波的叠加原理 声波与声强级 多普勒效应 波的色散 驻波

20000 超声波
一、声压
介质中有声波传播时的压力与无声波时的静压 力大小不同，这一差值称为声压，声压大小可以 用仪器测得。
无声波—— 静压力 p0 有声波—— 压力 p
声压：p ¿= p - p0
由于声波是纵波－－疏密波 稀疏区域：实际压力小于静压力，声压为负值 稠密区域：实际压力大于静压力，声压为正值
单位：瓦/米2 （W/m2）
声强与频率有关，频率越高，获 得的声强越大
三、声强级 对于给定频率,可闻声强都有上下两个限度
ν = 1000 Hz ⇒ 10−12 ~ 1 W/m2
ν = 400 Hz ⇒ 10 −10 ~ 1 W/m 2
可闻声强下限，称为听觉阈；上限称为痛觉阈。
注：可闻声强的上下限随频率而异。频率在20HZ以下和20kHZ以 上时，任何声强都不会引起听觉，无所谓上下限。
的简谐波合成后一般为复波。
y 1 = A cos (ω t − kx )
k ≡ 2π 波数 λ
y2 = A cos[(ω + dω )t − (k + dk )x]
y = y1 + y2
y
=
2 A cos ⎜⎛ ⎝
dω
t
− 2
dk
x
⎟⎞ ⎠
cos ⎢⎣⎡⎜⎝⎛ ω
+
dω
2
⎟⎞ t ⎠
−
⎜⎛ ⎝
k
+
dk 2
⎟⎞ ⎠
) + ϕ0
]
y
反射波的波函数求法
求入射波的波函数 y(x,t) = Acos[ωt − kx] O d x
求入射波在反射点的 y(d ,t) = Acos[ωt − kd ]
振动方程
求反射波在反射点的 y反 (d , t) = Acos[ωt − kd ± π ]
振动方程
有半波损失的情况
求反射波的波函数 y反 (x,t) = Acos[ωt + kx − kd ± π ]
I1 = Io ×109 = 10−12 ×109 = 10−3(W / m2 )
I
I1
=
100 10−3
=
105
相当于10万士兵
§5.8 多普勒效应
;ν s
s
ut
ν′
D
波源的频率ν s：是波源在单位时间内振动的次数，或在单
位时间内发出的“完整波” 的个数；
观察者接收到的频率 ν ′ ：是接收器在单位时间内接收到的
声音范围
频率
Hz
声阈
例：三国演义中有大将张飞喝断当阳桥的故事。设张飞 大喝一声的声强级为140dB,频率为400Hz。
（1）张飞喝声的声压幅和振幅各是多少？
（2）如果一个士兵的喝声声强级为90dB,张飞一喝相当
于多少士兵同时大喝一声？ 解（1）以 I 表示张飞喝声的声强，则 X = 10 lg I = 140
2
λ = 2l
2n +1
因为细棒中波速
u= Y
ρ0
则频率
v = u = 2n +1
λ 2l
Y / ρ0 (n = 0,1,2…)
[例] 一频率为248.5Hz的音叉放在盛水的细管口，连续调节水 面高度，当空气柱的高度相继为L1 = 0.34 m 和 L2 = 1.03 m 时发生共鸣。
求：声波在空气中的声速 u 解：发生共鸣时形成驻波，
接收到的完整的波形数目为 (u － VD )/ λ
即观察者接收到的频率：
ν
'=
u −VD
λ
=
u −VD
u /ν S
=
u
−V u
D
ν
S
ν '<νS
波源静止，观察者运动时,采用统一的公式：
ν
′
=
u
+ VD u
ν
s
靠近： D ν' > νs 远离： D ν'< νs
约定：VD是代数量，观察者靠近波源为正、远离负。 波速为正
满足相干条件的两列波相遇叠加时，产生波的干涉现象.
发生干涉时空间各点的振动强度形成一个稳定的分布
∆ϕ = ±2k π k = 0,1,2,L
干涉加强
± ( 2 k + 1 ) π k = 0 ,1, 2 ,L 干涉减弱
两个波源的相位相同时，干涉加强和减弱的条件也 可用波程差表示：
δ=
± k λ k = 0 ,1, 2 ,L
干涉加强
±( 2k + 1) λ
2
k = 0 ,1, 2 ,L 干涉减弱
驻波： 波形成条件：
振幅相同的相干波，在同一直线上沿相反方
向传播，叠加后就形成驻波
驻波的表达式： y( x, t) = 2 A cos 2π x cosωt
x = k λ , k = 0,±1,±2,...
λ
波腹的位置
驻波振幅
2 x = (2k +1) λ , k = 0, ±1, ±2, ... 波节的位置
产生：自然活动。火山爆发、陨石落地、地震等， 都伴有次声波的产生
特点：频率低、衰减弱、传输远。
3. 超声波：频率高于20000Hz的声波称为超声波。 产生：超声波一般由晶体的电磁振荡产生。 特点：频率高、波长短，具有良好的定向传播特性， 而且易聚焦，对液体和固体穿透力强。
次声波 20
可闻声波
ν (Hz)
声源
引起痛觉的声音 钻岩机或铆钉机 交通繁忙的街道
通常的谈话 耳语
树叶的沙沙声 引起听觉的最弱声音
声强W/m2
1 10-2 10-5 10-6 10-10 10-11 10-12
声强级dB
120 100 70 60 20 10
0
响度
震耳 响 正常 轻 极轻
dB
疼痛界限
声
音乐范围
强
语音范围
级
听觉界限
规定ν=1000Hz声波的可听下限为标准声强 I0 = 10−12W / m2
声强为 I 的声波的 声强级 X 定义为： X = lg I 单位
I = 10X Io
X表示声强I比声强I0
Io （B）
X =10lg I Io
单位 （dB ）
高出的数量级。
1分贝=10-1贝尔
几种声音近似的声强、声强级和响度
Io
I = Io ×1014 = 10−12 ×1014 = 100(W / m2 )
pm = 2ρuI = 2×1.29× 340×100 = 3.0×102 ( N / m2 )
A = 1 2I = 1
2×100 = 2.7 ×10−4 (m)
ω ρu 2π ×140 1.29× 340
（2）以I1表示每一士兵喝声的声强，则
小结: 垂直入射的波的反射和透射
反射波：
入射波 y1
(1) z1 > z2 (ρ1u1 > ρ2u2 )
波密 波疏
反射波 y1′
透射波 y2 x
反射波与入射波同相
(2) z1 < z2 (ρ1u1 < ρ2u2 )
介质1 o z1 = ρ 1u1
介质2
z2 = ρ 2u2
波疏 波密 反射波与入射波反相 存在半波损失
因
L1
=
n
λ
2
+
λ
4
=n 1.38 2
+
1 .3 8 4
=
0.34 m
得 n=0
L1
=
λ
4
L2
=
3λ
4
L1
L2
§5.7 声波与声强级
声波是一种机械纵波
1. 可闻声波：能引起人的听觉、频率在 20Hz ~ 20000Hz
范围内，传播于固体、液体和气体中的机械纵波。
2. 次声波：频率低于20Hz的声波为次声波（亚声波）。
内波源发出的波的各波前的切面形成一锥面，称为马赫锥， 这种以波源为顶点的锥形波称冲击波
锥面外无扰动，锥面处振幅极大 —— 产生巨大的冲击力
超音速的子弹 在空气中形成 的激波 （马赫数为2 ）
冲击波 如果波源的速度等于波
的速度，波源总在波阵面上
能量聚集区
5.9 波的色散
频率相同的简谐波合成后仍是简谐波；频率不同
2. 观察者不动，波源以速度 Vs 运动 λ′
S1 VS S2
VST
uT
A D
2-26多普勒 效6应波源 靠近.exe
波源向着观察者运动
λ′
=
λ
−
VST
=
(
u
−
VS
)1
νS
ν
′
=
u
λ′
=
u
u − VS
νs
>νs
波源远离观察者运动
λ'
=
λ
+ VsT
=
(u
+
Vs
)T1
νs
ν
'
=
u
u + Vs
νs
<νs
t
−
x u
)
P∗
=
− pm
cos[ω(t
−
x)− u
π]= 2
pm
cos[ω(t
−
x)+ u
π ]
2
可见：声压波比振动时的位移波在相位上超前π/2，即在位 移最大时，声压为零，而在位移为零时，声压达到最大。
二、声强
声强即声波的强度，就是声波的平均能流密度：
I
=
1 ρuω 2 A2
=
1
p
2 m
2
2 ρu
V ∂x
纵波波速 u =
P∗ = − K ∂ξ = − K ω A sinω( t − x )
∂x
u
u
K
P∗ = − K ∂ξ = − ρ uω A sinω ( t − x )
∂x
u
ρ
pm = ρ uω A
ρ介质静止时的密度
称为声压振幅，与振动的位移
振幅成正比
（声压的振幅）
P∗
=
−
pm
sin ω (
振动数或完整波个数；
波的频率：是介质质元在单位时间内振动的次数或单位时
间内通过介质中某点的完整波的个数， 等于u/λ。
波源和观察者相对于介质静止时，三个频率相同。
当波源与观察者有相对运动时，观察者接收到的频率与 波源的频率不同，这种现象称为多普勒效应
假定波源和观察者在同一直线上运动。 1. 波源不动，观察者相对介质以速度 VD 运动
透射波： 透射波的振动和入射波的振动恒同相。
z2 z2
z1 z1
全反射 A1′ = A1
波的叠加原理：
几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征不变继续前 进，好象没有遇到过其他波一样.
在相遇区域内，任一点的振动，为各列波单独存在时在该点 所引起的振动位移的矢量和.
波的干涉 相干条件
频率相同 振动方向相同 相位差恒定
观察者静止，波源运动时,采用统一的公式：
ν
′
=
u
λ′
=
u
u − VS
ν
s
靠近：D ν' > νs 远离：D ν'< νs
约定：VS 是代数量，波源靠近观察者为正、远离负。
3. 波源与观察者同时相对介质运动 (VS , VD )
sV;st ut
sVD D
由于观察者的运动,相对于 u t u'=（u+ VD） 相向 观察者介质中波的速率改变 u t u'=（u- VD） 相背
管口为波腹，水面为波节。
空气柱长满足条件：
L1
L2 L = n λ + λ ，n = 0, 1, 2...
24
L1
=
n
λ
2
+
λ
4
= 0.34 m
L2
=
(n
+ 1)
λ
2
+
λ
4
= 1.03 m
L2
−
L1
=
λ
2
=
0.69m
L2
−
L1
=
λ
2
=
0.69m
故
λ = 1.38 m
声速 u = λν = 1.38 × 248.5 = 343 m/s
当观察者迎着波 源运动时
ν '=
u +VD
λ
=
u +VD
u /ν S
=
u
+V u
D
ν
S
ν ' >νS
在观察者的参照系里，就相当于波以速度 u + VD 通过观
察者,单位时间接收到的完整的波形数目为 (u + VD )/ λ
当观察者远离波源运动时：
以观察者为参照系，测得波的速度为 u － VD, 单位时间
例 长为L的金属细棒中形成纵向驻波，并且让中点为波 节，棒的杨氏弹性模量为Y，密度为ρ0，求驻波的频率。
解 金属棒两端为自由端，形成波腹，而中心为波节.
假设在L/2长中有n个波节,
相邻两波节的距离为λ/2， 相邻波节与波腹的距离为λ /4。
l = n·λ + λ (n = 0,1,2…)
2 24
l = (n + 1)λ
由于波源的运动,相对于观 察者介质中波的波长改变
λt λ' =（u - Vs）T 相向 λt λ' =（u + Vs）T 相背
探测器 接收到 的频率
ν′
=
u′
λ′
=
u u
+ −
VD VS
ν
s
来自百度文库相向
ν
′
=
u′
λ′
=
u u
− VD + VS
ν
s
相背
波源静止，观察者运动时： 观察者静止，波源运动时：
ν
′
=
4、马赫锥 — 冲击波
当S 向D靠近速度
Vs > u
时
ν
′
=
u
u − VS
ν
s
失去意义！
2-30冲击
u∆t
波.exe
A* * * * * α *B sin α = u
VS
VS ∆t
马赫数
波源在A 点发出的波经过Δt时刻后，波阵面为半径 u∆t 的 球面，而此时波源已前进 vS∆t 距离到达B点。在整个∆t时间
4
驻波相位 相邻两波节间的质点的振动同相， 波节两侧质点的振动反相；
驻波的产生：入射波＋反射波
固定端反射，界面处为波节
L
自由端反射界面处为波腹
反射波的波函数的求解步骤：
波函数的求法
先求平衡位置在x0 处：y = Acos(ωt + ϕ0 )
y ( x ,t )
=
A cos[ω ( t
m
x
− x0 u
u′
λ
=
u
+ VD u
ν
s
ν′
=
u
λ′
=
u
u − VS
ν
s
观察者和波源同时运动：
ν′
=
u′
λ′
=
u u
+ VD − VS
νs
约定：VD 和VS是代数量，靠近为正、远离负。
注意：默认的前提： VS < u,VD < u
假定波源和观察者不 在同一直线上运动 时，取其分量。
vv 's
vv s
vv o
vv 'o
P + ∆P
V0+∆V
一块物质周围受到的压强改变时， 其体积也会发生改变
体应变 = ∆V
体积弹性形变公式 ∆P = −K ∆V
V
K称为体变弹性模量
V
应用于有声波传播的流体内的一个小质元，式中ΔP 就是声压P *
对于平面简谐声波 ξ ( t , x ) = A cos ω ( t − x )
u
∆V = ∂ξ