函数的连续性极其性质
第三节 函数的连续性
因此, g ( x)在x 0处的连续必性与a的取值有关. ( D)正确.
考研题
1.讨论函数f ( x)
x sin( x 2)
【分析】因函数以极限的形式给出,因此必须先求极限得到函数
x( x 1)( x 2) 1 x 2.设f ( x) lim , 讨论函数f ( x)的间断点, 其结论为 2 n n 1 x ( A)不存在间断点. ( B)存在间断点x 1. (C )存在间断点x 0. ( D)存在间断点x 1.
1 u 1/ t 解 因为lim g ( x) lim f ( ) lim f (u ) a 又g (0) 0, x 0 x 0 u x
所以当 a 0时, 有lim g ( x) g (0), 此时g ( x)在x 0处连续;
x 0
当a 0时, 有lim g ( x) g (0), 此时x 0是g ( x)的第一类间断点 ,
在x=1处间断 .
2
1
1
1
x
例77 函数
在x=1处间断 .
y
2
1
1 1
x
y
例78 函数
在x=1处间断 .
1
x
间断点分类:
第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 均存在 , 称 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
的间断点，并判断其类型。
2x 例79 求函数 y 2 的间断点，并判断其类型。 1 x
解：函数没有定义的点 因为 所以
x 1
函数的连续性连续函数的定义与性质
函数的连续性连续函数的定义与性质函数在数学中起着重要的作用，而函数的连续性是函数理论中的一个基本概念。
本文将探讨函数的连续性以及连续函数的定义和性质。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在某个区间上的“连续程度”，也就是函数在区间上是否存在间断点。
如果函数在某个点上连续，则说明函数在该点上没有间断，可以通过一个流畅的曲线来表示。
而如果函数在某个点上不连续，则说明函数在该点上存在间断，无法用一个曲线来表示。
在数学中，有三种类型的间断点：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
可去间断点指的是当函数在某个点上无定义时，如果通过修改函数在该点的定义，可以使函数在该点上连续，则该点是可去间断点。
跳跃间断点指的是当函数在某个点上左右两侧的极限存在，但两个极限不相等时，该点是跳跃间断点。
无穷间断点指的是当函数在某个点上的极限为无穷大或无穷小时，该点是无穷间断点。
二、连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每个点上都连续的函数。
如果一个函数在其定义域内处处连续，则称为全局连续函数；如果一个函数只在某个区间内连续，则称为局部连续函数。
连续函数具有以下重要性质：1. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，则它们的和f(x)+g(x)、差f(x)-g(x)以及积f(x)g(x)也是连续函数。
2. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，且g(x)不为0，则它们的商f(x)/g(x)也是连续函数。
3. 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
换言之，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且函数g(t)在区间[c,d]上连续，且f(b)位于g(t)的定义域内，则复合函数f(g(t))在区间[c,d]上连续。
4. 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值。
形式化地表达就是，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在该区间上存在最大值和最小值。
5. 连续函数的中间值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)≠f(b)，那么对于任意介于f(a)和f(b)之间的值c（f(a)<c<f(b)或者f(b)<c<f(a)），在开区间(a,b)内至少存在一个点x0，使得f(x0)=c。
连续性及其性质
连续性及其性质连续性是数学中重要的概念之一，涵盖了各个分支领域。
从数学角度来看，连续性意味着在某个定义域内的函数能够实现无间断的变化。
本文将探讨连续性的性质以及其在不同领域的应用。
一、连续性的数学定义在数学中，连续性是一个函数的基本特性。
若一个函数在其定义域内的任意一点，其左极限和右极限存在且相等，且与该点的函数值也相等，则称该函数在该点连续。
这一定义可以简要地表示为：在$x=a$处连续的条件是：$f(a)=\lim_{x\to a}f(x)=f(a^{+})=f(a^{-})$其中，$f(a)$代表函数在点$a$处的函数值，$f(a^{+})$和$f(a^{-})$分别表示函数在点$a$处的右极限和左极限。
二、连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，下面我们将介绍其中的几个。
1. 保号性若函数$f$在区间$(a,b)$内连续，并且$f(a)<0$，$f(b)>0$，则在该区间内存在一个值$x_0$，使得$f(x_0)=0$。
这一性质被称为连续函数的保号性。
2. 介值性若函数$f$在区间$(a,b)$内连续，并且$f(a)<k<f(b)$，那么存在一个值$c\in(a,b)$，使得$f(c)=k$。
这一性质被称为连续函数的介值性。
3. 初等函数的连续性初等函数，如多项式函数、指数函数和对数函数等，在其定义域上都是连续的。
这一性质使得初等函数在实际问题中的应用更加方便。
三、连续性在数学中的应用连续性在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍其中的几个。
1. 一致连续性若函数$f$在定义域上连续，且对于任意给定的正数$\epsilon$，存在正数$\delta$，使得对于任意满足$|x-y|<\delta$的$x$和$y$，有$|f(x)-f(y)|<\epsilon$，那么函数$f$被称为一致连续的。
一致连续性在数学分析中有着重要的应用，如在证明柯西收敛准则中就用到了一致连续性。
《高等数学》第三节 函数的连续性
如果 x0 是函数 第一类间断点 可去间断点
f ( x) 的间断点,可将其分成两类:
f ( x) 在点 x0 处的左右极限存在;
其它
f ( x) 在点 x0 处的左右极限至少有
第二类间断点
一个不存在. 无穷间断点 振荡间断点 其它
例2 考察函数
2 x 0 x 1 f ( x) 1 x 1 在 x 1处的连续性. 1 x x 1
解 该函数在点x 1 处没有定义,所以函数在x 1 处间断;又因为
1 x 1 x 1 lim
,极限
x 1
不存在，趋于无穷，所以 是函数
f ( x)
1 x 1 的第二类间断点,
且为无穷间断点.
例4 考察函数
解 该函数在
1 f (x) sin 在 x 0 处的连续性. x
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 0 函数增量 y 也趋于零,即 x0 x0
,则称函数
y f ( x) 在点 x0
处连续，x0 称为函数 f ( x)
的连续点．
若记 x x0 x ,则 y f ( x) f ( x0 ) ,且当
x 0 处没有定义,
所以函数在 x 0 处间断,又因为当
x0
时,极限不存在,函数值在1与－1之间无
限次地振荡,所以 x 0 是
f ( x ) sin 1 x
的第二
类间断点,且为振荡间断点.
二、初等函数的连续性
g ( x) 均 定理1（连续函数的四则运算） 如果 f ( x)、
在点
f (b) ,
为介于 f (a) 与 f (b) 之间的任一实
函数,极限与连续
定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思：
它在该点的一个邻域内有定义，极限存在且极限 值等于该点处的函数值.
例 1 证明函数 y = sin x 在其定义域内连续 . 证 任取 x0 (- , + )，则因
有定义， 如果
x 0
lim y 0.
则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续.
若函数 y = f (x) 在点 x0 处有：
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 ) 或 lim f ( x ) f ( x 0 ) ，
x x0
则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续.
a O c b x y = f (x)
例 9 证明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在 (0, 1) 内至 少有一个实根.
证
设 f (x) = x3 - 4x2 + 1，由于它在 [0, 1]
上连续且 f (0) = 1 > 0， f (1) = - 2 < 0，因此由推 论可知，至少存在一点 c (0, 1) ，使得 f (c) = 0. 这表明所给方程在 (0, 1) 内至少有一个实根 .
sin(x a ) lim x a ( x a ) cos a cos x
令 x – a t ，由 x a，则 t 0.
sint 1 1 上式 lim lim . 2 t 0 t cos a cos(t a ) t 0 cos a cos(t a ) cos a
因 此 lim y 0. 这表明 y = sin x 在 x0 处连续，
函数的连续性
函数的连续性一、连续函数的性质定义1. 设函数()x f 在0x 的某邻域内有定义，若()0)(lim 0x f x f x x =→，则称函数()x f 在0x 点连续。
例如： 函数()12+=x x f 在点2=x 连续，因为()()2512lim )(lim 22f x x f x x ==+=→→又如：函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00,1sin x x xx x f 在0=x 处连续。
因为 ()001sinlim )(lim 0f xx x f x x ===→→ 若记 0x x x -=∆,()()0x f x f y -=∆ 则()0)(lim 0x f x f x x =→可等价的叙述为：0lim 0=∆→∆y x ，于是函数()x f 在0x 点连续的定义又可以叙述为：设函数()x f 在0x 的某邻域内有定义，若0lim 0=∆→∆y x ，则称()x f 在0x 点连续。
二、闭区间上连续函数的性质定理1（最大值和最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值定理2 （零点定理） 设函数()x f 在闭区间[]b a ，上连续，且()a f 与()b f 异号（即()()0<⋅b f a f ）,那么在开区间()b a ，内至少有函数()x f 的一个零点，即至少有一点()b a <<ξξ使()0=ξf 。
定理3（介值定理） 设函数()x f 在闭区间[]b a ，上连续，且在这区间的端点取不同的函数值()A a f =及()B b f =，那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ， 在开区间()b a ，内至少有一点ξ，使得()()b a Cf <<=ξξ。
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值【例1】讨论下列函数在给定点处的连续性（1）24)(2--=x x x f ，点2=x ； （2）⎩⎨⎧≤<-≤<-=31,210,1)(x x x x x f ，点1=x ；（3）设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+=>+)0( )11()0( )0( 12x x xbx a x x ，在x =0处连续，求a ，b 的值.解（1）因为)(x f 在点2=x 处无定义，所以)(x f 在点2=x 处不连续（2）因为当10≤<x 时，1)(-=x x f ，所以1111lim ()lim (1)0x x f x x --→→=-=又31≤<x 时，x x f -=2)(，所以11lim ()lim(2)x x f x x ++→→=-= 所以11()lim ()lim ()x x f x f x f x -+→→≠，故1lim ()x f x →不存在，故)(x f 在点1=x 处不连续（3）解：-→0lim x f (x )=x b x -→0lim ·(x +1－1))11()11)(11(lim 0++++-+=-→x x x x b x211lim )11()11(lim 0bx b x x x b x x =++=++-+=--→→ +→0lim x f (x )=+→0lim x (2x +1)=2·0+1=1 ∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==2112b a a a b【变式】讨论下列函数⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-=1,21,11)(2x x x x x f ，在点1-=x 处的连续性解：因为111(1)(1)lim ()lim lim (1)21x x x x x f x x x ---→-→-→--+==-=-+111(1)(1)lim ()lim lim (1)21x x x x x f x x x +++→-→-→--+==-=-+ 所1lim ()2(1)x f x f →-=-=-，故)(x f 在点1-=x 处连续点评：①连续性定义是判断函数在给定点处是否连续的依据，也可以先作函数的图象，再从图象直观上作出判断，从直观上看，一个函数在—处连续是指这个函数的图象在—处没有中断②在研究分段函数在分段点—处的连续性时，先求在—处的左右极限，再检验其在—处的极限是否存在；若存在，则进一步验证在分段点处的极限值是否与分段点处的函数值相等换言之，判断分段函数—在其分段点—处连续的基本依据是：000lim ()lim ()()x x x x f x f x f x -+→→==【例2】讨论函数f （x ）= ∞→n limnn xx 2211+-·x （0≤x ＜+∞）的连续性，并作出函数图象解:当0≤x ＜1时，f （x ）= ∞→n lim ⋅+-nnx x 2211x =x ;当x ＞1时，f （x ）= ∞→n limnnx x 2211+-·x =∞→n lim 111122+-n nxx ·x =－x ;当x =1时，f （x ）=0∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<≤).1(),1(0),10(x x x x x∵+→1lim x f （x ）=+→1lim x （－x ）=－1，-→1lim x f （x ）= -→1lim x x =1, ∴1lim →x f （x ）不存在∴f （x ）在x =1处不连续，f （x ）在定义域内的其余点都连续。
函数的连续性
函数的连续性函数的连续性是数学中重要的一个概念，它描述了函数在某个点附近的表现。
连续性可以用来刻画函数的光滑程度和连贯性，对于分析和解决实际问题具有重要的意义。
本文将详细介绍函数的连续性以及相关的性质和定理。
1. 连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每一个点都具有连续性的函数。
具体而言，若函数f(x)在某一点x=a处的极限存在且与f(a)的函数值相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。
连续函数具有以下重要性质：- 连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数；- 有界闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。
2. 初等函数的连续性初等函数是由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等通过有限次的代数运算与函数复合得到的函数。
初等函数在其定义域上都是连续函数。
初等函数的连续性可以通过初等函数的定义和性质来证明。
以指数函数为例，指数函数f(x) = exp(x)在整个实数域上都是连续函数，因为它是由幂函数与以基数e为底的指数函数复合得到的。
3. 间断点与连续点函数可以在某些点上具有间断现象，这些点称为间断点。
间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
相应地，函数在某些点上具有连续性，这些点称为连续点。
可去间断点是指在该点处存在左极限和右极限，但极限值不相等。
通过修正函数在该点处的定义可以使其连续。
跳跃间断点是指在该点处左右极限存在且不相等，函数在该点处无法修正。
4. 连续函数的中值定理中值定理是连续函数的重要定理之一，它刻画了连续函数在某个区间上的平均增长率等于其两个端点处斜率之间某个值的关系。
根据中值定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且可导于开区间(a,b)内，则存在一个点c∈(a,b)，满足f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。
这个定理在微积分和实际问题的分析中有广泛的应用。
5. 连续函数的一致连续性一致连续性是连续函数的另一个重要性质，它描述了函数在整个定义域上的连续性。
函数 连续
函数连续引言函数连续是数学中的一个重要概念，它描述了函数在某个点处的光滑性和无间断性。
在实际问题中，函数连续性的性质对于解决问题和优化算法有着重要作用。
本文将深入探讨函数连续的定义、性质以及一些常见的连续函数。
函数连续的定义函数连续的定义可以从微积分的角度来理解。
给定一个函数f(x)，如果对于任意一个实数a，当x无限接近于a时，f(x)也无限接近于f(a)，那么函数f(x)在点a 处连续。
函数连续的性质函数连续具有一些重要的性质，下面我们将逐一介绍。
1. 连续函数的四则运算如果函数f(x)和g(x)在点a处连续，那么它们的和、差、积和商也在点a处连续。
2. 连续函数的复合如果函数f(x)在点a处连续，函数g(x)在点b处连续，并且b是f(x)的定义域，那么复合函数g(f(x))在点a处连续。
3. 连续函数的取值范围如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么它在该区间上的取值范围也是一个区间。
4. 连续函数的中间值定理如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，那么在区间(a, b)内至少存在一个点c，使得f(c)=0。
5. 连续函数的极值定理如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且在该区间的内部不取极值，那么f(x)在该区间上一定有最大值和最小值。
常见连续函数在实际问题中，有一些常见的函数具有连续性，下面我们将介绍其中的几个。
1. 多项式函数多项式函数是形如f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0的函数，其中a_i是常数，n是非负整数。
多项式函数在整个实数域上都是连续的。
2. 指数函数和对数函数指数函数和对数函数都是连续函数。
指数函数f(x) = a^x，其中a是大于0且不等于1的常数，对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是大于0且不等于1的常数。
3. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们在定义域内都是连续的。
连续函数的概念与性质
(见下图)
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
思考题1
1、 指出 y x 2 x 在 x 0 是第__类间断点；在
x ( x 2 1)
x 1 是第__类间断点；在 x 1 是第__类间断点 .
2、若 f ( x)在 x0连续，则| f ( x) |、 f 2 ( x)在 x0 是否 连续？又若| f ( x) |、 f 2 ( x)在 x0连续， f ( x)在 x0是
lim ax 1 lim u (ln a) lim u
x0 x
u0 ln(1 u)
u0 ln(1 u)
ln a
(ln a)
1
(ln a) 1 ln a
lim ln(1 u)
1
u0 u
(3)令u (1 x) 1,则(1 x) 1 u
ln(1 u) ln(1 x)
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
o
x
2.可去间断点如果 f ( x)在点 x0处的极限存在 ,
但 lim x x0
f (x)
A
在x 1处连续.
y
2 1
o1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点x0处的左、右极限都存在.
高等数学 第6节 函数的连续性
因为
，所以此函数不连续.
定义4 设在x0的任何邻域内总有异于x0而属于函数
f (x)的定义域的点，而 f (x) 在x0处不连续，
则称x0是函数
f (x)
的一个间断点.
• 若 lim f ( x) 存在，且 lim f ( x) A ，而函数 y f (x) 在点 x 0 x x x x 处无定义，或者虽然有定义，但 f ( x0 ) A，则点x 0 是函数 y f (x)的一个间断点，称此类间断点为函数
一切初等函数 在定义区间内 连续
例如,
y 1 x 的连续区间为
2
(端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为
而 y
cos x 1 的定义域为
因此它无连续点
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7. 设
x 1 x, ( x) x 4 , x 1
讨论复合函数 解:
例1. 证明函数
在
内连续 .
证: x ( , )
y sin( x x) sin x
y 2 sin
x 2
cos( x
x 2
)
x
x 0
0
即 这说明 在 在
机动
内连续 .
同样可证: 函数
内连续 .
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 设函数
y
又如,
1
o
1
x
y
也无最大值和最小值
2
1
o
1
2
x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
有界性: 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
连续函数的基本性质
第八节 连续函数的基本性质一．初等函数的连续性（一）连续函数的运算性质定理１：如果函数)(x f 、)(x g 均在点0x 处连续，则（1）)()(x g x f βα+在点0x 处连续（βα,为常数）；（2）)()(x g x f 在点0x 处连续；（3）)()(x g x f 在点0x 处连续（0)(0≠x g ）； x y sin =、x y cos =在区间),(+∞-∞内连续，x x y cos sin +=、x x y cos sin ⋅=在区间),(+∞-∞内连续，x x x y cos sin tan ==在2ππ+≠k x 处连续 （二） 反函数和复合函数的连续性 1．定理2：如果函数y ＝)(x f 在区间x I 上单值、单调增加（或单调减少）且连续，那末它的反函数)(y x ϕ=也在对应的区间{}x y I x x f y y I ∈==),(|上单值、单调增加（或单调减少）且连续。
2．定理3：设函数)(x u ϕ=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0ϕ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=当0x x →时的极限存在且等于)(a f ，即()[]()a f x f x x =→ϕ0lim 。
注：（1）将定理５中的条件：0x x →换为∞→x 时相应的结论也成立。
（2）如果函数)(x u ϕ=、)(u f y =满足定理５的条件，则有下式成立： ()[]()())lim (lim 00x f a f x f x x x x ϕϕ→→==。
即在满足定理５的条件下，求复合函数()[]x f y ϕ=的极限时，函数符号和极限符号可以交换次序。
例1：求下列极限（1）)arcsin(lim 2x x x x -++∞→ （2）xx x )1ln(lim 0+→ （3）xx x μμ1)1(lim 0-+→ 定理4：设函数)(x u ϕ=在点0x x =连续，且()00u x =ϕ，而函数)(u f y =在点0u u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=在点0x x =也是连续。
函数的连续性
初等函数在其有定义的区间内都是连续的.
即若 f ( x ) 是一初等函数,它在 [a , b] 上有定义,则对任何
x0 (a, b), 有
x x0
lim f ( x ) f ( x0 ).
例9 求下列极限:
x 2 ln(4 3 x ) (1) lim ; x 1 arctan x
x 1, x 0 1 例5 讨论函数 f ( x ) , x 0,在 x0 0处的连续性. 2 sin x , x 0
左、右极限均存在但不相等的函数的间断点称为跳跃 间断点. 函数的跳跃间断点和可去间断点统称为函数的第一类 间断点.
定义5 若 x0 为函数 f ( x ) 的一个间断点,且 lim f ( x ) 与
x x0
lim f ( ( x )) f ( ( x0 )).
推论 若 lim ( x ) A,且 y f ( u) 在 u A 处连续,则
lim f ( ( x )) f (lim ( x )).
即若函数 y f ( u) 连续,则极限符号可以拿到连续函数 符号里边去.
无穷型间断点
1 sin , x 0, x 例7 讨论函数 f ( x ) 在点 x0 0 处的连续 0, x 0
性. 振荡型间断点
三、连续函数的基本性质
定理2 若 f ( x ), g( x ) 在点 x0 处连续,则
(1) f ( x ) g( x ) 在点 x0 处连续,其中 , 为常数; (2) f ( x ) g( x ) 在点 x0处连续;
1 x 例8 求 lim sin(1 ) . x x
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一直是数学中的重要概念之一。
从初等数学到高等数学，我们都会接触到函数的连续性问题。
本文将深入探讨函数的连续性与间断点的概念、性质以及应用。
一、函数连续性的概念与性质1.1 函数连续性的定义在数学中，如果一个函数在某一点处的极限等于该点处的函数值，那么我们就称这个函数在该点处连续。
具体来说，设函数f(x)在点x=a 的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，存在Δ>0，使得当|x-a|<Δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，则称函数f(x)在点x=a处连续。
1.2 连续函数的性质（1）连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
（2）连续函数的复合函数仍然是连续函数。
（3）有界闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。
二、函数间断点的分类和性质2.1 第一类间断点如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限都存在，但不相等，即lim┬(x→a⁻)f(x)≠lim┬(x→a⁺)f(x)，那么我们称点x=a为函数f(x)的一个第一类间断点。
第一类间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。
2.2 第二类间断点如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限至少有一个不存在，或者虽然都存在但相等于无穷大，即lim┬(x→a⁻)f(x)不存在或lim┬(x→a⁺)f(x)不存在或lim┬(x→a⁻)f(x)=+∞或lim┬(x→a⁺)f(x)=+∞，那么我们称点x=a为函数f(x)的一个第二类间断点。
三、连续性的应用3.1 介值定理介值定理是函数连续性的重要应用之一。
它指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，且f(a)≠f(b)，那么对于介于f(a)和f(b)之间的任意一个数k，存在一个c∈(a, b)，使得f(c)=k。
3.2 零点存在定理零点存在定理是函数连续性的又一个重要应用。
它指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，那么方程f(x)=0在区间(a, b)内至少有一个根。
函数的连续性(课件
定义：左极限等于右极限等于 函数值
连续函数的另一个定义是左极限和右极限存在且都等于该点的函数值。这意 味着函数在该点处无突变且可以从左右两个方向无限接近结点的函数值。
函数的性质：连续函数与不连 续函数
连续函数具有平滑的曲线，其在定义域内连续。相反，不连续函数会在定义 域上出现断裂、跳跃或间断。
函数的连续性与导数的关系
连续函数具有导数，而不连续函数则未必。导数可以描述函数变化的速率和 斜率。
连续性的局部性质
连续函数具有局部性质，即在定义域上的任何小范围内，函数仍然保持连续。
中值定理
中值定理是连续函数的重要定理之一，它说明在一定条件下，函数在某个区间内的平均变化率等于某一 点的瞬时变化率。
函数的连续性 (课件)
函数的连续性是指函数的某个值与其极限值相等的性质。在个课件中，我 们将介绍函数连续性的定义、性质以及与导数的关系。
什么是函数的连续性？
函数的连续性指的是函数在定义域上没有突变或断裂，可以被描绘为连续的 曲线。连续函数可以无间断地拥有函数值。
定定义：极限存在与函数值相等
连续函数的定义是指函数在某一点的极限存在且等于该点的函数值。换句话说，在函数曲线中那一点没 有突变。
第六节 初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质
例3 解
原式 = sin e 1 − 1 = sin e − 1.
1+ x2 − 1 . 例4 求 lim x→0 x
( 1 + x 2 − 1)( 1 + x 2 + 1) 解 原式 = lim x →0 x ( 1 + x 2 + 1) x 0 = = 0. = lim 2 x →0 1+ x +1 2
1 例如, 例如 u = 在 ( −∞ , 0) U (0, + ∞ )内连续 , x y = sin u 在 ( −∞ , + ∞ )内连续 ,
1 ∴ y = sin 在 ( −∞ , 0) U (0, + ∞ )内连续 . x
3、初等函数的连续性 、 ★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续 在 初等函数仅在其定义区间内连续, 其定义域内不一定连续; 其定义域内不一定连续 例如, 例如
y = cos x − 1,
D : x = 0, ± 2 π , ± 4 π , L
这些孤立点的邻域内没有定义. 这些孤立点的邻域内没有定义
y=
x ( x − 1) , D : x = 0, 及x ≥ 1,
而 F ( a ) = f ( a ) − a < 0, F ( b ) = f ( b ) − b > 0,
由零点定理, 由零点定理
∃ ξ ∈ (a , b ), 使 F (ξ ) = f (ξ ) − ξ = 0,
即 f (ξ ) = ξ .
作业
P.51：1； ： ； 2.(3)、(4)、（ ）、（ ）； 、（6）、（ 、 、（ ）、（7）； 3； ；
定理4 定理4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.
无穷大量和无穷小量
无穷大量
我们先来看一个例子：
已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。
为此我
们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当
时，成立，则称函数当时为无穷大量。
记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）
同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函
数当x→∞时是无穷大量，记为：。
无穷小量
以零为极限的变量称为无穷小量。
定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量.
记作：(或)
注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。
无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.。
关于无穷小量的两个定理
定理一：如果函数在(或x→∞)时有极限A，则差是当(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。
定理二：无穷小量的有利运算定理
a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.
无穷小量的比较
通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。
定义：设α，β都是时的无穷小量，且β在x0的去心领域内不为零，
a)：如果，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小；
b)：如果，则称α和β是同阶无穷小；
c)：如果，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与β等价)
例：因为，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小；
因为，所以当x→0时，x2是3x的高阶无穷小；
因为，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。
等价无穷小的性质
设，且存在，则.
注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。
例题：1.求
解答：当x→0时，sin ax∽ax，tan bx∽bx，故：
例题： 2.求
解答：
注：
注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子。
函数的一重要性质——连续性
在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性
在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量
设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量，记为：△x即：
△x=x2-x1增量△x可正可负.
我们再来看一个例子：函数在点x0的邻域内有定义，当自变量x在领域内从x0变到x0+△x 时，函数y相应地从变到，其对应的增量为：
这个关系式的几何解释如下图：
现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当△x趋向于零时，函数y对应的增量△y也趋向于零，即：
，那末就称函数在点x0处连续。
函数连续性的定义：
设函数在点x0的某个邻域内有定义，如果有称函数在点x0处连续，且称x0为函数的的连续点.
下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：设函数在区间(a,b]
内有定义，如果左极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数
在点b左连续.设函数在区间[a,b)内有定义，如果右极限存在且等于，即：
=，那末我们就称函数在点a右连续.
一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间[a，b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。
注：一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续.
注：连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。
通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的间断点
函数的间断点
定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点.
它包括三种情形：a)：在x
0无定义；
b)：在x→x0时无极限；
c)：在x→x0时有极限但不等于；
下面我们通过例题来学习一下间断点的类型：
例1：正切函数在处没有定义，所以点是函数的间断点，因
，我们就称为函数的无穷间断点；
例2：函数在点x=0处没有定义；故当x→0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，我们就称点x=0叫做函数的振荡间断点；
例3：函数当x→0时，左极限，右极限，从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点x=0是不存在极限。
我们还可以发现在点x=0时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种间断点称为跳跃间断点；我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下:
间断点的分类
我们通常把间断点分成两类：如果x0是函数的间断点，且其左、右极限都存在，我们把x0称为函数的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.
可去间断点
若x0是函数的间断点，但极限存在，那末x0是函数的第一类间断点。
此时函
数不连续原因是：不存在或者是存在但≠。
我们令，则
可使函数在点x0处连续，故这种间断点x0称为可去间断点。
连续函数的性质及初等函数的连续性
连续函数的性质
函数的和、积、商的连续性
我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论：
a)：有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数；
b)：有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；
c)：两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零)；
反函数的连续性
若函数在某区间上单调增(或单调减)且连续，那末它的反函数也在对应的区间上单调增(单调减)且连续
例：函数在闭区间上单调增且连续，故它的反函数在闭区间[-1,1]上也是单调增且连续的。
复合函数的连续性
设函数当x→x0时的极限存在且等于a，即：.而函数在点u=a 连续，那末复合函数当x→x0时的极限也存在且等于.即：
例题：求
解答：
注：函数可看作与复合而成，且函数在点u=e 连续，因此可得出上述结论。
设函数在点x=x0连续，且，而函数在点u=u0连续，那末复合函数
在点x=x0也是连续的
初等函数的连续性
通过前面我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续的.
闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续.对于闭区间上的连续函数有几条重要的性质，下面我们来学习一下：
最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。
(在此不作证明) 例：函数y=sinx在闭区间[0，2π]上连续，则在点x=π/2处，它的函数值为1，且大于闭区间[0，2π]上其它各点出的函数值；则在点x=3π/2处，它的函数值为-1，且小于闭区间[0，2π]上其它各点出的函数值。
介值定理在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。
即：
，μ在α、β之间，则在[a，b]间一定有一个ξ，使
推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。