高等数学定积分在几何上的应用[优质PPT]

第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例3 求由 y=cosx, y=sinx 在区间 [0, ] 上所围成的图 形的面积.
两曲线的交点
y sin x
y
cos
x
( , 4
2) 2
A1
A2
A A1 A2
4 (cos x sin x)dx
0
(sin x cos x)dx
i
xn1
x
1) 分割 2) 取近似 3) 求和 4) 取极限
曲边梯形的面积
b
Aa f(x)dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
设函数 y = f(x) 在[a,b]上连续,
(1) 在区间[a,b]上任取小区间[x, x+dx],
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
一.定积分的微元法
设曲边梯形由连续曲线 y
yf(x)(f(x)0)
及 x轴，以及两直线 xa,xb所围成 ,
解决步骤:
o a b 1 x 1
2
x i 1
x
i
公式经过定积分的换元法得到:
A
b
ydx
a
x1 (b)
y(t)dx(t)
x1(b)
y(t) x(t)d;t
x1 (a)
x1(a)
d
A xdy c
y1 (d )
x(t)dy(t)
y1 (c)
y1(d)
x(t) y(t)dt.
y1(c)
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a
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
二.定积分求平面图形的面积
(一)直角坐标系下平面图形面积的计算
1.由曲线y=f(x) 和直线x=a,x=b,y=0所围成曲边梯形
y yf(x)
面积微元: dAf(x)dx 曲边梯形的面积
4
(sin x cos x)
4 (cos x sin x)
0
4
2 2
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
参数方程情形:
设曲边梯形的曲边参数方程为
x
y
x(t) y(t)
,
其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
章定积分及其应用
节定积分及其计算 节定积分在几何上的应用 节定积分在物理上的应用
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
第二节 定积分在几何上的应用
本节主要内容:
一.定积分的微元法 二.定积分求平面图形的面积 三.定积分求体积 四.平面曲线的弧长
y=c,y=d所围成平面 Y-型
面积微元:
d A [(y) (y)]d y
曲边梯形的面积:
Acd[(y)(y)]dy
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பைடு நூலகம் 第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例1 求由 y2=x, y=x2 所围成的图形的面积
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例4 求摆线 x y a a((1 t scionstt))(a0,0t2)
的一拱与 x 轴围成的图形的面积 .
2a
A 0 ydx
2
0 a(1cost)a(1cost)dt a2 2(12costcos2t)dt
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区
间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
3) 求定积分 F
b
f (x)dx
相应地小区间上面积的近似值为: y
ΔA≈ f(x)dx
面积元素
dA
yf(x)
记作dA
o a xxdbxx
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
b
b
Alim f(x)dx f ( x)dx d A
a
a
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两曲线的交点 (0,0), (1,1)
选 x 为积分变量 x[0, 1]
面积微元:
dA( xx2)dx
x y2
A
1
(
xx2)dx
0
23 x2
1 x3
1
1.
3 0 30 3
y x2
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第五章 定积分及其应用
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
问题 若选x为积分变量呢？ 4
SS1 S2
2
[
2x (
2 x )]dx
0
8
[
2x (x 4)]dx
2
S2 S1
24 –2
–4
2
2
2x d x8(2xx4 )d x
0
2
222 3x3 20 222 3x3 28 21 2x28 22 4
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o a xxdxb x
b
A a f (x)dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
2.求由两条曲线 y=f(x) , y=g(x) ( f(x) g(x) ) 及直线
x=a, x=b 所围成平面
第二节 定积分在几何上的应用
例2 求由 y2=2x, y=x-4 所围成的图形的面积
两曲线的交点
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
选 y为积分变量 y[2,4]
y2 2x
y x4
A42y4y22dy1.8
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X-型
面积微元: d A [f(x )g (x )]d x
曲边梯形的面积
b
Aa[f(x)g(x)]dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
3. 求由两条曲线x=(y),x=(y),( (y) (y)) 及直线