电磁场与电磁波第三版 郭辉萍 第三章习题答案

第三章 习题答案

3.1设一点电荷与无限大接地导体平面的距离为d ，如图3.1所示。求： q

（1）空间的电位分布和电场强度； （2）导体平面上感应电荷密度； （3）点电荷所受的力。 q

解：

（1）(,,)1r x y z d =−u r

2(,,)r x y z d =+u r

1211

(4q

r r φπε=

−04q πε=

E φ=−∇u u r 3333330212121

[()()(]4a a a x y z q x x y y z d z d r r r r r r πε+−=−−+−+−

uu r uu

r ur u

（2）在导体平面上有z=0 则 12==

r r 32

2

22

02()

E a z qd

x y d πε=−

++u u r

ur u

032222

.2()

z a E s qd x y d ρεπ==−

++uu r u u r

（3）由库仑定律得

222

00()4(2)16q q q d d πεπε−=

=−u u r uu r ur z z u F a a

或22320,0,002[()]4(2)16z x y z d

q d q q d d

πεπε=

====−=−u u r uu r ur

v

z

u F E a a 3.6两无限大接地平行板电极，距离为，电位分别为0和U ，板间充满电荷密度为d 00x

d

ρ

的电荷，如题3.6图所示。求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。 解： 板间电位满足泊松方程 2

00ρφε∇

=x

−

d

由于平行电容器y 与z 方向都为无穷大，故待求函数仅为x 的函数

泊松方程可以写为：2020x d dx d

ρφ

ε=−

边界条件为0U φφ(0)=0,(d)= 对方程进行两次积分得

3

01206ρφε=−++x C x C d

代入边界条件得 00210

0,6U d

C d ρε==+

C 所以板间电位分布为：

300000

()66x U d x d d ρρφεε=−++

2000()2600E a x x U d d d ρρφεε=−∇=−−u u r uu r

2000()26

00D E a x x U d d d ρερε==−−u u r u u r uu r

x =0的极板上的电荷密度

00

00

60x a D

s x U d

d ερρ==⋅=−

−

uu r u u r

x =d 的极板上的电荷密度

00

()3

0x a D

sd x d

U d

d

ερρ==−⋅=

−

uu r u u r

3.9一个沿+y 方向无限长的导体槽，其底面保持电位为，其余两面的电位为零，如图3.9所示。求槽内的电位函数。 0U 解：

电位分布满足拉普拉斯方程

2

0φ∇

=由于金属管在z 方向为无穷大，电位只跟x 、y 有关，得

222

20x y

φφ

∂∂+=∂∂ 边界条件

00

(1)0 (2)0(3)0 (4)U x x a y y φφφ

φ

===∞

=====

设()()f x g y φ=

已知边界条件（1）、（2）得：(0)0,()0f f a ==

故()f x 的合理的解为：12()sin()cos()x x f x A k x A k x =+， 根据边界条件（1）、（2）得1()sin()n f x A x a

π

= 由于

2

2

0x y k k +=设

12()()()x x g y B sh k y B ch k y =+由于 2x x k y k y x e e shk y −−=，2

x x k y k y

x e e chk y −+=

再根据边界条件（3）得，则()0g ∞=12B B =− 故 1()n y a

g y B e

π−=

则电位的通解为a 1

sin()a n y n n n D x e ππ

φ∞

−==∑ 代入边界条件00

y U φ

==得01

sin(

)a

n n n U D x π

∞

==∑ 两边同时乘以m x a

π

sin(

)，并对x 从0到a 积分，并由三角函数的正交特性： 0sin()sin()2a n m m n x x dx a a a

ππ==∫时

0sin()sin()0a n m m n x x dx a a

ππ

≠=∫时得

001sin sin()sin()2a

a 0n n m n m U x D x x dx a a a πππ∞==∑∫∫()=n a D 0

(1cos )2n a a U n n πD π

−=

则0

4(1,3,5n U D n n )π==K

代入电位的通解方程得

0a

1,3,54sin()a n y n U n x e n ππφπ∞

−==∑K