上海市进才中学高三月考三暨期中考试(理科)数学试题

上海市进才中学2008届高三数学月考试题三（理科）

满分：150分 时间：120分钟 命题人：李文邗 审题人：卢 明

一、填空题（本大题满分44分，本大题共有11题，每题4分） 1．函数||12)(x x f -=的值域为___________。

2．设集合},51|{Z x x x M ∈≤≤=，非空集合A 满足以下条件：①M A ；②若A x ∈，则

A x ∈-5。试写出满足条件的一个集合=A _____________（写出一个即可）。

3．已知集合}1|||{≤-=a x x A ，}045|{2≥+-=x x x B 。若∅=B A ，则实数a 的取值范围

是____________。

4．已知z 为复数，若44=z ，则z 的一个值可以为___________（只要写出一个即可）。

5．已知+∈R y x ,，且12=+y x ，则

y

x 1

1+的最小值为____________。 6．函数)0,0()(sin >>+=ωϕωA x A y 的图象的一个最高点为)2,6

(π

P ，与之相邻的一个最低

点为)2,3

(

-π

Q ，则=ω________。

7．对于非零实数b a 、

，则下列四个命题都成立： ①01

≠+

a

a ；②2222)(

b ab a b a ++=+；③若||||b a =，则b a ±=；④若ab a =2，则b a =。

那么，对于非零复数b a 、

，仍然成立的命题的所有序号是____________。

8．已知）

（x f y 1

-=是⎩⎨⎧<<-<<-+=)10()01(1x x

x x x f ）（的反函数，则函数)()()(1

x f x f x g -+=的表达

式是=)(x g ______________。

9．ABC ∆中，如果c b a 、、

成等差数列， 30=∠B ，ABC ∆的面积为2

3

，那么=b ________。

10．符号][x 表示不超过x 的最大整数，如2]08.1[,3][-=-=π。定义函数][}{x x x -=，给出如

下四个命题：①函数}{x 的定义域为R ，值域为]1,0[；②方程2

1

}{=

x 有无数解；③函数}{x 是周期函数；④函数}{x 是R 上的增函数。 其中正确命题的序号是____________。

11．对于在区间],[b a 上有意义的两个函数)(x f 和)(x g ，如果对任意],[b a x ∈，均有 1|)()(|≤-x g x f , 那么我们称)(x f 和)(x g 在],[b a 上是接近的。若)1(log )(2+=ax x f 与

x x g 2log )(=在闭区间]2,1[上是接近的，则a 的取值范围是__________。

二、选择题（本大题满分16分，本大题共有4题，每题4分） 12．“0)0(=f ”是“函数)(x f 是奇函数”的 （ ） （A ）仅充分条件 （B ）仅必要条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件

13．已知βα、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是 （ ）

（A ）0)sin(sin cos 2)sin(>-+++βαβαβα （B ）0)cos(sin sin 2)cos(<-+++βαβαβα

≠⊂

（C ）0)cos(sin sin 2)cos(>-+-+βαβαβα （D ）0)sin(sin cos 2)sin(<-+-+βαβαβα 14．2002年8月在北京召开了国际数学家大会，会标如图示，它是由四个

相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三

角形中较小的锐角为θ，大正方形面积是1, 小正方形面积是

25

1

，则 θθ22cos sin -的值是 （ ）

（A ）1 （B ）257 （C ）257- （D ）25

24

15．由方程1||||=+y y x x 确定的函数)(x f y =在),(∞+-∞上是 （ ）

（A ）增函数 （B ）减函数 （C ）先增后减 （D ）先减后增

三、解答题（本大题满分90分，本大题共有6题） 16．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分。

已知z 是复数，i

z

i z -+22、

均为实数（i 为虚数单位）。 （1）求复数z ；（2）复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围。

17．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分。

已知函数a x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2（a 为常数）。

（1）若R x ∈，求)(x f 的最大值及当)(x f 取得最大值时自变量x 的集合； （2）若]2

,

0[π

∈x 时，2|)(|

18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分。

某工厂生产的新型儿童玩具，当每天的产品数量依次为98,,3,2,1 件时，废品率依次为

1,,97

2

,982,992 。正品每件赢利10元，废品每件亏本5元（正品率与废品率之和等于1）

。 （1）设每日可获得的利润为y 元，将y 表示为每天生产的玩具数量x 的函数)(x f y =；

（2）每日生产多少件玩具，才能使所获利润最大，最大值是多少？（精确到01.0元）

19．（本题满分14分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分。

已知C B A 、、是ABC ∆的三个内角，)

(cos cos sin 2cot C B A A

A y -++=。

（1）若ABC ∆是正三角形，求y 的值；

（2）若任意交换ABC ∆中两个角的位置，y 的值是否变化？证明你的结论； （3）若ABC ∆中有一内角为 45，求y 的最小值。

20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。