金融工程8-BSM模型2011

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Black-Scholes微分方程：基本思路
• 思路：由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确 定性（dz）影响，若匹配适当的话，这种不确定性就可以 相互抵消。因此布莱克和舒尔斯就建立起一个包括一单位 衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合。若数 量适当的话，标的证券多头盈利（或亏损）总是会与衍生 证券空头的亏损（或盈利）相抵消，因此在短时间内该投 资组合是无风险的。那么，在无套利机会的情况下，该投 资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。
S S t S z和 f f 1 2 f 2 2 f f ( S S )t S z S t 2 S 2 S
–为了消除z ，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空 头和 f 单位标的证券多头的组合。
S
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介绍：构造无风险资产组合
–去掉Δt
f 1 2 f 2 2 f S rS rf 2 t 2 S S
– Black-Scholes Differential Equation
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• 这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它事实上适用 于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。 • 值得强调的是：上述投资组合只是在极短的时间内才是无 风险的。 f 会不断地发生变化。
13.1 Black-Scholes模型的假设
• 标的资产的价格变动符合几何布朗宁运动，其主要特点是：每一个小区间内 标的资产的收益率服从正态分布，且不同的两个区间内的收益率相互独立。 • 期权是欧式期权
• 卖空的收益可以完全由卖空者支配
• 没有交易成本或者税务成本 • 所有证券都是无限可分的 • 在期权到期之前，股票不支付红利 • 证券的交易是连续的过程，即标的资产价格的变动是连续的，在一段极短的 时间内，标的资产的价格只能有极微小的变动，亦即排除了跳空上涨或跳空 下跌的可能性。 • 无风险利率在各个期限都相等，且是个常数
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看涨期权价值与股票价格
看涨期权价值
斜率就是 Δc/ ΔS 股票现货价格 施权价
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期权价值方程
• ∏是无风险资产组合
–所以
r t
f 1 2 f 2 2 f S t r ( f S )t t 2 S 2 S
–将∏与Δ∏的公式代入，得到：
• 波动率的计算方法2：隐含波动率，伸引波幅
估计标的资产价格的历史波动率
• 历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计 算出价格收益率的标准差。 • 计算波动率的方法：计算样本均值和标准差的简 单方法。 • 步骤:
– (1) 从市场上获得标的资产（如股票）在固定时间间隔 （如每天、每周或每月等）的价格； – (2) 对于每个时间段，求出该时间段末的股价与该时间 段初的股价之比的自然对数； – (3) 求出这些对数的标准差，再乘以一年中包含的时段 数的平方根
• 连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总 可以很容易的实现；但是横截面的收益率加总则不是 单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是和 的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。 • JP摩根银行的RiskMetrics方法就假定组合的收益率 是单个资产连续复利收益率的加权平均。
• 实际实现的收益率：课本(13.6)
第13章 BSM模型
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Black-ScholBaidu Nhomakorabeas期权定价模型的基本思路
• 期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资 产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。 • 标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格 变化也是一个相应的随机过程。 • 金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数 学家Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生 证券价格所遵循的随机过程。 • 在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程 中， Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定 性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的 证券，建立一定的组合，可以消除这个不确定性，从而使整 个组合只获得无风险利率。从而得到一个重要的方程： Black-Scholes微分方程。 • 求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
百分比收益率与连续复利收益率
S ST S0 • 百分比收益率： S 或 S 0
• 连续复利收益率: ln ST ln S0 • 百分比收益率的缺陷与连续复利收益率的优点：
– 有限责任原则：
• 金融学中常常存在对实际收益率（近似）服从正态分布的隐含假定， 但是在有限责任（投资者顶多赔偿全部的投资，不会损失更多）原则 下，百分比收益率只在－1和＋∞ 之间变化，不符合正态分布假定。 • 对数收益率（－∞ ，＋∞ ）：更适合于建立正态分布的金融资产行为 模型。
– 多期收益率问题：
• 即使假设单期的百分比收益率服从正态分布，多期的百分比收益率是 单期百分比收益率的乘积，n个正态分布变量的乘积并非正态分布变量 。从而产生悖论。
– 多期的对数收益率是单期的对数收益率之和，仍然服从正态分布。
百分比收益率与连续复利收益率
• 如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对 美元汇率变化收益率，两者绝对值不会相等；而且其中一个服 从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的收益率 难以直接计算。 • 如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相 等而符号相反；可以满足同时服从正态分布的假设；交叉汇率 收益率可以直接相加计算。
收盘价Pt(元) 15.60 15.57 15.35 15.35 15.29 15.47 15.57 16.37 16.46 16.96 16.71
收益率ui -0.0019 -0.0142 0.0000 -0.0039 0.0117 0.0064 0.0501 0.0055 0.0299 -0.0149 0.0687 0.0069
ST x ln T S0
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• 收益率分布：课本(13.7)
x ( , ) 2 T 2
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13.3 股票价格波动率及其估计
• σ： –是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年 标准差
• 波动率的计算方法1：从历史数据进行估计
–可以从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准 差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估 计值。 –一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用 交易天数而不采用日历天数。
•
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股票价格和期权价格服从的随机过程
股票价格:dS Sdt Sdz （1） f f 1 2 f 2 2 f 期权价格：df ( S S )dt Sdz (2） 2 S t 2 S S
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Black-Scholes微分方程
• 推导过程
– 根据（1）和（2），在一个很小的时间间隔里S和f的变 化值分别为
13.4 BSM模型与风险中性定价原理
• 从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定 公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、时间 （t）、证券价格的波动率（σ ）和无风险利率r，它 们全都是客观变量，独立于主观变量——风险收益偏 好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收 益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。 • 由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以 大大简化我们的工作的风险中性假设：在对衍生证券 定价时，所有投资者都是风险中性的。
• 例如，预测两年期的期权估值，就用过去两年的历史数据。
表13- 6
烟台万华股票历史波动率计算数据
【例】 以烟台
万华为
例介绍 历史波
动率的
确定
日期 2005-2-24 2005-2-25 2005-2-28 2005-3-1 2005-3-2 2005-3-3 2005-3-4 2005-3-7 2005-3-8 2005-3-9 2005-3-10 合计 均值 方差 标准差(日) 标准差(年)
13.2 BSM模型中的收益率
• 如前述，我们用几何布朗运动描述标的资产价格 变动轨迹的原因在于：
– 投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收 益率。
– 投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是 期望股票价格以一定的增长率在增长。 – 因此需要用百分比收益率代替绝对的股票价格。 – 几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益 率（而不是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对 数正态分布。这比较符合现实。

1 0.36% n 2 收益率标准差 i1 (ui u ) 9 2.0% n 1
年 日 252 2% 252 31.75%
隐含波动率
• 即根据B/S期权定价公式，将公式中除了波动率以 外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的 波动率可以看作是市场对未来波动率的预期。 • 隐含波动率的计算一般需要通过计算机完成。
S
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参数的理解
• μ： – 几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。 – 根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风 险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因 素，因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文 证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率μ是无关的。 2 2 ，这是 – 较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收 益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的 结果。 • σ： –是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差 –因此一般从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差 ，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。 –一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用交易天 数而不采用日历天数。
• 注：所有参数的定义见课本
， 常见的如 年 天 252

s


关于n的选择
• 一般来说，数据越多，计算精度越高。 • 但同时，波动率本身也会随着时间改变而变化， 因此过老的历史数据对于预测未来的价格变化， 可能不起任何作用。 • 如何解决？
– 一种做法是选择90-180天的收盘价数据 – 或者是将n设定为将应用波动率的期限。
• 组合
– 期权：空头1份，即-f； f f – 股票：多头 份，即 S
S
• 组合价值
S
f f S S
f f 1 2 f 2 2 f f S S t bz S t 2 S 2 S
f 1 2 f 2 2 f f S t 2 S 2 S t S
– 也就是说组合的价值变动只跟时间有关，为无风险组合
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• 为什么我们可以构造无风险组合?
– 股票价格和期权价格的不确定性都来自股票价格波动 – 任何短时期内,call option的价格与标的股票价格高度正 相关(put则是负相关) – 所以,建立一个合适的股票和期权组合时,股票头寸的损 益就能够抵消期权头寸的损益,从而构造了一个没有风 险的组合. – 而这个组合中,股票与期权的比例在图形上就是call option价格曲线的切线斜率.
(ui u )2
0.0001 0.0004 0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 0.0019 0.0000 0.0005 0.0005 0.0036 0.0004 0.0200 0.3175
1 n 6.87% 收益率均值u ui 0.69% n t 1 10
• 具体计算过程：
• 标准差s的通常估计为：
Si ui ln( ), i 1,2,, n Si 1
1 n 2 s i 1 (ui u ) n 1 1 1 n n 2 或s ui (i 1 ui ) 2 i 1 n(n 1) n 1
• 还需要换算成年波动率：