配方法”的应用
初中数学方法篇一：配方法
数学方法篇一：配方法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．【范例讲析】1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
例1、二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围是_________________________. 点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。
2．配方法在化简二次根式中的应用在二次根式的化简中，也经常使用配方法。
例2、化简526-的结果是___________________.点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2)(（其中⎩⎨⎧==+b xy ay x ）来化简。
3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。
例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。
点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。
4．配方法在解某些二元二次方程中的应用解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。
例4、解方程052422=+-++y x y x 。
点评：把方程052422=+-++y x y x 转化为方程组⎩⎨⎧=-=+0102y x 问题，把生疏问题转化为熟悉问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。
5．配方法在求最大值、最小值中的应用在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。
可以使我们求出所要求的最值。
例5、若x 为任意实数，则742++x x 的最小值为_______________________.点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。
配方法的应用
配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具．
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《配方法在初中数学的应用实例》
《配方法在初中数学的应用实例》关键信息项：1、配方法的定义和原理定义：＿___________________________原理：＿___________________________2、配方法在一元二次方程中的应用求解一般形式的一元二次方程：＿___________________________根的判别式与配方法的关系：＿___________________________3、配方法在二次函数中的应用确定函数的顶点坐标：＿___________________________分析函数的最值：＿___________________________4、配方法在代数式变形中的应用化简复杂代数式：＿___________________________证明等式或不等式：＿___________________________11 配方法的定义和原理111 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。
112 其原理基于完全平方公式：（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²。
通过在式子中添加适当的常数项，使得式子能够凑成完全平方式，从而便于进行计算和分析。
12 配方法在一元二次方程中的应用121 对于一般形式的一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 （a ≠ 0），我们可以通过配方法将其化为（x ＋m)²＝n 的形式，然后再进行求解。
例如：对于方程 x²＋ 6x 7 ＝ 0 ，首先将常数项移到等号右边得到x²＋ 6x ＝ 7 ，然后在等式两边加上 9 （一次项系数 6 的一半的平方），得到 x²＋ 6x ＋ 9 ＝ 7 ＋ 9 ，即（x ＋ 3)²＝ 16 ，解得 x ＝－3 ± 4 ，即 x₁＝ 1 ，x₂＝－7 。
122 根的判别式Δ ＝ b² 4ac 与配方法有着密切的关系。
配方法应用举例
配方法应用举例配方法是一种非常重要的数学方法，在解决数学问题上应用非常广泛、有效。
下面结合实例对配方法的应用做以简单说明，以期对同学们有所协助。
一、用配方法能够分解因式。
例1 将x 2+4x+3分解因式。
分析：在没有学过“十字相乘法”的情况下，采用配方法就非常方便了。
解：x 2+4x+3=（x 2+4x+4）-1=（x+2）2-1=(x+2+1)(x+2-1)=(x+3)(x+1)二、用配方法能够判定二次三项式值的正、负性。
例2 求证无论x 取何值，代数式2x 2－6x+5的值恒大于零。
分析：同学们在没有学习二次函数之前，是无法解答的。
若用配方法，这类问题就迎刃而解了。
解：这是因为2x 2－6x+5=2(x 2－3x )+5=2[(x 2－3x+49)－49]+5=2(x －23)2－29+5=2(x －23)2+21＞0。
例3 求证：无论ｙ为何值，－10y 2+5y-4的值恒小于零。
解：这是因为－10y 2+5y-4=-10（ｙ2－21ｙ）-4=-10［(ｙ2－21ｙ+161)-161)-4=-10(ｙ－41)２－827﹤０ 三、用配方法能够求出二次三项式的最大值（或最小值）。
例４ 求当x 取何值时，代数式2x-2x 2-1的值最大？最大值是多少？分析：这是一道关于二次函数极值的问题，用配方法解答此题显得更浅显易懂。
解：2x-2x 2-1=-2（x 2-x ）-1=-2[(x 2-x+41)-41]-1=-2(x-21)2-21；因为无论x 取何值 -2(x-21)2≤0,所以 -2(x-21)2-21≤-21，当x=21时，代数式2x-2x 2-1的值最大,最大值是-21。
例5 代数式4y 2+8y-7有最大值还是有最小值？解：4y 2+8y-7=4（y 2+2y ）-7=4[(y 2+2y+1)-1]-7=4(y+1)2-11；因为4(y+1)2≥0，所以4(y+1)2-11≥-11，故当y=-1时，代数式4y 2+8y-7有最小值，最小值是-11。
初中数学配方法公式
初中数学配方法公式及其应用一、常规配方法公式常规配方法是指将一个数平方根分解成两个数的平方根，即: a2 = b2 + c2其中，a、b、c 分别为不等式两侧的数值。
常规配方法的公式如下:若 a > b > c，则 a2 = b2 + c2 = (b + c)2 - 2bc若 a < b < c，则 a2 = b2 + c2 = (b - c)2 + 2bc若 a = b = c，则 a2 = b2 + c2 = 2bc二、逆配方法公式逆配方法是指将一个数开方分解成两个数的开方，即:x = √c2 + √d2其中，x 为不等式两侧的数值，c、d 分别为不等式两侧的数值。
逆配方法的公式如下:若 c > d，则 x = √(c2 + d2) = √cd + √cd = 2√cd若 c < d，则 x = √(c2 + d2) = √cd - √cd = -2√cd若 c = d，则 x = √(c2 + d2) = √cd = 0三、配方法的应用配方法在初中数学中是非常重要的一部分，可以用于解决求平方根和开方的问题。
以下是一些配方法的应用案例:1. 求解方程√x2 + √y2 = 2。
解：将方程两边同时平方，得到 x2 + y2 = 4。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
2. 求解方程 (√x + √y)2 = 4x + 4y。
解：将方程两边同时平方，得到 (x + y)2 = 16x + 16y。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
3. 求解方程 (√x - √y)2 = 4x - 4y。
解：将方程两边同时平方，得到 (x - y)2 = 16x - 16y。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
配方法是初中数学中非常重要的一个知识点，可以用于解决很多数学问题。
通过本文的介绍，我们可以了解到常规配方法和逆配方法两种公式，以及它们的应用。
配方法的概念
配方法的概念摘要：1.配方法的概念介绍2.配方法的应用场景3.配方法的优缺点4.配方法与其他方法的比较5.配方法的实践案例及启示正文：一、配方法的概念介绍配方法，顾名思义，是一种将两个或多个数值相互匹配的方法。
在实际应用中，配方法主要用于解决数据不平衡、样本不匹配等问题。
它通过一定的方式对数据进行处理，使得数据在某种程度上达到平衡，从而提高分析结果的准确性和可靠性。
二、配方法的应用场景1.数据挖掘：在数据挖掘领域，配方法常用于处理不平衡数据，以提高分类模型、回归模型等预测结果的准确性。
2.社会科学研究：在社会科学研究中，配方法可用于处理实验组与对照组之间存在明显差异的情况，从而使实验结果更具说服力。
3.医学研究：在医学研究中，配方法常用于处理病例与正常人群之间的数据不平衡问题，以评估某种治疗方案的有效性。
4.市场营销：在市场营销领域，配方法可用于对不同消费者群体进行细分，从而有针对性地开展营销活动。
三、配方法的优缺点优点：1.提高数据分析结果的准确性；2.降低模型过拟合的风险；3.有助于发现隐藏在数据中的规律。
缺点：1.对数据质量要求较高；2.处理过程较为复杂；3.可能损失部分信息。
四、配方法与其他方法的比较1.采样法：采样法是通过从总体中抽取一部分样本进行研究，而配方法则是针对已有数据进行处理。
相比之下，配方法更注重对现有数据的平衡处理，而采样法更侧重于数据的获取。
2.数据清洗：数据清洗是对原始数据进行预处理，包括删除、填充、转换等操作。
配方法与数据清洗有相似之处，但配方法更强调在不同数据之间建立关联，而数据清洗主要关注数据的整洁性。
3.特征工程：特征工程是对原始特征进行变换、提取、组合等操作，以提高模型的性能。
配方法与特征工程在目的上有一定的相似性，但配方法更关注数据间的匹配，而特征工程则关注特征的提取与构造。
五、配方法的实践案例及启示1.案例：在某个医疗研究项目中，研究者发现病例组与正常人群在年龄、性别等方面存在明显差异。
解一元二次方程时配方法的作用
解一元二次方程时配方法的作用在解一元二次方程时，配方法是一种常用的方法。
这种方法的核心思想是通过配方，将方程转化为一个完全平方的形式，从而方便求解。
配方法不仅仅是一种解题技巧，它的背后有着深厚的数学原理和广泛的应用。
首先，配方法能够将形式复杂的一元二次方程转化为更容易处理的形式。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 为常数，且 a ≠0。
通过配方，可以将方程转化为(a(x+b/2a))^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2 的形式。
这种转化使得原本复杂的一元二次方程变得更加直观和简单，方便我们进一步求解。
其次，配方法能够揭示一元二次方程根的性质。
通过配方，我们可以清晰地看到方程的根与系数之间的关系。
例如，方程的根的和等于系数的负比值，即-b/a；根的乘积等于常数项与首项系数之比，即c/a。
这些关系式对于理解一元二次方程的根的性质和分布具有重要意义。
此外，配方法在实际问题中也有广泛的应用。
例如，在物理学、工程学、经济学等领域，我们经常需要解决形如y = ax^2 + bx + c 的问题。
这些问题可以通过配方法转化为顶点形式y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k) 是函数的顶点坐标。
这种转化能够帮助我们更准确地描述问题的本质，并提供有效的解决方案。
再者，配方法还能培养学生的数学思维和解决问题的能力。
在数学教学中，配方法是一元二次方程部分的重点内容之一。
通过学习和掌握配方法，学生可以锻炼自己的逻辑思维、推理能力和计算能力。
同时，配方法还能够帮助学生理解数学的转化思想，培养他们的创新思维和实践能力。
总之，配方法在解一元二次方程中的作用是显而易见的。
它不仅是一种解题技巧，更是一种数学思维方式和解决问题的方法。
通过学习和运用配方法，我们可以更好地理解一元二次方程的本质和性质，并在实际应用中发挥其作用。
同时，配方法还能够培养学生的数学思维和解决问题的能力，为他们的未来发展奠定坚实的基础。
配方法的六种常见应用(专题)
第2讲：配方法的六种常见应用--专题一【基础知识】用配方法解一元二次方程的一般步骤是：化二次项系数为1，把方程化为的形式；把常数项移到方程右边即方程两边同时加上，整理得到 ；当时，，当时，原方程 。
类型一：配方法在证明一元二次方程中的应用求证：无论m 取何值，关于x 的方程072)54(22=-++-x x m m 都是一元二次方程。
练1. 已知关于x 的一元二次方程02)2(2=-++-m x m x ．（1）求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根之积等于1192-+m m ，求6+m 的值．类型二：配方法在解方程中的应用阅读下面材料：把方程0342=+-x x 写成034442=+-+-x x 。
则01)2(2=--x 。
因式分解，得0)12)(12(=--+-x x ，即0)3)(1(=--x x发现：-（1+3）= -4 , 1 × 3 = 3结论：方程0)(2=++-pq x q p x 可变形为0)()(=-•-q x p x20x mx n ++=2m 24m n =-204m n -≥(2m x +=204m n -<应用上面的方法，解下列方程：（1）0652=-+x x （2）01072=+-x x（3）0652=--x x （4）0432=-+x x练2. 用配方法解下列方程：（1）982=+x x （2）015122=-+x x（3）2532=-x x （4）04412=--x x类型三：配方法在求二次三项式的待定系数中的应用已知关于x 的二次三项式1)2(2+--x k x 是完全平方式，求k 的值。
练3. 已知关于x 的二次三项式x2+（k+1）x+k2-2k+1是完全平方式，求k 的值．类型四：配方法在求二次三项式的最大（小）值中的应用我们可以利用配方法求一些多项式的最值。
如：2)1(2)12(32222++=+++=++x x x x x ，当x=-1时322++x x 有最小值2； 再如：1)1(1)12(22222---=-+--=-+-x x x x x ，当x = 1时，222-+-x x 有最大值-1。
配方法及其应用归纳总结
配方法及其应用归纳总结配方法及其应用归纳总结一、配方法配方法是一种重要的数学方法，可以将一个多项式进行恒等变形，使之出现完全平方式，并化成平方的形式。
它是完全平方公式的逆用。
配方时主要用到以下两个公式：1）a²+2ab+b²=(a+b)²2）a²-2ab+b²=(a-b)²重要结论：1）x²±2x+1=(x±1)²2）a²+b²+c²-ab-bc-ca=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²二、配方法的应用配方法有着广泛的应用，常用于：1）求字母的值2）证明字母相等3）解一元二次方程4）证明代数式的值非负5）比较大小6）求函数的最值三、配方法用于求字母的值例2.已知a²+b²+4a-2b+5=0，则a=-2，b=1.说明：配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值，注意过程书写的规范。
例3.已知a²+b²+1=ab+a+b，求3a-4b的值。
解：将等式两边移项得：a²-2ab+b²+a-2a+1+b-2b+1=0.化简得：(a-b)²+(a-1)²+(b-1)²=4.由非负数的性质得：a-b=±2，a-1≥0，b-1≥2.因此，a=1，b=1，3a-4b=-1.题1.已知x2y2+x2+4xy+13=6x，则x=2，y=1.题2.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=2.题3.已知a、b、c满足a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17，求a+b+c的值为-2.四、配方法用于证明字母相等例4.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判断这个三角形的形状，并说明理由。
解：△ABC是等边三角形。
配方法及其应用归纳总结
配方法及其应用归纳总结资料编号:20190729一、配方法对一个多项式进行恒等变形,使之出现完全平方式,并化成平方的形式,叫做配方,它是完全平方公式的逆用.配方时主要用到下面两个公式:（1）()2222b a b ab a +=++; （2）()2222b a b ab a -=+-. 重要结论:（1）222112⎪⎭⎫ ⎝⎛±=+±x x x x ; （2）()()()[]22222221a c c b b a ca bc ab c b a +++++=+++++; （3）()()()[]22222221a c c b b a ca bc ab c b a -+-+-=---++. 例1.证明结论（2）.证明:[]ca bc ab c b a ca bc ab c b a 22222221222222+++++=+++++ ()()()[]22222222221a ca c c bc b b ab a ++++++++= ()()()[]22221a c c b b a +++++=. 二、配方法的应用配方法是一种很重要的数学方法,有着广泛的应用.常用于:（1）求字母的值;（2）证明字母相等;（3）解一元二次方程;（4）证明代数式的值非负;（5）比较大小;（6）求函数的最值.三、配方法用于求字母的值例2. 已知052422=+-++b a b a ,则=a _________,=b _________.解:∵052422=+-++b a b a∴()()0124422=+-+++b b a a∴()()01222=-++b a ∵()22+a ≥0,()21-b ≥0 ∴01,02=-=+b a∴1,2=-=b a .说明:配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值,注意过程书写的规范.例3. 已知b a ab b a ++=++122,求b a 43-的值.解:∵b a ab b a ++=++122∴0122=---++b a ab b a∴022222222=---++b a ab b a∴()()()0121222222=+-++-++-b b a a b ab a∴()()()011222=-+-+-b a b a ∵()2b a -≥0,()21-a ≥0,()21-b ≥0 ∴01,01,0=-=-=-b a b a∴1==b a∴14343-=-=-b a .习题1. 已知x xy x y x 6134222=+++,则=x _________,=y _________.习题2. 已知014642222=+-+-++z y x z y x ,则=++z y x _________.习题3. 已知c b a 、、满足176,12,72222-=--=-=+a c c b b a ,求c b a ++的值.四、配方法用于证明字母相等例4. 已知c b a 、、是△ABC 的三边,且满足0222=---++ca bc ab c b a ,判断这个三角形的形状,并说明理由.解:△ABC 是等边三角形.理由如下:∵0222=---++ca bc ab c b a∴022*******=---++ca bc ab c b a∴()()()022*******=+-++-++-a ca c c bc b b ab a∴()()()0222=-+-+-a c c b b a ∵()2b a -≥0,()2c b -≥0,()2a c -≥0 ∴0,0,0=-=-=-a c cb b a∴c b a ==∵c b a 、、是△ABC 的三边∴△ABC 是等边三角形.习题4. 已知()()22223c b a c b a ++=++,求证:c b a ==.五、配方法用于解一元二次方程用配方法解一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.（1）一移 把常数项移到方程的右边,注意变号;c bx ax -=+2（2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1;ac x a b x -=+2 （3）三配 即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （4）四开 直接开平方; aac b a b x 2422-±=+ （注意:当ac b 42-=∆≥0时方程有实数根） （5）五转 把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;a acb a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ （6）解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=. 说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 有实数根的条件是ac b 42-=∆≥0,求根公式为:aac b b x 242-±-=. 例5. 用配方法解方程:01422=++x x .解:1422-=+x x()22121112112212222±=+=++-=++-=+x x x x x x ∴221=+x 或221-=+x ∴221,22121--=+-=x x .习题5. 用配方法解下列方程:（1）011242=--x x ; （2）03232=-+x x .六、配方法用于证明代数式的值例6. 已知代数式752+-x x ,用配方法说明,不论x 取何值,这个代数式的值总是正数.证明:43257425425575222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+-=+-x x x x x ∵225⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ≥0 ∴043252>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ,即0752>+-x x ∴不论x 取何值,这个代数式的值总是正数.例7. 求证:代数式4281022++-+y x y x 的值总是正数.证明:()()()()1451168251042810222222+++-=+++++-=++-+y x y y x x y x y x ∵()25-x ≥0,()24+y ≥0 ∴()()014522>+++-y x ,即04281022>++-+y x y x ∴不论y x ,取何值,代数式4281022++-+y x y x 的值总是正数.习题6. 用配方法证明:不论x 取任何实数,代数式2942+-x x 的值总是正数.习题7. 求证:不论y x ,取何值,代数式25222++-+-y x y xy x 的值总是非负数. 提示:()524222212522222++-+-=++-+-y x y xy x y x y xy x .七、配方法用于比较大小 例8. 若代数式871022+-+=a b a M ,1522+++=a b a N ,则N M -的值 【 】（A ）一定是负数 （B ）一定是正数（C ）一定不是负数 （D ）一定不是正数思路:作差比较大小法:作差N M -,然后用配方法说明差的符号,从而也可以说明N M ,的大小关系.解:∵871022+-+=a b a M ,1522+++=a b a N∴1587102222----+-+=-a b a a b a N M()323341297129222+-=++-=+-=a a a a a∵()223-a ≥0 ∴()03232>+-a ,即N M N M >>-,0 ∴N M -的值一定是正数,选择【 B 】.习题8. 用配方法说明代数式1422--x x 的值总大于422--x x 的值.八、配方法用于求函数的最值对于二次函数c bx ax y ++=2()0≠a ,通过配方法可将其化为顶点式()k h x a y +-=2,然后结合a 的符号得到函数的最大值或最小值.在顶点式中,ab ac k a b h 44,22-=-=. （1）当0>a ,且ab x 2-=时,函数有最小值,最小值为a b ac y 442min -=; （2）当0<a ,且ab x 2-=时,函数有最大值,最大值为a b ac y 442max -=. 例9. 求函数x x y 92+-=的最大值.解:481294814819481481992222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+-=x x x x x x x y ∵01<-=a∴函数x x y 92+-=有最大值,最大值为481max =y . 例10. 分别在下列范围内求函数322--=x x y 的最大值与最小值.（1）20<<x ; （2）2≤x ≤3.解:()()4141232222--=-+-=--=x x x x x y （1）∵20<<x∴当1=x 时,函数322--=x x y 有最小值,最小值为4min -=y ,无最大值;（2）∵()412--=x y ∴当x ≥1时,y 随x 的增大而增大∵2≤x ≤3∴当2=x 时,y 有最小值,最小值为()34122min -=--=y ; 当3=x 时,y 有最大值,最大值为()04132max =--=y . 习题9. 函数x x y 23212-=的最小值为_________. 习题10. 函数x x y 322--=的最大值为_________.。
配方法的四种常见应用(沪科版)(原卷版)
配方法的四种常见应用考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对配方法的四种常见应用的理解！【类型1 利用配方法确定未知数的取值】1．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）对于多项式x2+2x+4，由于x2+2x+4=(x+1)2+3≥3，所以x2+2x+4有最小值3．已知关于x的多项式−x2+6x−m的最大值为10，则m的值为（）A．1B．−1C．−10D．−192．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程(x+3)2=2c，则c的值为（）A．−3B．0C．1D．33．（2023春·浙江杭州·八年级期末）若−2x2+4x−7=−2(x+m)2+n，则m，n的值为（）A．m=1,n=−5B．m=−1,n=−5C．m=1,n=9D．m=−1,n=−94．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）已知关于x的多项式−x2+mx+4的最大值为5，则m的值可能为（）A．1B．2C．4D．55．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0通过配方可以化成(x+a)2＝b(b＞0)的形式，则k的值可能是()A．0B．2C．3D．926．（2023春·天津和平·八年级校考期中）若方程4x2−(m−2)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为（）A．−2B．−2或6C．−2或−6D．2或−67．（2023春·河北保定·八年级统考期末）将一元二次方程x2−8x+5=0配方成(x+a)2=b的形式，则a+b 的值为．8．（2023春·山东威海·八年级统考期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为．9．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）关于x的二次三项式x2+4x+9进行配方得x2+4x+9=(x+m)2+n（1）则m= ，n= ；（2）求x为何值时，此二次三项式的值为7 ?10．（2023春·广西贺州·八年级统考期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的x2+2x−3最小值．x2+2x−3=x2+2x⋅1+12−12−3=(x+1)2−4∵(x+1)2≥0∴当x=－1时，x2+2x−3有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+2√3x+5=x2+2×√3x+(√3)2+2=(x+a)2+b，则a＝__________，b＝__________；(2)若代数式x2−2kx+7的最小值为3，求k的值．【类型2 利用配方法构造“非负数之和”解决问题】1．（2023春·八年级课时练习）已知a，b，c满足a2+6b=7，b2−2c=−1，c2−2a=−17，则a−b+c的值为（）A．−1B．5C．6D．−72．（2023·全国·八年级专题练习）已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，整数a的值是．3．（2023春·江苏·八年级期末）若a，b满足2a2+b2+2ab−4a+4=0，则a+3b的值为．4．（2023春·八年级课时练习）根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2﹣2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求xy的值；(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2＋b2﹣10a﹣12b＋61＝0，求△ABC的最大边c的值；(3)已知a﹣b＝8，ab＋c2﹣16c＋80＝0，求a＋b＋c的值．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知a+b−2√a−1−4√b−2=3√c−3−1c−5，求a+b+c的2值．6．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）（1）若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．解：因为m2−2mn+2n2−8n+16=0，所以(m2−2mn+n2)+(n2−8n+16)=0由此，可求出m=______；n=______；根据上面的观察，探究下面问题：（2）x2+4xy+5y2+2−2√2y=0，求2x+y的值；7．（2023春·全国·八年级专题练习）已知a、b是等腰△ABC的两边长，且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求a、b 的值．8．（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零．例如：①（a﹣1）2+（b+5）2=0，我们可以得：（a﹣1）2=0，（b+5）2=0，∴a=1，b=-5．②若m2-4m+n2+6n+13=0，求m、n的值．解：∵m2-4m+n2+6n+13=0，∴（m2﹣4m+4)+(n2+6n+9)=0(我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式）∴(m﹣2)2+(n+3)2=0，∴(m﹣2)2=0，(n+3)2=0，∴n=2，m=-3．根据你的观察，探究下面的问题：（1）a2﹣4a+4+b2=0，则a=．b=．（2）已知x2+2xy+2y2－6y+9=0,求x y的值．（3）已知a、b（a≠b）是等腰三角形的边长，且满足2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，求三角形的周长．9．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读与思考的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：x2+4x−5=x2+4x+22−22−5=(x+2)2−9=(x+2+3)(x+2−3)=(x+5)(x−1)（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解①x2+3x−4；②x2−8x−9（2）深入研究：说明多项式x2−6x+12的值总是一个正数?（3）拓展运用：已知a、b、c分别是△ABC的三边，且a2−2ab+2b2−2bc+c2=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．10．（2023春·内蒙古赤峰·八年级统考期末）阅读材料：若x2−2xy+2y2−8y+16=0，求x，y的值．解：∵x2−2xy+2y2−8y+16=0∴(x2−2xy+y2)+(y2−8y+16)=0∴(x−y)2+(y−4)2=0∴(x−y)2=0，(y−4)2=0∴y=4,x=4根据上述材料，解答下列问题：（1）m2−2mn+2n2−2n+1=0，求2m+n的值；（2）a−b=6，ab+c2−4c+13=0，求a+b+c的值．11．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）设b为正整数，a为实数，记M=a2−4ab+5b2+2a−2b+11，4在a，b变动的情况下，求M可能取得的最小整数值，并求出M取得最小整数值时a，b的值．12．（2013·四川达州·中考真题）选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2−4x+2=(x−2)2−2；②选取二次项和常数项配方：x2−4x+2=(x−√2)2+(2√2−4)x，或x2−4x+2=(x+√2)2−(4+2√2)x③选取一次项和常数项配方：x2−4x+2=(√2x−√2)2−x2根据上述材料，解决下面问题：（1）写出x2−8x+4的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2+xy−3y+3=0，求x y的值．13．（2023春·广东揭阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，解：原式=a2+6a+8+1−1=a2+6a+9−1=(a+2)(a+4)②M=a2−2ab+2b2−2b+2，利用配方法求M的最小值，解：a2−2ab+2b2−2b+2=a2−2ab+b2+b2−2b+1+1=(a−b)2+(b−1)2+1∵(a−b)2≥0，(b−1)2≥0∴当a=b=1时，M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2−2x+______．3(2)用配方法因式分解：x2−4xy+3y2．(3)若M=x2+8x−4，求M的最小值．(4)已知x2+2y2+z2−2xy−2y−4z+5=0，则x+y+z的值为______．【类型3 利用配方法求最值】1．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）代数式x2−4x+5的最小值为（）A．−1B．0C．1D．22．（2023春·山东威海·八年级统考期中）已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是（）A．B−A的最大值是0B．B−A的最小值是−1C．当B=2A时，x为正数D．当B=2A时，x为负数3．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）平面直角坐标系xOy中，P点坐标为(m,2n2−10)，且实数m，n 满足2m−3n2+9=0，则点P到原点O的距离的最小值为（）A．35√10B．125C．65√3D．45√54．（2023春·浙江·八年级期末）新定义，若关于x的一元二次方程：a1(x−m)2+n=0与a2(x−m)2+n=0，称为“同族二次方程”．如2(x−3)2+4=0与3(x−3)2+4=0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：2(x−1)2+1=0与(a+2)x2+(b−4)x+8=0是“同族二次方程”．那么代数式ax2+bx+2018能取的最小值是（）A．2011B．2013C．2018D．20235．（2023春·福建福州·八年级福建省罗源第一中学校考期中）已知实数m、n满足m−n2=8，则代数式m2−3n2+m−14的最小值是．6．（2023春·广东韶关·八年级校考期末）阅读下面的解答过程：求y2+4y+8的最小值解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4=(y+2)2≥0，即(y+2)2的最小值为0，∴(y+2)2+4的最小值为4．即y2+4y+8的最小值是4．根据上面的解答过程，回答下列问题：(1)式子x2+2x+2有最______值（填“大”或“小”），此最值为______（填具体数值）．(2)求12x2+x的最小值．(3)求−x2+2x+4的最大值．7．（2023春·四川达州·八年级统考期末）根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，a2≥0都成立，据此请回答下列问题．应用：代数式m2−1有值(填“最大”或“最小”)这个值是．探究：求代数式n2+4n+5的最小值，小明是这样做的：请你按照小明的方法，求代数式4x2+12x−1的最小值，并求此时x的值，拓展：求多项式x2−4xy+5y2−12y+15的最小值及此时x，y的值8．（2023春·广东惠州·八年级期末）阅读理解：求代数式x2+6x+10的最小值.解：因为x2+6x+10=(x2+6x+9)+1=(x+3)2+1，所以当x=−3时，代数式x2+6x+10有最小值，最小值是1.仿照应用求值：(1)求代数式x2+2x+10的最小值；(2)求代数式−m2+8m+3的最大值.9．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数y=x+1x时，提出了如下问题：（1）初步思考：自变量x的取值范围是_______________（2）探索发现：当x>0时，y>0；当x<0时，y<0．由此我们可猜想，该函数图像在第_________象限；（3）深入思考：当x>0时，y=x+1x =(√x)2+(1√x)2=(√x−1√x)2+2≥2，于是，当√x−1√x=0时，即x=1时，y的最小值是2．请仿照上述过程，求当x<0时，y的最大值；【实际应用】（4）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．【类型4 利用配方法比较大小】1．（2023·全国·八年级假期作业）若代数式M=10a2+b2−7a+8,N=a2+b2+5a+1，请比较M、N的大小．2．（2023春·浙江杭州·八年级期末）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣3）．2（1）当x＝﹣1时，求M﹣N的值；（2）当1＜x＜2时，试比较M，N的大小．3．（2023·江苏·八年级假期作业）【项目学习】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8=a2+6a+32−32+8=(a+3)2−1因为(a+3)2≥0，所以a2+6a+≥−1，因此，当a=−3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是−1．【问题解决】利用配方法解决下列问题：(1)当x=___________时，代数式x2−2x−1有最小值，最小值为___________．(2)当x取何值时，代数式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？【拓展提高】(3)当x，y何值时，代数式5x2−4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值为多少？(4)如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2，试比较S1与S2的大小，并说明理由．4．（2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）问题：对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式．但对于二次三项式x2+2xa−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa−3a2=(a2+2ax+a2)−a2−3a2=(x+a)2−4a2=(x+a)2−(2a)2=(x+3a)(x−a)像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法"，解决下列问题：(1)分解因式：a2−6a+8.(2)比较代数式x2−1与2x−3的大小.5．（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求y的值；（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．6．（2023春·江苏苏州·八年级校联考期中）先阅读后解题：若m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．解：等式可变形为：m2+2m+1+n2−6n+9=0即(m+1)2+(n−3)2=0因为(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，所以m+1=0，n−3=0即m=−1，n=3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：（1）已知x2+y2+4x−10y+29=0，求y x的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2−4a−6b+11=0，则△ABC的周长是________；（3）在实数范围内，请比较多项式2x2+2x−3与x2+3x−4的大小，并说明理由．7．（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）阅读下列材料利用完全平方公式，将多项式x2＋bx＋c变形为（x＋m）2＋n的形式．例如：x2﹣8x＋17＝x2﹣2•x•4＋42﹣42＋17＝（x﹣4）2＋1（1）填空：将多项式x2﹣2x＋3变形为（x＋m）2＋n的形式，并判断x2﹣2x＋3与0的大小关系．∵x2﹣2x＋3＝（x﹣）2＋．∴x2﹣2x＋30（填“＞”、“＜”、“＝”）（2）如图①所示的长方形边长分别是2a＋5、3a＋2，求长方形的面积S1（用含a的式子表示）；如图②所示的长方形边长分别是5a、a＋5，求长方形的面积S2（用含a的式子表示）（3）比较（2）中S1与S2的大小，并说明理由．8．（2023春·广东肇庆·八年级德庆县德城中学校考期中）材料阅读结论：①形如(a±b)2+c的式子，当a±b=0有最小值，最小值是c；②形如−(a±b)2+c的式子，当a±b=0有最大值，最大值是c；③а2+b2≥2ab．这三个结论有着广泛的运用．比如：求x取何值时，代数式x2−4x+3有最小值，最小值是多少？小明同学用结论①求出了答案，他是这样解答的：∵x2−4x+3=x2−4x+(4−4)+3=(x2−4x+4)−4+3=(x−2)2−1∴当x−2=0，即x=2时x2−4x+3的值最小，最小值为−1．理解运用请恰当地选用上面的结论解答下面的问题(1)求x取何值时，代数式−x2−6x+5有最大值，最大值是多少？(2)某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案：方案一：第一次提价p%，第二次提价q%：%．方案二：第一次，第二次提价均为p+q2其中p，q是不相等的正数，请比较两种方案，哪种方案提价较多？。
考点03 配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类-解析版 2023-2024学年九年级数学考
考点03 配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类1，配方法的应用的方法技巧（1）比较大小：配方法不但可以解一元二次方程，而且能求代数式的最值，还能用于比较代数式的大小.用配方法比较代数式的大小，主要是用作差法将代数式作差后得到的新代数式配方，根据新代数式与0的关系确定代数式的大小（2）求最值：用配方法求代数式的最值是将代数式配方为完全平方式与常数的和的形式，根据完全平方式的非负性确定代数式的最值；（3）未知系数的取值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（4）用配方法构造“非负数之和”解决问题：通过配完全平方式，利用“非负性”解决问题。
2，根的判别式的应用的方法【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.（2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。
（3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。
（4）与一次函数结合：通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可。
3，根与系数的关系方法根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba ，x1x2=ca．考点1比较大小考点2求最值考点3未知系数的取值考点4用配方法构造“非负数之和”解决问题考点5判断根的情况考点6求字母的值或取值范围考点7与三角形结合考点8与一次函数结合考点9 根与系数的关系求变形式子考点1 利用配方法比较大小【详解】（1）224622x x x -+=-+（），所以当2x =时，代数式246x x -+有最小值，这个最值为2，故答案为：2-；2；2；小；2；（2）2123x x ---（）222x x =-+2110x =-+（）＞则2123x x --＞．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用．2．（2022秋·七年级单元测试）我们知道20a ≥，所以代数式2a 的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用()2222a ab b a b ±+=±来求一些多项式的最小值．例如，求263x x ++的最小值问题．解：∵()2226369636x x x x x ++=++-=+-，又∵()230x +≥，∴()2366x +-≥-，∴263x x ++的最小值为6-．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：()2245____________x x x -+=+；(2)求224x x +的最小值．(3)比较代数式：21x -与23x -的大小．【答案】(1)2-，1(2)2-(3)21>23x x --【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．（2）先配方，再求最值．（3）作差后配方比较大小即可．【详解】（1）解：22245441(2)1x x x x x -+=-++=-+．（2）222242(211)2(1)2x x x x x +=++-=+-，故答案为：2,2-（2）解：221612611x x x x --+=-+2692x x =-++()232x =-+()30,x -³Q()23220,x \-+³>21612.x x \->-（3）解：()222323x x x x -++=--+()22113x x =--+-+()214x =--+ ()210,x --£Q ()2144,x \--+£ ∴223x x -++的最大值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握“配方法的步骤与非负数的性质”是解本题的关键．考点2利用配方法求最值【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；（2）先配方，再求最值；（3）作差后配方比较大小．【详解】（1）解：()2224644222x x x x x +=-++=-+-故当20x -=，即2x =时，代数式246x x -+最小值为2；（2）∵224250x x y y -+++=，则2244210x x y y -++++=，∴()()22210x y -++=，即20x -=，10y +=，∴2x =，1y =-，∴211x y +=-=；（3）()()2221232211x x x x x ---=-+=-+，∵()210x -≥，∴()2110x -+>，∴2123x x ->-．【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： ²43a a ++．解：原式：²441(2)²1(21)(21)(3)(1)a a a a a a a =++-=+-=+++-=++②2246M a a =-+， 利用配方法求M 的最小值．解：2²462(²21)622(1)²4M a a a a a =-+=-++-=-+222(1)02(1)44a a -≥∴-+≥，，∴当1a =时，M 有最小值4．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法因式分解²412x x --；(2)若 2441M x x =+-， 求M 的最小值．【答案】(1)(6)(2)x x -+考点3 利用配方法未知系数的取值∴2a =，1b =，∴1a b -=，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法—配方法，熟练一元二次方程的解法是解题的关键．10．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程2610x x --=，若配方后结果为2()x m n -=，则n 的值为（ ）A ．10-B ．10C ．3-D ．9【答案】B【分析】利用配方法将方程2610x x --=配成2()x m n -=，然后求出n 的值即可．【详解】∵2610x x --=，∴261x x -=，∴26919x x -+=+，即2(3)10x -=， 10n ∴=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．11．（2023秋·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n -的值为（ ）A ．6-B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】由2630x x ++=，配方可得()236x +=，进而可得m n ，的值，然后代入m n -，计算求解即可．【详解】解：∵2630x x ++=，∴2696x x ++=，∴()236x +=，∴3m =，6n =，∴3m n -=-，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出m n ，的值．考点4 用配方法构造“非负数之和”解决问题∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a＜c＜b+a，∴3＜c＜13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8＜c＜13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．14．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知2248200++-+=，那么y x=（）x y x yA．－16B．16C．－8D．8【答案】B【分析】利用配方法把已知条件变形为（x+2）2+（y-4）2=0，再根据非负数的性质得x+2=0，y-4=0，即可求出x与y的值，进一步代入求得答案即可．【详解】∵x2+4x+y2-8y+20=0，∴x2+4x+4+y2-8y+16=0，∴（x+2）2+（y-4）2=0，∴x+2=0，y-4=0，∴x=-2，y=4，∴x y=16．故选B.【点睛】此题考查配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．15．（2023春·山东淄博·八年级统考期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+9的值（）A．总不小于4B．总不小于9C．可为任何实数D．可能为负数【答案】A【分析】要把代数式x2+y2+2x-4y+9进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围即可．【详解】x2+y2+2x-4y+9=（x2+2x+1）+（y2-4y+4）+4=（x+1）2+（y-2）2+4，∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0，∴（x+1）2+（y-2）2+4≥4，考点5 利用根的判别式判断根的情况根．20．（2023·全国·九年级假期作业）若1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，那么方程220ax bx ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有一个根是=1x -C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根【答案】B【分析】先将1x =代入220(0)ax bx a -+=≠中得到20a b -+=，再根据一元二次方程根的判别式进行求解即可得出结论．【详解】解：∵1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，∴20a b -+=，即2b a =+，对于方程220ax bx ++=，∵242b a ∆=-⨯()228a a =+-()220a =-≥，∴方程220ax bx ++=有两个实数根，故选项A 、C 、D 错误，不符合题意；当=1x -时，2220ax bx a b ++=-+= ，即=1x -是方程220ax bx ++=的一个根，故选项B 正确，符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握一元二次方程20ax bx c ++=根的情况与根的判别式24b ac ∆=-的关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．考点6 利用根的判别式求字母的值或取值范围故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆＞时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当0∆＜时，方程无实数根．24．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）已知关于x 的一元二次方程()21210k x x --+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．21k k ≤-≠且B ．21k k ≤≠且C ．21k k ≥-≠且D ．2k ≥【答案】B【分析】根据方程有两个实数根，得出0∆≥且10k -≠，求出k 的取值范围，即可得出答案．【详解】解：由题意知，24441840b ac k k ∆=-=--=-≥（），且10k -≠，解得：2k ≤，且1k ≠，则k 的取值范围是2k ≤，且1k ≠，故选：B ．【点睛】此题考查了根的判别式，（1）一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；②0∆=⇔方程有两个相等的实数根；③0∆⇔＜方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．考点7 利用根的判别式与三角形结合【详解】（1）证明：2(2)42k k∆=+-⨯2448k k k=++-2(2)0k =-≥所以此方程总有实根．（2）解：①若b c =，则此方程有两个相等实根此时20k -=，则2k =，原方程为：2440x x -+=，122x x ==，∴另外两边长为2和2，②若a c =，则1a =是方程2(2)20x k x k -++=的根，∴21(2)20k k -++=，∴1k =，原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．26．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）若方程（c 2＋a 2）x ＋2（b 2-c 2）x ＋c 2-b 2=0有两个相等的实数根，且a ，b ，c 是三角形ABC 的三边，证明此三角形是等腰三角形．【答案】见解析【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△=0，再得出b 、c 的关系即可．【详解】解:Δ=[2（b 2-c 2）]2-4（c 2+a 2）（c 2-b 2）=4（b 2-c 2）（b 2-c 2+a 2+c 2）=4（b+c ）（b-c ）（b 2+a 2）．∵方程有两个相等实根．∴Δ= 0，即4（b+c ）（b-c ）（b 2+a 2）=0．∵a ，b ，c 是三角形的三边，∴b+c≠0，a 2+b 2≠0，只有b-c=0，解得b=c ．出判别式的值的情况，从而得到关于a、b、c及k的等式是解题的关键．28．（2011秋·江苏无锡·九年级统考期中）已知关于x的方程22a x bx c x-+++=有两个相等的实数(1)2(1)0根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．【答案】【详解】考点：根的判别式；勾股定理的逆定理．分析：先把方程变为一般式：（c-a）x2+2bx+a+c=0，由方程有两个相等的实数根，得到△=0，即△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，则有b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2，根据勾股定理的逆定理可以证明以a、b、c 为三边的三角形是直角三角形．解答：证明：a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0去括号，整理为一般形式为：（c-a）x2+2bx+a+c=0，∵关于x的一元二次方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根．∴△=0，即△=△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，∴b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2．∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式和勾股定理的逆定理等知识．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考点8 利用根的判别式与一次函数结合【分析】根据一元二次方程2210mx x --=无实数根得0m ≠且2(2)4(1)0m ∆=--⨯-<，即可得1m <-，又∵20b =>，可得一次函数2y mx =+的图象经过一、二、四象限，即可得．【详解】解：∵一元二次方程2210mx x --=无实数根，∴0m ≠且2(2)4(1)0m ∆=--⨯-<，440m +<，44m <-，1m <-，又∵20b =>，∴一次函数2y mx =+的图象经过一、二、四象限，∴一次函数2y mx =+的图象不经过第三象限，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数的图像性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．30．（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）一元二次方程2240x x --=有两个实数根a ，b ，那么一次函数(1)y ab x a b =-++的图象一定不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据根与系数的关系即可求出ab 与a b +的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：由根与系数的关系可知：2a b +=，4ab =-，∴15ab -=∴一次函数解析式为：52y x =+，故一次函数的图象一定不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．31．（2020秋·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程2210x x kb ++=-没有实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先根据一元二次方程没有实数根确定k ，b 的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程2210x x kb ++=-没有实数根，∴()4410kb ∆=-+<，解得：0kb >，即k b 、同号，当00k b >>，时，一次函数y kx b =+的图象过一，二，三象限，当00k b <<，时，一次函数y kx b =+的图象过二，三，四象限，故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式及一次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k ，b 的取值范围，难度不大．32．（2023·安徽合肥·统考二模）关于x 的一元二次方程2210mx x --=无实数根，则一次函数y mx m =-的图像不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，求得m 的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．【详解】解：∵一元二次方程2210mx x --=无实数根∴224(2)4(1)0b ac m ∆=-=--⨯⨯-<，解得1m <-，由一次函数y mx m =-可得0k m =<，0b m =->，∴一次函数y mx m =-过一、二、四象限，不过第三象限，故选：C【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．考点9 利用根与系数的关系求变形式子。
高考数学中的配方法与因式分解技巧
高考数学中的配方法与因式分解技巧高考数学是每一个高中生都需要面对的考试科目。
而数学中的配方法与因式分解技巧则是一道难题。
在这篇文章中，我们将详细讨论如何正确应用这些技巧，以更好地应对高考数学考试中的各种难题。
一、配方法配方法是指将一个复杂的式子转化为一个容易计算的形式。
通常应用于高中数学中的多项式，它是一种将变量的平方项、一次项以及常数项进行合理的组合，使得式子能够被更容易计算出来的方法。
（1）两个一次项的情况对于频繁出现的两个一次项，可以使用配方法来转化为一个完全平方。
例如：$x^2+6x+5 \rightarrow (x+3)^2-4$这个式子可以通过配方法转化为一个“完全平方数减去一个常数”的形式，这样可以大大简化计算的过程。
（2）三项式的情况对于较为复杂的三项式，可以将它们转化为一个完全平方加上一个常数。
例如：$x^2+4x+3 \rightarrow (x+2)^2-1$这个式子可以通过配方法转化为一个“完全平方数减去一个常数”的形式，这种方法可以方便地将式子计算出来。
（3）四项式的情况对于更复杂的四项式，可以尝试使用交叉项、同类项的方法进行配方。
例如：$x^2+6xy+9y^2-4\rightarrow (x+3y)^2-4$这个式子可以通过交叉项的方法进行配方，得到一个“完全平方数减去一个常数”的形式。
同样也可以使用同类项来配方，例如：$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f\rightarrowA(x+\frac{B}{2A}y+C)^2+Dx+Ey+F$这个式子可以利用同类项的方法进行配方，将式子转化为一个完全平方加上常数的形式。
二、因式分解因式分解是指将多项式拆分成两个或多个较简单的部分。
它是一个常用的数学方法，可以在解答数学题目时，大大简化计算的过程。
（1）提取公因式提取公因式是指将一些项的因式分离出来，使其与原式拆分成较简单的形式。
例如：$6a^2+9a=3a(2a+3)$这个式子可以通过提取公因式的方法拆分成两个简单的因式。
配方法的应用
） ．
解 ： 物 线 一 般 式 经 过 配 方 ， 转 化 为 顶 点 式 ， ＝ （ ｈ）＋ 抛 可 即ｙ ａ — 的 形 式 ， 可 顺 利 得 到 答 案 ．￣ ２ ６ ＋ ＝ 一 ）一 所 以 顶 点 坐 标 便 ｙ Ｘ－ ｘ ５ （ ３ ４，
解 得 ＝ ＋ ｌ２
， ＝一 ２ ２
．
温 馨 小 提 示 ： 方 法 是 一 种 重 要 的 解 方 程 的 方 法 ， 骤 较 为 繁 配 步
琐 ， 般 需 把 方 程 的 二 次 项 系数 化 为 １ ， 配 方 ． 一 后 再
三 、 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 求 例 ３ （ ０ １ 北 京 卷 ） 物 线 ｙ ｐ ｘ ５ ２ １年 抛 ＿ ２ ６ ＋ 的顶 点 坐 标 为 （ ｃ
（ ０ ２ ｌ ０ — （ ０ ２ ）｝ ８０ 元 ） ３ — Ｏ） １ ５ ５ ３ — ５ ＝ ０ （ ．
（ 设 售 价 为 每 件 ， 个 月 的 获 利 为 元 ， ２） 元 一 由题 意 ， 得 ｙ （ ２ ） １５ ５ ２ ） ＝ ５ ３ ０ 一 ０ ＝ ５ ３ ）＋ ４ ， ＝ 一 ０ ［ ０ — （ 一 ５ ］ 一 ｘ＋ ３ｘ ４６ ０ 一 （ 一 ３ ８ ５
（） １ 当售 价 定 为 每 件 ３ 元 时 ， 个 月 可 获 利 多 少 元 ？ ０ 一
（） ２ 当售 价 定 为 每 件 多 少 元 时 ， 个 月 的 获 利 最 大 ？最 大 利 润 一
是 多少元？
解 ： １ 当售 价 定 为 每 件 ３ 元 时 ， 个 月 可 获 利 ： （） ０ 一
配方法的应用
配方法的应用配方法是指根据不同的需求和条件，选择最合适的方法或方案来解决问题或实现目标的过程。
在各个领域中，配方法都扮演着重要的角色，为人们提供了更高效、更优质的解决方案。
本文将介绍配方法在不同领域的应用，并探讨其重要性和影响。
一、配方法在工程领域的应用在工程领域中，配方法被广泛应用于设计、生产和施工等各个环节。
例如，在建筑设计中，工程师需要根据建筑物的功能和结构要求，选择合适的材料、施工工艺和装饰方式。
通过合理的配方法，可以确保建筑物的稳定性、安全性和美观性。
在工业生产中，配方法也发挥着重要作用。
生产过程中，需要选择合适的设备、工艺和原材料，以提高生产效率和产品质量。
通过配方法，可以实现资源的最优利用，降低生产成本，提高市场竞争力。
二、配方法在物流领域的应用物流配送是现代商业运作的重要环节，配方法的应用对于物流企业的运营效率和客户满意度至关重要。
配方法可以帮助物流企业优化货物配送路线，合理安排车辆和人力资源，提高配送效率和准确性。
通过使用配方法，物流企业可以降低运输成本，缩短配送时间，提高客户满意度。
三、配方法在医疗领域的应用在医疗领域中，配方法的应用可以帮助医生和患者做出更准确、更有效的治疗决策。
例如，在药物治疗中，医生需要根据患者的病情、年龄和生理特点，选择最合适的药物和剂量。
通过配方法，可以确保药物的疗效和安全性，减少不良反应和药物相互作用的风险。
在手术治疗中，医生需要选择合适的手术方法和器械，以最大限度地减少手术创伤和恢复时间。
通过配方法，可以提高手术的成功率和患者的康复速度，减少手术风险和并发症的发生。
四、配方法在教育领域的应用教育领域也可以运用配方法来提高教学质量和学生学习效果。
例如，在课程设计中，教师需要选择合适的教学方法、教材和评估方式，以提高学生的学习兴趣和自主学习能力。
通过配方法，可以根据学生的不同特点和需求，个性化地设计教学方案，提高学习效果和满意度。
在学生管理中，学校需要根据学生的兴趣、能力和发展需求，进行合理的班级和课程安排。
配方法的概念
配方法的概念摘要：1.配方法的概念介绍2.配方法的应用场景3.配方法的优点与局限性4.配方法与其他方法的对比5.配方法在我国的发展现状与展望正文：配方法，作为一种重要的数学方法，广泛应用于各个领域。
本文将从配方法的概念、应用场景、优点与局限性、与其他方法的对比以及在我国的发展现状与展望五个方面进行全面阐述。
一、配方法的概念介绍配方法，又称为配方，是一种将复杂数学问题通过构造适当的代数式进行求解的方法。
它源于古代数学家对代数式的研究，逐渐发展成为一种重要的数学方法。
配方法的基本思想是将待求解的数学问题转化为一个或多个已知数学问题的求解，从而达到简化问题的目的。
二、配方法的应用场景配方法的应用场景非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.解一元二次方程：利用配方法，可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而简化求解过程。
2.求函数的极值：通过配方法，可以将函数转化为一个关于某变量的二次函数，进而求出其极值。
3.求解几何问题：在几何问题中，配方法可以帮助我们将问题转化为已知条件的求解，如求解直角三角形、平行四边形等问题。
4.求解物理问题：在物理学中，配方法可以帮助我们将复杂的物理问题转化为易于求解的数学模型，如求解牛顿第二定律、电磁学等问题。
三、配方法的优点与局限性1.优点：（1）简化了问题求解过程，降低了问题的难度。
（2）适用于多种数学、物理、几何等领域的问题。
（3）具有一定的普适性和广泛性。
2.局限性：（1）对于复杂的问题，配方法可能无法直接求解。
（2）配方法的应用范围有限，不是所有问题都适用于配方法。
四、配方法与其他方法的对比配方法作为一种数学方法，其优点在于简化了问题的求解过程，但同时也存在一定的局限性。
与其他方法相比，如代数法、几何法、数值法等，配方法在某些问题上具有优势，但在其他问题上可能不如其他方法高效。
因此，在实际应用中，我们需要根据问题的具体情况选择合适的方法。
五、配方法在我国的发展现状与展望配方法在我国的发展历史悠久，早在古代数学著作中就有相关记载。
配方法的定义
配方法的定义配方法是指在实验或研究中，根据不同的目的和要求，选择合适的方法和步骤进行操作和处理的过程。
在科学研究中，配方法的选择和设计对于实验结果的准确性和可靠性起着至关重要的作用。
下面将结合实际例子，介绍一些常见的配方法及其应用。
一、稀释配方法稀释配方法是指通过将溶液与溶剂按照一定比例混合，使得溶液浓度降低或稀释的过程。
这种方法常用于化学实验中，用于调整溶液的浓度，从而符合实验要求。
例如，在制备标准曲线时，可以通过稀释高浓度溶液来获得一系列浓度递减的样品溶液，以便于测定未知样品的浓度。
二、配位配方法配位配方法是指通过配位反应，将金属离子与配体形成配合物的过程。
这种方法常用于化学分析和无机合成中，用于确定金属离子的类型和浓度，或者合成特定结构的配合物。
例如，在分析化学中，可以使用络合滴定法来测定金属离子的浓度，通过配位反应使金属离子与指示剂形成颜色变化，从而确定浓度。
三、配比配方法配比配方法是指根据不同物质之间的化学反应式和化学计量关系，按照一定的比例将物质混合的过程。
这种方法常用于化学合成和药物制备中，用于确保反应物的摩尔比例和化学反应的完整性。
例如，在有机合成中，可以根据反应物的化学反应式和摩尔比例，按照一定的配比将反应物混合，以获得所需的产物。
四、配位溶剂配方法配位溶剂配方法是指根据反应物的性质和反应条件，选择适合的溶剂进行反应的过程。
这种方法常用于有机合成和催化反应中，用于提供合适的反应环境和催化条件。
例如，在有机合成中，可以根据反应物的极性和溶解度，选择合适的溶剂来促进反应的进行，提高反应的选择性和产率。
五、配位条件配方法配位条件配方法是指根据反应物的性质和反应条件，选择适合的反应条件进行反应的过程。
这种方法常用于有机合成和催化反应中，用于提供合适的反应环境和催化条件。
例如，在有机合成中，可以根据反应物的官能团和反应条件的温度、压力等参数，选择合适的反应条件，以获得高产率和高选择性的产物。
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初三数学期末复习专题提优《“配方法”的应用》
配方法就是把一个代数式配成正整数次幂的形式，初中阶段用得最多的是配平方，故该专题所讨论的是使数学式子出现完全平方式的恒等变形，即2222()a ab b a b ±+=±中，左端缺少某些项时需要配上缺项，使它成为一个完全平方式.主要有两种表现形式:配中项2ab
或配一个平方项2b (或2a )，配中项时要根据22,a b 找出,a b ，决定2ab ，配平方项2b ，则
要从,2a ab 的具体表现形式分析出,a b ，添上 2b .
它的推广形式较多，如: 222a b c ab bc ca ++---=
2221()()()2a b b c c a ⎡⎤-+-+-⎣⎦ 一元二次三项式的配方:2
224()24b ac b ax bx c a x a a
-++=++. 配方后如何使用配方结果，归纳起来有如下几种常见情况:
(1)在实数范围内产生非负数。
配方是一种出现平方式的恒等变形，因而具有在实数范围内产生非负数的特殊功能，这也是配方法最为基本的应用形式.
(2)配方后使用公式22()()a b a b a b -=+-.
(3)配方后应用根与系数的关系或求对称多项式的值.
(4)配方后求函数的极值或完成对判别式的判断等.
1.关于多项式2285x x -++的说法正确的是( )
A.有最大值13
B.有最小值－3
C.有最大值37
D.有最小值1
2.已知2781,1515
P m Q m m =-=- (m 为任意实数)，则P 、Q 的大小关系为( ) A. P Q > B. P Q = C. P Q < D. 不能确定
3.若实数m 、n 满足224122100m m n n ++-+=，则函数242m n y x n +=++是( )
A.正比例函数
B.一次函数
C.反比例函数
D.二次函数
4.将263x x ++配方成2
()x m n ++的形式，则m = . 5.若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则a b +的值是 .
6.已知实数,m n 满足21m n -=，则代数式22241m n m ++-的最小值等于 .
7.已知22
46130,,x y x y x y ++-+=均为实数，求y x 的值.
8.已知22124x y x y xy +-+-=-
，求y x -.
9.因式分解:
(1) 4
4x +;
(2) 22(1)(1)4m n mn --+.
10.当,a b 为何值时，方程2222(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实根.
11.“20a ≥”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如: 22245441(2)1x x x x x ++=+++=++
222(2)0,(2)11,451x x x x +≥∴++≥++≥.
试利用“配方法”解决下列问题:
(1)已知22
4250x x y y -+++=，求x y +的值;
(2)比较代数式:21x -与23x -的大小.
12.设,,x y z 为实数，求证: 222x y z xy xz yz ++≥++.
13.阅读材料:把形如2ax bx c ++的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即222a ab b ±+
2()a b =±.例如:2(1)3x -+、2(2)2x x -+、221
3(2)24
x x -+是224x x -+的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子，写出2
49x x -+三种不同形式的配方;
(2)将22a ab b ++配方(至少两种不同形式);
(3)已知2223240a b c ab b c ++---+=,求a b c ++的值.
14.已知x >0，证明: 642314x x x x +++≥ .
参考答案
1. A
2. C
3. B
4. 3
5. 11
6. 4
7.8y x =- 8.12y x -=-
9.(1)4224(22)(22)x x x x x +=+++-
(2)22(1)(1)4(1)(1)m n mn mn n m mn n m --+=++-+-+ 10.11,2
a b ==- 11.(1)1x y +=
(2)2123x x ->-
12. 222()x y z xy xz yz ++-++222111()()()0222
x y x z y z =
-+-+-≥ 13.(1)2249(2)5x x x -+=-+,
2249(3)10x x x x -+=+-, 2222549(3)39
x x x x -+=-+ (2)222
()a ab b a b ab ++=+-, 222()3a ab b a b ab ++=-+
(3)4a b c ++=
14.4220,120,120.x x x x x >∴+-≥+-≥
422(1)(1)22x x x x ∴++≥⋅
642314x x x x ∴+++≥。