大学物理竞赛专题辅导之磁学

线圈平面的磁矩。
解：dpm
dI
r 2
N ba
Ir 2dr
B
pm
dpm
NI(a2
N I b r 2dr
ba a
ab b2 )
3
dr
r
Po..aa bb
M pm B sin900 NIB(a2 ab b2 ) 3
dI NI
=
dr ba
思考：若将该平面线圈换成旋转带电圆盘呢？
一、磁感应强度的计算
理学院物理系
张晚云
本讲主要内容
大学物理竞赛培训第五讲
一、磁感应强度的计算； 二、磁力和力矩的计算； 三、介质中磁场的有关计算。
一、磁感应强度的计算
大学物理竞赛培训第五讲
对于运动点电荷：
B
0 4
q
r
0
r2
注意矢量叉 积的运算
对于载流导体： 方法Ⅰ 用毕—萨定律
B
dB
0
Idl
r
0
Q 4π r 2
2b
2b cosq dx b cosq x
bb b
=
0NI sin2q
2b
ln2
dI NI
dl =b
=
dx
b cos q
一、磁感应强度的计算
大学物理竞赛培训第五讲
变2 有一蚊香状的平面N 匝线圈，通有电流I ，每一圈
近似为一圆周，其内外半径分别为a及b 。求圆心处 P
点的磁感应强度。
解：dB
=
0dI 2r
B 0 ln b
2
a
2
a 2
d
3
2 2
dr
B2
0 I 2
2a
0
4
B3
b 0dI 0 ln b a 2r 2 a
一、磁感应强度的计算
大学物理竞赛培训第五讲
变２.如图半径为R的均匀带电无限长直圆筒，电荷面
密度 ，筒以速度绕其轴转动。求圆筒内部的B。
思路：当成螺线管看待
I总
2R L
共有N 匝。如图所示。设导线中通有电流I 。求：在
球心O处的磁感应强度。
解： dN = πN2dq
dB =
0Iy 2 2(x 2+y 2)3
2dN
y R dq
2Ro q
y x
B = π0RNI=π02πc0RNoIsc2qodsq2q=dq40RNI 思考：若变为旋转带电球面（体）呢？
x
y = Rcosq x = Rsinq
方法Ⅱ 典型带载流体的磁强
磁场叠加原理
熟记长直电流、圆电流、长直螺线管、螺绕环、无 限大面电流、无限长柱面/体电流的磁百度文库分布。
方法Ⅲ 利用环路定理求特殊对称分布带电体的场强
B dl L
μ0
I内
一、磁感应强度的计算
大学物理竞赛培训第五讲
例1 两根长直导线沿半径方向引到铁环上A、B 两点， 并与很远的电源相连，如图所示。求：环中心的磁感 应强度。
B0
=
0I r 2
2πd (R 2 r 2
)
×× × ×
一、磁感应强度的计算
大学物理竞赛培训第五讲
（2）小圆柱体的电流在O 点´ 的磁感应强度为零， 所以O 的´ 磁场等于大圆柱体电流在该点的磁场。
半径为 r ,宽为 dr 的圆电流: dI= rdr 磁场：dB = 0dI/2r =0R/2
dr
B
R1 0
1 2
0 dr
0 R1
2
r
R
o
1
R2
B
R2 1 R1 2
0 dr
1 2
0 (R2
R1 )
已知：B B则有R2 2R1
一、磁感应强度的计算
大学物理竞赛培训第五讲
变1.有一闭合回路由半径为a和 b 的两个同心共面半圆连接而成,
一、磁感应强度的计算
大学物理竞赛培训第五讲
变1 在一圆锥台的侧面均匀绕有N 匝导线,其中通有电 流I, 尺寸如图所示。求锥顶处P点的磁感应强度。
解： dB =
0dI a 2 2(x 2+a 2)3
2
=
0NI sin2q
2b
dx x
ab dx
a = xtgq
Ix
P P
qb
B
=
0NI sin2q
用补偿法：小圆柱体通有等量反向电流密度。
j
=
π(R
I
2
r2 )
×× × × ×
dd × × × × × ×
设小圆I 柱´=体j中π的电r 流2 为=ππ(Rr22Ir 2 )
故大圆柱体轴线上的磁感应强度大小为
. . × × O× × × × ×
a o . o.´ RR O´
r r × × × × × × × ×× × × ×
2
RL
R
i
B
0nI
O
N L
I总 N
OR
方向: 平行轴向右
思考：（1）若变为旋转带电球圆柱筒呢？ (3) 若转速随时间变化呢？
一、磁感应强度的计算
大学物理竞赛培训第五讲
例4 在半径为R的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一半径为r 的 圆柱形空腔体,如图。电流I在横截面内均匀分布。 (1)分别求圆柱轴 线上和空心部分轴线上的磁感应强度的大小；(2)空心处任一点磁感 应强度。
π 解：
B
1=
4
I0 1 r2
l 1dl
0
π B
2=
4
I0 2 r2
l 2dl
0
I1 I2
=
R2 R1
=
l2 l1
I 1 OO l1
AA I l2 I 2 BB I
I1l 1 =I2l2
B = B1 B2= 0
一、磁感应强度的计算 其他几种变化：
环心O处 : B0 0
B0
0
2R
1
1
B0
0
2R
1
1
大学物理竞赛培训第五讲
A o B
O R
I
O R
I
一、磁感应强度的计算
大学物理竞赛培训第五讲
b
o 1 Ia
I
a1
B0 0 o
I 2b
2 I
B0 0
c
1I
d
a
o
B0 0
c
b
2I
一、磁感应强度的计算
大学物理竞赛培训第五讲
例2 半径为R的木球上绕有细导线，所绕线圈很紧密，
相邻的线圈彼此平行地靠着，以单层盖住半个球面，
=
0 2r
(bNIa)dIr
B
==22((bb00NNIaIa))lanb
dr
br a
dr
r
PP..aa bb
dI NI
=
dr ba
思考：若将该平面沿直径折成直角呢？
一、磁感应强度的计算
大学物理竞赛培训第五讲
变3 如图，在均匀磁场B中有一总匝数为N的均匀密绕
平面螺旋线圈，其半径由a绕至b，并通有电流I 。求
大学物理竞赛培训第五讲
例3. 一半径为R2 带电薄圆盘,其中半径为R1 的阴影部分均匀带正
电荷,面电荷密度为+ ,其余部分均匀带负电荷,面电荷密度为– , 当圆盘以角速度 旋装转时,测得圆盘中心点o 的磁感应强度为零,
问R1 与R2 满足什么关系？
解：带电圆盘转动时,可看作无数个圆电流的磁场在o 点的迭加
如图其上均匀分布线密度为 的电荷,当回路以匀角速度 绕过
o点垂直于回路平面的轴转动时,求圆心o点处的磁感强度的大小.
解: 令带电的大半圆线圈和小半圆线圈
转动产生的磁感应强度分别为B1、B2 ，
b
带电线段c－d 转动产生的磁感应强度为B3. c
o
d
B=B1+B2+B3
a
1
b 2
B1
0 1
2b
0
4