14达朗贝尔原理(动静法)

第14章 达朗贝尔原理（动静法）14-1 图示由相互铰接的水平臂连成的传送带，将圆柱形零件从一高度传送到另一个高度。

设零件与臂之间的摩擦系数f s = 0.2。

求：（1）降落加速度a 为多大时，零件不致在水平臂上滑动；（2）比值h / d 等于多少时，零件在滑动之前先倾倒。

解：取圆柱形零件为研究对象，作受力分析，并虚加上零件的惯性力F I 。

（1）零件不滑动时，受力如图（a ），它满足以下条件：摩擦定律 N s F f F s ≤ （1） 达朗伯原理 0=∑x F030sin I s =︒-F F （2） 0=∑y F030cos I N =-︒+mg F F （3）把F I = ma 代入式（1）、（2）、（3），解得2m/s 92.2≤a2）零件不滑动而倾倒时，约束反力F N 已集中到左侧A 点 如图（b ），零件在惯性力作用下将向左倾倒。

倾倒条件是 0≥∑A M即 0230sin )30cos (2I I ≥︒+︒+-hF F mg d （4） 以F I = ma 代入式（4），解得 aa g d h 32-≥ 此时零件仍满足式（1），（2），（3），将其结果2m/s 92.2≤a 代入上式得 5≥dh加速度为t lr t r x a B x ωωωω2222cos cos --==&& 取重物为研究对象，并虚加惯性力F I ，受力如图（b ）。

)2cos cos (222I t lr t r m ma F x x ωωωω+=-=按达朗伯原理有 0 ,0I T =++-=∑F mg F F x故金属杆受之拉力 )2cos (cos 2T t lrt r m mg F ωωω++=14-3 图示矩形块质量m 1 = 100 kg ，置于平台车上。

车质量为m 2 = 50 kg ，此车沿光滑的水平面运动。

车和矩形块在一起由质量为m 3的物体牵引，使之作加速运动。

设物块与车之间的摩擦力足够阻止相互滑动，求能够使车加速运动而m 1块不倒的质量为m 3的最大值，以及此时车的加速度大小。

解：取车与矩形块为研究对象如图（a ）。

惯性力 F I = (m 1 + m 2 ) a = 150 a 。

由动静法a F F F F x 150 , 0,0T I T ==-=∑ 取矩形块为研究对象，欲求使车与矩形块一起加速运动而m 1块不倒的m 3最大值，应考虑在此时矩形块受车的约束反力F N 已集中到左侧A 点，如图（b ），且矩形块惯性力F I1 = m 1a 。

由动静法，不翻倒的条件为：02125.01 ,011T =⋅-⋅-⋅=∑a m g m F M A 将F T = 150 a 代入解出2m/s 45.24==ga取物块为研究对象，惯性力F I3 = m 3a ，如图（c ）。

由动静法 F T + m 3a - m 3g = 0kg 5044150T 3=-⋅=-=g g gag F m14-5 曲柄滑道机械如图所示，已知圆轮半径为r ，对转轴的转动惯量为J ，轮上作用一不变的力偶M ，ABD 滑槽的质量为m ，不计摩擦。

求圆轮的转动微分方程。

解：取C 为动点，动系固连于ABD 滑槽，C 点的绝对加速度分解为ta a 、na a ，滑槽的加速度为a e ，则ϕϕcos sin n a t a e a a a +=ϕϕϕϕcos sin 2&&&r r += 其中ϕ为任意角。

取ABD 滑槽为研究对象，受力分析如图（a ）。

图中 惯性力 ϕϕϕϕcos sin 2I &&&mr mr F += 由动静法： 0 ,0N I =-=∑C x F F F解出)cos sin (2N ϕϕϕϕ&&&r r m F C +=取圆轮为研究对象，受力分析如图（b ），惯性力偶矩ϕ&&J M =I ，由动静法：M mr mr J r F M M M C O =++='--=∑ϕϕϕϕϕϕsin cos )sin (0sin ,02222NI &&&14-7 图示为均质细杆弯成的圆环，半径为r ，转轴O 通过圆心垂直于环面，A 端自由，AD 段为微小缺口，设圆环以匀角速度ω绕轴O 转动，环的线密度为ρ，不计重力，求任意截面B 处对AB 段的约束反力。

解：（1）图（a ），取图示坐标，分布惯性力向外，由对称性，其合力在y 轴投影为0，即2cos22πsin 2d cos 2π2πcos d 2π2π02222222I I θωρθωρϕϕθθωρϕϕρωθθr r r r r F F x y =-⋅=---=⋅---==⎰⎰（2）图（b ）)cos 1(2cos , 0sin 2sin )2πcos( , 0)cos 1(2cos 2)2πsin( , 022I N n 22I I T t 32223I θρωθθωρθθθρωθωρθ+===∑==-==∑+==-⋅==∑r F F F r F F F F r r r F M M x B x x B x B B14-9 转速表的简化模型如图示。

杆CD 的两端各有质量为m 的C 球和D 球，CD 杆与转轴 AB 铰接，质量不计。

当转轴AB 转动时，CD 杆的转角ϕ就发生变化。

设0=ω时，0ϕϕ=，且弹簧中无力。

弹簧产生的力矩M 与转角ϕ的关系为)(0ϕϕ-=k M ，k 为弹簧刚度。

试求角速度ω与角ϕ之间的关系。

解：取二球及CD 杆为研究对象如图，由动静法0cos 2,0I =⋅-=∑ϕl F M M x 其中惯性力2I sin ωϕ⋅⋅=l m F代换前式得 0cos sin 2)(20=⋅⋅⋅⋅--ϕωϕϕϕl l m kϕϕϕω2sin )(20ml k -=14-11 所图所示，质量为1m 的物体A 下落时，带动质量为2m 的均质圆盘B 转动，不计支架和绳子的重量及轴上的摩擦，a BC =，盘B 的半径为R 。

求固定端C 的约束力。

解：（1）图（a ），0=∑B M011=-⋅+gR m R a m J B α0211122=-+⋅Rg m Ra m RaR m g m m m a 12122+=0=∑x F ，0=Bx F0=∑y F ，0112=-+-g m a m g m F Byg m m m m m F By 21222123++=（2）图（b ）=∑xF，0=CxF=∑yF，gmmmmmFCy21222123++==∑CM，agmmmmmMC212212)3(++=14-13图示为升降重物用的叉车，B为可动圆滚（滚动支座），叉头DBC用铰链C与铅直导杆连接。

由于液压机构的作用，可使导杆在铅直方向上升或下降，因而可升降重物。

已知叉车连同铅直导杆的质量为1500 kg，质心在1G；叉头与重物的共同质量为800 kg，质心在2G。

如果叉头向上加速度使得后轮A的约束力等于零，求这时滚轮B的约束力。

解：（1）整体平衡受力图（a）=∑EM，gmgam12)(=+gga1500)(800=+ga87=（2）受力图（b），平衡=∑CM，6.0)(9.02⨯+=gamFB)(322gamFB+=8.9)187(80032⨯+⨯⨯=kN9.8N108.93=⨯=14-15图示曲柄OA质量为m1，长为r，以等角速度ω绕水平的O轴反时针方向转动。

曲柄的A端推动水平板B，使质量为m2的滑杆C沿铅直方向运动。

忽略摩擦，求当曲柄与水平方向夹角︒30时的力偶矩M及轴承O的反力。

解：取曲柄OA上A点为动点，动系固连于滑杆BC上，则有2ae2130sinωraa=︒=（1）、取滑杆BC为研究对象，受力分析如图（a）由动静法,021IN=-+=∑gmFFFy式中2/22e21IωrmamF==解出222N2ωrmgmF-=（2）、取曲柄OA为研究对象，由动静法0=∑OM，0232231N =⋅-⋅-r g m r F M[]22221)2(43ωr m g m g m r M -+=0=∑x F ，023I =+-F F Ox 式中 221I ωr m F ⋅=代入解出2143ωr m F Ox =0=∑y F ，0211I N =-⋅+-g m F F F Oy 2212142ωr m m g m g m F Oy +-+=14-17 图示均质板质量为m ，放在两个均质圆柱滚子上，滚子质量皆为2m，其半径均为r 。

如在板上作用一水平力F ，并设滚子无滑动，求板的加速度。

解：设板的加速度为a ，则滚子中心的加速度为2a 。

1）取圆柱A 为研究对象，见图（a ）之左上部，其惯性力a m a m F A 422I =⋅=惯性力偶矩ra m r a r m M A 8)2()2(212I =⋅=由动静法有02 ,0I I =⋅'-+⋅=∑r F M r F M A A A D 把F I A ，M I A 代入，解得a m F A163=' 2）取圆柱B 为研究对象，见图（a ）之右上部，同理可得a mF B163=' 3）取板为研究对象，见图（a ）之下部，惯性力F I = ma ，由动静法有 F – F I – F A – F B = 0 以上结果代入，解出mFa 118=14-19 图示磨刀砂轮I 质量m 1 = 1 kg ，其偏心距e 1 = 0.5 mm ，小砂轮Ⅱ质量m 2 = 0.5 kg ，偏心距e 2 = 1 mm 。

电机转子Ⅲ质量m 3 = 8 kg ，无偏心，带动砂轮旋转，转速n = 3000 r/min 。

求转动时轴承A 、B 的附加动反力。

解：取整个系统为研究对象，受力如图（a ）所示。

因为转速n = 常量， 所以 角加速度α= 0，惯性力偶矩M I = 0Nπ5)30π3000(1015.0N π5)30π3000(105.012232222I 2232111I =⨯⨯===⨯⨯==--ωωe m F e m F因F I1与F I2大小相等方向相反，故组成一力偶，F N A、F N B也必成一力偶，方向如图（a）所示。

由动静法0=∑M得：N74π5152.03.02I1NN=⨯===FFFBA14-20三圆盘A、B和C质量各为12 kg，共同固结在x轴上，其位置如图所示。

若A盘质心G距轴5 mm，而盘B和C的质心在轴上。

今若将两个皆为1 kg的均衡质量分别放在B 和C盘上，问应如何放置可使物系达到动平衡？解：取整个系统为研究对象，设D1、D2各为两平衡质量的质心，偏心距分别为e1及e2 mm，偏心方向与y方向的夹角分别为θ，ϕ，转轴角速度为ω，则惯性力大小分别为N100010001,N1006100051221211I22IωωωωeeFF=⋅==⨯=及N10001000122222IωωeeF=⋅=F I平行于z轴，又F I1与y轴夹角为θ，F I2与y轴夹角为ϕ。