运筹学第一章详解答案

运筹学详解答案：

1.1分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，（1）指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解；（2）当具有有限最优解时，指出单纯形表中的各基可行解对应可行域的那一顶点。

A. 图解法

图中蓝线代表目标函数线，箭头代表其运动的方向，根据可行域的形状可知此题无最优解。

B. 单纯形法

1.行变换法

写出此线性规划问题的标准形式

max z =5x 1+6x 2

s.t.{2x 1−x 2−x 3=2

−2x 1+3x 2+x 4=2x i ≥0,(i =1,2,3,4)

系数矩阵经过行变换后可的到等价的约束条件如下

max z =5x 1+6x 2

⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=0,23222.65max )4(21212121x x x x x x st x x Z

s.t.{x 1−12⁄x 2−12⁄x 3+0x 4=1

0x 1+2x 2−x 3+x 4=4x i ≥0,(i =1,2,3,4)

显然x 1,x 4是基变量利用单纯形表可以求出此题具有无界解。

当然还可以采用其他变量为基变量，例如将约束条件转化为

s.t.{x 1+0x 2−34⁄x 3+14⁄x 4=2

0x 1+x 2−12⁄x 3+12⁄x 4=2x i ≥0,(i =1,2,3,4)

此时x 1,x 2成为了基变量。然后在利用单纯形法可以解出此题具有无界解。

C. 大M 法

易知转换成标准形式后，约束问题的系数矩阵中不包含单位矩阵，这时我们可以添加一个人工变量x 5，并在系数矩阵中添加一列单位向量，同时令目标函数中人工变量的系数为任意大的负值，用“-M ”表示。具体形式如下

max z =5x 1+6x 2−Mx 5

s.t.{2x 1−x 2−x 3+x 5=2

−2x 1+3x 2+x 4=2x i ≥0,(i =1,2,3,4,5)

1.在进行第二次迭代时，因为人工变量已经移除基了，我们可以在后续的计算中不考虑它。

2.在进行第三次迭代时，进基的变量是x 3，而其对应的列向量都是小于0的，故此我们可以判断此问题有无界解。

D. 两阶段法

利用两阶段法，第一阶段先求解一个目标函数中只包含人工变量的线性规划问题，此时问题可以写为：

min w =x 5

s.t.{2x 1−x 2−x 3+x 5=2

−2x 1+3x 2+x 4=2x i ≥0,(i =1,2,3,4,5)

第二阶段将从第一阶段最后一个表出发，去除人工变量，并且目标函数回归到

max z =5x 1+6x 2

即此问题有无界解。

1.2将下述线性规划问题化成标准形式。

min z =2x 1−2x 2+3x 3 s.t.{−x 1+x 2+x 3=4

−2x 1+x 2−x 3≤6x 1≤0,x 2≥0,x 3无约束

解：令z 1=−z ，x 11=−x 1，x 3=x 31−x 32，其中x 31,x 32≥0，同时添加约束变

量x 4≥0，将上述问题转化为标准形式如下：

max z 1=2x 11+2x 2−3x 31+3x 32

s.t.{−x 11+x 2+x 31−x 32=4

2x 11+x 2−x 31+x 32+x 4=6x 11,x 2,x 31,x 32,x 4≥0

1.15 解：设前舱运送商品A 11X 件，B 12X 件，C 13X 件 中舱运送商品A 21X 件，B 22X 件，C 23X 件

后舱运送商品A 31X 件，B 32X 件，C 33X 件

()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⨯⨯++≥++⨯⨯++≥++⨯⨯++≤++⨯⨯++≥++⨯⨯++≤++⨯⨯++≥++≤++≤++≤++≤++≤++≤++1.1345685689.03456856815.12156856885.021********.132********.0325685681500

7510540075104000

751015005683000

5682000568333231131211333231131211333231333231333231333231131211131211232221131211333231232221332211333231232221131211X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

1.7 解：由表知，X1进基，X4离基，以b 为主元变换

新的基矩阵g 0ℎ1

=E 故g=1,h=0

变换过程中，第一行乘以0.5；第二行数加上变换后的第一行数 故f=3,b=2,c=4,d=-2,i=5,e=2

基变量的检验数为0

故l=0

设C=[c1,c2,c3,c4,c5]

非基变量检验数:

迭代前 a=c1-2c4+c5

-1=c2-4c4-3c5

2=c3+2c4-2c5

迭代后 -7=c2-2c1-5c5

J=c3+c1-c5

K=c4-0.5c1-0.5c5

对比前后得,

K=-1.5,a=-2k=3,j=5

综上：a=3,b=2,c=4,d=-2,e=2,f=3,g=1,h=0,i=5,j=5,K=-1.5,l=0