齿轮系统的接触模态分析
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[2] 吴志强，陈予恕.非线性模态的 分类和新的求解方法．力学学 报.1996.28
[3] 陈予恕，吴志强.非线性模态理 论的研究进展.力学进 展.1997.27
[4] 李欣业，陈予恕，吴志强.非线 性模态理论及其研究进展.河北 工业大学学报.2004.33
[5] 白润波,曹平周,曹茂森,陈建锋. 基于优化—反分析法的接触刚 度因子的确定. 建筑科 学.2008.1
轮
5.5
22
20
-0.2 40
行星
5.5
13
20
0.2
33
轮
内齿
5.5
48
20
-0.2 42
轮
单元类型采用 SOLID45 单元。齿轮的 材 料 都 是 钢 ， 泊 松 比 µ=0.3 ， 材 料 密 度 ρ=7.85×103kg/m3 。， 弹 性 模 量 E=2.06 × 105MPa。将框架上的负载转矩等效到太阳轮 上是 10441514.3nmm，由于 SOLID45 单元 不具有转动自由度，因此无法施加转矩，为
量矩阵[ M ]和刚度矩阵[ K ]是常数矩阵。
本文采用 ANSYS 的预应力模态分析技 术求解齿轮系统的整体模态，接触模态分析 的无阻尼自由振动方程是：
••
[M ]{X } + ([K ] + [Ks]){X } = {0}
（3） 式（3）比式（1）多了一项[Ks]，在齿
轮振动时由于变形而偏离平衡位置一段距离 {X}，径向的离心力与此距离的乘积会形成一个 力矩，其作用使结构回到平衡位置。力矩的大小
件模态分析都是线性的，如何准确的求出齿 用这种方法。本文采用 ANSYS 的预应力模
轮系统的接触模态是本文的重点内容。
态分析技术求解齿轮系统的整体模态。
1 装配体模态分析的方法
2 模态分析的理论基础
传统的模态分析技术无法有效地处理 含有接触关系的非线性系统的装配体模态 分析问题，为处理此问题，人们采取了一些 线性化的近似处理方法，例如将装配体视为 不含联接的单一实体零件，或在将零件间的 联接简化成线性弹簧等。这种线性化的简化 分析方法，显然难以对含有非线性接触联接 的装配体进行准确分析。
图 5 Mises 等效应力与刚度系数(FKN)的关系曲线
实 常 数 FKN 的 取 值 范 围 通 常 是 在 （0.01-1.0）之间，通过对表 2 及图 5 的分 析可以得知，当 FKN 在（0.15-0.5）之间取 值时，mises 等效应力的曲线图近似为一条 直线。对齿轮系统进行柔性体仿真可知系统 在整个运动周期过程中的等效应力大约为 600—700MPa,接触应力分析结果基本与实 际值相符。当 FKN 低于 0.15 时计算出的接 触力小于实际值，所以 FKN 的取值应在 0.15-0.5 之间。
is imposed on the system rigid matrix as additional stiffness.Finally,the gear system modal
is obtained by doing linear modal analysis of the structure with the additional stiffness.
由应力云图上可以看出，最大的等效 应力数值为 569.616MPaபைடு நூலகம்发生在行星轮与
太阳轮的接触对上，这只是动态接触应力在 初始几何位置的值。接触分析结果的正确与 否直接关系到模态分析的正确合理性，而接 触分析的好坏与一些接触参数直接相关联， 影响最大的就是接触刚度的赋值。寻求正确 的实常数 FKN 值（用来为接触刚度指定一 个比例因子）的唯一办法是试用不同的值直 到找到正确的范围。由于实常数 FKN 值一 般在 0.01 到 1 之间（经验值），所以在这里 对实常数 FKN 分段取值，进行分析。分析 结果如表 2 和图 3,4 所示。
于齿轮系统的轮齿的接触约束的存在，使模 定程度上考虑了接触特性对模态的影响，是
态分析呈现出非线性的特征。这种求解存在 目前进行非线性模态分析采用的主流方法，
接触关系的模态分析称作接触模态分析。接 触模态分析是非线性的，而现有的有限元软
如 ADINA，ALGOR 的非线性模态分析技术 以及 ANSYS 的预应力模态分析技术都是采
求解固有频率的目的是外加的激励避 免等于系统的固有频率，
ω n1 =800.44Hz=1600.88 π rad/s，远大于齿轮
系统中各齿轮的转速，所以不会发生共振。
4 结语
通过 PRO/E 建立行星齿轮参数化模型， 导入 ANSYS 软件求解了齿轮系统的接触模
［参考文献］
[1] 王世军.基于 ANSYS 平台的接触 模态分析技术.安世亚太用户年 会论文集.2006
653.44
0.03
375.41 0.25
649.28
0.1
569.62 0.5
650.10
有预应力的接触分析完成后进行模态 分析，重新进入求解器，设置分析选项为模 态分析，模态提取方法为 Block Lanczos 分 块法，同时要选中计算预应力选项，提取前 10 阶模态，设置完分析选项即可进行求解， 求解固有频率结果如下：
Key words: gear system contact analysis modal analysis
引言
目前，求解接触模态分析的典型方法 是预应力模态分析方法。该方法分两步，首
行星齿轮传动被广泛应用于装甲车 先是在考虑接触特性的情况下做静态非线
辆，一般在高速重载、频繁启动工况下工作， 性分析，获得在静态载荷作用下的应力，然
在此工作环境下，有必要分析齿轮系统的固 后把得到的应力以附加刚度的形式叠加到
有振动频率。在设计齿轮系统时不但要考虑 系统的刚度矩阵上，在不考虑接触的条件下
单个齿轮的固有振动特性，更有意义的是要 对这种具有附加刚度的系统结构做线性模
考虑齿轮系统整体的固有振动特性，但是由 态分析，获得系统的整体模态。该方法在一
3 行星齿轮系统有限元模型建立
采用 PRO/E 建立行星齿轮系统的三维 模型并进行装配，在将模型导入 ANSYS 之 前在对模型进行必要的简化。齿轮系统的模
型参数如下表 1
表 1 齿轮的模型参数
齿
模数
压力 变位 齿宽
齿数
轮
/mm
角/° 系数 /mm
输入 7
轮
25
20
0.2
48
太阳 7
36
20
-0.2 44
齿轮系统的接触模态分析
马星国 周健 杨伟
沈阳理工大学 机械工程学院，辽宁 沈阳 110168
摘要：探讨了装配体非线性接触模态的分析的理论及方法，进行了考虑接触非线性的静态应力分析，把得 到的应力以附加刚度的形式叠加到系统的刚度矩阵上，对这种具有附加刚度的系统结构做线性模态分析， 获得了系统的整体模态。 关键词：齿轮系统；接触分析；模态分析
阶数
时间/频率
1
800.44
2
1176.1
3
1256.6
4
1467.8
5
1792.7
6
2655.6
7
2941.9
8
3779.7
9
4369.4
10
4873.6
振型结果如下图所示：
图 5 第一阶和第二阶振型图
图 7 第五阶和第六阶振型图
图 6 第三阶和第四阶振型图
图 8 第七阶和第八阶振型图
态，先做接触分析后做模态分析，用 ANSYS 求解带有一定非线性的模态，分析表明齿轮 系统不会发生共振。但是接触模态还不是真 正意义上的非线性模态，典型的非线性系统 的模态除了与结构的刚度有关外，还与载荷 和初始条件有关，非线性系统的模态还是时 变的，在振动过程中，在不同的时刻，系统 的模态也是不同的，不同于结构动力学意义 下的模态。求解真正意义的非线性系统的模 态，最好的方法是以现有的有限元软件为平 台，以非线性模态理论为依据开发自己的求 解器。
Abstract: The theory and method of modal analysis of assembly body with non-linear contact are
discussed. Considering the non-linear contact，the static stress analysis is done the stress above
图 3 FKN=0.01 时的等效应力云图
1.1.1 .4.2 齿轮系统的模态分析
图 4 FKN=0.2 时的等效应力云图
表 2 法向接触刚度系数与最大应力的关系
实常数 FKN
齿面最大 应力 (MPa)
实常数 FKN
齿面最大 应力 (MPa)
0.01
290.83 0.15
621.40
0.02
321.52 0.20
Prestressed Modal Analysis Of The Gear System
MA Xingguo Zhou Jian YANG Wei
(Institute of Mechanical Engineering Shenyang Ligong University,
Shenyang Liaoning 110168)
齿轮系统无阻尼自由振动方程为：
••
[M ]{X } + [K ]{X } = {0}
(1)
其对应的特征值方程为：
([K ] − ωi [M ]){X i ) = {0}
(2)
式中 ωi 为第 i 阶模态的固有频率，
i=1,2,…,n。这时的振动系统一般存在着 n
个固有频率和对应的 n 阶主振型。 以上是经典的线性模态分析理论，其质
与变形产生的距离正比，可以表示成[Ks]*{X}。 [Ks]被称为初应力矩阵，是在静载荷作用下 的非线性结构分析获得的，本质上就是求解 接触约束的连接刚度。
上施加径向约束和切向力。
为了将齿轮中心孔上节点的笛卡尔坐
标系旋转到柱坐标系下，需要在五个行星轮
和输入轮的中心处建立局部圆柱坐标系，约
束行星轮和输入轮安装孔上的径向位移和
图 9 第九阶和第十阶振型图
齿轮系统的第一阶频率是 800.44Hz， 由振型图可以看出是输入轮和太阳轮的啮 合振动，从振型图上还可以看出预应力的接 触分析起作用了，否则第一节频率为零，是 刚体模态，因为系统有刚体的自由度。
由齿轮系统的振型图可以看出，第二 到第五阶振型是太阳轮的单独振动，说明齿 轮系统中太阳轮的频率较其他齿轮低，容易 发生振动。第六到第十阶的振型是太阳轮和 输入轮一起振动。
袁安富，陈俊. ANSYS 在模态分析中的应用. 中国制造业信息化.2007.
了实现转动效果，将缺省的总体坐标系转换
为圆柱坐标系，然后选中齿轮中心孔处的所
有节点，将选中的节点转换到圆柱坐标系
下，在圆柱坐标系下在齿轮中心孔处的节点
图 1 加完约束和载荷后的模型
4 齿轮系统接触模态分析
4.1 齿轮系统接触分析 首先打开预应力选项，进行接触分
析。，计算结果如图 2 所示。
图 2 实常数 FKN=0.1 时的齿轮系统的等效应力云 图
轴向位移，保留圆周方向的自由度；输入轮
是驱动轮，施加绕中心轴线旋转的角速度
-338.98rad/s；太阳轮安装孔的节点上同样约 束径向和轴向位移，同时在节点上施加切线
方向的节点力 Fy：
Fy=-
输入转矩
=
内圈节点数 ×中心孔半径
-531.2N
(5)
Fy 为负值，即太阳轮的负载转矩是顺
时针方向，加载后的效果如图 1 所示
[3] 陈予恕，吴志强.非线性模态理 论的研究进展.力学进 展.1997.27
[4] 李欣业，陈予恕，吴志强.非线 性模态理论及其研究进展.河北 工业大学学报.2004.33
[5] 白润波,曹平周,曹茂森,陈建锋. 基于优化—反分析法的接触刚 度因子的确定. 建筑科 学.2008.1
轮
5.5
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轮
内齿
5.5
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轮
单元类型采用 SOLID45 单元。齿轮的 材 料 都 是 钢 ， 泊 松 比 µ=0.3 ， 材 料 密 度 ρ=7.85×103kg/m3 。， 弹 性 模 量 E=2.06 × 105MPa。将框架上的负载转矩等效到太阳轮 上是 10441514.3nmm，由于 SOLID45 单元 不具有转动自由度，因此无法施加转矩，为
量矩阵[ M ]和刚度矩阵[ K ]是常数矩阵。
本文采用 ANSYS 的预应力模态分析技 术求解齿轮系统的整体模态，接触模态分析 的无阻尼自由振动方程是：
••
[M ]{X } + ([K ] + [Ks]){X } = {0}
（3） 式（3）比式（1）多了一项[Ks]，在齿
轮振动时由于变形而偏离平衡位置一段距离 {X}，径向的离心力与此距离的乘积会形成一个 力矩，其作用使结构回到平衡位置。力矩的大小
件模态分析都是线性的，如何准确的求出齿 用这种方法。本文采用 ANSYS 的预应力模
轮系统的接触模态是本文的重点内容。
态分析技术求解齿轮系统的整体模态。
1 装配体模态分析的方法
2 模态分析的理论基础
传统的模态分析技术无法有效地处理 含有接触关系的非线性系统的装配体模态 分析问题，为处理此问题，人们采取了一些 线性化的近似处理方法，例如将装配体视为 不含联接的单一实体零件，或在将零件间的 联接简化成线性弹簧等。这种线性化的简化 分析方法，显然难以对含有非线性接触联接 的装配体进行准确分析。
图 5 Mises 等效应力与刚度系数(FKN)的关系曲线
实 常 数 FKN 的 取 值 范 围 通 常 是 在 （0.01-1.0）之间，通过对表 2 及图 5 的分 析可以得知，当 FKN 在（0.15-0.5）之间取 值时，mises 等效应力的曲线图近似为一条 直线。对齿轮系统进行柔性体仿真可知系统 在整个运动周期过程中的等效应力大约为 600—700MPa,接触应力分析结果基本与实 际值相符。当 FKN 低于 0.15 时计算出的接 触力小于实际值，所以 FKN 的取值应在 0.15-0.5 之间。
is imposed on the system rigid matrix as additional stiffness.Finally,the gear system modal
is obtained by doing linear modal analysis of the structure with the additional stiffness.
由应力云图上可以看出，最大的等效 应力数值为 569.616MPaபைடு நூலகம்发生在行星轮与
太阳轮的接触对上，这只是动态接触应力在 初始几何位置的值。接触分析结果的正确与 否直接关系到模态分析的正确合理性，而接 触分析的好坏与一些接触参数直接相关联， 影响最大的就是接触刚度的赋值。寻求正确 的实常数 FKN 值（用来为接触刚度指定一 个比例因子）的唯一办法是试用不同的值直 到找到正确的范围。由于实常数 FKN 值一 般在 0.01 到 1 之间（经验值），所以在这里 对实常数 FKN 分段取值，进行分析。分析 结果如表 2 和图 3,4 所示。
于齿轮系统的轮齿的接触约束的存在，使模 定程度上考虑了接触特性对模态的影响，是
态分析呈现出非线性的特征。这种求解存在 目前进行非线性模态分析采用的主流方法，
接触关系的模态分析称作接触模态分析。接 触模态分析是非线性的，而现有的有限元软
如 ADINA，ALGOR 的非线性模态分析技术 以及 ANSYS 的预应力模态分析技术都是采
求解固有频率的目的是外加的激励避 免等于系统的固有频率，
ω n1 =800.44Hz=1600.88 π rad/s，远大于齿轮
系统中各齿轮的转速，所以不会发生共振。
4 结语
通过 PRO/E 建立行星齿轮参数化模型， 导入 ANSYS 软件求解了齿轮系统的接触模
［参考文献］
[1] 王世军.基于 ANSYS 平台的接触 模态分析技术.安世亚太用户年 会论文集.2006
653.44
0.03
375.41 0.25
649.28
0.1
569.62 0.5
650.10
有预应力的接触分析完成后进行模态 分析，重新进入求解器，设置分析选项为模 态分析，模态提取方法为 Block Lanczos 分 块法，同时要选中计算预应力选项，提取前 10 阶模态，设置完分析选项即可进行求解， 求解固有频率结果如下：
Key words: gear system contact analysis modal analysis
引言
目前，求解接触模态分析的典型方法 是预应力模态分析方法。该方法分两步，首
行星齿轮传动被广泛应用于装甲车 先是在考虑接触特性的情况下做静态非线
辆，一般在高速重载、频繁启动工况下工作， 性分析，获得在静态载荷作用下的应力，然
在此工作环境下，有必要分析齿轮系统的固 后把得到的应力以附加刚度的形式叠加到
有振动频率。在设计齿轮系统时不但要考虑 系统的刚度矩阵上，在不考虑接触的条件下
单个齿轮的固有振动特性，更有意义的是要 对这种具有附加刚度的系统结构做线性模
考虑齿轮系统整体的固有振动特性，但是由 态分析，获得系统的整体模态。该方法在一
3 行星齿轮系统有限元模型建立
采用 PRO/E 建立行星齿轮系统的三维 模型并进行装配，在将模型导入 ANSYS 之 前在对模型进行必要的简化。齿轮系统的模
型参数如下表 1
表 1 齿轮的模型参数
齿
模数
压力 变位 齿宽
齿数
轮
/mm
角/° 系数 /mm
输入 7
轮
25
20
0.2
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太阳 7
36
20
-0.2 44
齿轮系统的接触模态分析
马星国 周健 杨伟
沈阳理工大学 机械工程学院，辽宁 沈阳 110168
摘要：探讨了装配体非线性接触模态的分析的理论及方法，进行了考虑接触非线性的静态应力分析，把得 到的应力以附加刚度的形式叠加到系统的刚度矩阵上，对这种具有附加刚度的系统结构做线性模态分析， 获得了系统的整体模态。 关键词：齿轮系统；接触分析；模态分析
阶数
时间/频率
1
800.44
2
1176.1
3
1256.6
4
1467.8
5
1792.7
6
2655.6
7
2941.9
8
3779.7
9
4369.4
10
4873.6
振型结果如下图所示：
图 5 第一阶和第二阶振型图
图 7 第五阶和第六阶振型图
图 6 第三阶和第四阶振型图
图 8 第七阶和第八阶振型图
态，先做接触分析后做模态分析，用 ANSYS 求解带有一定非线性的模态，分析表明齿轮 系统不会发生共振。但是接触模态还不是真 正意义上的非线性模态，典型的非线性系统 的模态除了与结构的刚度有关外，还与载荷 和初始条件有关，非线性系统的模态还是时 变的，在振动过程中，在不同的时刻，系统 的模态也是不同的，不同于结构动力学意义 下的模态。求解真正意义的非线性系统的模 态，最好的方法是以现有的有限元软件为平 台，以非线性模态理论为依据开发自己的求 解器。
Abstract: The theory and method of modal analysis of assembly body with non-linear contact are
discussed. Considering the non-linear contact，the static stress analysis is done the stress above
图 3 FKN=0.01 时的等效应力云图
1.1.1 .4.2 齿轮系统的模态分析
图 4 FKN=0.2 时的等效应力云图
表 2 法向接触刚度系数与最大应力的关系
实常数 FKN
齿面最大 应力 (MPa)
实常数 FKN
齿面最大 应力 (MPa)
0.01
290.83 0.15
621.40
0.02
321.52 0.20
Prestressed Modal Analysis Of The Gear System
MA Xingguo Zhou Jian YANG Wei
(Institute of Mechanical Engineering Shenyang Ligong University,
Shenyang Liaoning 110168)
齿轮系统无阻尼自由振动方程为：
••
[M ]{X } + [K ]{X } = {0}
(1)
其对应的特征值方程为：
([K ] − ωi [M ]){X i ) = {0}
(2)
式中 ωi 为第 i 阶模态的固有频率，
i=1,2,…,n。这时的振动系统一般存在着 n
个固有频率和对应的 n 阶主振型。 以上是经典的线性模态分析理论，其质
与变形产生的距离正比，可以表示成[Ks]*{X}。 [Ks]被称为初应力矩阵，是在静载荷作用下 的非线性结构分析获得的，本质上就是求解 接触约束的连接刚度。
上施加径向约束和切向力。
为了将齿轮中心孔上节点的笛卡尔坐
标系旋转到柱坐标系下，需要在五个行星轮
和输入轮的中心处建立局部圆柱坐标系，约
束行星轮和输入轮安装孔上的径向位移和
图 9 第九阶和第十阶振型图
齿轮系统的第一阶频率是 800.44Hz， 由振型图可以看出是输入轮和太阳轮的啮 合振动，从振型图上还可以看出预应力的接 触分析起作用了，否则第一节频率为零，是 刚体模态，因为系统有刚体的自由度。
由齿轮系统的振型图可以看出，第二 到第五阶振型是太阳轮的单独振动，说明齿 轮系统中太阳轮的频率较其他齿轮低，容易 发生振动。第六到第十阶的振型是太阳轮和 输入轮一起振动。
袁安富，陈俊. ANSYS 在模态分析中的应用. 中国制造业信息化.2007.
了实现转动效果，将缺省的总体坐标系转换
为圆柱坐标系，然后选中齿轮中心孔处的所
有节点，将选中的节点转换到圆柱坐标系
下，在圆柱坐标系下在齿轮中心孔处的节点
图 1 加完约束和载荷后的模型
4 齿轮系统接触模态分析
4.1 齿轮系统接触分析 首先打开预应力选项，进行接触分
析。，计算结果如图 2 所示。
图 2 实常数 FKN=0.1 时的齿轮系统的等效应力云 图
轴向位移，保留圆周方向的自由度；输入轮
是驱动轮，施加绕中心轴线旋转的角速度
-338.98rad/s；太阳轮安装孔的节点上同样约 束径向和轴向位移，同时在节点上施加切线
方向的节点力 Fy：
Fy=-
输入转矩
=
内圈节点数 ×中心孔半径
-531.2N
(5)
Fy 为负值，即太阳轮的负载转矩是顺
时针方向，加载后的效果如图 1 所示