函数的三种表达方法习题及答案
初中数学专题：二次函数的三种表达方式
专题：二次函数的三种表达方式一、知识要点1、一般式c bx ax y ++=2（三点式）；2、交点式))((21x x x x a y --=；3、顶点式h k x a y +-=2)(。
二、知识运用典型例题例1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过A （0，6），B （1，0），C （3，0）；（1）求a ，b ，c 的值；（2）求抛物线的对称轴、顶点坐标；（3）当x 为何值时，函数值小于零？（4）求顶点和抛物线与x 轴两交点构成的三角形的面积；例2、（08临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由;(3)若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
例3、（新疆06）二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于A 点．（1）根据图像确定a ，b ，c 的符号，并说明理由；（2）如果点A 的坐标为（0，－3），∠ABC ＝45°，∠ACB ＝60°，求这个二次函数的解析式．例4、（宁波07）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点C )3,0(，O 是原点，(1)求这条抛物线的解析式；(2)设此抛物线与x 轴的交点为A ，B （A 在B 的左边），问在y 轴上是否存在点P ，使以O ，B ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，请求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由。
三、知识运用课堂训练1、已知抛物线c bx ax y ++=2过点（0，1-），且与x 轴只有一个交点（2-，0），求其解析式；2、已知一个二次函数的图象进如图所示的三个点； （1）求抛物线的对称轴； （2）平行于x 轴的直线l 的解析式为425=y ，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，在抛物线的对称轴上找点P ，使BP 的长等于直线l 与x 轴间的距离。
函数解析式的方法和习题
求函数解析式常用的方法求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。
以下主要从这几个方面来分析。
（一）待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
例1：已知()f x是二次函数，若(0)0,f=且(1)()1f x f x x+=++试求()f x的表达式。
小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。
类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)= kx(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设一般式②顶点式③双根式练习：1、已知ƒ(x)是一次函数,且满足3ƒ(x+1)-2ƒ(x-1)=2x+17,求ƒ(x).2、 已知二次函数()f x 当2x =时有最大值16，它的图像截x 轴所得的线段长为8，求()y f x =的解析式.（二）换元法换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。
它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
例2：已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。
小结：已知f[g(x)]是关于x 的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t ，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式。
注意：换元后要确定新元t 的取值范围。
练习题：1、若2(21)2,f x x x +=-则(1)f -= ；2、已知221)1(x x x x x f ++=+，求f(x)；3、已知22(1)34f x x x+=+-，求()f x ；(三)配凑法已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。
高中试卷-3.1 函数的概念及其表示方法(含答案)
3.1 函数的概念及其表示方法1. 函数概念的理解；2. 求函数的定义域；3. 求函数值（值域）；4. 函数的三种表示方法；5. 求函数解析式；6. 分段函数的概念；7.分段函数的求值；8.函数的图象及应用；9. 分段函数与方程、不等式综合问题一、单选题1．（2021·全国高一课时练习）设()1,01,01,0x x f x x x +>ìï==íï-<î，则()()0f f 等于（ ）A ．1B ．0C ．2D ．-1【答案】C 【解析】1,0()1,01,0x x f x x x +>ìï==íï-<îQ\ (0)1f =,((0))(1)112f f f ==+=.故选: C.2．（2021·浙江南湖嘉兴一中高一月考）下列函数中，与函数y =有相同定义域的是（ ）A．()f x =B ．1()f x x=C ．()||f x x =D．()f x =【答案】A 【解析】函数y =的定义域为{}0x x >；函数()f x ={}0x x >；函数1()f x x=的定义域为{}0,x x x ¹ÎR ；函数()f x x =的定义域为R ；函数()f x =定义域为{}1x x ….所以与函数y =有相同定义域的是()f x =.故选：A.3．（2021·浙江高一期中）函数1()f x x=的定义域是( )A ．R B ．[1,)-+¥C ．(,0)(0,)-¥+¥U D ．[1,0)(0,)-+¥U 【答案】D 【解析】由题意可得：10x +³，且0x ¹，得到1x ³-，且0x ¹，故选：D4．（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x －1)＝x 2－3，则f(2)的值为( )A ．－2B ．6C ．1D ．0【答案】B 【解析】令1x t -=，则1x t =+,()()213f t t \=+-,()()213f x x \=+-()()222136f \=+-=,故选B.5．（2021·全国高一课时练习）如果1f x æöç÷èø＝1x x-，则当x≠0，1时，f(x)等于（ ）A ．1xB ．11x -C ．11x-D ．11x-【答案】B 【解析】令1x＝t ，则x ＝1t ()1t ¹，代入1f x æöç÷èø＝1x x -，则有f(t)＝111t t-＝11t -()1t ¹.即()()111f x x x =¹-.故选：B.6．（2021·全国高一课时练习）已知函数y ＝21,02,0x x x x ì+£í->î，则使函数值为5的x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2或52-C ．2-D ．2或2-或52-【答案】C 【解析】当0x £时，令5y =，得215x +=，解得2x =-；当0x >时，令5y =，得25x -=，解得52x =-，不合乎题意，舍去.综上所述，2x =-.故选：C.7．（2021·全国高一课时练习）设函数若f （a ）＝4，则实数a ＝（ ）A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2【答案】B 【解析】当0a £时，()4f a a =-=，解得4a =-；当0a >时，24()f a a ==，解得2a =±，因为0a >，所以2a =，综上，4a =-或2，故答案选B 8．（2021·全国高一）函数()f x x =+的值域是（ ）A ．1,2éö+¥÷êëøB ．1,2æù-¥çúèûC ．(0,)+¥D ．[1,)+¥【答案】A【解析】t =，且0t ³，则212t x +=，函数转化为2211(1)22t y t t +=+=+由0t ³，则12y ≥，即值域为1,2éö+¥÷êëø故选：A.9．（2021·浙江高一课时练习）下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）A ．()f x x =B ．()f x x x=-C ．()1f x x =+D ．()f x x=-【答案】C 【解析】A 中()()2222f x x x f x ===，B 中()()2222f x x x f x =-=，C 中()()2212f x x f x =+¹，D 中()()222f x x f x =-=10．（2021·浙江高一课时练习）设函数()f x 的定义域是[0,1]，则函数()(2)(01)f x a f x a a +++<<的定义域为（ ）A ．1,22a a -éù-êúëûB ．,12a a éù--êúëûC ．[,1]a a --D ．1,2a a -éù-êúëû【答案】A 【解析】由1011021220101a x ax a a a x a x a a --ì+ìï-ïï+Þ-ííïï<<î<<ïî……………………得122a a x --……故选：A 二、多选题11．（2021·广东禅城 佛山一中高一月考）下列四个图形中可能是函数y ＝f （x ）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【解析】在A ，D 中，对于定义域内每一个x 都有唯一的y 与之相对应，满足函数关系，在B ，C 中，存在一个x 有两个y 与x 对应，不满足函数对应的唯一性，故选AD.12．（2021·历下 山东师范大学附中高一学业考试）已知()221f x x +=，则下列结论正确的是（ ）A ．()34f -=B ．()2214x x f x -+=C ．()2f x x=D ．()39f =【答案】AB 【解析】由()221f x x +=，令21x t +=，可得12t x -=，可得：()222(1)2124t t t f t --+==，即：()2214x x f x -+=，故C 不正确，B 正确；可得：()2(31)344f ---==，故A 正确；()2(31)314f -==故D 不正确；故选：AB.13．（2021·江苏姑苏 苏州中学高一期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．()||f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与21()1x g x x -=-C ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >ì=í-<îD ．()f x =()g x =【答案】AC 【解析】对A, ()g x x ==,故A 正确.对B, ()1f x x =+定义域为R ,21()1x g x x -=-定义域为{}|1x x ¹,故B 错误.对C, 1,0()1,0x xf x x x >ì==í-<î,故C 正确.对D, ()f x =210x -³,解得1x £-或1x ³.()g x =定义域为1010x x +³ìí-³î即1x ³.故D 错误.故选：AC14．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22,1,12x x f x x x +£-ì=í-<<î，关于函数()f x 的结论正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(),4-¥C ．()13f =D ．若()3f x =，则x E.()1f x <的解集为()1,1-【答案】BD 【解析】由题意知函数()f x 的定义域为(),2-¥，故A 错误；当1x £-时，()f x 的取值范围是(],1-¥，当12x -<<时，()f x 的取值范围是[)0,4，因此()f x 的值域为(),4-¥，故B 正确；当1x =时，()2111f ==，故C 错误；当1x £-时，23x +=，解得1x =（舍去），当12x -<<时，23x =，解得x =或x =，故D 正确；当1x £-时，21x +<，解得1x <-，当12x -<<时，21x <，解得11x -<<，因此()1f x <的解集为()(),11,1-¥--U ；故E 错误.故选：BD.三、填空题15．（2021·全国高一课时练习）下列对应或关系式中是A 到B 的函数的序号为________.①，ÎÎA R B R ，221x y +=；②A ＝{1，2，3，4}，B ＝{0，1}，对应关系如图：③，==A R B R ，1:2®=-f x y x ；④，==A Z B Z ，:®=f x y .【答案】②【解析】①，ÎÎA R B R ，221x y +=，存在x 对应两个y 的情况，所以不是A 到B 的函数；②符合函数的定义，是A 到B 的函数；③，==A R B R ，1:2®=-f x y x ，对于集合A 中的2x =没有对应y ，所以不是A 到B 的函数；④，==A Z B Z ，:®=f x y ，对于集合A 中的{|0,}x x x z £Î没有对应y ，所以不是A 到B的函数.故答案为：②16．（2021·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）已知，若()()10f f a =，则a =______________.【答案】32【解析】0x >时，()20f x x =-<，∴由()10f x =知0x £，∴2110x +=，3x =-，而2()11f x x =+³，因此由()3f a =-知0a >，即23a -=-，32a =．故答案为：32．17．（2021·全国高一课时练习）已知()1,00,0x f x x ³ì=í<î则不等式()2xf x x +£的解集是________.【答案】{}|1x x £【解析】当0x ³时，()1f x =，代入()2xf x x +£，解得1x £，∴01x ££；当0x <时，()0f x =，代入()2xf x x +£，解得2x £，∴0x <；综上可知{}|1x x £.故答案为：{}|1x x £.四、双空题18．（2021·全国高一课时练习）已知f(x)＝11x+ (x≠－1)，g(x)＝x 2＋2，则f （2）＝________，f(g （2）)＝________.【答案】13 17【解析】因为()11f x x =+，故可得()123f =；又()22g x x =+，故可得()22226g =+=；故()()()1267f g f ==.故答案为：13；17.19．（2021·安达市第七中学高一月考）设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知函数[]()f x x x =-，则(0.5)f -=________ ；其值域为_________.【答案】0.5 [)0,1 【解析】作出函数[]()f x x x =-的图像，如图所示，由图可知(0.5)0.5(1)0.5f -=---=，其值域为[)0,1，故答案为(1). 0.5 (2). [)0,120．（2021·浙江高一期中）设函数()(2141x f x x ì<ï=í³ïî，则((0))f f =____，使得()4f a a ³的实数a 的取值范围是_____．【答案】4 1a £ 【解析】因为()(2141x f x x ì<ï=í³ïî，所以()01f =，因此((0))(1)4f f f ==；当1a <时，()4f a a ³可化为2(1)4+³a a ，即2(1)0a -³显然恒成立，所以1a <；当1a ³时，()44f a a =³，解得1a =；综上，1a £.故答案为4；1a £21．（2021·首都师范大学附属中学高一期中）已知函数22,(),x x x af x x x a ì-+£=í>î.（1）当a =1时，函数()f x 的值域是___________；（2）若函数()f x 的图像与直线y a =只有一个公共点，则实数a 的取值范围是_______________.【答案】R []0,1【解析】（1）当a =1时，22,1(),1x x x f x x x ì-+£=í>î当1x >时，()1f x x =>当1x £时，22()2(1)11f x x x x =-+=--+£所以函数()f x 的值域是(1,)(,1]R+¥-¥=U （2）因为当x a >时，()f x x a =>，所以只需函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+³，即01x ££时，所以当01a ££时，函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+<，即1x >或0x <时，所以当1a >或0a <，即2a x x >-+，从而函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =无公共点，因此实数a 的取值范围是[]0,1故答案为：(1). R (2). []0,1五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.（1）y ＝3－12x ；（2）y ＝（3）y（4）y 1x.【答案】（1）R ；（2）10,7éùêúëû；（3）()()2,11,---+¥U ；（4）()3,00,22éö-÷êëøU .【解析】（1）因为函数y ＝3－12x 为一次函数，所以该函数的定义域为全体实数R ；（2）由题意可得0170x x ³ìí-³î，解得107x ££，所以该函数的定义域为10,7éùêúëû；（3）由题意得1020x x +¹ìí+>î，解得2x >-且1x ¹-，所以该函数的定义域为()()2,11,---+¥U ；（4）由题意得230200x x x +³ìï->íï¹î，解得322x -£<且0x ¹，所以该函数的定义域为()3,00,22éö-÷êëøU .23．（2021·全国高一课时练习）已知2,11()1,11,1x x f x x x ì-££ï=>íï<-î（1）画出f(x)的图象；（2）若1()4f x =，求x 的值；（3）若1()4f x ³，求x 的取值范围.【答案】（1）作图见解析；（2）12x =±；（3）11,,22æùéö-¥-È+¥ç÷úêèûëø【解析】（1）函数2y x =的对称轴0x =，当0x =时，0y =；当1x =-时，1y =；当1x =时，1y =，则f(x)的图象如图所示.（2）1()4f x=等价于21114xx-££ìïí=ïî①或1114x>ìïí=ïî②或1114x<-ìïí=ïî③解①得12x=±，②③的解集都为Æ∴当1()4f x=时，12x=±.（3）由于1124fæö±=ç÷èø，结合此函数图象可知,使1()4f x³的x的取值范围是11,,22æùéö-¥-È+¥ç÷úêèûëø24．（2021·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）12()(0) f f x x xxæö+=¹ç÷èø.【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3）2()(0)33xf x xx=-¹【解析】（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得22 329 aa b=ìí+=î∴a＝1，b＝3∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.（2）设x＋1＝t，则x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.（3）解1 ()2f x f xxæö+=ç÷èøQ，将原式中的x与1x互换，得112()f f xx xæö+=ç÷èø.于是得关于f(x)的方程组()()12112f x f x x f f x x x ìæö+=ç÷ïïèøíæöï+=ç÷ïèøî解得2()(0)33x f x x x =-¹.25．（2021·全国高一课时练习）已知函数22,2()2,2x x f x x x £ì=í+>î（1）若0)(8f x =，求0x 的值；（2）解不等式()8f x >.【答案】（1）0x =；（2）{|>x x .【解析】（1）当02x £时，由02=8x ，得04x =，不符合题意；当02x >时，由2028+=x，得0x =0x =舍去)，故0x =（2）()8f x >等价于228x x £ìí>î ——①或2228x x >ìí+>î——②解①得x f Î，解②得>x ，综合①②知()8f x >的解集为{|>x x .26．（2021·全国高一）已知(1)f x +的定义域为(2,4)，（1）求()f x 的定义域；（2）求(2)f x 的定义域【答案】（1）（3，5）；（2）35,22æöç÷èø.【解析】（1）)1(f x +Q 的定义域为(2,4)，24x \<<，则315x <+<，即()f x 的定义域为(3,5)；（2）()f x Q 的定义域为(3,5)；\由325x <<得3522x <<，即(2)f x 的定义域为35,22æöç÷èø．27．（2021·全国高一）若函数()f x =的定义域为R ，则m 的取值范围为多少？【答案】112mm ìü>íýîþ∣.【解析】Q 函数()f x =的定义域为R ，230mx x \++¹，若0m =，则3x ¹-，不满足条件．，若0m ¹，则判别式1120m D =-<，解得112m >，即1|12m m ìü>íýîþ。
表示函数的方法练习含答案
表示函数的方法练习含答案1．已知函数f (x )由下表给出，则f (2)＝( ).A ．1B ．2C 2．y ＝f (x )的图象如图，则函数的定义域是( )．A ．[－5,6)B ．[－5,0]∪[2,6]C ．[－5,0)∪[2,6)D ．[－5,0]∪[2,6)3．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )．A ．y ＝50x (x ＞0)B ．y ＝100x (x ＞0)C ．50y x =(x ＞0) D ．100y x=(x ＞0) 4．已知()2xf x x =+，则f (f (－1))的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D ．25．某人从甲村去乙村，一开始沿公路乘车，后来沿小路步行，下图中横轴表示走的时间，纵轴表示某人与乙村的距离，则较符合该人走法的图象是( )．6．已知111f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则f (x )＝________. 7．已知函数f (x )满足f (x －1)＝x 2，那么f (2)＝__________.8．某班连续进行了5次数学测试，其中智方同学的成绩如表所示，在这个函数中，定义域是__________，值域是__________.9资的方式是：第一个月1 000元，以后每个月比上一个月多100元．设该大学生试用期的第x个月的工资为y元，则y是x的函数，分别用列表法、图象法和解析法表示该函数关系．10．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．参考答案1. 答案：C2. 答案：D3. 答案：C 解析：依题意有12(x ＋3x )y ＝100，所以xy ＝50，50y x =，且x ＞0，故y 与x 的函数关系式是50y x=(x ＞0)． 4. 答案：C 解析：∵()2x f x x =+，∴f (－1)＝112--+＝－1. ∴f (f (－1))＝f (－1)＝112--+＝－1. 5. 答案：D解析：(1)开始乘车速度较快，后来步行，速度较慢；(2)开始某人离乙地最远，以后越来越近，最后到达乙地，符合(1)的只有C ，D ，符合(2)的只有B ，D ．6. 答案：1x x + 解析：令1t x =，则1x t =，将1x t=代入111f x x⎛⎫= ⎪+⎝⎭，得()1111tf t t t==++.∴()1x f x x =+.7. 答案：9解析：令x －1＝2，则x ＝3，而32＝9，所以f (2)＝9. 8. 答案：{1, 2,3,4,5} {90,92,93,94,95} 9. 解：(1)该函数关系用列表法表示为：(2)(3)该函数关系用解析法表示为：y＝100x＋900，x∈{1,2,3，…，6}．10.解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋(a＋b)＝2x.∴22aa b=⎧⎨+=⎩，，解得a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.。
用三种方法表示二次函数习题及答案
用三种方法表示二次函数1. 函数的三种表示方法是、、 ．2. 已知点2(1)m m +，在函数22y x x =+的图像上，则m = ．3. 有三个点坐标(11)A -，-，(02)B -，，(11)C ，． （1）求经过此三个点的抛物线的函数表达式； （2）用列表法表示此抛物线； （3）由图像法表示此抛物线．4. 抛物线2y ax bx c =++与2y x =的形状相同，对称轴是直线2x =，且顶点在直线132y x =+上． 用函数表达式表示此抛物线．5. 11个人到书店去为单位买书，每人都买了若干本，其中买书最多的人买了100本书，证明这11人中必有两人，他们买的书相差不到10本．6. 有这样的算式1111111112612203042567290++++++++． 你能正确而又迅速地算出它的结果吗？7. 已知二次函数2y x bx c =++的图像过点(0)A c ，，且关于直线2x =对称，则这个二次函数的函数表达式可能是（只要写出一个可能的表达式）．8. 完成下表：9. 两个数的和为8，这两个数的面积的最大值是 ． 10. 根据表格写出y 与x 的函数关系式,并作出图像．11. 一块矩形木板长5cm ，宽4cm ，若长，宽各锯去cm x 后，剩下的木板的面积为y cm 2，则y 与x 之间的函数关系式是什么？当剩下的木板的面积为8.75cm 2时，长，宽各锯去多少？12. 已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(41)-，，与y 轴交于点(03)C ，，O 是原点，（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与x 轴的交点为A ，B （A 在B 的左边），问在y 轴上是否存在点P ，使以O ，B ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，请求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．13. 有一个二次函数的图像，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线2x =；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3． 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式：14. 已知二次函数22y ax =-的图像经过点（1，1-）．求这个二次函数的表达式，并判断该函数图像与x 轴的交点的个数．15. 已知抛物线的对称轴是1x =，它与直线12y x k =+相交于点(11)A -，，与y 轴相交于点(03)B ，，求解下列问题： （1）求k 的值；（2）求抛物线的函数表达式； （3）求抛物线的顶点坐标．16. 目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南京市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图1），在正常情况下，位于水平上的桥拱跨度为350m ，拱高为85m ．（1）在所给的直角坐标系中（如图2），假设抛物线的表达式为2y ax b =+，请你根据上述数据求出a ，b 的值，并写出抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围，a ，b 的值保留两个有效数字）．（2）七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨4m 时，位于水面上的桥拱跨度有多少大（结果保留整数）？17. 一个长方形的周长是8cm ，一边长是cm x ，则这个长方形的面积y 与边长x 的函数关系用图像表示为（ ）图1图218. 一个三角形的一边长和这边上的高的和为20cm ，则这个三角形的面积最大可达到2cm ．19. 用长为100m 的金属丝制成一个矩形框子，则该框子的最大面积是2m ．20. （1）作出下面每个图形的对角线，并完成表格：（2）如果用n 表示多边形的边数，m 表示这个多边形的对角线条数，那么m 和n 的关系如何？ 21. 二次函数图象如图所示，试写出它的代数表达式．22. 如图，正方形ABCD 的边长为8cm ，P 为BC 上一点，Q 在CD 上，AP PQ ⊥，cm BP x =，cm CQ y =．求y 与x 的函数关系式，以及线段CQ 的长最大可达到多长．(1-23. 试写出一个开口向上，对称轴为直线2x =，并且与y 轴的交点坐标是(0)，3的抛物线的函数表达式．24. 已知抛物线562+-=x x y 的部分图象如图，则抛物线的对称轴为直线x = ，满足y ＜0的x 的取值范围是 ，将抛物线562+-=x x y 向 平移 个单位，可得到抛物线962+-=x x y ．25. 已知123A A A 、、是抛物线212y x =上的三点，112233A B A B A B 、、分别垂直于x 轴，垂 足为123B B B 、、，直线22A B 交线段13A A 于点C ．（１） 如图11－1，若123A A A 、、三点的横坐标依次为1、2、3，求线段2CA 的长； （２） 如图11－2，若将抛物线212y x =改为抛物线2112y x x =-+，123A A A 、、三点 的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段2CA 的长； （３） 若将抛物线212y x =改为抛物线2y ax bx c =++，123A A A 、、三点的横坐标为 连续整数，其他条件不变，请猜想线段2CA 的长（用a b c 、、表示，并直接写出答案）．y3A 3Ayyx图11－1 图11－2 答案： 1.解析式列表法图像法2.34-3.（1）设所求抛物线的函数式为2y ax bx c =++，由121a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，，，得212a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，，2211722248y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭． （2）略．（3）略．4.抛物线的形状与2y x =相同，1a =±．又抛物线对称轴是直线2x =，顶点在132y x =+上，顶点为(24)，．∴所求抛物线为2(2)4y x =±-+，即248y x x =-+或24y x x =-+．5.因买书买得最多的人买了100本，所以每人买书不多于100本．把1到100这100个数分成如下的91组：{}1210，，，，{}2311，，，，{}3412，，，，{}4513，，，，，{}9192100，，，，因共有11人，故至少有两个人买书的本数在上面的同一个数组中，这两个人所买的书相差不到10本． 6.解：11111111111111126129012233491022334910191.10101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=7.24y x x =-或243y x x =-+等 8.0.04，0.09 9.1610.2y x =，图略11.2920y x x =-+，1.5cm 12.（1）21234y x x =-+（2）存在，点P 的坐标：（0，4），（0，4-），（0，9），（0，9-） 13.243y x x =-+，答案不唯一 14.22y x =-，与x 轴的交点有两个 15.（1）32k =-（2）2483y x x =-+（3）11(-)， 16.解：（1）桥拱高度85OC =m ，即抛物线过点C （0，85），所以85b =．又由已知得：350AB =m ，即点A 、B 的坐标分别为（175-，0），（175，0）．解得0.0028a ≈． 所求抛物线的表达式为：20.002885y x =-+（2）所以设DE 为水位上升4m 后的桥拱跨度， 即当4y =时，有240.002885x =-+．170x =±∴．D ∴、E 两点的坐标分别为（170-，0）、（170，0）．170170340ED ≈+=∴（m ）， 答：当水位上涨4m 时，位于水面上的桥拱跨度为340m 17.A 18.50 19.62520.（1）作图略；依次填：0，2，5，9，14，20． （2）2113(3)222m n n n n =-=-． 21.设2y ax bx c =++，则09304.a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，故123.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，223y x x ∴=-++． 22.90APQ ∠=，90APB CPQ ∴∠+∠=．又90BAP APB ∠+∠=，BAP CPQ ∴∠=∠． 又90B C ∠=∠=，∴△ABP ∽△PCQ ．AB BP PC CQ ∴=，即88x x y =-，222111(8)(4)2888y x x x x x =-+=--=--+．故当4x =时，y 有最大值2，即线段CQ 的长最大可达到2cm ． 23.243y x x =-+ 24.3x =， 15x << 25.解：（１）方法一：123A A A 、、三点的横坐标依次为1、2、3，222112233111191223.22222A B A B A B ∴=⨯==⨯==⨯=，，设直线13A A 的解析式为y kx b =+．12239.3.22k k b b k b ⎧==+⎧⎪⎪⎪∴⎨⎨=-⎪⎪=+⎩⎪⎩，， 解得∴直线13A A 的解析式为322y x =-．23522.22CB ∴=⨯-=2222512.22CA CB A B ∴=-=-=方法二：123A A A 、、三点的横坐标依次为1、2、3，222112233111191223.22222A B A B A B ∴=⨯==⨯==⨯=，，由已知可得11332113311195().22222A B A B CB A B A B ⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭∥，2222512.22CA CB A B ∴=-=-= （２）方法一：设123A A A 、、三点的横坐标依次为11n n n -+、、 则222112233111(1)(1)11(1)(1) 1.222A B n n A B n n A B n n =---+=-+=+-++，， 设直线13A A 的解析式为y kx b =+．221(1)(1)(1)121(1)(1)(1) 1.2n k b n n n k b n n ⎧-+=---+⎪⎪∴⎨⎪++=+-++⎪⎩，解得2113.22k n b n =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，∴直线13A A 的解析式为213(1)22y n x n =--+．2221313(1).2222CB n n n n n ∴=--+=-+22222213111.2222CA CB A B n n n n ∴=-=-+-+-=方法二：设123A A A 、、三点的横坐标依次为11n n n -+、、． 则222112233111(1)(1)11(1)(1) 1.222A B n n A B n n A B n n =⨯---+=-+=+-++，， 由已知可得1133211331()2A B A B CB A B A B =+∥， 22111(1)(1)1(1)(1)1222n n n n ⎡⎤=---+++-++⎢⎥⎣⎦213.22n n =-+ 22222213111.2222CA CB A B n n n n ⎛⎫∴=-=-+--+= ⎪⎝⎭ （３）当0a >时，2CA a =；当0a <时，2CA a =-．。
函数的表示法习题含答案
解得 或 (舍去),
或 .
(2)由题意:
【点睛】
本题考查分段函数求值以及由函数值求自变量，考查分类讨论思想以及基本求解能力.
20．（1） .（2）
【解析】
【分析】
（1） 对任意的 恒成立，等价于 对任意的 ，由此能求出实数 的最小值．
（2）推导出 ，由此能求出数 的值域．
3.配凑法：由已知条件 ，可将 改写成关于 的表达式，然后以 代替 ，便得 的解析式；
4.消去法：已知 与 之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个组成方程组，通过解方程组求出
16．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）过A、D分别作 于G， 于H，由平面图形的知识可得线段长度，由面积公式分段可得函数解析式；（2）化简A、B集合，由 可得 ，得到关于a的不等式，从而求出 的取值范围。
19．已知
(1)若 ,且 ,求实数 的值;
(2)求 的值.
20．已知函数 .
（1）若 对任意的 恒成立，求实数 的最小值；
（2）若函数 ，求函数 的值域.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
推导出 ，由此能求出结果．
【详解】
函数 的定义域为 当 时， ；
当 时， ；当 时， ，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【详解】
（1）过A、D分别作 于G， 于H，
因为ABCD是等腰梯形，底角为 ，AB= cm ，
所以BG=AG=DH=HC=2cm ,
又BC=7cm，所以AD=GH=3cm，
（1）当点F在BG上，即 时， ；
函数的表示法(附答案)
函数的表示法[ 学习目标 ] 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.知识点函数的三种表示方法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系思考(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2) 任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？答(1) 三种表示方法的优、缺点比较：优点缺点①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通解析法不够形象、直观过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对一般只能表示部分自变量的列表法应的函数值函数值直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通只能近似地求出自变量所对图象法过图形研究函数的某些性质应的函数值，有时误差较大(2)不一定 .0， x∈ Q，并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D( x)＝列表法1，x∈ ?RQ.虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.题型一作函数的图象例 1 作出下列函数的图象：(1)y＝ x＋1(x∈Z )；(2)y＝ x2－ 2x(x∈ [0,3)).解(1) 这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝ x＋ 1 上，如图 (1)所示 .第1页(2) 因为 0≤ x＜ 3，所以这个函数的图象是抛物线y＝ x2－ 2x 介于 0≤ x＜3 之间的一部分，如图(2)所示 .跟踪训练 1 画出下列函数的图象：(1) y＝ x＋1(x≤0)；(2) y＝x2－ 2x(x＞ 1，或 x＜－ 1).解(1)y＝ x＋ 1(x≤ 0)表示一条射线，图象如图 (1).(2) y＝ x2－ 2x＝(x－ 1)2－ 1(x＞1，或 x＜－ 1)是抛物线y＝ x2－ x 去掉－ 1≤ x≤ 1 之间的部分后剩余曲线.如图 (2).题型二列表法表示函数例 2 已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出x 1 2 3f(x) 1 3 1x 1 2 3g(x) 3 2 1则f(g(1)) 的值为 ________；满足 f(g(x))>g(f( x))的 x 的值是 ________.答案 1 2解析∵ g(1)＝ 3，∴ f( g(1)) ＝ f(3) ＝ 1.f(g(x))与 g( f(x)) 与 x 相对应的值如下表所示 .x 1 2 3f(g(x)) 1 3 1g(f(x)) 3 1 3∴ f(g(x))> g(f(x)) 的解为 x＝ 2.跟踪训练 2 已知函数 f(x)， g(x)分别由下表给出x 1 2 3f(x) 2 1 1x 1 2 3g(x) 3 2 1(1)f[g(1)] ＝ __________ ；(2)若 g[f(x)] ＝ 2，则 x＝ __________.答案(1)1 (2)1第2页解析(1)由表知 g(1) ＝3，∴ f[g(1)] ＝ f(3) ＝ 1；(2)由表知 g(2)＝ 2，又 g[ f(x)] ＝ 2，得 f(x) ＝ 2，再由表知 x＝1.题型三待定系数法求函数解析式例3 (1)已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)] ＝ 4x－ 1，求 f(x)；(2) 已知 f(x)是二次函数，且满足f(0) ＝1， f(x＋1) －f(x)＝ 2x，求 f(x).解(1) ∵f(x)是一次函数，∴设 f( x)＝ ax＋b(a≠ 0)，则 f[f(x)] ＝ f(ax＋ b)＝ a(ax＋ b)＋ b＝ a2x＋ ab＋ b.又∵ f[f(x)] ＝ 4x－1，∴a2 x＋ab＋ b＝4x－ 1，a2＝ 4，a＝ 2，a＝－2，即解得 1 或ab＋ b＝－1，b＝－3b＝ 1.∴f(x)＝ 2x－13或 f(x)＝－ 2x＋ 1.(2)∵ f(x) 是二次函数，∴设 f( x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)，由f(0)＝ 1，得 c＝ 1，由f(x＋ 1)－ f(x)＝ 2x，得 a( x＋1) 2＋ b(x＋1) ＋1－ ax2－ bx－1＝ 2x.左边展开整理得2ax＋( a＋ b)＝ 2x，2a＝ 2，a＝ 1，由恒等式原理知解得a＋ b＝ 0，b＝－ 1.∴f(x)＝ x2－ x＋ 1.跟踪训练 3 已知二次函数f(x) 满足 f(0) ＝ 1， f(1) ＝ 2，f(2)＝ 5，求该二次函数的解析式.c＝ 1，设二次函数的解析式为 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)，由题意得 a＋b＋ c＝2，4a＋ 2b＋ c＝5，a＝ 1，2解得b＝ 0，故 f(x)＝ x ＋ 1.题型四换元法 (或配凑法 )求函数解析式例 4 求下列函数的解析式：(1) 已知f 1＋x ＝ 1＋ x21，求f( x)；x x2＋x(2) 已知 f( x＋ 1)＝ x＋ 2 x，求 f(x).解(1) 方法一 ( 换元法 )令 t＝1＋x＝1＋ 1，x x第3页则 t≠1.把 x ＝1代入 f1＋x＝1＋x 2 1，得x x2＋xt－ 11 21＋ t －1＋1＝ (t－ 1) 2＋ 1＋ (t－ 1)＝ t 2－ t＋ 1.f(t)＝1 2 1t－ 1t －1∴ 所求函数的解析式为f(x)＝ x2－ x＋ 1， x∈( －∞， 1)∪ (1，＋∞ ).1＋x 2 1＋ x21＋x－x 1＋ x 21＋x方法二(配凑法 )∵f ＝1＋x ＋2x－ 2x1＝－＝＋1，x x2＋x x x－xx∴f(x)＝ x2－ x＋ 1.又∵1＋x＝1＋ 1≠ 1，x x∴所求函数的解析式为 f( x)＝ x2－ x＋ 1(x≠1).(2)方法一 (换元法 )令 x＋ 1＝ t(t≥ 1)，则 x＝ (t－1) 2，∴ f(t)＝ ( t－ 1)2＋ 2 t － 1 2＝ t2－ 1.∴f(x)＝ x2－ 1(x≥ 1).方法二(配凑法 )∵ x＋ 2 x＝ ( x＋ 1)2－1，∴f( x＋ 1)＝ ( x＋ 1)2－ 1.又∵x＋ 1≥ 1，∴f(x)＝ x2－ 1(x≥ 1).跟踪训练 4 已知函数 f(x＋1) ＝x2－2x，则 f(x) ＝________.答案x2－ 4x＋ 3解析方法一(换元法 )令 x＋ 1＝ t，则 x＝t－1，可得 f(t)＝ (t－ 1)2－ 2(t－1)＝ t2－4t＋ 3，即 f(x) ＝x2－4x＋ 3.方法二(配凑法 )因为 x2－ 2x＝(x2＋ 2x＋1)－ (4x＋ 4)＋ 3＝ (x＋ 1)2－ 4(x＋ 1)＋ 3，所以 f( x＋1) ＝( x＋1)2－4(x＋ 1)＋ 3，即f(x)＝ x2－ 4x＋ 3.忽略函数的定义域致误例5 已知 f( x－ 1)＝ 2x＋ x，求 f(x).错解令 t＝ x－ 1，则 x＝ (t＋ 1)2，22所以 f( t)＝ 2(t ＋1) ＋ (t＋ 1)＝ 2t ＋ 5t＋ 3，2所以 f( x)＝ 2x ＋ 5x＋ 3.正解令 t＝ x－ 1，则 t ≥－ 1， x＝ (t＋ 1)2，22所以 f( t)＝ 2(t ＋1) ＋ (t＋ 1)＝ 2t ＋ 5t＋ 3，2所以 f( x)＝ 2x ＋ 5x＋ 3(x≥ － 1).第4页易错警示错误原因纠错心得忽略 t＝ x－ 1 中 t 的取值范围，导致解析式对于函数问题，不可忽视定义域，否则就容不正确 . 易导致失误 .跟踪训练5 已知 f(1＋1 1x)＝x2－ 1，求f(x).解令 t＝ 1＋1(x≠0) ，则 x＝1(t≠1)，x t－122所以 f( t)＝ (t－1) － 1＝ t －2t(t≠ 1)，2所以 f( x)＝ x － 2x(x≠ 1).1.已知 f( x＋ 2)＝ 6x＋ 5，则 f(x)等于 ( )A.18 x＋ 17B.6 x＋5C.6x－ 7D.6 x－ 52.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是 ( )3.已知函数 f(x)由下表给出，则f(f(3)) ＝________.x 1 2 3 4f(x) 3 2 4 14.已知 f( x)是一次函数，且满足3f(x＋ 1)－ 2f(x－ 1)＝ 2x＋ 17，则 f(x) 的解析式为_______.5.已知 f( x)为二次函数，若 f(0)＝ 0，且 f(x＋ 1)＝ f( x)＋ x＋ 1，求 f(x)的表达式 .第5页一、选择题1.已知 f( x)是一次函数， 2f(2) － 3f(1)＝ 5,2f(0)－ f(－ 1)＝1，则 f(x)等于 ( )A.3 x＋ 2B.3x－ 2C.2x＋3D.2x－ 32.已知 f( x－ 1)＝ x2，则 f(x)的解析式为 ( )A. f(x)＝ x2＋ 2x＋ 1B.f(x)＝ x2－ 2x＋ 1C.f(x)＝ x2＋ 2x－1 D. f(x)＝x2－2x－ 11 13.已知 f(1－2x) ＝x2，则 f(2)的值为 ( )1 1A.4 B. 4 C.16 D. 164.函数 f( x)＝ x＋|x|x的图象是 ( )5.如图中图象所表示的函数的解析式为( )3A. y＝2|x－1|(0≤ x≤ 2)3 3B.y＝2－2|x－ 1|(0≤ x≤ 2)3C.y＝2－ |x－ 1|(0≤ x≤ 2)D. y＝ 1－|x－ 1|(0≤x≤ 2)6.设 f(x)＝ 2x＋a，g(x)＝1(x2＋ 3)，且 g(f( x))＝ x2－ x＋ 1，则 a 的值为 ()4A.1B.－1C.1 或－ 1D.1 或－ 2二、填空题7.已知 f( x)是一次函数，若f(f(x))＝ 4x＋ 8，则 f(x)的解析式为________________.第6页28.函数 y＝x － 4x＋ 6， x∈ [1,5) 的值域是 ________.9.若 2f(x)＋ f 1 ＝ 2x＋1(x≠ 0)，则 f(2)＝ ________.x 210.如图，函数y＝ f(x)的图象是折线段 ABC ，其中 A，B， C 的坐标分别为(0,4)， (2,0) ， (6,4)，则f(f(0)) ＝____.三、解答题11.作出下列函数的图象，并求出其值域 .(1)y＝ x2＋ 2x，x∈ [ － 2,2] ；(2)y＝ |x＋1|.12.(1) 已知 f(x)是一次函数，且满足2f(x＋ 3)－ f(x－ 2)＝ 2x＋ 21，求 f(x)的解析式；(2) 已知 f(x)为二次函数，且满足f(0) ＝1， f(x－1) －f(x)＝ 4x，求 f(x)的解析式 .13.求下列函数的解析式：1 2 1(1) 已知 f x－x＝x＋x2＋ 1，求 f(x)的解析式；(2) 已知 f(x)＋ 2f(－x)＝x2＋ 2x，求 f(x)的解析式 .第7页当堂检测答案1.答案 C解析 设 x ＋2＝ t ，得 x ＝ t － 2， ∴ f (t)＝ 6(t － 2)＋ 5＝ 6t － 7， ∴ f (x)＝ 6x － 7，故选 C.2.答案 C解析 由题意，知该学生离学校越来越近，故排除选项 A ；又由于开始时匀速，后来因交通堵塞停留一段时间，最后是加快速度行驶，故选 C.3.答案 1解析 由题设给出的表知 f(3) ＝4，则 f(f(3)) ＝ f(4) ＝ 1.故填 1.4.答案 f(x)＝2x ＋ 7解析 设 f(x)＝ ax ＋ b(a ≠ 0)，则 3f(x ＋ 1)－2f(x － 1)＝ 3ax ＋ 3a ＋ 3b － 2ax ＋ 2a － 2b ＝ ax ＋ b ＋ 5a ＝2x ＋ 17，所以 a ＝ 2， b ＝ 7，所以 f(x)＝ 2x ＋7.5.解 设 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c(a ≠ 0)，∵ f(0)＝ c ＝0，∴ f (x ＋ 1)＝ a(x ＋ 1)2＋ b(x ＋1)＝ a x 2＋(2a ＋ b)x ＋ a ＋b ，f(x)＋ x ＋ 1＝ ax 2＋ bx ＋ x ＋ 1＝ax 2＋( b ＋ 1)x ＋ 1.又 f(x ＋ 1)＝ f(x)＋ x ＋ 1，2a ＋ b ＝ b ＋ 1， a ＝ 1，2∴ ∴1 a ＋ b ＝1，b ＝ 2.1 21 ∴ f(x)＝ x＋ x. 22课时精练答案一、选择题 1.答案B 解析 设 f(x)＝ kx ＋ b(k ≠0)，k －b ＝ 5， k ＝ 3， ∴ f(x)＝ 3x －2. ∵ 2f(2) － 3f(1)＝ 5,2f(0) － f(－ 1)＝ 1，∴ ∴k ＋ b ＝ 1， b ＝－ 2， 2.答案A 解析 令 x －1＝ t ，则 x ＝ t ＋1，∴ f(t)＝ (t ＋ 1)2＝ t 2 ＋ 2t ＋ 1， ∴ f(x)＝ x 2＋ 2x ＋ 1.第8页3.答案 C 解析根据题意知1－ 2x＝1，解得 x＝1，故12＝16.2 4x4.答案 C解析x＋1，x>0，f( x)＝x－ 1， x<0.5.答案 B解析由图象知，当0≤ x≤ 1 时， y＝3x；当 1<x≤ 2 时， y＝3－3x.2 26.答案 B解析因为 g(x)＝1(x2＋ 3)，所以g(f( x))＝1[(2x＋ a)2＋ 3]＝1(4x2＋ 4ax＋a2＋ 3)＝ x2－ x＋ 1，求得 a＝－ 1.故选 B.4 4 4二、填空题87.答案f(x)＝2x＋或 f(x)＝－ 2x－ 8 解析设 f(x)＝ ax＋ b(a≠ 0)，a2＝ 4，a＝ 2，a＝－2，则 f(f(x))＝ f(ax＋ b)＝ a2x＋ ab＋ b＝ 4x＋8.所以解得8或ab＋ b＝8，b＝3b＝－ 8.8所以 f( x)＝ 2x＋3或f(x) ＝－ 2x－ 8.8.答案 [2,11)解析画出函数的图象，如图所示，观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f(2) ， f(5)) ，即函数的值域是[2,11).59.答案2解析令 x＝2，得 2f(2)＋ f1＝9，令 x＝1，得2f 1＋ f(2)＝3，消去f 1，得 f(2)＝5.2 2 2 2 2 2 210.答案 2三、解答题11.解(1) y＝x2＋2x＝ (x＋ 1)2－ 1， x∈ [ － 2,2].列表如下：x － 2－1 0 1 2y 0－1 0 3 8作出函数图象如图 (1)所示，图象是抛物线y＝ x2＋2x 在－ 2≤x≤2的部分，可得函数的值域是 [ －1,8].第9页(2) 当 x＋ 1≥ 0，即 x≥ － 1 时， y＝ x＋ 1；x＋ 1， x≥－ 1，当 x＋ 1<0 ，即 x<－ 1 时， y＝－ x－1.∴ y＝－x－ 1，x<－ 1.作该分段函数的图象如图 (2)所示，可得函数的值域是[0，＋∞ ).12.解(1)设 f( x)＝ ax＋ b(a≠ 0)，则2f(x＋ 3)－f(x－ 2)＝ 2[a(x＋ 3)＋ b]－[ a(x－2) ＋b]＝ 2ax＋ 6a＋ 2b－ ax＋2a－ b＝ ax＋8a＋ b＝2x＋ 21，所以 a＝ 2， b＝ 5，所以 f(x)＝ 2x＋5.(2) 因为 f(x)为二次函数，设f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0).由 f(0) ＝ 1，得 c＝ 1.又因为 f(x－ 1)－ f(x)＝ 4x，所以 a(x－ 1)2＋ b(x－ 1)＋ c－ (ax2＋bx＋ c)＝ 4x，整理，得－ 2ax＋ a－b＝ 4x，求得 a＝－ 2， b＝－ 2，所以 f( x)＝－ 2x2－2x＋ 1.13.解(1)∵ f x－1x＝ x－1x2＋ 2＋ 1＝ x－1x2＋ 3. ∴ f(x) ＝ x2＋3.2(2) 以－ x 代替 x 得： f(－ x)＋ 2f(x)＝ x － 2x.与f(x)＋ 2f(－ x)＝ x2＋ 2x 联立得：1 2f(x)＝3x －2x.第10页第。
函数的表示法重难点题型(举一反三)(解析版)
1.2.2 函数的表示法重难点题型【举一反三系列】知识链接举一反三【考点1 函数的三种表示方法】【练 1】某种笔记本的单价是 5 元，买x(x ∈{1,2,3,4,5}) 本笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数y =f (x) .【思路分析】利用函数的三种表示方法，即可将y表示成x的函数．【答案】解：（1）列表法：x12345y510152025（2）图象法（3）解析法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．【点睛】本题考查函数的三种表示方法，列表法，图象法以及解析法，比较基础．【练 1.1】已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x) 211x123g(x) 321则f(g(1))的值为；当g(f(x))＝2 时，x＝.【思路分析】根据表格先求出g（1）＝3，再求出f（3）＝1，即f[g（1）]的值；由g（x）＝2 求出x ＝2，即f（x）＝2，再求出x的值．【答案】解：由题意得，g（1）＝3，则f[g（1）]＝f（3）＝1∵g[f（x）]＝2，即f（x）＝2，∴x＝1．故答案为：1，1．【点睛】本题是根据表格求函数值或自变量的值，看清楚函数关系和自变量对照表格求出．【练 1.2】在函数y＝|x|(x∈[－1，1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1 及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( )【思路分析】利用在y轴的右侧，S的增长会越来越快，切线斜率会逐渐增大，从而选出正确的选项．【答案】解：由题意知，当t＞0 时，S的增长会越来越快，ƒ(3) ƒ(3) 故函数 S 图象在 y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大， 故选：B ．【点睛】本题考查函数图象的变化特征，函数的增长速度与图象的切线斜率的关系，体现了数形结合的 数学思想．【练 1.3】如图，函数 f (x )的图象是曲线 O A B ，其中点 O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f ⎡ 1 ⎤ ⎢f (3) ⎥ ⎣ ⎦的值等于．【思路分析】先求出 f （3）＝1，从而 ƒu 1] =f （1），由此能求出结果．【答案】解：函数 f （x ）的图象是曲线 OAB ，其中点 O ，A ，B 的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），∴f （3）＝1，ƒu 1] =f （1）＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．【考点 2 描点法作函数图象】【练 2】作出下列函数的图象并写出定义域、值域．（1）y ＝2x ；（2）y ＝（x ﹣2）2+1；（3）y = 2；x（4）y＝2x+1，x∈Z 且|x|＜2．【思路分析】分别根据函数的单调性进行求解即可．【答案】解：（1）y＝2x的定义域（﹣∞，+∞），值域（﹣∞，+∞）；（2）函数y＝（x﹣2）2+1≥1；定义域为（﹣∞，+∞），值域[1，+∞）．（3）y= 2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；x（4）y＝2x+1，x∈Z 且|x|＜2．的定义域为{﹣1，0，1}，此时y＝﹣1，1，3，即值域为{﹣1，1，3}，对应的图象为：【点睛】本题主要考查函数定义域和值域的求解，比较基础．【练 2.1】画下列函数图象并求值域．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）y＝|﹣x2+2x+3|；（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|；（4）y＝﹣x2+2|x|+3；（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|．【思路分析】利用绝对值的几何意义，画出图象并求值域．【答案】解：（1）y＝﹣x2+2x+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]（2）y＝|﹣x2+2x+3|，如图所示，值域为[0，+∞），（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|，如图所示，值域为[﹣1，1]（4）y＝﹣x2+2|x|+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|，如图所示，值域为[1，+∞）【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查学生的作图能力，考查学生的计算能力，正确作出函数的图象是关键．【练 2.2】作出下列函数的图象并写出它们的值域．（1）y＝|x﹣1|+|x+1|；（2）y＝x，x∈z且|x|≤2．【思路分析】（1）运用分段函数化简函数y，即可得到所求图象和值域；（2）求得整点坐标，即可得到所求图象和值域．【答案】解：（1）y＝|x﹣1|+|x+1|2x，x ≤ 1= 2，— 1＜x＜1，— 2x，x ≤— 1值域为[2，+∞）；（2）y＝x，x∈z且|x|≤2，可得x＝﹣2，y＝﹣2；x＝﹣1，y＝﹣1；x＝0，y＝0；x＝1，y＝1；x＝2，y＝2．值域为{﹣2，﹣1，0，1，2}．【点睛】本题考查函数的图象的画法和运用：求值域，考查运算能力，属于基础题．【练2.3】画出二次函数f（x）＝﹣x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）比较f（0）、f（1）、f（3）的大小；（2）若x1＜x2＜1，比较f（x1）与f（x2）的大小；（3）求函数f（x）的值域．【思路分析】先画出函数的图象，由图象即可得到相应的答案．【答案】解：图象如图所示：（1）由图象可得f（1）＞f（0）＞f（3），（2）x1＜x2＜1，函数在（﹣∞，1）上为增函数，∴f（x1）＜f（x2），（3）由函数图象可得函数的值域为（﹣∞，4]．【点睛】本题考查了二次函数图象的画法和识别，属于基础题．【考点3 求函数解析式—待定系数法】【练 3】设二次函数f (x) 满足 f (0) = 1，且f (x + 1) -f (x) = 4x ，求f (x) 的解析式．【思路分析】用待定系数法设出f（x）＝a x2+b x+c＝0（a≠0），再通过已知条件列方程可解得；【答案】解设所求二次函数为f（x）＝a x2+b x+c＝0（a≠0），∵f（0）＝1，∴c＝1，则f（x）＝a x2+b x+1＝0，（a≠0），又∵f（x+1）﹣f（x）＝4x，∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（a x2+b x+1）＝4x，即 2ax+a+b＝4x，得，2t = 4t 䘞= 䕼∴t = 2䘞 =— 2∴f（x）＝2x2﹣2x+1，【点睛】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属中档题．【练 3.1】已知二次函数f (x) 满足条件f (0) = 1和 f (x + 1) -f (x) = 2x ，求 f (x) 的解析式；【思路分析】据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得【答案】解：设y＝f（x）＝a x2+b x+c∵f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x∴c＝1；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（a x2+b x+c）＝2x∴∴2a＝2，a+b＝0解得a＝1，b＝﹣1函数f（x）的表达式为f（x）＝x2﹣x+1【点睛】本题考查利用待定系数法，方程组法，换元法求函数的解析式，属于基础题．【练 3.2】已知y =f (x) 是一次函数，且有 f [ f (x)] = 9x + 8 ，求 f (x) 的解析式．【思路分析】设f（x）＝ax+b（a≠0），由f[f（x）]＝9x+8．比较对应项系数可得方程组，解出即得a，b．从而得到函数解析式．【答案】解：设f（x）＝ax+b（a≠0），则f[f（x）]＝a f（x）+b＝a（a x+b）+b＝a2x+a b+b＝9x+8∴a2＝9且a b+b＝8，解得，a＝3，b＝2 或a＝﹣3，b＝﹣4，∴一次函数的解析式为：f（x）＝3x+2 或f（x）＝﹣3x﹣4．【点睛】本题考查一次函数的性质及图象，属基础题，若已知函数类型，可用待定系数法求其解析式．属于基础题．【练 3.3】已知二次函数f (x) =x2 +ax +b ，A = {x | f (x) = 2x} = {22} ，试求f (x) 的解析式.【思路分析】由已知中二次函数f（x）＝x2+a x+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}，可得方程（x）＝x2+a x+b＝2x有两个相等的实根 22，由韦达定理求出a，b的值得答案．【答案】解：∵二次函数f（x）＝x2+a x+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}，故方程（x）＝x2+a x+b＝2x有两个相等的实根22，即方程x2+（a﹣2）x+b＝0有两个相等的实根22，即22+22＝﹣（a﹣2）且22×22＝b，解得：a＝﹣42，b＝484，故f（x）＝x2﹣42x+484．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是答案的关键，是基础题．【考点4 求函数解析式—换元法】【练 4】设函数f (x) 满足f (2x - 3) =x2 +x -1 ，求 f (x) 的解析式；【思路分析】可设2x﹣3＝t，从而求得x=1t3，代入f（2x﹣3）＝x2+x﹣1并整理可得出ƒ(t)=1t22 2 42t 11，从而得出ƒ(x) = 1 x2 2x 11；4 4 4【答案】解：设2x﹣3＝t，则x=1t3，带入f（2x﹣3）＝x2+x﹣1得：ƒ(t)=(1t3)21t3—1=1t22 22 2 2 2 42t 11；4∴ƒ(x) = 1 x2 2x 11；4 4【点睛】考查换元求函数解析式的方法．x x【练 4.1】已知f ( +1) =x + 2 ，求 f (x) 的解析式【思路分析】令x—1＝t，则x=t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1），代入函数的表达式求出即可；【答案】解：令x—1＝t，则x=t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1），∴ 由f（x —1）＝x+2 x，得：f（t）＝（t+1）2+2（t+1）＝t2+4t+3，（t≥﹣1），∴f（x）＝x2+4x+3，（x≥﹣1）．【点睛】本题考查的是函数的解析式求法，用待定系数法求解，本题难度不大，属于基础题．【练 4.2】已知函数f (x) 满足关系式f (x + 2) = 2x + 5 ，求f (x) 的解析式；【思路分析】将f（x+2）＝2x+5 中的x+2 看作整体，解得x，代入其解析式，则解得f（x）．【答案】解：令t＝x+2，∴x＝t﹣2∴f（t）＝2t+1令x＝t∴f（x）＝2x+1【点睛】本题主要考查用换元法求函数解析式，要注意等价转化，即要注意换元前后的取值范围．【练4.3】已知f（1—x）＝2x，求f（x）的解析式；1x【思路分析】令1—x =t，然后，用t表示x，利用换元法求解其解析式；1x【答案】解：令1—x =t，1x∴x= 1—t，1t∴f（t）＝21—t，1t∴f（x）＝21—x；1x【点睛】本题重点考查了换元法求解函数的解析式，【考点5 求函数解析式—代入法】【练5】已知f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1，求f[g（x）]和g[f（x）]的解析式．【思路分析】分别把g（x）和f（x）整体代入到f（x）和g（x）的解析式化简可得．【答案】解：∵f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1，∴f[g（x）]＝3（2x﹣1）2+1＝12x2﹣12x+4；∴g[f（x）]＝2（3x2+1）﹣1＝6x2+1【点睛】本题考查复合函数的解析式，属基础题．【练5.1】已知函数f（x）＝2x+1，g（x）＝3x2﹣5（1）求f（1），g（2）的值（2）求g（a+1）的表达式（3）求f（g（x））的表达式．【思路分析】（1）根据函数f（x）、g（x）的对应法则，分别将x＝1、x＝2 代入，即可求出f（1），g（2）的值；（2）根据g（x）的对应法则，用a+1 代替x，化简即可得出g（a+1）的表达式；（3）先在f（x）表达式中用g（x）代替x，得f（g（x））＝2g（x）+1，再将g（x）表达式代入即可得到所求．【答案】解：根据题意，得（1）f（1）＝2×1+1＝3，g（2）＝3×22﹣5＝7；（2）g（a+1）＝3（a+1）2﹣5＝3a2+6a﹣2；（3）f（g（x））＝2g（x）+1＝2[3x2﹣5]+1＝6x2﹣9．【点睛】本题给出函数f（x）、g（x）的表达式，求f（g（x）的表达式．着重考查了函数的定义和解析式的求法等知识，属于基础题．【练5.2】已知f（x）＝2x﹣1，g（x）1=1x2（1）求f（x+1），g （1），f（g （x））；x（2）写出函数f（x）与g（x）定义域和值域．【思路分析】（1）分别代入化简即可；（2）直接写出定义域与值域．【答案】解：（1）f（x+1）＝2（x+1）﹣1＝2x+1；g（1）= 1 = x2 ，x 111x22xf（g（x））＝f（ 1 ）＝2 1 —1；1x2 1x2（2）函数f（x）的定义域为R，值域R；g（x）的定义域为R，值域为（0，1]．【点睛】本题考查了函数的定义域与值域的求法，属于基础题．【练5.3】函数f（x）＝3x﹣1，若f[g（x）]＝2x+3，则g（x）＝．【思路分析】直接利用函数的解析式，求解即可．【答案】解：函数f（x）＝3x﹣1，若f[g（x）]＝2x+3，可得 3g（x）﹣1＝2x+3，解得g（x）= 2 x 4．3 3故答案为：2 x 4．3 3【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．【考点6 求函数解析式—方程组法】【练 6】已知函数f（x）对任意的x∈R 都满足f（x）+2f（﹣x）＝3x﹣2，求f（x）的解析式．【思路分析】利用方程思想求解函数的解析式即可．【答案】解：函数f（x）对任意的x∈R 都满足f（x）+2f（﹣x）＝3x﹣2，…①，则f（﹣x）+2f（x）＝﹣3x﹣2，…②，①﹣2×②可得：﹣3f（x）＝9x+2，可得f（x）＝﹣3x—2．3f（x）的解析式：f（x）＝﹣3x—2．3【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数与方程的思想的应用，考查计算能力．【练 6.1】已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求f（x）的解析式．【思路分析】由题意，设f（x）＝a x+b，代入f[f（x）]中，利用多项式相等，对应系数相等，求出a、b的值即可；【答案】解：∵f（x）是一次函数，∴设f（x）＝ax+b，（a≠0），则f[f（x）]＝f[a x+b]＝a（a x+b）+b＝a2x+a b+b，又∵f[f（x）]＝9x+4，∴a2x+a b+b＝9x+4，即t2 = 9 ，t䘞䘞= 4解得t = 3或t =— 3，䘞 = 1 䘞 =— 2∴f（x）＝3x+1 或f（x）＝﹣3x﹣2；【点睛】本题考查了求函数解析式的问题，解题时应用待定系数法，设出函数的解析式，求出系数即可，是中档题．【练6.2】已知f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2，求f（x）的解析式．x【思路分析】根据f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2，用1代替x，得出另一方程，解方程组，求出f（x）的解析x x式．【答案】解：∵f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2…①，x∴f（1）﹣2f（x）＝3•1—2…②，x x②×2，得；2f（1）﹣4f（x）= 6—4…③，x x③+①，得；﹣3f （x ）＝3x 6 —6，x∴f （x ）＝﹣x — 2 —2．x【点睛】本题考查了利用方程组求函数解析式的应用问题，是基础题目．【练 6.3】已知 f （x ）是一次函数，且 2f （1）+3f （2）＝3，2f （﹣1）﹣f （0）＝﹣1，求 f （x ）的解析式；【思路分析】根据题意，设f （x ）＝k x +b ，结合题意可得 2(m 䘞) 3(2m 䘞) = 3，解可得 k 、b 的值，2( — m 䘞) — 䘞 =— 1 代入函数的解析式即可得答案；【答案】解：根据题意，设 f （x ）＝kx +b ， 若 2f （1）+3f （2）＝3，2f （﹣1）﹣f （0）＝﹣1，则有 2(m 䘞) 3(2m 䘞) = 3， 2( — m 䘞) — 䘞 =— 1解可得：k = 4，b =— 1；99则 f （x ）= 4x — 1；99【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，注意待定系数法的应用，属于基础题．【考点 7 分段函数求值】⎧1 x -1，x ≤ 0【练 7】设函数 f (x ) = ⎪ 2若 f （a ） = a ，则实数 a 的值为()⎨ 1 ⎪ ，x > 0 ⎩ xA. ±1B. -1 C ． -2 或-1 D ． ±1 或-2【思路分析】由分段函数的解析式知，当 x ≥0 时，f （X ）= 1 x — 1；当 x ＜0 时，f （x ）= 1；分别令 f2x（a ）＝a ，即得实数 a 的取值．【答案】解：由题意知，f （a ）＝a ；当 a ≥0 时，有1t — 1 = t ，解得 a ＝﹣2，（不满足条件，舍去）；2当 a ＜0 时，有1= t ，解得 a ＝1（不满足条件，舍去）或 a ＝﹣1．t⎨ 所以实数 a 的值是：a ＝﹣1． 故选：B ．【点睛】本题考查了分段函数中用解析式解方程的简单问题，需要分段讨论，是分段函数的常用方法．⎧ 1x +1，x ≤ 0【练 7.1】已知 f (x ) = ⎪ 2⎪⎩- (x -1)2，x > 0使 f (x ) ≥ -1 成立的 x 的取值范围是( )A ．[-4 ， 2)B ．[-4 ， 2]C ． (0 ， 2]D ． (-4 ， 2]【思路分析】由分段函数，讨论 x ≤0，x ＞0，由一次不等式和二次不等式的解法，解不等式，求并集即可得到所求范围．【答案】解：f （x ）=1 x 1，x ≤ 䕼2，— (x — 1)2，x ＞䕼由 f （x ）≥﹣1，x ≤ 䕼x ＞䕼可得 1 x 1 ≤— 1或2— (x — 1)2 ≤— 1，即x ≤ 䕼x ≤— 2 或 x ＞䕼 ， 䕼 ≤ x ≤ 2即有﹣4≤x ≤0 或 0＜x ≤2， 可得﹣4≤x ≤2． 即 x 的取值范围是[﹣4，2]． 故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的运用：解不等式，考查一次不等式和二次不等式的解法，考查运算能力， 属于中档题．⎧⎪x 2 + 4x + 3，x ≤ 0 【练 7.2】已知函数 f (x ) = ⎨则 f ( f （5） ) = ( )⎩⎪ 3 - x ，x > 0A ．0B ． -2 C. -1 D ．1【思路分析】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x |x ＞0}，而 f （5）＝﹣2∈{x |x ≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果【答案】解：因为 5＞0，代入函数解析式 f （x ）=x 2 4x 3，x ≤ 䕼得 f （5）＝3﹣5＝﹣2，3 — x ，x ＞䕼⎨- x - 2a ，x ≥ 1所以 f （f （5））＝f （﹣2），因为﹣2＜0，代入函数解析式 f （x ）=＝（﹣2）2+4×（﹣2）+3＝﹣1故选：C ．x 2 4x3，x ≤ 䕼3 — x ，x ＞䕼得 f （﹣2）【点睛】本题考查了分段函数的定义，求分段函数函数值的方法，解题时要认真细致，准确运算．【练 7.3】已知实数 a ≠ 0 ，函数 f (x ) = ⎧ 2x + a ，x < 1，若 f (1 - a ) = f (1 + a ) ，则 a 的值为()⎩A. - 34B. 34 C. - 35D. 35【思路分析】若 a ＞0，则 1﹣a ＜1，1+a ＞1，由 f （1﹣a ）＝f （1+a ），得 2（1﹣a ）+a ＝﹣（1+a ）﹣ 2a ；若 a ＜0，则 1﹣a ＞1，1+a ＜1，由 f （1﹣a ）＝f （1+a ），得 2（1+a ）+a ＝﹣（1﹣a ）﹣2a ．由此能求出 a 的值．【答案】解：∵实数 a ≠0，函数 f （x ）=2xt ，x ＜1— x — 2t ，x ≤ 1，f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴若 a ＞0，则 1﹣a ＜1，1+a ＞1，又 f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴2（1﹣a ）+a ＝﹣（1+a ）﹣2a ，解得 a =— 3，不成立；2若 a ＜0，则 1﹣a ＞1，1+a ＜1，又 f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴2（1+a ）+a ＝﹣（1﹣a ）﹣2a ，解得 a =— 3．4∴a =— 3．4故选：B ．【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．。
表示函数的方法[精练习题]
![表示函数的方法[精练习题]](https://img.taocdn.com/s3/m/ea944f1bf18583d0496459ab.png)
表示函数的方法，常用的有解析法、图象法和列表法三种.常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法等等。
例1． 已知f (2x +1)=3x -2，求函数f (x )的解析式。
例2． 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17，求函数f (x )的解析式。
例3． 已知2211()f x x x x +=+，求函数f (x )的解析式例4． 已知函数f (x )满足1()2()f x f x x -=，求函数f (x )的解析式。
例5． 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f例6． 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f例7．已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f例8．已知定义在R 上的函数满足，求的解析式。
例9．设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f基础达标1．函数f (x )= 2(1)x x x ⎧⎨+⎩,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）. A. 1 B .2 C. 3 D. 42．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）.3． 下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是4．已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =，那么(12)f 等于（ ）.A. p q +B. 2p q +C. 2p q +D. 2p q +5．函数)23(,32)(-≠+=x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于 6．已知函数(),m f x x x=+且此函数图象过点（1，5），实数m 的值为 . 7．24,02(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤≤==⎨>⎩已知函数则 ；若00()8,f x x ==则 . 8．已知)0(1)]([,21)(22≠-=-=x xx x g f x x g ，那么)21(f 等于9．画出下列函数的图象：（1）22||3y x x =-++； （2）2|23|y x x =-++.10．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-且()f x =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求()f x 的解析式11、已知二次函数的二次项系数为a ，且不等式的解集为（1，3），方程有两个相等的实根，求的解析式。
函数及其表示典型例题及详细解答
1．函数与映射(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．常见函数定义域的求法【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)映射是特殊的函数．( × )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )1．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x答案 C解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. 2．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2－1>0，解得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 3．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 C解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝22log 121－＝22log 12×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.4．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①②解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一 函数的概念例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎨⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．(1)下列四组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x－1与y＝(x－1)2B．y＝x－1与y＝x－1 x－1C．y＝4lg x与y＝2lg x2D．y＝lg x－2与y＝lg x100(2)下列所给图象是函数图象的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案 (1)D (2)B解析 (1)A 中两函数对应关系不同；B 、C 中的函数定义域不同，答案选D.(2)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.题型二 函数的定义域命题点1 求给定函数解析式的定义域 例2 (1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 (1)A (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3,0]，故选A.(2)要使函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x >－1，且x ≠1，故选C.命题点2 求抽象函数的定义域例3 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 015]B ．[0,1)∪(1,2 015]C ．(1,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 015](2)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0，lg 2]答案 (1)B (2)C解析 (1)令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 016]，可知1≤t ≤2 016.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 016，解得0≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 015]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 015，x －1≠0，解得0≤x <1或1<x ≤2 015.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1,2 015]．故选B.(2)因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应关系，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C.命题点3 已知定义域求参数范围例4 若函数f (x )R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f (x )的定义域为R ，所以222＋－x ax a－1≥0对x ∈R 恒成立，即222＋－x ax a≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 思维升华 简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的范围一致．(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________．(2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为___________________________．答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得：12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型三 求函数解析式例5 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x )·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________________. 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x ) (－1<x <1) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ， 得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．2．分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，13x ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(2)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．[1, ＋∞)解析 (1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， ∴x <1.当x ≥1时，13x ≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]． (2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.答案 (1)(－∞，8] (2)C温馨提醒 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解．(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．(3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论．[方法与技巧]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法．4．分段函数问题要分段求解．[失误与防范]1．复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．A组专项基础训练(时间：30分钟)1．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝x2，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x答案C解析在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同．2．已知函数f(x)＝11－x2的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∪(∁R N)等于()A ．{x |x <1}B ．{x |x ≥1}C ．∅D ．{x |－1≤x <1}答案 A解析 M ＝(－1,1)，N ＝(－1，＋∞)，故M ∪(∁R N )＝{x |x <1}，故选A.3．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)等于( )A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2 答案 D解析 因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin π3＝3， f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝3＋2. 4．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x答案 B解析 (待定系数法)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－x D ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .6．已知函数f (x )＝log 21x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________.答案 －78解析 由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1＝23，解得a ＝－78.7．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则y ＝f (log 2x )的定义域是________． 答案 [2，4]解析 ∵函数f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴－1≤x ≤1，∴12≤2x ≤2.∴在函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.8．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10．根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．解 当－3≤x <－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；当－1≤x <1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12；当1≤x <2时，f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎨⎧－32x －72，－3≤x <－1，32x －12，－1≤x <1，1，1≤x <2.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 [0,3)解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数y ＝13的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3. 综上所述，a 的取值范围是[0,3)． 12．若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则(1)f (2)f (12)＝________；(2)f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋f (14)＋…＋f (12 017)＝________.答案 (1)－1 (2)0解析 (1)∵f (x )＋f (1x )＝x 2－1x 2＋1＋1－x21＋x 2＝0，∴f (x )f (1x )＝－1(x ≠±1)，∴f (2)f (12)＝－1. (2)∵f (3)＋f (13)＝0，f (4)＋f (14)＝0，…，f (2 017)＋f (12 017)＝0，∴f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋…＋f (12 017)＝0.13．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ]，(a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个． 答案 5解析 由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个．14．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x＝1，－x ，1x>1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.15．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？ (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．。
函数解析式的几种基本方法及例题
求函数解析式的几种基本方法及例题：1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
此法较适合简单题目。
例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2).（2） 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3.（2） 2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx2)(2-=∴x x f )2(≥x2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f(2)如果).(,,)(x f x xx x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x(2)设.)(,,,111111111-=∴-=-===x x f t tt f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。
应用此法解题时往往需要解恒等式。
例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x,则应有.)(1212102242222--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==x x x f c b a c a b a四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)
函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)祖π数学之高分速成新人教八年级下册基础知识3 函数的表示1.函数的表示方法可以用解析式法、列表法和图像法。
解析式法是用公式表示函数，列表法是将函数的定义域和值域列成表格，图像法是用函数的图像来表示函数。
2.描点法画函数图形的一般步骤是先确定定义域和值域，然后选择若干个自变量值，计算出相应的函数值，最后在平面直角坐标系中标出这些点，连接起来就是函数的图形。
题型1】图像法表示函数1.2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进。
官兵们坐车以某一速度匀速前进，但中途被阻停下。
为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往。
根据函数的图像，可以判断出官兵们行进的距离S与行进时间t之间的关系。
2.故事中的乌鸦喝水问题可以用函数的图像来表示。
设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，可以画出函数的图像来表示乌鸦喝水的情景。
3.在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止。
设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y。
根据函数的图像，可以求出当x=7时，点E应运动到哪个位置。
4.在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B-C-D作匀速运动。
根据函数的图像，可以求出△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图像。
5.XXX骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，加快了骑车速度。
根据XXX到学校剩下的路程s关于时间t的函数图像，可以判断出符合XXX行驶情况的图像。
6.XXX每天坚持体育锻炼，星期天从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家。
根据XXX离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的函数图像，可以判断出当天XXX的运动情况。
7.小以400米/分叶的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地。
函数的几种表示方法
1.2.2 函数的表示方法第一课时函数的几种表示方法【教学目标】1．掌握函数的三种主要表示方法2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系3．会画简单函数的图像【教学重难点】教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数【教学过程】一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t，A=π2r，S=2rlπ,y=a2x+bx+c(a≠0),y=2-x(x≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买x∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为y=5x，x∈{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示变式练习1 设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )]。
函数的表示方法
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.
特别提醒：
列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。
函数的表示方法
1、能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；
2、了解简单的分段函数，并能简单应用；
一、函数的常用表示方法简介：
1、解析法
如果函数 中， 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如， =60 ， = ， , 等等都是用解析式表示函数关系的。
答案：D
3.函数 的图像是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：C
4.已知函数 ，则( )
A、 B、 C、 D、不能确定大小
答案: A
5.如图，已知函数 的图象关于直线 对称，则满足不等式 的实数 的取值范围是。
答案： 或
6.根据函数 ，可以知道， ， ， (横线上填“>”或“<”符号)
答案：
7.设 ，求函数 的最大值。
列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：
用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
特别提醒：
图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
函数的表示方法-含答案
函数的表示方法-含答案(总5页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数的表示方法第1课时 函数的表示方法 课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——列表法、图象法、解析法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法(1)列表法——通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法．(2)图象法——用“图形”表示函数的方法；(3)解析法——用代数式(或解析式)表示函数的方法．一、选择题1．一个面积为100cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x(x >0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．如果f (1x )＝x 1－x，则当x ≠0时，f (x )等于( ) －14．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7 5．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( ) A ．1B ．15C ．4D ．306．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )题 号 1 2 3 4 5 6答 案 二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3kg 物体后弹簧总长是，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________．三、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小；(3)求函数f (x )的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x 10]B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510] 13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f 的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法．2． 函数的表示方法第1课时 函数的表示方法作业设计1．C [由x ＋3x 2·y＝100，得2xy ＝100.∴y＝50x (x>0)．] 2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x 1－x， 则有f(t)＝1t 1－1t＝1t －1，故选B .] 4．B [由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g(x ＋2)＝2x ＋3，则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B .]5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14， ∴f (12)＝1－142142＝15.] 6．B [当t<0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，12)；当t>0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．] 7．y ＝12x ＋12 解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝代入，得＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12. 8．f(x)＝－x 2＋23x(x≠0) 解析 ∵f(x)＝2f(1x)＋x ，① ∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1x.② 由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x 3， 即f(x)＝－x 2＋23x(x≠0)． 9．f(x)＝2x ＋83或f(x)＝－2x －8 解析 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a 2x ＋ab ＋b.∴⎩⎨⎧ a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝83或⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－8. 10．解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)． 由f(0)＝f(4)知⎩⎨⎧ f 0＝c ，f 4＝16a ＋4b ＋c ，f 0＝f 4，得4a ＋b ＝0.①又图象过(0,3)点，所以c ＝3.②设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a. 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a＝10. 即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3.11．解 因为函数2x … －2 －1 0 1 2 3 4 …y … －5 0 3 4 3 0 －5 …(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此， 函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]， 当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310] ＝m ＋1＝[x10]＋1，所以选B.] 13．解 因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y＝x，有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．又f(0)＝1，∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.。
函数解析式求法例题及练习
函数解析式求法例题及练习函数解析式的求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例如，设f(x)是一次函数，且f[f(x)] = 4x + 3，求f(x)。
解：设f(x) = ax + b(a ≠ 0)，则f[f(x)] = af(x) + b = a(ax + b) + b= a^2x + ab + b。
根据题意，有a^2 = 4，即a = 2或a = -2.当a= 2时，b = 1；当a = -2时，b = 3.因此，f(x) = 2x + 1或f(x) = -2x + 3.二、配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，常用配凑法。
但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。
例如，已知f(x + 1) = x^2 + 2(x ≥ -1)，求f(x)的解析式。
解：由题意可得f(x + 1) = (x + 1)^2 - 2，即f(x) = x^2 - 2(x ≥ -2)。
三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例如，已知f(x + 1) = x + 2x，求f(x + 1)。
解：令t= x + 1，则t ≥ 1，x = (t - 1)^2.由题意可得f(x + 1) = x + 2x，即f(t) = (t - 1)^2 + 2(t - 1) = t^2 - 1，因此f(x) = x^2 - 1(x ≥ 1)。
四、函数性质法：已知函数奇偶性及部分解析式，求f(x)解析式。
本类问题的解题思路是“一变”、“二写”、“三转化”。
例如，已知定义在R上的偶函数f(x)，当x ≥ 2时，f(x) = x -2x^2，求f(x)解析式。
解：当x。
0，依题有f(-x) = (-x) + 2x^2 = x + 2x^2.又因为f(x)是定义在R上的偶函数，故f(-x) = f(x)。
函数的三种表达方法习题及答案
一．选择题【2 】1.如图反应的进程是：小刚从家去菜地浇水,又去青稞地除草,然后回家,假如菜地和青稞地的距离为akm,小刚在青稞地除草比在菜地浇水多用了bmin,则a和b的值分离是（）A.1,8;B.0.5,12;C.1,12;D.0.5,8答案:D2.礼拜六,小亮从家骑自行车到同窗家去玩,然后返回,如图是他离家的旅程y千米与时光x分钟的函数图象,依据图象信息,下列说法不必定精确的是（）A.小亮家到同窗家的旅程是3千米;B.小亮在同窗家勾留的时光是1小时;C.小亮去时走上坡路,回家时走下坡路;D.小亮回家时用的时光比去时用的时光少答案:C3.一列快车从甲地驶往乙地,一列特快车从乙地驶往甲地,快车的速度为100km/h,特快车的速度为150km/h,甲乙两地的距离是1000km,两车同时动身,则图中折线大致表示两车之间的距离y（km）与快车行驶时光t（h）之间的函数图象的是（）答案:C4.一根弹簧原长12cm,它所挂重物资量不超过10kg,并且每挂重物1kg,就伸长1.5cm,挂重物后弹簧长度y（cm）与重物x（kg）之间的函数关系式是（）A.y=1.5（x+12）（0≤x≤10）;B.y=1.5x+12（0≤x≤10）;C.y=1.5x+10（0≤x）;D.y=1.5（x12）（0≤x≤10）答案:B5.百货大楼进了一批画布,出售时要在进价的基本上加必定的利润,其数目x（米）与售价y （元）如下表：数目x（米）1234...售价y（元）8+0.316+0.624+0.932+1.2...下列用数目x（米）表示售价y（元）的关系式中,精确的是（）A.y=8x+0.3;B.y=（8+0.3）x;C.y=8+0.3x;D.y=8+0.3+x答案:B6.图中所反应的进程是：张强从家跑步去体育场,在那边锤炼了一阵后,又去早餐店吃早餐,然后漫步走回家,个中x表示时光,y表示张强离家的距离.依据图象供给的信息,以下四个说法错误的是（）A.体育场离张强家2.5千米;B.张强在体育场锤炼了15分钟;C.体育场离早餐店4千米;D.张强从早餐店回家的平均速度是3千米/时答案:C7.小刚以400米/分的速度匀速骑车5分,在原地歇息了6分,然后以500米/分的速度骑回动身地.下列函数图象能表达这一进程的是（）答案:C8.小亮因伤风发烧住院治疗,护士为了较直不雅地懂得小亮是日24小时的体平和时光的关系,可选择的比较好的方法是（）A.列表法;B.图象法;C.解析式法;D.以上三种办法都可以答案:B9.小文,小亮从黉舍动身到青少年宫参加书法竞赛,小文步行一段时光后,小亮骑自行车沿雷同路线行进,两人平均速前行.他们的旅程差s（米）与小文动身时光t（分）之间的函数关系如图所示.下列说法：①小亮先到达青少年宫;②小亮的速度是小文速度的 2.5倍;③a=24;④b=480.个中精确的是（）A.①②③;B.①②④;C.①③④;D.①②③④答案:B10.如图是甲,乙两车在某时段速度随时光变化的图象,下列结论错误的是（）A.乙前4秒行驶的旅程是48米;B.在0到8秒内甲的速度每秒增长4米/秒;C.两车到第3秒时行驶的旅程相等;D.在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度答案：C11.如图,在△ABC中,AC=BC=25,AB=30,D是AB上的一点（不与A.B重合）,DE⊥BC,垂足是点E,设BD=x,四边形ACED的周长为y,则下列图象能大致反应y与x之间的函数关系的是（）答案：D12.如图,正方形ABCD的边长为2,动点P从A动身,在正方形的边上沿着A⇒B⇒C的偏向活动到点C停滞．设P的活动旅程为x,则下列图象中△ADP的面积y关于x的函数关系（）答案:A13.周末,小明骑自行车从家里动身到野外郊游.从家动身0.5小时后到达甲地,游玩一段时光后,按原速前去乙地,小明离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿雷同的路线去乙地,如图是他们离家的旅程y（km）与小明离家时光x（h）的函数图象,已知妈妈驾车的速度是小明的3倍,下面说法精确的有（）个.①小明骑车的速度是20km/h,在甲地游玩1小时②小明从家动身小时后被妈妈追上③妈妈追上小明时离家25千米④若妈妈比小明早10分钟到达乙地,则从家到乙地30km.A.1;B.2;C.3;D.4答案:C14.如图,匀速地向容器内灌水,最后把容器注满,在灌水的进程中,水面的高度h随时光t的变化而变化,变化纪律为一折线,下列图象精确的是（）答案:C15.苹果成熟了从树上落下,下列几幅图中,大致可以反应苹果下落进程的是（）答案:C二．填空题16.函数的三种表示办法分离是.和.答案:列表法,图象法,解析式法17.法较为精确地反应自变量与函数值之间的数目关系,具有一般性.答案：解析式18.法能具体反应自变量与函数值之间的对应关系,但不够周全.答案：列表19.法异常形象直不雅,且便利不雅察出函数值随自变量的变化趋向,但不够精确.答案：图象20.小李以每千克0.8元的价钱从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去发卖,在发卖了部分西瓜之后,余下的每千克降价0.4元,全体售完.发卖金额y（元）与发卖西瓜千克数x之间的关系如图所示,那么小李赚了元钱.答案:3621.日常生涯中,白叟是一个隐约的概念,可用白叟系数表示一小我的老年化程度,白叟系数的盘算办法如下表：人的年纪x/岁x≤6060＜x＜80x≥80白叟系数y01按照如许的划定,白叟系数为0.6的人年纪是岁.答案:7222.小斌用40元购置5元/件的某种商品,他残剩的钱数y元,购置的商品件数为x件,y随x的变化而变化,在这个问题中,为自变量,为自变量的函数,y随x变化的函数解析式是.答案:x;y;y=405x23.在某公司德律风亭打德律风时,需付德律风费y元与通话时光xmin之间的函数关系用图象表示如图所示,小明打了2min需付费元;小李打了5min需付费元.答案:0.7;1.324.用一根16cm长的细铁丝围成一个等腰三角形,若底边边长为ycm,一腰长为xcm,则y与x 的函数解析式是,自变量的取值规模是.答案:y=162x;4＜x＜825.一根弹簧原长10cm,在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体,挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比,,则弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式是：y=10+0.5x（0≤x≤5）.横线处为肯定函数解析式的一个前提,你以为该前提是什么.（只需写出一个）答案:物体质量每增长1kg,弹簧伸长0.5cm26.如图所示的折线ABC为甲地向乙地打长途德律风需付的德律风费y（元）与通话时光t （分钟）之间的函数关系,则通话8分钟敷衍德律风费元.答案:7.427.如图所示,购置一种苹果,所付款金额y（元）与购置数目x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB构成,则一次购置3千克这种苹果比分三次每次购置1千克这种苹果可省元.答案:2三．解答题28..李先生周末骑自行车去郊游,如图表示的是他离家的距离y（千米）与时光t（时）之间关系的函数图象,李先生9点分开家,15点到家.依据这个图象,请答复下列问题：（1）他到离家最远的地方花了多长时光？此时离家多远？（2）他何时开端第一次歇息？歇息了多长时光？（3）他从离家最远的地方回到家用了多长时光？速度是若干？答案：（1）李先生到离家最远的地方花了3小时,此时离家30千米.（2）李先生从10点30分开端第一次歇息,歇息了30分钟（3）李先生从离家最远的地方回家用了2小时,速度是15千米/时.29.某市肆零售一种商品,其质量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表：x/kg12345678y/元 2.4 4.87.29.61214.416.819.2依据发卖经验可知,在此处零买这种商品的顾客所买商品均未超过8kg.（1）由上表推出售价y（元）关于质量x（kg）的函数解析式,并画出函数的图象;（2）李大婶购置这种商品5.5kg,敷衍若干元钱？答案:（1）不雅察题表可知质量每增长1kg,售价就增长 2.4元,如许变化纪律可以表示为y=2.4x（0≤x≤8）函数图象如下：（2）将x=5.5代入解析式,得y=2.4×5.5=13.2（元）李大婶购置这种商品5.5kg,敷衍13.2元钱.30..某公园集体门票的收费标准是20人以内（含20人）,每人25元,超过20人,超过的每人10元（1）写出应收门票费y（元）与进园人数x（x≥20）之间的函数解析式;（2）应用（1）中的解析式盘算：某旅游团有54人去该公园不雅赏,购置门票花了若干钱？答案：（1）y=10x+300（x≥20且为整数）（2）840元.第11页，－共11页。
函数的表示法(含答案)
函数的表示法[学习目标] 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 知识点函数的三种表示方法思考(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？答(1)三种表示方法的优、缺点比较：(2)不一定并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x∈Q，1，x∈∁R Q.列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.题型一作函数的图象例1作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).解(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.跟踪训练1画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1).解(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).题型二列表法表示函数例2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f答案1 2解析∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.跟踪训练2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出(1)f[g(1)]＝__________；(2)若g[f(x)]＝2，则x＝__________.答案(1)1(2)1解析 (1)由表知g (1)＝3，∴f [g (1)]＝f (3)＝1； (2)由表知g (2)＝2，又g [f (x )]＝2，得f (x )＝2， 再由表知x ＝1.题型三 待定系数法求函数解析式例3 (1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x －1，求f (x )； (2)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x ). 解 (1)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又∵f [f (x )]＝4x －1， ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. ∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(2)∵f (x )是二次函数， ∴设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝1，得c ＝1，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x . 左边展开整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x ，由恒等式原理知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.跟踪训练3 已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，求该二次函数的解析式. 解 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋1.题型四 换元法(或配凑法)求函数解析式 例4 求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x ).解 (1)方法一 (换元法)令t ＝1＋x x ＝1x＋1，则t ≠1.把x ＝1t －1代入f⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，得 f (t )＝1＋⎝⎛⎭⎫1t －12⎝⎛⎭⎫1t －12＋11t －1＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1. ∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞).方法二 (配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2＋2x －2x x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋xx ＋1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1. 又∵1＋x x ＝1x＋1≠1，∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1). (2)方法一 (换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)， 则x ＝(t －1)2，∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).方法二 (配凑法)∵x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1.又∵x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).跟踪训练4 已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3解析 方法一 (换元法)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，可得f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3. 方法二 (配凑法)因为x 2－2x ＝(x 2＋2x ＋1)－(4x ＋4)＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.忽略函数的定义域致误例5 已知f (x －1)＝2x ＋x ，求f (x ). 错解 令t ＝x －1，则x ＝(t ＋1)2， 所以f (t )＝2(t ＋1)2＋(t ＋1)＝2t 2＋5t ＋3， 所以f (x )＝2x 2＋5x ＋3.正解 令t ＝x －1，则t ≥－1，x ＝(t ＋1)2， 所以f (t )＝2(t ＋1)2＋(t ＋1)＝2t 2＋5t ＋3， 所以f (x )＝2x 2＋5x ＋3(x ≥－1).易错警示跟踪训练5 已知f (1＋1x )＝1x 2－1，求f (x ).解 令t ＝1＋1x (x ≠0)，则x ＝1t －1(t ≠1)，所以f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t (t ≠1)， 所以f (x )＝x 2－2x (x ≠1).1.已知f (x ＋2)＝6x ＋5，则f (x )等于( ) A.18x ＋17 B.6x ＋5 C.6x －7D.6x －52.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )3.已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________.4.已知f(x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)_______. 5.已知f (x )为二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的表达式.一、选择题1.已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )等于( ) A.3x ＋2 B.3x －2 C.2x ＋3 D.2x －32.已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( )A.f (x )＝x 2＋2x ＋1B.f (x )＝x 2－2x ＋1C.f (x )＝x 2＋2x －1D.f (x )＝x 2－2x －1 3.已知f (1－2x )＝1x 2，则f (12)的值为( )A.4B.14C.16D.1164.函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )5.如图中图象所表示的函数的解析式为( )A.y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B.y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C.y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D.y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)6.设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( )A.1B.－1C.1或－1D.1或－2二、填空题7.已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________________.8.函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是________. 9.若2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，则f (2)＝________. 10.如图，函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝____.三、解答题11.作出下列函数的图象，并求出其值域. (1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]； (2)y ＝|x ＋1|.12.(1)已知f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式.13.求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式.当堂检测答案1.答案 C解析 设x ＋2＝t ，得x ＝t －2， ∴f (t )＝6(t －2)＋5＝6t －7， ∴f (x )＝6x －7，故选C. 2.答案 C解析 由题意，知该学生离学校越来越近，故排除选项A ；又由于开始时匀速，后来因交通堵塞停留一段时间，最后是加快速度行驶，故选C. 3.答案 1解析 由题设给出的表知f (3)＝4，则f (f (3))＝f (4)＝1.故填1. 4.答案 f (x )＝2x ＋7解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， 所以a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.5.解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝c ＝0， ∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1) ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .课时精练答案一、选择题 1.答案 B解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2.2.答案 A解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.3.答案 C 解析 根据题意知1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x 2＝16.4.答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x >0，x －1， x <0.5.答案 B解析 由图象知，当0≤x ≤1时，y ＝32x ；当1<x ≤2时，y ＝3－32x .6.答案 B解析 因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.二、填空题7.答案 f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.所以f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.8.答案 [2,11)解析 画出函数的图象，如图所示，观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f (2)，f (5))，即函数的值域是[2,11). 9.答案 52解析 令x ＝2，得2f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝92，令x ＝12，得2f ⎝⎛⎭⎫12＋f (2)＝32，消去f ⎝⎛⎭⎫12，得f (2)＝52. 10.答案 2 三、解答题11.解 (1)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[－2,2]. 列表如下：作出函数图象如图(1)[－1,8].(2)当x ＋1≥0，即x ≥－1时，y ＝x ＋1；当x ＋1<0，即x <－1时，y ＝－x －1.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x <－1.作该分段函数的图象如图(2)所示，可得函数的值域是[0，＋∞). 12.解 (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则2f (x ＋3)－f (x －2)＝2[a (x ＋3)＋b ]－[a (x －2)＋b ]＝2ax ＋6a ＋2b －ax ＋2a －b ＝ax ＋8a ＋b ＝2x ＋21， 所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝2x ＋5.(2)因为f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由f (0)＝1，得c ＝1. 又因为f (x －1)－f (x )＝4x ，所以a (x －1)2＋b (x －1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝4x ， 整理，得－2ax ＋a －b ＝4x ，求得a ＝－2，b ＝－2， 所以f (x )＝－2x 2－2x ＋1.13.解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋3. ∴f (x )＝x 2＋3. (2)以－x 代替x 得：f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x . 与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得： f (x )＝13x 2－2x .。
函数的表示法题型及解析
函数的表示法题型及解析1.某种笔记本的单价是5元，买x 本（x ∈{1，2，3，4，5}）笔记本需要y 元，试用函数的三种表示法表示函数y=f （x ）分析：利用函数的三种表示方法，即可将y 表示成x 的函数解：（1）列表法： （2）图象法 （3）解析法：y=5x ，x ∈{1，2，3，4，5}2.一种笔记本的单价是x 元，圆珠笔的单价是y 元．小红买这种笔记本4本，买圆珠笔3支；小强买这种笔记本3本，买圆珠笔2支，①买这些笔记本和圆珠笔，两人一共花费多少钱？②请结合生活实际选取适当的x ，y 值，计算两人的总花费．分析：①分别求出小红和小强的花费，然后相加；②结合实际，笔记本的单价为3元，圆珠笔的单价为1元，代入求解．解：①小红的花费为：4x+3y ，小强的花费为：3x+2y ，总花费为：4x+3y+3x+2y=7x+5y ；②当x=3，y=1时，原式=7×3+5×1=26（元）．答：两人的总花费为26元．3.市内电话费是这样规定的，每打一次电话不超过3分钟付电话费0.18元，超过3分钟而不超过6分钟的付电话费0.36元，依此类推，每次打电话x （0＜x ≤10）分钟应付话费y 元，写出函数解析式并画出函数图象 分析：这是一道分段函数的应用的数学题．由已知中，每打一次电话不超过3分钟付电话费0.18元，超过3分钟而不超过6分钟的付电话费0.36元，依此类推，即可得到0＜x ≤10时，应付话费y 元，进而根据分段函数图象分段法，即可得到答案．解：由题意可知：y=，其图象如图所示：4.已知函数f （x ）的图象是两条线段（如图，不含端点），求f （f （））分析：由图象可得函数f （x ）=．即可得出解：由图象可得函数f （x ）=．∴=，=．∴f （f （））==．5.下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（ ）A ．A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0，1}，f ：A 中的数平方；B ．A={0，1}，B={﹣1，0，1}，f ：A 中的数开方；C ．A=Z ，B=Q ，f ：A 中的数取倒数；D ．A=R ，B=R +，f ：A 中的数取绝对值分析：根据映射的概念，对于集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与它对应，观察几个对应，得到B ，C ，D 三个选项都有元素在象的集合中没有对应．解：根据映射的概念，对于集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，对于B选项A集合中的1对应B集合中的两个元素，对于选项C，集合A中的元素0在集合B中没有元素对应，对于选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素对应，故选A6.对应f：A→B是集合A到集合B的映射，若集合A={﹣1，0}，B={1，2}，则这样的映射有多少个？分析：按照映射定义，只需给A中每个元素找唯一的象，看有几种找法，即有几个映射．解：由映射定义知，对A中每个元素，在B中都有唯一确定的元素与之对应，建立A到B的映射，即给A中每个元素找象，先给A中元素﹣1找象，有两种方法；再给A中元素0找象，有两种方法，按照分步乘法原理，得共有2×2=4种方法，即有4个映射．7.对应f：x→2x﹣1是集合A到集合B的映射，若集合B={﹣3，﹣1，3}，求集合A分析：根据映射的定义，分别令2x﹣1=﹣3，﹣1，3，解得 x的对应值，即可得到集合A解：根据映射的定义，分别令2x﹣1=﹣3，﹣1，3，解得 x=﹣1，0，2，从而得到集合A={﹣1，0，2}，8.已知集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射；f：x→（x+1，x2+1），求A中元素在B中的对应元素和B中元素（，）在A中的对应元素分析：由已知中集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射；f：x→（x+1，x2+1），直接代入计算可得A中元素在B中的对应元素和B中元素（，）在A中的对应元素．解：∵集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射；f：x→（x+1，x2+1），当x=时，x+1=+1，x2+1=3，故A中元素在B中的对应元素为（+1，3），由x+1=，且x2+1=得x=，故B中元素（，）在A中的对应元素为9.若集合A={1，2，3，4，5}且对应关系f：x→y=x（x﹣4）是从A到B的映射，问集合B中至少有几个元素？分析：把A中的5个元素分别代入计算可得．解：由题意把A中的5个元素分别代入计算可得：当x=1时，y=x（x﹣4）=﹣3；当x=2时，y=x（x﹣4）=﹣4；当x=3时，y=x（x﹣4）=﹣3；当x=4时，y=x（x﹣4）=0；当x=5时，y=x（x﹣4）=5；∴集合B中至少有4个元素﹣3，﹣4，0，510.已知2f（﹣x）+f（x）=x，求f（x）．分析：以﹣x代替x，得2f（x）+f（﹣x）=﹣x为②式，已知为①式；由①②组成方程组，求出f（x）即可解：∵2f（﹣x）+f（x）=x，①；令以﹣x代替x，得2f（x）+f（﹣x）=﹣x，②；再由①﹣②×2，得：﹣3f （x）=3x；∴f（x）=﹣x11.已知函数f（x）=x2+1，求f（2x+1）解：∵f（x）=x2+1，∴f（2x+1）=（2x+1）2+1=4x2+4x+212.已知f（）=2x，求f（x）分析：本题考察函数解析式求解及方法，可以用如下方法，令=t，求出x=，代入函数的表达式即可解：令=t，∴x=，∴f（t）=2（），∴f（x）=．（x∈R，x≠﹣1）13.已知f（x﹣2）=4x+3，求f（x）解析式．分析：本题为典型的换元法，引入新的变量进行替换原来的变量，从而实现形式的转化，令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数替换x，化简即可解：令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数得f（t）=4（t+2）+3=4t+11则函数f（x）的解析式为f（x）=4x+1114.设函数f（x）=2x+3，函数g（x）=3x-5，求不等式g（f（x））＞22的解集解：∵函数f（x）=2x+3，函数g（x）=3x-5，∴g（f（x））=3[f（x）]-5=3（2x+3）-5=6x+9-5=6x+4，则不等式g（f（x））＞22可化为6x+4＞22．即6x＞18．解得x＞3．∴不等式g（f（x））＞22的解集为（3，+∞）。
函数的三种表示方法练习
函数的三种表示方法练习1. 已知一次函数35y x =-+（1） 画出这个函数的图像；（2）求出函数与坐标轴交点的坐标.2. 已知直线1l 过点A(0,2)，直线2l 过点B （0，－2）两直线的交点为点C(1,1)（1）求直线1l 和直线2l 的函数解析式；（2）当x 为何值时，12y y =？12y y >？12y y <？（3）当x 为何值时，不等式组1200y y >⎧⎨>⎩成立？ 3已知一次函数图像平行于直线23y x =，且当x =－3时，y =1,求这个函数的解析式.4. 一次函数15y x =-的函数值y 随x 的增大而 .5. 已知()23312m m y m x -+=-+是一次函数，且y 随x 的增大而增大，则m = . 6. 已知一次函数()22349y m x m =-+-（1） 如果这个一次函数的图像经过原点，求m 的值；（2） 当m =2时，求该函数的图像与坐标轴围成的三角形面积.7. 函数24y x =-+的截距是 ，它与x 轴的交点坐标为 .8. 一次函数y kx b =+的图像经过点（1，5），交y 轴于点(0,3),则k = , b = .9. 若点（2m ,m +3）在函数122y x =-+的图像上，则m = . 10. 一次函数112y x =-+与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是 . 11. 已知直线y kx b =+交x 轴于点902⎛⎫- ⎪⎝⎭，，交y 轴于点（0，3），则不等式kx b +>0的解集是 .12. 已知一次函数y ax b =+，若a +b =0,则它的图像必经过点 .13.已知一次函数的图像经过点P ()22，，截距是－4，求这条直线的表达式. 14.已知一次函数的图像经过点（－1，3）和点（2，－3），（1） 求一次函数的解析式；（2） 判断点（－2，5）是否在该函数的图像上.15. 函数132y x =-，函数值y 随x 的增大而 . 16. 已知点A(2，a )、B(3,b )在直线y =kx +2上,且a >b ,则k 的取值范围是 .17. 若函数4y x b =+的图像与两坐标轴围成的三角形面积是6，那么b = .18. 已知一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是38x -≤≤，相应函数值y 的取值范围是119y -≤≤，求此函数的关系式.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一．选择题
1.如图反映的过程是：小刚从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家，如果菜地和青稞地的距离为akm,小刚在青稞地除草比在菜地浇水多用了bmin，则a和b的值分别是（）A.1，8； B.0.5，12； C.1，12； D.0.5，8
答案:D
2.星期六，小亮从家骑自行车到同学家去玩，然后返回，如图是他离家的路程y千米与时间x分钟的函数图象，根据图象信息，下列说法不一定正确的是（）
A.小亮家到同学家的路程是3千米；
B.小亮在同学家逗留的时间是1小时；
C.小亮去时走上坡路，回家时走下坡路；
D.小亮回家时用的时间比去时用的时间少答案:C
3.一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100km/h,特快车的速度为150km/h,甲乙两地的距离是1000km,两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（km）与快车行驶时间t（h）之间的函数图象的是（）
答案:C
4.一根弹簧原长12cm,它所挂重物质量不超过10kg,并且每挂重物1kg,就伸长1.5cm,挂重物后弹簧长度y（cm）与重物x（kg）之间的函数关系式是（）
A.y=1.5（x+12）（0≤x≤10）；
B.y=1.5x+12（0≤x≤10）；
C.y=1.5x+10（0≤x）；
D.y=1.5（x-12）（0≤x≤10）
答案:B
5.百货大楼进了一批画布，出售时要在进价的基础上加一定的利润，其数量x（米）与售价y（元）如下表：
下列用数量x（米）表示售价y（元）的关系式中，正确的是（）
A.y=8x+0.3；
B.y=（8+0.3）x；
C.y=8+0.3x；
D.y=8+0.3+x
答案:B
6.图中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离。
根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）
A.体育场离张强家2.5千米；
B.张强在体育场锻炼了15分钟；
C.体育场离早餐店4千米；
D.张强从早餐店回家的平均速度是3千米/时
答案:C
7.小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地。
下列函数图象能表达这一过程的是（）
答案:C
8.小亮因感冒发烧住院治疗，护士为了较直观地了解小亮这天24小时的体温和时间的关系，可选择的比较好的方式是（）
A.列表法；
B.图象法；
C.解析式法；
D.以上三种方法都可以
答案:B
9.小文，小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行。
他们的路程差s（米）与小文出发时间t（分）之间的函数关系如图所示。
下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；
③a=24；④b=480.其中正确的是（）
A.①②③；
B.①②④；
C.①③④；
D.①②③④
答案:B
10.如图是甲，乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）
A.乙前4秒行驶的路程是48米；
B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒;
C.两车到第3秒时行驶的路程相等；
D.在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度
答案：C
11.如图，在△ABC中，AC=BC=25，AB=30，D是AB上的一点（不与A、B重合），DE ⊥BC，垂足是点E，设BD=x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x 之间的函数关系的是（）
答案：D
12.如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从A出发，在正方形的边上沿着A⇒B⇒C的方向运动到点C停止．设P的运动路程为x，则下列图象中△ADP的面积y关于x的函数关系（）
答案:A
13.周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游。
从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后，按原速前往乙地，小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同的路线去乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，已知妈妈驾车的速度是小明的3倍，下面说法正确的有（）个。
①小明骑车的速度是20km/h,在甲地游玩1小时②小明从家出发7
小时后被妈妈追上③妈
4
则从家到乙地30km。
妈追上小明时离家25千米④若妈妈比小明早10分钟到达乙地
，
A.1；
B.2；
C.3；
D.4
答案:C
14.如图，匀速地向容器内注水，最后把容器注满，在注水的过程中，水面的高度h随时间t的变化而变化，变化规律为一折线，下列图象正确的是（）
答案:C
15.苹果成熟了从树上落下，下列几幅图中，大致可以反映苹果下落过程的是（）
答案:C
二．填空题
16.函数的三种表示方法分别是、和。
答案:列表法，图象法，解析式法
17. 法较为准确地反映自变量与函数值之间的数量关系，具有一般性。
答案：解析式
18. 法能具体反映自变量与函数值之间的对应关系，但不够全面。
答案：列表
19. 法非常形象直观，且方便观察出函数值随自变量的变化趋势，但不够准确。
答案：图象
20.小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完。
销售金额y（元）与销售西瓜千克数x 之间的关系如图所示，那么小李赚了元钱。
答案:36
21.日常生活中，老人是一个模糊的概念，可用老人系数表示一个人的老年化程度，老人系数的计算方法如下表：
按照这样的规定，老人系数为0.6的人年龄是岁。
答案:72
22.小斌用40元购买5元/件的某种商品，他剩余的钱数y元，购买的商品件数为x件，y 随x的变化而变化，在这个问题中，为自变量，为自变量的函数，y随x变化的函数解析式是。
答案:x；y；y=40-5x
23.在某公司电话亭打电话时，需付电话费y元与通话时间xmin之间的函数关系用图象表示如图所示，小明打了2min需付费元；小李打了5min需付费元。
答案:0.7；1.3
24.用一根16cm长的细铁丝围成一个等腰三角形，若底边边长为ycm,一腰长为xcm,则y 与x的函数解析式是，自变量的取值范围是。
答案:y=16-2x；4＜x＜8
25.一根弹簧原长10cm,在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x （kg）之间的函数关系式是：y=10+0.5x（0≤x≤5）。
横线处为确定函数解析式的一个条件，你认为该条件是什么。
（只需写出一个）
答案:物体质量每增加1kg，弹簧伸长0.5cm
26.如图所示的折线ABC为甲地向乙地打长途电话需付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系，则通话8分钟应付电话费元。
答案:7.4
27.如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可省元。
答案:2
三．解答题
28..李老师周末骑自行车去郊游，如图表示的是他离家的距离y（千米）与时间t（时）之间关系的函数图象，李老师9点离开家，15点到家。
根据这个图象，请回答下列问题：（1）他到离家最远的地方花了多长时间？此时离家多远？（2）他何时开始第一次休息？休息了多长时间？（3）他从离家最远的地方回到家用了多长时间？速度是多少？
答案：（1）李老师到离家最远的地方花了3小时，此时离家30千米。
（2）李老师从10点30分开始第一次休息，休息了30分钟（3）李老师从离家最远的地方回家用了2小时，速度是15千米/时。
29.某商店零售一种商品，其质量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表：
根据销售经验可知，在此处零买这种商品的顾客所买商品均未超过8kg。
（1）由上表推出售价y（元）关于质量x（kg）的函数解析式，并画出函数的图象；（2）李大婶购买这种商品5.5kg，应付多少元钱？
答案:（1）观察题表可知质量每增加1kg，售价就增加2.4元，这样变化规律可以表示为y=2.4x（0≤x≤8）函数图象如下：
（2）将x=5.5代入解析式，得y=2.4×5.5=13.2（元）李大婶购买这种商品5.5kg，应付13.2元钱。
30..某公园集体门票的收费标准是20人以内（含20人），每人25元，超过20人，超过的每人10元（1）写出应收门票费y（元）与进园人数x（x≥20）之间的函数解析式；（2）利用（1）中的解析式计算：某旅游团有54人去该公园观赏，购买门票花了多少钱？
答案：（1）y=10x+300（x≥20且为整数）（2）840元。