2019高考数学最新压轴题专练

2019最新压轴题专练

压轴题(一)

1．设P 为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为该双曲线的左、右焦点，

c ，e 分别

表示该双曲线的半焦距和离心率．若PF 1→·PF 2→＝0，直线PF 2交y 轴于点A ，则△AF 1P 的内

切圆的半径为( ) A ．a

B ．b

C ．c

D ．E

2．设实数m >0，若对任意的x ≥e ，不等式x 2ln x －m e m x

≥0恒成立，则m 的最大值是( )

A ．1e

B ．e 3

C ．2e

D ．e

3．在直角梯形ABCD ，AB ⊥AD ．DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，P 是以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上的动点(如图所示)．若AP →＝λED →＋

μAF

→，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是( )

A ．[－2，1]

B ．[－2，2]

C ．⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－12，12

D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－22

，22

4．已知函数f (x )＝ax －a 2－4(a >0，x ∈R)，若p 2＋q 2＝8，则f (q )

f (p )

的取值范围是( ) A ．(－∞，2－3) B ．[2＋3，＋∞) C ．(2－3，2＋3)

D ．[2－3，2＋3]

5．将三个边长为2的正方形，按下图方式剪成6部分，拼接成下面右图的形状，再折成一个封闭的多面体，则该多面体的体积为( )

A ．4

B ．2 6

C ．

73

3

D ．

56

3

6．已知函数f (x )＝x ln x ＋a x ＋3，g (x )＝x 3－x 2，若∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

13，2，f (x 1)－g (x 2)≥0，则实

数a 的取值范围为( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．[3，＋∞)

7．对于定义域为R 的函数f (x )，若满足①f (0)＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，都有

xf ′(x )>0；③当x 1<0

(x )＝－x 3＋

32x 2

；f 2(x )＝e x －x －1；f 3(x )＝⎩

⎨⎧

ln (－x ＋1)，x ≤0，2x ，x >0；f 4(x )＝

⎩⎪⎨⎪⎧

x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2x －1＋12，x ≠0，0，x ＝0.

则其中是“偏对称函数”的函数个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

8．下列命题为真命题的个数是( )

①ln 3<3ln 2；②ln π< π

e ；③2

15<15；

④3eln 2<4 2. A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．已知函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，则f (x )的最小值是____．

10．已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝3，AD ＝1，BC ＝4，BD ＝22，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，其外接球的体积为____．

11．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相

等，一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型，设某双曲线型冷却塔是曲线x 2a 2－y 2

b

2＝

1(a >0，b >0)与直线x ＝0，y ＝0和y ＝b 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得，如图所示，试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为____．

12．若函数y ＝f (x )满足：对于y ＝f (x )图象上任意一点P (x 1，f (x 1))，总存在点P ′(x 2，f (x 2))也在y ＝f (x )图象上，使得x 1x 2＋f (x 1)f (x 2)＝0成立，称函数y ＝f (x )是“特殊对点函数”．给出下列五个函数：

①y ＝x －1；②y ＝sin x ＋1；③y ＝e x －2；④y ＝ln x ；⑤y ＝1－x 2.(其中e 为自然对数底数)其

中是“特殊对点函数”的序号是____．(写出所有正确的序号)

13．数列{a n }满足a n ＋1＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2－1a n ＋2n ，则{a n }的前20项和为____．

14．在3×3方格中，规定每个单位正方形用黑色或白色涂染，如果某染色结果中，在每一行或列都至多有一个白色方格，那么就称为“穿杨染色”．例如，在三个方格中，如下图所示，只有右边是一个穿杨染色．则“穿杨染色”的总数是____．(旋转和反射认为是不同的)

15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，sin C －3sin B ＝3sin(C －A )＋sin(A －B )，则△ABC 面积的最大值为____．

16．已知椭圆的焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)，其中c ＝23⎠⎛0

π4 cos x d x ，直线l 与椭圆相切于

第一象限的点P ，且与x ，y 轴分别交于点A ，B ，设O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，∠F 1PF 2＝60°，则此椭圆的方程为____．

17．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，

c )，△EFA 的面积为b 22，过点E 的动直线l 被椭圆C 所截得的线段MN 长度的最小值为46

3

.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)B 是椭圆C 上异于顶点的一点，且直线OB ⊥l ，D 是线段OB 延长线上一点，且|DB |＝7

5

|MN |，⊙D 的半径为|DB |，OP ，OQ 是⊙D 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠POQ 的最大值，并求出取得最大值时直线l 的斜率．

18．已知函数f (x )＝1

2(x 2＋2a ln x )．

(1)讨论f (x )＝1

2

(x 2＋2a ln x )，x ∈(1，e)的单调性；

(2)若存在x 1，x 2∈(1，e)(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)<0成立，求a 的取值范围．