运筹学习题课
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
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习题课1(1) 假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡路里热量，55克蛋白质和800毫克钙。
如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含热量和营养成份以及市场价格如下表所示。
问如何选择才能满足营养的前提下使购买食品解:设x j (j=1,2,3,4)为第j 种食品每天的购买量，则配餐问题数学模型为 minz=10x 16x 23x 32x 4⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=≥≥+++≥+++≥+++)4,3,2,1(08005003002004005510206050300020090080010000.432143214321j x x x x x x x x x x x x x tx j(2) 将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x1 , x2 , x3 ≥ 0解：首先,将目标函数转换成极大化： 令 z = -f = -3.6x1+5.2x2-1.8x3其次考虑约束，有2个不等式约束，引进松弛变量x4，x5 ≥0。
于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问题： Max z = - 3.6 x1 + 5.2 x2 - 1.8 x3 s.t. 2.3x1+5.2x2-6.1x3+x4= 15.7 4.1x1+3.3x3-x5= 8.9 x1+x2+x3= 38x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥ 0(3)用图解法求解下列线性规划问题本例中目标函数与凸多边形的切点是B (2,5)，则X *=(2,5)为最优解，m a x Z =20(4) 找出下列线性规划问题的全部基解，基可行解，并找出最优解基本解：X 1=(0,1,4,12,18)’ X 2=(4,0,0,12,6)’ X 3=(6,0,-2,12,0)’ X 4 =(4,3,0,6,0)’ X 5=(0,6,4,0,6)’ X 6=(2,6,2,0,0)’ X 7=((4,6,0,0,-6)’ X 8=(0,9,4,-6,0)’ 其中基本可行解为： X 1， X 2， X 4， X 5 ，X 6 最优解为X *＝X 6 =(2,6,2,0,0)’ Z *=36⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤+≤++=04155162325max 211212121x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤++=018236453max 21212121x x x x x x x x z习题课2(1) 用单纯形表求解LP问题Max z = 1500 x1 + 2500 x2s.t. 3 x1 + 2 x2 + x3 = 652 x1 + x2 + x4 = 403 x2 + x5 = 75x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0最优解x1 = 5 x2 = 25 x4 = 5（松弛标量，表示B设备有5个机时的剩余）最优值z* = 70000(2)用单纯形法解线性规划问题(唯一解)解：化为标准型列出单纯形表Z*=17/2, X*=(7/2,3/2, 15/2,0,0)’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++=+++++=-0524261550002max 515214213254321x x x x x x x x x x x x x x z习题课3(1) 用单纯形法求解线性规划问题化成标准形式有加入人工变量则为列出单纯形表 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥=+≥-+-≤+++-=000931243max 3213232132131x x x x x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+=--+-=++++++-=-093124003max 5132532143215431x x x x x x x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+--+-=+++--+++-=-093124003max 71732653214321765431x x x x x x x x x x x x x Mx Mx x x x x z人工变量已不在基变量中，X*=(0,5/2,3/2,0,0,0,0)’ Z*=3/2注意：(1)在L P 问题的最优解中，人工变量都处在非基变量位置(即取0值)，则原问题有最优解，且去掉人工变量后的解为原问题的最优解。
解答 运筹学 第一章 线性规划及其单纯形法习题
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1
检验数j 0 -2 -3 -1 0 0 -M -M
Cj CB XB
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1
A
1 2
2 2
3 1
4 2
p1 p2 p3 p4
序号 向量组
A
1 2
2 2
3 1
4 2
是否线性无关 是否为基
1
p1 p2
√
√
2
p1 p3
√
√
3
p1 p4
√
√
4
p2 p3
√
√
5
p2 p4
√
√
6
p3 p4
√
√
序号 1
基 p1 p2
基解
(-4, 11/2, 0 , 0)
是否为基可行解
×
2
p1 p3
(2/5, 0, 11/5 , 0) √
10/2=5
1 -3 0 -2 0
0
1
1
-1 -2
0 1/2 0 1/2 1/2 1 -3/2 0 -1/2 1/2
0 -3/2 0 -3/2 -1/2
同理： （2）为无界解
3 用单纯形法中的大M法求解下列线性规划问题，并指出属 那一类解
min Z 2x1 3x2 x3
化为标准式有
st. 3x1x1
4x2 2x2
9 8
x1, x2 0
max Z 2x1 x2
《运筹学》课后习题答案 第3章 运输问题
一、选择题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.二、判断题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.三、表上作业法 3. 解：可知，有初始基本可行解1112132122230,10,20,10,35,0x x x x x x ======用闭回路法计算非基变量的检验数：1123(56)(84)10(98)(67)40σσ=+-+=-<=+-+=>因为110σ<，该解并不是最优解。
进行换基迭代，让11x 进基，考虑上述闭回路，调整量min(10,10)10θ==，调整后得到新的调运方案：A2 4 0645945销量10 45 20计算非基变量的检验数得：1223(84)(56)10(95)(47)30σσ=+-+=>=+-+=>故此方案为最优方案，最优解为：11121321222310,0,20,0,45,0x x x x x x ======最优值min 105207456460Z =⨯+⨯+⨯=用电子表格模型求解进行验算：4. 解：用西北角法求得初始基本可行解：1112131421222324313233344,0,0,0;1,2,4,2;0,0,0,4;x x x x x x x x x x x x ============ 用位势法计算检验数：1111212121131322214142233131324323243433333106()210167()861012()9455()12194()731010()47u u v u v v u v u v u u v u v v u v u v v u v u v v u v u v u σσσσσσ=⎧+==-+=⎧⎧⎪=⎪⎪⎪+==-+=⎪⎪⎪=⎪⎪++=-+=⎪⎪⇒=⇒⎨⎨⎨+==-+=-⎪⎪=-⎪⎪+==-+=-=⎪⎪+==-+=⎪⎪⎩=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩因为3132,σσ小于0，该解不是最优解。
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
运筹学习题课2-解答
运筹学习题课二---小组任务（解答） 要求：1、 以小组形式共同完成习题任务，每小组人数为3人，成员自定；2、 小组成员共同讨论任务解决方案，最后由一人撰写习题报告；3、 习题报告需给出完整的数学模型及求解过程；4、 习题报告中签署所有成员的班级、姓名及学号。
任务1：P152-6.4：某城市的消防总部将全市划分为11个防火区，设有4个消防（救火）站。
图6-8表示各防火区域与消防站的位置，其中①、②、③、④表示消防站，1, 2, 3, …, 11表示防火区域。
根据历史的资料证实，各消防站可在事先规定的允许时间内对所负责的地区的火灾予以消灭。
图中虚线即表示各地区由哪个消防站负责（没有虚线连接，就表示不负责）。
现在总部提出：可否减少消防站的数目，仍能同样负责各地区的防火任务？如果可以，应当关闭哪个？解答：使用0-1整数规划求解，可知规划只有两个可行解，比较后可知可以关闭第2个消防站。
任务2：P312-11.15-(2)：已知矩阵对策A =(400008060)的解为x ∗=(613,313,413)T ,y ∗=(613,413,313)T ,对策值为 2413 . 求下列矩阵对策的解，其赢得矩阵A 分别为(1)(−2−226−2−2−24−2)， (2)(322020202044203820).解答：使用矩阵对策基本定理的定理7-8进行求解，可得(1)及(2)的最优策略不变，最优对策值分别为：−213，33213. 其中矩阵(1)是在矩阵A 的基础上交换了1，3列后再减2而得，易知交换赢得矩阵的任意两行或两列不改变原矩阵对策的值，只需对局中人的最优策略的分量作相应的交换即可。
《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设 表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得： ．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为 ，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润 变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要 ，即 ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；
运筹学课后习题及答案
运筹学课后习题及答案运筹学是一门应用数学的学科，旨在通过数学模型和方法来解决实际问题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们巩固所学的知识，还可以提升我们的解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些运筹学课后习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它旨在寻找线性目标函数下的最优解。
以下是一个线性规划问题的例子：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + 3y ≤ 10x + y ≥ 5x, y ≥ 0解答：首先，我们可以画出约束条件的图形，如下所示：```y^|5 | /| /| /| /|/+-----------------10 x```通过观察图形，我们可以发现最优解点是(3, 2)，此时目标函数取得最大值为Z = 3(3) + 4(2) = 17。
2. 整数规划问题整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值必须是整数。
以下是一个整数规划问题的例子：Max Z = 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 52x + y ≤ 8x, y ≥ 0x, y为整数解答：通过计算，我们可以得到以下整数解之一：x = 2, y = 3此时，目标函数取得最大值为Z = 2(2) + 3(3) = 13。
3. 网络流问题网络流问题是运筹学中的另一个重要分支，它研究的是在网络中物体的流动问题。
以下是一个网络流问题的例子：有一个有向图，其中有三个节点S、A、B和一个汇点T。
边的容量和费用如下所示：S -> A: 容量为2，费用为1S -> B: 容量为3，费用为2A -> T: 容量为1，费用为1B -> T: 容量为2，费用为3A -> B: 容量为1，费用为1解答：通过使用最小费用最大流算法，我们可以找到从源点S到汇点T的最小费用流量。
在该例中，最小费用为5，最大流量为3。
《运筹学》精品课程习题集
《运筹学》精品课程习题集精品课程建设小组二○○六年六月三十日目录第一章线性规划 (1)第二章运输问题 (9)第三章整数规划 (14)第四章目标规划 (20)第五章动态规划 (21)第六章图与网络分析 (24)第七章存储论 (27)第八章对策论 (28)第一章 线性规划1、将下列线性规划问题化为标准型(1) max Z = 3x 1+ 5x 2- 4x 3+ 2x 4⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+≥+≤++0x , x , x 9 5x -3x -4x x -13 2x -2x 3x -x 18 3x x -6x 2x s.t.421432143214321 (2) min f = 3x1+ x2+ 4x3+ 2x4 ≤ 1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥=++≥+≤+0 x 0, x , x15 2x 3x -4x 2x 7- x -2x 2x -3x 51- 2x - x -3x 2x s.t. 4214214321 43213 (3) min F=x1+x2+x3+x4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+≥+0x ,x ,x ,x 7x x 8x x 6x x 5x x s.t.432143222141 (4) 3213min x x x F -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≥≥0x ,x ,x 4x +5x +x -22x +x -3x +x +x ..32132121321t s 2、求出下列不等式组所定义的多面体的所有基本解和基本可行解（极点）：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++0 x ,x ,x 12 4x 3x 2x -6 3x 3x 2x 321321321３、用图解法求解下列线性规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+=0x ,x 3 x 122x +3x 6 x -2x ..max )1(211212121t s X X Z⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥++-=0 x ,x 155x -3x 56 7x 4x ..3min )2(21212121t s x x Z４、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解。
运筹学习题课
运筹学习题课一、选择题1.用图解法解线性规划时，以下几种情况中不可能出现的是（ ）。
A. 可行域有界，无有限最优解 B. 可行域无界，有唯一最优解 C. 可行域是空集，无可行解 D. 可行域有界，有多重最优解2.根据线性规划的互补松弛定理，安排生产的产品机会成本一定（ ）利润. A. 小于B. 等于C. 大于D. 大于等于3.已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为（ ）。
A. 3B. 2C. 1D. 以上三种情况均有可能 4.在求解整数规划问题时，不可能出现的是（ ）。
A. 唯一最优解 B. 无可行解C. 多重最佳解D. 无穷多个最优解5.1m n +-个变量构成一组基变量的充要条件是（ ）。
A. 1m n +-个变量恰好构成一个闭回路 B. 1m n +-个变量对应的系数列向量线性相关 C. 1m n +-个变量中部分变量构成一个闭回路D.1m n +-个变量不包含任何闭回路6.线性规划具有唯一最优解是指（ ）。
A. 最优表中存在常数项为零B. 可行解集合有界C. 最优表中存在非基变量的检验数为零D. 最优表中非基变量检验数全部非零 7.有6 个产地4个销地的产销平衡运输问题模型具有特征（ ）。
A. 有10个变量24个约束 B. 有24个变量10个约束 C. 有24个变量9约束 D. 有9个基变量10个非基变量 8.下列关于网络最大流的说法中，不正确的是（ ）。
A. 可行流*f 是最大流，当且仅当网络中存在关于*f 的增广链 B. 用标号法求解最大流问题，同时可得到一个最小截集 C. 最小截集的容量的大小影响网络总的输送量的提高 D.网络的最大流需满足容量条件和平衡条件9.如果一个线性规划问题有n 个变量，m 个约束方程()m n <，系数矩阵的行数为m ，则基可行解的个数最为（ ）。
A.mB.nC.mn CD.nm C10.在一个网络中，如果图形是连通且不含圈的，则这种图形称之为（ ）。
交通分析习题课（运筹学）
习 题第二章 线性规划习题2－1 某桥梁工地需集合料3万立方米，集合料含量为：粘土含量不大于0.8％，细沙含量在5％～8％之间，粗沙含量在60％～70％之间，砾石含量在20％～30％之间，现有材料数量及单价如下表所示。
问如何配料才能使集合料的总成本费用最低？（试列出数学模型）。
2—2 将下列线性规划问题化成标准型：① 42154m ax x x x S ++=s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-+≤+++=+0,,,843104480334304432143432432121x x x x x x x x x x x x x x x② 4321343m in x x x x S --+=s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≤+-≥++=-+≤+0,0,8434040403213242132141x x x x x x x x x x x x x 2—3 用图解法求解下列线性规划问题：2152m ax x x S +=s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,8234212121x x x x x x（答案：19=*S ，()T X 3,2=*。
）2—4 用单纯形法求解下列线性规划问题 ① 321834m in x x x S ++=s.t.⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+0,,5223213231x x x x x x x（答案：15=*S ，T X ),0,5,0(=*。
） ② 432132m ax x x x x S -++=s.t. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++=++0,,,1022052153243214321321321x x x x x x x x x x x x x x （答案：15=*S ，T X )0,2/5,2/5,2/5(=*。
）第三章 特殊类型的线性规划习题3－1用表上作业法求解以下运输问题。
3－2某市区交通愿望图有三个始点和三个终点，始点发生的出行交通量a i ，终点吸引的交通量b j 及始终点之间的旅行费用如下所示。
运筹学(经管类)第2章课后习题24
内容题型 类型 知识点 难度来源线性规划 计算题 图解法 图解法1 运27p,2，2424. Kelso 运动器材公司制作两种棒球手套：普通型和捕手型。
公司的切割与印染部门有900小时的可工作时间，成型部门有300小时的可工作时间，包装和发货部门有 100小时的可工作时间。
每双手套的生产时间和利润贡献要求如下：假设公司希望实现总利润贡献最大，回答以下问题： a. 本题的线性规划模型是什么？b. 用图解法找到最优解。
此时每种手套各应该生产多少双？c. 在最优解时公司获得的总利润贡献是多少？d. 每个部门应该安排多少小时的生产时间？e. 每个部门的松弛时间是多少？a . 令 R —普通型手套的生产量； C —捕手型手套的生产量。
max 5R + 8C1R + 3/2C ≤900 切割与缝合1/2R + 1/3C ≤300b . 成 型1/8R + 1/4C ≤100 包装和发货R,C ≥ 0型 号生产时间 (小时)每双手套的利润贡献 (美元) 切割与缝合成 型 包装和发货 普通型 捕手型1 3/21/2 1/31/8 1/45 8900F600 C﹠S 最优解R=500，C=150 400 P﹠S600 800 900c. 5×500﹢8×150=＄3700d. C﹠S 切割与缝合1×500＋3/2×150=725F 成型1/2×500＋1/3×150=300P﹠S 包装和发货1/8×500＋1/4×150=100e.部门生产量使用量松弛切割与缝合900 725 175小时成型300 300 0小时包装和发货100 100 0小时。
运筹学课后习题集规范标准答案林齐宁版本北邮出版社
运筹学课后习题集规范标准答案林齐宁版本北邮出版社No .1 线性规划1、某织带⼚⽣产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加⼯⽽(1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最⼤；(2) 如果组织这次⽣产具有⼀次性的投⼊20万元，模型有什么变化？对模型的解是否有影响？解：(1)设A 的产量为x 1，B 的产量为x 2，C 的产量为x 3，D 的产量为x 4，则有线性规划模型如下：max f (x )=(168-42)x 1 +(140-28)x 2 +(1050-350)x 3+(406-140)x 4=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4s.t. ??=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i(2)如果组织这次⽣产有⼀次性的投⼊20万元，由于与产品的⽣产量⽆关，故上述模型只需要在⽬标函数中减去⼀个常数20万，因此可知对模型的解没有影响。
2、将下列线性规划化为极⼤化的标准形式解：将约束条件中的第⼀⾏的右端项变为正值，并添加松弛变量x 4，在第⼆⾏添加⼈⼯变量x 5，将第三⾏约束的绝对值号打开，变为两个不等式，分别添加松弛变量x 6, x 7，并令，则有max[-f (x )]= {-2 x 1 -3 x 2 -5()+0 x 4 -M x 5+0 x 6 +0 x 7}±≥≤+-=-+--≥-+++=不限321321321321321 ,0,13|5719|169765..532)(min x x x x x x x x x x x x t s x x x x fs.t. 0,,,,,,,1355719 13 5571916 9976 5 7654332173321633215332143321≥'''=+''+'-+-=+''-'+-=+''+'-+-=+''-'+--??x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x3、⽤单纯形法解下⾯的线性规划≥≤++-≤++-≤-+++= ,0,,4205.021********* ..352)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f 解：在约束⾏1,2,3分别添加x 4, x 5, x 6松弛变量，有初始基础可⾏解和单纯答：最优解为x1 =244.375, x2 =0, x3 =123.125, 剩余变量x6 =847.1875；最优解的⽬标函数值为858.125。
天津大学-管理科学基础-运筹学-课后习题详解
C(Q)
1 Q
(C3
1 2
C1Q
Q R
KQ)
C3 Q
1 2
C1
Q R
K
Q
Q*Q*
Q1
C(1414) 2000 1 20 1414 100 102.83
1414 2
10000
C(2000) 2000 1 16 2000 80 82.6 2000 2 10000
C(2000) C(1414)
题7.2
方案 d1 d2 d3 d4
销量
50 100 150 200
0.2 50 100 0 -100 -200 0.4 100 100 200 100 0 0.3 150 100 200 300 200 0.1 200 100 200 300 400
各方案的期望值： f(d1)=100 f(d2)=0*0.2+200*0.8=160 f(d3)= -100*0.2 +100*0.4 +300*0.3 +300*0.1 =140 f(d4)= -200*0.2 +0*0.4 +200*0.3 +400*0.1 =60 取方案d2，购买100本。
2
2
5 11 5
E
6 6
11 I
4
4
00 1
26
B
3
2
C 4
2 22
H 6 J
10
G 7
K 7
3
8
L 4
9
12 12
15 15
19 19
TE 19,
2 14
2 47
2 78
2 89
T TE 20 19 0.33
运筹学习题课
700
1000
得到本问题的数学模型为：
目标函数 min z 1000x1 800x2
约束条件
x1 1
0.8x1 x2 1.6
x1 2
x2 1.4
x1 , x2 0
培训问题
某工厂举办“技工”培训班，由受过培训合格的技 师负责培训，每名技师负责培训10名学员，培训一个月 为一期，根据以往经验，每10名学员有7名能成为合格 技工。合格技工全部留用，不合格不予留用。在今后三 个月内，厂方需要技工人数为：1月份100人，2月份150 人，3月份200人，已知年初有合格技工130人。工资支 付标准如下：正受训的学员，每人每月400，合格技工 中上班的每人每月1200，部份留用但暂时还不需要上班 的每人每月800。制订一个工资总额最小的培训方案。
生产存贮问题
一个合资食品企业面临某种食品一至四月的生产计划问题。四 个月的需求分别为4500吨、3000吨、5500吨、4000吨。目前（一月 初）该企业有100个熟练工人，正常工作时每人每月可以完成40吨， 每吨成本200元。由于市场需求浮动较大，该企业可通过以下方法 调节生产：
（1）利用加班增加生产，但加班生产每人每月不能超过10吨， 其成本为300元/吨。
（2）利用库存来调节，库存费用为60元/吨/月，最大库存能 力为1000吨。
请为该企业构造一个线性规划模型，在满足需求的前提下使四 个月总费用为最小。
假定该企业在一月初的库存为0，要求四月底库存为500吨。
生产与库存的优化安排问题
某工厂生产五种产品(i=1,…,5)，上半年各月对每种产品的 最大市场需求量为dij(i=1,…,5;j=1,…,6)。已知每件产品的单 件售价为Si元，生产每件产品所需要工时为ai，单件成本为Ci 元；该工厂上半年各月正常生产工时为rj(j=1,…,6)，各月内 允许的最大加班工时为rj′;Ci′为加班单件成本。又每月生产的 各 种 产 品 如 当 月 销 售 不 完 ， 可 以 库 存 。 库 存 费 用 为 Hi( 元 / 件·月)。假设1月初所有产品的库存为零，要求6月底各产品 库存量分别为ki件。现要求为该工厂制定一个生产计划，在 尽可能利用生产能力的条件下，获取最大利润。
《运筹学》课后习题答案 EX15_解答_排队论2
第十五次作业解答习题6：（P221）9；（9）某汽车修理部有4个修理工，每个修理工可以单独修理汽车，也可以和其他修理工合作共同修理汽车。
前来修理部寻求修理的汽车按泊松流到达，平均每天到达2辆。
当修理部内有4辆汽车时，后来的汽车将离去。
修理一辆汽车所需时间服从负指数分布，若一个修理工修理一辆汽车，则平均需3天；若两个修理工修理1辆汽车，则平均需2天；若3或4个修理工修理一辆汽车，则平均需1.5天。
试求： ①画出系统状态转移图； ②求系统状态概率； ③求系统损失率；④求系统中平均的汽车数量；⑤求每辆汽车在系统中逗留的时间。
解：依题意，因为修理工可以相互合作也可以单独工作，可以把他们看成最多有4个服务台的一个修理小组，所以该系统为M/M/4/4/∞/FCFS 损失制排队系统。
2λ=辆／天，修理部的修理速度μ是一个变化的参数，具体如下：11(1/1.5)2/3μ=⨯=；22(1/2)1μ=⨯=；32(1/3)1(1/2)7/6μ=⨯+⨯=；44(1/3)4/3μ=⨯=。
150.75210c λρμ===⨯ （1）状态转移速度图：（2）系统状态概率：011103p p p p λμ=⇒=；022112100()8/326p p p p p p p λμμλ+=+⇒=-=；133223210()(32)(7/6)72/7p p p p p p p λμμλ+=+⇒=-=；244334320()(19/62)/3)108/7p p p p p p p λμμλ+=+⇒=-=。
由41kk p==∑可得，10[13672/7108/7]7/2500.028p -=++++==；120.084;0.168;p p ==340.288;0.432p p ==。
（3）系统损失率40.432p p ==损。
（4）系统中平均的汽车数量4110.08420.16830.28840.4320.0840.3360.864 1.728 3.012s n n L np ===⨯+⨯+⨯+⨯=+++=∑。
运筹学习题课
1、靠近某河流有两个化工厂（参见附图），流经第一化工厂的河流流量为每天5003m ，在两个工厂之间有一条流量为200万3m 的支流。
第一化工厂每天排放有某种优化物质的工业污水2万3m ，第二化工厂每天排放该污水1.4万3m 。
从第一化工厂的出来的污水在流至第二化工厂的过程中，有20%可自然净化。
根据环保要求，河流中的污水含量不应大于0.2%。
这两个工厂的都需要各自处理一部分工业污水。
第一化工厂的处理成本是1000元/万3m ，第二化工厂的为800元/万3m 。
现在要问满足环保的条件下，每厂各应处理多少工业污水，才能使两个工厂的总的污水处理费用最少？解：这个问题可用数学模型来描述。
设第一化工厂和第二化工厂的污水处理量分别为每天1x 3m 和万3m ，从第一化工厂到第二化工厂之间，河流中的工业污水含量不要大于0.2%，由此可得近似关系式：1000/2500/21≤-）（x流经第二化工厂后，河流中的工业污水含量人要不大于0.2%，所以有：1000/2)200500/(]4.12%201[21≤+-+-⨯-）（）（）（x x 由于每个工厂每天处理污水的量不会大于每天的排放量，故有： 4.1,221≤≤x x这个问题的目标是要求两个工厂处理污水的总费用最小。
即：218001000x x Z +=最小，综合上述，这个环保问题可用数学模型表示为：（上式整理可得）目标函数：218001000m in x x Z +=约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+≤≤0,4.16.18.021212211x x x x x x2、将下列线性规划模型化为标准形式答案3、用图解法求解下面线性规划 min z =－3x 1+2x 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤-≤-≤+-≤+0,137210422422121212121x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++-++=无约束3213213213213210063244239232min x x x x x x x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-++=--++=+-+++--=-06''3'32'44''22'39''''2''3'32''max 51332153321433213321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z可行解域为abcda ，最优解为b 点。
运筹学课后习题答案公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
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表3-26
销地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
0
A2
A3
5
销量
5
15
15
15
10
25
5
15
15
10
解：表3-26产地个数m=3，销地个数n=4，m+n-1=3+4-1=6 个，而表3-26中非零个数分量为5个≠6个，因此表3-26不可 作为表上作业法时基可行解。
②
A2 A3 销量
1 32 55
08
④
3
7 15 3 1 4
⑦
6
5
6
3
20
①
③
⑤
⑥
从上表计算知：x11=6，x12=2，x22=3，x23=5，x33=1， x34=3。总费用=6×4＋2×1＋3×2＋5×5＋1×5＋ 3×1=65
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② 用沃格尔法求解下列：
产地
销地
A1
B1 B2 4 51
B2
B3
B4
产量
产地
A1
3
7
6
4
5
A2
2
4
3
2
2
A3
4
3
8
5
6
销量
3
3
2
2
解：（2）表3-29用三种办法计算，用位势法检查。由 于总产量=13，总销量=10，因此该题总产量＞总销量 ，因此该题是产销不平衡问题，故假设一销地B5 ①用最小元素法计算下列表所表示
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运筹学习题课一、选择题1.用图解法解线性规划时，以下几种情况中不可能出现的是（ ）。
A. 可行域有界，无有限最优解 B. 可行域无界，有唯一最优解 C. 可行域是空集，无可行解 D. 可行域有界，有多重最优解2.根据线性规划的互补松弛定理，安排生产的产品机会成本一定（ ）利润. A. 小于B. 等于C. 大于D. 大于等于3.已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为（ ）。
A. 3B. 2C. 1D. 以上三种情况均有可能4.在求解整数规划问题时，不可能出现的是（ ）。
A. 唯一最优解 B. 无可行解C. 多重最佳解D. 无穷多个最优解5.1m n +-个变量构成一组基变量的充要条件是（ ）。
A. 1m n +-个变量恰好构成一个闭回路 B. 1m n +-个变量对应的系数列向量线性相关 C. 1m n +-个变量中部分变量构成一个闭回路D.1m n +-个变量不包含任何闭回路6.线性规划具有唯一最优解是指（ ）。
A. 最优表中存在常数项为零 B. 可行解集合有界C. 最优表中存在非基变量的检验数为零D.最优表中非基变量检验数全部非零7.有6 个产地4个销地的产销平衡运输问题模型具有特征（ ）。
A. 有10个变量24个约束 B. 有24个变量10个约束 C. 有24个变量9约束 D. 有9个基变量10个非基变量 8.下列关于网络最大流的说法中，不正确的是（ ）。
A. 可行流*f 是最大流，当且仅当网络中存在关于*f 的增广链 B. 用标号法求解最大流问题，同时可得到一个最小截集 C. 最小截集的容量的大小影响网络总的输送量的提高 D.网络的最大流需满足容量条件和平衡条件9.如果一个线性规划问题有n 个变量，m 个约束方程()m n <，系数矩阵的行数为m ，则基可行解的个数最为（ ）。
A.mB.nC.mn CD.nm C10.在一个网络中，如果图形是连通且不含圈的，则这种图形称之为（ ）。
A. 点 B. 线 C. 树 D. 最小支撑树11.用表上作业法求解3个产地4个销地的运输问题，若某步求得空格32A B 的检验数为-2，下列说法中正确的是（ ）。
A. 增加空格32A B 处的运输量将使总成本降低B. 当前方案是最优运输方案C. 由3A 至2B 的运输量增加1个单位，可使总运费增加2D. 为使总运费更小，应使3A 至2B 的运输量减少212.若某线性规划问题存在基可行解，则该问题（ ）。
A. 一定有最优解B. 具有无界解C. 有非空的可行域D. 可能无可行解13.若μ是关于可行流f 的一条增广链，则在μ上有（ ）。
A. 对一切(,)i j v v μ+∈，有ij ij f c ≤B. 对一切(,)i j v v μ+∈，有ij ij f c > C. 对一切(,)i j v v μ-∈，有ij ij f c ≥D.对一切(,)i j v v μ-∈，有0ij f >14.设线性规划的约束条件为123124143224,,0x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩，则基本可行解为 （ ）。
A. (0, 0, 4, 3)B. (2, 0, 1, 0)C. (3, 4, 0, 0)D. (3, 0, 4, 0) 15.关于动态规划问题的下列命题中错误的是（ ）。
A. 动态规划分阶段顺序不同，则结果不同B. 状态对决策有影响C. 动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所做决策的相对独立性D. 动态规划的求解过程都可以用列表形式实现16.关于标准的M/M/1排队模型，下列说法错误的是（ ）。
A. 顾客源是有限的，且到达过程是平稳的B. 各顾客的服务时间相互独立，且服从相同的负指数分布C. 到达时间间隔和服务时间是相互独立的D. 单个队列，先到先服务，且对队长没有限制 17.下列说法不正确的是（ ）。
A. 顾客相继到达的时间间隔独立同负指数分布等价于输入过程为泊松流B. 标准的M/M/1模型中，顾客在系统中的逗留时间服从负指数分布C. 在M/M/1/N/∞模型中，当排队等待的顾客数为N-1时，再来的顾客将被拒绝进入系统D. 单服务台的排队模型中，排队长的期望值与队长的期望值相差1 18.在排队系统中，系统的状态概率P i 是指（ ）A ．系统中有i 个顾客在等待服务B ．系统可容纳的最大顾客数为iC ．系统中有i 个顾客的可能性D ．系统中有i 个顾客 19.在库存决策问题中，所谓存储策略是指（ ）A ．决定补充的间隔时间B ．决定需求和补充的数量C ．决定补充的最小费用D ．决定补充的间隔时间和每次补充的数量20.假设顾客的到达形成强度为λ的泊松流，则对于充分小的t ∆，下列哪项说法是不正确的？（ ）A ．在[),t t t +∆最多只能有1个顾客到达B ．在[),t t t +∆有2个以上顾客到达的概率为()o t ∆C ．在[),t t t +∆有2个顾客到达的概率为1()t o t λ-∆+∆D ．在[),t t t +∆恰有1个顾客到达的概率为()t o t λ∆+∆21.下列关于标准M/M/1排队模型中ρ的描述，那一项是不正确的？（ ） A ．它能刻画系统的繁忙程度 B ．为保证排队长度有限，需满足1ρ≥ C ．它是平均到达率和平均服务率之比 D ．它表示系统的服务强度22.线性规划问题12121212min 34,4,22,0Z x x x x x x x x =++≥+≤≥、的解的情况为（ ）。
A. 无可行解B. 有唯一最优解C. 有多重最优解D. 有无界解23.关于线性规划模型的可行域，下面_B_的叙述正确（ ）。
A. 可行域必有无穷多个点B. 可行域必有界C. 可行域必然包括原点D. 可行域必是凸的24.表上作业法的基本思想和步骤与单纯形法类似，因而初始调运方案的给出就相当于找到一个（ ）。
A. 基B. 可行解C. 初始基本可行解D. 最优解 25.关于最小支撑树，以下叙述正确的是（ ）。
A. 最小支撑树是一个网络中连通所有点而边数最少的图 B. 最小支撑树是一个网络中连通所有的点，而权数最少的图 C. 一个网络中的最大权边必不包含在其最小支撑树 D. 一个网络的最小支撑树一般是不唯一的二、判断题1.对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。
2.一个图G 是树的充分必要条件是该图为边数最少的无孤立点的图。
（ ）3.对于对偶单纯形法，其初始解必须是可行的。
（ ）4.设图G=(V ,E)是一个树，p(G)≥２，则Ｇ中至少有两个悬挂点。
（ ）5.用图解法解线性规划问题，若在两个顶点同时得到最优解，则它们的连线上任意点都是最优解。
（ ）6.在树中不相邻的两个点间添上一条边，则恰好得到一个圈。
（ ）7.线性规划可行域无界,则具有无界解。
（ ）8.任意可行流的流量不小于最小割量。
（ ）9.网络最大流量是网络起点至终点的一条增广链上的最大流量。
（ ） 10.可行解集有界非空时,则在顶点上至少有一点达到最优值。
（ ）11.按最小元素法求得运输问题的初始方案, 从任一非基格出发都存在唯一一个闭回路。
12.运输问题中用位势法求得的检验数不唯一。
（ ）13.假如一个线性规划问题含有6个变量和4个约束,则用动态规划方法求解时将划分为4个阶段,每个阶段的状态将由一个6维的向量组成。
( )14.动态规划中,定义状态时应保证在各个阶段中所做决策的相互独立性。
( ) 15.在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器与由3名工人联合看管15台机器相比，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
( )16.订货费用包括订购费用和货物的成本费用。
前者与订货数量有关，而与订货次数无关。
( )17.对同一个动态规划问题,应用顺推解法和逆推解法一定会得到相同的最优解。
( )18.在单时期的随机存贮模型中,计算时都不包括订货费用这一项。
原因是该项费用通常很小可忽略不计。
( )19.报童问题中损失最小的期望值和赢利最大的期望值是不同的，所以两者确定的Q 值也不相同。
( )20.相继到达的间隔时间是独立且相同的负指数分布，与输入过程为泊松流是等价的。
( )三、填空题1.用表上作业法求解m 个产地n 个销地的平衡运输问题，其方案表上数字格的个数为 个；若已计算出某空格的检验数为-3，若从该空格出发进行调整，设调整量为2，则调整后可使总运费下降 。
2.设线性规划问题max :{,0}cx Ax b x ≤≥有最优解，且最优解值0z >；如果c 和b 分别被1v >所乘，则改变后的问题（也有、不一定有）最优解；若有最优解，其最优解 (大于、小于、等于)z 。
3.设有线性规划问题[]{}min ,|,0f CX X R X AX b X =∈==≥，有一可行基B （为A 中的前m 列），记相应基变量为X π，价格系数为C B ，相应于非基变量为X N ，价格系数为C N ，则相应于B 的基本可行解为X= ；B 为最优基的条件是 。
4.线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___ 个非基变量的检验数为___ ___。
5.线性规划问题中，如果在约束条件中出现等式约束，通常用增加_ __的方法来产生初始可行基。
6.求最小支撑树问题，常用的方法有：避圈法和 _ __。
7.下图给出某城市部分道路的分布情况，现要沿道路铺埋输水管，为了使铺设的管线最短，要求按道路分布图的最小支撑树来设计管线，则所铺设管线的最小总长度应该是 。
8.某钻井队要从编号为1、2、3、4、5的五个井位中选择若干钻井探油，则“要么选择钻井2，要么选择钻井5” 可用i x 的线性表达式表示为 ，其中选择第i 号钻井时=1i x ，否则=0i x ，15i =⋯,,。
9.已知下表是制订生产计划问题的一LP 最优单纯形表（Max 型问题，约束条件均为“≤”型），其中345,,x x x 为松驰变量。
B Xb1x2x3x4x5x4x 3 0 0 -2 1 3 1x 4/3 1 0 -1/3 0 2/3 2x10 1 0 0 -1 j j c z --5-23则1B -= ；对偶问题的最优解*Y = 。
10.在单纯形迭代中，可以根据最终表中 变量不为零判断线性规划问题无解。
11.若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下(假设原问题的最佳基不变)，当该种资源增加3个单位时，相应的目标函数值将增加 。
12.线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A ，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为 。