大一上微积分试题(山东大学)
高等数学——微积分2.4 山东大学版
d tan x sec2 xdx ,
d sec x sec x tan xdx,
d csc x csc x cot xdx,
a
x
a ln a ,
x
e
x
e ,
x
d e e
x
d a x a x ln adx,
x
dx ,
7
log a x 1 , x ln a 1 ln , x 1 arcsinx , 1 x2 1 arccosx , 2 1 x arctan x 1 2 , 1 x
11
(2)因为 d (si n t ) costdt,
1 可见， cos tdt d sin t d si nt ,
1
1 即 ，d si nt costdt,
1 一般地，有： d si nt C costdt, (C为 任 意 常 数 )
等式两端除以 x , 得
y o( x ) A . x x
于是, 当 x 0时, 由上式就得到 ox y lim A lim A. f x0 x 0 x x 0 x 因此, 如果函数 f ( x ) 在点 x 0 可微，则 f ( x )在点 x 0也一定可导, 且
9
2 x 1), 求 dy. 例2 y sin(
解
把2x+1看成中间变量u ，则 dy d (sinu) cos udu cos(2 x 1)d ( 2 x 1)
cos(2 x 1) 2dx 2 cos(2 x 1)dx.
在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。
大一微积分期末试卷及答案[1]
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微积分期末试卷 一、选择题（6×２）1~6 DDBDBD二、填空题1 In 1x + ;2 322y x x =-;3 2log ,(0,1),1xy R x =-; 4(0,0)5解：原式=11(1)()1mlim lim 2(1)(3)3477,6x x x x m xm x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）2、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）3、 设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~5 FFFFT四、计算题1用洛必达法则求极限2120lim x x x e →解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞-2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解：33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= 3 240lim(cos )x x x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰6arctan x xdx ⎰求五、证明题。
1、 证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。
证明：设3()1f x x x =+-2、arcsin arccos 1x 12x x π+=-≤≤证明（） 六、应用题1、 描绘下列函数的图形3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222---50lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示：2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1。
整理大学微积分题目带答案
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微积分初步模拟试题答案及评分标
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第 2 页 共 2 页 微积分初步模拟试题答案及评分标准
（供参考）
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
⒈(2,3)∪(3,+∞) ⒈0 ⒈27(1+ln3) ⒈e x 2+C ⒈4
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
⒈D ⒈C ⒈B ⒈A ⒈ C
三、（本题共44分，每小题11分）
⒈解：lim x→2x 2−3x+2
x 2+x−6=lim x→2(x−1)(x−2)(x+3)(x−2)=15 11分 ⒉解：y ′=2xe 1x +x 2e 1x (−1x 2) 9分
=e 1x (2x −1) 11分 ⒋解：∫(2x −1)10dx =12∫(2x −1)10d(2x −1)=122(2x −1)11+C 11分
⒌解：∫xe x dx =xe x |01−∫e x dx =e −e x |01=1
11分
四、应用题（本题16分）
解：设矩形的边长分别为x,y （厘米），则有2x +2y =120
又旋转成的圆柱体的体积为
V =πx 2y =πx 2(60−x)
求导得
V ′=3πx(40−x)
令V ′=0得x =40,(x =0舍去）。
V ′′=3π(40−2x)|x=40<0，说明x =40是极大值点，故当x =40,y =20厘米并以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大。
16分
整理丨尼克
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高等数学—微积分(1)01-第3章思考题详细答案
f (x) ex c2
且 f (0) 1 则 c2 0 即 f (x) ex
第三章第三讲思考题答案
设函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 f '(x) 0. 试证：存在
, (a,b),使得 f '( ) eb ea e . f '() b a
证 令g(x) ex，则g(x)与f (x)在[a,b]上满足柯西中值定理条件，故由柯西
第二步：使用罗尔定理. 由F (x)在[0,c]上连续，在(0,c)内可导，F(0)=F(c) 0， 根据罗尔定理至少存在一点 (0,c) (0,1)，使F '( ) 0, 即f '( ) 1.
第三章第二讲思考题答案
证明：已知f '(x) f (x) 则
f '(x) 1. 则 ln f (x) x c, 即 f (x)
sin 2 x2
x
1 3
第三章第五讲思考题答案
解
原式
lim
x 0
tan x x x 2 tan x
lim
x 0
tan x x3
x
lim sec2 x 1
x 0
3x 2
lim 1 cos2
x 0
3x 2
x1 cos2来自x1 3中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
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中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
第三章第七讲思考题答案
中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
3
中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
第三章第八讲思考题答案
中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
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第三章第六讲思考题答案
证 要证ab ba，只须证 b ln a a ln b 令 f (x) x ln a a ln x (x a) 因为 f (x) ln a a 1 a 0(x a)，所以f (x)在x a时单调增加 .
大一第一学期微积分寒假练习(含答案)
微积分寒假作业1、 确定常数b a ,，使0)1(lim 33=---∞→b x a x x2、 设301<<x ，),2,1()3(1 =-=+n x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限3、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<-=0)ln(01)cos 1()(22x x b x x x x a x f 在0=x 连续，则=a ，=b 。
4、求)1)(1(sin )1()(-++=x x x xx x f 的间断点，并判断其类型。
5、设513)2sin )(1ln(lim=-+→x x x x f ，求)0(,)(lim 20f x x f x →。
6、求不定积分，⎰+dx xxxx 4932 7、求不定积分，dx xx x ⎰++++2215)1ln(8、求不定积分，⎰++dx ee xx 221)1( 9、求不定积分，⎰++1222xxe edx10、求不定积分，⎰++dx x xx cos 1sin11、求不定积分，dx xxx x ex⎰-23sin cos sin cos 12、求不定积分，⎰dx e e xxarctan13、求不定积分，⎰+++6321x x x ee e dx14、求不定积分，⎰+-dx x x x x sin cos sin cos 315、已知)(x f 的一个原函数为xxcos ，求⎰'dx x f x )(。
16、求函数的导数，10()()F x f xt dt =⎰17、求函数的导数，()0()y F y f x y dx =-⎰18、2220cos sin y x t e dt tdt y =+⎰⎰，求y '19、设2022()()t x f u duy f t ⎧=⎪⎨⎪⎡⎤=⎣⎦⎩⎰，其中()f u 具有二阶导数，且()0f u ≠，求22d y dx20、设220()2()xf x a t a dt =-+-⎰，求（1）将()f x 的极大值M 用a 表示出来；（2）将（1）的M 看作a 的函数，求M 为极小值时的a 值。
山东大学 微积分作业卷及答案(上下册)
(D)若 lim f ( x) lim g ( x) 0 ,当 0 x x0 时有 f ( x) g ( x) .
x x0 x x0
2. 当 x → 1 时,函数
(A) 等于 2
x 2 1 x1 e 1 的极限为 ( D ) x 1 (B) 等于 0 (C) 为 ∞x 1 0 NhomakorabeaD
x 1 0
)
(A) f ( x)在x 1无定义 (B) lim f ( x)不存在 (C) lim f ( x)不存在 2. 当 x → 0 时 f ( x) (A)无穷小量 1 1 sin 是 ( 2 x x (B)无穷大量
C )
x x0 x x0
(D) lim f ( x)不存在
解 lim f ( x) lim sin x 0, lim f ( x) lim a x 2 a ，故当 a=0 时 lim f ( x) 存在
x 0 0 x 0 0 x 0 0 x 0 0 x 0
此时 lim f ( x) 0
x 0
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,b =
0
时 f(x)在(-∞,+ ∞)连续.
4.若 lim
sin 6 x xf ( x) 6 x sin 6 x 6 f ( x) 0, lim 36, 则 lim 3 3 x 0 x 0 x 0 x x x2
36
.
二、选择题
x 1, 0 x 1 1. f ( x) 在 x=1 处间断是因为 ( 2 x, 1 x 3
(D) 不存在但不为 ∞ ) (D) a =-1,b =-1
x2 3. 已知 lim ax b 0 ,其中 a,b 是常数,则 ( C x x 1
大一微积分练习题及答案
《微积分(1)》练习题一．单项选择题1.设()0x f '存在,则下列等式成立的有( ) A. ()()()0000limx f x x f x x f x '=∆-∆-→∆ B.()()()0000lim x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆C.()()()00002limx f h x f h x f h '=-+→ D.()()()0000212lim x f h x f h x f h '=-+→2.下列极限不存在的有( )A.201sin lim xx x → B.12lim 2+-+∞→x x x xC. xx e1lim → D.()xx xx +-∞→632213lim3.设)(x f 的一个原函数就是x e 2-,则=)(x f ( )A.x e 22--B.x e 2-C.x e 24-D. x xe 22--4.函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为( )间断点。
A.跳跃间断点;B.无穷间断点;C.可去间断点;D.振荡间断点5. 设函数()x f 在[]b a ,上有定义,在()b a ,内可导,则下列结论成立的有( ) A ． 当()()0<b f a f 时,至少存在一点()b a ,∈ξ,使()0=ξf ; B ． 对任何()b a ,∈ξ,有()()[]0lim =-→ξξf x f x ;C ． 当()()b f a f =时,至少存在一点()b a ,∈ξ,使()0='ξf ; D.至少存在一点()b a ,∈ξ,使()()()()a b f a f b f -'=-ξ; 6. 已知()x f 的导数在a x =处连续,若()1lim-=-'→ax x f ax ,则下列结论成立的有( )A.a x =就是()x f 的极小值点;B.a x =就是()x f 的极大值点;C.()()a f a ,就是曲线()x f y =的拐点;D.a x =不就是()x f 的极值点,()()a f a ,也不就是曲线()x f y =的拐点; 二．填空: 1.设⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1arcsin,f 可微,则()='x y 2.若32325-+-=x x x y ,则()=6y3.过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线,则切线方程为4.曲线()2142-+=xx y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5.设x x f +='1)(ln ,则()='x f ()=x f三．计算题:(1)321lim 221-+-→x x x x (2)32lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x(3)xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ (4)()[]221ln x y -= 求dy (5)053=-+x y exy求=x dxdy四．试确定a ,b ,使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax在0=x 处连续且可导。
微积分（上）习题200题及答案
填空题：（30题）1.()___________2则20102sin 设函数设函数2=÷÷øöççèæîíì<£+<<-=p f x xx x x f f代入函数可得答案,220££p答案：412p+2._________的定义域是24函数2--=x x y即可得到答案且由02-04-2¹³x x答案：](()¥+È-¥-,22, 3.()[]()的定义域求,1,0的定义域是设2x f x fy =[]的范围，进而得到的范围是者函数由原函数定义域知道后x x 1,02 答案：[]1,1-4.()()()[]______则1,ln 1已知=+=+=x g f x x g x x f()()[][]()1ln 11,1++=+=+=x x f x g f x x g5.()()()x f d c b a dcx bax x f 1求反函数为常数,,,设-++= ()可知反函数,--,--,0--,a cy dyb x dy b x a cy b ax dy cxy d cx bax y ===+++=答案：acx dxb --6._________1sin lim 3310=®xx x答案：07.______sinlim =+¥®xx x x答案:是有界的由于x xxx x sin 1sin lim=+¥®8.()0______1lim 0>=-®a xa x x 答案:a a a xa x x x x ln 1ln lim 1lim 00==-®® 9.()_____1lim 1=-®x x x答案：1-e10._____则,22sin sin lim 若0==®m xmx x答案：411.()()_____则在其定义域内连续若函数011sin 00sin 1设=ïïïîïïïíì>+=<=k x f x x x x k x xx x f 解：因为()在其定义域内连续函数x f ，所以1sin lim k 0==®xx x12.()()_____的间断点是412函数+++=x x x y 答案：1-=x 13._____的连续区间是321函数2--=x x y答案：()()()¥+È-È-¥-,33,11,14.__________,则,14lim设21===+++-®b a b x ax x x 解：()34lim 145lim ,5,04lim 12121=+=+++===++-®-®-®x x x x b a ax x x x x 。
大一微积分试题
大一微积分试题1. 求函数$\displaystyle f( x) = x^{2} - 2x + 1$在区间$\displaystyle [ 0,2]$上的定积分。
解析：我们首先对函数$\displaystyle f( x)$进行积分，得到$\displaystyleF( x) = \dfrac{x^{3}}{3} - x^{2} + x$.然后，我们计算上下限值$\displaystyle F( 2) = \dfrac{2^{3}}{3} -2^{2} + 2= \dfrac{8}{3} - 4+ 2= \dfrac{2}{3}$和$\displaystyle F( 0) =0^{3} - 0^{2} + 0= 0$.根据定积分的定义，我们可以计算出$\displaystyle f( x)$在$\displaystyle [ 0, 2]$上的定积分为$\displaystyle \int _{ 0}^{ 2}( x^{2} - 2x + 1) dx=\displaystyle [ \dfrac{2}{3}] ^{ 2} - \dfrac{1}{3}[ 2^{ 3} - 2x^{2} + 2] = \dfrac{2}{3} - \dfrac{8}{3} + 8- 4+ 2= \dfrac{2}{3}$。
因此，函数$\displaystyle f( x) = x^{2} - 2x + 1$在区间$\displaystyle [ 0, 2]$上的定积分为$\displaystyle \dfrac{2}{3}$。
2. 求函数$\displaystyle g( x) =\sqrt{ 1- x^{2}}$在区间$\displaystyle [ - 1, 1]$上的定积分。
解析：首先，我们将$\displaystyle g( x)$写成指数形式，得到$\displaystyle g( x) = ( 1- x^{2})^{ 0.5}$。
最新大一上微积分试题(山东大学)
数学试题热工二班温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。
祝你成功！一、填空题（共5小题，每题4分，共20分）1、 求极限22lim(1)(1)......(1)n n x x x →∞+++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1的斜渐近线方程是（ ）3、 计算I=dx e x e x x ⎰-+2241sin ππ=（ ） 4、 设y=x e x 1sin1tan ，则'y =（ ） 5、 已知()()()100210000ln 1212x y x t t t ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦⎰dt ，求()()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →⎛⎫+ ⎪⎝⎭=>≠-求20()lim x f x x →＝（ ）Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ７、函数1.01().12x x x f x e e x -≤<⎧=⎨-<≤⎩的连续区间为（ ）Ａ．[)0,1 Ｂ．[]0,2 Ｃ．[)(]0,11,2⋃ Ｄ(]1,2 ８、()f x 是连续函数，()F x 是的()f x 原函数下列叙述正确的是（ ）Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．20()x f t dt ⎰ Ｂ．20()xf t dt ⎰ Ｃ[]0()()x t f t f t --⎰dt Ｄ．[]0()()xt f t f t +-⎰dt１０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且()f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ）Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dyＣ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０三、计算，证明题（共６０分）１１、求下列极限和积分 （１）222220sin cos (1)ln(1tan )lim x x x x x x e x →--+（５分）（２）0π（５分）（３）x →∞（５分）１２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且"(0)f （二阶）存在，(0)f＝０，试证明函数'(0),0()(),0f x F x f x x x⎧=⎪=⎨≠⎪⎩是连续的，且具有一阶连续导数。
大一微积分函数习题答案
大一微积分函数习题答案大一微积分函数习题答案微积分是数学中的一门重要学科，其在各个领域都有广泛的应用。
对于大一学生来说，微积分是必修课程之一，而函数是微积分的基础。
在学习微积分函数时，习题练习是必不可少的环节。
本文将为大家提供一些大一微积分函数习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。
1. 求函数f(x) = x^2 - 3x + 2的极值点和极值。
首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。
对于f(x) = x^2 - 3x + 2，求导得到f'(x) = 2x - 3。
然后，我们需要求出f'(x) = 0时的x值，即2x - 3 = 0。
解方程得到x = 3/2。
接下来，我们将x = 3/2代入函数f(x)中，得到f(3/2) = (3/2)^2 - 3(3/2) + 2 = 1/4。
所以，函数f(x) = x^2 - 3x + 2的极值点为x = 3/2，极小值为1/4。
2. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的拐点。
首先，我们需要求出函数的二阶导数f''(x)。
对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求导得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9，再次求导得到f''(x) = 6x - 12。
然后，我们需要求出f''(x) = 0时的x值，即6x - 12 = 0。
解方程得到x = 2。
接下来，我们将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) = 2。
所以，函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的拐点为x = 2，拐点坐标为(2, 2)。
3. 求函数f(x) = e^x的反函数。
函数f(x) = e^x的反函数记作f^(-1)(x)。
为了求出反函数，我们需要将y = e^x 转化为x = f^(-1)(y)的形式。
首先，将y = e^x转化为x = ln(y)。
大一微积分练习题及答案
《微积分（1）》练习题一．单项选择题1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()()()0000limx f x x f x x f x '=∆-∆-→∆ B ．()()()0000lim x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆C ．()()()00002limx f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()0000212lim x f h x f h x f h '=-+→2．下列极限不存在的有（ ）A ．201sin lim xx x → B ．12lim 2+-+∞→x x x xC ． xx e1lim → D ．()xx xx +-∞→632213lim3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ）A ．x e 22--B ．x e 2-C ．x e 24-D ． x xe 22--4．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。
A ．跳跃间断点；B ．无穷间断点；C ．可去间断点；D ．振荡间断点5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0<b f a f 时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0=ξf ； B ． 对任何()b a ,∈ξ，有()()[]0lim =-→ξξf x f x ；C ． 当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ； 6． 已知()x f 的导数在a x =处连续，若()1lim-=-'→ax x f ax ，则下列结论成立的有（ ）A ．a x =是()x f 的极小值点；B ．a x =是()x f 的极大值点；C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点； 二．填空： 1．设⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1arcsin，f 可微，则()='x y 2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为4．曲线()2142-+=x x y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f三．计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）32lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x（3）xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy（5）053=-+x y exy求=x dxdy四．试确定a ，b ，使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax在0=x 处连续且可导。
大一微积分期末考题
大一微积分期末考题
一、概念题
1.微积分的基本概念是什么？
2.请解释函数的导数和积分的概念。
3.什么是微分和积分运算？
4.请解释微积分中的极限概念。
二、计算题
1.已知函数f(x)=3x^2+2x-5，请计算f(x)的导数和不定积分。
2.计算函数g(x)=∫(3x^2+2x-5)dx。
3.已知函数h(x)=x^3，求函数h(x)的导数和不定积分。
4.如果已知函数f(x)的导数为f’(x)=2x+3，求函数f(x)本身。
三、证明题
1.请证明对于任意实数a，导数函数的导数等于原函数的二阶导数。
2.已知函数f(x)满足f’’(x)=0，证明函数f(x)为一次函数。
3.证明函数f(x)=e^x的导数为它本身。
4.请证明函数f(x)=sin(x)的导数为f’(x)=cos(x)。
四、应用题
1.铁丝制成的矩形围墙面积为A，围墙的长和宽相差d。
请计算出长和宽的值，使得围墙面积最大。
2.已知曲线y=x^2+2x+1在x=0处的切线方程为y=2x+1，求曲线方程所在点的曲率。
3.某人出发从A地骑自行车向B地，沿直线行驶。
已知该人的速度v(t)=5t+1，t为时间。
求该人从A骑到B所需的时间。
4.一球从地面以v0的速度竖直向上抛射，忽略空气阻力。
求该球从抛出到回落的过程中，其高度最高点的坐标。
以上为大一微积分期末考题，希望各位同学在复习时能够重点关注这些考点，并根据自己的实际情况进行准备。
祝各位同学考试顺利！。
大一微积分期末试题附答案
微积分期末试卷一、选择题（6×２）cos sin 1.()2,()()22()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（ ）。
Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin21C X (1) xn e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（ ）Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ）Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1X cosn=200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X oC X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ）Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线二、填空题1d 12lim 2,,x d xax ba b →++=ｘｘ２２１１、（ ）＝ｘ+1、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。
这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3三、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）2、 0sin limx xx→-∞+∞在区间（，）是连续函数（）3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（）4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）5、 设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有四、计算题1用洛必达法则求极限212lim x x x e →2 若34()(10),''(0)f x x f =+求3 24lim(cos )xx x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰五、证明题。
大一期末考试微积分试题带答案
第一学期期末考试试卷一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1. =→xx x 1sinlim 0___0_____.2. 设1)1(lim )(2+-=∞→nx xn x f n ，则)(x f 的间断点是___x=0_____.3. 已知(1)2f =，41)1('-=f ,则12()x df x dx-== _______.4. ()ax x '=_______.5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________. A.)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ C. )100,10( D.)2,1(.2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤ϕ，使lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=，则lim ()x f x →∞______.A.存在且一定等于零B. 存在但不一定等于零C.不一定存在D. 一定存在. 3. 极限=-→xx x xe 21lim 0________.A. 2eB. 2-eC. eD.不存在.4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→xx f x f x tan )2()3(lim0________.A.0B. 1C. 2D. 5.5. 曲线221xy x =-渐近线的条数为________.A ．0B ．1C ．2D ．3.三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求20sin 1lim sin x x e x x →--. 四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求21lim (cos )x x x +→.五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）确定常数,a b , 使函数2(sec )0()0x x x x f x ax b x -⎧>=⎨+≤⎩处处可导.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）设21()arctan ln(1)2f x x x x =-+,求dy .dy=arctanxdx七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''. 八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）列表求曲线523333152y x x =-+的凹向区间及拐点.九、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()f ξξ=.2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:至少存在一点)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.第一学期期末考试参考答案与评分标准一、填空题（3×5=15）1、02、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1ax a x x a x -⋅+ 5、3x = 二、单项选择题（3×5=15）1、C2、C3、A4、B5、D三、（8×1=8）220000sin 1sin 1lim lim 2sin cos lim 62sin 1lim 822x x x x x x x x e x e x x x e x xe x →→→→----=-=+==分分分四、（8×1=8）()200ln cos 1lim1sin cos lim 112lim(cos )268x x x x x x x xx e e e+→++→→-⋅--===分分分五、（8×1=8）因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。
大一上微积分试题(山东大学)
数学试题热工二班温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。
祝你成功！一、填空题（共5小题，每题4分，共20分）1、 求极限22lim(1)(1)......(1)n n x x x →∞+++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1的斜渐近线方程是（ ）3、 计算I=dx e x e x x ⎰-+2241sin ππ=（ ） 4、 设y=xe x 1sin 1tan ，则'y =（ ） 5、 已知()()()100210000ln 1212xy x t t t ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦⎰dt ，求()()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →⎛⎫+ ⎪⎝⎭=>≠-求20()lim x f x x →＝（ ）Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ７、函数1.01().12x x x f x e e x -≤<⎧=⎨-<≤⎩的连续区间为（ ）Ａ．[)0,1 Ｂ．[]0,2 Ｃ．[)(]0,11,2⋃ Ｄ(]1,2 ８、()f x 是连续函数，()F x 是的()f x 原函数下列叙述正确的是（ ）Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．20()x f t dt ⎰ Ｂ．20()xf t dt ⎰ Ｃ[]0()()x t f t f t --⎰dt Ｄ．[]0()()xt f t f t +-⎰dt１０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且()f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ）Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dyＣ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０三、计算，证明题（共６０分）１１、求下列极限和积分 （１）222220sin cos (1)ln(1tan )lim x x x x x x e x →--+（５分）（２）0π（５分）（３）x →∞（５分）１２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且"(0)f （二阶）存在，(0)f＝０，试证明函数'(0),0()(),0f x F x f x x x⎧=⎪=⎨≠⎪⎩是连续的，且具有一阶连续导数。
山东大学高数测试题5
………………………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………………高等数学 ch5 常微分方程 测试题题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷人得分学院 专业 级 学号 姓名第 1 页 共 3 页一、选择题(每题5分，共25分)1.函数x C y sin -=(其中C 是任意常数)是方程x xysin d d 22=的(A) 通解 (B) 特解 (C) 是解，但既非通解也非特解 (D)不是解2212222|1222(A)(B)(C)(D)1111x x y xy y y xxxy y y y x x x x ='+======+-++2.微分方程满足初始条件的特解为2002221()0|1,|2(A)1(B)1(C)1(D)x x yy y y y y x y x y x y x==''''+====-=+=+=3.微分方程满足初始条件的特解是123e ,2e ,3e (A)0(B)0(C)61160(D)220x x x y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y --===''''''''''''--+=+--=''''''''''''-+-=--+=4.具有特解的三阶常系数线性微分方程是12121221122112211221,()()0()()______.(A)()()()()0(B)()()()()0(C)()()()()0(D)()()()()0y y y p x y q x y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x '''++=''''-=+≠''''+=-≠5.设是二阶常系数线性齐次方程的两个特解，则由与能构成该方程的通解，其充分条件为二、填空题(每题5分，共25分)0()(,())1()d ()____________.xx y f x x f x y f t t f x x >==⎰1.设对任意，曲线上点处的切线在轴上的截距等于，则2.2____________.xy y xy '+=微分方程的通解为 'tan cos ____________.y y x x +=3.微分方程的通解为e 1(,)____________.x y y a b ''-=+4.微分方程的一个特解应具有形式式中为常数2'2''____________y y y x xx -=5.微分方程+的通解为.三、计算、证明题(第1-4题10分，5-6题每题15分，共70分) 1. 求通解(12e )d 2()e d 0x x yyy x x y y +--=12121e 2.(e e )(,)2''2'e x x xx y C C C C x xy y xy -=+++-=证明下列函数为任意常数是方程的通解.得分 阅卷人得分 阅卷人第 2 页 共 3 页3.()'()(1)''()()0'()(1)f x f x f x f x f x f x f x =-+==-证明：若满足方程，则必满足方程，并求方程的解.()sin ()()d ().xf x x x t f t t f f x =--⎰4.设，其中为连续函数，求25.()''3'22e ,(0,1)1x y f x y y y y x x y =-+==-+设函数满足微分方程其图形在处的切线与曲线在该点处的切线重合，求函数的解析表达式.2222212d 36.()(1)()4(1)d ()3()e d 1().2e t u x t t y y f x t t t x y t y t y u t t ϕϕϕϕ-⎧=+=>-=⎨+=⎩==+=⎰设函数由参数方程所确定，且，其中具有二阶导数，曲线与在处相切，求函数。
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数学试题
热工二班
温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。
祝你成功！
一、填空题（共5小题，每题4分，共20分）
1、 求极限22lim(1)(1)......(1)n n x x x →∞
+++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1的斜渐近线方程是（ ）
3、 计算I=dx e x e x x ⎰
-+2241sin π
π=（ ） 4、 设y=x e x 1sin
1
tan ，则'y =（ ） 5、 已知()()()100210000ln 1212x y x t t t ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦
⎰dt ，求()()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →⎛⎫+ ⎪⎝⎭=>≠-求20()lim x f x x →＝（ ）
Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ
７、函数1.01().12x x x f x e e x -≤<⎧=⎨-<≤⎩的连续区间为（ ）
Ａ．[)0,1 Ｂ．[]0,2 Ｃ．[)(]0,11,2⋃ Ｄ(]1,2 ８、()f x 是连续函数，()F x 是的()f x 原函数下列叙述正确的是
（ ）
Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数
Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数
Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数
Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数
９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．2
0()x f t dt ⎰ Ｂ．20()x
f t dt ⎰ Ｃ[]0()()x t f t f t --⎰dt Ｄ．[]0()()x
t f t f t +-⎰dt
１０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且()f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ）
Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy
Ｃ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０
三、计算，证明题（共６０分）
１１、求下列极限和积分 （１）222220
sin cos (1)ln(1tan )lim x x x x x x e x →--+（５分）
（２）0π
（５分）
（３）x →∞（５分）
１２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且"(0)f （二阶）存在，(0)f
＝０，试证明函数'(0),0()(),0f x F x f x x x
⎧=⎪=⎨≠⎪⎩是连续的，且具有一阶连续导数。
（１２分）
１３、设2
2300y x t e dt =⎰⎰（0x >）求dy dx。
（１２分） １４、求曲线221x y +=与232
y x =所围成的２个图形中较小一块分别绕ｘ轴，ｙ轴旋转所产生的立体的体积。
（１２分） １５、证明11
000(1)ln ()ln ln ()()x f u f x t dt du f u du f u ++=+⎰⎰⎰.（１２分） １６、（１）解微分方程"3'23x y y y xe -++=(4分)
（２）设()f x 在[]0,1上可导，()F x 20()x t f t dt =⎰，且(1)(1)F f =。
证
明，在()0,1内至少存在一点ξ，使2()
'()f f ξξξ=-．（8分）
恭喜您！成功闯关！呵呵……
数学试题答案
6、 填空题
1、 11x - 吉米P15-51
2、
21y x =+ 吉米P103-352 3、
316π 吉米P159-516 4、
1tan 21111cos tan sec x e x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 吉米P48-166 5、 ()()10011000999!21000!(1)
y x x =-+⨯+ 二、选择题
6、 B 吉米P10-50
7、 C
8、 B 吉米P171-558
9、 D 吉米P171-557
10、 A 吉米P73-242
三、 计算和证明
11、（1）1/3 吉米P79-264
（2）4/5 吉米P143-461
（3）0（老师单元小结的时候提到的用拉格朗日中值定理，然后因为sinx 有界，即可得答案）
12、P63-215
13、28ln 22ln y x x x x
e - 吉米P150-483
14、1948
x V π= 10y V = 吉米P195-614 15 吉米P177-569
16、(1)课后习题5.3-5-（5）
（2）吉米P178-572
试题上各单元的比例安排可能不大合理，尽请谅解！祝各位同学期末考试考出好成绩，不给挂科乘虚而入的机会，呵呵……。