14达朗贝尔原理(动静法)

第14章 达朗贝尔原理（动静法）

14-1 图示由相互铰接的水平臂连成的传送带，将圆柱形零件从一高度传送到另一个高度。设零件与臂之间的摩擦系数f s = 0.2。求：（1）降落加速度a 为多大时，零件不致在水平臂上滑动；（2）比值h / d 等于多少时，零件在滑动之前先倾倒。

解：取圆柱形零件为研究对象，作受力分析，并虚加上零件的惯性力F I 。 （1）零件不滑动时，受力如图（a ），它满足以下条件：

摩擦定律 N s F f F s ≤ （1） 达朗伯原理 0=∑x F

030sin I s =︒-F F （2） 0=∑y F

030cos I N =-︒+mg F F （3）

把F I = ma 代入式（1）、（2）、（3），解得2

m/s 92.2≤a

2）零件不滑动而倾倒时，约束反力F N 已集中到左侧A 点 如图（b ），零件在惯性力作用下将向左倾倒。 倾倒条件是 0≥∑A M

即 02

30sin )30cos (2I I ≥︒+︒+-h

F F mg d （4） 以F I = ma 代入式（4），解得 a

a g d h 32-≥ 此时零件仍满足式（1），（2），（3），将其结果2

m/s 92.2≤a 代入上式

得 5≥d

h

加速度为

t l

r t r x a B x ωωωω22

22cos cos -

-==&& 取重物为研究对象，并虚加惯性力F I ，受力如图（b ）。

)2cos cos (2

22

I t l

r t r m ma F x x ωωωω+=-=

按达朗伯原理有 0 ,0I T =++-=∑F mg F F x

故金属杆受之拉力 )2cos (cos 2T t l

r

t r m mg F ωωω++=

14-3 图示矩形块质量m 1 = 100 kg ，置于平台车上。车质量为m 2 = 50 kg ，此车沿光滑的水平面运动。车和矩形块在一起由质量为m 3的物体牵引，使之作加速运动。设物块与车之间的摩擦力足够阻止相互滑动，求能够使车加速运动而m 1块不倒的质量为m 3的最大值，以及此时车的加速度大小。

解：取车与矩形块为研究对象如图（a ）。 惯性力 F I = (m 1 + m 2 ) a = 150 a 。

由动静法

a F F F F x 150 , 0,0T I T ==-=∑ 取矩形块为研究对象，欲求使车与矩形块一起

加速运动而m 1块不倒的m 3最大值，应考虑在此时矩形块受车的约束反力F N 已集中到左侧A 点，如图（b ），且矩形块惯性力F I1 = m 1a 。 由动静法，不翻倒的条件为：

021

25.01 ,011T =⋅-⋅-

⋅=∑a m g m F M A 将F T = 150 a 代入解出

2m/s 45.24

==g

a

取物块为研究对象，惯性力F I3 = m 3a ，如图（c ）。 由动静法 F T + m 3a - m 3g = 0

kg 504

4150T 3=-

⋅

=

-=g g g

a

g F m

14-5 曲柄滑道机械如图所示，已知圆轮半径为r ，对转轴的转动惯量为J ，轮上作用一不变的力偶M ，ABD 滑槽的质量为m ，不计摩擦。求圆轮的转动微分方程。

解：取C 为动点，动系固连于ABD 滑槽，C 点的绝对加速度分解为t

a a 、n

a a ，滑槽的加速度为a e ，则

ϕϕcos sin n a t a e a a a +=ϕϕϕϕ

cos sin 2

&&&r r += 其中ϕ为任意角。

取ABD 滑槽为研究对象，受力分析如图（a ）。 图中 惯性力 ϕϕϕϕ

cos sin 2

I &&&mr mr F += 由动静法： 0 ,0N I =-=∑C x F F F

解出

)cos sin (2

N ϕϕϕϕ&&&r r m F C +=

取圆轮为研究对象，受力分析如图（b ），惯性力偶矩ϕ&&J M =I ，由动静法：

M mr mr J r F M M M C O =++='--=∑ϕϕϕ

ϕϕϕsin cos )sin (0sin ,02

2

2

2

N

I &&&

14-7 图示为均质细杆弯成的圆环，半径为r ，转轴O 通过圆心垂直于环面，A 端自由，AD 段为微小缺口，设圆环以匀角速度ω绕轴O 转动，环的线密度为ρ，不计重力，求任意截面B 处对AB 段的约束反力。 解：（1）图（a ），取图示坐标，分布惯性力向外，由对称性，其合力在y 轴投影为0，即

2

cos

22πsin 2d cos 2

π2πcos d 2π2π0

2222222I I θ

ωρθωρϕϕθθ

ωρϕϕρωθθr r r r r F F x y =-⋅=--

-=⋅---==⎰⎰

（2）图（b ）

)cos 1(2

cos , 0sin 2sin )2πcos( , 0)

cos 1(2cos 2)2πsin( , 022I N n 22I I T t 32223I θρωθ

θωρθ

θθρωθ

ωρθ+===∑==-==∑+==-⋅==∑r F F F r F F F F r r r F M M x B x x B x B B

14-9 转速表的简化模型如图示。杆CD 的两端各有质量为m 的C 球和D 球，

CD 杆与转轴 AB 铰接，质量不计。当转轴AB 转动时，CD 杆的转角ϕ就发生变化。设0=ω时，0ϕϕ=，且弹簧中无力。弹簧产生的力矩M 与转角ϕ的关系为)(0ϕϕ-=k M ，k 为弹簧刚度。试求角速度ω与角ϕ之间的关系。

解：取二球及CD 杆为研究对象如图，由动静法

0cos 2,0I =⋅-=∑ϕl F M M x 其中惯性力

2I sin ωϕ⋅⋅=l m F

代换前式得 0cos sin 2)(2

0=⋅⋅⋅⋅--ϕωϕϕϕl l m k

ϕ

ϕϕω2sin )

(2

0ml k -=

14-11 所图所示，质量为1m 的物体A 下落时，带动质量为2m 的均质圆盘B 转动，不计支架和绳子的重量及轴上的摩擦，a BC =，盘B 的半径为R 。求固定端C 的约束力。 解：（1）图（a ），0=∑B M

011=-⋅+gR m R a m J B α

0211122=-+⋅Rg m Ra m R

a

R m g m m m a 1

21

22+=

0=∑x F ，0=Bx F

0=∑y F ，0112=-+-g m a m g m F By

g m m m m m F By 2

12

2

2123++=

（2）图（b ）