一元一次方程3

一、解答题（共16小题，满分150分）1、解方程﹣[x﹣（x﹣）]﹣=x+．2、已知下面两个方程3（x+2）=5x，①4x﹣3（a﹣x）=6x﹣7（a﹣x）②有相同的解，试求a的值．3、已知方程2（x+1）=3（x﹣1）的解为a+2，求方程2[2（x+3）﹣3（x﹣a）]=3a的解．4、解关于x的方程（mx﹣n）（m+n）=0．5、解方程，（a+x﹣b）（a﹣b﹣x）=（a2﹣x）（b2+x）﹣a2b2．6、已知（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199（m+x）（x﹣2m）+m的值．7、已知关于x的方程a（2x﹣1）=3x﹣2无解，试求a的值．8、k为何正数时，方程k2x﹣k2=2kx﹣5k的解是正数？9、若abc=1，解方程++=110、若a，b，c是正数，解方程11、设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：x+2[x]+3[x]+4[x]+…+[x]=．12、已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．13、解下列方程：（1）（2）（3）{}=114、解下列关于x的方程：（1）a2（x﹣2）﹣3a=x+1；（2）ax+b﹣（3）15、a为何值时，方程有无数个解？无解？16、当k取何值时，关于x的方程3（x+1）=5﹣kx分别有（1）正数解；（2）负数解；（3）不大于1的解．答案与评分标准一、解答题（共16小题，满分150分）1、解方程﹣[x﹣（x﹣）]﹣=x+．考点：解一元一次方程。

专题：计算题。

分析：先去小括号，再去中括号，然后移项合并、化系数为1可得出答案．解答：解：去小括号得：﹣[x﹣x+]﹣=x+，去中括号得：﹣x+x+﹣=x+，移项合并得：，系数化为1得：x=﹣．点评：本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．2、已知下面两个方程3（x+2）=5x，①4x﹣3（a﹣x）=6x﹣7（a﹣x）②有相同的解，试求a的值．考点：同解方程。

分析：本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解答：解：由方程①可求得3x﹣5x=﹣6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有：4×3﹣3（a﹣3）=6×3﹣7（a﹣3），解得：a=4．点评：本题考查同解方程的知识，难度不大，关键是根据①求出方程②的解．3、已知方程2（x+1）=3（x﹣1）的解为a+2，求方程2[2（x+3）﹣3（x﹣a）]=3a的解．考点：一元一次方程的解。

专题：方程思想。

分析：解一元一次方程2（x+1）=3（x﹣1）求得方程的解，即可求得a的值，代入方程2[2（x+3）﹣3（x﹣a）]=3a，然后解方程即可求得方程的解．解答：解：由方程2（x+1）=3（x﹣1）解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2（x+3）﹣3（x﹣3）]=3×3，即﹣2x=﹣21，∴x=10．点评：本题主要考查了方程的解的定义，根据方程的解的定义可以把求未知系数的问题转化为解方程的问题．4、解关于x的方程（mx﹣n）（m+n）=0．考点：解一元一次方程。

专题：计算题；分类讨论。

分析：先将方程整理为m（m+n）x=n（m+n），然后分情况讨论，①m+n=0且m≠0，②m+n=0且m=0，③m+n≠0，然后可分别解得x的值．解答：解：分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．把原方程化为：m2x+mnx﹣mn﹣n2=0，整理得：m（m+n）x=n（m+n）．①m+n≠0且m≠0时，方程的唯一解为x=；②当m+n≠0，且m=0时，方程无解；③当m+n=0时，方程的解为一切实数．点评：本题考查解一元一次方程的知识，有一定难度，解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．5、解方程，（a+x﹣b）（a﹣b﹣x）=（a2﹣x）（b2+x）﹣a2b2．考点：解一元一次方程。

分析：本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解答：解：将原方程整理化简得（a﹣b）2﹣x2=a2b2+a2x﹣b2x﹣x2﹣a2b2，即（a2﹣b2）x=（a﹣b）2．（1）当a2﹣b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解；x=，x=；（2）当a2﹣b2=0时，即a=b或a=﹣b时．若a﹣b≠0，即a≠b，即a=﹣b时，方程无解；若a﹣b=0，即a=b，方程有无数多个解．点评：本题虽表面上有x2项，但实际考查解一元一次方程的解法，有一定的难度，注意分类讨论思想的应用．6、已知（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199（m+x）（x﹣2m）+m的值．考点：一元一次方程的定义；代数式求值。

专题：计算题。

分析：根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b 是常数且a≠0）．列出等式，求出m的值，代入即可．解答：解：∵（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，∴m2﹣1=0，即m=±1．（1）当m=1时，方程变为﹣2x+8=0，因此x=4，∴原式=199（1+4）（4﹣2×1）+1=1991；（2）当m=﹣1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．点评：本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是一次项系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点．7、已知关于x的方程a（2x﹣1）=3x﹣2无解，试求a的值．考点：一元一次方程的解。

专题：计算题。

分析：先将方程变形为ax=b的形式，再根据一元一次方程无解的情况：a=0，b≠0，求得方程a（2x﹣1）=3x﹣2中a的值．解答：解：将原方程变形为2ax﹣a=3x﹣2，即（2a﹣3）x=a﹣2．由已知该方程无解，所以，解得a=．故a的值为．点评：本题考查了一元一次方程解的情况．一元一次方程的标准形式为ax=b，它的解有三种情况：①当a≠0，b≠0时，方程有唯一一个解；②当a=0，b≠0时，方程无解；③当a=0，b=0时，方程有无数个解．8、k为何正数时，方程k2x﹣k2=2kx﹣5k的解是正数？考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。

专题：方程思想。

分析：对方程ax=b，当a≠0时，方程有唯一解x=，此解的正负由a，b的取值范围确定：（1）当ab＞0时，方程的解是正数，（2）当ab＜时，方程的解是负数．解答：解：按未知数x整理方程得（k2﹣2k）x=k2﹣5k．要使方程的解为正数，需要（k2﹣2k）（k2﹣5k）＞0．看不等式的左端（k2﹣2k）（k2﹣5k）=k2（k﹣2）（k﹣5）．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．点评：本题考查的是方程的解，根据方程的解的概念，运用不等式的性质，确定k的取值范围．9、若abc=1，解方程++=1考点：解一元一次方程。

分析：将方程中的1用abc代替，然后化简整理可约去abc+bc+b，进而能得出答案．解答：解：因为abc=1，所以原方程可变形为：++=1化简整理为：+=1，+=1，化简整理为：=1，=1，∴x=为原方程的解．点评：本题考查解一元一次方程的知识，注意像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．10、若a，b，c是正数，解方程考点：解一元一次方程。

专题：计算题。

分析：根据题意，首先将方程式进行化简，去分母、移项、合并同类项，再根据题干所给a、b、c的条件进行推理讨论解决．解答：解：解法1、原方程两边乘以abc，得到方程：ab（x﹣a﹣b）+bc（x﹣b﹣c）+ac（x﹣c﹣a）=3abc，移项、合并同类项得：ab[x﹣（a+b+c）]+bc[x﹣（a+b+c）]+ac[x﹣（a+b+c）]=0，因此有：[x﹣（a+b+c）]（ab+bc+ac）=0，因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x﹣（a+b+c）=0，即x=a+b+c为原方程的解；解法2、将原方程右边的3移到左边变为﹣3，再拆为三个“﹣1”，并注意到：，其余两项做类似处理，设m=a+b+c，则原方程变形为：，所以：（x﹣m）（）=0，∵a＞0，b＞0，c＞0，∴≠0，∴x﹣m=0，即：x﹣（a+b+c）=0，所以x=a+b+c为原方程的解．点评：本题主要考查了解一元一次方程，需要熟悉解一元一次方程的步骤，同时需要注意观察，认真推敲所给条件，巧妙变形，从而产生简单优美解法．11、设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：x+2[x]+3[x]+4[x]+…+[x]=．考点：取整函数。

专题：计算题。

分析：要解此方程，必须先去掉[]，根据[x]是整数，2[x]，3[x]，n[x]都是整数，所以x必是整数，即可求解．解答：解：由于n是自然数，所以n与（n+1）中必有一个偶数，因此是整数．因为[x]是整数，2[x]，3[x]，n[x]都是整数，所以x必是整数．根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为x+2x+3x+4x+…+nx=合并同类项得（1+2+3+…+n）x=故有x=所以x=n（n+1）为原方程的解．点评：本题主要考查了取整函数的计算，去掉[]，转化为一般的式子是解决本题的关键．12、已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．考点：一元二次方程的整数根与有理根。

专题：计算题。

分析：用x表示出a，找到x的最小的自然数解，也就求得了a的值，进而求得最小值．解答：解：由原方程可解得a=x﹣142，∵a为自然数，∴x＞142，∴x＞157，∵a最小，∴x应取x=160．∴a=2．所以满足题设的自然数a的最小值为2．点评：考查二元方程的最小系数的自然数值；用一个字母表示出另一个字母是解决本题的突破点．13、解下列方程：（1）（2）（3）{}=1考点：解一元一次方程。

专题：计算题。

分析：（1）先把分母化为整数，再去分母、去括号、移项即可；（2）按照去分母、去括号、移项的步骤计算；（3）先去小括号、再去中括号、最后去大括号、移项即可．解答：解：（1）分母化为整数得：﹣=，去分母得：6（4x+9）﹣15（x﹣5）=10（2x+3），去括号得：24x+54﹣15x+75=20x+30，移项得：11x=99，同除以11得：x=9．（2）去分母得：1﹣=4，再去分母得：3﹣1﹣（1﹣x）=12，去括号得：2﹣+x=12，移项得：x=10=，同除以得：x=21．（3）去小括号得：{[﹣﹣6]+4}=1，再去中括号得：{+4}=1，再去大括号得：，移项得：=，同除以得：x=5．点评：本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．14、解下列关于x的方程：（1）a2（x﹣2）﹣3a=x+1；（2）ax+b﹣（3）考点：解一元一次方程。