配方法”的应用

初三数学期末复习专题提优《“配方法”的应用》

配方法就是把一个代数式配成正整数次幂的形式，初中阶段用得最多的是配平方，故该专题所讨论的是使数学式子出现完全平方式的恒等变形，即2222()a ab b a b ±+=±中，左端缺少某些项时需要配上缺项，使它成为一个完全平方式.主要有两种表现形式:配中项2ab

或配一个平方项2b (或2a )，配中项时要根据22,a b 找出,a b ，决定2ab ，配平方项2b ，则

要从,2a ab 的具体表现形式分析出,a b ，添上 2b .

它的推广形式较多，如: 222a b c ab bc ca ++---=

2221()()()2a b b c c a ⎡⎤-+-+-⎣⎦ 一元二次三项式的配方:2

224()24b ac b ax bx c a x a a

-++=++. 配方后如何使用配方结果，归纳起来有如下几种常见情况:

(1)在实数范围内产生非负数。

配方是一种出现平方式的恒等变形，因而具有在实数范围内产生非负数的特殊功能，这也是配方法最为基本的应用形式.

(2)配方后使用公式22()()a b a b a b -=+-.

(3)配方后应用根与系数的关系或求对称多项式的值.

(4)配方后求函数的极值或完成对判别式的判断等.

1.关于多项式2285x x -++的说法正确的是( )

A.有最大值13

B.有最小值－3

C.有最大值37

D.有最小值1

2.已知2781,1515

P m Q m m =-=- (m 为任意实数)，则P 、Q 的大小关系为( ) A. P Q > B. P Q = C. P Q < D. 不能确定

3.若实数m 、n 满足224122100m m n n ++-+=，则函数242m n y x n +=++是( )

A.正比例函数

B.一次函数

C.反比例函数

D.二次函数

4.将263x x ++配方成2

()x m n ++的形式，则m = . 5.若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则a b +的值是 .

6.已知实数,m n 满足21m n -=，则代数式22241m n m ++-的最小值等于 .

7.已知22

46130,,x y x y x y ++-+=均为实数，求y x 的值.

8.已知22124x y x y xy +-+-=-

，求y x -.

9.因式分解:

(1) 4

4x +;

(2) 22(1)(1)4m n mn --+.

10.当,a b 为何值时，方程2222(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实根.

11.“20a ≥”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如: 22245441(2)1x x x x x ++=+++=++

222(2)0,(2)11,451x x x x +≥∴++≥++≥.

试利用“配方法”解决下列问题:

(1)已知22

4250x x y y -+++=，求x y +的值;

(2)比较代数式:21x -与23x -的大小.

12.设,,x y z 为实数，求证: 222x y z xy xz yz ++≥++.

13.阅读材料:把形如2ax bx c ++的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即222a ab b ±+

2()a b =±.例如:2(1)3x -+、2(2)2x x -+、221

3(2)24

x x -+是224x x -+的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).

请根据阅读材料解决下列问题:

(1)比照上面的例子，写出2

49x x -+三种不同形式的配方;

(2)将22a ab b ++配方(至少两种不同形式);

(3)已知2223240a b c ab b c ++---+=,求a b c ++的值.

14.已知x >0，证明: 642314x x x x +++≥ .

参考答案

1. A

2. C

3. B

4. 3

5. 11

6. 4

7.8y x =- 8.12y x -=-

9.(1)4224(22)(22)x x x x x +=+++-

(2)22(1)(1)4(1)(1)m n mn mn n m mn n m --+=++-+-+ 10.11,2

a b ==- 11.(1)1x y +=

(2)2123x x ->-

12. 222()x y z xy xz yz ++-++222111()()()0222

x y x z y z =

-+-+-≥ 13.(1)2249(2)5x x x -+=-+,

2249(3)10x x x x -+=+-, 2222549(3)39

x x x x -+=-+ (2)222

()a ab b a b ab ++=+-, 222()3a ab b a b ab ++=-+

(3)4a b c ++=

14.4220,120,120.x x x x x >∴+-≥+-≥

422(1)(1)22x x x x ∴++≥⋅

642314x x x x ∴+++≥