2015—2016学年第一学期《线性代数》期末考试卷(B卷)

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线性代数试卷及答案3套

《线性代数》（A 卷共四页）一.填空或选择填空(共30分,每小题3分)1.设],,,[A 432γγγα=,],,,[B 432γγγβ=,其中432,,,,γγγβα均为四维列向量. 已知4|A |=,1|B |=,则_____|B A |=+.2.设A 为)(m n m n >⨯矩阵,S 为n 阶可逆矩阵,且r r =)A (,)SA (r 1r =,则( ). A r r m >>1B m r r >>1C m r =1D r r =13.四维列向量组 T1]4,2,1,1[-=α,T2]2,1,3,0[=α,T3]14,7,0,3[=α,T 4]0,2,1,1[-=α的秩为_______,一个极大无关组为_____________.4.齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是( ). A A 的列向量组线性无关 B A 的行向量组线性无关 C A 的列向量组线性相关 D A 的行向量组线性相关5.设T1]0,2,1[=α,T2]1,0,1[=α都是三阶方阵A 的属于特征值12=λ的特征向量,而T]2,2,1[--=β,则______________=βA .6.设2=λ为可逆矩阵A 的一个特征值,则12A 31-⎪⎭⎫⎝⎛有一个特征值为_____=μ.78.下列矩阵中不与对角矩阵相似的是( ).A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡600540321B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡653542321C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200020012D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010012 9.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010001B ,则A 与B ( ). A 合同但不相似 B 合同且相似 C 不合同但相似D 不合同且不相似10.设实二次型312322213212),,(x cx ax bx ax x x x f +++=,当( )时,该二次型为正定二次型.A 0,0>+>c b aB 0,0>>b aC 0|,|>>b c aD 0,||>>b c a 二.计算下列行列式(共12分,每小题6分)1.67412120603115124-----=D ；2.111122111n nn a a a a a a D ---=+(空白处元素全为0).三.计算(共20分,每小题10分) 1.设A 为可逆矩阵,且B AB A +=-1*.1) 求证B 为可逆矩阵；2) 当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200620062A 时,求矩阵B . 2.求解如下线性方程组；若有无穷多解,请用其特解与导出组的基础解系联合表出通解.四.(18分)求一个正交替换SY X =,将如下实二次型化为标准形.32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=.五.(5分)求证秩为r 的实对称矩阵可以写成r 个秩为1的实对称矩阵之和.《线性代数》（B 卷）一.填空与选择(30分,每小题3分)1.设d a a a a a a a a a =333231232221131211,则=------333232213123222221211312121111432432432a a a a a a a a a a a a a a a ________.2.=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10057002311003200______________________.3.设B A ,均为n 阶方阵,则有( ).A )B ()A ()B A (r r r +=+ B )B ()A ()AB (r r r =C )B ()A (B O O A r r r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡D )B ()A (B O O A r r r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 4.设向量组4321,,,αααα线性无关,则14433221,,,αααααααα++++的秩为______.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----13222123a 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λ00020002相似,则=λ______,=a ______. 6.设33⨯A 的全体特征值为3,2,1-,则( )为可逆矩阵.A A E -B E A 2+C E A 2-DE A 3-7.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110111A 为线性变换σ在基321,,:(I)ξξξ下的矩阵,则σ在基321211,,:(II)ξξξξξξ+++下的矩阵为=B _______________.8.设T ]2,1[是实对称矩阵A 的特征向量,且0|A |<,则( )也是A 的特征向量.A R ∈k k ,]2,1[T B R ∈-k k ,]1,2[T 非零 C R ∈-+21T2T 1,,]1,2[]2,1[k k k k 不全为零D R ∈-+21T2T 1,,]1,2[]2,1[k k k k 全不为零9.实二此型32312123222132182292),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=有标准形( ).A 23222192y y y ++ B 23222192y y y -+ C 23222192y y y -- D 2221y y +10.设B A ,均为n 阶正定矩阵,则( )不一定是正定矩阵.A B A + B BA AB + C ABA D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O O A 二.(28分,前3小题各6分,第4小题10分)1.计算n 阶行列式(3≥n )0221202122011110 =n D .2.设n 阶方阵A 满足O E A A A =+--43223,求证E A 2-可逆,并求1)2(--E A .3.求向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6211α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2102α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3013α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=4234α的一个极大无关组,并用该极大无关组线性表示向量组中其他向量.。

线性代数期末考试(B卷)及答案

北京师范大学XX 分校2007-2008学年第一学期期末考试（B 卷）开课单位：应用数学系课程名称：线性代数任课教师：__ __ 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空（每空3分，共30分）1、行列式123345__0____567= 2、行列式sin cos cos sin _______+-=-1313113xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则______-+=21222350A A A4、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==45，则||______=20A B5、设A 为3阶方阵，且A =2，则A-=12 46、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12311102103，则A 的秩()R A = 37、已知3阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式A *=9，则=A 38、向量组,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111322023001线性相关还是无关线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1232963线性相关，则___1____=x10、设5元方程组=0A x 的系数矩阵A 的秩为3，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式13632196233418第2行第2列元素的代数余子式A =22（ D ）（A ）6；（B ）9；（C ）12；（D ）15。

大一线性代数期末考试试卷+答案

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

线性代数与概率统计B卷

秋交通运输专升本《线性代数与概率统计》B 卷姓名：成绩：一、填空题(20分，每空2分)1. 一个含有零向量的向量组必线性。

2．设A 为n 阶方阵，且2A =，则1A -= ；2A = ；3．设2011A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则1A -= 。

4．若A 为正交矩阵，则1A -= 。

5．已知B A ,两个事件满足条件()()B A P AB P =，且()p A P =，则()=B P _________。

6．3个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为111,,543，则此密码被破译出的概率是。

7．设两个随机变量X 和Y 相互独立，且同分布：()()1112P X P Y =-==-=，()()1112P X P Y ====，则()P X Y == 。

8．设随机变量X 的分布函数为：()0,0sin ,021,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，则=A 。

9．设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()n i i X μσ=-∑服从__________分布。

二、计算题(80分)1.（10分）已知1111121113A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求1A -及()1A -*。

2.(10分)已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=114011b a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100030003B 相似，求,a b 的值.3.(10分)计算行列式aa a a ++++43214321432143214．（10分）设三阶方阵A 有三个不同的特征值123,,λλλ，其对应的特征向量分别为123,,ααα，令123βααα=++，证明向量组β，A β， 2A β线性无关。

5．（10分）盒中放有10个乒乓球，其中有8个是新的。

第一次比赛从中任取2个来用，比赛后仍放回盒中。

第二次比赛时再从盒中取2个，求第二次取出的球都是新球的概率。

6．（10分）设随机变量X 和Y 独立同分布，且X 的分布律为：()()121,233P X P X ==== 求Y X Z +=的分布律。

中国农业大学2015-2016(秋)《线性代数》期末考试试题解析

2015~2016学年秋季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设123,,2a a a =，则1321223,43,a a a a a -+=．解析：132121312131231231212323,43,23,3,=323,,=33,,=9,,=9(1)(1),,18a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+=-------=-.注释本题知识点：行列式的性质（1）行列式的某一列乘以一个倍数加到另一列；（2）行列式的某一列提一个公因数；（3）行列式某两列互换.答案：-182.已知向量组1(1,2,3)Tα=,2(,2,3)Tk α=,3(1,,1)Tk α=，0k >，如果向量组123,,a a a 线性相关，则常数k =．解析：由123,,a a a 线性相关有，1122(1)(32)0331=--=k k k k 得21,3或k k ==.注释本题知识点：n 个n 维列向量组线性相关的充分必要条件是，由他们组成的行列式等于0.答案：21,3或k k ==,结果不唯一.3.已知三阶矩阵A 的特征值互不相同，且0=A ，又123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，则方程组0=Ax 的通解为．解析：由1230=A λλλ=得特征值123,,λλλ至少有一个为0.由A 的特征值互不相同，得123,,λλλ中一个为0另两个不为0，所以由A 的秩为2.从而0=Ax 的基础解系含一个向量.由123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，得1213--ηηηη，或为0=Ax的基础解系。

所以，方程组0=Ax 的通解为11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.注释本题知识点：（1）矩阵行列式的值等于它的所有特征值的乘积；（2）齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩；（3）非齐次方程组和齐次方程组解之间的关系.答案：11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.4．设1(1,0,1)T α=和2(0,1,0)T α=都是方阵A 对应于特征值3的特征向量.又(3,2,3)T β=，则A β=．解析：11223, 3A A αααα==.1232βαα=+12123296(9,6,9)T A A A βαααα=+=+=.注释本题知识点：（1）矩阵特征值、特征向量的定义；（2）把一个向量表示成其它向量的线性组合.答案：(9,6,9)T.5．若二次型123(,,)f x x x 222123122335224=---+-x x x ax x x x 为负定二次型，那么a 的取值范围是．解析：二次型的矩阵3052022-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭aA a .A 负定当且仅当-A 正定，当且仅当-A 的所有顺序主子式都大于0；当且仅当22150,90->->a a ，当且仅当33-<<a 或(3,3)∈-a .注释本题知识点：（1）二次型的矩阵；（2）矩阵正定与负定的关系；（3）矩阵正定的充分必要条件。

安徽理工大学14-18级线代试卷和答案

xi x j 的正定性。
i =1
1i jn
3. (16 分) 设二次型 f ( x1, x2, x3 ) = xT Ax = ax12 + 2x22 − 2x32 − 2bx1x3 (b 0) ，其中 A 的特征值之和为 1，特征值之积为 −12 。(1) 求参数 a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型 f ( x1, x2, x3 ) 化为标准形，并写出正交变换和标准形；(3) f ( x1, x2, x3 ) = 1 表示何种曲面？(重要)
)。 (D) P2P1−1
7. 设矩阵 A, B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB = C ，且 B 可逆，则( )。
(A) C 的行向量组与 A 的行向量组等价 (B) C 的列向量组与 A 的列向量组等价
(C) C 的行向量组与 B 的行向量组等价 (D) C 的列向量组与 B 的列向量组等价
8. 不可对角化的矩阵的是( )。
⎛ 2 −2 2 1
=
⎜ ⎜
2
2 −2
1
⎜⎝ −2 2 2
⎛1 1
三、1. 解
B
=
⎜ ⎜ ⎜
0 0
1 −1
⎜
⎝3 2
⎞ ⎛1 0 0 1 4 1 4 0 ⎞
⎛1 1
⎟ ⎟
→
⎜ ⎜
0
1⎟⎠ ⎜⎝ 0
1 0
0 1
0 14
14 0
1
4
⎟ ⎟
，(6
分)
1 4⎟⎠
X
=
1 4
⎜ ⎜
0
⎜⎝ 1
1 0
1 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 −1 −1 −1 ⎞
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大一线性代数期末考试试卷答案.

⎪ 12．若齐次线性方程组 ⎨x + λx + x = 0 只有零解，则 λ 应满足。

⎪x + x + x = 0 ⎩ 4．矩阵 A = a a ⎝ a ⎪ 的行向量组线性。

a ⎪⎭ （⎣00 1 0⎦。

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 2 分，共 10 分）1 1. 若 0 - 1 - 3 52 1x = 0 ，则 χ = __________。

- 2⎧λx + x + x = 02 31 2 3 1 2 3⎛ a11 21 31 a ⎫ 12 ⎪22 325． n 阶方阵 A 满足 A 2 - 3 A - E = 0 ，则 A -1 = 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题 2 分，共 10 分）1. 若行列式 D 中每个元素都大于零，则 D 〉0 。

（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

）3. 向量组 a ，a ，，a 中，如果 a 与 a 对应的分量成比例，则向量组 a ，a ，，a 线性相关。

12m1m 12s（）⎡0⎢14. A = ⎢⎢0 ⎢ 1 0 0⎤ 0 0 0⎥⎥0 0 1⎥⎥，则 A -1 = A 。

（）5. 若 λ 为可逆矩阵 A 的特征值，则 A -1 的特征值为 λ 。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题 2 分，共 10 分)1. 设 A 为 n 阶矩阵，且 A = 2 ，则 A A T = （）。

① 2 n②2 n -1③ 2 n +1④ 42. n 维向量组 α ，α ，，α （3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（） 12s① α ，α ，，α 中任意两个向量都线性无关12s② α ，α ，，α 中存在一个向量不能用其余向量线性表示1 2s③ α ，α ，，α 中任一个向量都不能用其余向量线性表示1 2s④ α ，α ，，α 中不含零向量1 2s3. 下列命题中正确的是( )。

2015-2016-1线性代数 B卷参考答案

拟题学院（系）：数理学院适用专业：全校 2015-2016学年 1 学期线性代数（必修）B 卷试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1. -2M2.11B A --3.111,,336- 4. 0 5. 2k >二、选择题（每小题3分，共15分）1. C2. D3. A4. B5. B三、计算题(每小题10分，共20分)1.解：888811111511151181151115111151115==原式——————————————————————5分11110400851200400004==2. 解：()22AX B X A E X B =+⇒-=1112012,002A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ————————————3分()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———————————— 8分所以111100101X --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

—————————————————————— 10分四、计算题(第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分)拟题人：周红燕书写标准答案人：周红燕1.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=00000100000120011221~10000500000120011221~13600512000240011221~46063332422084211221),(b A ————————————8分3)(,2)(==B R A R 因此 ——————————————————10分2. 解：111111101152321130012263(,)01226300000054331200000B A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭————8分基础解系为123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，特解为23000η-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，—————————————13分通解为112233x k k k ξξξη=+++。

大一线性代数期末考试试卷+答案

大一线性代数期末考试试卷+答案(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。

（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。

① n 2② 12-n③ 12+n④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）。

1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。

1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码：适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为：（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭；（B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关；（B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

上海大学《线性代数》2014-2015 春期末试卷及答案

C. a= b或a + 2b ≠ 0 ；
D. a ≠ b且a + 2b ≠ 0 .
三、计算题：（每题 10 分，5 题共 63 分）
1234 4567 11.(10 分)设 D = 1 2 1 2 ，设 Aij 为元素 aij 的代数余子式。 3362
(1)(4 分) 计算 A12 + 4 A22 + A32 + 3A42 ；
x1
−
x2
−
k 2 x3
=−k
一解和有无穷多解，并在有无穷多解时，求它的通解。
16.(11 分)设二次型 f = ax12 + x22 + 2x32 − 2x1x3 + 2x2 x3 对应的矩阵秩为 2，试确定参数 a 的
值，并用正交变换将此二次型化为标准形(需写出正交变换及标准形)。
四、证明题：（每题 6 分，2 题共 12 分）
121
1 1 −1
0
12. 解：设
J
=
1
0
，则
A=
J +I
2 0
0
= 因为 J 2 = 0 0 , J 3 0 2 0 0
所以
An =(J + I )n =I n + Cn1I n−1J + Cn2I n−2 J 2
1
=I
+
nJ
+
n(n −1) 2
J2
= n n(n −1)
1 2n
1
1
1
1 −1
14.(12 分)= 求向量组 α1 (1= , 2,3, 4)T ,α2 (1= ,3, 4, 2)T ,α3 (1= , 0,1, a)T ,α3 (3, 7,10,10)T

线性代数期末试卷及答案

一．填.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于 .2.设A 为2005阶矩阵，且满足T A A =-，则A = .3.非齐次线性方程组AX b =有解的充要条件是 .4.设A 为4阶方阵，且A 的行列式12A =，则2A *= .5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为 .6.设A 为正交矩阵，则1A -= A = .7.三阶可逆矩阵A 的特征值分别为2，4，6，则1A -的特征值分别为 .8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的取值范围是 .9.设A 为n 阶方阵，且2A A =，则()12A E --= . 10.在MATLAB 软件中rank(A)表示求 .二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系含（）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - 2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0. 3. 设A 是n 阶方阵，满足2A E =，则（）（A ）A 的行列式为1 （B ）,A E A E -+不同时可逆. （C ）A 的伴随矩阵*A A = （D ）A 的特征值全是14. 设n 阶方阵,,A B C 满足ABC E =，其中E 是n 阶单位阵，则必有（）（A ）ACB E = (B) CBA E = (C) BCA E = (D) BAC E =5. 在MATLAB 中求A 的逆矩阵是（）（A ）det(A) (B)rank(A) (C)inv(A) (D)rref(A) 三、计算题（每题6分，共12分）1.1111111111111111x x x x ---+---+--2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.四、设1122123122,,3,βααβααβαα=-=+=-+验证：123,,βββ线性相关.（8分）五、已知122212221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1A -及()1*A - （10分）六、设线性方程组1232123123424x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩当λ等于何值时，（1）无解；（2）方程组有惟一解；（3）有无穷多解，并求出此时方程组的通解.（12分）七、求一个正交变换X PY =，把下列二次型化为标准形()22212312323,,4233f x x x x x x x x =+++ （13分）答案一．1.0 2.0 3.()()R A R A = 4.2 5.9 6.T A ，1±7.111,,246. 8.5t > 9.()2A E +- 10. 矩阵A 的秩二、1.D 2.D 3.B 4.C 5.C 三、123421314132111111111112111 1.1111111111111111111111111100 3511110011110111100000x x x x xx x c c c c x x x xx x r r x x xx r r x x x x r rxx x x r r x x x -----+--+---+++--+----------+-------------↔---分分（分）46x x=（分）()2131414342123411211121111102122. ,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。

2015-2016-1线性代数试卷及答案

东北大学考试试卷（A 卷） 2015 — 2016学年第一学期课程名称：线性代数（共2页）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ （5分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1-00320541A ，矩阵B 满足*1BA E ABA +=-，求B 。

其中*A 是A 的伴随矩阵，1-A 是A 的逆矩阵，E 是三阶单位矩阵。

解由已知有2-=A ，E A A 2*-=，所以有 B A AB 2-=A B E A =+⇒)2(|||||2|A B E A =+⇒又由于，12|2|=+E A 因此，61||-=B (5分)设21,αα和21,ββ都是线性无关的三维向量，证明：存在三维非零向量γ即可以由21,αα线性表示，也可以由21,ββ线性表示. 证明由于四个三维向量必线性相关，所以存在不全为零的数4321,,,k k k k 使得 024132211=+++ββααk k k k 又由于21,αα和21,ββ都是线性无关的，所以21,k k 和43,k k 都不全为零，所以，只要取0--24132211≠=+=ββααγk k k k 即可. 分) 已知T )0,0,0,1(1=α,T )0,1,1,2(2=α，T )1,3,2,3(3--=α都是线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=++-=-++23243432143214321x x x x d x x x cx b x x ax x 的解，求此方程组的通解。

解由于T )0,1,1,1(12=-αα和T)1,3,2,4(13--=-αα是导出组的解，且线性无关，所以方程组系数矩阵的秩2)(≤A R . 由于A 有二阶子式不等于0，所以2)(≥A R ，因此2)(=A R 。

所以，方程组的通解为：R k k k k x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121,,132401110001 注：若将i α带入方程可解得：3,3,1,2===-=d c b a ，通解只要满足2－1 ⎩⎨⎧-=+-=432431517x x x x x x分)设A是n阶方阵，A有特征向量α对应特征值2，T A有特征向量β对应特征值1，(1) 求αβT；(2)求矩阵Tβα的特征值；（3）问Tβα是否可以相似对角化，为什么？解 (1) 由已知有：αα2=A,ββ=TA,所以有αβαβαβTTT A2==于是，0=αβT(2) 由（1）得：0)(2==TTTβαβαβα所以，Tβα的所有特征值全为0.(3）由已知可知Tβα是非零矩阵，所以1)(=TRβα,所以属于特征值0只有1-n个线性无关的特征向量，所以，Tβα不能相似对角化.分)在向量空间3][xR中求由基2223,2,21xxxxx+-+到基2,1xx，的过渡矩阵.解由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-+312211),,1()3,2,21(2222xxxxxxx所以，=),,1(2xx1222312211)3,2,21(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+xxxxx于是，由基2223,2,21xxxxx+-+到基2,1xx，的过渡矩阵为：.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-3/16/16/52/12/113122111C分)一幢大的公寓建筑使用模块建筑技术，每层楼的建筑设计由三种设计中选择。

线性代数试卷及答案3套

线性代数A卷一、填空题（共6小题，满分18分）1.设α=(1,0,-1,2),β=(0,1,0,1)，令A＝αTβ，则A4 = .2.设矩阵且BA=B+E，则B-1= .3.设α1,α2是2维的列向量,令A=(2α1+α2,α1-α2),B=(α1,α2),若|A|=－6, 则|B|= .4.设A为n阶方阵，且A2=A，则R(A)+ R(A- E) = .5.设α1=(1,1,1),α2=(a,0,b),α3=(1,2,3)线性相关，则a与b应满足的关系式为.6. 设α+2β=(2,1,t,-1),2α-β=(-1,2,0,1),且α与β正交，则t= .二、单项选择题（共6小题，满分18分）1. 设A为n阶方阵，且AA T= E，|A|＜0,则A+ E为[ ].(A) 非奇异矩阵，(B) 奇异矩阵，(C)正交矩阵，(D)正定矩阵.2.设A是4×3矩阵，且R(A)=2，若则R(AB)为[ ].(A) 2，(B) 3，(C)4，(D) 0.3. 设A为n阶可逆矩阵，k≠0为常数，则(k A)*为[ ].(A) k A*，(B) k n-1 A*，(C) k n A*，(D) k n A.4. 设向量组α1,α2,α3线性无关，则下面向量组线性相关的是[ ].(A) α1－α2,α2－α3,α3－α1，(B) α1+α2,α2+α3,α3+α1，(C)α1－2α2,α2－2α3,α3－2α1， (D) α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1.5.设矩阵A n×m，B m×n，且n＜m，若AB＝E，则下面结论正确的是[ ].(A) A的行向量组线性相关，(B) A的列向量组线性无关，(C) 线性方程组Bx＝0仅有零解， (D) 线性方程组Bx＝0必有非零解.6.设3阶方阵A与B相似，且A的特征值为，则tr(B-1- E)为[ ].(A) 2，(B) 3，(C)4，(D) 6.三、解答题（共6小题，满分42分）1.设A为4阶方阵，A*是A的伴随矩阵，且|A|＝0，而A*≠O.α1,α2,α3是线性方程组Ax＝b的三个解向量，其中，求线性方程组Ax＝b的通解.2.设向量组，问a为何值时，向量组α1,α2,α3,α4线性相关，并求此时的极大无关组.3.求一组非零向量α1,α2与已知向量α3＝(1,1,1)T正交，并把它们化成R3的一个标准正交基.4.设矩阵，且A*相似于B，其中A*是A的伴随矩阵，求x，y.5.设二次型，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12，求a，b.6.设V是二阶实对称矩阵全体的集合，对于通常矩阵的加法与数乘运算所构成的实数域R上的线性空间.且是V的一个基，试证也是V的一个基.并求V中的向量在该组基下的坐标.四、（本题满分11分）已知齐次线性方程组(Ⅰ)(Ⅱ)同解，求a，b，c的值.五、（本题满分11分）设矩阵3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3，且R(A)＝1.①求A的特征值与特征向量；②求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使P-1AP=Λ；③求A及.线性代数B卷一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．设4阶矩阵A的行列式|A| =3，则行列式．2．设A为3阶正交矩阵，且A T= -A*，其中A*是A的伴随矩阵，则|A| = ．3．设α1,α2是n(n3)元齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则R(A)= ．4．设线性空间R2的两个基A：α1=(1,0)T,α2=(1,1)T；B：β1=(1,1)T，β2=(-1,1)T，则A组基到B组基的过渡矩阵为．5．设3阶矩阵A的特征值为1、3、5，则A的迹tr A= ．6．若二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3正定，则t满足．二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．设A为m×n矩阵.B为n×m矩阵，则[ ]．(A)当时，必有|AB|≠0；(B)当时，必有|AB|=0；(C)当时，必有|AB|≠0；(D)当时，必有|AB|=0．2．设α1,α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可为[ ].(A)α1-α2,α2-α3，α3-α1； (B)与α1,α2，α3等秩的一个向量组；(C)α1,α1+α2，α1+α2+α3； (D)与α1,α2，α3等价的一个向量组.3．设A为n阶非奇异阵(n2)，A*是A的伴随阵，则[ ]．(A) (A*)*= |A|n -2A；(B) (A*)*=|A|n+2A；(C) (A*)*= |A|n -1A； (D) (A*)*=|A|n+1A.4．设A为m×n矩阵，C为n阶可逆矩阵，R(A)=r，矩阵B=AC的秩为r1，则[ ]．(A) r >r1； (B) r<r1；(C) r与r1关系依赖与矩阵C； (D) r=r1.5．设A，B为n阶矩阵，若[ ]，则A与B合同．(A) 存在n阶可逆矩阵P、Q，且PAQ=B；(B) 存在n阶可逆矩阵P，且P-1AP= B；(C) 存在n阶正交矩阵Q，且Q-1AQ= B；(D) 存在n阶方阵C、U，且CAU= B.6．n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的[ ]．(A) 充分必要条件；(B) 充分而非必要条件；(C) 必要而非充分条件；(D) 既非充分也非必要条件.三、解答题（共5小题，每小题9分，满分45分）1. 计算4阶行列式.2．设向量组α1=(1,0,2,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(2,1,3,0)T，α4=(2,5,-1,4)T.(1) 判断向量组的线性相关性；(2) 求它的秩和一个极大无关组；(3) 把不在极大无关组中的向量用这个极大无关组线性表示.3. 设向量α1=(1,2,1)T和α2=(1,1,2)T都是方阵A的属于特征值λ＝2的特征向量，又向量β=α1+2α2，求A2β．4．设3阶方阵A、B满足AB= 2A+B，其中求A.5. 已知线性空间R[x]3={a0+a1x+a2x2| a0,a1,a2 R}，(1) 证明1，1＋x，(1＋x)2是R[x]3的一个基；(2) 求由基1，x，x2到基1，1＋x，(1＋x)2的过渡矩阵.四、（本题满分9分）设线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)x1+3x2+3x3=a-3有公共解，求a的值和所有的公共解.五、（本题满分10分）设实二次型f(x1,x2,x3)=x T Ax的秩为2，且α1=(1,0,0)T 是(A-2E)x=0的解，α2=(0,-1,1)T是(A-6E)x=0的解.(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；(3)写出该二次型.线性代数C卷一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．设A为3阶方阵，|A|=1，则| -2A|=__________.2．设A是n阶方阵，x1，x2均为线性方程组Ax=b的解，且x1≠x2，则|A|=____ ____ .3．设A为n阶可逆阵，且A2=|A|E，则A*= . 4．若n阶方阵A与单位阵E相似，则A= .5．设4阶方阵A，R(A)=2，则R(A*)= .6. 若二次型是正定的,则t应满足.二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设A为实对称矩阵,Ax1=λ1x1,Ax2=λ2x2,且λ1≠λ2，则(x1,x2) =[ ].(A) 1；(B) -1；(C) 0；(D) 2. 2．设A、B均为n阶可逆阵，则[ ].(A) ((AB)2)-1=(B2)-1(A2)-1；(B) 存在可逆阵P、Q，使PAQ=B；(C) 存在可逆阵P, 使A=P-1BP；(D) 存在可逆阵P,使P T AP=B.，则3．设A为m×n矩阵，C为n阶可逆矩阵，R(A)=r，矩阵B=AC的秩为r1 [ ].(A)r>r1；(B)r<r1；(C)r与r1关系依赖与矩阵C；(D)r=r1.4．设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可为 [ ].(A)α1，α1+α2，α1+α2+α3；(B) 与α1，α2，α3等价的一个向量组；(C) α1-α2，α2-α3，α3-α1；(D) 与α1，α2，α3等秩的一个向组.5．向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是[ ].(A) α1，α2，…，αs都不是零向量；(B) α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关；(C) α1，α2，…，αs中任一向量都不能用其余向量线性表出；(D) α1，α2，…，αs中任意s-1个向量都线性无关.6. 如果[ ]，则A与B相似.(A) |A|=|B|； (B) R(A)=R(B)；(C) A与B有相同的特征多项式；(D) n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同.三、解答题（共5小题，每小题9分，满分45分）1.计算行列式.2.设3阶方阵A、B满足AB= 2A+B，其中求A.3. 设向量组α1=(1,0,2,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(2,1,3,0)T，α4=(2,5,-1,4)T.(1) 判断向量组的线性相关性；(2) 求它的秩和一个极大无关组；(3) 把不在极大无关组中的向量用极大无关组线性表示.4．设矩阵，求（1）A2；（2）A n.5. 已知是矩阵的一个特征向量.(1) 试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值；(2) 问A能否相似于对角阵？说明理由．四、（本题满分9分）设3维向量组试问：(1) 当λ取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，且表示法唯一；(2) 当λ取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，但表示法不唯一；(3) 当λ取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示．五、（本题满分10分）设实二次型f(x1,x2,x3)=x T Ax的秩为2，且α1=(1,0,0)T 是(A-2E)x=0的解，α2=(0,-1,1)T是(A-6E)x=0的解.(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；(3)写出该二次型.。

线性代数期末试题及答案

8.设A 为三阶方阵, 且3=A , 则 12-=A .一、填空题（每小题2分，共20分）1.行列式=-203297302233241.2.设014111112--=D ，则=++333231A A A .3.设 , 231102 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A , 102324171⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B 则= )( TAB . 4.设052=-+I A A ，则=+-1)2(I A .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100120121A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A .6.A 、A 分别为线性方程组b AX =的系数矩阵与增广矩阵，则线性方程组b AX =有解的充分必要条件是 .7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30511132a A ，且秩(A )=2，则=a .9.向量组1(1,2,1,1),T α=-,)0,3,0,2(2T=αT )1,4,2,1(3--=α的秩等于 . 10.设21,αα是)3(≥n n 元齐次线性方程组OAX =的基础解系，则=)(A r .二、选择题（每小题2分，共20分）1.已知101yxy x aA =，则A 中元素a 的代数余子式11A 等于（）.A.1- B .1 C .a - D .a2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （）.A .3B .3-C .5D .5-3.B A ,均为n 阶矩阵，且2222)(BAB AB A ++=+，则必有（）.A.B A = B .I A = C .I B = D .BA AB =4.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（）.A.0=+B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B5.设33⨯阶矩阵),,(1γβα=A ，),,(2γβα=B ，其中γβαα,,,21均为3维列向量，若2=A ，1-=B ，则=+B A （）.A.4 B .4- C .2 D .16.设B AX =为n 个未知数m 个方程的线性方程组，,)(r A r =下列命题中正确的是（）.A .当n m =时，B AX =有唯一解 B .当n r =时，B AX =有唯一解C .当m r =时，B AX =有解D .当n r <时，B AX =有无穷多解7.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（）.A .1或2B .1或－2C .－1或2D .－1或－28.n 阶矩阵A 的秩r n =的充分必要条件是A 中（）.A.所有的r 阶子式都不等于零 B .所有的1r +阶子式都不等于零 C.有一个r 阶子式不等于零 D .有一个r 阶子式不等于零, 且所有1r +阶子式都等于零9.设向量组,),,1(21T a a =α,),,1(22T b b =αT c c ),,1(23=α，则321,,ααα线性无关的充分必要条件是（）.A.c b a ,,全不为0 B .c b a ,,不全为0 C .c b a ,,互不相等 D .c b a ,,不全相等10.已知21,ββ为b AX =的两个不同的解，21,αα为其齐次方程组0A X =基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组b AX =的通解可表成（）.A.2)(2121211ββααα-+++k kB .2)(2121211ββααα++-+k k线性代数期末试题答案一、填空题（每小题2分，共20分）1.52.03. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1031314170 4. )(31I A - 5.1/211/2011/2001/2-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.)()(A r A r =7.6=a8. 38 9.2 10.2-n二、选择题（每小题2分，共20分）1.B2.C3.D4.D5.A6.C7.B8.D9.C 10.B 三、（8分)解：3211324-824823592373(1)373125212412411131D -===-----18361836(1)1313241=-=-=-四、（10分）解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14191269629303212114321011324TAA （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=--461351341)2(1E A (3) 由XA AX2+=，得A XE A =-)2(A E A X 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=9122692683321011324461351341五、（12分）解：将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵：22112411411242110228018211240134(1)(4)00(4)2k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-⎢⎥-⎣⎦A所以，⑴ 当1k≠-且4k ≠时，()()3r r ==A A ，此时线性方程组有唯一解．⑵ 当1k =-时，()2=A r ，()3=A r ，此时线性方程组无解．⑶ 当4k=时，()()2==A A r r ，此时线性方程组有无穷多组解．此时，原线性方程组化为132334x x x x =-⎧⎨=-⎩ 因此，原线性方程组的通解为13233334x x x x x x=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或者写为123034101x x C x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x (C R)∈六、（10分）解：记向量组4321,,,αααα对应矩阵为A 并化为行阶梯形矩阵为12341223122324130212(,,,)12030013062300002634000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪==→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以向量组4321,,,αααα的秩为3且它的一个最大无关组为：123,,ααα或124,,ααα1004101020013000000A -⎛⎫⎪ ⎪- ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭41231432αααα=--+ 七、（12分）解：（1）.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=61826239131039131024511810957245113322311312A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→0000000039131015801为自由未知量。

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【】
A. a1 a2 0 b2 b3
B. a1 a2 0 b1 b2
C. a1 a2 a3 b1 b2 b3
9.方程组
2x1 x2 x3 1 x1 2x2 x3 1
3 x1 3x2 2x3 a 1
有解的充分必要的条件是
D. a1 a3 0 b1 b2
【】
A. a=-3
25. -2 4
0
4 0 1
19. 16 23. 1、2、3
20. 2
三、计算题（每小题 6 分，共 30 分）
0345
345
3 4 1 0
26. D
3 2 2 - 2 …………4 分 96. …………8 分
0 2 2 2
69 2
0 692
27. 解:由于 A2 AB E ,因此 AB A2 E ,又 A 1 0 ,故 A 可逆, ……2 分
101
101 002
a1 (1, 0,1), a2 (1,1, 0), a3 (0,1,1) 为 R3 的一组基，…………4 分
又设
x
x11
x2 2
x3 3
，得线性方程组
x1
x2
x2 x3
2 2
《线性代数》试卷第 6页x1共7x3页 2
解之得向量 x (2, 2, 2) 在该组基下的坐标为 x (1,1,1) 。…………8 分
6 -2 7 2
1 1 1
26．设 A
0
1
1 ,且 A2 AB E ,其中 E 是三阶单位矩阵,求矩阵 B。
0 0 1
27．a
取何值时，方程组 4x1
x1 2x2 7x2 x3
3 10 有解？在有解时求出方程组的通解。

线性代数期末考试试卷及答案

一、填空题(每空3分，共15分)1、设A 为n 阶方阵，且3A =，则|3A |= 。

2、设矩阵5678A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A *= 。

（其中A *是A 的伴随矩阵） 3、已知n 阶矩阵A 满足2A A =，则A 的特征值为。

4、n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是。

5、二次型22212312133428f x x x x x x x =-+-+的实对称矩阵为。

二、选择题(每小题3分，共15分)1、12021k k +≠+的充要条件是（）（A ）1k ≠ （B ）3k ≠-（C ）1k ≠且3k ≠- （D ）1k ≠或3k ≠-2、若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为（） ()A 12 ()B -12 ()C 18 ()D 03、设,A B 都是n 阶方阵，且0AB =，则下列一定成立的是（）()A 0A =或0B = (),B A B 都不可逆 (),C A B 中至少有一个不可逆 ()0D A B += 4、向量组()12,,,2s s ααα≥ 线性相关的充分必要条件是（）()A 12,,,s ααα 中含有零向量。

()B 12,,,s ααα 中有两个向量的对应分量成比例。

()C 12,,,s ααα 中每一个向量都可由其余1s -个向量线性表示。

()D 12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示。

5、当ad ≠bc 时，1a b c d -⎡⎤⎢⎥⎣⎦=（）（A ）d c b a -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（B ）1d b c a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦（C ）1d b c a bc ad ⎡⎤⎢⎥--⎣⎦（D ）1d c b a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦三、（8分）计算行列式411102*********23D -=-四、（11分）求向量组()()()()12342,1,1,1,1,1,7,10,3,1,1,2,8,5,9,11αααα==-=--=的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表示。

2015—2016学年第一学期《线性代数》期末考试卷(B卷)

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