高考数学一轮复习专题：等差数列及其前n项和(教案及同步练习)

合集下载

等差数列及前n项和教案

等差数列及前n项和教案教案标题：等差数列及前n项和教案教案目标：1. 学生能够理解等差数列的概念和特点。

2. 学生能够找到等差数列的公差和通项公式。

3. 学生能够计算等差数列的前n项和。

教学重点：1. 理解等差数列的概念和特点。

2. 掌握等差数列的公差和通项公式。

3. 掌握计算等差数列的前n项和的方法。

教学难点：1. 掌握等差数列的通项公式的推导过程。

2. 理解等差数列的前n项和的计算方法。

教学准备：1. 教师准备黑板、白板、彩色粉笔或白板笔。

2. 准备等差数列的例题和练习题。

3. 准备计算等差数列前n项和的例题和练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入等差数列的概念，例如："同学们，你们知道什么是等差数列吗？"2. 让学生举例说明等差数列的特点，例如："请举一个等差数列的例子，并说明它的特点。

"3. 教师对学生的回答进行点评和引导，确保学生对等差数列的概念和特点有基本的了解。

二、讲解等差数列的公差和通项公式（15分钟）1. 教师通过示意图和具体例子，讲解等差数列的公差的概念和计算方法。

2. 教师引导学生思考等差数列的通项公式，并逐步推导出通项公式的公式形式。

3. 教师通过例题和练习题，帮助学生掌握等差数列的公差和通项公式。

三、计算等差数列的前n项和（20分钟）1. 教师讲解等差数列前n项和的概念和计算方法。

2. 教师通过示意图和具体例子，讲解等差数列前n项和的计算步骤。

3. 教师通过例题和练习题，帮助学生掌握计算等差数列前n项和的方法和技巧。

四、巩固练习（15分钟）1. 教师提供一些练习题，让学生独立或小组完成。

2. 教师布置一些课后作业，巩固学生对等差数列及前n项和的理解和掌握。

五、总结与展望（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调等差数列的概念、特点、公差和通项公式以及计算前n项和的方法。

2. 教师展望下节课的内容，例如引入等差数列的应用问题，如等差数列在日常生活中的应用等。

等差数列前n项和教案

等差数列前n项和优秀教案第一章：等差数列的概念1.1 等差数列的定义引导学生了解等差数列的定义，即从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。

通过示例让学生理解并掌握等差数列的定义。

1.2 等差数列的性质引导学生学习等差数列的性质，如等差数列的通项公式、相邻项的关系等。

通过示例让学生应用等差数列的性质解决问题。

第二章：等差数列的前n项和2.1 等差数列前n项和的定义引导学生了解等差数列前n项和的定义，即前n项的和。

通过示例让学生理解并掌握等差数列前n项和的定义。

2.2 等差数列前n项和的公式引导学生学习等差数列前n项和的公式，即S_n = n/2 (a_1 + a_n)，其中S_n 表示前n项的和，a_1表示首项，a_n表示第n项。

通过示例让学生应用等差数列前n项和的公式解决问题。

第三章：等差数列前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的性质引导学生学习等差数列前n项和的性质，如前n项和与项数的关系、前n项和与首项和末项的关系等。

通过示例让学生应用等差数列前n项和的性质解决问题。

3.2 等差数列前n项和的计算方法引导学生学习等差数列前n项和的计算方法，如高斯求和法、分组求和法等。

通过示例让学生应用等差数列前n项和的计算方法解决问题。

第四章：等差数列前n项和的应用4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用引导学生了解等差数列前n项和在实际问题中的应用，如计算工资、统计数据等。

通过示例让学生应用等差数列前n项和解决实际问题。

4.2 等差数列前n项和在数学竞赛中的应用引导学生了解等差数列前n项和在数学竞赛中的应用，如解决数列问题、证明数学定理等。

通过示例让学生应用等差数列前n项和解决数学竞赛问题。

第五章：等差数列前n项和的拓展5.1 等差数列前n项和的拓展知识引导学生学习等差数列前n项和的拓展知识，如等差数列的求和公式、等差数列的极限等。

通过示例让学生了解等差数列前n项和的拓展知识。

高考数学一轮复习第六章数列第2节等差数列及其前n项和教学案(含解析)新人教A版-新人教A版高

第2节等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能利用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)假设a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)假设等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，那么其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n 〔n －1〕d 2＝n 〔a 1＋a n 〕2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)假设{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，那么a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)假设{a n }是等差数列，公差为d ，那么a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)假设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，那么数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)假设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[常用结论与微点提醒]1.数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，那么数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，那么S n 存在最大值；假设a 1＜0，d ＞0，那么S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).5.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起〞“每一项与它的前一项的差〞“同一个常数〞.诊断自测1.判断以下结论正误(在括号内打“√〞或“×〞)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)假设公差d ＝0，那么通项公式不是n 的一次函数. (4)假设公差d ＝0，那么前n 项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(老教材必修5P46AT2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，假设a 6＝2且S 5＝30，那么S 8等于( ) A.31 B.32 C.33 D.34解析由可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B3.(老教材必修5P68T8改编)在等差数列{a n }中a 3＋a 4＋a 5＝6，那么S 7＝( ) A.8 B.12 C.14 D.18解析 a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝6，∴a 4＝2，S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝14.答案 C4.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.假设3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，那么a 5＝( ) A.－12 B.－10 C.10 D.12解析设等差数列{a n }的公差为d ，那么3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2020·某某模拟)等差数列{a n }，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，那么公差d ＝( ) A.－29B.29C.－23D.23解析因为S 10＝12×10×(a 1＋a 10)＝12×10×(a 1＋10)＝70，所以a 1＝4，因为a 10＝a 1＋9d ＝10，所以d ＝23.答案 D6.(2019·全国Ⅲ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.假设a 1≠0，a 2＝3a 1，那么S 10S 5＝________. 解析由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝100a 1，S 5＝5a 1＋5×42d ＝25a 1，所以S 10S 5＝4. 答案 4考点一等差数列基本量的运算[例1] (1)(一题多解)(2019·某某卷)数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和.假设a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，那么S 8的值是________.(2)(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.S 4＝0，a 5＝5，那么( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10C.S n ＝2n 2－8n D.S n ＝12n 2－2n解析 (1)法一由S 9＝27⇒9〔a 1＋a 9〕2＝27⇒a 1＋a 9＝6⇒2a 5＝6⇒a 5＝3，即a 1＋4d ＝3. 又a 2a 5＋a 8＝0⇒2a 1＋5d ＝0，解得a 1＝－5，d ＝2.故S 8＝8a 1＋8×〔8－1〕2d ＝16.法二同法一得a 5＝3.又a 2a 5＋a 8＝0⇒3a 2＋a 8＝0⇒2a 2＋2a 5＝0⇒a 2＝－3. ∴d ＝a 5－a 23＝2，a 1＝a 2－d ＝－5.故S 8＝8a 1＋8×〔8－1〕2d ＝16.(2)设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n 〔n －1〕2×2＝n 2－4n .答案 (1)16 (2)A规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，表达了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示和未知是常用方法.[训练1] (2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.S 9＝－a 5. (1)假设 a 3＝4，求{a n }的通项公式； (2)假设a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值X 围. 解 (1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5得9a 1＋9×82d ＝－(a 1＋4d )，即a 1＋4d ＝0.由a 3＝4得a 1＋2d ＝4.于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n 〔n －9〕d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 〔n －9〕2≤n －5，即n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值X 围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }. 考点二等差数列的判定与证明典例迁移[例2] (经典母题)假设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12〔n －1〕＝n －1－n 2n 〔n －1〕＝－12n 〔n －1〕.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n 〔n －1〕，n ≥2.[迁移1] 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2).所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12〔n －1〕＝－12n 〔n －1〕，所以a n ＋1＝－12n 〔n ＋1〕，又a n ＋1－a n ＝－12n 〔n ＋1〕－－12n 〔n －1〕＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n 〔n －1〕〔n ＋1〕.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列. [迁移2] 本例中，假设将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式. 解由可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－25n .规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.[训练2] 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1〔1＋q 〕＝2，a 1〔1＋q ＋q 2〕＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n.(2)由(1)可得S n ＝a 1〔1－q n 〕1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋〔－1〕n ·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 考点三等差数列的性质及应用[例3] (1)(2019·某某联考)在等差数列{a n }中，假设a 2＋a 8＝8，那么(a 3＋a 7)2－a 5＝( ) A.60 B.56 C.12 D.4(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 3＝9，S 6＝36，那么a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63 B.45 C.36 D.27解析 (1)∵在等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8， ∴a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝2a 5＝8，解得a 5＝4，所以(a 3＋a 7)2－a 5＝82－4＝60.(2)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案 (1)A (2)B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，假设m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，那么a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，那么 (1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .[训练3] (1)(2020·某某六校联考)等差数列{a n }中，假设a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，那么a 9－13a 11的值是( ) A.14 B.15 C.16 D.17(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，假设S n T n ＝3n －22n ＋1，那么a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解析 (1)依题意，由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，得5a 8＝120，即a 8＝24，所以a 9－13a 11＝13(3a 9－a 11)＝13(a 9＋a 7＋a 11－a 11)＝13(a 9＋a 7)＝23a 8＝23×24＝16.(2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.答案 (1)C (2)A考点四等差数列的最值问题多维探究角度1 等差数列前n 项和的最值[例4－1] (2019·卷)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 解 (1)设{a n }的公差为d . 因为a 1＝－10，所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d . 因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列，所以(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6). 所以(－2＋2d )2＝d (－4＋3d ). 解得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －12. (2)由(1)知，a n ＝2n －12.那么当n ≥7时，a n >0；当n ＝6时，a n ＝0，当n <6时，a n <0；所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.规律方法求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，A ≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值. 角度2 等差数列项的最值[例4－2] (2020·某某模拟)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2 020<S 2 018，S 2 019<S 2 020，那么S n <0时n 的最大值是( )A.2 019B.2 020C.4 037D.4 038解析因为S 2 020<S 2 018，S 2 019<S 2 020，所以a 2 020＋a 2 019<0，a 2 020>0.所以S 4 038＝4 038〔a 1＋a 4 038〕2＝2 019(a 2 020＋a 2 019)<0，S 4 039＝4 039〔a 1＋a 4 039〕2＝4 039a 2 020>0，可知S n <0时n 的最大值是4 038. 答案 D规律方法此题借助等差数列的性质求出S n <0中n 的取值X 围，从而求出n 的最大值，这种题型要与S n 的最值区别开来.[训练4] (1)(角度1)等差数列{a n }中，|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，那么其前n 项和取最小值时n 的值为( )A.6B.7C.8D.9(2)(角度2)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，那么这个最小值为________.解析 (1)由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，那么a 8＝－d 2<0，a 9＝d2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值.应选C.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 7＝36，所以a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，所以a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，所以a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值.综上，a n a n ＋1的最小值为－12. 答案 (1)C (2)－12A 级基础巩固一、选择题1.(2019·某某一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，那么a 2＋a 14的值为( ) A.6 B.12 C.24 D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48. 答案 D2.(2020·某某名校联盟联合调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 2＋a 7＋a 8＋a 13＝2π21，那么tan S 14＝( ) A.－33B.33C.－3D. 3 解析 ∵{a n }是等差数列，且a 2＋a 7＋a 8＋a 13＝2π21，∴a 7＋a 8＝π21，∴S 14＝14〔a 1＋a 14〕2＝7(a 7＋a 8)＝π3，∴tan S 14＝tan π3＝ 3.答案 D3.(2020·某某调研)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对任意n >1，n ∈N *，满足S n＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，那么S 10的值为( )A.90B.91C.96D.100解析 ∵对任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，∴S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91. 应选B.答案 B4.(2019·某某质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵〞的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言〞.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65. ∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.答案 B5.(2020·某某诊断)等差数列{a n }中，a 1＝2 019，a 2 019＝a 2 015－16，那么数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时n 的值为( )A.504B.505C.506D.507解析 ∵数列{a n }为等差数列，a 2 019＝a 2 015－16，∴数列{a n }的公差d ＝－4，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2 023－4n ，令a n ≥0，得n ≤2 0234. 又n ∈N *，∴S n 取最大值时n 的值为505.答案 B二、填空题6.(2019·全国Ⅲ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.假设a 3＝5，a 7＝13，那么S 10＝________. 解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13，∴公差d ＝a 7－a 37－3＝13－54＝2，首项a 1＝a 3－2d ＝5－2×2＝1，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝100. 答案 1007.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，那么S 100＝________. 解析依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案 2008.(多填题)(2019·卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 2＝－3，S 5＝－10，那么a 5＝________，S n 的最小值为________.解析由题意得a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10，解得a 1＝－4，d ＝1，所以a 5＝a 1＋4d ＝0，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.令a n ≤0，那么n ≤5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后项为正.∴S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10.答案 0 －10三、解答题9.等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.解 (1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *).(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.10.等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .(1)解设该等差数列为{a n }，那么a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k 〔k －1〕2·d ＝2k ＋k 〔k －1〕2×2＝k 2＋k ，由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)证明由(1)得S n ＝n 〔2＋2n 〕2＝n (n ＋1)，那么b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n 〔2＋n ＋1〕2＝n 〔n ＋3〕2.B 级能力提升11.(2019·某某模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，那么a 18＝( )A.259B.269C.3D.289解析令b n ＝na n ，那么2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，那么b n ＝3n －2，所以b 18＝52，那么18a 18＝52，所以a 18＝269. 答案 B12.(2020·某某调研)数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝12n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，那么S 5的值为( ) A.－454 B.－450 C.－446 D.－442解析 ∵数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.∵数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝12n ， ∴n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝12n －1，两式相减可得a n b n ＝12n －12n ＋1，可得b n ＝(1－2n )· 2n (n ≥2). n ＝1时，1b 1＝12，解得b 1＝2，不符合上式， ∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，〔1－2n 〕2n ，n ≥2，∴S 5＝2－3×22－5×23－7×24－9×25＝－450. 答案 B13.(2020·某某质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且对任意正整数n 都有a n ＋1S n S n ＋1＝－1，那么S n ＝________.解析对任意正整数n 都有a n ＋1S n S n ＋1＝－1， ∴S n ＋1－S n S n ＋1S n ＝1S n －1S n ＋1＝－1，即1S n ＋1－1S n ＝1，又1S 1＝1. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项与公差都为1的等差数列. ∴1S n ＝1＋n －1＝n ，解得S n ＝1n.答案 1n14.设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项.(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)假设b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值.(1)证明由可得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0，当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1.当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，所以2a n ＝2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，所以a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1，因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2).故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解由(1)可知a n ＝n ，设＝a n ·b n ，那么＝n (－n ＋5)＝－n 2＋5n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋254，因为n ∈N *，所以n ＝2或3，c 2＝c 3＝6，因此当n ＝2或n ＝3时，{a n ·b n }取最大项，且最大项的值为6.C 级创新猜想15.(新背景题)(2020·晋冀鲁豫名校联考)我国南北朝时期的著作《X 邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？那么据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是( ) A.678斤 B.739斤 C.778斤 D.111斤解析设第n 个人得金a n 斤，由题意可知{a n }是等差数列，设公差为d ，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝4，a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝4a 1＋30d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3726，d ＝－778，那么两个人所得金相差数额绝对值的最小值是778斤.应选C. 答案 C。

高三数学一轮复习资料第六编数列 6.2 等差数列及其前n项和(教案)理

高三数学（理）一轮复习教案第六编数列总第27期§6.2等差数列及其前n 项和基础自测1.（2008·广东理，2）记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=21，S 4=20，则S 6= . 答案 482.（2008· 陕西理，4）已知{a n }是等差数列,a 1+a 2=4,a 7+a 8=28,则该数列前10项和S 10= . 答案 1003.（2008·全国Ⅰ理，5）已知等差数列{}n a 满足a 2+a 4=4，a 3+a 5=10，则它的前10项的和S 10= . 答案 954.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且n n B A =3457++n n ，则使得n n b a为整数的正整数n 的个数是个. 答案 55.（2009·姜堰中学高三第四次综合练习）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4+a 12+a 17+a 19=8，则S 25的值为 . 答案 50 例题精讲例1 已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-14-n a (n ≥2),令b n =21-n a .求证：数列{b n }是等差数列. 证明 ∵a n+1-2=2-n a 4=n n a a )2(2-∴211-+n a =)2(2-n n a a =)2(222-+-n n a a =21+21-n a ∴211-+n a -21-n a =21，∴b n+1-b n =21.∴数列{b n }是等差数列. 例2 在等差数列{a n }中，（1）已知a 15=33,a 45=153,求a 61; (2)已知a 6=10,S 5=5，求a 8和S 8；（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d ＞0,求a 1. 解（1）方法一设首项为a 1,公差为d,依条件得⎩⎨⎧+=+=d a d a 44153143311,解方程组得⎩⎨⎧=-=.4231d ，a∴a 61=-23+(61-1)×4=217. 方法二由d=m n a a m n --,得d=15451545--a a =3033153-=4,由a n =a m +(n-m)d,得a 61=a 45+16d=153+16×4=217.（2）∵a 6=10,S 5=5,∴⎩⎨⎧=+=+510510511d a d a .解方程组得a 1=-5,d=3,∴a 8=a 6+2d=10+2×3=16,S 8=8×2)(81a a +=44. (3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有： ⎩⎨⎧=+⋅⋅-=+++-48)()(12)()(d a a d a d a a d a ,∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=48)(422d a a a , ∴⎩⎨⎧±==24d a .∵d ＞0,∴d=2,a-d=2.∴首项为2.∴a 1=2. 例3在等差数列{a n }中，已知a 1=20,前n 项和为S n ，且S 10=S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值.解方法一 ∵a 1=20，S 10=S 15，∴10×20+2910⨯d=15×20+21415⨯d ，∴d=-35∴a n =20+（n-1）×(-35)=-35n+365.∴a 13=0.即当n ≤12时，a n ＞0,n ≥14时，a n ＜0. ∴当n=12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12=S 13=12×20+21112⨯⨯(-35)=130. 方法二同方法一求得d=-35∴S n =20n+2)1(-n n ·(-35)=-65n 2+6125n=-652225⎪⎭⎫⎝⎛-n +241253. ∵n ∈N +,∴当n=12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12=S 13=130方法三同方法一得d=-35又由S 10=S 15,得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0.∴5a 13=0,即a 13=0 ∴当n=12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12=S 13=130巩固练习 1.设两个数列{a n },{b n }满足b n =nna a a a n+++++++ 32132321，若{b n }为等差数列，求证：{a n }也为等差数列.证明由题意有a 1+2a 2+3a 3+…+na n =2)1(+n n b n ， ① 从而有a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1=2)1(-n n b n-1(n ≥2), ② 由①-②，得na n =2)1(+n n b n -2)1(-n n b n-1,整理得a n =21-++n n b b nd ,其中d 为{b n }的公差(n≥2). 从而a n+1-a n =2)1(1n n b b d n ++++-21-++n n b b nd =22d d +=d 23(n ≥2).又a 1=b 1，a 2=2212b b d ++∴a 2-a 1=2212b b d ++-b 1=2212b b d -+=23d .综上，a n+1-a n =23d （n ∈N *）.所以{a n }是等差数列. 2.设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和,求T n .解设等差数列{a n }的公差为d,则S n =na 1+21n(n-1)d,∵S 7=7,S 15=75,∴⎩⎨⎧=+=+7510515721711d a d a ,即⎩⎨⎧=+=+571311d a d a ,解得⎩⎨⎧=-=121d a ,∴n S n =a 1+21(n-1)d=-2+21(n-1),∵11++n S n -n S n =21,∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列,其首项为-2,公差为21,∴T n =41n 2-49n. 3.等差数列{a n }中，a 1＜0,S 9=S 12,该数列前多少项的和最小？解由条件S 9=S 12可得9a 1+289⨯d=12a 1+21112⨯d ，即d=-101a 1.由a 1＜0知d ＞0,即数列{a n }为递增数列.方法一由⎩⎨⎧≥+=≤-+=+001111nd a a d )n (a a n n ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥--01011011011n n ）（,解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时，S n 取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小.方法二 ∵S 9=S 12，∴a 10+a 11+a 12=3a 11=0，∴a 11=0.又∵a 1＜0,∴公差d ＞0，从而前10项或前11项和最小. 方法三 ∵S 9=S 12，∴S n 的图象所在抛物线的对称轴为x=2129+=10.5, 又n ∈N *，a 1＜0,∴{a n }的前10项或前11项和最小. 方法四由S n =na 1+2)1(-n n d=2d 2n +⎪⎭⎫⎝⎛-21d a n ，结合d=-101a 1得 S n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1201a ·n 2+⎪⎭⎫⎝⎛12021a ·n=-201a 2221⎪⎭⎫ ⎝⎛-n +80441a 1 （a 1＜0），由二次函数的性质可知n=221=10.5时，S n 最小.又n ∈N *，故n=10或11时S n 取得最小值. 回顾总结知识方法思想课后作业一、填空题1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1,a 3=3,则S 4= . 答案 82.在等差数列{a n }中，已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6= . 答案 423.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 . 答案 34.已知等差数列{a n }的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,则这个数列的通项公式为 . 答案 a n =4n-35.（2009·东海高级中学月考）设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80，则a 11+a 12+a 13= . 答案 1056.(2009·兴化市板桥高级中学12月月考)数列{a n }的通项公式是a n =1-2n,其前n 项和为S n ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前11项和为 . 答案 -667.（2008·重庆理，14）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 12=-8,S 9=-9,则S 16= . 答案 -72 8.已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1,且a 1+b 1=5，a 1、b 1∈N *.设c n =a n b (n ∈N *),则数列{c n }的前10项和等于 . 答案 85 二、解答题9.已知数列{a n }中，a 1=53，a n =2-11-n a (n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =11-n a (n ∈N *). (1)求证：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由. （1）证明因为a n =2-11-n a (n ≥2,n ∈N *),b n =11-n a . 所以当n ≥2时， b n -b n-1=11-n a -111--n a =11211-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n a -111--n a =111---n n a a -111--n a =1.又b 1=111-a =-25.所以，数列{b n }是以-25为首项，以1为公差的等差数列.（2）解由（1）知，b n =n-27,则a n =1+n b 1=1+722-n . 设函数f(x)=1+722-x ,易知f(x)在区间(-∞, 27)和(27,+∞)内为减函数. 所以，当n=3时，a n 取得最小值-1；当n=4时，a n 取得最大值3.10.等差数列{a n }的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.解设等差数列{a n }的项数为2m+1,公差为d,则数列的中间项为a m+1,奇数项有m+1项，偶数项有m 项. 依题意，有S 奇=(m+1)a m+1=216 ①S 偶=ma m+1=192 ②①÷②,得m m 1+=192216，解得,m=8,∴数列共有2m+1=17项，把m=8代入②，得a 9=24, 又∵a 1+a 17=2a 9，∴a 17=2a 9-a 1=47，且d=917917--a a =823.a n =1+(n-1)×823=81523-n (n ∈N *,n ≤17).11.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知31S 3，41S 4的等比中项为51S 5; 31S 3，41S 4的等差中项为1，求数列{a n }的通项公式.解方法一设等差数列{a n }的首项a 1=a ，公差为d ，则S n =na+2)1(-n n d ，依题意，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+,21234441223331,24552512344412233312d a d a d a d a d a 整理得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,2252,0532d a d ad ∴a=1，d=0或a=4，d=-512.∴a n =1或a n =n 512532-，经检验，a n =1和a n =n 512532-均合题意.∴所求等差数列的通项公式为a n =1或a n =n 512532-. 方法二因S n 是等差数列的前n 项和，易知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列.依题意得 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⨯=+.SS ,S S S ，SS S 2435434253432543453解得⎪⎩⎪⎨⎧===,5,4,3543S S S 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===.4,58,524543S S S 由此得a 4=S 4-S 3=1，a 5=S 5-S 4=1，或a 4=-516，a 5=-528，∴d=0或d=-512.∴a n =a 4+（n-4）×0=1或a n =a 4+（n-4）×(-512)=532-512n. 故所求等差数列的通项公式a n =1或a n =532-512n. 12.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4=117,a 2+a 5=22. （1）求通项a n ; (2)若数列{b n }满足b n =cn S n+,是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由.解（1）由等差数列的性质得，a 2+a 5=a 3+a 4=22,所以a 3、a 4是关于x 的方程x 2-22x+117=0的解，又公差大于零，所以a 3=9,a 4=13.易知a 1=1,d=4,故通项为a n =1+(n-1)×4=4n-3. (2)由(1)知S n =2)341(-+n n =2n 2-n,所以b n =c n S n +=cn n n +-22.方法一所以b 1=c +11,b 2=c +26,b 3=c +315(c ≠0).令2b 2=b 1+b 3,解得c=-21. 当c=-21时，b n =2122--n nn =2n,当n ≥2时，b n -b n-1=2.故当c=-21时，数列{b n }为等差数列. 方法二当n ≥2时， b n -b n-1=c n n n c n n n +-----+-1)1()1(2222=)1()12(3)24(222-+-+--+c c n c n c n c n , 欲使{b n }为等差数列，只需4c-2=2(2c-1)且-3c=2c(c-1) (c ≠0)解得c=-21.。

2021版高考数学一轮复习第六章数列 6.2 等差数列及其前n项和教学案苏教版

第二节等差数列及其前n项和[最新考纲］ 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题。

4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列(1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为a n＋1－a n＝d（n∈N＊）,d为常数．(2）等差中项：数列a，A,b成等差数列的充要条件是A＝错误!,其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1）通项公式：a n＝a1＋（n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋错误!d＝错误!.3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1）当d≠0时，等差数列{a n｝的通项公式a n＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．（2)当d≠0时，等差数列{a n｝的前n项和S n＝错误!n2＋错误!n是关于n 的二次函数．4．等差数列的前n项和的最值在等差数列{a n｝中，a1>0，d<0,则S n存在最大值;若a1〈0，d>0,则S n存在最小值．错误!等差数列的常用性质(1）通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N＊)．（2)若｛a n｝为等差数列，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q（m，n，p,q∈N＊）．（3）若｛a n}是等差数列,公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N＊)是公差为md的等差数列．（4）数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.(5）若｛a n}，{b n｝均为等差数列且其前n项和为S n，T n,则错误!＝错误!.(6)若｛a n}是等差数列,则错误!也是等差数列，其首项与{a n｝的首项相同，公差是｛a n｝的公差的错误!。

数学一轮复习第五章数列第2讲等差数列及其前n项和学案含解析

第2讲等差数列及其前n项和［考纲解读]1。

理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点)2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．（重点、难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2021年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大,属中档题型.1．等差数列的有关概念（1）定义:一般地，如果一个数列从错误!第2项起，每一项与它前一项的错误!差都等于错误!同一个常数，那么这个数列就叫做等错误!公差，通常用字母d表示．数学语言表示为错误!a n＋1－a n＝d(n∈N＊），d为常数．(2）等差中项：若a，A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且A＝错误!错误!.2．等差数列的通项公式与前n项和公式（1)若等差数列{a n}的首项是a1,公差是d，则其通项公式为a n＝错误!a1＋(n－1）d，可推广为a n＝a m＋错误!（n－m)d(n,m∈N＊）．（2)等差数列的前n项和公式S n＝n a1＋a n2＝错误!na1＋错误!d(其中n∈N＊）．3．等差数列的相关性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．(1)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，错误!a m＋a n＝a p＋a q （m,n，p,q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则错误!2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(2）相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列,公差为错误!md(k,m∈N＊)．（3)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为错误!n2d。

(4）错误!也成等差数列，其首项与{a n｝首项相同，公差为错误!错误! d。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案等差数列及其前n项和1

第二节等差数列及其前n 项和等差数列(1)理解等差数列的概念．(2)掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． (4)了解等差数列与一次函数的关系．知识点一等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫作a ，b 的等差中项．易误提醒1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．[自测练习]1．现给出以下几个数列：①2,4,6,8，…，2(n －1)，2n ；②1,1,2,3，…，n ；③常数列a ，a ，a ，…，a ；④在数列{a n }中，已知a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2.其中等差数列的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由4－2＝6－4＝…＝2n －2(n －1)＝2，得数列2,4,6,8，…，2(n －1)，2n 为等差数列；②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1,1,2,3，…，n 不是等差数列；③常数列a ，a ，a ，…，a 为等差数列；④当数列{a n }仅有3项时，数列{a n }是等差数列，当数列{a n }的项数超过3项时，数列{a n }不一定是等差数列．故等差数列的个数为2.答案：B2．若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________. 解析：由题意得该等差数列的公式d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72.答案：72知识点二等差数列的通项及求和公式等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. 必记结论1．巧用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．2．前n 项和公式S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 视为关于n 的一元二次函数，开口方向由公差d 的正负确定；S n ＝(a 1＋a n )n2中(a 1＋a n )视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题．[自测练习]3．(2016·日照模拟)已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，那么a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．40B ．42C ．43D ．45解析：设等差数列公差为d ，则有a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝4＋3d ＝13，解得d ＝3，故a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d )＝3×(2＋4×3)＝42，故选B.答案：B4．(2015·兰州诊断)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝( ) A ．18 B ．36 C ．54D ．72解析：由S 8＝8×(a 1＋a 8)2，又a 4＋a 5＝a 1＋a 8＝18，∴S 8＝8×182＝72.答案：D5．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2＋a 6＝a 8，则S 5a 5＝________.解析：在等差数列中，由a 2＋a 6＝a 8得2a 1＋6d ＝a 1＋7d ，即a 1＝d ≠0，所以S 5a 5＝5a 1＋5×42d a 1＋4d ＝5a 1＋10da 1＋4d ＝155＝3.答案：3考点一等差数列的基本运算|1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11解析：法一：数列{a n }为等差数列，设公差为d ，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝3，∴a 1＋2d ＝1，∴S 5＝5a 1＋5×42×d ＝5(a 1＋2d )＝5.法二：数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5×2a 32＝5.答案：A2．等差数列{a n }中，a 1＝12 015，a m ＝1n ，a n ＝1m (m ≠n )，则数列{a n }的公差d 为________．解析：∵a m ＝12 015＋(m －1)d ＝1n ，a n ＝12 015＋(n －1)d ＝1m ，∴(m －n )d ＝1n －1m ，∴d ＝1mn ，∴a m ＝12 015＋(m －1)1mn ＝1n ，解得1mn ＝12 015，即d ＝12 015. 答案：12 0153．(2015·通州模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝－2，公差d ＝－2，那么数列{a n }的前5项和S 5＝________.解析：将已知条件代入公式易得S 5＝5(a 2－d )＋5×42d ＝－20.答案：－20等差数列的基本运算的两个解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．考点二等差数列的判断与证明|已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)证明：1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，∴b n ＋1－b n ＝13，∴{b n }是等差数列．(2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，∴a n －1＝3n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2.等差数列的四种判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .1．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1， ∴当n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝12－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52，∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．考点三等差数列的性质及最值|(1)(2016·泉州质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＋a 14＝10，则S 18＝( )A ．20B ．60C ．90D ．100[解析] 因为{a n }是等差数列，所以S 18＝18(a 1＋a 18)2＝9(a 5＋a 14)＝90，故选择C.[答案] C(2)(2015·广州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40[解析] 本题考查等差数列的性质．这个数列的项数为2n ，于是有2×n ＝25－15＝10,2n ＝10，即这个数列的项数为10，故选A.[答案] A(3)已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项的和，S 10＝S 22. ①求S n ；②这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．[解] ①∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10， S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，即12(a 11＋a 22)2＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0. 又a 1＝31，∴d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.②法一：由①知，S n ＝32n －n 2＝－(n －16)2＋256， ∴当n ＝16时，S n 有最大值256. 法二：由①知，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝31＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋33≥0，a n ＋1＝31＋n ·(－2)＝－2n ＋31≤0(n ∈N *)，解得312≤n ≤332，∵n ∈N *，∴n ＝16时，S n 有最大值256.求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则：①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q 2时，S n 最大；②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．2．(2015·深圳调研)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 7B ．S 6C ．S 5D ．S 4解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：C3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝18，则a 8＝________.解析：等差数列性质可得S 3＝3，S 6－S 3＝15，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8成等差数列，故有2(S 6－S 3)＝S 3＋S 9－S 6⇒2×15＝3＋3a 8，解得a 8＝9.答案：917.整体思想在等差数列中的应用【典例】已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )A.94 B.32 C.53D ．4[思路点拨] 若利用a ，d 基本计算较繁，可考虑S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，采用整体求值较简便．[解析] 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4，得S 4－S 2S 2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝94.[答案] A[方法点评] 利用整体思想解数学问题，就是从全局着眼，由整体入手，把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法．有不少等差数列题，其首项、公差无法确定或计算烦琐，对这类问题，若从整体考虑，往往可寻得简捷的解题途径．[跟踪练习] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－S 20＝10＋2×10＝30， ∴S 30＝60.答案：60A 组考点能力演练1．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3＝33－1310＝2，故选择B.答案：B2．(2016·宝鸡质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 9＝18，a n －4＝30(n >9)，若S n＝336，则n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：因为{a n }是等差数列，所以S 9＝9a 5＝18，a 5＝2，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 5＋a n －4)2＝n2×32＝16n ＝336，解得n ＝21，故选择D.答案：D3．(2015·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.答案：C4．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝40，则3a 1＋a 11＝( ) A ．20 B ．30 C ．40D ．60解析：本题考查等差数列的通项公式及性质的应用．由等差数列的性质得a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2(a 3＋a 4)＝40，解得a 3＋a 4＝20，即a 3＋a 4＝2a 1＋5d ＝20，又3a 1＋a 11＝4a 1＋10d ＝2(2a 1＋5d )＝40，故选C.答案：C5．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝( ) A.345 B ．5 C.314D.315解析：法一：令S n ＝(7n ＋1)n ，T n ＝(n ＋3)n ，则a n ＝14n －6，b n ＝2n ＋2，所以a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝22＋64＋232＋30218＋22＋26＋34＝315.法二：设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝4a 1＋42d 14b 1＋42d 2＝2a 1＋21d 12b 1＋21d 2＝a 1＋a 22b 1＋b 22＝S 22T 22＝7×22＋122＋3＝315.答案：D6．(2015·广州一模)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝20，则S 11＝________. 解析：因为{a n }是等差数列，所以S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝20，所以a 6＝4，所以S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝44.答案：447．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，则b 1＝1×S 1＋(1＋2)a 1＝1×a 1＋3a 1＝4，b 2＝2×S 2＋(2＋2)a 2＝2×(a 1＋a 2)＋(2＋2)a 2＝8，所以等差数列{b n }的首项为4，公差为4，所以b n ＝4＋(n －1)×4＝4n ，即nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n .当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝⎛⎭⎫1＋2n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2(n ＋1)n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为公比，1为首项的等比数列，所以a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，所以a n ＝n2n －1. 答案：n 2n－18．设等差数列{a n }满足公差d ∈N *，a n ∈N *，且数列{a n }中任意两项之和也是该数列的一项．若a 1＝35，则d 的所有可能取值之和为________．解析：本题考查等差数列的通项公式．依题意得a n ＝a 1＋(n －1)d ，a i ＋a j ＝2a 1＋(i ＋j －2)d ＝a 1＋(m －1)d (i ，j ，m ∈N *)，即(m －i －j ＋1)d ＝a 1，kd ＝a 1＝35(其中k ，d ∈N *)，因此d 的所有可能取值是35的所有正约数，即分别是1,3,32,33,34,35，因此d 的所有可能取值之和为1－35×31－3＝364. 答案：3649．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b 1＝a 1且b n ＝a n ＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式．解：(1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16，∵公差d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝a n ＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．∵b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1(n ≥2，n ∈N *)，且b 1＝a 1＝1， ∴b n ＝2n －1＋2n －3＋…＋3＋1＝n 2(n ≥2，n ∈N *)． ∴b n ＝n 2(n ∈N *)．10．(2015·南昌一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围．解：(1)∵a 1＝1，S 3＝6，∴数列{a n }的公差d ＝1，a n ＝n .由题知，⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ，①b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1(n ≥2)，②①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)，又b 1＝2S 1＝21＝2，满足上式，故b n ＝2n . (2)λb n >a n 恒成立⇒λ>n2n 恒成立，设c n ＝n 2n ，则c n ＋1c n ＝n ＋12n，当n ≥2时，c n <1，数列{c n }单调递减，∴(c n )max ＝12，故λ>12. B 组高考题型专练1．(2015·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质知a 2＋a 6＝2a 4，所以a 6＝2a 4－a 2＝0，故选B. 答案：B2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192 C ．10 D ．12解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由题设知d ＝1，S 8＝4S 4，所以8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝12＋9＝192，选B. 答案：B3．(2015·高考北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0解析：若{a n }是递减的等差数列，则选项A ，B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32>a 1a 3，所以C 正确．答案：C4．(2015·高考安徽卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．解析：因为a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1、公差为12的等差数列，所以前9项和S 9＝9＋9×82×12＝27. 答案：275．(2015·高考北京卷)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7.问：b 6与数列{a n }的第几项相等？解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1,2，…)．(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2，得n ＝63.所以b 6与数列{a n }的第63项相等．6．(2015·高考重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2,3a 1＋3×22d ＝92，即a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，解得a 1＝1，d ＝12，故通项公式为a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12. (2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2，故{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.。

高考数学一轮复习第六章数列第2讲等差数列及其前n项和教案理(含解析)

第2讲等差数列及其前n 项和基础知识整合1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从□01第2项起，每一项与它的前一项的□02差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为□03a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是□04A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的□05等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝□06a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝□07na 1＋n n －12d＝□08n a 1＋a n2.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d, 则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)等差数列{a n }的前n 项和为S n, 则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等差数列，其公差为n 2d . (7)若等差数列的项数为2n (n ∈N *)，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (8)若等差数列的项数为2n －1(n ∈N *)，则S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1(S 奇＝na n ，S 偶＝(n －1)a n )．(9)由公式S n ＝na 1＋n n －1d 2得S n n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d2，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，首项为a 1，公差为等差数列{a n }公差的一半．1．(2019·河北邯郸模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝12，公差d ＝2，则a 9＝( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17答案 D 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 4＝12⇒2a 1＋5d ＝12，d ＝2⇒a 1＝1，∴a 9＝a 1＋8d ＝1＋16＝17.故选D.2．(2018·全国卷Ⅰ)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12答案 B解析设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2＋3×22·d ＝2×2＋d ＋4×2＋4×32·d ，整理解得d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2－12＝－10.故选B.3．(2019·湖北武汉调研)若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．3 答案 B解析根据等差数列的性质，可得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，即2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，因此S 2＝0.4．(2019·宁夏银川模拟)在等差数列{a n }中，S 5＝25，a 2＝3，则a 7＝( ) A ．13 B ．12 C ．15 D ．14答案 A解析 ∵S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝25，∴a 3＝5，又a 2＝3，∴d ＝a 3－a 2＝2，∴a 7＝a 3＋4d＝5＋8＝13.故选A.5．(2019·辽宁模拟)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若a 3＋a 4＋a 8＝25，则S 9＝( )A ．60B ．75C ．90D ．105 答案 B解析由等差数列的性质知a 3＋a 4＋a 8＝3a 5＝25. ∴a 5＝253，∴S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝75.故选B.6．(2019·长春市模拟)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 ∵|a 6|＝|a 11|且公差d >0，∴a 6＝－a 11， ∴a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0，且a 8<0，a 9>0， ∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…∴使S n 取最小值的n 的值为8.故选C.核心考向突破考向一等差数列的基本运算例1 (1)(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4<S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4>S 1D ．S 4＝S 1答案 B解析设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4<S 1.故选B. (2)(2019·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，公差d ≠0，若lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，且a 5＝10，则{a n }的前5项和S 5＝( )A ．40B ．35C ．30D ．25答案 C解析因为lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，所以2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4⇒lg a 22＝lg a 1a 4⇒a 22＝a 1a 4⇒d 2＝a 1d ，因为d ≠0，所以a 1＝d ，又a 5＝a 1＋4d ＝10，所以a 1＝2，d ＝2，S 5＝5a 1＋5×42d ＝30.选C.(3)(2018·上海高考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝________.答案 14解析设数列{a n }的公差为d ，则a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝14，又∵a 3＝0，∴d ＝2，∴a 4＝a 3＋d ＝2.∴S 7＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝7a 4＝14.触类旁通等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量转换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.即时训练 1.(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．答案 20解析设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 22＝a 1＋(a 1＋d )2＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝10，解得a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.3．已知数列{a n }中，a 3＝7，a 7＝3，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，则a 10＝________. 答案 73解析设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的公差为d ，则1a 3－1＝16，1a 7－1＝12. ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列， ∴1a 7－1＝1a 3－1＋4d ，即12＝16＋4d ，解得d ＝112，故1a 10－1＝1a 3－1＋7d ＝16＋7×112＝34，解得a 10＝73. 考向二等差数列的性质角度1 等差数列项的性质例2 (1)(2019·温州模拟)等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值是( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案 C解析因为{a n }是等差数列，所以a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝5a 8＝120，所以a 8＝24.所以a 9－13a 11＝a 8＋d －13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.故选C. (2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 5＋a 8＝30，则下列一定为定值的是( ) A ．S 6 B ．S 7 C ．S 8 D ．S 9 答案 D解析由a 2＋a 5＋a 8＝30可得3a 5＝30，所以a 5＝10，S 6＝3(a 1＋a 6)不一定是定值；S 7＝72(a 1＋a 7)不一定是定值；S 8＝4(a 1＋a 8)不一定是定值；S 9＝a 1＋a 9×92＝2a 5×92＝90.选D.触类旁通等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将a n ＋a m ＝2a k (n ＋m ＝2k ，n ，m ，k ∈N *)与a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ＋n ＝p ＋q ，m ，n ，p ，q ∈N *)相结合，可减少运算量．即时训练 4.(2019·河南豫南、豫北联考)等差数列{a n }中，a 4＋a 10＋a 16＝30，则a 18－2a 14的值为( )A ．20B ．－20C ．10D ．－10答案 D解析 ∵a 4＋a 10＋a 16＝3a 10＝30，∴a 10＝10，又2a 14＝a 18＋a 10，∴a 18－2a 14＝－a 10＝－10，故选D.5．(2019·福建漳州模拟)在等差数列{a n }中，若S 9＝18，S n ＝240，a n －4＝30，则n 的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案 B解析由等差数列的性质知S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝18，∴a 5＝2，又a n －4＝30.∴S n ＝n a 1＋a n2＝n a n －4＋a 52＝16n ＝240，∴n ＝15.故选B.角度2 等差数列和的性质例3 (1)(2019·四川双流中学模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝5，则S 40＝( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析由等差数列的性质知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等差数列，∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，∴S 20＝S 10＋S 303＝1＋53＝83.∴d ＝(S 20－S 10)－S 10＝23，∴S 40－5＝1＋3×23＝3，∴S 40＝8.故选B.(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.答案 5解析设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.触类旁通等差数列和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列，且有S 2n ＝n a 1＋a 2n ＝…＝n a n ＋a n ＋1；S 2n －1＝2n －1a n ；若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中中间项.即时训练 6.(2019·大同模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，a 51＋a 52＋…＋a 100＝2700，则a 50＝( )A ．－22.5B ．－21.5C ．28.5D ．20答案 C解析由(a 51＋a 52＋…＋a 100)－(a 1＋a 2＋…＋a 50)＝50×50d ＝2700－200，得d ＝1.由a 1＋a 100＋a 2＋a 99＋…＋a 50＋a 51＝50(a 50＋a 51)＝2700＋200，得a 50＋a 51＝58，即2a 50＋d ＝58，所以a 50＝58－12＝572＝28.5.故选C.7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝( )A.310B.13C.18D.19答案 A解析令S 3＝1，则S 6＝3，∴S 9＝1＋2＋3＝6.S 12＝S 9＋4＝10，∴S 6S 12＝310.故选A. 考向三等差数列的判定与证明例4 (1)(2019·辽宁模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1并且1a n －1＝2a n －1a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }的第100项为( )A.1100B.150C.12100 D.1250 答案 B解析 ∵1a n －1＝2a n －1a n ＋1(n ≥2)，∴1a n ＋1＋1a n －1＝2a n ，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，首项为1a 1＝12，第二项为1a 2＝1，∴d ＝12，∴1a 100＝1a 1＋99d ＝50，∴a 100＝150.(2)(2019·昆明模拟)在数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1＝2－1a n ，设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和是S n .①证明数列{b n }是等差数列，并求S n ； ②比较a n 与S n ＋7的大小．解 ①证明：∵b n ＝1a n －1，a n ＋1＝2－1a n， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－1＝1a n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }是公差为1的等差数列．由a 1＝35，b n ＝1a n －1，得b 1＝－52，∴S n ＝－5n 2＋n n －12＝n 22－3n . ②由①知，b n ＝－52＋n －1＝n －72.由b n ＝1a n －1，得a n ＝1＋1b n ＝1＋1n －72. ∴a n －S n －7＝－n 22＋3n －6＋1n －72. ∵当n ≥4时，y ＝－n 22＋3n －6是减函数，y ＝1n －72也是减函数，∴当n ≥4时，a n －S n－7≤a 4－S 4－7＝0.又∵a 1－S 1－7＝－3910<0，a 2－S 2－7＝－83<0，a 3－S 3－7＝－72<0，∴∀n ∈N *，a n －S n －7≤0，∴a n ≤S n ＋7. 触类旁通等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． 3通项公式法：验证a n ＝pn ＋q . 4前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.即时训练 8.(2019·河南郑州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝4,2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，当a n ＝298时，项数n ＝( )A ．100B ．99C ．96D ．101答案 A解析因为2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －a n －1＝a n ＋1－a n .由a 1＝1，a 2＝4得d ＝a 2－a 1＝3，所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.由3n －2＝298，解得n ＝100.故选A.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ＋1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(2)若不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 对任意的n ∈N *恒成立，求λ的取值范围．解 (1)证明：当n ＝1时，S 1＝2a 1－22，得a 1＝4.S n ＝2a n －2n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2n，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2n ，即a n ＝2a n －1＋2n ，所以a n 2n －a n －12n －1＝1，又a 121＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知a n2n ＝n ＋1，即a n ＝n ·2n ＋2n.因为a n >0，所以不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 等价于5－λ>2n －32n .即λ<5－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32n .记b n ＝2n －32n ，b 1＝－12，b 2＝14，当n ≥2时，b n ＋1b n ＝2n －12n ＋12n －32n ＝2n －14n －6，则b 3b 2＝32，即b 3>b 2，又显然当n ≥3时，b n ＋1b n <1，所以(b n )max ＝b 3＝38，所以λ<378. 1．(2019·长沙模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析由a 4＋a 6＝2a 5＝－6得a 5＝－3，则公差为－3＋115－1＝2，所以由a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13≤0得n ≤132，所以前6项和最小．选A.2．(2019·北京海淀模拟)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解解法一：由S 3＝S 11，得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1.又a 1>0，所以－a 113<0.故当n ＝7时，S n 最大．解法二：由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由解法一可知a ＝－a 113<0，故当n ＝7时，S n 最大．解法三：由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．解法四：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大．答题启示求等差数列前n 项和最值的常用方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小．若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．对点训练1．(2019·广东佛山模拟)设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 15，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则数列{S n }的最大项为( )A ．S 23B ．S 24C ．S 25D ．S 26答案 C解析设等差数列的公差为d ，∵3a 8＝5a 15， ∴3a 1＋21d ＝5a 1＋70d ，∴a 1＋2412d ＝0.∵a 1>0，∴d <0，∴a 1＋24d ＝a 25>0，a 1＋25d ＝a 26<0，∴数列{S n }最大项为S 25.故选C.2．(2019·黑龙江模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21答案 B解析 ∵S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 有最大值，∴d <0，又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，∴a 10＋a 11<0，即a 1＋a 20<0，∴S 20＝10(a 1＋a 20)<0，又S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10>0，∴使S n >0的n 的最大值为19.故选B.。

高中数学面试真题-《等差数列的前n项和》教案、教学设计

《等差数列的前n项和》教案、教学设计
一、教学目标
【知识与技能】
运用数列前n项和公式求解数列通项公式，并会判断数列类型。

【过程与方法】
在自主探究的过程中，提升分析问题、解决问题的能力。

【情感态度与价值观】
在解决问题的过程中感受成功的体验，激发学习数学的兴趣。

二、教学重难点
【重点】运用数列前n项和公式求解数列通项公式。

【难点】运用数列前n项和公式判断数列类型的过程。

三、教学过程
(一)课堂导入
直接导入：直接和学生明确本节课研究的内容——等差数列的前n 项和。

(二)回顾旧知
带领学生回顾：等差数列与公差的概念，等差数列通项公式、等差数列前n项和公式。

(四)小结作业
课堂小结：重点回顾如何运用数列前n项和公式求解数列通项公式，并判断数列类型。

作业：课后练习题1，2题。

四、板书设计。

2023年新高考数学一轮总复习核心考点分层训练等差数列及其前n项和带讲解

第35讲等差数列及其前n 项和学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，547,29,198n n a a S -===，则n =（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13【答案】B【分析】根据等差数列的通项的性质和前n 项和公式求解. 【详解】因为()()15422n n n n a a n a a S -++==，又547,29,198n n a a S -===，所以18198n =，所以11n =，故选：B ．2．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，452a a =，则74S S =（）A ．74B ．-1C ．1D ．54【答案】C【分析】利用等差中项5462a a a =+，6572a a a =+及等差数列前n 项和的性质即可求解. 【详解】解：在等差数列{}n a 中，5462a a a =+，452a a =，故60a =，又6572a a a =+，故75a a =-，则745674S S a a a S =+++=，故741S S =. 故选：C.3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（） A ．10秒 B ．13秒 C ．15秒 D ．19秒【答案】D【分析】根据题意和等差数列的定义可知每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，结合等差数列的前n 项求和公式计算即可.【详解】设每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，则{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有()221380n n n n n +-=+=，解得19n =．故选：D.4．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若728S =，则237a a a ++的值为（） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14【答案】C【分析】根据等差数列的求和公式，求得44a =，结合等差数列的性质，化简得到27433a a a a =++，即可求解.【详解】因为728S =，由等差数列的性质和求和公式得17747()7282a a S a +===，即44a =，则112374393(3)312a d a a a a a d =+=+==++. 故选：C.5．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()9353m S a a a =++，则m =（）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】C【分析】根据等差数列的前n 项和的性质及等差数列通项公式化简可得.【详解】因为()9353m S a a a =++，又959S a =，所以()53593m a a a a =++，所以3553m a a a a ++=，即352m a a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则1112(1)2(4)a d a m d a d +++-=+，所以(+1)8m d d =，又0d ≠，所以18m +=，所以7m =．故选：C.6．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D7．（2022·重庆·二模）等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若5m a =，则m S 的最大值为（） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【答案】C【分析】先利用等差数列的通项公式得到首项，再利用等差数列的前n 项和公式和一元二次函数求其最值. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，因为5m a =，且2d =，所以1+2(1)5a m -=，解得172a m =-，则1()(122)=22m m m a a m m S +-= 2(3)99m =--+≤，即3m m S =时取最大值为9. 故选：C.8．（2022·重庆八中模拟预测）已知等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且1n n S nT n =+，那么87a b 的值为（） A ．1312B ．1413C ．1514D ．1615【答案】C【分析】设等差数列{}n a 、{}n b 的公差分别为1d 、2d ,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关系,可得结论.【详解】设等差数列{}{},n n a b 的公差分别为1d 和2.d11111,12n n S S a n T n T b =∴==+,即1112a b = 2112122223S a d T b d +∴==+,即11232b d d =- ① 311312333334S a d T b d +∴==+,即21143d d b =- ①由①①解得1211,.d d b d ==11811712111771526614d d a a d b b d d d ++∴===++故选：C 9．（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列{}n a 满足()213nn n a a ++-=，11a =，22a =，数列{}n a 的前n项和为n S ，则30S =（） A ．351 B ．353 C ．531 D ．533【答案】B【分析】根据题意讨论n 的奇偶，当n 为奇数时，可得23n n a a +-=，按等差数列理解处理，当n 为偶数时，可得23n n a a ++=，按并项求和理解出来，则30S 按奇偶分组求和分别理解处理．【详解】依题意，()213nn n a a ++-=，显然，当n 为奇数时有23n n a a +-=，即有313a a -=，533a a -=，…，21213n n a a +--=，令21n n b a -=，故13n n b b +-=，所以数列{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，故32n b n =-；当n 为偶数时有23n n a a ++=，即423a a +=，643a a +=，…，2223n n a a ++=，于是，()()3013292430S a a a a a a =+++++++()()()12152462830b b b a a a a a =+++++++++⎡⎤⎣⎦14315273330233532+=⨯++⨯=+=，故选：B ．10．（多选）（2022·河北沧州·二模）已知数列{}n a 满足()1121,(1)n n n a a a n n ++==--+，记{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．4850100a a += B ．50464a a -= C ．48600S = D ．49601S =【答案】BCD【分析】由条件可得当n 为奇数时，211n n a a a +===；当n 为偶数时，22n n a a n ++=，然后可逐一判断.【详解】因为()1121,(1)n n n a a a n n ++==--+，所以当n 为奇数时，211n n a a a +===；当n 为偶数时，22n n a a n ++=.所以485096a a +=，选项A 错误；又因为464892a a +=，所以50464a a -=，选项B 正确； ()()()481354724684648S a a a a a a a a a a ⎡⎤=+++++++++++⎣⎦()()24612241226462426002+⨯=⨯+⨯+++=+⨯=故C 正确4948496001601S S a =+=+=，选项D 正确.故选：BCD11．（多选）（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）记数列{}n a 是等差数列，下列结论中不恒成立的是（）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则20a <C ．若12a a <，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】ACD【分析】根据等差数列通项公式及等差中项，结合基本不等式即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则对于A ，由数列{}n a 是等差数列及120a a +>，所以可取123101a a a ===-，，，所以230a a +>不成立，故A 正确；对于B ，由数列{}n a 是等差数列，所以13202a a a +<=，所以20a <恒成立，故B 不正确；对于C, 由数列{}n a 是等差数列，12a a <可取123321a a a =-=-=-，，，所以2a C 正确；对于D ，由数列{}n a 是等差数列，得()()221230a a a a d --=-≤，无论1a 为何值，均有()()21230a a a a --≤所以若10a <，则()()21230a a a a -->恒不成立，故D 正确. 故选：ACD.12．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列{}n a 中2341,25a a a =-+=，则20222020a a -=_______．【答案】4【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算得到方程组，求出公差，求出答案.【详解】设公差为d ，则()11112235a d a d a d +=-⎧⎨+++=⎩，解得：132a d =-⎧⎨=⎩，所以2022202024a a d -==故答案为：413．（2022·山东青岛·二模）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n 行共有12n -个数，若12a =，且该数阵中第5行第6列的数为42，则n a =___________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 ……【答案】2n【分析】利用等比数列前n 项和公式确定42为数列中的第几项，可以求出公差，从而确定等差数列的通项公式.【详解】解：设公差为d ，因为该数阵第n 行共有12n -个数，则前4行共有()41121512⨯-=-个数，所以第5行第6列数为2142a =，则2114222211211a a d --===--，所以2(1)22n a n n =+-⨯=．故答案为：2n ．14．（2022·辽宁·抚顺一中模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12113S a =，则5a =______，9S =______．【答案】 0 0【分析】根据等差数列的求和公式，化简可得12d a =，代入12113S a =即可求出14a d =-，根据等差数列的通项公式和求和公式，即可求出答案.【详解】等差数列{}n a 中，12111112663330S a d a a d =+==+，所以111266330a d a d +=+，即14a d =-，所以5140a a d =+=，9590S a == 故答案为：①0；①0.15．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日晷长的和为______尺【答案】60【分析】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以每个节气的日晷长构成等差数列，所以夏至到立冬的日晷长的和可以用等差数列求和公式得到.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以每个节气的日晷长构成等差数列，设冬至日晷长13.5尺为1a ，则芒种日晷长2.5尺为12a ，所以1211121a a d -==--，所以夏至日晷长为1.5尺，记夏至日晷长1.5尺为1b ，小暑为2b ，大暑为3b ，……，立冬为10b则121010(101)101.51602b b b ⋅-+++=⋅+⋅=. 故答案为：60.16．（2022·重庆八中模拟预测）在等差数列{}n a 中，261028a a a ++=，则数列{}n a 的前13项和为______．【答案】26【分析】由等差数列的通项公式得12+6a d =，再代入求和公式()13113+6S a d =可求得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为261028a a a ++=，()()()111+++5+2+98d d a a a d ∴=， 12+6a d ∴=，则()131113(131)13+13+6262S a d a d ⨯-===，故答案为：26．17．（2022·广东·模拟预测）已知{}n a 和{}n b 均为等差数列，若12456,9a b a b ==+=，则78a b +的值是__________. 【答案】6【分析】利用等差数列的性质计算即可得解. 【详解】解：因为{}n a 和{}n b 均为等差数列，所以1742852,2a a a b b b +=+=，所以()1728452a a b b a b +++=+，即781229a b ++=⨯，所以786a b +=. 故答案为：6.18．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知等差数列{n a }的前n 项和是n S ，180S >，190S <，则数列{|n a |}中值最小的项为第___项．【答案】10【分析】根据题意判断等差数列{n a }的90a >，100a <，9100a a >->，由此可判断数列{||}n a 的项的增减情况，进而确定答案.【详解】由题意得：119191019()1902a a S a +===<，①100a <，()1180990S a a =+>，①90a >，9100a a >->，①910a a >，故等差数列{n a }为递减数列，即公差为负数，因此{||}n a 的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，由于910a a >，①{|n a |}最小的项是第10项，故答案为：1019．（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，29a =-，且()11222n n n S S S n +-+=+≥．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)已知11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解】(1)由题意得：由题意知()()112n n n n S S S S +----=，则()122n n a a n +-=≥又212a a -=，所以{}n a 是公差为2的等差数列，则()11213n a a n d n =+-=-； (2)由题知()()11112132112213211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭则1111111111211997213211211211n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12122n n =- 20．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在“①1n n a a +>，31044a a =，4915a a +=；①765S a =，23a =；①2(3)n S n n =+”三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且__________． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若11n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <．【解】(1)若选择①，因为1n n a a +>，31044a a =，4915a a +=，31049a a a a +=+，解得34a =，1011a =，设公差为d ，则有1324a a d +==，101911a a d =+=，解得12a =，1d =，所以1n a n =+．若选择①，设公差为d ，74675S a a ==，即()()117355a d a d +=+，结合213a a d =+=，解得12a =，1d =，所以1n a n =+．若选择①，当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，1(3)(1)(2)122n n n n n n n a S S n -+-+=-=-=+，当1n =时亦满足上式，所以1n a n =+． (2)证明：由（1）得11111(1)(2)12n n n b a a n n n n +===-++++，所以1111111123341222n T n n n =-+-++-=-+++，因为102n >+，（*N n ∈），所以111222n -<+，所以12n T <．【素养提升】1．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知sin ,sin ,sin x y z 依次组成严格递增的等差数列，则下列结论错误．．的是（）A ．tan ,tan ,tan x y z 依次可组成等差数列B ．cos ,cos ,cos x y z 依次可组成等差数列C ．cos ,cos ,cos x z y 依次可组成等差数列D ．cos ,cos ,cos z x y 依次可组成等差数列【答案】B 【分析】取,0,66x y z ππ=-==，即可判断A ；利用反证法，假设cos ,cos ,cos xy z 依次可组成等差数列，则有2cos coscos y x z =+，2sin sin sin y x z =+，两式相加，整理即可判断B ；取sin 0,sin x y z ===CD.【详解】解：对于A ，当,0,66x y z ππ=-==时，此时11sin ,sin 0,sin 22x y z =-==依次组成严格递增的等差数列，则tan tan 0,tan x y z ===依次组成等差数列，故A 正确；对于B ，假设cos ,cos ,cos x y z 依次可组成等差数列，则有2cos cos cos y x z =+，又因2sin sin sin y x z =+，两式平方相加得()422cos cos sin sin x z x z =++，则()cos 1x z -=，故2x z k π-=，所以2,Z x k z k π=+∈，所以()sin sin 2sin x k z z π=+=，与题意矛盾，所以cos ,cos ,cos x y z 依次不可能组成等差数列，故B 错误；对于C ，当sin 0,sin 33x y z =-==11cos ,cos ,cos 133x z y =-==，则cos ,cos ,cos x z y 为等差数列，故C 正确；对于D ，当sin 0,sin 33x y z =-==若11cos ,cos ,cos 133z x y =-==，则cos ,cos ,cos z x y 为等差数列，故D 正确.故选：B.2．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()552sin 2350a a +--=，()201820182sin 2370a a +--=，则下列结论正确的是（）A ．20222022S =，且52018a a >B ．20222022S =-，且52018a a <C ．20224044S =-，且52018a a >D ．20224044S =，且52018a a <【答案】C【分析】根据题意构造函数()2sin 3f x x x =-，确定函数的奇偶性及单调性，进而根据()()520182,2f a f a ++的关系即可确定答案.【详解】设函数()2sin 3f x x x =-，则()f x 为奇函数，且()2cos 30f x x '=-<，所以()f x 在R 上递减，由已知可得()()552sin 2321a a +-+=-，()()201820182sin 2321a a +-+=，有()521f a +=-，()201821f a +=，所以()()5201822f a f a +<+，且()()5201822f a f a +=-+，所以520185201822a a a a +>+⇒>，且()5201822a a +=-+，所以520184a a +=-， 120222022520182022()1011()40442a a S a a +==+=-.故选：C.3．（多选）（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列说法正确的是（）A ．若为等差数列，则112d a =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d【答案】ABD【分析】对于A ，利用对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案；对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案；对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案.【详解】对于A ，因为为等差数列，所以即化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++，所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++，所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+，所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++，化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =，所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 正确. 故选：ABD4．（多选）（2022·福建南平·三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅且,i i x y ∈Z .记n n n a x y =+，如()11,0A 记为11a =，()21,1A -记为20a =，()30,1A -记为31,a =-⋅⋅⋅，以此类推；设数列{}n a 的前n 项和为n S .则（）A ．202242a =B ．202287S =-C ．82n a n =D ．()245312n n n n S ++=【答案】ABD【分析】由图观察可知第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0，则2440n n S +=，同时第n 圈的最后一个点对应坐标为(),n n ，设2022a 在第k 圈，则k 圈共有()41k k +个数，可判断前22圈共有2024个数，2024a 所在点的坐标为()22,22，向前推导，则可判断A ，B 选项；当2n =时，16a 所在点的坐标为()2,2--，即可判断C 选项；借助2440n n S +=与图可知22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S a a a++++++++=-=+++，即n 项之和，对应点的坐标为()1,+n n ，()1,1n n +-，…，()1,1n +，即可求解判断D 选项. 【详解】由题，第一圈从点()1,0到点()1,1共8个点，由对称性可知81280S a a a =+++=；第二圈从点()2,1到点()2,2共16个点，由对称性可知248910240S S a a a -=+++=，即 240S =，以此类推，可得第n圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0，即()214482n nn n SS ++⨯==，设2022a 在第k 圈，则()()888168412k k k kk ++++==+，由此可知前22圈共有2024个数，故20240S =，则()2022202420242023S S a a =-+，2024a 所在点的坐标为()22,22，则2024222244a =+=，2023a 所在点的坐标为()21,22，则2023212243a =+=，2022a 所在点的坐标为()20,22，则2022202242a =+=，故A 正确；()()20222024202420230444387S S a a =-+=-+=-，故B 正确；8a 所在点的坐标为()1,1，则8112a =+=，16a 所在点的坐标为()2,2--，则16224a =--=-，故C 错误；22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S aaa++++++++=-=+++，对应点的坐标为()1,+n n ，()1,1n n +-，…，()1,1n +，所以()()()()()245111112122n n S n n n n n n n n +=+++++-++++=+++++()()2123122n n n n n ++++==，故D 正确.故选：ABD5．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）在数列{}n a 中，11a =，()11nn n a a n ++-=，*N n ∈，则4a =_______；{}n a 的前2022项和为_______．【答案】 3 1023133【分析】求出数列前若干项，根据其特性，分别求和后再可解即可. 【详解】由()11nn n a a n ++-=，得()11nn n a n a +=--，又11a =，所以()21112a a =--=，()232210a a =--=，()343313a a =--=，()454411a a =--=，()565516a a =--=，()676610a a =--=，()787717a a =--=，()898811a a =--=，()91099110a a =--=，()1011101010a a =--=，()11121111111a a =--=，()1213121211a a =--=，()13141313114a a =--=，⋯；因为202250542=⨯+，所以，明显可见，规律如下： 159132021,,,,,a a a a a ，成各项为1的常数数列，其和为1506506⨯=， 2610142022,,,,,a a a a a ，成首项为2，公差为4的等差数列，其和为25065055062450625120722⨯⨯+⨯=⨯=， 3711152019,,,,,a a a a a ，成各项为0的成常数数列，其和为05050⨯=，4812162020,,,,,a a a a a ，成首项为3，公差为4的等差数列，其和为505504505345105552⨯⨯+⨯=，故202250651207205105551023133S =+++=. 故答案为：①3；①1023133.6．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n an =+（a 为常数），则20222021a a -=________；设函数()8sin()cos()g x x x x ππ=+-且()()()12918g a g a g a +++=，则5a =__________.【答案】 2；14【分析】根据数列前n 项和与第n 项的关系、等差数列的定义、等差数列的性质，结合辅助角公式、构造函数法，利用导数的性质进行求解即可.【详解】当*2,N n n ≥∈时，221(1)(1)21n n n a S S n an n a n n a -=-=+----=+-，当1n =时，显然成立，因为当*2,N n n ≥∈时，12n n a a --=，数列{}n a 为等差数列，且公差2d =，所以202220212a a -=.又因为111()8sin πcos π8π8π2444g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()8πh t t t =，因为()8π)(8π)()h t t t t t h t -=--=-=-，所以()h t 为奇函数，因为()8cos π0h t t =+>'，所以()h t 在R 上单调递增. 由题意得()()()1292220g a g a g a -+-++-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其中129a a a <<<，则129111444a a a -<-<<-，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1919191111110444444a a h a h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->--⇒->--⇒-+-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为1928374651111111112,444444444a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-=-+-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，19195111104424a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=⇒+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2；14。

等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算方法。

3. 能够运用等差数列的前n项和解决实际问题。

二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算方法。

三、教学难点1. 等差数列的性质的理解与应用。

2. 等差数列的前n项和的计算方法的推导与理解。

四、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，展示等差数列的定义、性质和前n项和的计算方法。

2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用等差数列的前n项和解决实际问题。

五、教学过程1. 引入：教师通过PPT或黑板，展示一些数列的例子，引导学生思考数列的规律。

2. 讲解：教师讲解等差数列的定义、性质和前n项和的计算方法，通过示例进行解释和说明。

3. 练习：教师给出一些等差数列的问题，让学生独立解决，并给出答案和解析。

4. 应用：教师给出一些实际问题，引导学生运用等差数列的前n项和解决实际问题，并提供解答和解析。

5. 总结：教师对本节课的内容进行总结，强调等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法的重要性和应用价值。

六、教学拓展1. 引导学生思考等差数列的前n项和的性质，如奇数项和偶数项的和是否相等。

2. 引导学生探索等差数列的前n项和的公式推导过程。

七、课堂小结1. 回顾本节课学习的等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法。

2. 强调等差数列的前n项和在实际问题中的应用价值。

八、作业布置1. 完成教材或练习册上的相关习题，巩固等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法。

2. 选取一道实际问题，运用等差数列的前n项和解决，并将解题过程和答案写下来。

九、课后反思1. 教师对本节课的教学效果进行反思，观察学生对等差数列的概念、性质和前n 项和的计算方法的掌握程度。

2. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和解题策略，为下一节课的教学做好准备。

十、教学评价1. 学生完成作业的情况，判断学生对等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法的掌握程度。

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)等差数列及其前n项和(含解析)

2016届高考数学一轮复习教学案等差数列及其前n 项和[知识能否忆起]一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b的等差中项．二、等差数列的有关公式 1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . 2．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －2d ＝a 1＋a n n2.三、等差数列的性质1．若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．在等差数列{a n }中，a k ，a 2k ，a 3k ，a 4k ，…仍为等差数列，公差为kd . 3．若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列，公差为n 2d . 4．等差数列的增减性：d >0时为递增数列，且当a 1<0时前n 项和S n 有最小值．d <0时为递减数列，且当a 1>0时前n 项和S n 有最大值．5．等差数列{a n }的首项是a 1，公差为d .若其前n 项之和可以写成S n ＝An 2＋Bn ，则A ＝d 2，B ＝a 1－d2，当d ≠0时它表示二次函数，数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn 是{a n }成等差数列的充要条件．[小题能否全取]1．(2012·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.2．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝( )A.32B.12 C ．－32D ．－12解析：选D ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝－cos π3＝－12.3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176 解析：选B S 11＝a 1＋a 112＝a 4＋a 82＝88.4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.解析：由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列其公差为2. 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －15．(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ，又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12n ＋12(n 2－n )×12＝14n 2＋14n .答案：1 14n 2＋14n1.与前n 项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．(2)S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝An 2＋Bn ⇒d ＝2A .(3)利用二次函数的图象确定S n 的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．典题导入[例1] 在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．[自主解答] (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)，∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n ＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1， ∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．由题悟法1．证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n＝An 2＋Bn或S n ＝n a 1＋a n2.2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．以题试法1．已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6. (1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列．解：(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得A ＝2，B ＝－4，C ＝0.故S n ＝2n 2－4n . (2)证明：∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6. ∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．a n ＋1－a n ＝4， ∴数列{a n }是等差数列.典题导入[例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． [自主解答] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)可得S n ＝n a 1＋a n2＝n ＋2n 2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2. 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.由题悟法1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －2d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．以题试法2．(1)在等差数列中，已知a 6＝10，S 5＝5，则S 8＝________.(2)(2012·江西联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝3.则S 8＝8a 1＋28d ＝8×(－5)＋28×3＝44.(2)依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d12－3a 1＋3d 9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6.答案：(1)44 (2)6典题导入[例3] (1)等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和S 9等于( )A ．66B ．99C ．144D ．297(2)(2012·天津模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( )A ．18B ．17C ．16D ．15[自主解答] (1)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4＝13.同理，由a 3＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.所以S 9＝a 1＋a 92＝a 4＋a 62＝99.(2)设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.[答案] (1)B (2)A由题悟法1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．以题试法3．(1)(2012·江西高考)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.(2)(2012·海淀期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.(2)∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－k ＋，解得193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7.答案：(1)35 (2)B1．(2011·江西高考){a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．72解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48. 3．(2013·东北三校联考)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 25解析：选B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝20，因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.4．(2012·海淀期末)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25解析：选C ∵a 2n ＋1－a 2n ＝1，∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，1为公差的等差数列．∴a 2n ＝1＋(n －1)＝n .又a n >0，∴a n＝n .∵a n <5，∴n <5.即n <25.故n 的最大值为24. 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为( )A ．5B ．6C ．4D ．7解析：选A 由S 10>0，S 11<0知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5.6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－－10－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.解析：设等差数列公差为d ，∵由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －18．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －2×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案：39．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 答案：194110．(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋－2n2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.11．设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 的前n 项和S n .解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1，两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.∵T 1＝1－a 1＝a 1，故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列． (2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，从而a n ＝1－T n ＝nn ＋1.故a nT n＝n .∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列．∴S n ＝n n ＋2.12．已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. (1)求S n ；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，即a 11＋a 222＝0，故a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又∵a 1＝31，∴d ＝－2， ∴S n ＝na 1＋n n －2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)法一：由(1)知S n ＝32n －n 2，故当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256. 法二：由S n ＝32n －n 2＝n (32－n )，欲使S n 有最大值，应有1<n <32，从而S n ≤⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32－n 22＝256，当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.1．等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( ) A ．156 B ．52 C ．26D ．13解析：选C ∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，故a 4＋a 10＝4. ∴S 13＝a 1＋a 132＝a 4＋a 102＝26.2．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84解析：选C 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0，故T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.3．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若{a n }是等差数列，求其通项公式；(2)若{a n }满足a 1＝2，S n 为{a n }的前n 项和，求S 2n ＋1. 解：(1)由题意得a n ＋1＋a n ＝4n －3，①a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1，②②－①得a n ＋2－a n ＝4，∵{a n }是等差数列，设公差为d ，∴d ＝2. ∵a 1＋a 2＝1，∴a 1＋a 1＋d ＝1， ∴a 1＝－12，∴a n ＝2n －52.(2)∵a 1＝2，a 1＋a 2＝1，∴a 2＝－1.又∵a n ＋2－a n ＝4，∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4， ∴a 2n －1＝4n －2，a 2n ＝4n －5，S 2n ＋1＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(n ＋1)×2＋n ＋1n2×4＋n ×(－1)＋n n －12×4＝4n 2＋n ＋2.1．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．解：(1)证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，bn ＝1a n －1.∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数．故当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 2＋a 4＝14，S 7＝70. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝14，7a 1＋21d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，a 1＋3d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3.所以a n ＝3n －2.(2)因为S n ＝n2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n 2，所以b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n －1≥23n ·48n－1＝23，当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号，故数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23.3．已知数列{a n }，对于任意n ≥2，在a n －1与a n 之间插入n 个数，构成的新数列{b n }成等差数列，并记在a n －1与a n 之间插入的这n 个数均值为C n －1.(1)若a n ＝n 2＋3n －82，求C 1，C 2，C 3；(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{C n ＋1－λC n }是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由．解：(1)由题意a 1＝－2，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝10， ∴在a 1与a 2之间插入－1,0，C 1＝－12.在a 2与a 3之间插入2,3,4，C 2＝3. 在a 3与a 4之间插入6,7,8,9，C 3＝152.(2)在a n －1与a n 之间插入n 个数构成等差数列，d ＝a n －a n －1n ＋1＝1，∴C n －1＝n a n －1＋an2n＝a n －1＋a n 2＝n 2＋2n －92.假设存在λ使得{C n ＋1－λC n }是等差数列． ∴(C n ＋1－λC n )－(C n －λC n －1) ＝C n ＋1－C n －λ(C n －C n －1) ＝2n ＋52－λ·2n ＋32＝(1－λ)n ＋52－32λ＝常数，∴λ＝1.即λ＝1时，{C n ＋1－λC n }是等差数列．。

专题6.2 等差数列及其前n项和(教学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)

【重点知识梳理】一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *,d 为常数)．2．等差中项：数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2,其中A 叫做a ,b 的等差中项．二、等差数列的有关公式 1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . 2．前n 项和公式：S n ＝na 1＋nn －12d ＝a 1＋a n n2. 三、等差数列的性质1．若m ,n ,p ,q ∈N *,且m ＋n ＝p ＋q ,{a n }为等差数列,则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．在等差数列{a n }中,a k ,a 2k ,a 3k ,a 4k ,…仍为等差数列,公差为kd .3．若{a n }为等差数列,则S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n ,…仍为等差数列,公差为n 2d .4．等差数列的增减性：d >0时为递增数列,且当a 1<0时前n 项和S n 有最小值．d <0时为递减数列,且当a 1>0时前n 项和S n 有最大值．5．等差数列{a n }的首项是a 1,公差为d .若其前n 项之和可以写成S n ＝An 2＋Bn ,则A ＝d 2,B ＝a 1－d2,当d ≠0时它表示二次函数,数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn 是{a n }成等差数列的充要条件．【特别提醒】1.与前n 项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中的任意三个,即可求得其余两个,这体现了方程思想． (2)S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝An 2＋Bn ⇒d ＝2A . (3)利用二次函数的图象确定S n 的最值时,最高点的纵坐标不一定是最大值,最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元,若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a －2d ,a －d ,a ,a ＋d ,a ＋2d ,…；若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a －3d ,a －d ,a ＋d ,a ＋3d ,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．【高频考点突破】考点一、等差数列的判断与证明 1．证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数,n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n a 1＋a n2.2．用定义证明等差数列时,常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ,但它们的意义不同,后者必须加上“n ≥2”,否则n ＝1时,a 0无定义．例1、在数列{a n }中,a 1＝－3,a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2,且n ∈N *)． (1)求a 2,a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋32n (n ∈N *),证明：{b n }是等差数列．考点二、等差数列的基本运算1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝na 1＋a n 2＝na 1＋nn －12d ,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法．例2、已知{a n }为等差数列,且a 1＋a 3＝8,a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ,若a 1,a k ,S k ＋2成等比数列,求正整数k 的值．考点三、等差数列的性质1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．例3、(1)等差数列{a n}中,若a1＋a4＋a7＝39,a3＋a6＋a9＝27,则前9项和S9等于()A．66 B．99C．144 D．297(2)设等差数列{a n}的前n项和S n,若S4＝8,S8＝20,则a11＋a12＋a13＋a14＝()A．18 B．17C．16 D．15【经典考题精析】（2013·新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m－1＝－2,S m＝0,S m＋1＝3,则m＝()A．3 B．4 C．5 D．6（2013·广东卷）在等差数列{a n}中,已知a3＋a8＝10,则3a5＋a7＝________．（2013·北京卷）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为A n,第n项之后各项a n＋1,a n＋2,…的最小值记为B n,d n＝A n－B n.(1)若{a n}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,a n＋4＝a n),写出d1,d2,d3,d4的值；(2)设d是非负整数,证明：d n＝－d(n＝1,2,3,…)的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2,d n＝1(n＝1,2,3,…),则{a n}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.（2013·全国卷）等差数列{a n}前n项和为S n.已知S3＝a22,且S1,S2,S4成等比数列,求{a n}的通项公式．（2013·山东卷）设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4＝4S2,a2n＝2a n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}的前n项和为T n,且T n＋a n＋12n＝λ(λ为常数),令c n＝b2n(n∈N*),求数列{c n}的前n项和R n.（2013·四川卷）在等差数列{a n}中,a1＋a3＝8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{a n}的首项、公差及前n项和．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S10＝0,S15＝25,则nS n的最小值为________．（2013·重庆卷）已知{a n }是等差数列,a 1＝1,公差d≠0,S n 为其前n 项和,若a 1,a 2,a 5成等比数列,则S 8＝________．（2012·辽宁卷）在等差数列{a n }中,已知a 4＋a 8＝16,则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176（2012·全国卷）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5＝5,S 5＝15,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100（2012·北京卷）已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,若a 1＝12,S 2＝a 3,则a 2＝________.（2012·福建卷）等差数列 {a n }中,a 1＋a 5＝10,a 4＝7,则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（2012·广东卷）已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1,a 3＝a 22－4,则a n ＝________.（2012·四川卷）设函数f (x )＝2x －cos x ,{a n }是公差为π8的等差数列,f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π,则[f (a 3)]2－a 1a 5＝( )A ．0 B.116π2C.18π2D.1316π2 （2012·广东卷）设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1,n ∈N *,且a 1,a 2＋5,a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ,有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.（2012·湖北卷）已知等差数列{a n }前三项的和为－3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和．（2012·湖南卷）已知数列{a n }的各项均为正数,记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ,B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1,C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2,n ＝1,2,….(1)若a 1＝1,a 2＝5,且对任意n ∈N *,三个数A (n ),B (n ),C (n )组成等差数列,求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *,三个数A (n ),B (n ),C (n )组成公比为q 的等比数列．（2012·江西卷）设数列{a n },{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7,a 3＋b 3＝21,则a 5＋b 5＝________. （2012·陕西卷）设{a n }是公比不为1的等比数列,其前n 项和为S n ,且a 5,a 3,a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈N ＋,S k ＋2,S k ,S k ＋1成等差数列．（2012·重庆卷）在等差数列{a n }中,a 2＝1,a 4＝5,则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25 【当堂巩固】1．等差数列{a n }中,a 1＋a 5＝10,a 4＝7,则数列{a n }的公差为 ( )． A ．1B ．2C ．3D ．42．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1＋a 3＋a 11＝6,那么S 9＝ ( )．A ．2B ．8C ．18D ．363．已知{a n }为等差数列,a 1＋a 3＋a 5＝105,a 2＋a 4＋a 6＝99,则a 20等于( )． A ．－1B ．1C ．3D ．74．在等差数列{a n }中,S 15>0,S 16<0,则使a n >0成立的n 的最大值为 ( )．A ．6B ．7C ．8D ．95．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4＝40,S n ＝210,S n －4＝130,则n ＝ ( )．A ．12B ．14C ．16D ．186．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n ＝7n ＋45n ＋3,则使得a n b n为整数的正整数的个数是( )． A ．2B ．3C ．4D ．57．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1,其前n 项和为S n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．8．设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是________,项数是________．9．设数列{a n },{b n }都是等差数列,若a 1＋b 1＝7,a 3＋b 3＝21,则a 5＋b 5＝________. 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 412－S 39＝1,则公差为________．11．(12分)在等差数列{a n }中,已知a 2＋a 7＋a 12＝12,a 2·a 7·a 12＝28,求数列{a n }的通项公式． 12．(13分)在等差数列{a n }中,公差d ＞0,前n 项和为S n ,a 2·a 3＝45,a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c (n ∈N *),是否存在一个非零常数c ,使数列{b n }也为等差数列？若存在,求出c 的值；若不存在,请说明理由．13．(12分)在数列{a n }中,a 1＝8,a 4＝2,且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和,求S n .14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1,a 2的值；(2)设a 1＞0,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时,T n 最大？并求出T n 的最大值．。

数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和学案理

6.2 等差数列及其前n 项和必备知识预案自诊知识梳理1。

等差数列（1）定义：一般地,如果一个数列从起，每一项与它的前一项的都等于，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的，公差通常用字母d 表示。

数学语言表示为a n+1-a n =d (n ∈N +），d 为常数。

(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是，其中A 叫作a ，b 的 .(3)等差数列{a n ｝的通项公式:a n = ,可推广为a n =a m +（n —m ）d.（4)等差数列的前n 项和公式:S n =n (n1+n n )2=na 1+n (n -1)2d.2。

等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系（1）a n =a 1+（n-1）d 可化为a n =dn+a 1—d 的形式。

当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d 〉0时，数列为递增数列；当d 〈0时，数列为递减数列。

（2)数列｛a n }是等差数列,且公差不为0⇔S n =An 2+Bn (A ，B 为常数）。

1.已知｛a n ｝为等差数列，d 为公差,S n 为该数列的前n 项和.(1）在等差数列{a n }中，当m+n=p+q时,a m+a n=a p+a q(m,n,p，q∈N+)。

特别地，若m+n=2p，则2a p=a m+a n（m，n,p∈N+）。

（2)a k,a k+m，a k+2m,…仍是等差数列,公差为md（k,m∈N+)。

(3）S n,S2n-S n，S3n-S2n,…也成等差数列，公差为n2d. (4)若{a n},｛b n}是等差数列,则｛pa n+qb n｝也是等差数列.(5)若项数为偶数2n,则S2n=n（a1+a2n)=n（a n+a n+1）；S偶—S奇=nd;S奇S偶=a na n+1。

(6）若项数为奇数2n—1,则S2n-1=（2n—1）a n；S奇-S偶=a n;S奇S偶=nn-1。

(高中精品)等差数列及前n项和学案 2022届高三数学一轮复习备考

学案4.2 等差数列及其前n 项和一、教学目标:1.会用等差数列的有关概念判定或证明等差数列；2.熟练运用“基本量”方法求解等差数列的基本运算问题；3.掌握等差数列的通项公式、前n 项公式和与函数的联系，会解决等差数列前n 项和及其最值的问题，会利用等差数列的性质解决问题，从中体会分类讨论思想，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.二、教学重点难点：重点：掌握等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式，学会解决数列问题的通性通法，学会灵活应用数列的性质来解决实际问题难点：灵活运用数列的性质来解决实际问题，学会多种数学思想方法.三、高考分析以等差数列基本量的运算为载体，考查等差数列概念、性质和通项公式的求解与应用；考查数列求和的综合问题及数列的最值及解决方法；考査以数学文化为背景的数列. 本章考题难度以中低档题为主，常考査一小(选择题或填空题)或一大(解答题)，数列总分值约为17分，在解答题中，有可能设计开放题目，这是新高考命题的一大特点.四、教学过程(Ⅰ)再现型题组1.已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=-，则8a =A.12-B.12C.16-D.16问题1.此题考查数列的什么知识？问题2.等差数列的通项公式通过什么方法获得的，公式如何表达？问题3.我们知道等差数列的第m 项m a 和公差d ,能否直接写出通项呢？2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若12a =-,262a a +=，则10S =A.23B.24C.25D.26问题4.此题考查等差数列的什么知识？问题5.推导等差数列前n 项和公式的方法是什么？3. 在等差数列{}n a 中，若54a =，则28a a +=________．问题6.此题考查等差数列的什么知识？问题7.等差数列有哪些性质呢？4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，2020S =，则30S =A ．20 B.10 C ．40 D.30问题8.此题考查等差数列前n 项和的什么性质？问题9.等差数列的前n 项和还有哪些性质呢？(Ⅱ)巩固型题组例1. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A.25n a n =-B.310n a n =- C.228n S n n =- D.2122n S n n =-变式训练：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3627S S +=, ,则24a a +=A.3B.6C.9D.12归纳总结：例2.在等差数列{}n a 中,14739a a a ++=，36927a a a ++=,则数列{}n a 的前9项的和9S =A.66B.99C.144D.297变式训练:设n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若{}n a 前2019项中的奇数项和为2020，2019S =_____．归纳总结：(Ⅲ)提高型题组；例3．等差数列{}n a 中，120a =，512a =,求通项n a 及前n 项和n S 的最大值.归纳总结：例4. 已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足()22221n n n S a n S =-．求证：数列n 1S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.归纳总结：变式训练:已知数列{}n a 中，121,2a a ==，当整数2n ≥时，1112()n n n S S S S +-+=+都成立，则15S =________．归纳总结：(Ⅳ)反馈型题组1、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．82. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111n n S S n n +-=+，416S =，则1a = A ．1 B ．2 C ．3 D ．43. 已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若*21,k k k a a a k N +++=∈，则A ．1k k S S +=B ．12k k S S ++=C ．2k k S S +=D ．1k k S S -=4.有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为A ．15B ．16C ．17D ．185. 在数列{}n a 中12a =-，23a =，34a =，()3112n n n a a +++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则80S =___________.6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：21122n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令221n n n a C a =+，是否存在(),m k N m k *∈≠，使得1,,m k C C C 为等差数列？ 7. 在等差数列{}n a 中，28a =，64a =-.（1）求n a 的通项公式；（2）求12||||n T a a =++…||n a +的表达式.五、课堂小结本节课：1. 解决了哪些类型的问题；是怎样解决的？2. 在解决这些问题的过程中用到了哪些知识、技能？3. 在解决这些问题的过程中用到了哪些思想、方法？4. 还有哪些疑惑？。

2020年高考数学一轮复习第五章第2节【等差数列及其前n项和】教学案及考题练

2020年高考数学一轮复习第五章数列第2节等差数列及其前n项和[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n n－1d2＝n a1＋a n2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}和{a2n＋1}也是等差数列，公差为2d.(4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}也是等差数列．(5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(6)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．(7)等差数列的前n项和公式与函数的关系S n＝d2n2＋a1－d2n.[常用结论］1．等差数列前n项和的最值在等差数列{a n}中，若a1＞0，d＜0，则S n有最大值，即所有正项之和最大，若a1＜0，d＞0，则S n有最小值，即所有负项之和最小．2．两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，则有a nb n＝S2n－1T2n－1.3．等差数列{a n}的前n项和为S n，则数列S nn也是等差数列．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.()1/8。