(完整版)因式分解的应用
初中数学因式分解常见的6种方法和7种应用
因式分解的六种方法及其应用因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．方法一提公因式法题型1 公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是()A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1C．3y－4x＋1 D．3y－4x【解析】B2．分解因式：2mx－6my＝__________．【解析】2m(x－3y)3．把下列各式分解因式：(1)2x2－xy；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.【解析】(1)原式＝x(2x－y)．(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)．题型2公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.【解析】(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．方法二公式法题型1直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.【解析】(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2.(3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4.题型2 先提再套法6．把下列各式分解因式：(1)(x －1)＋b 2(1－x )；(2)－3x 7＋24x 5－48x 3.【解析】(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )．(2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2.题型3 先局部再整体法7．分解因式：(x ＋3)(x ＋4)＋(x 2－9)．【解析】原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)． 题型4 先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x (x ＋4)＋4；(2)4x (y －x )－y 2.【解析】(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.(2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2.方法三 分组分解法9．把下列各式分解因式：(1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2.【解析】(1)原式＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )．(2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y )2＝(2＋x －y )(2－x ＋y )．方法四 拆、添项法10．分解因式：x 4＋14. 【解析】原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋122－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12)． 方法五 整体法题型1 “提”整体11．分解因式：a (x ＋y －z )－b (z －x －y )－c (x －z ＋y )．【解析】原式＝a (x ＋y －z )＋b (x ＋y －z )－c (x ＋y －z )＝(x ＋y －z )(a ＋b －c )．题型2 “当”整体12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．【解析】原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.题型3“拆”整体13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．【解析】原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)＝(bc＋ad)(ac＋bd)．题型4“凑”整体14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.【解析】原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．方法六换元法15．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.【解析】(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n，则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.因式分解的7种应用因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．应用一用于简便计算1．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.【解析】23×2.718＋59×2.718＋18×2.718＝(23＋59＋18)×2.718＝100×2.718＝271.8.2．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.【解析】2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.应用二用于化简求值3．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.【解析】(1)∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9，∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，即2xy＝2，∴xy＝1.(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.应用三用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？【解析】所得的差一定能被9整除．理由如下：不妨设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a>b，b不为0，则这个两位数是10a＋b，将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a－9b＝9(a－b)，所以所得的差一定能被9整除．应用四用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，判断△ABC形状．【解析】∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．应用五用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，试比较A与B的大小．【解析】B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3)．因为a＞2，所以a＋3＞0，从而当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B；当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B；当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.应用六 用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm ，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm 2.请你求这两个正方形的边长．【解析】设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960，② 由①得x －y ＝24，③；由②得(x ＋y )(x －y )＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40，⑤；由③⑤得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝8. 故大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm.应用七 用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，…. 你发现了什么规律？请用含有字母n (n 为正整数)的等式表示出来，并说明理由．【解析】规律：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)＋1]2.理由如下：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n (n ＋1)]2＋2n (n ＋1)＋1＝[n (n ＋1)＋1]2.。
(完整版)初中生物十字相乘法因式分解
(完整版)初中生物十字相乘法因式分解初中生物十字相乘法因式分解
引言
十字相乘法是初中生物学中一种常用的因式分解方法，用于分
解多项式式子。
本文将介绍该方法的具体步骤和应用。
步骤
1. 首先，我们需要确定多项式的因式之间是否存在公因式。
如
果存在公因式，我们先将公因式提取出来。
2. 接下来，我们需要确定多项式的因式之间是否存在二元关系。
如果存在二元关系，我们可以使用十字相乘法进行因式分解。
3. 根据两个因式之间的关系，我们可以将多项式分解为两个部分，每个部分包含一个因式。
4. 对于每个部分，我们可以使用十字相乘法，将其进一步分解
成更简单的形式。
应用
十字相乘法因式分解在初中生物学中具有广泛的应用。
它可以帮助我们简化复杂的多项式式子，并更好地理解和分析生物学中的关系和过程。
通过掌握十字相乘法因式分解的方法和应用，我们可以更加深入地研究和掌握初中生物学的知识。
结论
初中生物十字相乘法因式分解是一种常用的因式分解方法，可以帮助我们简化复杂的多项式式子。
通过掌握这种方法，我们可以更加深入地研究和理解初中生物学的知识。
第三讲 因式分解的应用(含答案)-
第三讲 因式分解的应用在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．例题求解【例1】若142=++y xy x 282=++x xy y ，则y x +的值为 ．(2002年全国初中数学联赛题)思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于y x +的二次三项式．注：在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用． 代数式求值的常用方法是：(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；(3)整体代入求值．【例2】已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值( )A ．恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(大原市竞赛题)思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．【例3】计算下列各题：（1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ； （2）20012000200019982000220002323-+-⨯-思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．【例4】已知 n 是正整数，且n 4—16n 2+100是质数，求n 的值．(第13届“希望杯’邀请赛试题)思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l 和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．【例5】(1)求方程07946=--+y x xy 的整数解；(上海市竞赛题)(2)设x 、y 为正整数，且096422=-++y y x ，求xy 的值．(第14届“希望杯”邀请赛试题)思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口．链接解题思路的获得，一般要经历三个步骤：(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．不定方程(组)的基本解法有：(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．学历训练1．已知x+y ＝3，422=-+xy y x ，那么3344xy y x y x +++的值为 ．2．方程01552=-+--y x xy x 的整数解是 ． (第13届“希望杯”邀请赛试题)3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d ＝ ．4．对一切大于2的正整数n ，数n 5一5n 3+4n 的量大公约数是 ．(2003年四川省竞赛题)5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )A ．41，48B ．45，47C ．43，48D ．4l ，476，已知2x 2－3xy+y 2＝0(xy ≠0)，则xy y x +的值是( ) A ． 2，212 B ．2 C ．212 D ．－2，212- 7．(第17届江苏省竞赛题)a 、b 、c 是正整数，a>b ，且a 2-ac+bc=7，则a —c 等于( )A ．一2B ．一1C ．0D ． 28．如果133=-x x ，那么200173129234+--+x x x x 的值等于( )A ．1999B ．2001C ．2003D ．2005（2000年武汉市选拔赛试题）9．(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：)419)(417)(415)(413)(411()4110)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++。
因式分解的公式大全,因式分解万能公式法的应用二
因式分解的公式大全，因式分解万能公式法的应用二因式分解系数的公式？▲提公因式法假设一个多项式的各项都含有公因式，既然如此那，完全就能够把这个公因式提出来，以此将多项式化成两个因式乘积的形式。
▲应用公式法因为分解因式与整式乘法有着互逆的关系，假设把乘法公式反过来，既然如此那，完全就能够用来把某些多项式分解因式。
如，和的平方、差的平方▲分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，以此得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，以此得到(a+b)(m+n)▲十字相乘法（常常使用）针对mx +px+q形式的多项式，假设a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)▲配方式针对那些不可以利用公式法的多项式，有的能用到故将他配成一个完全平方法，然后再利用平方差公式，就可以故将他因式分解。
▲拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
▲换元法有的时候，在分解因式时，可以选择多项式中的一样的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，后再转换回来。
▲求根法令多项式f(x)=0,得出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )▲图像法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )▲主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
▲利用特殊值法将2或10代入x，得出数P，将数P分解质因数，将质因数一定程度上的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
▲还未确定系数法第一判断出分解因式的形式，然后设出对应整式的字母系数，得出字母系数，以此把多项式因式分解。
因式分解的方法及应用
因式分解的方法及应用因式分解是一种将一个多项式表达式写成一系列乘法形式的方法。
它在数学中有广泛的应用，包括解方程、求极值、化简表达式等等。
以下是一些常用的因式分解方法和应用：1. 提取公因式：如果一个多项式中的各项都有一个公因式，可以将这个公因式提取出来。
例如，对于多项式3x+6y，可以提取出公因式3，得到3(x+2y)。
2. 分组因式分解：对于一个多项式中的各项，可以进行分组，然后在每个组内进行因式分解。
例如，对于多项式2x+3xy+4y+6xy，可以分成两组，得到(2x+3xy)+(4y+6xy)，然后将每个组内分别提取公因式，得到x(2+3y)+2(2+3y)，再将公因式(2+3y)提取出来，得到(2+3y)(x+2)。
3. 平方差公式：对于一个二次多项式a-b，可以使用平方差公式进行因式分解，得到(a+b)(a-b)。
例如，对于多项式x-4，可以使用平方差公式，得到(x+2)(x-2)。
4. 求根公式：对于一个二次多项式ax+bx+c，可以使用求根公式进行因式分解，得到(ax-r)(ax-r)，其中r和r是方程ax+bx+c=0的根。
例如，对于多项式x-5x+6，可以使用求根公式，得到(x-2)(x-3)。
5. 完全平方公式：对于一个二次多项式a+2ab+b，可以使用完全平方公式进行因式分解，得到(a+b)。
例如，对于多项式x+4x+4，可以使用完全平方公式，得到(x+2)。
6. 差平方公式：对于一个二次多项式a-2ab+b，可以使用差平方公式进行因式分解，得到(a-b)。
例如，对于多项式x-6x+9，可以使用差平方公式，得到(x-3)。
因式分解的应用包括：1. 解方程：通过因式分解，可以将一个多项式方程转化为多个一次方程或二次方程，从而求解方程的根。
2. 求极值：通过因式分解，可以将一个多项式表达式转化为一系列乘法形式，进而确定多项式的最大值或最小值。
3. 化简表达式：通过因式分解，可以将一个复杂的多项式表达式化简为更简洁的形式，便于计算和理解。
因式分解的应用与实例
因式分解的应用与实例概述因式分解是数学中一个重要的概念和技巧，广泛应用于代数运算、方程求解以及数论等领域。
通过将一个复杂的表达式或方程分解为更简单的因子，我们能够更好地理解其结构和特性，从而更高效地解决问题。
应用场景1. 方程求解：在代数中，我们经常遇到各种形式的方程，如一次方程、二次方程等。
通过因式分解，我们可以将复杂的方程转化为一系列简单的因子，并从中找到解的方法。
2. 多项式运算：在代数中，多项式的加减乘除运算是常见的操作。
因式分解可以帮助我们简化多项式的表达式，并更方便地进行运算。
3. 数论问题：因式分解在数论中也有重要的应用。
通过将一个数进行因式分解，我们可以更好地理解其素数因子的分布规律，进而研究数论问题。
4. 几何问题：在几何学中，因式分解可以帮助我们分析和理解几何图形的性质和结构。
例如，可以通过因式分解得到一个三角形的面积公式，从而更方便地计算其面积。
实例说明1. 方程求解实例：- 将一次方程2x + 3 = 7进行因式分解，得到2(x + 3/2) = 7，从而得到x = 7/2 - 3/2 = 2/2 = 1的解。
- 将二次方程x^2 - 5x + 6 = 0进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2或x = 3的解。
2. 多项式运算实例：- 将多项式2x^2 + 3x + 1进行因式分解，得到(2x + 1)(x + 1)的形式，从而可以更方便地进行多项式的运算。
3. 数论问题实例：- 将数15进行因式分解，得到3 × 5的形式，从而可以了解15的素数因子分布。
4. 几何问题实例：- 将三角形的面积公式S = 1/2 * base * height进行因式分解，得到S = base/2 * height的形式，从而更方便地计算三角形的面积。
因式分解作为数学中重要的概念和技巧，在代数运算、方程求解以及数论等领域都有广泛的应用。
通过因式分解，我们可以简化问题的表达和计算，更深入地理解数学问题的本质。
因式分解的应用（初中数学竞赛资料）
因式分解的应用（初中数学竞赛资料）因式分解的应用因式分解是中学代数中的一种重要的变形，它与整式、分式联系极为密切，分式运算、解方程以及一些恒等变换，都经常用到因式分解。
它不仅是初中代数中的一个重要的基础知识，它还是一种重要的数学思想方法，在今后的数学学习中应用很广。
下面，向同学们介绍一些因式分解的初步应用。
一、利用因式分解判断整除性例1 2n－1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．证明(2n＋1)2－(2n－1)2=(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)=4n·2=8n∴这两个连续奇数的平方差能被8整除．例2 x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．证明因式分解，得原式=(x+y+z)(x2+y2+z2－xy－yz－zx)，∴x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．例3 设4x－y为3的倍数，求证：4x2+7xy－2y2能被9整除．证明∵4x2+7xy－2y2=(4x－y)(x+2y)，又∵ x+2y=4x－y－3x+3y=(4x－y)－3(x－y)．∴原式＝(4x－y)［(4x－y)－3(x－y)］＝(4x－y)2－3(4x－y)(x－y) ∵4x－y为3的倍数∴4x2+7xy－2y2能被9整除例4设实数a<b<c<="" p="">A. x<y<z< p="">B. y<z<x< p="">C. z<x<y< p="">D. 不能确定解：∵a<b<c<d，< p="">∴x－y=(a＋b)(c＋d)－(a＋c)(b＋d)=ac＋bd－ab－cd=(a－d)(c －b)<0，即；x<y。
分解因式的实际应用
分解因式的实际应用分解因式是多项式的一种变形，不仅在数学解题中发挥十分重要的作用，而且在解决实际问题中也同等重要.请看几例.例1 把20cm 长的一根铁丝分成两段,将每一段围成一个正方形,如果这两个正方形的面积之差是5cm 2,求这两段铁丝的长.分析:要求出两段铁丝的长,可以先根据面积关系求出每个正方形的边长.然后再计算正方形的周长即可.解:设较大正方形的边长为xcm,较小的正方形的边长为ycm,根据已知条件,得4x+4y=20,x 2-y 2=5,所以x+y=5,(x+y)(x-y)=5,所以x-y=1,解方程组⎩⎨⎧=-=+1,5y x y x 得⎩⎨⎧==2,3y x 所以这两段的长分别是12cm 和8cm.说明: 本题借助因式分解，将x 2-y 2=5进行变形,得到x-y=1,进而构造二元一次方程组，达到求解的目的，充分体现了分解因式在化简变形中的重要作用.例2 某广场的周围共有8个花坛,每个花坛都和操场的跑道的形状一样,两端呈半圆形,连接两个半圆的边缘是线段（如图）,已知花坛的宽为4m,每个花坛边缘的直的部分分别为8m,7m,8m,8m,7m,8m,6m,6m.你能算出这些花坛的总面积吗?分析：本题是一道与面积有关的计算问题，每个花坛可分成三部分：两个半圆和一个长方形，要计算8个花坛的面积和，如果先求出每个花坛的面积，然后再相加，则计算非常麻烦.若将面积和列出一个综合算式，然后借助分解因式的方法变形计算，则非常简单.解：设花坛的总面积为S,则S=(4×8+22⨯π)×4+(4×7+π×22)×2+(4×6+π×22)×2=4×(32+14+16)+π×22(4+2+2)=4×62+32π=248+32π≈348.48(m 2). 因此,花坛的总面积为348.48m 2说明：本题把含有π的项与不含有π的项分别相结合，然后采用提公因数的方法进行计算，是一种非常简便的计算方法.例3如图,在一个大圆盘中,镶嵌着四个大小一样的小圆盘,已知大小圆盘的直径都为整数,阴影部分的面积为7πcm 2,请你求出大小两个圆盘的半径.分析:根据大圆的面积减取四个小圆的面积等于阴影部分的面积,可以得到数学关系式.然后通过分解因式寻找解题思路.解:设大圆盘的半径为Rcm,一个小圆盘的半径为rcm,根据题意,得πR 2-4πr 2=7π,即(R+2r)(R-2r)=7,因为R,r 均为整数,所以R+2r,R-2r 为整数,所以⎩⎨⎧=-=+.12,72r R r R 解得R=4,r=1.5.因此,大小圆盘的半径分别是4cm 和1.5cm.说明：本题主要是借助分解因式,构造方程组,通过解方程组来解决问题.。
因式分解的八种常见应用
∴ P ＞ Q.
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应用
7 用于判断正负
7．若a，b，c为三角形的三边长，试证明：(a2＋b2－ c2)2－4a2b2的值一定为负． 证明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2 ＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2 ＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)
＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2] ＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)． ∵a，b，c为三角形的三边长， ∴a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0.
第14章 整式的乘法与因式分解
双休作业(九)
2 因式分解的八种常见应用
1
2 6
3 7
4 8
5
应用
1 用于简便计算
1．计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718. 解：＝(23＋59＋18)×2.718 ＝100×2.718 ＝271.8.
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应用
2 用于化简求值
2．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：
解：规律：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.
理由： n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2 ＝[n(n＋1)]2＋2n2＋2n＋1 ＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1 ＝[n(n＋1)＋1]2.
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a＝6， b＝4.
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应用
5 用于判断三角形的形状
5．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且b2＋2ab＝
c2＋2ac.
(1)试判断△ABC属于哪一类三角形；
解：∵b2＋2ab＝c2＋2ac，
∴(b2－c2)＋(2ab－2ac)＝0. ∴(b＋c)(b－c)＋2a(b－c)＝0. ∴(b－c)(b＋c＋2a)＝0. ∵b＋c＋2a＞0， ∴b－c＝0，即b＝c. ∴△ABC是等腰三角形．
因式分解在实际生活中的应用
因式分解在实际生活中的应用
1. 经济学中的成本分析
在经济学中，成本分析是一种评估和决策的工具，它用于帮助企业或个人确定产出产品或提供服务的成本。
因式分解在成本分析中可以用于分析和确定各种成本组成部分。
通过将成本因式分解成不同的因素或变量，可以更好地理解和优化成本结构，从而做出更明智的决策。
2. 物理学中的力学分析
在物理学中，因式分解可以应用于力学分析。
力学涉及物体运动和作用力的研究。
多项式的因式分解可以用于分析和描述物体所受到的力的来源和性质。
通过将力因式分解成其组成部分，可以更好地理解物体的运动和力的相互作用。
3. 统计学中的回归分析
统计学中的回归分析是一种用于分析和预测变量之间关系的方法。
在回归分析中，因式分解可以应用于多元回归模型，用于解释
因变量与自变量之间的关系。
将多元回归模型进行因式分解可以帮
助我们理解不同自变量对因变量的影响，并确定哪些自变量是显著的。
4. 工程学中的电路分析
在工程学中，电路分析是一种用于分析和设计电路的方法。
因
式分解可以应用于电路分析中的电路方程组。
通过将电路方程组进
行因式分解，可以更好地理解电路中各个元件之间的相互作用和关系，以及电流和电压的分布情况。
总结而言，因式分解不仅仅在数学中有应用，而且在实际生活
中也有一些重要应用。
它可以用于经济学中的成本分析、物理学中
的力学分析、统计学中的回归分析以及工程学中的电路分析等领域。
通过将复杂的问题进行因式分解，我们可以更好地理解问题的本质
和相互关系，从而做出更准确的分析和决策。
因式分解的应用(含答案)
1.5 因式分解的应用◆赛点归纳因式分解在初中数学竞赛中，用途很广泛，具体来说用得较多的有如下几个方面：（1）利用因式分解简化计算；（2）利用因式分解求较复杂的代数式的值；（3）利用因式分解确定多项式中的某些相关的待定系数；（4）利用因式分解解决某些数的整除问题；（5）利用因式分解解某些特殊的方程或方程组等问题．◆解题指导例1化简：222 2000199819971997 19982000199820014+--⨯-．【思路探究】本题直接计算比较复杂，由于分子和分母都有平方与差的关系，由此可联想到运用因式分解方法简化计算．例2 （2001，“五羊杯”，初二）若（x－1）（y+1）=3，xy（x－y）=4，则x7－y7=_______．【思路探究】由（x－1）（y+1）=3，知xy+（x－y）=4，经观察可知，两个条件等式都含有xy和x－y的关系式．若设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，于是有u（4－u）=4，经过变形知它符合完全平方公式，即（u－2）2=0，故可知u=2，v=2，即xy=2，x－y=2．至此，将x7－y7分解成和xy和x－y相关的因式就不难求值．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？解：∵（x－1）（y+1）=3，∴xy+（x－y）=4．设xy=u，x－y=v，则u+v=4．①uv=4．②由①、②，得u2－4u+4=0．∴（u－2）2=0．∴u=2．∴v=2．∴x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）=56×20=1120．例3 （2004，“TRULY○R信利杯”）已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=•2，•ax+by=5，则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值为________．【思路探究】求待求式的值，由条件等式可知，需将待求式进行合理变形，使它含有因式ax+by．这里用多项式分解因式的方法是可以达到的．例4 （2001，北京市竞赛）证明恒等式：a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．【思路探究】若能证明a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）2的值为零，则可说明左右相等．•由观察可知，这个“差式”具有平方差公式的特征．因此，可先设法利用平方差公式分解因式，然后证明其中某个因式为零．例5 （2002，太原市竞赛）已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+ab－ac－bc=0，b2+bc－ba－ca=0，则△ABC是（）．A．等腰三角形B．直角三B．角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形【思路探究】要判断这个三角形的形状，由条件等式要么证明三边的平方关系，要么证明三边有两边或三边相等关系．这由条件等式分解因式就可判断．例6 （2000，“五羊杯”，初二）设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2•位数字后，•剩下的数还是完全平方数．•则N•的最大值是_______．【思路探究】由N是完全平方数和去掉它的末两位数仍是完全平方数，可知这个数是一个特殊数．若设N=x2，去掉的末两位数为y，去后所得的整数M=m2，•则可得它们之间的关系式x 2=100m 2+y ，故y=x 2－100m 2．利用平方差公式可得两个关于x 的一次式．再根据题设不难探求N 的最大值．【拓展题】已知多项式x 3+bx 2+cx+d 的系数都是整数，bd+cd 是奇数，求证这个多项式不能分解为两个整系数多项式的积．◆探索研讨因式分解是初中数学的常用解题方法，加之解法比较多，因此，对于它在不同的方面的应用应选择不同的思维方式，有时要整体分解因式，有时要部分分解因式．请结合本节的例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知四个代数式：①m+n ；②m －n ；③2m+n ；④2m －n ，当用2m 2n 乘以上述四个式中的两个的积时，便得到多项式4m 4n －2m 3n 2－2m 2n 3，那么这两个式子的编号是（ ）．A ．①与②B ．①与③C ．②与③D ．③与④2．（2005，全国竞赛）已知A=48×（22211134441004+++---）．则与A 最接近的正整数是（ ）．A ．18B ．20C ．24D ．253．*若3x 3－x=1，则9x 4+12x 3－3x 2－7x+2002的值等于（ ）．A ．2002B ．2004C ．2005D ．20064．已知三个整数a 、b 、c 的和为奇数，那么，a 2+b 2－c 2+2ab （ ）．A ．一定是非零偶数B ．等于零C ．一定是奇数D ．可能是奇数，也可能是偶数5．关于x 、y 的方程x 2y=180的正整数解有（ ）．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．方程2x 2－3xy －2y 2=98的正整数解有（ ）．A ．3组B ．2组C ．1组D ．0组7．（2001，全国竞赛）若x 2+xy+y=14，y 2+xy+x=28，则x+y 的值为______．8．*设m 2+m －1=0，则m 3+2m 2+2005=________．9．若x3+3x2－3x+k有一个因式是x+1，则k=______．10．（2000，“五羊杯”，初二）若x－y=1，x3－y3=4，则x13－y13=______．11．（2003，四川省竞赛）对一切大于2的正整数n，•数n5－5n3+4n的最大公约数是________．12．设x3+3x2－2xy－kx－4y可分解为一次与二次因式之积，则k=________．13．*若a=20052+20062+20052·20062，求证：a是一个完全平方数．14．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11•个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，•已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数．15．已知A=a+2b+3c+4d=3，B=a－2b+4c+5d=2，试求a+10b+c+2d的值．16．（2000，武汉市竞赛）如果一个自然数的立方的末三位数字为999，则称这样的自然数为“千禧数”，试求最小的“千禧数”．答案:解题指导例1 设1998=x，则原式=2222(54)(32)(1)(4)(1)(2) (2)(34)(1)(2)(1)(4)x x x x x x x xx x x x x x x x++-+++--=--+-+--+=1．例2 1136．[提示：设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，从而可得（u－2）2=0，即u=2．∴v=2．于是x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）+x3y3（x－y）=56·20+23·2=1136．]例3 －5．[提示：由a+b=x+y=2，得（a+b）（x+y）=ax+by+ay+bx=4．①∵ax+by=5，将它代入①式，得ay+bx=－1．∴（a2+b2）xy+ab（x2+y2）=（a2xy+aby2）+（b2xy+abx2）=ay（ax+by）+bx（by+ax）=（ax+by）（ay+bx）=5×（－1）=－5．]例4 ∵a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）=（a2+b2）2－2a2b2+（a2+2ab+b2）2－2（a2+ab+b2）2=[（a2+b2）2－（a2+ab+b2）2]+[（a2+2ab+b2）2]－（a2+ab+b2）2]－2a2b2=（2a2+2b2+ab）（－ab）+（2a2+3ab+2b2）·ab－2a2b2=ab（－2a2－2b2－ab+2a2+3ab+2b2－2ab）=0，∴a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．你还能给出别的证法吗？不妨试一试．例5 C [提示：由a2+ab－ac－bc=0，得a（a+b）－c（a+b）=0，∴（a+b）（a－c）=0，∴a=c，a=－b （舍去）．由b2+bc－ba－ca=0，得b（b+c）－a（b+c）=0，∴（b+c）（b－a）=0，∴b=a，b=－c（舍去）．∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．]例6 1681．[提示：设N=x2，x为自然数，N的末2位数字组成整数y，去掉此2•位数字后得到整数M，M=m2，m为自然数，则1≤y≤99．∴x2=100m2+y．∴y=x2－100m2=（x+10m）（x－10m）．令x+10m=a，x－10m=b，则b≥1，m≥1．x=10m+b≥11，a=x+10m≥21．若m≥4，则x=10m+b≥41，a=x+10m≥81，唯有b=1，m=4，x=41，a=81，y=81，M=16，N=1681．显然当m≤3时，x≤40，故N=1681为所求的最大值．]【拓展题】假设x3+bx2+cx+d=（x+p）（x2+qx+r），其中p、q、r均为整数．令x=0，得pr=d，由bd+cd=（b+c）d为奇数知，b+c与d•均为奇数，从而p、r也都是奇数，再取x=1．由假设有1+（b+c）+d=（1+p）·（1+q+r）．左边是3个奇数之和，必为奇数；右边的因式（1+p）为偶数，从而（1+p）（1+q+r）必为偶数，显然奇数不等于偶数，所以假设不成立，故原式不能分解成两个整系数多项式的积．能力训练1．C [提示：对多项式做因式分解：原式=2m2n（2m2－mn－n2）=2m2n（2m+n）（m－n）．]2．D [提示：对于正整数n（n≥3），有21111(),442211111148[(1)()]429856102111111112(1)2349910010110211112512().9910010110211114112()12,99100101102992n n n A =---+=⨯+++-+++=+++----=-++++++<⨯<则 ∴与A 最接近的正整数为25．]3．D [提示：由3x 3－x=1，得3x 3=x+1，∴3x 4=x （3x 3）=x （x+1）=x 2+x ．∴原式=3·3x 4+4·3x 3－3x 2－7x+2002=3（x 2+x ）+4（x+1）－3x 2－7x+2002=3x 2+3x+4x+4－3x 2－7x+2002=4+2002=2006．]4．C [提示：a 2+b 2－c 2+2ab=（a+b ）2－c 2=（a+b+c ）（a+b －c ）．∵a+b+c 为奇数，∴a 、b 、c 三数中可能有一个奇数、两个偶数，或者三个都是奇数． 当a 、b 、c 中有一个奇数、两个偶数时，则a+b －c 为奇数；当a 、b 、c 中三个都是奇数时，也有a+b －c 为奇数．∴（a+b+c ）（a+b －c ）是奇数．]5．D [提示：∵180=1×22×32×5，又x 2y=180．∴x 2y=1×22×32×5，且x 、y 为正整数/∴12,3,6,1804520 5.x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或 故共有四组正整数解．]6．C [提示：∵（x －2y ）（2x+y ）=98，x 、y 是正整数，∴x>2y ，且2x+y>x －2y ．∴方程可能的解只有以下情形：21,22,27,298;249;214.x y x y x y x y x y x y -=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=+=⎩⎩⎩ 其中只有第二种情形有解x=20，y=9．]7．6或－7． [提示：把两个已知等式相加，得（x+y ）2+（x+y ）=42，即（x+y ）2+（x+y ）－42=0．∴（x+y －6）（x+y+y ）=0．∴x+y=6或x+y=－7．]8．2006． [提示：原式=m 3+m 2－m+m 2+m －1+2006=m （m 2+m －1）+（m 2+m －1）+2006=（m 2+m －1）（m+1）+2006．∵m 2+m －1=0，∴原式=2006．]9．－5． [提示：∵x 3+3x 2－3x+k 有一个因式是x+1，∴x 3+3x 2－3x+k=x 3+x 2+2x 2+2x －5x －5+5+k=x 2（x+1）+2x （x+1）－5（x+1）+（k+5）=（x+1）（x 2+2x －5）+（k+5）．∴当k+5=0，即k=－5时，原多项式有一个因式是x+1．]10．521． [提示：由x 3－y 3=（x －y ）（x 2+xy+y 2）=4和x －y=1，可得x 2+xy+y 2=4； 由（x －y ）2=x 2－2xy+y 2=1，可得xy=1．又x 6+y 6=（x 3－y 3）2+2x 3y 3）=42+2×13=18，x 4+y 4=（x 2+y 2）2－2x 2y 2=（1+2×1）2－2×12=7，x 7－y 7=（x 4+y 4）（x 3－y 3）+x 3y 3（x －y ）=7×4+1×1=29．从而x 13－y 13=（x 7－y 7）（x 6+y 6）－x 6y 6（x －y ）=29×18－16×1=522－1=521．] 11．120． [提示：n 5－5n 3+4n=（n －2）（n －1）n （n+1）（n+2）．对于大于2的任何正整数n，数n5－5n3+4n都含有公约数1×2×3×4×5=120．故这些数的最大公约数是120．]12．－2．[提示：x3+3x2－2xy－kx－4y=（x3+3x2－kx）－（2xy+4y）=x（x2+3x－k）－2y（x+2）．欲使此式可分解，则x2+3x－k应含因式x+2．将x=－2代入得（－2）+3（－2）－k=0，即－2－k=0，故k=－2．]13．∵a=20052+20062+20052·20062=（2005·2006）2+20052－1+20062+1=（2005·2006）2+（2005+1）（2005－1）+20062+1=（2005·2006）2+2006·2004+20062+1=（2005·2006）2+2006（2004+2006）+1=（2005·2006）2+2×2005·2006+1=（2005·2006+1）2．∴a是一个完全平方数．14．mn+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，由已知m+11│（mn+9m+11n+145），（n+9）│（mn+9m+11n+145），m+11=n+9，得（m+11）│46，（n+9）│46．∵46=46×1=23×2，∴m+11=n+9=46，或m+11=n+9=23．由此可得，每人捐款数为47元或25元．15．设a+10b+c+2d=mA+mB=（m+n）a+（2m－2n）b+（3m+4n）c+（4m+5n）d．则m+n=1，2m－2n=10，3m+4n=1，4m+5n=2．解得m=3，n=－2．故a+10b+c+2d=3A－2B=3×3－2×2=5．16．设“千禧数”为x，则x3=1000k+999（k为自然数）．∴x3+1=1000（k+1），即（x+1）（x2－x+1）=1000（k+1）．∵x2－x+1=x（x－1）+1为奇数，可设x+1=8m（m为自然数），∴m（x2－x+1）=125（k+1）．下面证明5（x2－x+1）．若5│x，显然5（x2－x+1），若5トx，设x=5n+p（1≤p≤4）．当p=1时，x2－x+1=5n1+1；当p=2时，x2－x+1=5n2+3；当p=3时，x2－x+1=5n3+2；当p=4时，x2－x+1=5n4+3．综上所述5 ト（x2－x+1）．∴x+1=1000t，为使x最小，应取t=1，∴x=999．经验证得999是“千禧数”．故最小的“千禧数”是999．。
因式分解在生活中的应用二例
因式分解在生活中的应用二例因式分解作为中学代数中的一个很重要的恒等变形，它的地位十分重要，它有着广泛的应用，利用它可以解决一些实际生活问题。
一.利用因式分解设计密码例：（05年浙江）在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x-y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是什么？（写出一个即可）.分析：按照原理，需把4x3y-xy3分解因式，再代入求值，就可以产生密码4x3y-xy3=x（4x2-y2）=x（2x+y）（2x-y）当x=10，y=10，各因式的值是：x=10，（2x+y）=30，（2x-y）=10又因为这六个数字不考虑顺序，所以产生的密码为103010；101030；301010二：利用因式分解解决扑克牌的问题例：小明与小红玩扑克游戏：共有两副扑克牌，现将牌最上面一张发出，将下一张放最下面，依此类推，直至发完所有的牌，问最后一张是什么牌？（牌的顺序：大王，小王，黑桃，红桃，梅花，方块，同种色顺序：A，2，……Q，K）。
分析：这么多的扑克牌，会给我们造成很大的麻烦。
我们可以先考虑简单的，从中找出规律，再思考复杂的情况。
我们按顺序给扑克牌编号，第一张1号，第二章2号，以此类推……（1）如果是3张牌，1号，2号，3号，结果是2号。
（2）如果6张牌，1号到6号，结果是4号。
（3）如果10张牌，1号到10号，结果是8号。
（4）若果12张牌，1号到12号，结果是8号。
（5）如果20张牌，1号到20号，结果是16号。
……从中我们可以得到什么规律呢？原来4分解为2×2，8分解为2×2×2，16分解为2×2×2×2，如果有n张牌，只要在不超过n的数中找到一个可以分解为若干个2相乘的最大的的数就对了。
因式分解(超全方法)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
第13讲 因式分解及其应用
第13讲 因式分解及其应用考点·方式·破译1．因式分解地定义：把一个多项式化成几个整式地积地形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
2．因式分解地基本方式有提公因式法，运用公式法，分组分解法等。
3．因式分解地基本原则：有公因式先提出公因式，分解一定进行到每一个多项式都不能再分解为止。
4．竞赛中常出现地因式分解问题,常用到换圆法，主圆法，拆项添项阿，配方式和待定系数法等方式，另外形如2x px q ++地多项式,当p ＝a ＋b ,q ＝ab 时可分解为（x ＋a ）（x ＋b ）地形式。
5．利用因式分解求代数式地值与求某些特殊方程地解.经典·考题·赏析【例１】⑴若229x kxy y ++是完全平方式,则k ＝______________⑵若225x xy ky -+是完全平方式,则k ＝______________【解法指导】形如222a ab b ±+地形式地式子,叫做完全平方式.其特点如下：⑴有三项。
⑵有两项是平方和地形式。
⑶还有一项是乘积地2倍,符号自由.解：⑴22229(3)x kxy y x kxy y ++=++是完全平方式,∴6kxy xy =± ∴6k =±。
⑵22225522y x xy ky x x ky -+=-⋅⋅+是完全平方式,∴225()2ky y = ∴254k =【变式题组】01．若22199m kmn n -+是一个完全平方式,则k ＝________02．若22610340x y x y +-++=,求x ，y 地值.03．若2222410a a b ab b +-++=,求a ，b 地值.04．（四川省初二联赛试题）已知a ，b ，c 满足22|24||2|22a b a c ac -++++=+,求a b c -+地值.【例2】⑴（北京）把3222x x y xy -+分解因式,结果正确地是（）A ．()()x x y x y +-B ．22(2)x x xy y -+C ．2()x x y +D ．2()x x y -⑵（杭州）在实数范围内分解因式44x -＝____________⑶（安徽）因式分解2221a b b ---＝_______________【解法指导】分解因式地一般步骤为：一提,二套,三分组,四变形解：⑴3222222(2)()x x y xy x x xy y x x y -+=-+=-⑵42224(2)(2)(2)(x x x x x x -=+-=+⑶22222221(21)(1)(1)(1)a b b a b b a b a b a b ---=-++=-+=++--【变式题组】⑴3223223612x y x y x y -+⑵2222(1)2a x ax +-⑶222045a bx bxy -⑷2249()16()a b b a --+⑸222(5)8(5)16a a -+-+【例3】要使二次三项式25x x p -+在实数范围内能进行因式分解,那么整数P 地取值可能有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．无数多个【解法指导】由2()()()x a b x ab x a x b +++=++可知,在整数范围内分解因式25x x p -+,p 为(5)n n -地积为整数,∴p 有无数多个,因而选D【变式题组】⑴已知212x ax +-能分解成两个整系数地一次因式地乘积,则符合款件地整数a 地个数是（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个⑵在1~100间,若存在整数n ,使2x x n +-能分解为两个整系数地一次因式地乘积,则这样地n 有__个【例4】分解因式：⑴221112x x -+⑵22244x y z yz--+⑶22(52)(53)12x x x x ++++-⑷226136x xy y x y +-++-【解法指导】解：⑴ ∴221112(23)(4)x x x x -+=--⑵222244x y z y --+222(44)x y yz z =--+22(2)x y z =--(2)(2)x y z x y z =+--+⑶设2525x x ++=,则原式可变为2(1)1212(3)(4)t t t t t t +-=+-=-+∴原式＝22(523)(524)x x x x ++-+++21－3－422(51)(56)x x x x =+-++2(51)(2)(3)x x x x =+-++⑷226136x xy y x y +-++-22(6)(13)6x xy y x y =+-++-(2)(3)(13)6x y x y x y =-+++-(23)(32)x y x y =-++-【变式题组】01．分解因式：⑴2224912x y z yz ---⑵224443x x y y --+-⑶236ab a b --+⑷(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++⑸261910y y -+【例5】⑴（上海竞赛试题）求方程64970xy x y +--=地整数解。
多项式的因式分解及其应用
多项式的因式分解及其应用多项式因式分解是代数学中的重要内容之一，它可以将一个复杂的多项式表达式分解为简单的乘积形式，从而使问题变得更易解决。
本文将介绍多项式因式分解的基本原理和方法，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、多项式的因式分解原理及方法多项式因式分解的原理是基于整式乘法运算的逆运算，即将一个多项式分解为几个较小的因式的乘积形式。
下面以一些常见的多项式类型为例，介绍常用的因式分解方法。
1. 一次多项式的因式分解一次多项式是指次数为1的多项式，形如ax+b。
对于一次多项式，我们只需找到它的一个根 r （满足 ar + b = 0），就可以将原多项式分解为(x - r)的形式。
2. 二次多项式的因式分解二次多项式是指次数为2的多项式，形如ax^2+bx+c。
对于二次多项式，最常用的因式分解方法是配方法，即找到一个常数m，使得ax^2+bx+c=a(x+m)^2+n，其中n是常数。
然后我们将得到的等式展开并进行整理，即可得到原多项式的因式分解形式。
3. 含有因式公因子的多项式因式分解如果一个多项式中存在一个公因子，并且其他部分没有其他公因子，那么我们可以将这个公因子提取出来，并对其余部分进行因式分解。
例如，对于多项式3x^3+9x^2，我们可以先提取公因子3x^2，得到3x^2(x+3)。
4. 完全平方差的多项式因式分解如果一个多项式是两项的平方差形式，即a^2 - b^2，可以根据差的平方公式将其因式分解为(a - b)(a + b)。
二、多项式因式分解的应用多项式因式分解广泛应用于数学和实际问题中，以下列举了几个常见的应用场景。
1. 解多项式方程通过将多项式进行因式分解，可以将原方程转化为多个简单的因式，从而更容易求解。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以将其因式分解为(x+2)(x+3)=0，得到x=-2或x=-3。
2. 确定导函数的零点和极值点在微积分中，我们可以通过对多项式进行因式分解，来确定其导函数的零点和极值点。
多项式因式分解与应用
多项式因式分解与应用多项式因式分解是高中数学中的重要概念之一，它在解决数学问题中具有广泛的应用。
本文将介绍多项式因式分解的定义、方法和应用，并通过实例进行说明。
一、多项式因式分解的定义多项式是由多个单项式相加或相减而成的代数式。
而多项式因式分解是将一个多项式分解为两个或多个因式之积的过程。
例如，多项式x^2+3x+2可以分解为(x+1)(x+2)。
二、多项式因式分解的方法1.公因式法公因式法是最基本的多项式因式分解方法。
其基本思想是找出多项式中的最大公因式，并将其提取出来。
例如，要分解多项式6x^2+9x，则可以提取出3x，得到3x(2x+3)。
2.配方法配方法主要针对二次多项式进行因式分解，其基本思想是将二次多项式变换为一个平方差或者一个平方和。
例如，要分解多项式x^2+7x+12，则可以将其变换为(x+3)(x+4)。
3.完全平方法完全平方法主要针对特殊形式的多项式，即某些二次多项式可以表示为两个平方差的形式。
例如，要分解多项式x^2-4，则可以表示为(x-2)(x+2)。
4.特殊因式特殊因式是一些常见的多项式因式，例如二次三项式的平方差公式(a-b)^2=a^2-2ab+b^2和二次三项式的立方和公式(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3等。
利用这些特殊因式可以方便地进行因式分解。
三、多项式因式分解的应用1.求多项式的根多项式因式分解可以帮助我们求出多项式的根。
当一个多项式能够完全因式分解时，它的根就是其中每个因式为0所得到的解。
例如，多项式x^2+5x+6=(x+2)(x+3)，其根为-2和-3。
2.化简复杂的多项式通过因式分解，可以将复杂的多项式化简为简单的因式相乘形式，使得问题的求解变得更加简便。
例如，要化简多项式x^3+4x^2-5x-20，则可以将其因式分解为(x-2)(x+4)(x+5)，从而得到化简后的形式。
3.求解方程多项式因式分解还可以帮助我们求解各种类型的方程。