曲线的参数方程和与普通方程的互化
68第十二章 系列4选讲 第2课时 参数方程
思维升华
消去参数的方法一般有三种 (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数. (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数. 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小， 必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.
师生共研
题型二 参数方程的应用
x＝2cos θ，
例 1 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
(θ 为参数)，
y＝4sin θ
x＝1＋tcos α，
直线 l 的参数方程为
(t 为参数).
y＝2＋tsin α
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.
椭圆
ax22＋by22＝1(a>b>0)
抛物线 y2＝2px(p>0)
x＝acos φ，
(φ 为参数)
__y_＝__b_s_in__φ______________
x＝2pt2，
(t 为参数)
y＝2pt
【概念方法微思考】
x＝x0＋tcos α，
1.在直线的参数方程
(t 为参数)中，
y＝y0＋tsin α
跟踪训练 1
已知椭圆
C：x42＋y32＝1，直线
x＝－3＋ l：
y＝2 3＋t
3t，
(t 为参数).
(1)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程；
x＝2cos θ，
解 椭圆 C 的参数方程为
(θ 为参数)，
y＝ 3sin θ
直线 l 的普通方程为 x－ 3y＋9＝0.
参数方程教案
教学过程 一、复习预习1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y at x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数)二、知识讲解考点1. 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化。
参数方程与普通方程的互化
2cos 5(为参数)所 3 2sin
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
x r r cos 是3、4，圆则y圆 心2r 坐r s标in是 (__为_（_参_2_，数__1，_）_r___0)的直径
4 所以x [ 2, 2], 所以与参数方程等价的普通方程为
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
y
o
2
x
2
参数方程化为普通方程的步骤
步骤： 1、消掉参数 2、写出定义域
练习1
下列参数方程与方程y2 x表示同一曲线的是
A
x y
t t
2
(t为参数)
2 0得焦点坐标为(2,0)和(0,2) 4
小节：
1、参数方程的概念 2、能够解决一些简单的参数方程 3、圆的参数方程的表达式 4、将参数方程化为普通方程的方法 5、将普通方程化为参数方程的方法
注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x,y的取值范围保持一致。
作业：26页1、2、4、5
解：（1）把x 3cos代入椭圆方程，得到
9 cos2 y2 1,
94
所以y2 4(1 cos2 ) 4sin2 即y 2sin
由参数的任意性，可取y 2sin ,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x
y
3 c os (为参数) 2sin
解：（1）由x t 1 1有 t x 1 代入y 1 2 t ,得到y 2x 3 又x t 1 1,所以与参数方程等价的 普通方程是 y 2x 3(x 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)
高考数学(理)总复习讲义： 参数方程
第二节参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性. (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎝⎛⎭⎫α≠π2，点斜式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) [熟记常用结论]经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量.( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上.2.若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值为( )A.－4或6B.－6或4C.－1或9D.－9或1解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5，因为直线l 与曲线C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋12＝5，解得m ＝－4或m ＝6.故选A.3.在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，则其普通方程为____________.解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝04.已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，则它们的交点坐标为________.解析：消去参数θ得普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t 得普通方程为y 2＝45x ，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，255 5.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1).答案：y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关][题组练透]1.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ].2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[名师微点]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.考点二 参数方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.[解题技法]一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.[过关训练]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关][典例精析](2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值.[解] (1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2 θ4＝1，即ρ2＝364＋5sin 2θ.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364＋5sin 2θ，曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)由点A ⎝⎛⎭⎫22，π4，得⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2,2).因为直线l 过点A (2,2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[解题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.[过关训练](2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2，故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α， t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.[课时跟踪检测]1.设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数). (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围. 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)， 即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞. 2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tanα·x ＋2－tan α；当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0).(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值.解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得， 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0).由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax ，得t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ＞0得a ＞4，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5.4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|P Q |的最小值及此时P 的直角坐标. 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|P Q |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数).在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)分别交C 1，C 2于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，当k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，即C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.方程ρcos 2θ＝sin θ可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ (*)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式，可得x 2＝y ， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)因为A ，B 异于原点，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，y ＝kx ，可得A ⎝⎛⎭⎫2k 2＋1，2k k 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，可得B (k ，k 2). 故|OA |·|OB |＝1＋k 2·2k 2＋1·1＋k 2·|k |＝2|k |.又k ∈(1，3]，所以|OA |·|OB |∈(2,23].6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值. 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0. 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，可得点P 的直角坐标为(2，－2)，∴点P 在曲线C 1上.将曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)代入y ＝x 2，得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数， 则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 7.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数).(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值. 解：(1)由直线l 过点A ，得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ，故a ＝2，则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.由点到直线的距离公式，得曲线C 1上的点到直线l 的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2，⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝233，∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4， 则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数).易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1.把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程， 得72t 2＋72t －5＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－107， 根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107. 8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝m ＋12t (t为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，直线l 与圆C 交于A ，B 两点. (1)若OA ⊥OB ，求直线l 的普通方程；(2)设P (3，1)是直线l 上的点，若|AB |＝λ|PC |，求λ的值.解：(1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y ＝3＋3m ，将圆C 的极坐标方程ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的两边同时乘ρ， 得ρ2＝43ρcos θ＋4ρsin θ，则圆C 的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝16，所以圆C 的圆心C (23，2)，半径为4，且经过原点O ，数形结合得，若OA ⊥OB ，则直线l 经过圆心C ，即23＋3×2＝3＋3m ，解得m ＝3， 即直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0. (2)由P (3，1)是直线l 上的点，得m ＝1，此时直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)，代入到圆C 的方程(x －23)2＋(y －2)2＝16中，得t 2＋2t －12＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－12，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4＋48＝213， 又|PC |＝2，|AB |＝λ|PC |，所以λ＝13.。
参数方程和普通方程的互化
吗？
提示：同一个普通方程，选取的参数不同，所得到的参数
方程也不同，所以在写参数方程时，必须注明参数是哪一
个．
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淳朴 团结 勤奋 向上
我的疑惑 ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________
[考题印证]
(2013·湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π与曲线 4
x＝t＋1， y＝ t－1 2，
(t 为参数)相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的
直角坐标为________．
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，(其中 t 是参数，a∈
R)，点 M(3,1)在该曲线上．(1)求常数 a；(2)求曲线 C 的普通 方程．
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解：(1)由题意可知有
1＋2t＝3 at2＝1
，
故ta＝＝11，， ∴a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋. 2t，
(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y的取值 范围 保持一致．
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[小问题·大思维]
1．将参数方程化为普通方程的实质是什么？
提示：将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用．
2．将普通方程化为参数方程时，所得到的参数方程是唯一的
参数方程与普通方程的互化
x f (t ) 就是曲线的参数方程。 在参数方程 y g (t )
与普通方程的互化中，必须使 x, y 得取值范围保持一致。
【考点一】 把曲线的普通方程化为参数方程 [例 1] 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． （1）
( x 1) 2 ( y 2) 2 1 ，x＝ 3cos θ＋1.(θ 为参数) 3 5
x＝－2＋cos θ ， y 2．P(x，y)是曲线 (0≤θ＜π ，θ 是参数)上的动点，则 的取值范围是 x y ＝ sin θ
(
)
A.－
3 ，0 3
B.－
3 3 ， 3 3
C.0，
3 3
D.－∞，－
3 3
2
鸡西市第十九中学高二数学组 x＝cos θ ， 3．曲线 C： (θ 为参数)的普通方程为________．如果曲线 C 与直线 x＋y y＝－1＋sin θ
7．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为：
x＝1－ 2 t， x＝ 5cos θ ， π C1： (t 为参数)，它们的交点 θ 为参数，0≤θ ≤ ，C2： 2 2 y＝ 5sin θ
2
y＝－ 2 t
坐标为________． 8．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为：
＋a＝0 有公共点，那么 a 的取值范围是________．
x＝tcos θ ， x＝4＋2cos α ， 4．直线 (t 为参数，0＜θ＜π )与圆 (α 为参数)相切，则 θ＝ y＝tsin θ y＝2sin α
________． 5．指出下列参数方程表示什么曲线：
参数方程和普通方程的互化
4
)
总结：
消参数方程的方法：
1.代入法；如上题的（1） 2.利用三角函数中的恒等式消去参数。 如上题中的（2）
x 3 cos 1. , (0 ) 2 y 3 sin
化普通方程，表示什么曲线。
x t 3 2. , y 4t 2
2
化普通方程
2 = r2 y ( rcosθ, rsinθ)
o
r
x
2、圆心不在原点的圆的参数方程：
( x －a ) 2 + ( y －b ) 2 = r 2
x a r cos (为参数) y b r sin
圆心为 ( a , b )，半径为 r 的 圆的参数方程。 参数θ—— 圆的动半径与过圆心平行 x 轴 正半轴的射线所成的角。
参数方程与普通方程的互化
x f (t ) （曲线的参数方程） y g( t )
消去参数t
y h( x )(普通方程）
2.把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线：
x t 1 （1） ( t为参数） y 1 2 t x sin cos （2） ( 为参数） y 1 sin 2
x 1 4cos y 2 4sin x 2sec y 2 tan
2
把普通方程化参数方程 xy=1
练习：书本P27 5（2）
课后总结：两种方程的互化
作业：
书本P27 4（1）（2）；5（1） 相应的优化设计
1.设点M x, y 在圆x +y =1上,求
2 2
1 , 点P x y, xy 的轨迹
解 :设点M cos , sin 0 2 ,则点 P x' , y ' 则
参数方程与普通方程互化
VS
误差分析
在验证过程中，需要对误差进行分析，以 评估转化过程的精度和准确性，并根据需 要调整和改进转化方法。
转化后方程的简化与化简
简化方程进行简化，以使其更易于理解和分析。简化的步骤可 能包括合并同类项、消去某些变量等。
= a(t)t$、$y = b(t)$，其中 $t$ 是参数。
三角函数法
要点一
总结词
利用三角函数的性质，将普通方程转化为参数方程。
要点二
详细描述
利用三角函数的周期性、有界性等性质，将普通方程转化为 参数方程。例如，将普通方程 $x = acostheta$、$y = bsintheta$ 转化为参数方程 $theta = theta(t)$、$x = acostheta(t)$、$y = bsintheta(t)$，其中 $t$ 是参数。
详细描述
三角函数法的基本思想是利用三角函数的性质，如三角恒等式、周期性等，将 参数方程转化为普通方程。这种方法适用于与三角函数有关的参数方程。
代数法
总结词
通过代数运算，将参数方程转化为普通方程 的方法。
详细描述
代数法的基本思想是通过代数运算，如加减、 乘除、乘方等，将参数方程转化为普通方程。 这种方法适用于参数不易消去或与三角函数 无关的参数方程。
03 普通方程转化为参数方程 的方法
引入参数法
总结词
通过引入参数，将普通方程转化为参数方程 ，参数通常表示方向或时间。
详细描述
在普通方程中引入一个或多个参数，将普通 方程中的变量表示为参数的函数，从而将普 通方程转化为参数方程。例如，将普通方程 $x = a(t)t$、$y = b(t)t$ 转化为参数方程 $x
参数方程与普通方程互化
{x 3 1 t2 (t为参数)和{x 3 1 t2
y 2t
y 2t
练习3:曲线y=x2的一种参数方程是（ ）
.
A 、
x y
t2 t4
B 、
x y
sin sin
t
2
t
C、x t y t
D、
x y
t t
2
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0， 在A、B、C中，x,y的范围都
t表 示 抛 物 线 上 除 顶 点 外的 任 意 一 点 与 原 点 连 线的 斜 率 的 倒 数.
参数方程和普通方程 的互化典型例题分析
（1）参数方程通过代入消元或加减消元或三角消元消去参数 化为普通方程
一、代数法
1：代入法消去参数
例1、把下列参数方程化为普通方程；
（1） x
1-
1 t
（为参数）
####例6、求椭圆普通方程 x2 y2 1 94
的参数方程
（1）（令）设x 3cos,为参数。
（2）（令）设y 2t,t为参数
解：（1）把x 3cos代入椭圆方程，得到
9 cos2 y2 1,
94
所以y2 4(1 cos2 ) 4sin2 即y 2sin
x f (t)
{
.......... .......... .....( 2)
y g(t)
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2） 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方 程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y 的变数t叫做参变数，简称参数.
普通方程:相对于参数方程而言，直接给出 点的坐标x,y间关系的方程叫做普通方程。
高中数学第二讲参数方程一参数的曲线方程第1课时参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化
所以 y＝1±sin θ.
不 妨 取 y ＝ 1 ＋ sin θ ， 则 所 求 的 参 数 方 程 为
x＝cos θ， y＝1＋sin θ(θ
为参数)．
归纳升华
1．消去参数的方法主要有三种． ①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代
入消元法或加减消元法消去参数．
②利用三角恒等式借助 sin2θ＋cos2θ＝1 等消去参数．
③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方
法
)例如借助1＋2tt22＋11－ ＋tt222＝1，t＋1t 2－t－1t 2＝4
等 )从整体上消去参数．
2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 的取值范围扩大或缩小，必须根据参数的取值范围， 确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．
消去参数 t，得 a＝1. (2)由上述可得，曲线 C 的参数方程是xy＝＝t12＋. 2t， 把点 P 的坐标(1，0)代入方程组，解得 t＝0， 因此 P 在曲线 C 上． 把点 Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到3－＝11＝＋t22，t， 这个方程组无解，因此点 Q 不在曲线 C 上．
归纳升华 1．满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与 曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．
一是曲线上有一点的坐标(x，y)与参数的关系比较明显， 容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定；第 三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义 等，建立点的坐标与参数的函数关系式，并化成最简形式； 第四步，证明以化简后的参数方程的解为坐标的点都是曲 线上的点．(求解过程中第四步通常省略，但要通过检验， 并准确标注参数及其取值范围．)
所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 xy＝＝gf（（tt）），就叫作这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言， 直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．
高中数学第二讲参数方程一第二课时参数方程和普通方程的互化课件新人教A版
1
2
3
4
5
答案
2 x ＝ 2 ＋ sin θ， 2.将参数方程 (θ为参数)化成普通方程为 2 y＝sin θ
A.y＝x－2
B.y＝x＋2
C.y＝x－2(2≤x≤3) √
∴y＝x－2.
D.y＝x＋2(0≤y≤1)
解析 由x＝2＋sin2θ，得sin2θ＝x－2，代入y＝sin2θ， 又sin2θ＝x－2∈[0,1]，∴x∈[2,3].
解答
(2)若点P是曲线C上任意一点，P点的直角坐标为(x，y)，求x＋2y的最 大值和最小值.
解
x＝2＋ 2cos θ， 由(1)知曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数)， y＝2＋ 2sin θ
所以 x＋2y＝(2＋ 2cos θ)＋2(2＋ 2sin θ)
1 ＝6＋ 2(cos θ＋2sin θ)＝6＋ 10sin(θ＋φ)，tan φ＝2.
两式平方相加得(x－2)2＋y2＝9， 即普通方程为(x－2)2＋y2＝9.
解答
类型二 普通方程化为参数方程
例2 程.
已知圆C的方程为x2＋y2－2x＝0，根据下列条件，求圆C的参数方
(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数；
解答
(2)设x＝2m，m为参数. 解 把x＝2m代入圆C的普通方程，得4m2＋y2－4m＝0，
普通方程，求出另一个变数与参数的关系 ，那么 就是曲 x ＝ f t ， y＝g(t) 线的参数方程. y＝gt，
(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法 ①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数； ②三角函数法：利用三角恒等式消去参数； ③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去. 特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)＝0，在消参过程中注意变量 x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t) 和g(t)的值域得x ， y的取值范围.
空间曲线参数方程与一般方程互化_张荣锋(常微分参考资料)
第29卷第1期Vol 129 No 11长春师范学院学报(自然科学版)Journal of Changchun Normal Universi ty(Natural Science)2010年2月Feb.2010空间曲线参数方程与一般方程互化张荣锋(齐齐哈尔高等师范专科学校,黑龙江齐齐哈尔 161005)[摘 要]空间解析几何的首要问题就是空间曲线方程的求解问题,由曲线建立它的轨迹方程,方法很多.但是任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有的方程求解,因此,如何完成空间曲线不同方程互化便成了一个基本问题.本文通过例题展示空间曲线参数方程与一般方程互化的作用,及两种方程互化中需要注意的事项.[关键词]参数方程;一般方程;互化[中图分类号]O18212 [文献标识码]A [文章编号]1008-178X(2010)01-0015-03[收稿日期]2009-11-14[作者简介]张荣锋(1977-),男,黑龙江齐齐哈尔人,齐齐哈尔高等师范专科学校讲师,从事几何学研究。
空间解析几何的首要问题就是空间曲线方程的求解,由曲线建立其轨迹方程,方法很多.而曲线又常常表现为一个动点运动的轨迹,但是运动的规律往往不是直接反映为动点的三个坐标x 、y 与z 之间的关系,而是直接表现为动点的径矢随着时间t 的变动而变动的规律,这个变动规律用等式表示出来就是曲线的矢量式参数方程,而且曲线的矢量式参数方程一旦求出,曲线的坐标式参数方程也就可以写出了,因此,如何完成空间曲线参数方程与一般方程互化便成了一个基本问题.1 曲线方程的几种定义[1]定义1 设C 为空间曲线,F 1(x ,y ,z )=0F 2(x ,y ,z )=0为三元方程组,空间中建立了坐标系之后,若C 上任一点M(x ,y ,z )的坐标都满足方程组,而且凡坐标满足方程组的点都在曲线C 上,则称F 1(x ,y ,z )=0F 2(x ,y ,z )=0为曲线L 的普通方程,又称一般方程.定义2 设C 为一空间曲线,r =r (t),t I A 为一元矢函数,在空间坐标系下,若对P P I C,v t I A ,使OP =r (t),而且对P t I A ,必有P I C,使r (t)=OP ,则称r =r (t),t I A 为曲线C 的矢量式参数方程,记作C =r (t),(t I A ,t 为参数).若点r(t )={x (t),y (t),z (t)},则称x =x (t)y =y (t)z =z (t),t I A 为L 的坐标式参数方程.2 利用参数方程求解一般方程在空间解析几何中表示同一条曲线的参数方程和直角坐标方程,虽然形式不同,却有着极为密切的联系.在一定条件下,通过消去参数,可将曲线的参数方程转化为直角坐标方程,许多空间曲线不能直接根据已知条件求解出构成这条曲线的两个相交的曲面来,我们可以引入恰当的参数先求解参数方程,然后通过参数方程求解一般方程,完成对空间曲线的构造.#15#例1 一质点,在半径为a 的圆柱面上,一方面绕圆柱面的轴作匀速转动,一方面沿圆柱面的母线方向作匀速直线运动,求质点的运动轨迹.[1]解:以圆柱面的轴作为z 轴,建立直角坐标系{O;i ,j ,k },如图,不妨设质点的起始点在x 轴上,质点的角速率与线速率分别为X ,v ,质点的轨迹为C ,则对P I C ,M在xOy 面上的投影为M c ,r =OM =OM c +M c M =a cos X ti +a sin X tj +vtk,若令X t =H ,v X=b ,则r =a cos H i +a sin H j +b H k ,0F H <+].而x =a cos Hy =a sin H z =b H,0F H <+].从圆柱螺旋线的参数方程化为一般方程,我们使用代入法从中消去参数H ,可以得到圆柱螺旋线方程的一般式为x 2+y 2=a 2y =a sin z b.由此可以看出,参数方程不仅表示出明确的质点运动的意义,而且从它也比较容易想象出轨迹的图形,因此在这样的问题中,空间曲线的参数方程显示出了它的优越性.特别强调的是,在建立动点轨迹的参数方程时,对于怎样去找参数,往往难以把握.其实在空间解析几何中,虽然通常使用的参数很多,如复参数、斜率参数、时间参数、有向距离参数、点参数以及比值参数等,[2]怎样找参数,选用怎样的参数,其主要依据就是考察动点的运动可由哪些几何量所制约.一般来说,凡能制约动点运动的几何量均可以选作参数.3 利用解一般方程寻找参数方程例2 已知一般经为a 的球面与一个直径等于球的半径的圆柱面,如果圆柱面通过球心,那么这时球面与圆柱面的交线叫做维维安尼(Viviani )曲线,试建立维维安尼曲线的参数方程式.[3]由于直接求解维维安尼曲线的参数方程式比容易确定曲线的参数,而已知条件中明确告诉我们维维安尼曲线是球面与圆柱面的交线,因此我们利用已知条件先求解曲线的一般方程.解 取球心为坐标原点,通过球心的圆柱面的一天母线为z 轴,过球心的圆柱面的直径为x 轴建立右手直角坐标系,那么球面与圆柱面的方程分别为x 2+y 2+z 2=a 2,与x 2+y 2-ax =0.因此维维安尼曲线一般方程为x 2+y 2+z 2=a 2,x 2+y 2-ax =0.为了要求得维维安尼曲线方程的参数方程,可以像把平面曲线的普通方程化为参数方程那样由上式得到.先把上式中的圆柱面方程x 2+y 2-ax =0,利用平面上圆的参数方程改写为x =a cos 2H ,y =a cos H sin H ,代入球面方程x 2+y 2+z 2=a 2得z =?a sin H .因此我们有x =a cos 2H ,y =a cos H sin H ,0F H <P z =a sin H , 与x =a cos 2H ,y =a cos H sin H ,0F H <P z =-a sin H ..但如果令t =H +P ,即H =t -P ,代入上式,那么上式就变成x =a cos 2t,y =a cos t H sin t,P F t <2P .z =a sin t.所以维维安尼曲线的参数方程为x =a cos 2H ,y =a cos H sin H ,0F H <2P z =a sin H ..因此,化普通方程为参数方程,选取参数十分重要,选择恰当的参数,方程将有比较简单的形式.#16#4参数方程和普通方程互化中应该注意的问题空间曲线的普通方程与其参数方程的互化,以及空间曲线的一般方程与其参数方程的互化,必须注意两种方程的/等价性0,因为普通方程系数中的参变数,影响着曲线的形状和位置,参数的不同取值确定着不同的曲线;在曲线方程的系数参数问题中,较突出地反映了解析几何数和形的对立统一思想,要特别注意变量允许值的范围,在互化前后要保持一致.关于化参数方程为普通方程,吴光磊等编的5解析几何6有这样的叙述/如果从参数方程中消去参数t,得到联系x,y与z的方程F(x,y,z)=0,而且这方程的每一组解(x,y,z)都可从t的某值通过x=x(t)y=y(t)z=z(t)得出,那么F(x,y,z)=0就是这曲线的方程.0这就是说,对仅仅消去了参数t得到的F(x,y,z)=0来讲,并不一定正好是曲线对应的普通方程,它有可能具有不能从t的某值通过上式得出的解,从而给原曲线增加了新的点只有当F(x,y,z)=0还满足它的/每一组解(x,y,z)都可从t的某值通过上式得出0[4]这一条件后才是曲线的普通方程.另外,在把参数方程化成普通方程时,要特别注意方程的同解性是否被破坏,有时由于参数方程中的参数取值有范围的限制,因而图像只表示曲线的一部分,而在消去参数后,得到普通方程的图像却是曲线的整体.这样,普通方程与原来的参数方程表示的曲线就不完全相同了.因此,在转化过程中,必须注意原来方程中的参数所受的限制在所化的普通方程中的图像予以反映出来.在把参数方程化为普通方程时,要特别注意保持方程的等价性和同解性,使其解答完整正确.[参考文献][1]张荣锋.空间解析几何[M].哈尔滨:东北林业大学出版社,2008.[2]高瑞芳.解析几何中有关参数范围问题的求解策略[J].山西煤炭管理干部学院学报,2006(3).[3]吕林根.解析几何[M].北京:高等教育出版社,2005.[4]坎着洁.解析几何中参数范围求解途径分析[J].数理化解题研究:高中版,2009(3).The Mutual Transformation of General Equations and the Parameter Equation of Space CurvesZ HANG Rong-feng(Qiqihar Teachers College,Qiqihar161005,China)Abstract:The primary problem of space analytic geometry is the solution problem of space curve equation.There are many methods to establish locus equation by curves,but any kind of solution method is not suitable for all equations.Therefore,the mutual transformation of space curve equa tions becomes a fundamental issue.The role of the mutual transformation between the parameter equations of space curve and general equations,as well as some issues need attention are discussed with two e xamples in this paper.Key words:parameter equation;general equation;mutual transformation#17#。
参数方程的概念及直线的标准参数方程及应用
参数方程的概念及直线的标准参数方程及应用一、教学内容:1．参数方程的概念及参数方程与普通方程的互化 2．直线的标准参数方程及其应用 二、重点难点:1．参数方程的概念:在xoy 平面上，若曲线C 的任意点的坐标(x, y)都能通过第三变量t 表示出来，即⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，t ∈M,①,这里M 是某个指定的区间，反之，对于每一个t ∈M, 由①确定的点(x,y)都在曲线C 上，那么方程组①才能叫做曲线C 的参数方程. 2．曲线参数方程与普通方程的互化:曲线C 的普通方程和参数方程是曲线C 的两种不同代数形式，以本质上讲它们是互相联系的，一般可以进行互化.曲线的参数方程曲线的普通方程.通常使用代入消参，加减消参，使用三角公式消参。
还常利用万能公式消解决形如2221()(,,,1()1()At x at a A B B at y at ⎧=⎪+⎪⎨⎡⎤-⎪⎣⎦=⎪+⎩其中为非零参数） 的消参问题 · 但特别要注意，（1）互化时，必须使坐标x, y 的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的.如曲线y=x 2的一种参数方程是（ ）.A 、⎪⎩⎪⎨⎧==42ty t x B 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x 2sin sin C 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x D 、⎪⎩⎪⎨⎧==2t y tx分析:在y=x 2中，x ∈R, y ≥0，在A 、B 、C 中，x,y 的范围都发生了变化，因而与y=x 2不等价，而在D 中，x,y 范围与y=x 2中x,y 的范围相同，且以⎪⎩⎪⎨⎧==2ty tx 代入y=x 2后满足该方程，从而D 是曲线y=x 2的一种参数方程.（2）在求x,y 的取值范围时，常常需用求函数值域的各种方法。
如利用单调性求函数值域，二次函数在有限区间上求值域，三角函数求值域，判别式法求值域等。
3．直线的参数方程过点M 0(x 0,y 0)，且倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎨⎧α+=α+=.sin ,cos 00t y y t x x其中参数t 的几何意义是:规定l 向上方向为正方向，t 是有向直线l 上，从已知点M 0(x 0, y 0)到点M(x,y)的有向线段M 0M 的数量，且|M 0M|=|t|. 当t>0时，点M 在点M 0的上方 当t=0时，点M 与点M 0重合 当t<0时，点M 在点M 0的下方特别地，若直线l 的倾角α=0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y tx x .当t>0时，点M 在点M 0的右侧当t=0时，点M 与点M 2重合当t<0时，点M 在点M 0的左侧 4. 直线的参数方程的应用：由参数t 的几何意义可知，若M 1，M 2为直线l 上两点， t 1, t 2分别为M 1，M 2所对应的参数, 则(1)|M 1M 2|=|t 1-t 2|(2)010212M M M M t t ⋅=(3)若M 3为M 1，M 2的中点，则中点M 3对应的参数为2213t t t +=所以，处理过定点的直线截得的线段长问题，采用直线的参数方程有时比较方便。
参数方程
参数方程一、基础知识1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).3．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)．考点一 参数方程与普通方程的互化[典例] 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [解] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ]． [解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin 2θ＋cos 2θ＝1等)．[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解． [题组训练]1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)． 解：(1)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ，所以(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1.(2)因为曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，①②由y ＝2tan θ，得tan θ＝y2，代入①得y 2＝2x .2.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ， 则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ.所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．考点二 参数方程的应用[典例] (2019·广州高中综合测试)已知过点P (m,0)的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝2，求实数m 的值． [解] (1)消去参数t ，可得直线l 的普通方程为x ＝3y ＋m ，即x －3y －m ＝0. 因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ.可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即x 2－2x ＋y 2＝0.(2)把⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t代入x 2－2x ＋y 2＝0，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0. 由Δ>0，得－1<m <3.设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1·t 2＝m 2－2m .因为|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|＝2，所以m 2－2m ＝±2， 解得m ＝1±3.因为－1<m <3，所以m ＝1±3. [解题技法]1．应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．[题组训练]1．(2019·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2的距离的最大值，并求此时点P 的坐标． 解：(1)曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)设点P 的坐标为(3cos α，sin α)，则点P 到C 2的距离为|3cos α＋sin α－2|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－22，当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1，即α＋π3＝－π2＋2k π(k ∈Z)，α＝－5π6＋2k π(k ∈Z)时，所求距离最大，最大值为22，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，－12. 2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，直线l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，直线l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.考点三 极坐标、参数方程的综合应用[典例] (2018·河北保定一中摸底)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t (t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．[解] (1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，则点A ，B 的极坐标分别为(2，π＋2k π)(k ∈Z)，⎝⎛⎭⎫2，π2＋2k π(k ∈Z)． 设点P 的坐标为(－5＋2cos α，3＋2sin α)，则点P 到直线l 的距离d ＝|－5＋2cos α－3－2sin α＋2|2＝⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42，当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1，即α＋π4＝2k π(k ∈Z)，α＝－π4＋2k π(k ∈Z)时，点P 到直线l 的距离取得最小值，所以d min ＝42＝22，又|AB |＝22， 所以△P AB 面积的最小值S ＝12×d min ×|AB |＝12×22×22＝4.[解题技法] 极坐标、参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标方程综合问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．[题组训练]1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0,2π]． (1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 解：(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，得x 2＋y 2－4x ＋3＝0， 所以(x －2)2＋y 2＝1. 令x －2＝cos α，y ＝sin α，所以C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)．(2)因为C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3， 所以4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0，因为直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点， 所以圆心到直线的距离为d ＝|4－0－3|22＋(－23)2＝14，所以|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152. 2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos φ，y ＝3＋t sin φ⎝⎛⎭⎫t 为参数，φ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．解：(1)由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，3)，圆的半径为2， ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4， 即x 2＋y 2－2x －23y ＝0，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0， 故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ.(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，(2＋t cos φ)2＋(3＋t sin φ)2－2(2＋t cos φ)－23(3＋t sin φ)＝0， 整理得，t 2＋2t cos φ－3＝0，设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1·t 2＝－3，∴|MN |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝4cos 2φ＋12. ∵φ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，∴cos φ∈⎣⎡⎦⎤12，1，∴|MN |∈[13，4]． 故弦长|MN |的取值范围为[13，4]．[课时跟踪检测]1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相切，求直线的倾斜角α.解：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)的普通方程为y ＝x tan α.圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4. 由于直线与圆相切，则|4tan α|1＋tan 2α＝2，即tan 2α＝13，解得tan α＝±33，由于α∈[0，π)，故α＝π6或5π6.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.3．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程． 解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫π3，π3.(2)由(1)知点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π6，3π6，A (1,0)．故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋⎝⎛⎭⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)．4．(2019·长春质检)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π6，圆C 以点C 为圆心，3为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |.解：(1)由题意得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ.(2)由(1)易知圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9，把⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋(y －3)2＝9，得t 2＋(3－1)t －7＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，∴t 1t 2＝－7， 又|P A |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|，∴|P A |·|PB |＝7.5．(2018·南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2(t为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R )，θ2＝2π3(ρ2∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点分别为O ，M 和O ，N ，求△OMN 的面积．解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得ρ2－4ρsin θ＝0. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)由直线l 1：θ1＝π6(ρ1∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，得|OM |＝4sin π6＝2.由直线l 2：θ2＝2π3(ρ2∈R )与曲线C 的交点为O ，N ，得|ON |＝4sin 2π3＝2 3.易知∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |×|ON |＝12×2×23＝2 3.6．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2<1， 解得k <－1或k >1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4<α<3π4.7．(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋t (t 为参数，m ∈R )，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos 2θ(0≤θ≤π)．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值． 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t ，可得C 1的普通方程为x －y ＋m ＝0. 由曲线C 2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos 2θ＝3，θ∈[0，π]， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1(0≤y ≤1)．(2)设曲线C 2上任意一点P 的坐标为(3cos α，sin α)，α∈[0，π]，则点P 到曲线C 1的距离d ＝|3cos α－sin α＋m |2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋m 2.∵α∈[0，π]，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1，32，2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈[－2， 3 ]， 当m ＋3＜0时，m ＋3＝－4，即m ＝－4－ 3.当m －2＞0时，m －2＝4，即m ＝6.当m ＋3≥0，m －2≤0，即－3≤m ≤2时，d min ＝0，不合题意，舍去． 综上，m ＝－4－3或m ＝6.8．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，且直线l 交曲线C 于A ，B 两点． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求θ＝π3时，|AB |的值； (2)已知点P (1,0)，求当直线l 的倾斜角θ变化时，|P A |·|PB |的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x 23＋y 2＝1. 当θ＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋12t y ＝32t (t 为参数)，将l 的参数方程代入x 23＋y 2＝1，得5t 2＋2t －4＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－45， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2215. (2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ代入x 23＋y 2＝1， 得(1＋2sin 2θ)t 2＋2t cos θ－2＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 3，t 4，则t 3t 4＝－21＋2sin 2θ， 则|P A |·|PB |＝－t 3t 4＝21＋2sin 2θ. 又0≤sin 2θ≤1，所以23≤|P A |·|PB |≤2， 所以|P A |·|PB |的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，2.。
参数方程
参数方程1.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程.2.常见曲线的参数方程和普通方程概念方法微思考1.在直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)中，(1)t 的几何意义是什么？(2)如何利用t 的几何意义求直线上任意两点P 1，P 2的距离？提示 (1)t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量.(2)|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2.2.圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？ 提示 θ的几何意义为该圆的圆心角.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( √ )(2)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( √ )(3)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( × ) 题组二 教材改编2.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2. 所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上.3.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)， 若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3. 题组三 易错自纠4.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率.解 将直线l 的参数方程化为普通方程为 y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.5.设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求yx 的取值范围.解 由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆. yx表示的是圆上的点和原点连线的斜率， 设yx ＝k ，则原问题转化为y ＝kx 和圆有交点的问题， 即圆心到直线的距离d ≤r ， 所以|－2k |1＋k 2≤1， 解得－33≤k ≤33， 所以y x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－33，33.6.已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数).(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)设点P (m,0)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝1，求实数m 的值. 解 (1)曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，化为ρ2＝2ρcos θ，可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)，消去参数t 可得x ＝3y ＋m ，即直线l 的普通方程为3y －x ＋m ＝0.(2)把⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)代入方程x 2＋y 2＝2x ，化为t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，① 由Δ>0，解得－1<m <3.设t 1，t 2为方程①的两个实数根，∴t 1t 2＝m 2－2m . ∵|P A |·|PB |＝1＝|t 1t 2|，∴m 2－2m ＝±1， 解得m ＝1±2或m ＝1，满足Δ>0. ∴实数m ＝1±2或m ＝1.题型一 参数方程与普通方程的互化1.(2018·开封调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值. 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ， 即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4， 即(x －1)2＋y 24＝1，再将所得曲线向左平移1个单位长度， 得曲线C 1：x 2＋y 24＝1，则曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)， 则点P 到直线l 的距离d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin (θ＋φ)|2≥102⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝－12，所以点P 到直线l 的距离的最小值为102. 2.在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|P A ||PB |＝λ(λ>0且λ≠1)，P 点的轨迹是圆.”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”.已知点M 与长度为3的线段OA 两端点的距离之比为|OM ||MA |＝12，建立适当坐标系，求出M 点的轨迹方程并化为参数方程.解 由题意，以OA 所在直线为x 轴，过O 点作OA 的垂线为y 轴，建立直角坐标系， 设M (x ，y )，则O (0,0)，A (3,0). 因为|OM ||MA |＝12，即x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12，化简得(x ＋1)2＋y 2＝4，所以点M 的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆.由圆的参数方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ.思维升华 消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围. 题型二 参数方程的应用例1 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率. 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解， 设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.思维升华 (1)解决直线与椭圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与椭圆的位置关系来解决.(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.跟踪训练1 (2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用例2 (2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2).设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0).所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0). (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ) ＝4(0<θ<2π，θ≠π).联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ). 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想.跟踪训练2 (1)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ，C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝2－22t (t为参数).①将曲线C 1与C 2的方程化为直角坐标系下的普通方程； ②若C 1与C 2相交于A ，B 两点，求|AB |. 解 ①曲线C 1的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，∴曲线C 1的普通方程为y 2＝2x ，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝2－22t (t 为参数)，消去参数t ，得C 2的普通方程为x ＋y ＝4.②将C 2的参数方程代入C 1的普通方程并化简得12t 2－32t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝62， 故|AB |＝|t 1－t 2|＝6 2.(2)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. ①将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；②设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值. 解 ①ρ＝2cos θ变形为ρ2＝2ρcos θ.(ⅰ)将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入(ⅰ)式即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.(ⅱ)②将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t 代入(ⅱ)式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.1.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数).(1)求曲线C 的普通方程；(2)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，12(平面直角坐标系xOy 中的点)作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若P 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.解 (1)由曲线C 的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 2，sin θ＝y ，所以cos 2θ＋sin 2θ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋y 2＝1， 所以曲线C 的普通方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的倾斜角为θ1，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ1，y ＝12＋t sin θ1(t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程，得(cos 2θ1＋4sin 2θ1)t 2＋(2cos θ1＋4sin θ1)t －2＝0， 所以t 1＋t 2＝－2cos θ1＋4sin θ1cos 2θ1＋4sin 2θ1，由题意知t 1＝－t 2，所以2cos θ1＋4sin θ1＝0，得k ＝－12，所以直线l 的方程为x ＋2y －2＝0.2.在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求圆C 的一个参数方程；(2)在平面直角坐标系中，P (x ，y )是圆C 上的动点，试求x ＋2y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.解 (1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝5为圆C 的直角坐标方程，所以圆C 的一个参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos φ，y ＝2＋5sin φ(φ为参数).(2)由(1)可知点P 的坐标可设为(2＋5cos φ，2＋5sin φ)， 则x ＋2y ＝2＋5cos φ＋4＋25sin φ ＝25sin φ＋5cos φ＋6＝5sin(φ＋α)＋6， 其中cos α＝255，sin α＝55，当x ＋2y 取最大值时，sin(φ＋α)＝1，φ＋α＝2k π＋π2，k ∈Z ，此时cos φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝55， sin φ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝255， 所以x ＋2y 的最大值为11，此时点P 的直角坐标为(3,4).3.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 过定点(－2,2)，且斜率为－12.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的参数方程；(2)点P 在曲线C 上，当θ∈⎣⎡⎦⎤π12，5π12时，求点P 到直线l 的最小距离并求点P 的坐标. 解 (1)曲线C ：x 24＋y 23＝1；k ＝tan α＝－12，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧sin α＝55，cos α＝－255，故直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－2－255t ，y ＝2＋55t (t 为参数).(2)设点P (2cos θ，3sin θ)，易知直线l ：x ＋2y －2＝0，则点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋23sin θ－2|5＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－25，因为θ∈⎣⎡⎦⎤π12，5π12，则θ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π4，7π12， 当且仅当θ＋π6＝π4时，P 到直线l 的距离最小， d min ＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－25＝22－25＝210－255，此时θ＝π12， 所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋22，32－64. 4.(2018·河南郑州外国语学校模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－3＝0.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长.解 (1)将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程为x 24＋y 23＝1， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －3＝0.(2)直线l 的倾斜角为π4，过点(3，0)， 所以将直线l 化为参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4，即⎩⎨⎧ x ＝3＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入x 24＋y 23＝1，得7t 2＋66t －6＝0， Δ＝(66)2－4×7×(－6)＝384>0，设方程的两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－667，t 1t 2＝－67， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝3847＝867.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 经过点A (－2,1).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ＝ρ＋2sin θ3. (1)写出曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点M ，N ，求|AM |＋|AN |的取值范围. 解 (1)由1ρ＝ρ＋2sin θ3，得ρ2＋2ρsin θ＝3. 将⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入上式中， 得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＋2y －3＝0.(2)将l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 的方程x 2＋y 2＋2y －3＝0， 整理得t 2－4(cos α－sin α)t ＋4＝0.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以Δ＝42(cos α－sin α)2－42>0，化简得cos αsin α<0.又0≤α<π，所以π2<α<π，且cos α<0，sin α>0. 设方程的两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4(cos α－sin α)<0，t 1t 2＝4>0，所以t 1<0，t 2<0，所以|AM |＋|AN |＝－(t 1＋t 2)＝4(sin α－cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α－π4. 由π2<α<π，得π4<α－π4<3π4， 所以22<sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤1， 从而4<42sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤42， 即|AM |＋|AN |的取值范围是(4,42].6.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 1上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2得到曲线C 2，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线θ＝π4(ρ∈R )与曲线C 1交于M ，N 两点，与曲线C 2交于P ，Q 两点，求|PQ ||MN |的值. 解 (1)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，消去参数α，得x 24＋y 23＝1. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴3ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝12，即曲线C 1的极坐标方程为ρ2(3＋sin 2θ)＝12.又由已知⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2， 得⎩⎨⎧x ＝23(x ′－23)，y ＝13(y ′－2)，代入x 24＋y 23＝1，得(x ′－23)29＋(y ′－2)29＝1， ∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝9.(2)将θ＝π4代入ρ2(3＋sin 2θ)＝12，得ρ2＝247， ∴ρ＝±2427，∴|MN |＝4427.又直线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入(x －23)2＋(y －2)2＝9，整理得t 2－22(3＋1)t ＋7＝0，分别记P ，Q 两点对应的参数为t 1，t 2，则⎩⎨⎧t 1＋t 2＝22(3＋1)，t 1·t 2＝7， ∴|PQ |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝243＋1，∴|PQ ||MN |＝243＋14427＝1683＋4212.。
曲线的参数方程和与普通方程的互化
普通方程
引入参数 消去参数
参数方程
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感谢您的观看。
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解：(1)因为x t 1 1 所以普通方程是y 2x （3 x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线（包括端点） (2)因为：x sin cos 2 sin( )
4 所以x 2, 2 所以普通方程是x2 y, x 2, 2 .
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例２、求参数方程
（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出 曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普化
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（1）普通方程化为参数方程需要引入参数。
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
求出范围、判断。
解:
x2=
(cos
2
sin )2
2
=1+sin=2y，
普通方程是x2=2y，为抛物线。
x | cos sin | 2 sin( ) ，又0<<2，
22
24
0<x 2 ，故应选（B）
说明: 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法
是最好的方法。
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例3 求椭圆 x2 y2 1的参数方程。 94
y
cos2
x=t+1/t
步骤：（1）消参；
(3)
y=t2+1/t2
（2）求定义域。
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
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例1 如图,已知点P是圆O:x2+y2=4上的一个动点 ,点A(6,0).
当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹方程， 并说明点M的轨迹图形是什么？
解： 取xOP , 则圆的参数方程为：
x 2 cos , (为参数） y 2 sin . 设点M的坐标为（x, y),则点P的坐标
的实质是三角代换.
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 , (t为参数，t R
1 其中参数t= ( 0),当 =0时，t=0. tan 几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程y=2x-4 （x≥0）。
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范 围保持一致。否则，互化就是不等价的.
例3、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
x= t 1 (1) (t为参数) y 1 2 t
步骤：（1）消参； （2）注意取值范围。
(3)
y=t2+1/t2
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
（2）普通方程化为参数方程需要引入参数。
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
x t, （t为参数） y 2t 2.
为（2 cos ,2 sin ） ,由中点公式可得：
x 2 cos 6 2 sin cos 3, y sin 2 2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x cos 3, （为参数） 它表示（3,0）为圆心，1为半径的圆 y sin .
注意：轨迹是指点运动所成的图形； 轨迹方程是指表示动点所成图形所满足的代数等式。
x2 y2 1 上的一个动点 ,点B(6,2). 变式 P是椭圆: 16 4
当点P在椭圆上运动时,求线段PB中点M的轨迹参数方程，
解： 椭圆的参数方程为：
x 4 cos , (为参数） y 2 sin . 设点M的坐标为（x, y),则点P的坐标
为（4 cos ,2 sin ） ,由中点公式可得：
x 4 cos 6 2 sin 2 2 cos 3, y sin 1 2 2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x 2 cos 3, （为参数） y sin 1.
它所表示的图形是以（3,1）为中心的椭圆。
3 1 2 2 sin( ) 4 当 sin( ) 1时， ( x y ) min 3 1 2 2
4
说明：本例说明了圆的参数方程在求最值时的应用；
x y 变式：M是椭圆 1上一点， 9 4 求M到直线x+2y-10=0的最小距离。
2
2
双曲线的参数方程
中心在C ( x0 , y0 )的椭圆的 x x0 a cos 参数方程是 y y0 b sin
圆的参数方程
x =a+rcosθ y =b+rsinθ
椭圆的参数方程：
(θ为参数)
x a cos （为参数） y b sin
应用：(1)参数方程可以用来求轨迹问题. (2)参数方程可以用来求最值.
第二讲
参 数 方 程
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
（1）在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x 、y都是某个变数t的函数，即
x f (t ) y g (t )
叫做曲线的参数方程 ，t为参数。
（2） 相对于参数方程来说，直接给出点的坐标关 系的方程叫做曲线的普通方程。
y x 根据三角函数的定义得 sin ,cos . r r
x r cos , y r sin .
(1)
P(r cos , r sin ).
我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。 其中参数θ表示OP0到OP所成旋转角， 0 2 。
x 3t 例1、已知曲线C的参数方程是 ( t 为参数） 2 y 2 t 1 （）判断点 1 M 1 (0， 1), M（ 2 5, 4）与曲线C的位置关系；
（2）已知点M（ 3 6，a )在曲线上，求a的值。
2、圆的参数方程
探求：圆的参数方程
如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x 轴正半轴的交 点为P0 ,圆上任取一点P,若OP0 按逆时针方向旋转到OP位置 所形成的角∠P0 OP =θ ,求P点的坐标。 解: 设P（x,y）, ∵点P在∠P0OP的终边上,
圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为
x =a+rcosθ y =b+rsinθ
(θ为参数)
1.写出下列圆的参数方程: x = 3cosθ
y = 3sinθ (1)圆心在原点,半径为 3:______________;
x =-2+cosθ (2)圆心为(-2,-3),半径为1: ______________. y =-3+sinθ x =5cosθ+1 2.若圆的参数方程为 , 则其标准 y =5sinθ-1 方程为:_________________. (x-1)2+(y+1)2=25 3.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的 x =1+2cosθ 参数方程为_______________. y =-3+2sinθ
x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b x a sec (为参数) y b tan
说明：
双曲线的参数方程可以由方程
sec2 1 tan 2 相比较而得到，所以双曲线的参数方程
x2 y 2 2 1 与三角恒等式 2 a b
1、曲线的参数方程；
结
(θ为参数)
2、圆的参数方程； x =a+rcosθ y =b+rsinθ
3、曲线的参数方程与普通方程的互化：
引入参数 普通方程 消去参数 参数方程
第二讲
参 数 方 程
二、圆锥曲线的参数方程
圆的参数方程
x2+y2=r2
x r cos （ 为参数） y r sin
例2 已知点P(x,y)是圆 x2 y 2 2x 2
x+y的最小值。
3 y 0 上的一个动点,求:
解：圆x 2 y 2 2 x 2 3 y 0可化为 （x 1) 2 ( y 3 ) 2 4 x 1 2 cos , 其参数方程为 (为参数） y 3 2 sin . 则P（ 1 2 cos，3 2 sin ） x y 1 2 cos 3 2 sin
2、曲线y=x2的一种参数方程是（D）.
2 x t x t x sin t x t A、 C、 D、 4 B、 2 2 y sin t y t y t y t
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0，在A、B、C中，x,y的范围都
2 2
( x a ) ( y b) r
2
x a r cos （ 为参数） y b r sin
指出下列参数方程表示什么曲线： x 1 4 cos t （ 1） (t为参数） y 2 4sin t
x 5cos t （2） (t为参数） y 3sin t
x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y
发生了变化，因而与 y=x2不等价； 而在Ｄ中，
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
x t 且以 2 y t
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是 不等价的.
小
为参数。
x 3 1 t2 x －3 1 t 2 （2）参数方程是 和 y 2t y 2t
练习 1.化下列参数方程为普通 方程 x t 1 （ 1 ） y 1 2 t x sin t (3) 2 y sin t 1 x t (5) t y 2 x t (2) 2 y t 1 t t x (e e ) 2 (4) y 1 (e t e t ) 2
x 1 3 cos (3) ( 为参数） y 2 5 sin
椭圆的参数方程：
x y x轴： 1 , 2 2 a b x y y轴： 1, 2 2 b a
2 2
2
2
x a cos y b sin x b cos y a sin
x＝3t＋2， (2)参数方程 y＝t－1 (t 为参数)
x= sin cos (3) ( 为参数). y 1 sin 2
例、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3 cos y 3 sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
②在普通方程x2+y2=1中，令x = cos,可以化为参数方程
x cos , （为参数） y sin .
x y 1的参数方程。 例4 求椭圆 9 4
2
2
(1)设x=3cos，为参数；
(2)设y=2t，t为参数.