2020年江西师大附中新高一入学分班考试数学模拟试卷及答案解析

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(完整版)江西师大附中2019-2020学年高一10月考数学试卷

江西师大附中2019-2020高一年级10月月考数学试题命题人：郑辉平审题人：朱涤非第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数()()0112x f x x x -=+--的定义域为（） A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞C ．()()1,22,+∞D ．[)()1,22,+∞【答案】C2．图中阴影部分所表示的集合是（）A.()U B A CB. ()()C B B AC.()()U A C BD. ()()U A C B【答案】C3．给出下列关系式：2Q ； ②{1,2}{(1,2)}=； ③2{1,2}∈； ④{0}∅⊆，其中正确关系式的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C4．下列集合中子集个数最多的是（）A ．{}2|320x N x x ∈++=B ．{|x x 是边长分别为123，，的三角形}C ．{|||1}x R x ∈=-D ．{}∅【答案】D5.下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A ．(3)(5)(),()53x x f x g x x x +-==-+ B ．2(),()f x x g x x == C ．()25,()25f x x g x x =-=-D ．33(),()f x x g t t ==【答案】D6.已知函数2()25f x x ax =-+，且其对称轴为1x =，则以下关系正确的是( )A. (3)(2)(8)f f f -<<B. (2)(3)(8)f f f <-<C. (3)(2)(8)f f f -=<D. (2)(8)(3)f f f <<-【答案】B 【解析】根据题意，函数52)(2+-=ax x x f ，其对称轴为1=x ，其开口向上，)(x f 在),1[+∞上单调递增，则有)8()5()3()2(f f f f <=-<，故选B.7.若()()()()⎩⎨⎧≥-<-=10,610,2x x f x x x f ,则(57)f 的值为（） A. 1 B.3 C.5 D. 7【答案】D【解析】由题意得，729)9()45()51()57(=-==⋅⋅⋅===f f f f8.设}5,4,3,2,1{=U ，B A ,为U 的子集，若}2{=B A ，((){4}U A B =,()(){1,5}U U A B =，则下列结论正确的是（） A ．3,3A B ∉∉ B ．3,3A B ∉∈ C ．3,3A B ∈∉ D ．3,3A B ∈∈ 【答案】C 9.若函数223,1()1,1x ax x f x ax x ⎧++≤=⎨+>⎩是减函数，则a 的取值范围是（）A.[3,1]--B.(,1]-∞-C.[1,0)-D.[2,0)- 【答案】A10．定义集合的商集运算为},,|{B n A m nm x x B A ∈∈==，已知集合}6,4,2{=A ， },12|{A k k x x B ∈-==，则集合B AB 元素的个数为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 【答案】A 【解析】由题意知，}2,1,0{=B ，}31,1,61,41,21,0{=A B，则}2,31,1,61,41,21,0{=B A B ，共有7个元素，选A.11．已知()x x f 23-=，()x x x g 22-=，()()()()()()(),,g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩若若，则()x F 的最值是（）A.最大值为3-，最小值为1-B.最大值为727-，无最小值C.最大值为3，无最小值D.既无最大值，又无最小值【答案】B 【解析】如图实线部分可知，有最大值为727-，无最小值，故选B.12．已知函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则关于函数有如下说法：①的图像关于y 轴对称； ②方程的解只有；③任取一个不为零的有理数T ，)()(x f T x f =+对任意的R x ∈恒成立； ④不存在三个点))(,(11x f x A ，))(,(22x f x B ,))(,(33x f x C ，使得ABC ∆为等边三角形． ()f x ()f x (())f f x x =1x =。

江西师大附中新高一入学考试数学模拟试卷

解得x 舍去．
综上所述，当△AEF为以FA腰的等腰三角形时，x ．
15．（6分）已知，如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点，用尺规作图作出直线DE∥AB．（不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：设有鸡x只，兔子y只，
根据题意得：．
故答案为：．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是．
【解答】解：连接AE，如图所示：
由旋转变换的性质可知，∠ADE＝∠CDG，AD＝BC＝DE＝17，AB＝CD＝DG＝15，
∴x1（1+x2）+x2
＝x1+x2+x1•x2
＝4+2
＝6．
故答案为：6．
12．（3分）如图放置的两个正方形的边长分别为4和8，点G为CF中点，则AG的长为2 ．
【解答】解：
连接AC、AF，延长CB交FH于M，
则∠FMC＝90°，CM＝4+8＝12，FM＝8﹣4＝4，
在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF 4 ，
∵四边形CDAB和四边形EFHA是正方形，
∴∠CAB＝45°，∠FAE＝45°，
∴∠CAF＝45°+45°＝90°，
∵G为CF的中点，
∴AG CF＝2 ，
故答案为：2 ．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）解关于x的不等式：
．
【解答】解：原式变形得：（x ）（x x ），
（x ），
由勾股定理得，CE 8，
∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，
则AE 3 ，

2020年江西师大附中高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年江西师大附中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x 2≤1}，则下列结论正确的是( )A. −2∉AB. −2∈AC. {−2}∈AD. {−2}⊆A2. 已知复数z 满足(2−i)z =｜3+4i ｜，则z =( )A. −2−iB. 2−iC. −2+iD. 2+i3. 已知p ：−2>−1，q ：a −1<a ，则下列判断正确的是( )A. “p ∧q ”为假，“￢p ”为假B. “p ∧q ”为真，“￢p ”为真C. “p ∨q ”为真，“￢q ”为假D. “p ∨q ”为假，“￢q ”为真4. 已知函数f(x)=ax 2+bx +2a −b 是定义在[a −3,2a]的偶函数，则f(a)+f(b)=( )A. 5B. −5C. 0D. 20195. 函数f(x)=xln x 的零点为( )A. 0或1B. 1C. (1,0)D. (0,0)或(1,0)6. 函数y =1−|x −x 2|的图象大致是( ) A. B. C. D.7. 一物体沿直线做运动，其速度v(t)和时间t 的关系为v(t)=2t −t 2，在t =1到t =3时间段内该物体行进的路程和位移分别是( )A. 2，−23B. 2，23C. 23，23D. 23，−23 8. 已知A =sin(kπ+α)cos(−π2+α)+cos(kπ+α)cos(−α)(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A. {2,−2}B. {−1,0，1}C. {2,0，−2}D. {1,−1,0，2，−2}9. 如图是某几何体的三视图，正视图是长为6厘米，宽为2厘米的矩形，俯视图为等边三角形，几何体表面上的点A ，B 在正视图上的对应点分别为点M ，N ，则在几何体表面上，从点A 出发沿着几何体的侧面绕行一周到达点B 的最短路线长为A. 6√2厘米B. 2√10匣米C. 4√13厘米D. √10厘米10. 如图，平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点M ，设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗( ) A. −12a ⃗ −⋅12b ⃗ −c ⃗ B. 12a⃗ +12b ⃗ −c ⃗ C. 12a⃗ −12b ⃗ −c ⃗ D. −12a ⃗ +12b ⃗ −c ⃗11. 已知点A(2,−1),B(4,2)，点P 在x 轴上，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时，P 点的坐标是( ) A. (2,0) B. (4,0)C. (103,0)D. (3,0) 12. 已知函数f (x )=xe x −13ax 3−12ax 2+1,(x >0)，若f (x )有最小值，则实数a 的取值范围为( )A. [23e 32,+∞)B. (23e 32,+∞)C. (e,+∞)D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在一块正三角形铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示．当x 为_________时，正三棱柱的体积最大，最大值是__________．14. 已知数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−1a n =n+13，a n = ______ ．15.掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点”，若B表示B的对立事件，则一次试验中，事件A⋃B发生的概率为________．16.已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为9√2π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．18.某餐厅销售一款饮料，定价为4元/瓶，20天的日销量数据按照[15,25]，(25,35],(35,45]，(45,55]分组，得到如下频率分布直方图．(Ⅰ)估计该餐厅这款饮料的日销量超过30瓶的概率；(Ⅱ)估计该餐厅这款饮料的平均日销售额(销量×定价)；(Ⅲ)若从这款饮料销量大于35瓶的数据中任取两天的数据，求这两天的饮料销量都大于45瓶的概率．19.如图所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E、F是AC、PC的中点．(1)求证：AC⊥平面DEF；(2)若PA=2，AB=1，求三棱锥F−PED的体积．20.已知点P为E：x24+y22=1上的动点，点Q满足OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OP⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求点Q的轨迹M的方程；(2)直线l：y=kx+n与M相切，且与圆x2+y2=49相交于A，B两点，求△ABO面积的最大值(其中O为坐标原点)．(a∈R)．21.已知函数f(x)=ln(x+1)−ax1−x(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若−1<x<1时，均有f(x)≤0成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2+y2=4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2cos2θ=1．(1)求圆O的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知M，N是曲线C与x轴的两个交点，点P为圆O上的任意一点，证明：|PM|2+|PN|2为定值．23.解不等式|x−1|+|x+2|<5．【答案与解析】1.答案：A解析：解：集合A={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}．所以−2∉A，{−2}⊄A．故选：A．根据元素与集合，集合与集合间的关系进行判断解答．本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．2.答案：D解析：本题主要考查了复数的四则运算及复数的模，考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算性质及复数的模即可得出结果．解：因为z=|3+4i|2−i =52−i=5(2+i)(2−i)·(2+i)=2+i．故选D．3.答案：C解析：解：∵命题p：−2>−1，命题q：a−1<a，∴命题p为假命题；命题q为真命题，∴“p∧q”为假，“p∨q”为真，“￢q”为假命题，故选：C．首先，得到命题p为假命题；命题q为真命题，然后，进一步结合复合命题的真假进行判断．本题重点考查了复合命题的真假判断等知识，属于中档题．4.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性，考查推理能力和计算能力，属于基础题．利用定义域关于原点对称求出a，再利用偶函数的定义即可求b，从而求出f(a)+f(b)．解：由题意，得{a −3+2a =0f(−x)=f(x), ⇒{a −3+2a =0b =0⇒{a =1b =0所以f(x)=x 2+2f(a)+f(b)=f(1)+f(0)=5，故选A ．5.答案：B解析：本题考查函数的零点与方程的根的关系，属基础题，求方程xlnx =0的根即可，注意定义域．函数f(x)=xln x 的定义域为(0,+∞)，且在定义域(0,+∞)上连续；当f(x)=0时，x =1;故函数f(x)=xln x 的零点为x =1；故选：B ．6.答案：C解析：本题考查函数图象的识别，属于基础题．取特殊点进行排除，即得结果．当x =−1时，y =1−|−1−1|=−1，所以排除A ，D ；当x =2时，y =1−|2−4|=−1，所以排除B ，故选C ．7.答案：A解析：本题主要考查定积分的几何性质，微积分基本定理，属于中档题．利用定积分的几何性质以及微积分基本定理求解．解：由定积分的几何性质可知，该物体的行进的路程为∫(2t −t 2)21dt −∫(2t −t 2)32dt =(t 2−13t 3)|12−(t 2−13t 3)|23=23+43=2；该物体的行进的位移为∫(2t −t 2)21dt +∫(2t −t 2)32dt =(t 2−13t 3)|12+(t 2−13t 3)|23=23−43=−23．故选A ．8.答案：A解析：本题考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．只需分别求出当k 为奇数和偶数时A 的值，进而得到相关的集合．解：当k 为偶数时，；当k 为奇数时，A =−sinαsinα−cosαcosα=−2；∴A 的值构成的集合为{−2,2}．故选A ． 9.答案：A解析：本题考查空间几何体的三视图及侧面上的最短距离，考查空间想象能力和分析能力．由三视图可知，该几何体是底面边长为2的正三角形，高为6的正三棱柱，画出其侧面展开图，由两点之间线段最短即可求解．解：由三视图可知，该几何体是底面边长为2的正三角形，高为6的正三棱柱，其侧面展开图如下：根据两点之间线段最短，|MN |为最短路线．由勾股定理，|MN |=2+62=6√2，所以从点A 出发沿着几何体的侧面绕行一周到达点B 的最短路线长为6√2厘米．故选A ．10.答案：D解析：【试题解析】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由于B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 代入化简即可得出．解：∵B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−c ⃗ −12a ⃗ +12b ⃗ ．故选D ．11.答案：D解析：依题可设P(x,0)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−x,2)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−1)⋅(4−x,2)=(2−x)(4−x)−2=x 2−6x+6=(x−3)2−3，当x =3时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−3...12.答案：B解析：本题考查导数在研究函数最值方面的应用，属于中档题．解：f′(x)=(x +1)e x −ax 2−ax =(x +1)(e x −ax)，令g(x)=e x ，g′(x)=e x ，下面求g(x)的图象过原点的切线方程，设切点坐标为(x 0,e x 0)，切线的斜率为e x 0，所以g(x)的图象过原点的切线方程为y −e x 0=e x 0(x −x 0)，因其过原点，解得x 0=1，g(x)的图象过原点的切线方程为y =ex ，结合函数图象性质可知，当a ≤e 时，f′(x)≥0.f(x)在(0,+∞)上递增，f(x)无最小值，当a >e 时，g(x)=e x 与y =ax 的图象有两个交点，设交点的横坐标分别为x 1,x 2(0<x 1<x 2)，由函数图象可得，当x ∈(0,x 1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(x 1,x 2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(x 2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以x 2是f(x)的极小值点，由题意得f(0)>f(x 2)，1>x 2e x 2−13ax 23−12ax 22+1，(e x 2=ax 2,a >e)，12−13x 2<0,x 2>32， a =e x 2x 2，易证y =e x x在(1,+∞)上单调递增，所以a >23e 32．故选B ．13.答案：a 6,a 354解析：本题主要考查三棱柱的体积的计算，求出相应的体积，利用导数求出最值．解：由题意可得，正三棱柱的底面边长为a −2x ，高为√33x ，则三棱柱的体积V =12(a −2x )2×√32×√33x =14x (a −2x )2，令V′=0，即14(a −2x )2+14x ·2(a −2x )(−2)=0，解得x =a6，当x =a6时，V 取得最大值，且最大值为a 354．故答案为a 6,a 354．14.答案：{13n ,n ≥223,n=1解析：解：由a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−1a n =n+13，①得n ≥2时，a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−2a n−1=n3，② ①−②得：3n−1a n =n+13−n 3=13，∴a n =13n(n ≥2)．又由a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−1a n =n+13，得a 1=23不适合上式．∴a n ={13n,n ≥223,n=1．故答案为：{13n,n ≥223,n=1．由已知数列递推式可得n ≥2时，a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−2a n−1=n3，与原递推式作差可得a n =13n(n ≥2).再由原递推式求出首项，验证后得答案．本题考查数列递推式，训练了作差法求数列的通项公式，是中档题．15.答案：23解析：本题考查互斥事件和对立事件的概率，属于中档题．由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件A 和事件B 是互斥事件，求出事件A 和事件B 包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．解：掷一个骰子的试验有6种可能的结果．依题意知P(A)=26=13，P(B)=46=23，所以=1−P(B)=1−23=13．因为B表示“出现5点或6点”，因此事件A与B互斥，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=13+13=23．故答案为23．16.答案：√3解析：本题考查圆锥的侧面积及体积的计算，考查学生的计算能力，正确运用等体积法是解题的关键．根据圆锥的底面半径和高相等，侧面积为9√2π，求出圆锥的底面半径，再根据等体积法求出圆锥底面中心到截面的距离．解：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，母线长为√2r．∵圆锥的侧面积为9√2π，∴12×2πr×√2r=9√2π，解得r=3．∵过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，∴S截面=√34×(3√2)2=9√32．设圆锥底面中心到截面的距离为h，则由等体积法可得1 3×9√32×ℎ=13×12×3×3×3，解得ℎ=√3．故答案为√3．17.答案：解：(Ⅰ)∵T n−2b n+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n=2b n−1，(n≥2)∴数列{b n}为等比数列，∴b n=3⋅2n−1.(Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数.令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．解析：(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1．本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键．18.答案：解：(Ⅰ)由图中数据可知，该餐厅这款饮料的日销量超过30瓶的概率为0.03×10+0.04×5=0.5．(Ⅱ)各组频率依次为0.3，0.4，0.2，0.1，平均日销量为0.3×20+0.4×30+0.2×40+0.1×50=31(瓶)，所以这款饮料的平均日销售额为4×31=124(元)；(Ⅲ)由题意，饮料销量大于35瓶的数据中任取两天的数据有4个在(35,45]内，设为A ，B ，C ，D ，有2个在(45,55]，设为E ，F ，从中任意选2个，所有情况有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)，共15种，符合条件的只有(E,F)，故所求概率为P =115．解析：本题考查频率分布直方图，用频率估计概率，平均数的计算和古典概型的计算，属于基础题． (Ⅰ)由频率分布直方图的特点即可得出．(Ⅱ)利用每组的组中值乘频率得出平均日销量，进而求出平均日销售额； (Ⅲ)利用列举法列出所有情况，利用古典概型计算公式求解即可．19.答案：(1)证明：连接EF ．∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AC ，∵E ，F 分别是AC ，PC 的中点，∴EF//PA ， ∴EF ⊥AC ，∵四边形ABCD 是正方形，E 是AC 的中点，∴DE ⊥AC ，又EF ∩DE =E ，EF ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， ∴AC ⊥平面DEF ．(2)解：∵E ，F 分别是AC ，PC 的中点， ∴EF//PA ，EF =12PA ．又PA ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ．∵PA =2，∴EF =12PA =1， ∵正方形ABCD 的边长为1， ∴S △CDE =12S △ACD =14．∴V P−CDE =13⋅S △CDE ⋅PA =13⋅14⋅2=16． V F−CDE =13⋅S △CDE ⋅EF =13⋅14⋅1=112， ∴V F−PDE =V P−CDE −V F−CDE =16−112=112．解析：本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题． (1)根据PA//EF 可得AC ⊥EF ，结合AC ⊥DE 得出AC ⊥平面DEF ；(2)分别求出三棱锥P −CDE 和三棱锥F −CDE 的体积，相减即可得到答案．20.答案：解：(Ⅰ)设Q(x,y)，P(x 0,y 0)，由于OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有(x,y)=13(x 0,y 0)，则{x 0=3x y 0=3y ，又P(x 0,y 0)在椭圆E 上，故有(3x)24+(3y)22=1，即点Q 的轨迹M 的方程为x 249+y 229=1．(Ⅱ)直线l ：y =kx +n 与椭圆D ：x 249+y 229=1相切，故由{y =kx +n x 249+y 229=1，得：(18k 2+9)x 2+36knx +18n 2−4=0，因为△=(36kn)2−4(18k 2+9)(18n 2−4)=4×18(4k 2−9n 2+2)=0，则有4k 2=9n 2−2(显然n ≠0)．点O 到直线AB 的距离d =√k 2+1，则|AB|=2√49−d 2，因为4k 2=9n 2−2，则n 2≥29，所以d 2═n 21+k 2=49+2n 2∈[29,49) 则S △AOB =12⋅|AB|⋅d =12⋅2√49−d 2⋅d =√(49−d 2)⋅d 2≤29，当且仅当49−d 2=d 2时，即d 2=29时等号成立．所以，面积的最大值为29．解析：(Ⅰ)设Q(x,y)，P(x 0,y 0)，由OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x 0=3x y 0=3y ，再由P(x 0,y 0)在椭圆E 上，能求出点Q 的轨迹M 的方程．(Ⅱ)由{y =kx +nx 249+y 229=1，得：(18k 2+9)x 2+36knx +18n 2−4=0，由直线l ：y =kx +n 与M 相切，利用根的判别式求出4k 2=9n 2−2，由点到直线的距离、弦长公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出△ABO 面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)的定义域为(−1,1)∪(1,+∞)，f′(x)=1x+1−1(1−x)2=x(x−3)(x−1)2(x+1)，当−1<x <0或>3时，f′(x)>0，当0<x <1或1<x <3，f′(x)<0，所以函数f(x)的增区间为(−1,0)，(3,+∞)，减区间为(0,1)，(1,3) (Ⅱ)f′(x)=x 2−(a+2)x+1−a (x−1)2(x+1),−1<x <1，当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，故0<x <1时，f(x)>f(0)=0，不符合题意．当a >0时，由f′(x)=0，得x 1=a+2−√a2+8a2，x 2=a+2+√a2+8a2．若0<a <1，此时0<x 1<1，对0<x <x 1，有f′(x)>0，f(x)>f(0)=0，不符合题意．若a >1，此时−1<x 1<0，对x 1<x <0，有f′(x)<0，f(x)>f(0)=0，不符合题意．若a =1，由(Ⅰ)知，函数f(x)在x =0处取得最大值0，符合题意，综上实数a 的取值为1．解析：(Ⅰ)当a =1时，f(x)的定义域为(−1,1)∪(1,+∞)，求出f′(x)=1x+1−1(1−x)2=x(x−3)(x−1)2(x+1)，即可求单调区间； (Ⅱ)f′(x)=x 2−(a+2)x+1−a (x−1)2(x+1),−1<x <1，分(1)a ≤0，(2)当a >0，讨论单调性及最值即可．本题考查了导数的综合应用，属于难题，22.答案：解：(1)圆O 的参数方程为为参数)，由ρ2cos2θ=1，得：ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=1，即ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ=1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2−y 2=1． (2)证明：由(1)知M(−1,0)，N(1,0)，可设P(2cosα,2sinα)，所以|PM|2+|PN|2=(2cosα+1)2+(2sinα)2+(2cosα−1)2+(2sinα)2， =5+4cosα+5−4cosα=10，所以|PM|2+|PN|2为定值10．解析：(1)首先利用转换关系把参数方程和极坐标方程和直角坐标方程进行转换． (2)利用三角函数关系式的恒等变换求出定值．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换．23.答案：解：法一：记A(1)，B(−2)，则AB 的中点为M (−12)，|x −1|+|x +2|<5⇔|x −(−12)|<52，即|x +12|<52，∴−52<x +12<52解得−3<x <2，故原不等式的解集为(−3,2)；法二：原不等式等价于：{x ⩽−2−(x −1)−(x +2)<5或{−2<x <1−(x −1)+(x +2)<5或{x ⩾1(x −1)+(x +2)<5, 解得−3<x ≤−2或−2<x <1或1≤x <2， ∴−3<x <2，故原不等式的解集为(−3,2)．解析：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义、分类讨论思想的应用，属于基础题．法一：记A(1)，B(−2)，则AB 的中点为M (−12)，根据绝对值的几何意义，不等式化为|x +12|<52，则−52<x +12<52，解得原不等式的解集；法二：由分类讨论去绝对值，原不等式等价于{x ⩽−2−(x −1)−(x +2)<5或{−2<x <1−(x −1)+(x +2)<5或{x ⩾1(x −1)+(x +2)<5，解得原不等式的解集．。

江西师大附中2020届高考数学三模试卷1（含答案解析）

江西师⼤附中2020届⾼考数学三模试卷1（含答案解析）江西师⼤附中2020届⾼考数学三模试卷1⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.设集合A={x|x2?5x+6>0}，B={x|x?1<0}，则A∩B=()A. (?∞,1)B. (?2,1)C. (?3,?1)D. (3,+∞)2.复数z=?2+ii的共轭复数是()A. 1+2iB. 1?2iC. ?1+2iD. ?1?2i3.cos(?11π6)=()A. 12B. ?12C. ?√32D. √324.已知向量a?=(0,1)，b? =(2,?1)，则|2a?+b? |=()A. 2√2B. √5C. 2D. 45.已知m，n为直线，α，β为平⾯，下列说法正确的是()A. m⊥n，m//α，n//β?α⊥βB. m⊥n，α∩β=m，n?α?α⊥βC. m//n，n⊥β，m?α?α⊥βD. m//n，m⊥α，n⊥β?α⊥β6.若将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位后，所得图象对应的函数为()A. y=2sin2xB. y=2sin(2x?π6)C. y=2cos2xD. y=2sin(2x+π3)7.设S n为数列{a n}的前n项和，“{a n}是递增数列”是“{S n}是递增数列”的()A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既⾮充分⼜⾮必要条件8.函数y=x33x?3?x的图象⼤致是()A. B.C. D.9.⼀个⼤型喷⽔池的中央有⼀个强⼒喷⽔柱，为了测量喷⽔柱的⽔柱的⾼度，某⼈在喷⽔柱正西⽅向的A处测得⽔柱顶端的仰⾓为45°，沿A向北偏东30°⽅向前进100m后到达B处，在B处测得⽔柱顶端的仰⾓为30°，则⽔柱的⾼度是()A. 50mB. 100mC. 120mD. 150m10.已知圆A:x2+y2=1，圆B:(x?t+4)2+(y?at+2)2=1(t∈R)，且圆A与圆B存在公共点，则圆A与直线l:x+y=a的位置关系是()A. 相切B. 相离C. 相交D. 相切或相交11.设直线x?3y+m=0(m≠0)与双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满⾜|PA|=|PB|，则该双曲线的离⼼率是()A. √52B. 32C. 52D. √5+112.如图，在正⽅体ABCD?A1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为C1D1与AB的中点，B1到平⾯A1FCE的距离为()A. √32B. √63C. √105D. √305⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.已知数列{a n}的前n项和为S n=5n2+kn?19，且a10=100，则k=______ ．14.已知过抛物线x2=6y焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且y A+y B=6，则|AB|=______．15.设变量x，y满⾜约束条件：?{x+y?3x?y??12x?y?3，则⽬标函数z=3x?2y的最⼩值为______．16.已知函数若⽅程f(x)?ax=1有三个实根，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.在△ABC中，设边a，b，c所对的⾓分别为A，B，C，asinC=√3ccosA．(Ⅰ)求⾓A的⼤⼩；(Ⅱ)若△ABC⾯积为√3，求边a的最⼩值．18.设数据x1,x2,?,x n的⽅差为s2，求下列各组数据的⽅差．(1)x1+b,x2+b,?,x n+b；(2)ax1,ax2,?,ax n；(3)ax1+b,ax2+b,?,ax n+b．19.四棱锥P?ABCD中，底⾯ABCD为矩形，.PA=PB，侧⾯PAB⊥底⾯ABCD．(1)证明：PA⊥BC；(2)若AB =2，PC ⊥BD ，PD 与平⾯ABCD 所成的⾓为，求四棱锥P ?ABCD 的体积．20. 已知椭圆的⼀个顶点为A(0,?1)，焦点在x 轴上，离⼼率为√63． (1)求椭圆的⽅程；(2)设椭圆与直线y =kx +2(k ≠0)相交于不同的两点M 、N ，当|MN|=√3时，求k 的取值．21. 已知函数f(x)=x ?lnx ，g(x)=2mx ?1(m ∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)在x =1处的切线⽅程；(Ⅱ)若?x ∈[1e ,e]，f(x)>g(x)恒成⽴，求实数m 的取值范围．22. 在平⾯直⾓坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系．(Ⅰ)求C2的普通⽅程；(Ⅱ)设曲线C3的极坐标⽅程为2ρsin(π3θ)=√3，且曲线C3与曲线C2相交于M，N两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23.设函数f(x)=|2x?1|+ax?1．(Ⅰ)若a=1，解不等式f(x)≤2；(Ⅱ)若函数f(x)有最⼩值，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，属于基础题．根据题意，求出集合A、B，由交集的定义计算可得答案．解：根据题意，A={x|x2?5x+6>0}={x|x>3或x<2}，B={x|x?1<0}={x|x<1}，则A∩B={x|x<1}=(?∞,1)；故选A．2.答案：B解析：解：由题意可得复数z=?2+ii =(?2+i)?ii?i=?2i?11=1+2i故复数z=?2+ii的共轭复数是：1?2i故选B由复数的运算法则化简复数，即可得其共轭复数．本题考查共轭复数的定义，属基础题．3.答案：D解析：解：cos(?11π6)=cos11π6=cos(2π?π6)=cosπ6=√32．故选：D．运⽤诱导公式及特殊⾓的三⾓函数值即可化简求值．本题主要考查了诱导公式及特殊⾓的三⾓函数值的应⽤，属于基础题．4.答案：B解析：解：向量a?=(0,1)，b? =(2,?1)，∴2a?+b? =(2×0+2,2×1?1)=(2,1)，∴|2a?+b? |=√22+12=√5．故选：B．根据平⾯向量的坐标运算与模长公式，进⾏计算即可．本题考查了平⾯向量的坐标运算与模长公式的应⽤问题，是基础题⽬．5.答案：C解析：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查推理论证能⼒、空间想象能⼒，是基础题．根据空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系逐⼀判断即可．解：由m，n为直线，α，β为平⾯，知：在A中，m⊥n，m//α，n//β?α与β相交或平⾏，故A错误；在B中，m⊥n，α∩β=m，n?α?α与β相交，但不⼀定垂直，故B错误；在C中，m//n，n⊥β，m?α，由⾯⾯垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m//n，m⊥α，n⊥β?α与β平⾏，故D错误．故选C．6.答案：B解析：本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．由条件利⽤函数的图象变换规律，可得结论．解：将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位后，所得图象对应的函数解析式为，故选B．7.答案：D解析：解：数列?3，?2，?1，0……是递增数列，但{S n}不是递增数列，即充分性不成⽴，数列1，1，1，……，满⾜{S n}是递增数列，但数列1，1，1，……，不是递增数列，即必要性不成⽴，则“{a n}是递增数列”是“{S n}是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．根据数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进⾏判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合数列的性质，利⽤特殊值法进⾏排除是解决本题的关键．8.答案：B解析：解：函数y=x33x?3?x，在x=0时，没有意义，排除A；f(?x)=?x33?x?3x =x33x?3?x=f(x)，函数是偶函数，排除D；x=3时，y=2727?127>1，可得函数的图象的最⼤值⼤于1，排除选项C，故选：B．利⽤函数的定义域与函数的特殊点的位置，函数的奇偶性判断选项即可．本题考查函数的图象的判断，函数的定义域，奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常⽤⽅法．9.答案：A解析：【分析】本题考查了直⾓三⾓形的边⾓关系、余弦定理，考查了推理能⼒和计算能⼒，是解三⾓形中的应⽤题，属于中档题．如图所⽰，设⽔柱CD的⾼度为?.在Rt△ACD中，由∠DAC=45°，可得AD=?，∠DAB=60°.在Rt△BCD中，∠CBD=30°，可得BD=√3??，在△ABD中，由余弦定理可得3?2=10000+?2?2×100?cos60°.代⼊即可得出．解：如图，CD为⽔柱的⾼度，设为hm，由题意，CD⊥平⾯ABD，AB=100m，∠BAD=60°，∠CAD=45°，∠CBD=30°，在△CBD中，BD=√3?m，在△CAD中，AD=?m，在△ABD中，BD=√3?m，AD=?m，AB=100m，∠BAD=60°，∴由余弦定理可得3?2=10000+?2?2×100?cos60°，∴(??50)(?+100)=0，解得?=50或?=?100(舍去)，故选：A．。

江西省2020版高一下学期开学数学试卷(I)卷

江西省2020版高一下学期开学数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知集合，则A∩B=（）A . （1，+∞）B . [1，+∞）C . （﹣∞，0]∪（1，+∞）D . [0，1]2. （2分）设，则使得为奇函数，且在上单调递减的n的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）若且，则是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角4. （2分）定义在R上的函数f(x)为奇函数，且f(x-3)为偶函数.记f(2009)=a，若f（7)>1，则一定有（）A . a<-2B . a>2C . a<-1D . a>15. （2分）(2017·吉安模拟) 已知函数f（x）= （e为自然对数的底）．若函数g（x）=f（x）﹣kx恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A . （1，e）B . （e，10]C . （1，10]D . （10，+∞）6. （2分）把函数y=（x﹣2）2+1的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得图象对应的函数解析式是（）A . y=（x﹣3）2+2B . y=（x﹣3）2C . y=（x﹣1）2+2D . y=（x﹣1）27. （2分）下列各组函数为同一函数的是（）A . f（x）=1；g（x）=B . f（x）=x﹣2；g（x）=C . f（x）=|x|；g（x）=D . f（x）= • ；g（x）=8. （2分） (2017高二下·鸡西期末) 把函数y＝sin(x＋ )图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A . x＝－B . x＝－C . x＝D . x＝9. （2分）(2018·榆林模拟) 设，则的大小关系为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·沈阳模拟) 若方程在上有两个不相等的实数解x1 ， x2 ，则x1+x2=（）A .B .C .D .11. （2分）函数是（）A . 最小正周期为的奇函数B . 最小正周期为的奇函数C . 最小正周期为的偶函数D . 最小正周期为的偶函数12. （2分）(2017·静安模拟) 已知y=g（x）与y=h（x）都是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），若y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，则正实数k的取值范围是（）A .B .C .D .二、二.填空题 (共4题；共6分)13. （2分） (2020高三上·浙江月考) 化简：（1） ________；（2）若，， ________.14. （2分） (2020高一上·宁波期末) 己知函数的最小正周期是 3.则________ 的对称中心为________.15. （1分）(2017·潮南模拟) 设（其中e为自然对数的底数），则y=f（x）的图象与直线y=0，x=e所围成图形的面积为________．16. （1分） (2020高一上·大庆期末) 已知函数满足，则f(x)的增区间为________．三、三.解答题 (共6题；共60分)17. （10分）设集合．（1）若，试判断集合与的关系；（2）若，求实数组成的集合．18. （10分）(2020·包头模拟) 在中，角的对边分别为，且.（1）求角A的大小；（2）已知外接圆半径 ,求的周长.19. （10分） (2019高三上·资阳月考) 已知函数在点处的切线与y 轴垂直.（1）若，求的单调区间；（2）若，成立，求a的取值范围20. （5分） (2015高二下·宁德期中) 某商场柜台销售某种产品，每件产品的成本为10元，并且每件产品需向该商场交a元（3≤a≤7）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（20≤x≤25）时，一天的销售量为（x﹣30）2件．（Ⅰ）求该柜台一天的利润f（x）（元）与每件产品的售价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该柜台一天的利润f（x）最大，并求出f（x）的最大值g（a）．21. （10分） (2019高一上·双鸭山期末) 已知函数（1）若函数图像关于直线对称,且，求的值；（2）在（1）的条件下，当时,求函数的值域.22. （15分）函数f（x）对任意的实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0．（1）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；（3）若y=f（ax2﹣a2x）﹣f[（a+1）（x﹣1）]在x∈（0，2）上有零点，求a的范围．参考答案一、一.选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、二.填空题 (共4题；共6分)13-1、13-2、14-1、15-1、16-1、三、三.解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

2024-2025学年江西省南昌市江西师范大学附属中学高一上学期数学素养测试卷(含答案)

2024-2025学年江西省南昌市江西师范大学附属中学高一上学期数学素养测试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A ={x|−4<x <12}，B ={x|x <−1}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x <4}B. {x|−1<x <−12}C. {x|−1<x <12}D. {x|−4<x <−1}2.已知集合M ={1,2,3}，N ={0,1,2,3,4,7}，若M ⊆A ⊆N ，则满足集合A 的个数为( )A. 4B. 6C. 7D. 83.不等式x 2−ax−b <0的解集是{x|2<x <3}，则ax 2−bx +1<0的解集是( )A. {x|2<x <3}B. {x|−1<x <−15}C. {x|−12<x <−13}D. {x|15<x <1}4.集合M ={x∣x 2=1},N ={x∣ax =1}，且M ∩N =N ，实数a 的值为( )A. 1B. 12C. 1或−1D. 0或1或−15.已知集合A =[−2,5]，B =[m +1,2m−1].若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A. (−∞,3]B. (2,3]C. ⌀D. [2,3]6.关于x 的不等式x 2−(a +2)x +2a <0的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是( )A. −1≤a <0或4<a ≤5B. −1≤a ≤0或4≤a ≤5C. −1<a ≤0或4≤a <5D. −1<a <0或4<a <57.已知x >0，y >0，且2x +y =2，若m m−1≤x +2y xy 对任意的x >0，y >0恒成立，则实数m 的值不可能为( )A. 14B. 98C. 127D. 28.设x,y,z >0，a =4x +1y ,b =4y +1z ,c =4z +1x ，则a,b,c 三个数( )A. 都小于4B. 至少有一个不大于4C. 都大于4D. 至少有一个不小于4二、多选题：本题共3小题，共18分。

2020-2021学年江西师大附中新高一入学考试数学模拟试卷及答案解析

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2020-2021学年江西师大附中新高一入学考试数学模拟试卷
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）|a |＝1，|b |＝4，且ab ＜0，则a +b 的值为（）
A ．3
B ．﹣3
C ．±3
D ．±5 2．（3分）
2x −4÷1x −2x 的计算结果为（） A ．x x+2 B ．2x x+2 C ．2x x−2 D ．2x(x+2)
3．（3分）如图所示几何体的左视图正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（3分）某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如图所示．其
中阅读时间是8﹣10小时的组频数和组频率分别是（）
A ．15和0.125
B ．15和0.25
C ．30和0.125
D ．30和0.25
5．（3分）如图所示的方格纸，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，
使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）种．
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
6．（3分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A （1，8）和B （4，2）两点，点P 是
线段AB 上一动点（不与点A 和B 重合），过P 点分别作x 轴，y 轴的垂线PC ，PD
交反。

江西师大附中2020年小升初分班考试卷及答案解析

江西师大附中分班考试卷及答案解析（2020年）一、填空（每小题4分共计44分）1、35的分数单位是（），再减去（）个这样的分数单位，所得的数是最小的合数。

82、六年级参加拔河比赛的有135人，比参加跳绳比赛人数的4倍少5人，参加跳绳比赛的有（）人。

3、3a+2b＝54,2a+3b＝56，问a＝（），b＝（）。

4、x=3.5:y，2:y=42:1，那么x=（）。

75、一根钢材长5米，把它锯成每段长50厘米的小段，需要27分钟，如果锯成每段长100厘米的小段，需要（）分钟。

6、A＝5×7×m，B＝3×5×m，如果A、B的最小公倍数是210，那么m＝（）。

7、一瓶饮料2.5元，饮料公司为了环保，规定三个空瓶可换回一瓶饮料，李明等几位同学共花了32.5元买饮料，他们最多可以吃到（）瓶饮料。

8、一个分数的分子与分母的和是62，如果分子与分母都减去25，得到的新分数约分后是1，5原来这个分数是（9、把4化成循环小数），小数点后第1990位上的数字是（）。

710、有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米，小正方形的面积是（）平方厘米。

11、有一种方圆两用桌，把正方形桌面的四边撑起，就形成了一张圆桌面，如图，已知圆桌的面积是π平方米，那么正方形面积是（）。

二、计算（每小题4分共计12分）4.2－1.38+5.8－3.620.32×0.67+3.2×0.043－0.03216.5－4X＝14.5三、解决问题（44分）1、李华参加市数学竞赛，满分是80分，李华得了72分，按这样计算如果竞赛试卷满分是120分，李华应得多少分？2、在一次登山比赛中，小明上山时每分钟走40米，18分钟到达山顶，然后按原路下山，每分钟走60米，求小明往返的平均速度。

3、修路队三天抢修一条路，第一天修了全长的40%，第二天比第一天少10米，第三天修了85米，这条路全长多少米？4、一辆客车与一辆货车同时从A、B两地相对开出，5小时相遇，相遇后两车又各自继续行驶了3小时，这时客车离B地还有180千米，货车离A地还有210千米，A、B两地相距多少千米？5、平行四边形ABCD的周长是75厘米，AE长14厘米，AF长16厘米平行四边形ABCD 的面积。

2020年江西师大附中高考数学三模试卷(理科)(有解析)

2020年江西师大附中高考数学三模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−4x+3=0}，B={y|y=−x2+2x+2,x∈R}，全集U=R，则A∩(∁U B)=()A. ⌀B. [1,3]C. {3}D. {1,3}2.若复数z=1+mi在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()1+iA. (−1,1)B. (−1,0)C. (1,+∞)D. (−∞,−1)3.在△ABC中，已知sinA=2cosB·sinC，则△ABC的形状是()A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 不确定4.不等式x2−x−2<0成立的一个充分不必要条件是a<x<a2+1，则a的取值范围为()A. −1≤a≤1B. −1≤a<1C. −1<a<1D. −1<a≤15.若a，b，c∈R，a>b且a>c，则下列不等式一定成立的是()A. b>cB. ac>bcC. a2>bcD. a>b+c26.已知点M为双曲线C：x2−y2=1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|−8|MF2|=()A. 1B. 4C. 6D. 87.某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高，2019年全年总收入与2018年全年总收入相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生相应变化，下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法错误的是()A. 该企业2019年研发的费用与原材料的费用超过当年总收入的50%B. 该企业2019年设备支出金额及原材料的费用均与2018年相当C. 该企业2019年工资支出总额比2018年多一倍D. 该企业2018年与2019年研发的总费用占这两年总收入的20%8. 一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，那么此几何体的表面积(单位：cm 2)是( )A. 102B. 128C. 144D. 1849. 函数f(x)=1+ln (x 2+2)的图象大致是( )A.B.C.D.10. 我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为√2:1，在东方文化中常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用，已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台之间高度差为100米，则下面选项中与该塔的实际高度最接近的是( )A. 400米B. 480米C. 520米D. 600米11. 已知点F 是抛物线y 2=8x 的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线AB 的斜率为A. ±2B. ±√33C. ±43D. ±3412. 若lga +lgb =0(a ≠1,b ≠1)，则函数f(x)=a x 与g(x)=b x 的图象( )A. 关于直线y =x 对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于原点对称二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若(x −4x )n 的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为______．14.已知向量b⃗ =(1,√3)，向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为1，则a⃗⋅b⃗ =________．215.正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是上底面ABCD中心，若棱长为a，则三棱锥O−AB1D1的体积为______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知一扇形的圆心角是a，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C(C>0)，当a为弧度时，该扇形有最大面积，最大面积为．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.记数列{a n}的前n项和为T n，且{a n}满足a1=1，a n=3n−1+a n−1(n≥2)．(1)求a2、a3的值，并求数列{a n}的通项公式a n；(2)证明：T n=3 a n−n．218.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA=PB，求二面角A−PC−D的余弦值．19.已知椭圆W：x2+y2=1，直线l过点(0,−2)与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点．4(Ⅰ)设C为AB的中点，当直线l的斜率为3时，求线段OC的长；2(Ⅱ)当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．20.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如下表：求成交额y(百亿元)与时间变量x(记2015年为x=1，2016年为x=2，……依次类推)的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；(2)在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A、B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p、q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X．(i)求X的分布列及E(X)；(ii)已知每个订单由k(k ≥2,k ∈N ∗)件商品W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 数量为Y ，假设p =7sin πk4k−πk 2,q =sinπk4k，求E(Y)取最大值时正整数k 的值．附：回归方程y ̂=b ̂x +a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑x i y i −nx⋅y ni=1∑x i2−nx2n i=1=i −x )(i −y )n i=1∑(x −x )2n a =y −b̂x ．21. 已知函数f(x)=ae x −sinx ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(Ⅰ)当a =1时，证明：对∀x ∈[0,+∞)，f(x)≥1； (Ⅱ)若函数f(x)在(0,π2)上存在极值，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ−4ρsinθ=12，直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =2+tsinα(t 为参数).点P 为曲线E 上的动点，点Q 为线段OP 的中点． (1)求点Q 的轨迹(曲线C)的直角坐标方程；(2)若直线l交曲线C于A，B两点，点M(−1,2)恰好为线段AB的三等分点，求直线l的普通方程．23.设函数f(x)=|x+m|+|2x+1|．(Ⅰ)当m=−1，解不等式f(x)≤3；(Ⅱ)求f(x)的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．解：集合A={x|x2−4x+3=0}={1,3}，B={y|y=−x2+2x+2,x∈R}={y|y=−(x−1)2+3}={y|y≤3}，全集U=R，∴∁U B={y|y>3}，∴A∩(∁U B)=⌀．故选：A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算，再由实部大于0且虚部小于0列式求解．解：∵z=1+mi1+i =(1+mi)(1−i)(1+i)(1−i)=1+m2+m−12i在复平面内对应的点在第四象限，∴{1+m2>0m−12<0，解得−1<m<1．∴实数m的取值范围是(−1,1)．故选：A．3.答案：B解析：直接利用两角和与差的三角函数化简表达式，求解即可．本题考查三角形的判断与应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．解：sinA=2cosB·sinC，可得：sin(B+C)=2cosB·sinC，即：sinBcosC+cosBsinC=2cosB·sinC，sin(B −C)=0，∵B ，C 是三角形的内角，可得：B =C ， ∴△ABC 为等腰三角形；故选B ．4.答案：D解析：解：由不等式x 2−x −2<0，得−1<x <2．∵不等式x 2−x −2<0成立的一个充分不必要条件是a <x <a 2+1， ∴(a,a 2+1)⫋(−1,2)，则{a <a 2+1a ≥−1a 2+1≤2且a ≥−1与a 2+1≤2的等号不同时成立，解得−1<a ≤1． ∴a 的取值范围为−1<a ≤1．故选：D ．求解一元二次不等式可得x 2−x −2<0的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解．本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题．5.答案：D解析：本题考查了不等式的基本性质，属基础题．根据同向不等式的可加性得2a >b +c ，再除以2即可得．解：∵a >b ，a >c ，∴a +a >b ++c ，即2a >b +c ，所以a >b+c 2，故选：D ．6.答案：B解析：本题考查双曲线的几何性质，由条件求得a ，b ，c ，再结合双曲线的定义求得结果．解：双曲线C ：x 2−y 28=1，可得a =1，b =2√2，c =3，点M 为双曲线C ：x 2−y 28=1的左支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则|MF 1|+|F 1F 2|−|MF 2|=−2a +2c =4．故选B．7.答案：B解析：本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的计算，属基础题．先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的计算，逐一检验即可得解．由折线图可知：不妨设2018年全年的收入为t，则2019年全年的收入为2t．对于选项A，该企业2019年研发费用为0.25×2t=0.5t，2019年原材料费用为0.3×2t=0.6t，当年总收入的50%为t，t<1.1t，故A正确；对于选项B，该企业2019年设备支出金额0.2×2t=0.4t，2019年原材料费用为0.3×2t=0.6t，该企业2018年设备支出金额0.4×t=0.4t，2018年原材料费用为0.15×t=0.15t，故B错误；对于选项C，该企业2019年工资支出为0.2×2t=0.4t，2018年工资支出为0.2×t=0.2t，故C正确；对于选项D，该企业2019年研发费用为0.25×2t=0.5t，2018年研发费用为0.1×t=0.1t，合计0.6t=3t×0.2，故D正确．故选：B．8.答案：C解析：解：由三视图知几何体为正四棱锥，且底面正方形的边长为8，斜高为5，其直观图如图：×8×5=144．∴几何体的表面积S=82+4×12故选C．9.答案：D解析：本题主要考查函数的图象，属于基础题.利用特殊点即可求解．解：因为f(0)=1+ln2>0，即函数f(x)的图象过点(0,ln2)，所以排除A、B、C，故选D．10.答案：B解析：本题考查了函数模型的应用，设第一展望台到塔底的高度为x米，则100+xx=√2，得出x，设塔的实际高度为y米，则yx+100=√2，解出即可．解：设第一展望台到塔底的高度为x米，则100+xx=√2，x=100(√2+1)；设塔的实际高度为y米，则yx+100=√2，故塔高y=(x+100)√2=200(√2+1)≈480米，即塔高约为480米．故选B．11.答案：C解析：本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成4：1的比，求直线的斜率k，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题．解：作出抛物线的准线l：x=−2，当A在第一象限，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E，∴设AF=4m，BF=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC=4m，BD=m，因此，在RT△ABE中，AE=3m，AB=5m，则BE=4m，∴tan∠BAE=BEAE =4m3m=43，即直线AB的斜率为43，同理当A在第四象限时，直线AB的斜率为−43，所以，直线AB的斜率为±43，故选C．12.答案：C解析：由条件lga+lgb=0(a≠1,b≠1)，得ab=1，即b=1a (a>0,b>0)，所以g(x)=(1a)x=a−x，易知函数f(x)=a x与g(x)=a−x的图象关于y轴对称，故正确答案为C.13.答案：96解析：解：在(x−4x)n中，令x=1可得，其展开式中各项系数和为(−3)n，结合题意可得(−3)n=81，解得n=4．∴(x−4x )n的展开式的通项公式为：T r+1=C4r x4−r(−4x)r=(−4)r⋅C4r⋅x4−2r，令4−2r=0，解得r=2．∴常数项为C42×(−4)2=96．故答案为：96．由已知可得n的值，写出二项式(x−4x)n的通项，令x的指数为0，可得r的值，则答案可求．本题考查二项展开式的通项公式的运用．解决二项展开式的特定项问题，二项展开式的通项公式是常用工具，是基础题．14.答案：1解析：本题考查向量的数量积的应用，向量的投影，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用向量的数量积公式得到向量的投影，列出方程求出a⃗ ⋅b⃗ ．解：∵b⃗ =(1,√3)，∴|b⃗ |=√12+(√3)2=2，a⃗在b⃗ 上的投影=a⃗ ⋅b⃗|b⃗|∴12=a⃗⋅b⃗|b⃗ |∴a⃗⋅b⃗ =12|b⃗ |=1．故答案为1．15.答案：16a3解析：解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，棱长为a，∴对角线AC⊥平面BDD1B1，∴三棱锥O−AB1D1的体积为V三棱锥O−AB1D1=13⋅S△OB1D1⋅AO=13⋅12B1D1⋅BB1⋅AO=13⋅12⋅√2a⋅a⋅√22a=16a3．故答案为：16a3．画出图形，容易得出三棱锥O−AB1D1的底面△OB1D1的面积，高AO的大小，从而求出三棱锥的体积．本题以正方体为载体，考查了三棱锥的体积，解题的关键是选取适当的底面与高，是基础题．16.答案：2C216解析：由题意知：C=2R+a⋅R，则a=C−2RR =CR−2，S扇=12a⋅R2=12(CR−2)⋅R2=−R2+C2R=−(R−C4)2+C216，当R=C4，即a=CC4−2=2时，该扇形有最大面积C216．17.答案：(1)解：∵{a n}满足a1=1，a n=3n−1+a n−1(n≥2)，∴a2=3+a1=4，a3=32+a2 =13．a n−a n−1=3n−1，∴a n=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(a n−a n−1)=1+3+32+⋯+3n−1=1−3n1−3=3n2−12．∴数列{a n}的通项公式a n=3n2−12．(2)证明：∵a n=3n2−12，∴T n=12[(3−1)+(32−1)+(33−1)+⋯+(3n−1)]=12[(3+32+33+⋯+3n)−n]=12[3(1−3n)1−3−n]=12[3(3n−1)2−n]=3a n−n2，∴T n=3 a n−n2．解析：(1)由已知依次令n=1和n=2，能求出a2、a3的值，再利用累加法能求出{a n}的通项公式．(2)利用分级求和法结合等比数列前n项和公式能证明T n=3 a n−n2．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的证明，是中档题，解题时要注意累加法、分组求和法和等比数列的性质的合理运用．18.答案：解：(1)证明：取AB的中点O，连接AC，CO，PO，由ABCD 是边长为2的菱形，可得AB =BC =2，又∠ABC =60°，可得△ABC 为等边三角形，即有CO ⊥AB ，OC =√3，由PA ⊥PB ，可得OP =12AB =1，而PC =2，由OP 2+OC 2=12+(√3)2=22=PC 2，可得CO ⊥OP ，而AB ∩OP =O ，可得CO ⊥平面PAB ，又OC ⊂平面ABCD ，即有平面PAB ⊥平面ABCD ； (2)由PA =PB ，可得PO ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD ，直线OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OC ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，则O(0,0，0)，A(0,−1,0)，P(0,0，1)，B(0,1，0)， C(√3,0，0)，D(√3,−2,0)，可得PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，设平面APC 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面DPC 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，由{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得{y 1+z 1=0√3x 1−z 1=0，取z 1=√3，可得n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,√3)，由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得{2y 2=0√3x 2−z 2=0，取x 2=√3，可得n 2⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，3)，由题意可得二面角A −PC −D 为锐角，记为θ，则cosθ=|cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >|=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+3√3√7⋅√12=2√77．即有二面角A −PC −D 的余弦值为2√77．解析：本题考查面面垂直的判定，注意运用判定定理和线面垂直的判定，考查二面角的余弦值的求法，注意运用空间向量法，建立坐标系，求得法向量及夹角的余弦值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)取AB 的中点O ，连接AC ，CO ，PO ，运用菱形和等边三角形的性质，以及线面垂直的判定定理，可得CO ⊥平面PAB ，再由面面垂直的判定定理即可得证；(2)由面面垂直的性质定理，可得直线OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OC ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，分别求得O ，A ，P ，B ，C ，D ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，设平面APC 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面DPC 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，运用向量垂直的条件：数量积为0，求得一个法向量，再由向量的夹角公式计算即可得到所求值．19.答案：解：(Ⅰ)当直线l 的斜率为32时，直线l 的方程为y =32x −2.…(1分)代入椭圆方程得5x 2−12x +6=0，…(2分) 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 0,y 0). 则x 1+x 2=125，…(3分)所以点C 的坐标x 0=65，y 0=32x 0−2=−15，…(4分) 所以|OC|=√(65)2+(−15)2=√375.…(5分)(Ⅱ)设直线l ：y =kx −2，由{x 24+y 2=1y =kx −2得(1+4k 2)x 2−16kx +12=0，…(6分) 所以△=(16k)2−48(1+4k 2)=16(4k 2−3)…(7分) x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2.…(8分) |AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(16k 1+4k 2)2−4×121+4k 2=4√1+k 2√4k 2−31+4k 2.…(10分)原点O 到直线l 的距离d =√1+k 2…(11分)所以△OAB 面积为12|AB|d =12×4√1+k 2√4k2−31+4k 2⋅√1+k2=4√4k 2−31+4k 2．因为△OAB 面积等于1，所以4√4k2−31+4k 2=1，…(12分)解得k =±√72，…(13分)带入判别式检验，符合题意，所以k =±√72.…(14分)解析：(Ⅰ)当直线l 的斜率为32时，直线l 的方程为y =32x −2，代入椭圆方程，求出C 的坐标，即可求线段OC 的长；(Ⅱ)设直线l ：y =kx −2，代入椭圆方程，利用△OAB 面积等于1时，求直线l 的斜率．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)由已知可得：x =1+2+3+4+55=3，y =9+12+17+21+275=17.2，∑x i 5i=1y i =1×9+2×12+3×17+4×21+5×27=303，∑x i 25i=1=12+22+32+42+52=55，所以b ̂=∑x i 5i=1y i −5x⋅y ∑x i i=1−5x2 =303−5×3×17.255−5×32=4510=4.5，所以a =y −b̂x =17.2−4.5×3=3.7，所以y ̂=b̂x +a =4.5x +3.7，当x =6时，y =4.5×6+3.7=30.7(百亿元)，所以估计2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7(百亿元)． (2)(i)由题知，X 的可能取值为：0，1，2， P(X =0)=(1−p)(1−q)， P(X =1)=(1−p)q +(1−q)p ， P(X =2)=pq ，所以X 的分布列为：E(X)=0×(1−p)(1−q)+(p +q −2pq)+2pq =p +q ． (ii)因为Y =KX ，所以E(Y)=kE(X)=k(p +q)=k(7sin πk4k−πk 2+sinπk4k)=2sin πk −πk ，令t =1k ∈(0,12]，设f(t)=2sinπt −πt ，则E(Y)=f(t)，因为f′(t)=2πcosπt −π=2π(cosπt −12)，且πt ∈(0,π2]，所以，当t ∈(0,13)时，f′(t)>0，所以f(t)在区间(0,13)上单调递增; 当t ∈(13,12)时，f′(t)<0，所以f(t)在区间(13,12)上单调递减; 所以，当t =13，即k =3时， f(t)≤f(13)=√3−π3(百亿元) 所以E(Y)取最大值时k 的值为3．解析：本题考查了回归直线方程、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望和利用导数研究闭区间上函数的最值，是较难题．(1)先得出公式计算b̂和a ，可得线性回归方程，当x =6时可得预测值； (2)(i)由题知，X 的可能取值为：0，1，2，得出对应的概率，即可得出分布列和数学期望； (ii)因为Y =KX ，所以E(Y)=kE(X)=k(p +q)=2sin πk −πk ，令t =1k ∈(0,12]，设f(t)=2sinπt −πt ，利用导数研究最值即可．21.答案：解：(Ⅰ)a =1时，f(x)=e x −sinx ，f′(x)=e x −cosx ，∵x ∈[0,+∞)，∴e x ≥1，而cosx ≤1，故f′(x)≥0，f(x)在[0,+∞)递增，故f(x)≥f(0)=1； (Ⅱ)f′(x)=ae x −cosx ，若函数f(x)在(0,π2)上存在极值，则方程a =cosx e x有解，令ℎ(x)=cosx e x ，则ℎ′(x)=−(sinx+cosx)e x<0，x ∈(0,π2)，故ℎ(x)在(0,π2)递减，而x →0时，ℎ(x)→ℎ(0)=1， x →π2时，ℎ(x)→ℎ(π2)=0，故ℎ(x)∈(0,1)，故a ∈(0,1)．解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，考查转化思想，是一道综合题．(Ⅰ)代入a 的值，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可； (Ⅱ)求出函数的导数，问题转化为方程a =cosx e x有解，令ℎ(x)=cosx e x，根据函数的单调性求出ℎ(x)的范围，从而求出a 的范围．22.答案：解：(Ⅰ)设点Q ，P 的极坐标分别为(ρ,θ)，(ρ0,θ0)，则ρ02+4ρ0cosθ0−4ρ0sinθ0=12且ρ0=2ρ，θ0=θ，所以(2ρ)2+4⋅(2ρ)cosθ−4⋅(2ρ)sinθ=12所以点Q 轨迹的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=3．故点Q 轨迹的直角坐标方程为x 2+y 2+2x −2y =3． (Ⅱ)由(Ⅰ)得曲线的直角坐标方程为(x +1)2+(y −1)2=5，将直线参数方程代入曲线的方程得(tcosα)2+(1+tsinα)2=5，即t 2+2tsinα−4=0，由题意不妨设方程两根为−t ，2t ，所以{−t +2t =−2sinα−t ×2t =−4即{t =−2sinαt 2=2，所以sin 2α=12⇒cos 2α=12，又sinα与cosα在一三象限同号，二四象限异号，所以直线的斜率k =tanα=±1，又直线过M(−1,2) 故直线的普通方程为x −y +3=0或x +y −1=0．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ)当m =−1时，不等式f(x)≤3，可化为|x −1|+|2x +1|≤3．当x ≤−12时，−x +1−2x −1≤3，∴x ≥−1，∴−1≤x ≤−12；当−12<x <1时，−x +1+2x +1≤3，∴x ≤1，∴−12<x <1；当x ≥1时，x −1+2x +1≤3，∴x ≤1，∴x =1；综上所得，−1≤x ≤1． (Ⅱ)f(x)=|x +m|+|2x +1|=|x +m|+|x +12|+|x +12|≥|(x +m)−(x +12)|+|x +12|=|m −12|+|x +12|，当且仅当(x +m)(x +12)≤0时等号成立．又因为|m −12|+|x +12|≥|m −12|，当且仅当x =−12时，等号成立．所以，当x =−12时，f(x)取得最小值|m −12|．解析：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义．(Ⅰ)当m =−1，化简不等式，通过x 的范围，取得绝对值符号，求解不等式f(x)≤3； (Ⅱ)利用绝对值的几何意义求解函数的最值即可．。

江西省南昌市江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

(2)设方程有四个不相等的实根．
①证明：；
②在是否存在实数，使得函数在区间单调，且的取值范围为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【解析】
本题考查函数的定义域和不等式的解法.
要使函数有意义，需使，解得故选D
2．C
【解析】
【分析】
根据集合的交集、并集、补集的概念，结合所给的韦恩图，选出正确的答案.
（1）试写出该种商品的日销售额与时间的分段函数表达式；
（2）求该种商品的日销售额的最大值.
21．已知二次函数的对称轴为，且 .
（1）求函数的解析式；
（2）若，试求的最小值；
（3）若在区间上，的图像恒在的图像上方，试确定实数的取值范围.
22．已知定义在区间上的函数，
(1)判定函数在的单调性,并用定义证明；
②：因为集合的元素是，集合的元素是，所以不正确；
③：因为集合的元素是，所以正确；
④：因为空集是任何集合的子集，所以正确，因此有2个关系式是正确的，故本题选C.
【点睛】
本题考查了属于关系、集合相等、子集关系的概念，属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
分别求出四个集合的元素，然后判断出子集的个数，最后选出正确答案.
绝密★启用前
江西省南昌市江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

师大附中分班考试试题详细解析

师大附中分班考试试题（一）1.修一条公路，已修和未修长度的比是1:3，再修300米，已修和未修长度比是1:2，这条公路长（）米。

解析：答案是3600米。

典型的分比问题，和不变问题，1:3=3:9，1:2=4:8，已修的增加了一份，一份300米，所以总共是12×300=3600米。

2.有三个自然数a,b,c满足a×b=20，b×c=30，a×c=24，则a+b+c=（）解析：答案是15。

简单的数论问题，b×b=20×30/24=25,所以b=5，a=4，c=6，所以a+b+c=15.3.如图，两个正方形的边长分别4厘米和8厘米，则阴影部分的面积是（）平方厘米解析：答案是24平方厘米。

解法多样：1.间接法，阴影部分面积=三角形ADC的面积+正方形BFDE的面积-三角形BCE的面积=24平方厘米。

2.等积模型的应用。

连接BD，三角形ABC的面积等于三角形ADC 的面积，所以阴影部分的面积=三角形ADC的面积-三角形ABF的面积=24平方厘米4．小红看一本故事书，第一天看了45页，第二天看了全书的1/4，第二天看的页数恰好比第一天多20%，这本书一共有（）页。

解析：答案是216页。

简单的比例问题，45×（1+20%）÷1/4=216页。

5．有两堆煤，第一堆是第二堆的4倍，当第二堆煤运走6.25吨后，第一堆煤是第二堆的6倍，求第二堆煤原有（）吨。

解析：答案是18.75吨。

设第二堆煤有x 吨，则第一堆煤有4x 吨，4x=6×（x-6.25）；x=18.75；所以第二堆煤原有18.75吨．6一件工作，甲乙合作20天完成。

甲乙合作5天后，再由甲单独做45天可以完成，问乙单独完成这件工作需（）天。

解析：需30天。

甲的工作效率是3/4÷45=1/60，乙的工作效率是1/20-1/60=1/30，所以乙单独完成这件工作需要30天。

江西省南昌市江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题(含答案解析)

江西省南昌市江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习江西省南昌市江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题（含答案解析）1 函数的定义域为（）A. [1，+∞)B. (1，+∞)C. [1，2) ∪(2，+∞)D. （1，2）∪(2，+∞)【答案解析】 D本题考查函数的定义域和不等式的解法.要使函数有意义，需使，解得故选D2 图中阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】根据集合的交集、并集、补集的概念，结合所给的韦恩图，选出正确的答案.【详解】由韦恩图可知：阴影部分所表示的集合为集合的并集与集合在全集中补集的交集，即为，故本题选C.【点睛】本题考查了集合交集、并集、补集运算的概念，考查了韦恩图的应用.3 给出下列关系式：①；②；③；④，其中正确关系式的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案解析】 C【分析】根据属于关系、集合相等、子集关系的概念逐一判断即可选出正确的答案.【详解】①:因为是无理数，表示有理数集合，所以不正确；②：因为集合的元素是，集合的元素是，所以不正确；③：因为集合的元素是，所以正确；④：因为空集是任何集合的子集，所以正确，因此有2个关系式是正确的，故本题选C.【点睛】本题考查了属于关系、集合相等、子集关系的概念，属于基础题.4 下列集合中子集个数最多的是（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】分别求出四个集合的元素，然后判断出子集的个数，最后选出正确答案.【详解】选项A:方程的解为，因为不是自然数，所以集合是空集，它的子集个数为1；选项B:因为，不符合三角形两边之和大于第三边，所以集合是空集，它的子集个数为1；选项C:因为，所以集合是空集，它的子集个数为1；选项D:因为集合的子集是：和，所以它的子集个数为2个，因此子集个数最多的集合是集合，故本题选D.【点睛】本题考查了集合子集个数问题，确定集合元素的个数是解题的关键.5 下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A. B.C. D.【分析】根据同一函数的定义逐一对四个选项中两个函数进行比较即可选出正确答案.【详解】选项A:因为函数的定义域为：，函数的定义域为全体实数，所以函数和函数不是同一函数；选项B:因为函数的值域是全体实数，函数的值域为：，所以函数和函数不是同一函数；选项C:因为函数的值域是，函数的值域为全体实数，所以函数和函数不是同一函数；选项D:因为，它与函数不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以函数和函数是同一函数，故本题选D.【点睛】本题考查了同一函数的判断方法，判断对应关系是否相同、定义域是否相同是解题的关键.6 .已知函数，且其对称轴为，则以下关系正确的是（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】根据函数的对称轴，可以判断出二次函数的单调性，进而可以比较出之间的大小关系.【详解】根据题意，函数，其对称轴为，其开口向上，在上单调递增，则有，故选B.【点睛】本题考查了二次函数的单调性，考查了二次函数的对称轴的性质.7 若,则的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7【分析】把代入函数中，利用这个等式，可以得到，再把代入中，这样可以求出的值.【详解】由题意得，【点睛】本题考查了求分段函数的函数值问题，属于基础题.8 设U＝{1，2，3，4，5} ，若A∩B＝{2}，，，则下列结论正确的是（）A. 且B. 且C. 且D. 且【答案解析】 B【分析】根据题意画出韦恩图，确定出A与B,即可作出判断.【详解】因为＝{1，2，3，4，5} ，若＝{2}，，，所以画出韦恩图：，，则且，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交、并、补集的混合运算，集合的韦恩图，属于中档题.9 若函数是R上的减函数，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】根据分段函数单调性的性质可以得到关于的不等式组，解这个不等式组即可求出的取值范围.【详解】因为函数是上的减函数，所以有，解得，故本题选A.【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键.10 定义集合的商集运算为，已知集合，，则集合元素的个数为( )A. 7B. 8C. 9D. 10【答案解析】 A【分析】根据集合的商集运算定义和并集的定义可以求出集合，最后求出集合元素的个数即可.【详解】由题意知，，，则，共有7个元素，故本题选A.【点睛】本题考查了新定义的理解与运用，考查了并集运算的定义，考查了数学阅读理解能力.11 已知,则的最值是( )A. 最大值为3，最小值－1B. 最大值为，无最小值C. 最大值为3，无最小值D. 既无最大值，又无最小值【答案解析】 B【分析】根据函数表达式画出各自图象，其实表示的是较小的值.【详解】如图，在同一坐标系中画出图象，又表示两者较小值，所以很清楚发现在A处取得最大值，所以选B.【点睛】取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合.12 已知函数，则关于函数有如下说法：①f(x)的图像关于轴对称；②方程的解只有；③任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立；④不存在三个点，,，使得△ABC为等边三角形．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案解析】 C【分析】①:分类讨论有理数和无理数的相反数的属性，结合函数的奇偶性可以判断出本说法的正确性；②：根据是有理数还是无理数进行分类讨论即可判断出本说法的正确性；③：根据是有理数还是无理数进行分类讨论即可判断出本说法的正确性；④：取特例，如，，，可以为等边三角形，可以判断出本说法的正确性.【详解】①：∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意，都有，故①正确；②：∵当为有理数时，；当为无理数时，∴当为有理数时，；当为无理数时，，即不管是有理数还是无理数，均有，故②正确；③：若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，对恒成立，故③正确；④：取，，，可得，，，∴，，恰好为等边三角形，故④不正确，最后选出正确答案.【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性，周期性的判断，考查了方程解的问题，考查了利用特例法进行判断.13 已知集合,则________．【答案解析】【分析】根据集合并集的定义结合数轴求出.【详解】因为集合,,所以.【点睛】本题考查了集合并集的定义，利用数轴是解题的关键.14 已知集合,,是从A到B的一个映射，若,则B 中的元素3的原象为________．【答案解析】 2【分析】根据映射的定义，结合，令，可以求出中的元素3的原象. 【详解】令，解得，所以中的元素3的原象是2.【点睛】本题考查了已知一个映射，根据中的元素，求原象问题；考查了映射的定义的理解.15 若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[]，则m的取值范围是【答案解析】；【分析】作出函数的图象，由图象可得函数取值在[]上的x的范围，由题函数的定义域为[0，m]，即可得解．【详解】解：函数y＝x2﹣3x﹣4的图象如图，当x时，函数有最小值，当x＝0或x＝3时函数值为﹣4，原题给出函数的定义域为[0，m]，所以，从图象中直观看出，故答案为．【点睛】本题考查了二次函数的图象，考查了函数的值域，考查了数形结合思想，准确作出函数图象是解题的关键，此题是基础题．16 如图放置的边长为2的正三角形ABC沿轴滚动，记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为和，设是的函数，记，则下列说法中：①函数的图像关于轴对称；②函数的值域是；③函数在上是增函数；④函数与在上有2020个交点.其中正确说法的序号是_______.说明：“正三角形ABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动．沿轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿轴负方向滚动．【答案解析】①④【分析】根据说明在直角坐标系内，画出点运动的轨迹.根据图象可以直接判断出说法①②的正确性；根据图象可以知道函数周期性，进而可以求出函数的增区间，从而可以判断出说法③的正确性；先考虑当，函数与的交点情况，根据函数的周期性，再求出函数与在上交点的个数，从而判断出说法④的正确性，最后选出正确答案.【详解】点运动的轨迹如图所示：则函数图像关于轴对称，故①正确；的值域为，故②不正确；其增区间为和，故③正不确；由图像可知，函数每6个单位一个循环，当，函数与有3个交点，∴当，，有个交点，有2个交点，∴当，有个交点，∴当，有个交点，故④正确．故选①④．【点睛】本题考查了画函数图象，考查了通过函数图象判断函数的性质，运用数形结合是解题的关键.17 已知全集，，（1）求但；（2）求。

江西师大附中2022年高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
9、D
【解析】由指数函数、对数函数的单调性，并与0，1比较可得答案
【详解】由指数、对数函数的性质可知：，，
所以有 .
故选：D
10、D
【解析】利用指数函数的性质即可得出选项.
【详解】指数函数的定义域为R.
当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l为：，即
由C到直线MN 距离公式：，解得：，
此时直线l的方程为
综上，所求直线l的方程为或
20、（1）
（2）
【解析】（1）利用三角函数表达出的长；（2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值.
3、C
【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的
4、A
【解析】求出函数的对称轴，得到关于m的不等式，解出即可
【详解】函数的对称轴是 ,
若函数在区间上单调递减，
则，解得：m≥0，
故选A
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键
5、B
【解析】利用对数的运算性质求出a、b、c的范围，即可得到正确答案.
解得
19、（1）；
（2）或 .
【解析】（1）设圆C的圆心为，半径为r，结合题意得，解出a、b、r的值，将其值代入圆的方程即可得答案
（2）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线l的斜率不存在时，满足题意，②当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：，由点到直线的距离公式求得k的值，即可得直线的方程，综合2种情况即可得答案