径（Euler
walk），如果图G上有一条经过G 所有顶点、所有边的路径。
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
✓ 定理8.11
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欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.20
无向图G称为哈密顿图（Hamilton graph），
如果G上有一条经过所有顶点的回路
（也称这一回路为哈密顿回路）。称无向图有哈密顿 通路(非哈密顿图)，如果G上有一条经过所有顶点的
欧拉图及哈密顿图
充分性:设连通图G恰有两个奇数度结点, 不妨设为a和b,在图G中添加一条边e={a,b} 得G’,则G’的每个结点的度数均为偶数,因 而G’中存在欧拉回路,故G中必存在欧拉路.
定义2 给定有向图D,经过D中每边一次且仅 一次的有向迹称为D的有向欧拉路.经过D中 每边一次且仅一次的有向闭迹(回),称为有 向欧拉回路.
哈密顿图 定义3 具有哈密顿回路的无向图与具有哈密顿有 向回路的有向图,统称为哈密顿图. 例1对于完全图Kn(n3),由于Kn中任意两个顶点之 间都有边,从Kn的某一顶点开始,总可以遍历其余 节点后,再回到该结点,因而Kn(n3)是哈密顿图.
说明:判断一个给定的图是否为哈密顿图,是图论 中尚未解决的难题之一,下面介绍若干必要条件 和充分条件.
（3）检查G2的每个圈C，若某个圈C上重复边集E 的权和超过这个圈的权和的一半，则将C按定理1 必要性证明中的方法进行调整，直到对G2所有的 圈其重复边的权和不超过此圈权和的一半，得到 图G3. （4）用Fleury算法求G的Euler回路.
例3 求下图G的最优环游.
v1 5 v2 5 v3 9 v4 A 6 v11 4 3 v5
求Euler图的Euler回路的Fleury算法. (1)任意选取一个顶点v0,置W0=v0; (2)假定迹(若是有向图,则是有迹) Wi=v0e1v1…eivi已经选出,则 用下列方法从E(G)-{e1,e2,…,ei}中取ei+1; (a)ei+1与vi关联(若是有向图, ei+1 以vi为起点) (b)除非没有别的边可选择, ei+1不是 Gi=G- {e1,e2,…,ei}的割边. (3)当(2)不能执行时,停止.否则让i+1 i,转 (2).
哈密顿图
欧拉图和哈密而顿图
17
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
证明： 证明： 是图的一条哈密尔顿回路， 设 C是图的一条哈密尔顿回路， 则对于 的任一 是图的一条哈密尔顿回路 则对于V的任一 非空真子集S可知 可知： 非空真子集 可知： w(C-S) ≤|S| w(C-S)表示 删去 顶点集后得到的图的连通分 表示C删去 表示 删去S顶点集后得到的图的连通分 图的个数。由于G是由 和一些不在C中的边构 是由C和一些不在 图的个数。由于 是由 和一些不在 中的边构 成的， 的生成子图， 成的，C-S是G-S的生成子图，所以 是 的生成子图 w(G-S) ≤ w(C-S) ≤|S|
11
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当 是连通 是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通 定理 是非平凡的欧拉图当且仅当 的且为若干个边不重的圈的并。 的且为若干个边不重的圈的并。
12
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
Fleury算法： 算法： 算法 1) 任取 0∈V(G)，令P0=v0; 任取v ， 2) 设 Pi=v0e1v1e2…eivi 已经行遍 ， 按下面方法 来从E(G)-{e1,e2…ei}中选取 i+1： 中选取e 来从 中选取
4
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图 现从G’中取二个顶点 中取二个顶点v 现从 中取二个顶点 i和vj，且vi和vj没有直接联 之间加一根联线变为图G， 现在v 线，现在 i和vj之间加一根联线变为图 ，则变 为奇数点，则从v 一定存在一条欧拉通路 通路。 为奇数点，则从 i到vj一定存在一条欧拉通路。
8.欧拉图与哈密顿图
所有圈遍历依次，显然符合v0是可以任意遍历的条件，但v0所不在的圈上的边没有经过
，
这与v0是可以任意遍历的相矛盾。
综合4.1.1和4.1.2，如果v0是任意行遍的，则G-v0中无圈。
2)充分性：4.2 证明如果G-v0中无圈，则v0是任意行遍的：
显然v0是G中所有圈的共同交点。
4.2.1 如果G是由1个圈组成，从v0出发，行遍这个圈。此时G上所有的边被遍历，形成一
(V v11,v12,...,v1n,V,v21,v22,...v2nV,v3.....,V)其实很容易证明，割点两侧的圈都
是连通的，且度数都为偶数,必要性得证
充分性
每个块都是欧拉图, 都是圈 其中得割点是V1,V2...,Vn，那么 V1,v11,v12,...,V2,v
G上哈密尔顿回路，G是哈密尔顿图。
11.，这道题又要画图,所以略，构成图的模型：把每个人看作顶点，如果两个人都会某种
语言，则这两个顶点之间连边！，所以能画出一个图，然后再在这个图上找出一条哈密顿
回路即可！
我找到 b a c e g f d b
12．今有2k个人去完成k项任务，已知每个人均能与另外2k-1个人中的k个人中的任何一个
那么内圈、外圈中分别还有1个点没有连接，根据回路的性质，外圈必须有2条1类边分别
和外圈的该点连接成一个通路，该通路的两端分别连接பைடு நூலகம்4条3类边中2条在外圈的端点，
显然此时至少有2条3类边不可能在回路中。因此不可能存在4条3类边的回路。
综合8.1和8.2，彼得森图不是哈密尔顿图。
9.设G为n阶无向简单图，边数m=1/2(n-1)*(n-2)+2,证明G为哈密顿图，再举例说明，当
，
这与v0是可以任意遍历的相矛盾。
综合4.1.1和4.1.2，如果v0是任意行遍的，则G-v0中无圈。
2)充分性：4.2 证明如果G-v0中无圈，则v0是任意行遍的：
显然v0是G中所有圈的共同交点。
4.2.1 如果G是由1个圈组成，从v0出发，行遍这个圈。此时G上所有的边被遍历，形成一
(V v11,v12,...,v1n,V,v21,v22,...v2nV,v3.....,V)其实很容易证明，割点两侧的圈都
是连通的，且度数都为偶数,必要性得证
充分性
每个块都是欧拉图, 都是圈 其中得割点是V1,V2...,Vn，那么 V1,v11,v12,...,V2,v
G上哈密尔顿回路，G是哈密尔顿图。
11.，这道题又要画图,所以略，构成图的模型：把每个人看作顶点，如果两个人都会某种
语言，则这两个顶点之间连边！，所以能画出一个图，然后再在这个图上找出一条哈密顿
回路即可！
我找到 b a c e g f d b
12．今有2k个人去完成k项任务，已知每个人均能与另外2k-1个人中的k个人中的任何一个
那么内圈、外圈中分别还有1个点没有连接，根据回路的性质，外圈必须有2条1类边分别
和外圈的该点连接成一个通路，该通路的两端分别连接பைடு நூலகம்4条3类边中2条在外圈的端点，
显然此时至少有2条3类边不可能在回路中。因此不可能存在4条3类边的回路。
综合8.1和8.2，彼得森图不是哈密尔顿图。
9.设G为n阶无向简单图，边数m=1/2(n-1)*(n-2)+2,证明G为哈密顿图，再举例说明，当
欧拉图和哈密尔顿图ppt课件
有欧拉通路
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
二部图欧拉图哈密尔顿图平面图教学课件
网络设计：用于设计网络拓扑结构，如路由器、交换机等设备的连接
电路设计：用于设计电路板布局，如PCB板、集成电路等
地图绘制：用于绘制地图，如城市地图、交通地图等
建筑设计：用于设计建筑布局，如房屋、办公楼等
物流规划：用于规划物流网络，如仓库、配送中心等
城市规划：用于规划城市布局，如道路、公园等
汇报人：
哈密尔顿图是平面图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图定义：每个顶点的度数等于图中的边数
哈密尔顿图的性质：哈密尔顿图是欧拉图
哈密尔顿图的判定方法：通过计算每个顶点的度数来判断
哈密尔顿图的应用：在图论、计算机科学等领域有广泛应用
PART FIVE
平面图是一种特殊的图，其顶点和边都在同一个平面上
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度数都是2或0。
哈密尔顿图是一种特殊的欧拉图，其每个顶点的度数都是2。
哈密尔顿图是一种特殊的平面图，其顶点和边都可以在平面上表示出来。
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图是二部图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
在数学中，哈密尔顿图可以用于研究图的性质，如图的连通性、图的色数等。
哈密尔顿图在图论中具有重要的应用价值，特别是在网络流、电路设计等领域。
在计算机科学中，哈密尔顿图可以用于解决一些NP-hard问题，如旅行商问题、背包问题等。
在物理学中，哈密尔顿图可以用于描述量子系统的状态空间，从而进行量子计算和量子信息处理。
汇报人：
,
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
二部图是一种特殊的图，由两个部分组成，每个部分包含一组节点每个节点只能与另一部分的节点相连，不能与同一部分的节点相连二部图的节点可以分为两个集合，每个集合中的节点只能与另一个集合中的节点相连二部图的边可以分为两种类型，一种是连接两个不同集合的边，另一种是连接同一集合中的边二部图的性质包括：每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
04
欧拉图与哈密顿图的应用 场景
欧拉图的应用场景
路径规划
欧拉图可以用于表示从一 个点到另一个点的路径， 常用于物流、交通和旅行 等领域。
网络流问题
欧拉图可以用于解决最大 流和最小割等问题，在网 络优化、资源分配和计划 制定等方面有广泛应用。
组合优化
欧拉图可以用于表示组合 优化问题，如旅行商问题、 排班问题等，是求解这些 问题的常用工具。
一个图存在哈密顿回路当且仅当其所有顶点的度都大于等于2 。
哈密顿图的性质
哈密顿图中的所有顶点的度都 大于等于2。
一个图存在哈密顿回路当且仅 当其所有顶点的度都大于等于2。回 路。
哈密顿图的构造方法
添加边法
在所有顶点的度都大于等于2的图 中，不断添加边，直到所有顶点的 度都大于等于2，最后得到的图就 是哈密顿图。
哈密顿图的应用场景
社交网络分析
哈密顿图可以用于表示社交网络 中的路径，分析人际关系和信息
传播路径。
生物信息学
哈密顿图可以用于表示基因组、蛋 白质组等生物信息数据，进行基因 序列比对、蛋白质相互作用分析等。
推荐系统
哈密顿图可以用于表示用户和物品 之间的关系，进行个性化推荐和智 能推荐。
欧拉图与哈密顿图在计算机科学中的应用
欧拉图的构造方法
欧拉图的构造方法1
总结词
通过添加一条边将所有顶点连接起来， 从而形成一个欧拉图。
详细描述了两种构造欧拉图的方法， 为实际应用中构造欧拉图提供了思路。
欧拉图的构造方法2
通过将两个欧拉图合并，并连接它们 的所有顶点，从而形成一个新的欧拉 图。
02
哈密顿图
哈密顿图的定义
哈密顿图（Hamiltonian Graph）是指一个图存在一个遍历其 所有边且每条边只遍历一次的路径，这个路径称为哈密顿路径， 如果该路径的起点和终点是同一点，则称这个路径为哈密顿回 路。
离散数学欧拉图与哈密尔顿图ppt课件
例5 设G是非平凡的欧拉图，且v ∈V(G)。证明：G 的每条具有起点v的迹都能扩展成G的欧拉环游当且仅当 G-v是森林。
证明：“必要性”
若不然，则G-v有圈C。 考虑G1=G-E(G)的含有顶点v的分支H。
由于G是非平凡欧拉图，所以G1的每个顶点度数为偶数， 从而，H是欧拉图。
12
1
0.5 n 0
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
16
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
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17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
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18
1
0.5 n 0
如果邮路图本身是非欧拉图，那么为得到行走环游，必须重 复行走一些街道。于是问题转化为如何重复行走街道？
25
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、管梅谷的结论
定理2 若W是图G中一条包含所有边的闭途径，则W在 这样的闭途径中具有最短的长度当且仅当下列两个条件被 满足：
在vi与vi+k间连新边ei得图G*（1≦i≦k).则G*是欧拉图， 因此，由Fleury算法得欧拉环游C.
在C中删去ei （1≦i≦k).得k条边不重的迹Qi （1≦i≦k):
E(G) E(Q1) E(Q2 )
E(Qk )
第八章图论
3. 图的结点与边之间的关系 定义 如果边e={vi,vj}是G的边, 则称结点vi 和vj邻接的, 边e和结点vi ，边e和结点vj称为关联的。 没有与边关联的结点称为孤立点。 关联于同一结点的相异边称为邻接的。 不与任何边邻接的边称为孤立边。
例1
在上图中显然e1和e2, e1与e4是邻接的, 结点v1和v2,v2和v4等是邻接的, 没有孤立点和孤立边。
例2.如下图中:
图(a)是伪图。图(b)是有向多重 图。 最右第三个图是简单图有权图。
三、结点的度
1.定义 图G中关联于结点vi的边的总数称为 结点vi的度, 用deg(vi)表示。
2.定理1(握手定理) 图G的所有结点的度的总和为边数 的二倍。即若G为具有n结点的(n,m)图, 则有： n deg(vi ) 2m
例8 如下图
(a)是连通图。 (b)是一个具有三个分图 的非连通图。 结论： (1)一个图的分图必是连通的； (2)一个连通图一定只能有一个分图。
例11 对于图的连通性，常常由于删除了 图中的结点和边而影响了图的连通性。
在连通图(a)中删除边e后, 则变成了不连通 的图(b)。
8.2 图的矩阵表示
2. 有向图的定义 定义 设G=(V,E), V是一个有限非空集合, E是V中不同元素的有序对偶的集合, 则称G是一有向图。在有向图G中 若vi≠vj,则(vi,vj)和(vj,vi)表示两条 不同的边,且用一个从结点vi指向vj 的箭头表示边(vi,vj)。
定义 具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图。 (n,0)图称为零图。(1,0)图称为平凡图。
三、边割集、点割集 定义3 设图G=<V,E>是连通图,若有E的子集S, 使得在图G中删去了S的所有边后, 得到的子图G-S变成具有两个分图的不连通图, 删去了S的任一真子集后所得子图仍是连通图， 则称S是G的一个边割集。 注：割边是边割集的一个特例。
图论中的哈密顿图与欧拉图
图论中的哈密顿图与欧拉图图论是数学的一个分支，研究图的性质及其应用。
在图论中，哈密顿图和欧拉图是两个重要的概念。
本文将介绍哈密顿图和欧拉图的定义、性质和应用，并探讨它们在现实生活中的实际应用。
一、哈密顿图的定义与性质哈密顿图是指一种包含了图中所有顶点的路径的图。
具体来说，哈密顿图是一个简单图，其中任意两个不同的顶点之间都存在一条路径，使得该路径经过图中的每个顶点且不重复。
哈密顿图具有以下的性质：1. 哈密顿图是一个连通图，即图中的每两个顶点之间都存在通路。
2. 图中每个顶点都是度数大于等于2的点，即每个顶点都至少连接着两条边。
二、欧拉图的定义与性质欧拉图是指一种可以通过图中每条边恰好一次的路径来穿越图的图。
具体来说，欧拉图是一个简单图，其中经过图中每条边且路径不重复的路径称为欧拉路径，而形成闭合回路的欧拉路径称为欧拉回路。
欧拉图具有以下的性质：1. 每个顶点的度数都是偶数，即每个顶点都连接着偶数条边。
2. 欧拉图中至少有两个连通分量，即图中有至少两个不同的部分可以从一部分通过路径到达另一部分。
三、哈密顿图与欧拉图的应用哈密顿图和欧拉图在实际生活中有广泛的应用，下面将分别介绍它们的应用领域。
1. 哈密顿图的应用：哈密顿图在旅行商问题中有着重要的应用。
旅行商问题是指一个旅行商要依次拜访若干个城市，然后返回起始城市，而要求找到一条最短的路径使得每个城市都被访问一次。
哈密顿图可以解决这个问题，通过寻找一条哈密顿路径来确定最短的路径。
2. 欧拉图的应用：欧拉图在电路设计和网络规划中发挥着重要的作用。
在电路设计中，欧拉图可以帮助我们确定如何安排电线的布线以最大程度地减少电线的长度和复杂度。
在网络规划中，欧拉图可以用于确定如何正确地连接不同的网络节点以实现高效的信息传输。
四、结论哈密顿图和欧拉图是图论中的两个重要概念。
哈密顿图是一种包含了图中所有顶点的路径的图，而欧拉图是一种可以通过图中每条边恰好一次的路径来穿越图的图。
欧拉图及哈密顿
哈密顿路径是指一条遍历图的所有顶 点的路径，这条路径的起点和终点是 同一点，但路径上的边可以重复。
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两 个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能 形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因 为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边 只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉 图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一 次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出 发，沿着一条路径，可以回到起始点 的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断， 也不能重复经过同一条边。此外，欧 拉回路必须是闭合的，起始点和终点 必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一 条路径，该路径经过了图中的每一条 边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计 算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划 中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两 个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能 形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因 为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边 只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉 图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一 次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出 发，沿着一条路径，可以回到起始点 的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断， 也不能重复经过同一条边。此外，欧 拉回路必须是闭合的，起始点和终点 必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一 条路径，该路径经过了图中的每一条 边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计 算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划 中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。
《离散数学》 第八章 欧拉图与哈密尔顿图
8.1 欧拉图
8.1.4 欧拉图的应用 欧拉图的应用，计算机旋转鼓轮的设计原理。
将旋转鼓轮的表面分成2n段，例如，将 图8.1-5所示的旋转鼓轮的表面分成 24=16段，每段由绝缘体或导电体组成， 绝缘体将给出信号0，导电体将给出信 号1。鼓轮的表面还有4个触点0，根据 鼓轮的一个确定位置，就可读出一个4 位二进序列。
（3）具有欧拉回路的图，称为欧拉图；
（4）具有欧拉通路但无欧拉回路的图，称为半欧拉图。
8.1 欧拉图
8.1.1 欧拉图的定义
在图8.1-1中，（a）存在欧拉通路，但不存在欧拉回路，因 而它不是欧拉图。(而a ) （b）中存在欧拉回路，所以（b( b）) 是 欧拉图。
v1
v1
v4
v2
v4
v3 (a)
图8.2-1
8.2 哈密尔顿图
8.2.1 哈密尔顿图
定义8.2.1（1）经过图中所有顶点一次且仅一次的通 路，称为哈密尔顿通路；
v2
v3
(b)
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
定理8.1.1 无向图是欧拉图，当且仅当是连通的，且中所有
顶点的度数都是偶( 数a ) 。
(b)
推论 无向连通图中存在欧拉回路，当且仅当中所有顶点 的度数都是偶数。
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
定理8.1.2 无向图是半欧拉图，当且仅当是连通的，且只
1 10 1
在图8.1-5中，按当时确定的位置，读出的数为1101，鼓 轮按顺时针方向旋转一格，下一个读数为1010。
8.1 欧拉图
8.1.4 欧拉图的应用
欧拉图的应用，计算机旋转鼓轮的设计原理。
我们要设计成这样的旋转鼓轮表面，当 鼓轮旋转一周后，能够读出0000～1111 的16个不同的二进制数。
离散数学中的欧拉图与哈密顿图
欧拉图和哈密顿图是离散数学中的两个重要的图论概念。
它们分别研究了图中的路径问题，对于解决一些实际问题具有很大的应用价值。
欧拉图是指一个无向图中存在一条路径，经过图中的每条边一次且仅一次，这条路径称为欧拉路径。
如果这个路径的起点和终点重合，则称为欧拉回路。
而对于有向图，存在一条路径，使得经过每一个有向边恰好一次，称为欧拉有向路径，如果该路径起点和终点相同，则称为欧拉有向回路。
1722年，瑞士数学家欧拉首次提出了这个概念，并证明了一系列欧拉图的性质。
欧拉图的性质是其路径的存在性。
既然有了这个概念，那如何判断一个图是不是欧拉图就是一个非常重要的问题。
根据欧拉图的定义，我们可以发现，图中的每个节点的度数都应该是偶数，否则该节点无法成为路径中的中间节点。
因此，一个图是欧拉图的充分必要条件是该图中每个节点的度数都是偶数。
哈密顿图是指一个图中存在一条路径，经过图中的每个顶点一次且仅一次，这条路径称为哈密顿路径。
如果这个路径的起点和终点重合，则称为哈密顿回路。
哈密顿图的概念由19世纪初英国数学家哈密顿引入，其研究对象是关于骑士巡游问题。
与欧拉图不同的是，哈密顿路径并没有一个十分明显的判定条件。
唯一已知的是某些图是哈密顿图，比如完全图和圈图。
至于一般的图是否存在哈密顿路径，目前尚无通用的判定方法。
这也是全世界许多数学家所面临的一个著名且具有挑战性的开放问题，被命名为“哈密顿路径问题”。
欧拉图和哈密顿图在实际问题中具有广泛的应用。
欧拉图的应用包括电子电路和网络的设计，路线规划等。
而哈密顿图的应用更多地涉及路径的优化问题，比如旅行商问题。
在实际应用中，我们常常需要通过对欧拉图和哈密顿图的研究，来寻找最优解或者设计最佳路径。
总的来说，离散数学中的欧拉图和哈密顿图是两个重要的图论概念，它们研究的是图中的路径问题。
欧拉图的判定条件相对明确，而哈密顿图的判定则是一个尚未完全解答的开放问题。
这两个概念在实际中具有广泛的应用，对于解决一些路径优化问题具有重要的参考价值。
欧拉图与哈密顿图
欧拉图与哈密顿图
图的周游
图的周游 周游是一种按某种方式系统地访问图中的所有结点的过程，它使每个结点都被且只 周游 被访问一次。图的周游也称图的遍历 遍历。 遍历
图的遍历：从某个结点出发，访问图的每个结点恰好一次。 图的遍历：从某个结点出发，访问图的每个结点恰好一次。
深度优先周游
先访问图中某个（未访问过的）结点V，然后选择 一个V邻接到的未被访问过的结点W，再访问W， 并按同样方法前进； 当遇到一个所有邻接于它的结点都被访问过了的结 点时，退回到已访问结点序列中最后—个拥有相邻 结点未被访问过的结点，访问它的一个未被访问过 的相邻结点U，再从U出发按同样方法前进。 当所有已被访问过的结点的相邻结点都被访问时， 如果图中还有未被访问的顶点，则从另一未被访问 过的顶点出发重复上述过程，直到图中所有顶点都 被访问过时，周游结束。
所谓哈密顿图, 起源于一种游戏, 所谓哈密顿图 , 起源于一种游戏 , 是英国数学家哈密顿 年提出, 游戏叫周游世界游戏, (Hamilton)于1859年提出 这种游戏叫周游世界游戏,用 于 年提出 这种游戏叫周游世界游戏 一个正十二面体的20个顶点代表20个大城市,(如左下图) 20个顶点代表20个大城市,(如左下图 一个正十二面体的20个顶点代表20个大城市,(如左下图 ) 这个正十二面体同构于一个平面图( 如右下图), ),要求沿 这个正十二面体同构于一个平面图 ( 如右下图 ), 要求沿 着正十二面体的棱寻找一条旅行路线， 着正十二面体的棱寻找一条旅行路线，通过每个城市恰 好一次又回到出发城市。这便是Hamilton回路问题。 回路问题。 好一次又回到出发城市。这便是 回路问题
对图进行深度优先周游时，按访问顶点 的先后次序所得到的顶点序列，称为该 图的深度优先搜索序列 深度优先搜索序列，简称DFS序列 深度优先搜索序列 序列
图的周游
图的周游 周游是一种按某种方式系统地访问图中的所有结点的过程，它使每个结点都被且只 周游 被访问一次。图的周游也称图的遍历 遍历。 遍历
图的遍历：从某个结点出发，访问图的每个结点恰好一次。 图的遍历：从某个结点出发，访问图的每个结点恰好一次。
深度优先周游
先访问图中某个（未访问过的）结点V，然后选择 一个V邻接到的未被访问过的结点W，再访问W， 并按同样方法前进； 当遇到一个所有邻接于它的结点都被访问过了的结 点时，退回到已访问结点序列中最后—个拥有相邻 结点未被访问过的结点，访问它的一个未被访问过 的相邻结点U，再从U出发按同样方法前进。 当所有已被访问过的结点的相邻结点都被访问时， 如果图中还有未被访问的顶点，则从另一未被访问 过的顶点出发重复上述过程，直到图中所有顶点都 被访问过时，周游结束。
所谓哈密顿图, 起源于一种游戏, 所谓哈密顿图 , 起源于一种游戏 , 是英国数学家哈密顿 年提出, 游戏叫周游世界游戏, (Hamilton)于1859年提出 这种游戏叫周游世界游戏,用 于 年提出 这种游戏叫周游世界游戏 一个正十二面体的20个顶点代表20个大城市,(如左下图) 20个顶点代表20个大城市,(如左下图 一个正十二面体的20个顶点代表20个大城市,(如左下图 ) 这个正十二面体同构于一个平面图( 如右下图), ),要求沿 这个正十二面体同构于一个平面图 ( 如右下图 ), 要求沿 着正十二面体的棱寻找一条旅行路线， 着正十二面体的棱寻找一条旅行路线，通过每个城市恰 好一次又回到出发城市。这便是Hamilton回路问题。 回路问题。 好一次又回到出发城市。这便是 回路问题
对图进行深度优先周游时，按访问顶点 的先后次序所得到的顶点序列，称为该 图的深度优先搜索序列 深度优先搜索序列，简称DFS序列 深度优先搜索序列 序列
二部图欧拉图哈密尔顿图平面图教学课件_OK
边;
(2)V2中每个顶点至多关联t条边, 则G中存在V1到V2的完备匹配.
2021/8/29
14
Hall定理中的条件称为“相异性条件”, 定理8.3中的条件称为“t条件”,满足t条 件的二部图,一定满足相异性条件.
事实上,由条件(1)可知,V1中k个顶点至少 关联kt条边.由条件(2)可知,这kt条边至少 关联V2中的k个顶点,于是若G满足t条件, 则G一定满足相异性条件,但反之不真.
第八章 一些特殊的图
8.1 二部图 8.2 欧拉图 8.3 哈密尔顿图 8.4 平面图
1
定义
二部图
若能将无向图G=<V,E>的顶点集V划分成
两个子集V1和V2(V1∩V2=),使得G中任何 一条边的两个端点一个属于V1,另一个属于 V2,则称G为二部图(也称为偶图).V1,V2称为 互补顶点子集,此时可将G记成G=<
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12
Hall定理
➢ 设二部图G=<V1,V2,E>,V1≤V2,G中 存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1 中任意k个顶点(k=1,2,… V1)至少邻接 V2中的k个顶点.
2021/8/29
13
设二部图G=<V1,V2,E>,如果 (1)V1中每个顶点至少关联t(t＞0)条
➢ 问在以上3种情况下能否各选出3名不
兼职的组长？
2021/8/29
16
解: 设v1,v2,v3,v4,v5分别表示张、王、李、赵、 陈.u1,u2,u3分别表示物理组、化学组、生 物组.在3种情况下作二部图分别记为
G1,G2,G3,如图8.5所示.
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图8.5
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(2)V2中每个顶点至多关联t条边, 则G中存在V1到V2的完备匹配.
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Hall定理中的条件称为“相异性条件”, 定理8.3中的条件称为“t条件”,满足t条 件的二部图,一定满足相异性条件.
事实上,由条件(1)可知,V1中k个顶点至少 关联kt条边.由条件(2)可知,这kt条边至少 关联V2中的k个顶点,于是若G满足t条件, 则G一定满足相异性条件,但反之不真.
第八章 一些特殊的图
8.1 二部图 8.2 欧拉图 8.3 哈密尔顿图 8.4 平面图
1
定义
二部图
若能将无向图G=<V,E>的顶点集V划分成
两个子集V1和V2(V1∩V2=),使得G中任何 一条边的两个端点一个属于V1,另一个属于 V2,则称G为二部图(也称为偶图).V1,V2称为 互补顶点子集,此时可将G记成G=<
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Hall定理
➢ 设二部图G=<V1,V2,E>,V1≤V2,G中 存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1 中任意k个顶点(k=1,2,… V1)至少邻接 V2中的k个顶点.
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设二部图G=<V1,V2,E>,如果 (1)V1中每个顶点至少关联t(t＞0)条
➢ 问在以上3种情况下能否各选出3名不
兼职的组长？
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解: 设v1,v2,v3,v4,v5分别表示张、王、李、赵、 陈.u1,u2,u3分别表示物理组、化学组、生 物组.在3种情况下作二部图分别记为
G1,G2,G3,如图8.5所示.
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图8.5
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Fleury算法(递归形式)
算法: (1) if d(v)>1 then e:=v关联的任意非割边 (2) else e:=v关联的唯一边 (3) u:=e的另一个端点. (4) 递归地求G-e的从u到v的欧拉通路 (5) 把e接续在递归地求出的通路上
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举例:判断是否哈密顿图
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举例(续)
p(G-V1)=6
|V1|=5
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无向半哈密顿图的充分条件
定理8.7:
设G是n(2)阶无向简单图, 若对G中任意不相邻顶点u与v有 d(u)+d(v)n-1 则G是半哈密顿图.
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24
逐步插入回路算法
(0) i:=0, v*:=v,v:=v1,P0=v1, G0=G. (1) e:=在Gi中与v关联的任意边(v,v’), Pi+1:=“Pi”ev’. (2) if v’v* then i:=i+1, v=v’, goto (1). (3) if E(Pi+1)=E(G) then 结束 else Gi+1:=G-E(Pi+1), e:=Gi+1中与Pi+1上vk关联的任意边, Pi+1:= vk…vk. v*:=vk,v:=vk, i:=i+1, goto (1).
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逐步插入回路算法(举例)
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26
应用(轮盘设计)
000,001,010,011,100,101,110,111
1 0 1
b a
a 1
1
1
0 1
c
c
0
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应用(轮盘设计)
D=<V,E>, V={00,01,10,11}, E={ abc=<ab,bc> | a,b,c{0,1} }
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无向哈密顿图的必要条件
定理8.6:
设G=<V,E>是无向哈密 顿图,则对V的任意非空真子集V1有 p(G-V1)|V1|
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33
定理8.6 证明
证明: 设C是G中任意哈密顿回路, 当V1 中顶点在C中都不相邻时, p(C-V1)=|V1|最大; 否则, p(C-V1)<|V1|. 因为C是G的生成子图, 所以p(G-V1)p(C-V1)|V1|. #
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5
欧拉回路(Euler tour/circuit)
欧拉回路(Euler tour/circuit): 经过图 中所有边一次,且仅一次行遍所有顶点的 回路 欧拉回路是经过所有边的简单生成回路
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6
欧拉图(Eulerian): 有欧拉回路的图 半欧拉图(semi-Eulerian): 有欧拉通路但 无欧拉回路的图
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39
定理8.7 证明
证明思路: (1) G连通 (2) 由极大路径得圈 (3) 由圈得更长路径
路径--极大路径--圈--更长路径 ---更长极大路径--更长圈--更长路径--……--哈密顿通路
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40
定理8.7 (证明(1))
人类有史以来最多产的数学家. 1736年,“七桥问题”,图论和拓扑学诞生
c A a
C d eg b f B D
3
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一笔画
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4
欧拉通路(Euler trail)
欧拉通路: 经过图中所有边一次,且仅一 次行遍所有顶点的通路 欧拉通路是经过所有边的简单通路并且 是生成通路(经过所有顶点)
41
定理7(证明(2))
证明: (2) 由极大路径得圈: 设极大路径 =v1…vl, ln. (2a) l=n,则为哈密顿通路; (2b)l<n,若v1和vl相邻,则为圈;若v1和vl不相邻,设v1与 vi1=v2, vi2,…, vik相邻,则k≥2. 因为k=1,则d(v1)+d(vl)=1+l-2=l-1<n-1 矛盾！ vl必与vi2,…, vik相邻顶点vi2-1,…, vik-1之一相邻,否则 d(v1)+d(vl)=k+l-2-(k-1)=l-1 <n-1 矛盾！ 设vl与vir-1相邻,删除边(vir-1 ,vir),得圈.
规定：平凡图为欧拉图
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7
无向欧拉图的充分必要条件
定是欧拉图 (2) G中所有顶点都是偶数度 (3) G是若干个边不交的圈的并
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8
定理8.1
(1)(2)
(1) G是欧拉图 (2) G中所有顶点都是偶数度 证明: 若G是平凡图,结论成立;G是非平凡图,因 为G是欧拉图，所以存在欧拉回路,设C为G中一 条欧拉回路, C=vi0e1 vi1e2 vi2…em-1vim-1emvi0 任意v,在C中出现一次就获2度,若总共k次经过顶 点v,则d(v)=2k.
29
Willam Rowan Hamilton
Willam Rowan Hamilton(1805~1865):
爱尔兰神童(child prodigy) 三一学院(Trinity College) 1827年敦辛克天文台的皇家天文研究员和三 一学院的天文学教授
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证明: (1) 如果G不连通,则至少有两个连通分支G1,G2, 顶点数分别为n1,n2,设uV(G1), vV(G2),因为G是简 单图,则 dG(u)+ dG(v)= dG1(u)+ dG2(v) ≤n1-1+n2-1 ≤ n-2 与已知矛盾！ 所以G连通。
n-2
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10
定理8.1 (3)(1)
(3) G是若干个边不交的圈的并 (1) G是欧拉图 证明: (3)(1): 有公共点但边不交的简单回路, 总可以拼接成欧拉回路: 在交点处,走完第1个 回路后再走第2个回路. # 用归纳法严格证明
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11
例
A
d eg b f
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34
无向半哈密顿图的必要条件
推论: 设G=<V,E>是无向半哈密顿图,则对V的 任意非空真子集V1有 p(G-V1)|V1|+1 证明: 设P是G中任意哈密顿通路, 当V1中顶点 都在P内部且都不相邻时, p(P-V1)= |V1|+1 最大; 否则, p(P-V1)|V1|. P是G的生成子图, 所以p(G-V1)p(P-V1)|V1|+1. #
19
Fleury算法(举例)
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20
Fleury算法(迭代形式)
算法: (1) P0:=v0; (2) 设Pi=v0e1v1e2…eivi已经行遍,设Gi=G{e1,e2 ,… ,ei}, ei+1:= Gi中满足如下2条件的边: (a) ei+1与vi关联 (b) 除非别无选择,否则ei+1不是Gi中的桥 (3) 若GiNi, 则回到(2); 否则算法停止
30
Willam Rowan Hamilton
Willam Rowan Hamilton(1805~1865):
光学 力学 四元数(quaternion): a+bi+cj+dk, 放弃 乘法交换律!
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31
哈密顿图(Hamilton)
哈密顿通路(Hamilton path): 经过图中所 有顶点一次且仅一次的通路(初级通路) 哈密顿回路(Hamilton circuit/cycle): 经 过图中所有顶点的初级回路 哈密顿图(Hamiltonian):有哈密顿回路的 图 半哈密顿图(semi-Hamiltonian):有哈密顿 通路的图
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有向半欧拉图的充分必要条件
定理8.4: 设G是无向连通图,则 (1) G是半欧拉图 (2) G中恰有2个奇度顶点, 其中1个入度比出 度大1,另1个出度比入度大1, 其余顶点入度等 于出度. #
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17
例
求欧拉通/回路？
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*Fleury算法(正确性证明)
定理8.5: 设G是无向欧拉图,则Fleury算法终止时得到 的简单通路是欧拉回路 证明: (1) Pm是回路. (2) Pm经过G中所有边
#
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23
逐步插入回路算法
对无向欧拉图G,每次求出一个简单回路C G-E(C)各连通分支均为欧拉图 对各连通分支求欧拉回路,并把这些回路逐步 插入C中 得到G的欧拉回路
12
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无向半欧拉图的充分必要条件