不等关系与不等式经典教案
必修五3.1.不等关系与不等式(教案设计)
第三章不等式概述不等关系与相等关系都是客观事物的根本数量关系, 是数学研究的重要内容.建立不等观念,处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.根据课程标准,在本章中,学生将通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系, 理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的根本方法,并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域,并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；熟悉根本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的内在联系.1 .内容与课程学习目标本章主要学习描述不等关系的数学方法,一元二次不等式的解法及其应用,线性规划问题,根本不等式及其应用等,通过学习,要使学生到达以下目标：(1)通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系,了解不等式(组)的实际背景.(2)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图 .(3)从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.〔4〕探索根本不等式的证实过程；会用根本不等式解决简单最大〔小〕值问题2 .教学要求〔1〕根本要求①了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式〔组〕的实际背景；理解不等式〔组〕对于刻划不等关系的意义和价值；会用不等式〔组〕表示实际问题中的不等关系,能用不等式〔组〕研究含有不等关系的实际问题^②理解并掌握不等式的根本性质；了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.③理解一元二次不等式的概念；通过图象,理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系 .④理解并掌握解一元二次不等式的过程；会求一元二次不等式解集；掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想,会设计求解的过程^⑤了解从实际情境中抽象出二元一次不等式〔组〕模型的过程；理解二元一次不等式〔组〕、二元一次不等式〔组〕的解集的概念；了解二元一次不等式的几何意义,理解〔区域〕边界的概念及实线、虚线边界的含义；会用二元一次不等式〔组〕表示平面区域,能画出给定的不等式〔组〕表示的平面区域 ^⑥了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念；掌握简单的二元线性规划问题的解法^⑦了解根本不等式的代数背景、几何背景以及它的证实过程；理解算术平均数,几何平均数的概念；会用根本不等式解决简单的最大〔小〕值的问题；通过根本不等式的实际应用,感受数学的应用价值 .〔2〕开展要求①体会不等式的根本性质在不等式证实中所起的作用^②会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决^〔3〕说明①不等式的有关内容将在选修4-5中作进一步讨论.②淡化解不等式的技巧性要求,突出不等式的实际背景及其应用^③突出用根本不等式解决问题的根本方法,不必推广到三个变量以上的情形3 .教学内容及课时安排建议3.1 不等式与不等关系〔约2课时〕3.2 一元二次不等式及其解法〔约2课时〕3.3 二元一次不等式〔组〕与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式〔组〕与平面区域〔约2课时〕3.3.2 简单的线性规划问题〔约2课时〕3.4 根本不等式：.'藐a—b 〔约2课时〕23.1 不等关系与不等式教案A第1课时教学目标一、知识与技能通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式〔组〕的实际背景,掌握不等式的根本性质.二、过程与方法通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法三、情感、态度与价值观通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯教学重点和难点教学重点：用不等式〔组〕表示实际问题的不等关系；并用不等式〔组〕研究含有不等关系的问题；理解不等式〔组〕对于刻画不等关系的意义和价值^ 教学难点：用不等式〔组〕正确表示出不等关系^教学关键：将实际问题的不等关系转化为数学中不等式问题^教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动,讨论解决方法.教法与学法导航教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法 ^学习方法：从具体上升到理论,再由理论指导具体的练习,从而强化学生对知识的理解与掌握. 教学准备教师准备：多媒体、黑板、教材 .学生准备：直尺、教材.教学过程一、创设情境,导入新课在现实世界和日常生活中, 既有相等关系,又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中,我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系^二、主题探究,合作交流1 .用不等式表示不等关系引例1 :限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h ,写成不等式就是v 40.引例2：某品牌酸奶的质量检查规定, 酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3% —写成不等式组就是一一用不等式组来表示；f 2.5%,:p 2.3%.问题1:设点A与平面的距离为d, B为平面上的任意一点,那么d |AB|.问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,假设单价每提升0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.假设把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？......... 一x 2.5 一一解：设杂志社的定价为x元,那么销售的总收入为(8 ----------------- 0.2)x万元,那么0.1不等关系“销售的总收入不低于20万元〞可以表示为不等式(8 x—25 0.2)x 20.0.1问题3 :某钢铁厂要把长度为4 000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求,600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足所有上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得500 mm 的钢管x根,截得600mm 的钢管y根.根据题意,应有如下的不等关系：(1)截得两种钢管的总长度不超过 4 000mm ;(2)截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍;〔3〕截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示：500x 600 y 4000,3x y,x 0,y 0.三、拓展创新,应用提升1 .试举几个现实生活中与不等式有关的例子.2 .教材第74页的练习第1、2题.四、小结用不等式〔组〕表示实际问题的不等关系,并用不等式〔组〕研究含有不等关系的问题.五、课堂作业教材第75页习题3.1A组第4、5题.第2课时教学目标一、知识与技能掌握不等式的根本性质,会用不等式的性质证实简单的不等式^二、过程与方法通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法三、情感、态度与价值观通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理水平^教学重点和难点教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证实简单的不等式.教学难点：利用不等式的性质证实简单的不等式^教学关键：学生会用不等式的性质证实简单的不等式和比拟两个数的大小教学突破方法：通过问题解决情景的设置、投影错例展示的方式,解决学生对不等式的理解.教法与学法导航教学方法：采用探究法,遵循从具体到抽象的原那么^学习方法：通过观察、分析、讨论,引导学生归纳小结出不等式的根本性质,设计较典型的问题,总结解题的规律 .教学准备教师准备：多媒体、黑板、教材 .学生准备：直尺、教材.教学过程一、创设情境,导入新课a b a b 0;关于不等式的几个根本领实 a b a b 0;a b a b 0.在初中,我们已经学习过不等式的一些根本性质,请同学们回忆初中不等式的的基本性质.1 .不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变,即假设a b a c b c；2 .不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变,即假设a b,c 0 ac bc；3 .不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变,即假设a b,c 0 ac bc.二、主题探究,合作交流1.不等式的根本性质师：同学们能证实以上不等式的根本性质吗？证实：(1) Q (a c) (b c) a b 0 ,,a c b c；(2) a c b c a b 0, • • a c b c.实际上,我们还有 a b,b c a c .(证实：「a>b, b>c,,a —b>0, b —c>0.)根据两个正数的和仍是正数,得(a —b) + ( b —c) >0,即 a —c>0,..a>c.于是,我们就得到了不等式的根本性质： (1) a b b a;(2) a b,b c a c ；(3) a b a c b c ；(4) a b, c 0 ac bc ； a b, c 0 ac bc .c c例1a b 0,c 0,求证一 一. a b ab>0, - 0.ab 1 . a c c由 c<0 ,得一 一.a b 例 2 比拟(a + 3) (a —5)与(a + 2) (a —4)的大小.分析：此题属于两代数式比拟大小,实际上是比拟它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号, 至于差的值究竟是多少, 在这里无关紧要).根据实数运算的符号法那么来得出两个代数式的大小 .比拟两个实数大 小的问题转化为实数运算符号问题 .解：由题意可知：(a+3) (a —5) — ( a + 2) (a —4)=(a 2 —2a —1 5) — ( a 2 —2a —8) 证实：由于a b 0,所以 …1 । 1 1 于是a —— b ——,即一 ab ab b=-7 < 0. . (a+3) (a — 5) v ( a+2) (a — 4)2.探索研究思考：利用上述不等式的性质,证实不等式的以下性质:(5)ab,cd acbd;(6) a b 0,c d 0 ac bd ;⑺ a b 0 a n b n(n N, n 2);(8) a b 0 \a Vb(n N,n 2).证实：(5) a>b, a + c>b+c. ①c>d, ,b + c>b + d.②由①②得a+ c> b + d.a b,c 0 ac bc(6) ac bd.c d,b 0 bc bd(7)同学们自己证实(8)反证法)假设n/a n/b ,a b、工」 .一这都与a b矛盾, 那么:a b.,.n/a nJb .三、知识稳固,练习提升 2 2 . 4 2例3 x 0,比拟(x 1)与x x 1的大小.解：(取差)(x 2 1)2 (x 4 x 2 1)4 2 4 2 2 x 2x 1 x x 1 x .2 … -一 ,2 ,、2 4 2 .x 0 , . x 0 .从而(x 1) > xx 1 .b a 例4 a>b>0, cvdv0,那么 与 的大小关系为 _________ a —c b — db a b 2—bd —a 2 + ac (b + a )(b — a)—(bd — ac )解析： 一 = = . a- c b —d(a —c )(b —d ) (a-c )(b - d ) 由于 a>b>0, cvdv0,所以 a —c>0, b-d >0, b -a<0,又一c>- d >0,那么有一 ac>- bd ,即 acv bd ,那么 bd — ac>0,所以(b + a) (b —a) — (bd —ac) <0,b a(b +a )(b-a)-(bd -ac ) b即 ---- v a- cb a <：:a-c b-d 课堂练习：教材第 74页的练习 第3题.四、小结本节课学习了不等式的性质,并用不等式的性质证实了一些简单的不等式,还研究(a-c )(b-d ) v 0,答案:了如何比拟两个实数〔代数式〕的大小一一作差法,其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简,其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论；第三步：得出结论.五、课堂作业教材第75页习题3.1 A组第2、3题；B组第1题.教案B第1课时教学目标1 .在学生了解了一些不等式〔组〕产生的实际背景的前提下,学习不等式的有关内容；利用数轴回忆实数的根本理论并能用实数的根本理论来比拟两个代数式的大小,及用实数的根本理论来证实不等式的一些性质^2 .通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等式的一些根本性质.并在了解不等式一些根本性质的根底之上,掌握作差比拟法判断两实数或代数式大小,利用它们来证实一些简单的不等式 .3 .通过富有实际意义问题的解决,激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度, 同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的结构美,激发学生的学习兴趣教学重点用不等式〔组〕表示实际问题中的不等关系,并用不等式〔组〕研究含有不等关系的问题；理解不等式〔组〕对于刻画不等关系的意义和价值及不等式的三条根本性质教学难点用不等式或不等式组准确地表示出不等关系, 作差比拟法判断两实数或代数式大小教学过程一、导入新课章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面, 使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的,由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望,自然地引入新课.二、提出问题1 .回忆初中学过的不等式,让学生说出“不等关系〞与不等式的异同,怎样利用不等式研究及表示不等关系？2 .在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系,你能举出一些实际例子吗？三、应用例如例1某汽车公司由于开展的需要需购进一批汽车,方案使用不超过 1 000万元的资金购置单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要, A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.解：设购置A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,那么40x 90y 1000, 4x 9y 100,x 5, x 5,y 6, '即.y 6,x, y N , x, y N .例2.某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm和600mm两种,根据生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm 钢管x根,截得的600mm 钢管y根.500x 600 y 4000, 一— - ,一一3x y,根据题意,应有如下的不等关系：x N, y N.说明：关键是找出题目中的限制条件,利用限制条件列出不等关系.四、小结上面的例子说明,我们可以用不等式〔组〕来刻画不等关系.表示不等关系的式子叫做不等式,常用〔、、、、〕表示不等关系.老师进一步画龙点睛,指出不等式是研究不等关系的重要数学工具.五、练习教材第74页练习第1、2题.六、提出新问题怎样比拟两个实数的大小？七、作业教材第75页习题3.1 A组第4、5题；B组第1、2题.第2课时教学目标1 .在学生了解了一些不等式〔组〕产生的实际背景的前提下,学习不等式的有关内容；利用数轴回忆实数的根本理论并能用实数的根本理论来比拟两个代数式的大小,及用实数的根本理论来证实不等式的一些性质^2 .通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等式的一些根本性质.并在了解不等式一些根本性质的根底之上,掌握作差比拟法判断两实数或代数式大小,利用它们来证实一些简单的不等式 .3 .通过富有实际意义问题的解决,激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的结构美,激发学生的学习兴趣.教学重点用不等式〔组〕表示实际问题中的不等关系,并用不等式〔组〕研究含有不等关系的问题,理解不等式〔组〕对于刻画不等关系的意义和价值及不等式的三条根本性质.教学难点用不等式或不等式组准确地表示出不等关系, 作差比拟法判断两实数或代数式大小教学过程一、提出问题不等式是研究不等关系的重要数学工具,我们都了解哪些不等式的性质呢？4 .请学生答复等式有哪些性质？5 .不等式有哪些根本性质？这些性质都有何作用？二、探究不等式的性质性质1 ：如果a b ,那么b a；如果b a,那么a b (对称性).证：：a b,. a b 0,由正数的相反数是负数.(a b) 0, b a 0, b a.性质2:如果a b , b c ,那么a c (传递性).证： a b, b c, a b 0, b c 0.,「两个正数的和仍是正数,,(a b) (b c) 0.a c 0, ..a c.由对称性,性质2可以表示为如果c b且b a那么c a.性质3:如果a b ,那么a c b c (加法单调性)反之亦然. 证：「(a c) (b c) a b 0, • • a c b c.从而可得移项法那么：a b c a b ( b) c ( b) a c b.性质4：如果a b 且c d ,那么a c b d 〔相力口法那么〕a b a c b ca cb d .c d b c b d 推论：如果a b 且c d ,那么a c b d (相减法那么)a b ., 证： cd c d ； a c b d .c d或证：(a c) (b d) a b a b c d c d 性质5：如果a b 且c 证：ac bc (a b)c .根据同号相乘得正,异号相乘得负,得：c 0时〔a b 〕c 0,即：ac bc ；c 0时〔a b 〕c 0,即：ac bc .性质6：如果a b 0且c d 0,那么ac bd 〔相乘法那么〕a b,c 0 ac bcac bd .c d,b 0 bc bd 推论：如果a b 0且0 c d ,那么a 2 〔相除法那么〕. c d如果a b 且c 0,那么ac bc 〔乘法单调性〕(a b) (c d).0 一、上式＞0.0 0 ,那么 ac bc .11 0证：「d c 0 .• C d 、ab 0 证：〔反证法〕假设Va Vb ,那么：碧翁a b 这都与a b 矛盾一.右爪.三、应用实例例i 比拟大小「c 1. ab >0,—— ab. a — I ab -3 2 和10 .①a b 0, 0求证:解：,「a b 0,•・.〔.3 、.2〕2〔.10〕2 5 24 .25 0. 性质7：如果a b 0,那么a nb n 〔n N 且n 1〕. 性质8：如果a b 0,那么QaVb 〔n N 且 n 1〕. 0. -1abc .b例2 比拟(a 3)(a 5)与(a 2)(a 4)的大小.解：(取差)(a 3)(a 5) (a 2)(a 4)(a2 2a 15) (a2 2a 8) 7 0.• .(a 3)(a 5)< (a 2)(a 4).2 2 . 4 2例3 x 0,比拟(x 1)与x x 1的大小.2 2 4 2解：(取差)(x 1) (x x 1)4 2 4 2 2x 2x 1 x x 1 x ..x 0 , . .x2 0.从而(x2 1)2> x4 x2 1 .小结：比拟大小的步骤：“作差—变形—定号—结论〞.3 2例4 x 2,比拟x 11x与6x 6的大小.3 2 3 2 2解：x 11x (6x 6) x 3x 3x 11x 62 一一一- 一一x (x 3) ( 3x 2)(x 3)= (x 3)(x 2)(x 1) --------------- (*)3 2(1)当x 3时,(*)式0,所以x 11x 6x 6;(2)当x 3时,(*)式0,所以x311x 6x26；(3)当2 x 3时,(*)式0,所以x3 11x 6x2 6.说明：实数比拟大小的问题一般可用作差比拟法,其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号.四、课堂练习一一一 ,一e e1 .a b 0, c d 0, e 0,求证：--------------------------- -------- .a cb d11 a cbd0 acbd e 02 . ab 0,| a | |b |, _ 11,, 比拟一与一的大小.a b 证实:e eacbd办 1解：一 a当 a 0,b 0 时,「lai |b| 即 a b, b a 0, ab 0, b a . 1 1 ----- 0 , •••一< -. ab a b当 a 0,b 0 时「|a| |b|即 a b, b a 0 , ab 0, b a . 1 1----- 0 , 一 > —. ab a bb .3 .右 a, b 0,求证：- 1 b a . a如 b / b a 八斛：一1 ----------- 0. a aa 0, .b a 0, . a b .b a b ---- 1 0, a a五、课堂小结 1 .不等式的性质,并用不等式的性质证实了一些简单的不等式 2 .如何比拟两个实数〔代数式〕的大小——作差法 .六、布置作业 教材第75页习题3.1 A 组第2、3题；8组第2、3题. ab1.。
高二数学《3.1不等关系与不等式》教案一
个人备课高二年级数学备课组教学目标：1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
教学过程教师活动学生活动一、课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
复习1：写出一个以前所学的不等关系_________复习2：用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x不低于400元______________________下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
二、新课导学生思考后回答：1.三角形两边之和大于第三边。
2.x 400_____________________(3)如图(见课本74页)，在一个面积为350的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L大于宽W的4倍练2．有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)．三、课后作业1. 某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种．A型号的帐篷比B型号的少5顶．若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满．若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余．设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．2. 某正版光碟，若售价20元/本，可以发行10张，售价每体高2元，发行量就减少5000张，如何定价可使销售总收入不低于224万元? (1)a+b≥0(2)h≤4m(3)(L+10)(w+10)=350L≥4W10a+b≥5010a+b≤60b=a+2解得：a=5,b=7.。
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案教案【一】整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系4任意两个实数具有怎样的关系用逻辑用语怎样表达这个关系活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC| 实例6，若用v表示速度，则v≤40km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，--b 应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2 ;a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)] =-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2] ∴a4-b4 点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y 当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.∴只有①恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3—1A组3;习题3—1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.备课资料备用习题1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x.4.若x5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2.∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.∴m2-2m+5≥-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2.∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.∴a2-4a+3>-4a+1.3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2=1+x+x24-(x+1)=x24，又∵x>0，∴x24>0.∴(1+x2)2>(1+x)2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).∵x0，x-y ∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0则(ab)a-b>1.于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba. 教案【二】教学准备教学目标熟练掌握不等式的证明问题教学重难点熟练掌握不等式的证明问题教学过程不等式的证明二【基础训练】1.若，，则下列不等始终正确的是()2.设a，b为实数，且，则的最小值是()4.求证：对任何式数x，y，z，下述三个不等式不可能同时成立。
不等关系与不等式教学设计
不等关系与不等式【学习目标】1．了解不等式的实际背景．2．掌握比较两个实数（或代数式）大小的方法．【学法指导】1.不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成“数学语言”，利用不等式解决实际问题。
2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论．【重点难点】教学重点1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性.2.理解不等号的含义，会用不等号表示不等关系.3.掌握作差法比较实数（或代数式）的大小.教学难点1.用不等式准确地表示不等关系；2.差的符号的判定.【导入新课】通过对于身高不同的认识以及交通标志的含义得出不等式的有关概念，激发学生的学习兴趣。
【合作探究问题解决】探究一、不等式的定义(阅读教材P61页)1．用不等式表示不等关系：（1）潘长江身高161cm，姚明身高226cm，__________________（2）某一路段有一限速15km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过15km/h __________________（3）高速公路某行车道要求小型汽车行车时速度v不低于60km/h，且不高于100km/h____ 2.思考：(1)当v=15时，v ≤15是否成立？(2)当v≤15时，v=15是否一定成立？(3)当v≤15和v≥15都成立时，v=15是否一定成立？通过以上分析，能说出不等式a ≤b 的含义吗?______________________________________3. 你能得出不等式的定义吗？试进行表述：设计目的：让学生探究不等式的定义，能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，加深对于符号大于等于和小于等于的理解，从而得出不等式的定义.探究二、比较两个实数（或代数式）大小的方法（阅读教材P62页）问题1: 推出与等价符号的理解1.“如果p ，则q”为正确的命题，则简记为： .读作： .2.“如果p ，则q”、“如果q ，则p ”为正确的命题，则简记为： .读作： . 问题2: 实数比较大小的依据在数轴上不同的点A 与点B 分别表示两个不同的实数a 与b ，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a ，b 之间具有以下性质：如果a －b 是正数，那么 ；如果a －b 是负数，那么 ；如果a －b 等于零，那么 .问题3: 作差法比较实数的大小关于实数a 、b 大小的比较：1.a-b>0⇔ ；2.a-b=0⇔ ；3.a-b<0⇔ .设计目的：让学生通过阅读教材得出作差法比较大小的理论基础，即利用实数的运算来比较出实数的大小关系，为应用作差法比较大小做好铺垫【点睛师例 巩固提高】例1． 比较2x x -和2x -的大小变式：比较23x x -和4x -的大小设计目的：让学生体验作差法比较大小的步骤，总结出各个步骤需要注意的问题，特别是符号不能确定时注意分类讨论，树立分类讨论的数学思想.例2．已知1x >，比较223x x +与的大小. 设计目的：让学生进一步体验作差法比较大小的步骤，注意变形的方法选择的灵活性，掌握变形的一些技巧，熟练掌握配方法和因式分解的方法，差的符号不确定时注意分类讨论。
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案【导语】高考竞争异常激烈，千军万马争过独木桥，秋天到了，而你正以凌厉的步伐迈进这段特别的岁月中。
这是一段青涩而又平淡的日子，每个人都隐身于高考，而平淡之中的张力却只有真正的勇士才可以破译。
为了助你一臂之力，无忧考网高中频道为你精心准备了《高三数学必修五《不等关系与不等式》教案》助你金榜题名！教案【一】整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.实例6，若用v表示速度，则v≤40km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0��a>b;a-b=0��a=b;a-b<0��a应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.∴a4-b4<4a3(a-b).点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差――变形――判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0.∴xy<1;当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=m b-a b b+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()A.3B.2C.1D.02.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.∴只有①恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3―1A组3;习题3―1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.备课资料备用习题1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x.4.若x5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2.∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.∴m2-2m+5≥-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2.∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.∴a2-4a+3>-4a+1.3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2=1+x+x24-(x+1)=x24，又∵x>0，∴x24>0.∴(1+x2)2>(1+x)2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).∵x0，x-y<0.∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0则(ab)a-b>1.于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba. 教案【二】教学准备教学目标熟练掌握不等式的证明问题教学重难点熟练掌握不等式的证明问题教学过程不等式的�C明二【基�A��】1.若，，�t下列不等始�K正�_的是()2.�Oa，b����担�且，�t的最小值是()4.求�C：�θ魏问��x，y，z，下述三��不等式不可能同�r成立。
高中数学必修5《不等关系与不等式》教案
高中数学必修5《不等关系与不等式》教案一、教学内容不等关系与不等式二、教学目标1. 理解不等关系和不等式的概念；2. 掌握表示不等式的方法；3. 掌握一元一次不等式的解法；4. 掌握二元一次不等式的解法；5. 能够应用不等式解决实际问题。
三、教学重点1. 不等关系与不等式的概念；2. 一元一次不等式的解法；3. 能够应用不等式解决实际问题。
四、教学难点1. 二元一次不等式的解法；2. 能够应用不等式解决实际问题。
五、教学方法1. 讲授法；2. 举例法；3. 练习法。
六、教学过程1. 引入（10分钟）教师先用几道小学的例题，考察学生的知识储备，比如：“如果a>b，b>c，那么a>c吗？”，“a+b+b+c>c+c+a，a+b的大小关系是什么？”，建议让学生互相出题。
2. 讲授（40分钟）(1) 不等关系与不等式- 定义：如果两个数x、y之间存在大小关系，那么我们就称它们之间是一种关系，叫做不等关系。
而$x>y$、$x\geqslanty$等代数形式表示的关系就叫做不等式。
- 内容：不等关系的分类（大于、小于、大于等于、小于等于、等于），不等式的基本性质（两侧都加或减同一个有理数，符号不变；两侧都乘或除同一个正数，符号不变；两侧都乘或除同一个负数，符号不变反）（2）表示不等式的方法- 直观法：把不等式中的数相对数线上表示出来，即可得到不等式的关系。
- 求解法：对于 $a \space \Delta \space b$型的不等式，可以将它化为$a-b\space \Delta \space 0$型的不等式，即将不等式移到一个边上，然后求解。
（3）一元一次不等式的解法- 一元一次不等式：$ax+b\space \Delta \space0(ax+b\geqslant0\text{或} ax+b>0)$- 思路：先将不等式移到一个边上，然后根据系数a的正负以及$b\neq 0$的情况分类讨论解不等式。
不等关系与不等式经典教案
不等关系与不等式经典教案不等关系与不等式【学习目标】1．了解不等式(组)的实际背景．2．掌握比较两个实数大小的方法．3．掌握不等式的八条性质．【学法指导】1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可．2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论．3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形．一、知识温故a－b＞0?；a－b＝0?；a－b＜0?.3．常用的不等式的基本性质(1)a>b?b a(对称性)；(2)a>b，b>c?a c(传递性)；(3)a>b?a＋c b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0?ac bc；a>b，c<0?ac bc；(5)a>b，c>d?a＋c b＋d；(6)a>b>0，c>d>0?ac bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥2?a n b n；(8)a>b>0，n∈N，n≥2?n b.二、经典范例问题探究一实数比较大小问题1(实数比较大小的依据)在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：如果a－b是正数，那么；如果a－b是负数，那么；如果a－b等于零，那么.以上结论反过来也成立，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b.问题2(作差法比较实数的大小)向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论．问题探究二不等式的基本性质问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质．请同学们借助前面的性质证明性质6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.问题4 初学者对不等式的八条基本性质往往重视不够，其实不等式的基本性质是不等式变形(证明不等式和求解不等式)的重要依据．请同学们解下面这个简单的一元一次不等式，体会并证明不等式基本性质的应用．解不等式：－16x ＋34<23x －112.小结(1)当问题中同时满足几个不等关系时，应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，则选用几个字母分别表示这些变量即可．(2)解决这类有多个不等关系的问题时，要注意根据题设将所有不等关系都找出来．(3)若有表格、图象等，读懂表格，图象对解决这类问题很关键．变式练习1：某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？变式练习2：已知x ＜1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．小结作差后变形是比较大小的关键一环，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．变式练习3：(1)比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小；(2)设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．变式练习4：已知a 、b 、c 为实数，判断以下各命题的真假．(1)若a >b ，则ac bc 2，则a >b ； (3)若a ab >b 2； (4)若c >a >b >0，则a c －a >bc －b； (5)若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.小结在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定．变式练习5:判断下列各命题是否正确，并说明理由．(1)若c a <c< bdsfid="149" p=""></c<>b 且c >0，则a >b ；(2)若a >b >0且c >d >0，则 a d> b c； (3)若a >b ，ab ≠0，则1a <1b ；(4)若a >b ，c >d ，则ac >bd .三、过关测试一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2 C.ac 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c | 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a <="" bdsfid="188"c.1ab=""d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><="" bdsfid="191" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a="">4．若x ∈(e －1,<="" bdsfid="194" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a="">1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <a<=""<="" bdsfid="198" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0 D ．b ＋a >0<="" bdsfid="202" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2 二、填空题<="" bdsfid="206" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．<="" bdsfid="210" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．<="" bdsfid="214" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与1 <="" bdsfid="218" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 2<="" bdsfid="222" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 的大小关系为________．<="" bdsfid="226" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．三、解答题<="" bdsfid="230" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b<="" bdsfid="234" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" a ＋b<="" bdsfid="238" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 的大小．<="" bdsfid="242" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<=""<="" bdsfid="246" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．<="" bdsfid="250" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 能力提升<="" bdsfid="254" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 13．若0<="" bdsfid="259" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.1 <="" bdsfid="264" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 2<="" bdsfid="269" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 14．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2 <="" bdsfid="274" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" ＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．<="" bdsfid="279" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<=""<="" bdsfid="284" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 四、课后练习<="" bdsfid="289" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 一、选择题<="" bdsfid="294" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是<="" bdsfid="299" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" ( )<="" bdsfid="304" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" A.1a <1<="" bdsfid="309" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" b B ．a 2>b 2 C.a<="" bdsfid="314" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" c 2＋1>b<="" bdsfid="319" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" c 2＋1 D ．a |c |>b |c | 2．已知a 、b 为非零实数，且a<="" bdsfid="325" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" A ．a 2<="" bdsfid="332" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" B ．a 2b <="" bdsfid="337"c.1ab="" p=""><="" bdsfid="340" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<=""<="" bdsfid="347" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" D.b a<="" bdsfid="357" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 3．若x ∈(e<="" bdsfid="364" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" －1,<="" bdsfid="371" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则<="" bdsfid="378" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<=""<="" bdsfid="385" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" ( )<="" bdsfid="392" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" A ．a <c<="" bdsfid="397" p=""> <="" bdsfid="400" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="405" p="">B ．c <c<="" bdsfid="406" p=""><b<="" bdsfid="407" p=""> <="" bdsfid="410" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="414" p=""><b<="" bdsfid="415" p="">C ． b <c<="" bdsfid="416" p=""><="" bdsfid="419" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="423" p=""><c<="" bdsfid="424" p="">D ． b <a<="" bdsfid="425" p=""><="" bdsfid="428" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="432" p=""><c<="" bdsfid="433" p="">4．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为<="" bdsfid="436" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="440" p=""><c<="" bdsfid="441" p="">( )<="" bdsfid="444" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="448" p=""><c<="" bdsfid="449" p="">A ．M <n< bdsfid="450" p=""></n<><="" bdsfid="453" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="457" p=""><c<="" bdsfid="458" p="">B ．M ≤N<="" bdsfid="461" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="465"p=""><c<="" bdsfid="466" p="">C ．M >N<="" bdsfid="469" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="473" p=""><c<="" bdsfid="474" p="">D ．M ≥N<="" bdsfid="477" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="481" p=""><c<="" bdsfid="482" p="">5．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是<="" bdsfid="485" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="489" p=""><c<="" bdsfid="490" p=""><="" bdsfid="493" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="497" p=""><c<="" bdsfid="498" p="">( )<="" bdsfid="501" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="505" p=""><c<="" bdsfid="506" p="">A ．ab >ac<="" bdsfid="509" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="513" p=""><c<="" bdsfid="514" p="">B ．ac >bc<="" bdsfid="517" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="521" p=""><c<="" bdsfid="522" p="">C ．a |b |>c |b | <="" bdsfid="525" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="529" p=""><c<="" bdsfid="530" p=""><="" bdsfid="533" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="537" p=""><c<="" bdsfid="538" p="">D ．a 2>b 2>c 2 <="" bdsfid="541" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="545" p=""><c<="" bdsfid="546" p="">二、填空题<="" bdsfid="549" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="553" p=""><c<="" bdsfid="554" p="">6．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________．<="" bdsfid="557" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="561" p=""><c<="" bdsfid="562" p="">7．若x ∈R ，则x 1＋x 2与1<="" bdsfid="565" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="569" p=""><c<="" bdsfid="570" p="">2<="" bdsfid="573" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="577" p=""><c<="" bdsfid="578" p="">的大小关系为________． 8．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．三、解答题<="" bdsfid="581" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="585" p=""><c<="" bdsfid="586" p="">9．比较x 6＋1与x 4＋x 2的大小，其中x ∈R .<="" bdsfid="589" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="593" p=""><c<="" bdsfid="594" p="">10．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b<="" bdsfid="597" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="601" p=""><c<="" bdsfid="602" p="">a ＋b<="" bdsfid="605" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="609" p=""><c<="" bdsfid="610" p="">的大小．<="" bdsfid="613" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="617" p=""><c<="" bdsfid="618" p="">11.已知12<60,15 <="" bdsfid="622" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="626" p=""><60,15b 的取值范围．<="" bdsfid="630" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="634" p=""><60,15四、探究与拓展<="" bdsfid="638" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="642" p=""><60,1512．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．<="" bdsfid="646" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="650" p=""><60,15<="" bdsfid="654" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="658" p=""><60,15部分参考答案：<="" bdsfid="662" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="666" p=""><60,15问题2：设原来a 克糖水中含糖b 克，加入m 克糖后，糖水浓度变大了，用不等式表示为b a<="" bdsfid="671" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="675" p=""><60,15a ＋m<="" bdsfid="680" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="684"p=""><60,15(其中a ，b ，<="" bdsfid="689" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="693" p=""><60,15m 均为正数，且a >b )．证明如下：b ＋m a ＋m －b a ＝a (b ＋m )－b (a ＋m )a (a ＋m )＝m (a －b )<="" bdsfid="698" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="702" p=""><60,15a (a ＋m )，<="" bdsfid="707" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="711" p=""><60,15又a ，b ，m 均为正数且a >b ，∴a －b >0，m (a －b )>0，a (a ＋m )>0，∴<="" bdsfid="716" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="720" p=""><60,15m (a －b )<="" bdsfid="725" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="729" p=""><60,15a (a ＋m )<="" bdsfid="734" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="738" p=""><60,15>0.<="" bdsfid="743" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="747" p=""><60,15因此，<="" bdsfid="752" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="756" p=""><60,15b ＋m a ＋m >b<="" bdsfid="761" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="765" p=""><60,15a立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="774" p=""><60,15，也就是糖水浓度更大了，糖水变得更甜了．问题3：<="" bdsfid="779" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="783" p=""><60,15证明<="" bdsfid="788" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="792" p=""><60,15<="" bdsfid="797" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="801" p=""><60,15<="" bdsfid="806" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="810" p=""><60,15<="" bdsfid="815" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="819" p=""><60,15?a ＞b ＞0c ＞0<="" bdsfid="824" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="828" p=""><60,15?ac ＞bc ＞0<="" bdsfid="833" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="837" p=""><60,15<="" bdsfid="842" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="846" p=""><60,15?<="" bdsfid="851" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="855" p=""><60,15c ＞d ＞0立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="864" p=""><60,15b ＞0<="" bdsfid="869" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="873" p=""><60,15?bc ＞bd ＞0<="" bdsfid="878" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="882" p=""><60,15?ac ＞bd .<="" bdsfid="887" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="891" p=""><60,15问题4：解－16x ＋34<23x －1<="" bdsfid="896" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="900" p=""><60,1512?－2x ＋9<8x －1 (不等式两边都乘以12，不等式方向不改变)<="" bdsfid="905" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="909" p=""><60,15?－2x <8x －10 (不等式两边都加上－9)<="" bdsfid="914" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="918" p=""><60,15?－10x <－10 (不等式两边都加上－8x )?x >1 (不等式两边都乘以－1<="" bdsfid="923" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="927" p=""><60,1510，不等式方向改变)<="" bdsfid="932" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="936" p=""><60,15<="" bdsfid="941" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="945" p=""><60,15变式练习1：设软件数为x ，磁盘数为y ，根据题意可得<="" bdsfid="950" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="954" p=""><60,15?<="" bdsfid="959" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="963" p=""><60,1560x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ，<="" bdsfid="968" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="972" p=""><60,15y ≥2且y ∈N.<="" bdsfid="977" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="981" p=""><60,15<="" bdsfid="986" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="990" p=""><60,15变式练习2：∵(x 3<="" bdsfid="995" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="999" p=""><60,15－1)－(2x 2<="" bdsfid="1004" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="1008" p=""><60,15－2x ): ＝x 3<="" bdsfid="1013" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="1017" p=""><60,15－2x 2<="" bdsfid="1022" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="1026" p=""><60,15＋2x －1 ＝(x 3。
不等关系与不等式经典教案设计
不等关系与不等式【学习目标】1．了解不等式(组)的实际背景．2．掌握比较两个实数大小的方法．3．掌握不等式的八条性质．【学法指导】1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可．2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论．3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形．一、知识温故a－b＞0⇔；a－b＝0⇔；a－b＜0⇔ .3．常用的不等式的基本性质(1)a>b⇔b a(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac bc；a>b，c<0⇒ac bc；(5)a>b，c>d⇒a＋c b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒a n b n；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒二、经典范例问题探究一实数比较大小问题1(实数比较大小的依据)在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：如果a－b是正数，那么；如果a－b是负数，那么；如果a－b等于零，那么 .以上结论反过来也成立，即a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.问题2(作差法比较实数的大小)向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论．问题探究二不等式的基本性质问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质．请同学们借助前面的性质证明性质6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.问题4 初学者对不等式的八条基本性质往往重视不够，其实不等式的基本性质是不等式变形(证明不等式和求解不等式)的重要依据．请同学们解下面这个简单的一元一次不等式，体会并证明不等式基本性质的应用． 解不等式：－16x ＋34<23x －112.小结 (1)当问题中同时满足几个不等关系时，应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，则选用几个字母分别表示这些变量即可．(2)解决这类有多个不等关系的问题时，要注意根据题设将所有不等关系都找出来． (3)若有表格、图象等，读懂表格，图象对解决这类问题很关键．变式练习1：某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？变式练习2：已知x ＜1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．小结 作差后变形是比较大小的关键一环，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．变式练习3：(1)比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小；(2)设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．变式练习4：已知a 、b 、c 为实数，判断以下各命题的真假．(1)若a >b ，则ac <bc ； (2)若ac 2>bc 2，则a >b ； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2； (4)若c >a >b >0，则ac －a >bc －b；(5)若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.小结 在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定．变式练习5:判断下列各命题是否正确，并说明理由．(1)若c a <c b且c >0，则a >b ； (2)若a >b >0且c >d >0，则 a d> b c； (3)若a >b ，ab ≠0，则1a <1b；(4)若a >b ，c >d ，则ac >bd .三、过关测试 一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2C.a c 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c | 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b4．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0 D ．b ＋a >06．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.1214．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．四、课后练习一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C.a c 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c |2．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b3．若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a4．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( )A ．M <NB ．M ≤NC ．M >ND ．M ≥N5．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c2二、填空题6．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________．7．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．8．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 三、解答题9．比较x 6＋1与x 4＋x 2的大小，其中x ∈R .10．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b 的大小．11.已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及a b的取值范围．四、探究与拓展12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．部分参考答案：问题2：设原来a 克糖水中含糖b 克，加入m 克糖后，糖水浓度变大了，用不等式表示为b a <b ＋ma ＋m(其中a ，b ，m 均为正数，且a >b )．证明如下：b ＋m a ＋m －b a ＝a (b ＋m )－b (a ＋m )a (a ＋m )＝m (a －b )a (a ＋m )，又a ，b ，m 均为正数且a >b ，∴a －b >0，m (a －b )>0，a (a ＋m )>0，∴m (a －b )a (a ＋m )>0.因此，b ＋m a ＋m >b a，也就是糖水浓度更大了，糖水变得更甜了．问题3：证明⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ＞0c ＞0⇒ac ＞bc ＞0⎭⎪⎬⎪⎫c ＞d ＞0b ＞0⇒bc ＞bd ＞0⇒ac ＞bd .问题4：解 －16x ＋34<23x －112⇔－2x ＋9<8x －1 (不等式两边都乘以12，不等式方向不改变)⇔－2x <8x －10 (不等式两边都加上－9)⇔－10x <－10 (不等式两边都加上－8x )⇔x >1 (不等式两边都乘以－110，不等式方向改变)变式练习1：设软件数为x ，磁盘数为y ，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ，y ≥2且y ∈N.变式练习2： ∵(x 3－1)－(2x 2－2x ): ＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)[(x －12)2＋34]，∵(x －12)2＋34＞0，x －1＜0，∴(x －1)[(x －12)2＋34]＜0，∴x 3－1＜2x 2－2x .变式练习3：解 (1)∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0.∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)． (2)∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．变式练习4：解 (1)c 是正、负或为零未知，因而缺少判断ac 与bc 的大小依据，故该命题为假命题． (2)由ac 2>bc 2知c ≠0，∴c 2>0，∴a >b ，故该命题为真命题．(3)⎭⎪⎬⎪⎫a <b a <0⇒a 2>ab ；又⎭⎪⎬⎪⎫a <b b <0⇒ab >b 2，∴a 2>ab >b 2，故该命题为真命题．(4)∵a >b >0，∴－a <－b ，∴c －a <c －b ，又∵c >a >b >0，∴1(c －a )(c －b )>0，在c －a <c －b 两边同乘1(c －a )(c －b )，得1c －a >1c －b >0，又a >b >0，∴a c －a >bc －b .故该命题为真命题．(5)由已知条件知a >b ⇒a －b >0，又1a >1b ⇒1a －1b >0⇒b －aab>0，∵a －b >0，∴b －a <0，∴ab <0.又a >b ，∴a >0，b <0，故该命题为真命题．变式练习5：解 (1)⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ，但推不出a >b ，故(1)错．(2)⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒a d >b c>0⇒ ad> bc成立，故(2)对． (3)错．例如，当a ＝1，b ＝－1时，不成立． (4)错．例如，当a ＝c ＝1，b ＝d ＝－2时，不成立．过关测试：1、答案 C解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立； 对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确； 对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立． 2、答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab2>a .3、答案 C解析 对于A ，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，1a 2b2>0，∴1ab 2<1a 2b ； 对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.4、答案 C解析 ∵1e<x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0.∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)， 又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b . 5、答案 D解析 由a >|b |得－a <b <a ，∴a ＋b >0，且a －b >0.∴b －a <0，A 错，D 对．可取特值，如a ＝2，b ＝－1，a 3＋b 3＝7>0，故B 错．而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0，∴C 错． 6、答案 A 解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A. 7、答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6.8、答案 f (x )>g (x )解析 ∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f (x )>g (x )．9、答案 x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 221＋x 2＝－x －1221＋x 2≤0，∴x 1＋x 2≤12.10、答案 A >B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n .∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .11、解 方法一 作差法 a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝a ＋b a 2－b 2－a －b a 2＋b2a 2＋b 2a ＋b ＝a －b[a ＋b 2－a 2＋b 2]a 2＋b 2a ＋b ＝2ab a －ba ＋b a 2＋b 2∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0.∴2ab a －b a ＋b a 2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b .方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b >0.∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1.∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b.12、解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4，①当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，3x4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f (x )＜g (x )；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f (x )＝g (x )；③当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜3x4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．13、答案 A解析 方法一 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2.方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1，∴0<a 1<12，0<b 1<12.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21，a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0，∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1 ＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. ∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝⎛⎭⎪⎫b 1－12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>12. 综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.14、解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．课后练习答案：1．C 2.C 3.C 4.C 5.A6．[－1,6] 7.x 1＋x 2≤12 8.A >B9．解 x 6＋1－(x 4＋x 2)＝x 6－x 4－x 2＋1 ＝x 4(x 2－1)－(x 2－1)＝(x 2－1)(x 4－1) ＝(x 2－1)2(x 2＋1)≥0.∴当x ＝±1时，x 6＋1＝x 4＋x 2； 当x ≠±1时，x 6＋1>x 4＋x 2. 综上所述，x 6＋1≥x 4＋x 2， 当且仅当x ＝±1时取等号． 10．解 方法一 作差法∵a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b＝(a ＋b )(a 2－b 2)－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b )＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2). ∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0.∴2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1.∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 11．解 ∵15<b <36，∴－36<－b <－15.∴12－36<a －b <60－15，∴－24<a －b <45.又136<1b <115，∴1236<a b <6015， ∴13<a b<4. ∴－24<a －b <45，13<a b<4. 12．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x 4＜0， ∴f (x )＜g (x )；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4＝0， 即f (x )＝g (x )；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x 4＞0， 即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )； 当x ＝43时，f (x )＝g (x )； 当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．。
不等关系与不等式教案 (3)
第三章不等式不等关系和不等式第二十一课时（一）教学目标1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。
2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
（二）教学重、难点重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
（三）教学设想[创设问题情境]问题1：设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d≤AB。
问题2：某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为2.580.20.1xx-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭万元。
那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式2.580.20.1xx-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭≥20问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。
怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：500600400030x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ [练习]：第82页，第1、2题。
高中数学必修五不等关系与不等式教案
第三章不等式必修5 3.1 不等关系与不等式一、教学目标1.通过具体问题情境, 让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系；2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下, 学习不等式的相关内容；3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程.二、教学重点:用不等式（组）表示实际问题中的不等关系, 并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、教学难点:使用不等式（组）正确表示出不等关系.四、教学过程:（一）导入课题现实世界和生活中, 既有相等关系, 又存在着大量的不等关系我们知道, 两点之间线段最短, 三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边, 等等.人们还经常用长与短, 高与矮, 轻与重, 大与小, 不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中, 我们用不等式来表示这样的不等关系.提问：1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？ (大于、等于、小于)..2.现实生活中, 人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述）引入知识点:1.不等式的定义: 用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式.2.不等式a b的含义.不等式应读作“大于或者等于”, 其含义是指“或者> , 或者= ”, 等价于“不小于, 即若> 或= 之中有一个正确, 则正确.3.实数比较大小的依据与方法.（1）如果是正数, 则；如果等于零, 则；如果是负数, 则.反之也成立, 就是（>0 > ；=0 = ；<0 < ）. （2）比较两个实数与的大小, 需归结为判断它们的差的符号, 至于差的值是什么, 无关紧要.（二）基础练习1.用不等式表示下面的不等关系:（1）a与b的和是非负数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；解: （1）；（2）.2.有一个两位数大于50而小于60, 其个位数字比十位数字大2.试用不等式表示上述关系（用和分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.解: 由题意知43481158451111a a ⇒<<⇒<<. 3.比较（a +3）（a -5）与（a +2）（a -4）的大小.解: （ +3）（ -5）-（ +2）（ -4）=（ 7<0,∴（a +3）（a -5）<（a +2）（a -4）.（三）提升训练1.比较 与 的大小, 其中 R.解：()2222223333333333322244x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+=-+-+=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 0>，233x x ∴+>.方法总结: 两个实数比较大小, 通常用作差法来进行, 其一般步骤是:第一步: 作差；第二步: 变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步: 定号.最后得出结论..2.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本2元, 钢笔每枝5元.设他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为 , , 则 , 应满足关系式3.一个盒中红、白、黑三种球分别有 个、 个、 个, 黑球个数至少是白球个数的一半, 至多是红球的 , 白球与黑球的个数之和至少为55, 使用不等式将题中的不等关系表示出来（ N*）. 解：,3255.x y z y z ⎧≥≥⎪⎨⎪+≥⎩（四）课后巩固练习题：1,2.. 习题3..A 组：1,2.。
不等关系与不等式教案及练习
§3.1 不等式关系与不等式教学目的：1.在学生理解了一些不等式(组)生产的实际背景的前提下,学习不等式的相关内容;2.利用数轴回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小,以及用实数理论来证明不等式的一些性质;3.通过回忆和复习学生所熟悉的等式性质类比得到不等式的一些基本性质;4.在理解不等式的一些基本性质的基础上,利用它们来证明一些简单的不等式;5.通过对富有实际意义问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的结构美,激发学生学习的兴趣. 教学重点：1.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题;2.掌握不等式性质定理及推论,注意每个定理的条件;3.不等式的基本性质的应用.教学难点：1.用不等式(组)准确地表示出不等关系;2.差值比较法：作差→变形→判断差值的符号;3.不等式的基本性质的应用.教学过程：一、引入新课：在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存有着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或很多于等来描绘某种客观事物在数量上存有的不等关系.在数学中,我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.二、讲解新课：(一)用不等式表示不等关系引例1 限速40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h,写成不等式就是:40v ≤引例2 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应很多于%5.2,蛋白质的含量p 应很多于%3.2,写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩ 问题1: 设点A 与平面α的距离为d ,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤.问题2: 某种杂志原以每本5.2元的价格销售,能够售出8万本.据市场调查,若单价每提升1.0元,销售量就可能相对应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解: 设杂志社的定价为x 元,则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯万元, 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”能够表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3: 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求,600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢? 解: 假设截得500mm 的钢管x 根,截得600mm 的钢管y 根.根据题意,应有如下的不等关系:(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm;(2)截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍;(3)截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系,能够用下面的不等式组来表示:5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩(二)不等式的基本性质1.判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数b a ,,在b a b a b a <=>,,三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是:0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就能够了．2.不等式的定义用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.说明: (1)不等号的种类:≠≤≥<>,,,,.(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等).(3)不等式研究的范围是实数集R .3.同向不等式与异向不等式同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;例如d c b a >>,,是同向不等式.异向不等式:两个不等号方向相反的不等式;例如d c b a <>,,是异向不等式.4.不等式的性质定理1：假设b a >,那么a b <,假设a b <,那么b a >.(对称性)即a b b a <⇔>证明: ∵b a >∴0>-b a由正数的相反数是负数,得0)(<--b a即0<-a b∴a b <(定理的后半部分略)点评：定理1即 a b b a <⇔>定理2：假设b a >且c b >,那么c a >.(传递性)即c a c b b a >⇒>>,证明：∵c b b a >>,∴0,0>->-c b b a根据两个正数的和仍是正数得0)()(>-+-c b b a 即0>-c a∴c a >点评：(1)根据定理l,定理2还能够表示为a c a b b c <⇒<<,;(2)不等式的传递性能够推广到n 个的情形.定理3：假设b a >,那么c b c a +>+.即c b c a b a +>+⇒>(加法性质)证明：∵b a >∴0>-b a∴0)()(>+-+c b c a 即c b c a +>+点评：(1)定理3的逆命题也成立;(2)利用定理3能够得出,假设c b a >+,那么b c a ->,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,能够把它从—边移到另一边.推论：假设b a >且d c >,那么d b c a +>+(相加法则)即d b c a d c b a +>+⇒>>,证法一：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a d b c a +>+ 点评：这个推论能够推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.定理4：假设b a >且0>c ,那么bc ac >;假设b a >且0<c ,那么bc ac <.(乘法性质)证明：∵c b a bc ac )(-=-∵b a >∴0>-b a当0>c 时,0)(>-c b a 即bc ac >当0<c 时,0)(<-c b a 即bc ac <推论1: 假设0>>b a 且0>>d c ,那么bd ac >.(相乘法则)证明：,0a b c >> ac bc ∴> ①又,0,c d b >> ∴bc bd > ②由①、②可得ac bd >.说明： (1)所有的字母都表示正数，假设仅有,a b c d >>，就推不出ac bd > 的结论.(2)这个推论能够推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.推论2: 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且.说明：(1)推论2是推论1的特殊情形;(2)应强调学生注意N n ∈1n >且的条件,假设0>>b a ,那么n n b a >(N n ∈且1>n ).定理5: 若0>>b a ,则n n b a >(N n ∈且1>n ).(指数运算性质)点拨：遇到困难时,可从问题的反面入手,即所谓的“正难则反”.我们用反证法来证明定理5,因为反面有两种情形,=所以不能仅仅<就“归谬”了事,而必须实行“穷举”.证明：假定n a 不大于n b ,<或者n n b a =由推论2和定理1,<,有a b <; 当n n b a =时,显然有b a = 这些都同已知条件0a b >>矛盾>点评：反证法证题思路是:反设结论→找出矛盾→肯定结论. 定理6：若b a >且0>ab ,则11.a b <(倒数性质) 证明：aba b b a -=-11 0,>>ab b a 又 011,0<-=-<-∴ab a b b a a b ba 11<∴ 5.不等式的基本性质小结(1)a b b a <⇔>;a b b a <⇔>(定理1,对称性)(2)c a c b b a >⇒>>,(定理2,传递性)(3)c b c a b a +>+⇒>(定理3,加法单调性)(4)d b c a d c b a +>+⇒>>,(定理3推论,同向不等式相加)(5)d b c a d c b a ->-⇒<>,(异向不等式相减)(6)bc ac c b a >⇒>>0,.;bc ac c b a <⇒<>0,(定理4,乘法单调性)(7)bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(定理4推论1,同向不等式相乘) (8)d b c a d c b a >⇒<<>>0,0(异向不等式相除) (9)0,>>ab b a ba 11<⇒(倒数关系) (10))1,(0>∈>⇒>>n Z nb a b a n n 且(定理4推论2,平方法则) (11))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(开方法则)(**)ααααααb a b a b a b a <⇒<>>>⇒>>>0,0;0,0(**)0,0>>b a ,则1 ;1 ;1<⇔<=⇔=>⇔>ba b a b a b a b a b a三、讲解范例：(一)用不等式表示不等关系例1 如图,函数)(x f y =反映了某公司产品的销售收入y 万元与销售量x 吨的函数关系,)(x g y =反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系,试问:(1)当销售量为多少时,该公司赢利(收入大于成本);(2)当销售量为多少时,该公司亏损(收入小于成本).解: 略例2 某用户计划购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过500元,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒.问:软件数与磁盘数应满足什么条件? 解: 略例3 某厂使用两种零件B A ,,装配两种产品甲,乙,该厂的生产水平是月产量甲最多2500件,月产量乙最多1200件,而组装一件产品,甲需要4个A ,2个B ;乙需要6个A ,8个B .某个月,该厂能用的A 最多有14000个,B 最多有12000个.用不等式将甲,乙两种产品产量之间的关系表示出来.解: 略例4 若需要在长为4000mm 的圆钢上,截出长为698mm 和518mm 两种毛坯,问怎样写出满足上述条件所有不等关系的不等式组?解: 略(二)不等式的基本性质例1 已知0≠x ,比较22)1(+x 与124++x x 的大小.引伸: 在例中,假设没有0≠x 这个条件,那么两式的大小关系如何?结论: 例1是用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差——变形——判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要.例2 已知0,0>>>m b a ,试比较m a m b ++与a b 的大小. 解: 略例3 已知d c b a <<>>0,0,求证:d b c a > 证明: 略例4 已知y x >且0≠y ,比较y x 与1的大小. 解: 略思考题:1.设*,0,,a b n N >∈且b a ≠,比较()()n n a b a b ++与112()n n ab +++的大小.2.比较222c b a ++与ca bc ab ++的大小.3.已知y x ,均为正数,设yx N y x M +=+=4,11,试比较M 和N 的大小.例5 若31,51<-<-<+<b a b a ,求b a 23-的范围.解: 略类型题: 已知bx ax x f +=2)(,假设4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f .求证:14)2(7≤≤f .分析: 利用(1)f -与(1)f 设法表示b a ,然后再代入(2)f 的表达式中,从而用(1)f - 与来表示(2)f , 最后使用已知条件确定(2)f 的取值范围.思考题:1.若R b a ∈,,求不等式b a b a 11,>>同时成立的条件.2.||||,0b a ab >>,比较a 1与b 1的大小.3.若0,0<<>>d c b a ,求证:db c a ->-ππααsin sin log log .4.设函数)(x f 的图象为一条开口向上的抛物线.已知y x ,均为不等正数, 0,0>>q p 且1=+q p ,求证:)()()(y qf x pf qy px f +<+四、课堂练习：1.在以下各题的横线处适当的不等号: (1)2)23(+ 626+; (2)2)23(- 2)16(-;; (4)当0.>>b a 时,a 21log b 21log . 2.选择题:(1)若01,0<<-<b a ,则有( )A. 2ab ab a >>B. a ab ab >>2C. 2ab a ab >>D. a ab ab >>2(2)2log 2log n m >成立当且仅当( )A ．1>>m n 或01>>>n mB ．01>>>n mC ．1>>m n 或01>>>m n 或01>>>n mD ．1>>n m3.比较大小：(1))7)(5(++x x 与2)6(+x (2)31log 21与21log 314.假设0>x ,比较2)1(-x 与2)1(+x 的大小.5.已知0≠a ,比较)12)(12(22+-++a a a a 与)1)(1(22+-++a a a a 的大小.6.已知142=+y x ,比较22y x +与201的大小.7.比较θsin 2与θ2sin 的大小(πθ20<<).8.设0>a 且1≠a ,0>t ,比较t a log 21与21log +t a 的大小.9.设0>a 且1≠a ,比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小.10.假设0,>b a ,求证:a b a b >⇔>1。
教案精品不等关系与不等式教案 (1)
第二课时 ３.１不等关系与不等式（二）一、教学目标（1）使学生掌握常用不等式的基本基本性质；（2）会将一些基本性质结合起来应用.（3）学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系；二、教学重、难点重点：理解不等式的性质及其证明.难点：利用不等式的基本性质证明不等式。
三、教学过程（一）复习提问1、比较两实数大小的理论依据是什么？2、“作差法”比较两实数的大小的一般步骤.3、初中我们学过的不等式的基本性质是什么?基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.其数学含义：(1)若a ＞b ， 则a ＋c ＞b ＋c ，a －c ＞b －c ；(2)若a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc ，c a ＞cb ；(3)若a ＞b ，c ＜0，则ac ＜bc ，c a ＜c b . （二）新授常用的不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>, （对称性） （2）c a c b b a >⇒>>, （传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>, （可加性）（4）,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒< （可乘性）（5）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式的可乘性）（6）n n n n b a b a n N n b a >>⇒>∈>>,1,,0 （可乘方性、可开方性）例1：已知0,0,a b c >><求证：c c a b> 例2：如果30＜x ＜42，1６＜y ＜24，求x ＋y ，x －2y 及yx 的取值范围. ∵30＜x ＜42，1６＜y ＜24 ∴－4８＜－2y ＜－32，∴30＋1６＜x ＋y ＜42＋24 即4６＜x ＋y ＜６６；∴30－4８＜x －2y ＜42－32 即－1８＜x －2y ＜10；.82145,16422430<<<<y x y x 即例3．已知22πβαπ≤<≤-，求2,2βαβα-+的取值范围。
必修5第三章不等关系与解不等式教案6个课时
4
合 作 探
⑵ 例 2．比较大小：⑴ 5 2 与 6 5 ；
究
1 1 与 ； 6 5 52
⑶ 6
2与 5 3。
不 议 不 讲 高 效 训 练
分析：正确的选用比较大小的方法：运用不等式的性质，或者作差法等。 作差法一般分为四步：①作差；②变形；③判断符号；④得出结论； 小结： 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负， 常采用配方、因式分解、
知 识 与技能 过 程 与方法
第3章2节
主题
一元二次不等式及其解法
第 1 课时
1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。 2.培养学生观察分析、抽象概括、归纳总结等逻辑思维能力。
通过对一元二次不等式求解过程及步骤联系，熟悉其求解过程
通过具体情境，使学生感受在现实世界和日常生活中存在有大量不等的数量关系， 情感态度 并与我们的生产、生活密切相关，唤起学生的学习热情，由衷的产生用数学工具 与价值观 研究不等关系的愿望。 重点 难点 掌握一元二次不等式解法，理解二次函数、一元二次方程和一元二次不等式解集 的联系及数形结合思想的运用。 理解二次函数、一元二次方程和一元二次不等式解集的联系。 学生已基本掌握了一元一次不等式的求解，以及解二元一次不等式组， 对一元二次方程的求根公式掌握的不是很熟练。
1 1 b a < ； （３）若 a<b<0，则 > ； a b a b b a b （４）若 a<b<0，则 <1； （５）若 c>a>b>0，则 ＞ ． a ca cb
（１）若 a>b, 则 ac >bc ； （２）若 a<b<0，则 8. 对于实数 a,b,c 判断以下推理的正确与错误。 2 2 2 2 （１）若 a>b, 则 ac<bc; （２）若 ac >bc ，则 a>b; （３）若 a<b<0, 则 a >ab>b ; （４）若 a<b<0, 则|a|>|b|; （５）若 a>b,
《不等式与不等关系》教案
《不等关系与不等式》教学设计一教学目标1．掌握比较两个实数大小的方法．2．掌握不等式的八条性质，并能进行简单应用．二教学重难点重点：1.作差法比较两个实数（式）的大小.2.不等式的八条性质的理解和应用.难点：不等式性质的理解和应用.三教学过程（1）复习引入师：在上节课的学习中，我们知道生活中存在着大量的不等关系，怎样用数学语言表示这些不等关系呢？生：用不等式表示.师：本节课我们就具体来学习不等关系与不等式。
（板书课题）（2）课堂探究探究一实数（式）比较大小在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：如果a－b>0，那么；如果a－b<0，那么；如果a－b=0，那么 .该结论反过来也成立，即a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b. 师：从这种等价关系来看，要比较两个实数a，b的大小，可以由它们的差与0的大小关系来决定，即作差法。
例1 试比较 (x+1)(x+5) 与23（+的大小.x）解由于 (x+1)(x+5)−2)3x(+=)9+xx+x-x6(6+)5(2+=-4<0所以 (x+1)(x+5)<23（+.x）师：请你总结作差法比较实数大小的方法。
生：作差变形判断符号得出结论。
师：在变形时，常用的方法有：配方法，因式分解、分子有理化等，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．练习设a=2x−x,b=x−2,则a与b的大小关系为( ).A.a>bB.a=bC.a<bD.与x有关生：自主思考，由一名学生黑板展示并讲解。
探究二不等式的基本性质师：初中我们学过哪些不等式的性质？生：性质1(对称性) 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.性质2(传递性) 如果a>b，b>c，那么a>c.性质3(可加性) 如果a>b，则a+c>b+c.性质4(可乘性) 如果a>b，c>0，则a c>bc；如果a>b，c<0，则a c<bc.师：思考：用“>”或“<”填空（1）如果a>b,c>d,则a+c b+d（2）如果a>b>0,c>d>0,则a c bd(3) 如果a>b>0,则2a2b(4) 如果a>b>0,.生：独立思考后小组交流，由一个小组回答并证明.师：这样我们就讲不等式的性质又拓展出以下四条：1. （同向可加性）如果a >b ，c>d ，则a +c>b+d ；2. （同向同正可乘性）如果a >b>0，c>d>0，则a c>bd ；3. （可乘方性）如果a >b>0，则n n b a >，(n ∈+N )；4. （可开方性）如果a>b>0，则n n b a >，(n ∈+N , n ≥2).例2 若0>>b a ，0<<d c ，则下列结论正确的是（ ）A. 0>-b d c aB.0<-b d c aC.c b d a >D.c b d a <生：思考后，由一名学生回答。
不等关系与不等式 教案
3.1不等关系与不等式教学目标知识与技能通过具体情境，感受在现实和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
过程与方法根据具体问题，让学生经历从不等关系实际情境中抽象出不等式模型的过程。
感知不等关系和不等式之间的内在联系，并通过具体的操作归纳、总结已达到理解的目的。
让学生在获得数学基础知识的基础上，了解它们产生的背景、应用、使学生学会数学思考问题，解决问题。
情感、态度与价值观让学生感受数学来源于生活，初步体会数学形成过程，逐步培养学生学习数学的良好品质重点与难点重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
难点用不等式（组）正确表示出不等关系。
一：课题导入教学内容：举出生活中和以前不等关系的例子。
提出问题：在日常生活中，我们经常遇到不等关系的问题，你能举出不等关系的例子吗？引导：以前学过相等关系表示，那么如何表示不等关系呢？设计意图：通过让学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分讨论。
使学生感受到现实世界中存在大量不等关系，引起学生探求新知识的欲望。
二：讲授新课提问题：表示不等关系的符号有哪些？举例子：在数学中我们不等式表示不等关系。
例如，限速40km/h的路标，指示司机在前方路段时，应使汽车的速度v不超过40km/h，谢忱不等式就是V≤40某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪含量f 应不少于2.5%蛋白质含量p 应不少于2.3%写成不等式组就是{f ≤2.5%且p ≥2.3%}设计意图：通过引例以及自例的处理过程，培养学生的问题意识与探究意识。
三、应用举例问题1 设点A 与平面a 的距离d,平面a 上任一点，则d ≤│AB │问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入扔不低于20万元呢？问题3铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 的两种。
高三数学不等关系与不等式教案
高三数学不等关系与不等式教案教案：高三数学不等关系与不等式一、教学目标：1. 理解不等关系的含义和性质；2. 掌握不等式的基本性质和解法方法；3. 能够应用不等式解决实际问题。
二、教学内容：1. 不等关系：a. 不等关系的定义；b. 不等关系的性质。
2. 不等式：a. 不等式的定义；b. 不等式的基本性质；c. 不等式的解法方法；d. 不等式的实际应用。
三、教学过程：1. 不等关系：a. 引入不等关系的概念，通过实际例子说明不等关系的含义；b. 讲解不等关系的定义，并通过例题让学生理解不等关系的性质。
2. 不等式：a. 讲解不等式的定义和基本性质，包括加减乘除等运算对不等式的影响；b. 教授不等式的解法方法，包括图像法、试数法和代数法；c. 通过例题和练习让学生掌握不等式的解题技巧。
3. 不等式的实际应用：a. 引导学生观察和分析实际问题中的不等关系；b. 结合实际问题，讲解不等式在解决实际问题中的应用；c. 练习解决实际问题的不等式。
四、教学评价：1. 课堂练习：通过课堂上的例题和练习题，考察学生对不等关系和不等式的理解和掌握程度；2. 作业完成情况：布置相关的作业，检查学生对知识点的掌握情况；3. 课堂参与度：评价学生在课堂上的积极参与程度以及对问题的思考和解答能力。
五、教学资源：1. 教材：高中数学教材；2. 教具：黑板、彩色粉笔、多媒体投影仪等。
六、教学反思：1. 需要注重练习：不等式解题需要通过大量的练习来提高方法和技巧；2. 注意引导思考：教师要注重引导学生思考，让学生在解题过程中不仅能够得到正确答案，更重要的是理解解题的原理和思路；3. 结合实际应用：要注重将不等式的知识点与实际问题相结合，让学生能够在实际生活中灵活运用。
教学设计1：2.1 第1课时 不等关系与不等式
2.1第1课时不等关系与不等式教学目标1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会用作差法比较两实数的大小.教学知识梳理知识点一不等关系与不等式1．不等关系在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：(1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4 m；(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于成本g(x)；(4)用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y 的和不超过2 000元．2．不等式(1)不等式的定义用数学符号“＝”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．知识点二比较大小的依据(1)比较实数a，b大小的文字叙述①如果a－b是正数，那么a＞b；②如果a－b等于0，那么a＝b；③如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．(2)比较实数a，b大小的符号表示①a－b＞0⇔a>b；②a－b＝0⇔a＝b；③a－b<0⇔a<b.思考(1)当x＞1时，x2－x____0(填“＞”或“＜”)．(2)(6＋2)2____10＋43(填“＞”或“＜”)．【答案】(1)＞(2)＜【解析】(1)x2－x＝x(x－1)x＞1时，x－1＞0，x＞0，∴x(x－1)＞0，∴x2－x＞0.(2)(6＋2)2＝8＋212＝8＋43＜10＋4 3.题型探究题型一用不等式(组)表示不等关系例1《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行，身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.4米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系．解由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4，身高超过1.4米可表示为h ＞1.4，身高不足1.1米可表示为h ＜1.1，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P ≤160.如下表所示：反思与感悟 数学研究中要培养抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．不等式是不等关系的符号表示．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．如“超过”不能取等号，“不超过”可以取等号．跟踪训练1 如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L 大于宽W 的4倍．写出L 与W 的关系．解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（L ＋10）（W ＋10）＝350，L ＞4W ，L ＞0，W ＞0.题型二 作差法比较大小例2 (1)比较x 6＋1与x 4＋x 2的大小，其中x ∈R ；(2)设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解 (1)∵x 6＋1－(x 4＋x 2)＝x 6－x 4－x 2＋1＝x 4(x 2－1)－(x 2－1)＝(x 2－1)(x 4－1)＝(x 2－1)2(x 2＋1)≥0.∴当x ＝±1时，x 6＋1＝x 4＋x 2；当x ≠±1时，x 6＋1＞x 4＋x 2.综上所述，x 6＋1≥x 4＋x 2，当且仅当x ＝±1时取等号．(2)∵(5x 2＋y 2＋z 2)－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号． 反思与感悟作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负．作差法的一般步骤：作差——变形——判号——定论．跟踪训练2 若a >b >0，0<c <1，则( )A ．log a c <log b cB ．log c a <log c bC ．a c <b cD ．c a >c b【答案】B【解析】对A ：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg c lg b，∵0<c <1，∴lg c <0，而a >b >0，所以lg a >lg b ，但不能确定lg a 、lg b 的正负，所以它们的大小不能确定，所以A 错；对于B ：log c a ＝lg a lg c，log c b ＝lg b lg c ，而lg a >lg b ，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确；对C ：由y ＝x c 在第一象限内是增函数，即可得到a c >b c ，所以C 错；对D ：由y ＝c x 在R 上为减函数，得c a <c b ，所以D 错．故选B.课堂小结1.比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．当堂检测1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( )A ．5x ＋4y ＜200B ．5x ＋4y ≥200C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤200【答案】D【解析】据题意知，500x ＋400y ≤20 000，即5x ＋4y ≤200，故选D.2．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( )A ．x 2<ax <a 2B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<axD ．x 2>a 2>ax【答案】B【解析】∵x <a <0，∴x 2>a 2.∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax .又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2.∴x 2>xa >a 2.3．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．与x 有关【答案】A【解析】M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0.∴M ＞N . 4．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫12，32【解析】利用偶函数的对称性和函数单调性的定义将函数值大小关系转化为不等式求解． ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)>f (2)，∴2|a －1|<2＝212， ∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32.。
不等式与不等关系教案
不等式与不等关系教案教案标题：不等式与不等关系教案目标：1. 学生能够理解不等式和不等关系的概念。
2. 学生能够解决简单的一元一次不等式，并理解解集的含义。
3. 学生能够在实际问题中应用不等式和不等关系。
教学准备：1. 幻灯片或黑板/白板2. 笔和纸3. 一些实际问题的示例4. 不等式和不等关系的定义和性质的学习材料教学流程：一、导入（5分钟）1.通过示例问题引入不等式的概念，例如：“小明现在身高150厘米，他想知道自己是否已经超过了平均身高，该怎么判断？”二、概念讲解（10分钟）1.解释不等式的定义和符号表示，例如：“不等式是一个数学语句，其中包含不等于号（<,>）。
”2.引导学生了解不等关系，例如：“不等关系是比较两个数之间的大小关系，如大于、小于、大于等于、小于等于。
”三、解决一元一次不等式（15分钟）1.通过示例解决一元一次不等式，让学生熟悉解题步骤和方法。
2.学生进行课堂练习，检查答案。
四、实际问题应用（15分钟）1.给学生提供一些实际问题的示例，要求学生用不等式和不等关系来解决问题。
2.让学生分享解决问题的过程和答案。
五、巩固与拓展（10分钟）1.进行一些巩固练习，确保学生掌握了不等式和不等关系的概念和解题方法。
2.拓展练习，提升学生的思维能力和应用水平。
六、作业布置（5分钟）1.布置一些相关的作业题目，巩固学生的知识和技能。
2.鼓励学生积极思考，并提供必要的指导和支持。
教学反思：在教学过程中，要确保学生理解不等式和不等关系的概念，并能够运用到实际问题中。
教师可以通过引入示例问题、课堂练习和实际问题应用等方式，激发学生的兴趣并提高他们的学习效果。
在教学过程中，要适时进行巩固和拓展，确保学生牢固掌握所学知识。
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不等关系与不等式【学习目标】1．了解不等式(组)的实际背景．2．掌握比较两个实数大小的方法．3．掌握不等式的八条性质．【学法指导】1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可．2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论．3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形．一、知识温故a－b＞0⇔；a－b＝0⇔；a－b＜0⇔.3．常用的不等式的基本性质(1)a>b⇔b a(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac bc；a>b，c<0⇒ac bc；(5)a>b，c>d⇒a＋c b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒a n b n；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒n b.二、经典范例问题探究一实数比较大小问题1(实数比较大小的依据)在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：如果a－b是正数，那么；如果a－b是负数，那么；如果a－b等于零，那么.以上结论反过来也成立，即a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.问题2(作差法比较实数的大小)向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论．问题探究二不等式的基本性质问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质．请同学们借助前面的性质证明性质6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.问题4 初学者对不等式的八条基本性质往往重视不够，其实不等式的基本性质是不等式变形(证明不等式和求解不等式)的重要依据．请同学们解下面这个简单的一元一次不等式，体会并证明不等式基本性质的应用． 解不等式：－16x ＋34<23x －112.小结 (1)当问题中同时满足几个不等关系时，应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，则选用几个字母分别表示这些变量即可．(2)解决这类有多个不等关系的问题时，要注意根据题设将所有不等关系都找出来． (3)若有表格、图象等，读懂表格，图象对解决这类问题很关键．变式练习1：某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？变式练习2：已知x ＜1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．小结 作差后变形是比较大小的关键一环，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．变式练习3：(1)比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小；(2)设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．变式练习4：已知a 、b 、c 为实数，判断以下各命题的真假．(1)若a >b ，则ac <bc ； (2)若ac 2>bc 2，则a >b ； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2； (4)若c >a >b >0，则a c －a >bc －b； (5)若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.小结 在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定．变式练习5:判断下列各命题是否正确，并说明理由．(1)若c a <cb 且c >0，则a >b ；(2)若a >b >0且c >d >0，则 a d> b c； (3)若a >b ，ab ≠0，则1a <1b ；(4)若a >b ，c >d ，则ac >bd .三、过关测试 一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2 C.ac 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c | 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．a 2b <ab 2 C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b4．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0 D ．b ＋a >06．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2 二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.1214．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．四、课后练习一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2 C.ac 2＋1>bc 2＋1 D ．a |c |>b |c | 2．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是 ( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2 C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b3．若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a4．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( )A ．M <NB ．M ≤NC ．M >ND ．M ≥N5．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2二、填空题6．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________．7．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．8．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 三、解答题9．比较x 6＋1与x 4＋x 2的大小，其中x ∈R .10．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．11.已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及ab 的取值范围．四、探究与拓展12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．部分参考答案：问题2：设原来a 克糖水中含糖b 克，加入m 克糖后，糖水浓度变大了，用不等式表示为b a <b ＋ma ＋m (其中a ，b ，m 均为正数，且a >b )．证明如下：b ＋m a ＋m －b a ＝a (b ＋m )－b (a ＋m )a (a ＋m )＝m (a －b )a (a ＋m )，又a ，b ，m 均为正数且a >b ，∴a －b >0，m (a －b )>0，a (a ＋m )>0，∴m (a －b )a (a ＋m )>0.因此，b ＋m a ＋m>b a ，也就是糖水浓度更大了，糖水变得更甜了．问题3：证明⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ＞0c ＞0⇒ac ＞bc ＞0⎭⎪⎬⎪⎫c ＞d ＞0b ＞0⇒bc ＞bd ＞0⇒ac ＞bd .问题4：解 －16x ＋34<23x －112⇔－2x ＋9<8x －1 (不等式两边都乘以12，不等式方向不改变)⇔－2x <8x －10 (不等式两边都加上－9)⇔－10x <－10 (不等式两边都加上－8x )⇔x >1 (不等式两边都乘以－110，不等式方向改变)变式练习1：设软件数为x ，磁盘数为y ，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ，y ≥2且y ∈N.变式练习2： ∵(x 3－1)－(2x 2－2x ): ＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)[(x －12)2＋34]，∵(x －12)2＋34＞0，x －1＜0，∴(x －1)[(x －12)2＋34]＜0，∴x 3－1＜2x 2－2x .变式练习3：解 (1)∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0.∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)． (2)∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．变式练习4：解 (1)c 是正、负或为零未知，因而缺少判断ac 与bc 的大小依据，故该命题为假命题． (2)由ac 2>bc 2知c ≠0，∴c 2>0，∴a >b ，故该命题为真命题．(3)⎭⎬⎫a <b a <0⇒a 2>ab ；又⎭⎬⎫a <b b <0⇒ab >b 2，∴a 2>ab >b 2，故该命题为真命题． (4)∵a >b >0，∴－a <－b ，∴c －a <c －b ，又∵c >a >b >0，∴1(c －a )(c －b )>0，在c －a <c －b 两边同乘1(c －a )(c －b )，得1c －a >1c －b >0，又a >b >0，∴a c －a >bc －b .故该命题为真命题．(5)由已知条件知a >b ⇒a －b >0，又1a >1b ⇒1a －1b >0⇒b －aab>0，∵a －b >0，∴b －a <0，∴ab <0.又a >b ，∴a >0，b <0，故该命题为真命题．变式练习5：解 (1)⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ，但推不出a >b ，故(1)错．(2)⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒a d >bc >0⇒ ad> bc成立，故(2)对． (3)错．例如，当a ＝1，b ＝－1时，不成立． (4)错．例如，当a ＝c ＝1，b ＝d ＝－2时，不成立．过关测试：1、答案 C解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．2、答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab2>a .3、答案 C解析 对于A ，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.4、答案 C解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0.∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)， 又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b . 5、答案 D解析 由a >|b |得－a <b <a ，∴a ＋b >0，且a －b >0.∴b －a <0，A 错，D 对．可取特值，如a ＝2，b ＝－1，a 3＋b 3＝7>0，故B 错．而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0，∴C 错． 6、答案 A 解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A. 7、答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6. 8、答案 f (x )>g (x )解析 ∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f (x )>g (x )．9、答案 x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x 1＋x 2≤12.10、答案 A >B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n.∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .11、解 方法一 作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝(a ＋b )(a 2－b 2)－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b )＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2) ∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0. ∴2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b >0.∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1.∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b.12、解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4，①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x 4＜0，∴f (x )＜g (x )；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f (x )＝g (x )；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x 4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．13、答案 A解析 方法一 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2.方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1， ∴0<a 1<12，0<b 1<12.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21，a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0，∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2. ∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1 ＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝⎛⎭⎫a 1－12⎝⎛⎭⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. ∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝⎛⎭⎫b 1－12 ＝2⎝⎛⎭⎫a 1－12⎝⎛⎭⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>12. 综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.14、解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．课后练习答案：1．C 2.C 3.C 4.C 5.A6．[－1,6] 7.x 1＋x 2≤12 8.A >B9．解 x 6＋1－(x 4＋x 2)＝x 6－x 4－x 2＋1 ＝x 4(x 2－1)－(x 2－1)＝(x 2－1)(x 4－1) ＝(x 2－1)2(x 2＋1)≥0.∴当x ＝±1时，x 6＋1＝x 4＋x 2； 当x ≠±1时，x 6＋1>x 4＋x 2.综上所述，x 6＋1≥x 4＋x 2，当且仅当x ＝±1时取等号．10．解 方法一 作差法∵a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b＝(a ＋b )(a 2－b 2)－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b )＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2). ∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0. ∴2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b . 方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1.∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 11．解 ∵15<b <36，∴－36<－b <－15.∴12－36<a －b <60－15，∴－24<a －b <45.又136<1b <115，∴1236<a b <6015， ∴13<a b<4. ∴－24<a －b <45，13<a b<4. 12．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x 4＜0， ∴f (x )＜g (x )；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4＝0， 即f (x )＝g (x )；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x 4＞0， 即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )； 当x ＝43时，f (x )＝g (x )； 当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．。