数理逻辑复习总结题.doc

合集下载

数理逻辑复习题

数理逻辑复习题一、填空1、数理逻辑中公式的三种类型是、和。

2、设p：我说谎；q：太阳从西边出来；则p q⌝→表示；()∧→=。

p q p3、命题是具有真值的。

4、设p：这门课让人喜欢；q：这本书有趣；r：这本书习题很难；则下列语句：1）若这本书有趣，习题也不很难，则这门课就不会让人喜欢。

2）这本书没趣，习题也不很难，并且这门课不让人喜欢。

3）这门课让人喜欢当且仅当这本书有趣且这本书习题不很难。

符号化为1）；2）；3）。

5、p p p→→=。

二、选择1、下列语句中，真命题是；A B、全体起立！；C、2是素数⇔三角形有三条边；D、4是2的倍数或是3的倍数吗2、p：张三可做此事；q：李四可做此事；“张三可做此事或李四不可做此事”符号化为；A、p q∧⌝；B、p q∨⌝；C、()⌝∧p qp q⌝∨；D、()3、下列语句中，真命题是；A、我正在说谎；B、这句话是错的；C、若1+2=3则雪是黑的；D、若1+2=5则1=2；4、下列哪个公式是永真式；∧→；A、()()p q q p→∧→；B、p q pC、()()p q⌝∨⌝∨∧⌝⌝∧⌝；D、()p q p q三、判断1、语句“豆沙包是由面粉和红小豆做成的”是命题逻辑中的复合命题（）2、任何命题公式都存在唯一与之等值的主析取范式，相应的主合取范式则不唯一（）3、所谓的“自然推理系统”是指，从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，最后得到的命题公式是推理的结论，这个结论肯定是有效的结论。

（）4、在一阶逻辑（谓词逻辑）中，同一个公式在不同的解释下，其真假值可能不同（）5、在一阶逻辑公式中，换名规则是对量词辖域中的自由变元而言的（）6、语句“爱美之心人皆有之”可以用命题逻辑中的简单命题来描述（）7、所谓的“推理是有效的”是指该推理的前提和结论都是正确的（）8、由于引入了论域的概念，在一阶逻辑中，不存在永真或永假的公式（）9、在一阶逻辑（谓词逻辑）中，量词也存在分配律，全称量词对合取存在分配律，存在量词对析取存在分配律（）四、综合1、求()→↔的主合取范式；p q r2、前提：(),,,∧→⌝∨⌝p q r r s s p结论：q⌝3、求()→↔的主析取范式和成真赋值；p q r。

05a数理逻辑总复习

解：G =(RP)(Q(PR)) =(RP)(QP)(QR) =(PR)(QP)(QR) =((PR)(QQ))((QP)(RR))(
(QR)(PP)) =(PQR)(PQR)(PQR)(P
QR)
43
补充例题
求G=(PQ)(PR)(QR)主析取范式。
(PQR) (PQR) (PQR) (PQR)
P
第五周第二讲
数理逻辑单元总复习
1
原子命题、复合命题
命题的定义：客观上能够确定真假的陈述句。命题的分类：
原子命题：不能分解为更简单的陈述句。
复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。
2
命题变元、命题常量
命题常量：用来表示确定命题的标识符。
例如：P表示“今天下雨。”
命题变元：表示任意命题位置标志的命题标识符。
换名的范围是该约束变元的辖域；新名不要与谓词公式中已有的变元重名。
自由变元的改名叫代入。约束变元的换名自由变元的代入
33
有限域中消去量词
若x的个体域是有限集{a1,a2,…,an}，则有：
(x)A(x) A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an) (x)A(x) A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)
Q
R
G
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0

0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
44
补充例题
判断公式G=(PQ)PQ是否恒假? 解：G=(PQ)PQ

数理逻辑复习题

一、选择题1、永真式的否定是（2）(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。

3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵ ⑴ P Q → ⑵Q P ⌝→(3) Q P →⌝ ⑷ P Q ⌝→⌝()P Q ⌝∧ 提示：()R P Q P Q ⇔⌝∧⇔→⌝4、下列表达式错误的有⑷⑴()P P Q P ∨∧⇔ ⑵()P P Q P ∧∨⇔ ⑶()P P Q P Q ∨⌝∧⇔∨ ⑷()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨ 5、下列表达式正确的有⑷⑴ P P Q ⇒∧ ⑵ P Q P ⇒∨ ⑶ ()Q P Q ⌝⇒⌝→⑷Q Q P ⌝⇒→⌝)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3)⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ↔6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∃→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∀→ (3) (()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∃→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∀→7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”的逻辑符号化为⑵⑴)),()((y x A x L x →∀ ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是⑶⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇒∀∨∀ ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∧⇒∃∧∃ (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ∀∧⇔∀∧∀ ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∨⇔∃∨∃10、下列推导错在⑶①)(y x y x >∃∀ P ②)(y z y >∃ US ① ③)(z C z > ES ② ④)(x x x >∀UG ③⑴② ⑵③ ⑶④ ⑷无 11、下列推理步骤错在⑶①(,)x yF x y ∀∃ P ②),(y z yF ∃ US ① ③),(c z F ES ② ④),(c x xF ∀ UG ③ ⑤),(y x xF y ∀∃EG ④ ⑴①→② ⑵②→③ ⑶③→④ ⑷④→⑤12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ∀∃去掉量词后，可表示为⑷⑴()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧ ⑵()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨ (3) ()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ ⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ 提示：原式()()()()()()()(),,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ⇔∃∧∃⇔∨∧∨二、填充题1、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有2n种。

华南师范大学离散数学数理逻辑-复习题

p ∧ r ∧ ¬(q → p)
⇔ p ∧ r ∧ ¬(¬q ∨ p)
蕴含等值式
永假式！
⇔ p ∧ r ∧ (q ∧ ¬p) ⇔ ( p ∧ ¬p) ∧ r ∧ q ⇔0
德摩根定律结合律否定律（矛盾律）
数理逻辑——复习题
解2：真值表法 p∧r∧¬(q→p)
永假式！
p
qr
q → p ¬(q → p)
= m1 ∨ m2 ∨ m7 A的成假赋值:000，011，100，101，110 (与其成真赋值互补) ﹁A的极小项：000：﹁p∧﹁q∧﹁r， 011：﹁ p∧q∧r，
100：p∧﹁q∧﹁r， 101：p∧﹁q∧r， 110：p∧q∧﹁r
数理逻辑——复习题
﹁ A的主析取范式：（其所有极小项之和）
数理逻辑——复习题
例4 (1)已知命题公式A中含3个命题变项p, q, r,并知道它的成真赋值为001, 010, 111, 求A的主析取范式和主合取范式。解：成真赋值对应于极小项： 001：﹁p∧﹁q∧r, 010：﹁ p∧q∧﹁r, 111：p ∧ q ∧ r 由所有的极小项之和可写出A的主析取范式： A=(﹁p∧﹁q∧r)∨(﹁ p∧q∧﹁r)∨(p ∧ q ∧ r)
谓词逻辑的推理规则
推理规则
∀xP ( x) ∴ P(c), 若c ∈U (U为个体域 )
P(c), 对任意 c ∈ U (U为个体域 ) ∴ ∀xP ( x)
∃xP ( x) ∴ P(c), 对某个特定元素 c ∈U (U为个体域 )
P(c), 对某个元素 c ∈ U ,U为个体域 ∴ ∃xP ( x)
② ¬H(c)
①存在量词消去
③ ∀x(G(x)∨H(x)) 前提引入

篇数理逻辑复习题

篇数理逻辑复习题第一篇数理逻辑复习题第1章命题逻辑一、单项选择题1. 下列命题公式等值的是( )B B A A Q P Q Q P Q B A A B A A Q P Q P ),()D (),()C ()(),()B (,)A (∧∨?∨∨?∨→→→?→→∨?∧? 2. 设命题公式G ：)(R Q P ∧→?,则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A (3. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式4 命题公式)(Q P →?的主析取范式是( )．(A) Q P ?∧ (B) Q P ∧? (C) Q P ∨? (D) Q P ?∨5. 前提条件P Q P ,?→的有效结论是( )．(A) P (B) ?P (C) Q (D)?Q6. 设P ：我将去市里，Q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为( )Q P Q P Q P P Q ?∨??→→)D ()C ()B ()A (二、填空题 1. 设命题公式G ：P →?(Q →P )，则使公式G 为假的真值指派是2. 设P ：我们划船，G ：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为3. 含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是4. 若命题变元P ，Q ，R 赋值为(1,0,1)，则命题公式G ＝)())((Q P R Q P ∨??→∧的真值是5. 命题公式P →?(P∧Q )的类型是．6. 设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧?∧，那么B A ?是式(重言式、矛盾式或可满足式)三、解答化简计算题1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2.作命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表，并判断该公式的类型．3. 试作以下二题：(1) 求命题公式(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值．(2) 设命题变元P ,Q ,R 的真值指派为(0,1,1),求命题公式))()(()(Q R Q P R P →?∨→?∧?的真值．4. 化简下式命题公式))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧5. 求命题公式))()((Q P P Q P ∧?∧→→的主合取范式.6. 求命题公式R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((的真值．7. 求命题公式)()(Q P Q P ?→∧→?的主析取范式，并求该命题公式的成假赋值．8. 将命题公式)(P R Q P →?∧?∧?化为只含∨和?的尽可能简单的等值式．9. 求命题公式)()(Q P Q P ?∨?∧∧的真值表.四、证明题1. 证明S S P R R Q Q P ∨∧?∧∨?∧→)()()(2. 构造推理证明：S R Q P R S Q P →?∧→∧→→)())((3. 证明命题公式(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q 与?（P ∨?Q ）等值．4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．参考答案一、1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. B二、1. 1,0；1,1 2. )(Q P ∧?或Q P ?∨? 3. (P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧?R )4. 05. 非永真式的可满足式6. 重言三、1. (1) 是命题，真值为1. (2) 是命题，真值为0. (3), (4)不是命题. (5) 是命题.1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2. 命题公式的真值表原式为可满足式.3. (1) (P ∨?Q )→(P ∧Q )?(?P ∧Q )∨(P ∧Q )?(?P ∨P )∧Q ?Q可见(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值为(0,1)，(1,1)．(2) ))()(()(Q R Q P R P →?∨?→?∧?0))10()01(()10(?→∨→∧??4. ))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧P Q P Q P ∧?∧?∨∧?)()()()(P P Q P Q P ∧?∧?∨∧∧?0)(∨∧?Q PQ P ∧?5. ))()((Q P P Q P ∧?∧→→))()((Q P P Q P ∧?∧∨?∨??)())(Q P P Q P Q P ∧?∧∨∧?∧?∨??)00(∧∨??P)(Q Q P ?∧∨??)()(Q P Q P ?∨?∧∨??6. R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((R P R Q P P R Q ∨?∨∨∧∨∨??)()(R P Q Q R P ∨?∧?∨∨?)(1?7. )()()()(Q P Q P Q P Q P ?∨?∧?∧??→∧→?Q P ?∧?因为成真赋值是（1，0），故成假赋值为（0，0），（0，1），（1，1）8. ))()()(R P Q P P R Q P ∨∧∨??→?∧?∧?))()((R P Q P ∨?∨∨??不唯一．9.四、证明题1. 证明S S P R R Q Q P ∨∧?∧∨?∧→)()()(①?Q ∨R P②?R P③?Q T ①，②析取三段论④P →Q P⑤P ? T ③，④拒取式⑥P ∨?S P⑦?S ⑤，⑥析取三段论2. 构造推理证明：S R Q P R S Q P →?∧→∧→→)())((.前提：Q P R S Q P ,)),((→→→结论：S R →证明：① R 附加前提② R →P 前提引入③ P ①，②假言推理④P →(Q →S ) 前提引入⑤ Q →S ③,④假言推理⑥ Q 前提引入⑦ S ⑤,⑥假言推理3. 证明命题公式(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q 与?（P ∨?Q ）等值．证明:(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q ?(?P ∨(Q ∨?R ))∧?P ∧Q(?P ∧?P ∧Q )∨(Q ∧?P ∧Q )∨(?R ∧?P ∧Q )(?P ∧Q )∨(?P ∧Q )∨(?P ∧Q ∧?R )P ∧Q(P ∨?Q )4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．证明.方法1．)()(Q R Q P →∨→?)()(Q R Q P ∨?∨∨?∨∧??Q R P )(Q R P →∧)(因为两命题公式等值，由主合取范式的惟一性，可知两命题公式的主合取范式是相同．4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．方法2．)()(Q R Q P →∨→?)()(Q R Q P ∨?∨∨?R Q P Q R P ?∨∨??∨?∨??R Q P Q R P Q R P ?∨∨??∨?∨??→∧)(因为它们的主合取范式相同，可知它们的主析取范式也相同．第2章谓词逻辑一、单项选择题1. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中量词?x 的辖域是( )(A) ))()((y yR x P x ?∨? (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ?∨ (D) )(x Q2. 谓词公式?xA (x )∧??xA (x )的类型是（）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 不属于(A ),(B ),(C )任何类型3 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )(A) )0(=+??y x y x (B) )0(=+??y x x y(C))0(=+??y x y x (D) )0(=+y x y x4 设L (x )：x 是演员，J (x )：x 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老师”符号化为( )(A) ),()(y x A x xL →? (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→?(C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧??5. 设个体域是整数集合，P 代表?x ?y ((x <="" )→(x="" -y=""(A) P 是真命题 (B) P 是逻辑公式，但不是命题(C) P 是假命题 (D) P 不是逻辑公式6. 表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ?→?∧∨?中x ?的辖域是( ) (A) P (x ,y ) (B)R (x ,y ) (C)P (x ,y )∧R (x ,y ) (D) P (x ,y )∨Q (z )二、填空题1. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 .2. 设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ?→?消去量词化为3. 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数”符号化为4. 谓词公式?x (F (x )→G (x ))∧??y (F (y )→G (y ))的类型是．5. 设个体域{1,2},谓词P (1)=1,P(2)=0，Q(1)=0，Q (2)=1，则?x (P (x )∨Q (x ))的真值是三、解答化简计算题1. 判别谓词公式),(),(y x xF y y x yF x ??→??的类型.2. 指出谓词公式)())()),()(((x S x xR y x Q x P x ∧?∧→?中?x 和?x 的辖域，并指出该公式的约束变元和自由变元以及约束出现次数和自由出现次数．3. 求谓词公式))(())((a f R x Q P x ∧→?的真值．其中P ：4>3，Q （x ）：x >1，R （x ）：x ≤2．f （-3）=1，f （1）=5，f （5）= -3．a ：5．个体域D =（-3，1，5）．4.说明公式))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是逻辑有效式(永真式)．5. 通过等值演算说明下列等值式成立： )()())()((x xQ x xP x Q x P x ?→??→?6. 求谓词公式),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?→?的前束范式.四、证明题1. 试利用代换实例证明谓词公式))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→?是逻辑有效式(永真式)．2. 构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →→?．（提示：))()(()()(x B x A x x xB x xA ∨∨?.)参考答案一、1. C ；2.. B ；3 A ；4. B ；5. A 6. D二、1. A (1)∨A (2)∨(B (1)∧B (2)) 2. (G (a )→(H (a ,a )∨H(a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))3. ))()(())()((x N x Z x x Z x N x ?∧?∧→?4. 永假式5. 1三、1.设I 为任意一个解释，D 为I 的个体域. 若在解释I 下，该公式的前件为0，无论),(y x xF y ??如何取值，),(),(y x xF y y x yF x ??→??为1；若在解释I 下，该公式的前件为1，则,0D x ∈?使得),(y x yF ?为1，它蕴含着),(,0y x F D y '∈'?为1),(y x xF '??为1，由y '的任意性，必有),(y x xF y ??为1，于是),(),(y x xF y y x yF x ??→??为1.所以，),(),(y x xF y y x yF x ??→??是永真式．2. ?x 的辖域为：P (x )→Q (x ,y )∧?xR (x )x 的辖域为：R (x )x 既是约束变元，也是自由变元，约束出现3次，自由出现1次．y 是自由变元，自由出现1次．3. ))(())((a f R x Q P x ∧→? =))5(())5(())1(())3((f R Q P Q P Q P ∧→∧→∧-→=)3()11()01()01(-∧→∧→∧→R01100=∧∧∧=4. 已知1)()(?∨?∨??∨?∨??→→P Q P P Q P P Q P因为))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是)(P Q P →→的代换实例，可知))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是逻辑有效式．或))(),(()(x xP y x yG x xP ?∨??∨??1)(),()(?∨??∨x P y x yG x xP5. ?→?))()((x Q x P x )()((x Q x P x ∨??))()(x xQ x P x ?∨)()(x xQ x xP ?∨)()(x xQ x xP ?→??6. ),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?→?),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?∨),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ?∧?∨)),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ?∧?∨)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧∨(或)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧→)四、1.谓词公式))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→? 是命题公式)(P Q P →→ 的代换实例．因为命题公式∨?∨??→→P Q P P Q P )( 1 是永真式，故))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→?是逻辑有效式．2.前提：)()(x xQ x xP ?→?．结论：)()(x xQ x xP ?→?．证① )()(x xQ x xP ?→? 前提引入② )()(x xQ x xP ?∨?? T ①,蕴含等值式③ )()(x xQ x P x ?∨?? T ②,量词否定④ ))()((x Q x P x ∨??⑤ ))()((x Q x P x →? T ④,蕴含等值式。

复习(数理逻辑部分)

第1章命题逻辑的基本概念一：基本概念：1.称能判断真假而不是可真可假的陈述句为命题。

2.真值为真的命题称为真命题。

3.真值为假的命题称为假命题。

4.简单命题(原子命题)。

5.由简单命题通过联结词而成的陈述句，称这样的命题为复合命题。

例1判断下列句子是否为命题。

(1)4是素数。

(2)x大于y。

(3)充分大的偶数等于两个素数之和。

(4)北京是中国的首都。

(5)请不要吸烟！(6)我正在说假话。

6.合式公式: 命题符号与联结词组成不是合式公式的例子：pq→r；(p→(r→q)7.公式的类型：重言式、永真式、可满足式重言式(永真式)：都是1矛盾式(永假式)：都是0可满足式：有1，也有0二. 联结词：否定：┐p非p合取：p∧q p并且q(或“p与q”)析取：p∨q p或q蕴涵：p→q如果p，则q等价：p↔q p当且仅当q本书规定的联结词优先顺序为：( )，┐，∧，∨，→，↔，对于同一优先级的联结词，先出现者先运算。

例2令p：北京比天津人口多。

q：2+2＝4.r：乌鸦是白色的。

求下列复合命题的真值：(1)(q∨r)→(p→┐r)(2)(┐p∨r)↔(p∧┐r)解：p、q、r的真值分别：1、1、0(1) 1 (2) 0例3求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。

判断公式类型(1)(p∧┐p)↔(q∧┐q)(2)(┐p∧q)→┐r(3)┐(p→q)∧q∧r解：先做真值表（1）是永真式，00，01，10，11是成真赋值，没有成假赋值。

（2）是可满足式，011是成假赋值，其余是成真赋值。

（3）是永假式，都是成假赋值，没有成真赋值。

第2章命题逻辑等值演算一：验证两个公式是否等值：方法一：真值表方法二：等值演算1.双重否定律 A ⇔┐┐A2.幂等律 A ⇔ A∨A, A ⇔ A∧A3.交换律A∨B ⇔ B∨A，A∧B ⇔ B∧A4.结合律(A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C)(A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C)5.分配律 A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C)（∨对∧的分配律）A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C)（∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) ⇔┐A∧┐B┐(A∧B) ⇔┐A∨┐B7.吸收律 A∨(A∧B) ⇔ A，A∧(A∨B) ⇔ A8.零律A∨1 ⇔ 1,A∧0 ⇔ 09.同一律A∨0 ⇔ A，A∧1 ⇔ A10.排中律A∨┐A ⇔ 111.矛盾律A∧┐A ⇔ 012.蕴涵等值式A→B ⇔┐A∨B13.等价等值式A↔B ⇔ (A→B)∧(B→A)例1.用等值演算法验证等值式(p∨q)→r ⇔ (p→r)∧(q→r)解：方法一：真值表方法二：等值演算：(p→r)∧(q→r)⇔ (┐p∨r)∧(┐q∨r) (蕴含等值式)⇔ (┐p∧┐q)∨r (分配律)⇔┐(p∨q)∨r (德摩根律)⇔ (p∨q)→r (蕴含等值式)二：基本概念（理解）：1. 在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变项和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）。

数理逻辑复习题

数理逻辑复习题复习要求：掌握命题、逻辑联结词的概念；公式与解释的概念，用基本等价式化简其他公式；会用真值表法和主范式判断公式的类型；公式蕴涵与逻辑结果的概念；形式演绎方法.一阶逻辑的基本概念，一阶逻辑公式及其解释，等值演算，推理理论；一阶逻辑公式的三种类型，即逻辑有效式（永真式），矛盾式和可满足式；用联结词产生复合命题的方法；公式在解释下的真值；公式范式的概念；形式演绎和蕴涵的关系.命题逻辑与一阶逻辑推理理论.一、命题逻辑部分 1、填空题.⑴ 公式（p ∧⌝q ）∨（⌝p ∧q ）的成真赋值为 01，10 .⑵ 设p 、r 为真命题，q 、s 为假命题，则复合命题（p →q ）↔（⌝r →s ）的真值为 0 . ⑶ 设p 、q 为命题，在 p 、q 不能同时发生条件下，p 与q 的排斥或也可以写成p 与q 的相容或. ⑷ 设A 为任意公式，B 为重言式，则A ∨B 的类型是重言式⑸ 设A 是含命题变项p 、q 、r 的重言式，则公式A ∨（（p ∧q ）→r ）的类型为重言式. ⑹ 设B 是含命题变项p 、q 、r 的矛盾式，则公式B ∧（（p ↔q ）→r ）的类型为矛盾式 . ⑺ 矛盾式的主析取范式是 0 . ⑻ 重言式的主合取范式是 1 .⑼ 设公式A 含命题变项p 、q 、r 已知A 主合取范式是M 0∧M 2∧M 5∧M 6，则A 的主析取范式是 . ⑽ 已知公式⌝（q →p ）∧p 是矛盾式，则公式⌝（q →p ）∧p ∧⌝r 的成真赋值是成假赋值 .⑾已知公式（p →（p ∨q ））∧（（p ∧q ）→p ）是重言式，公式p →（p ∨q ）及（p ∧q ）→p 类型是 .⑿已知公式（p ∧q ）→p 是重言式，则公式（（p ∧q ）→p ）∨r 的成真赋值是成假赋值 .⒀（A →B ）∧⌝B ⇒ 为拒取式推理定律. ⒁（A ∨⌝B ）∧B ⇒ 为析取三段论推理定律.⒂（⌝A →B ）∧（B →⌝C ）⇒ 为假言三段论推理定律. ⒃（⌝A →⌝B ）∧⌝A ⇒ 为假言推理定律. 2、将下列命题或语句符号化.⑴ 不是无理数是不对的. ⌝⌝p （p ） ⑵ 小刘既不怕苦，又很钻研. ⌝p ∧q ⑶ 只有不怕困难，才能战胜困难 q →⌝p⑷ 只要别人有困难，老王就帮助别人，除非问题解决了. ⌝r →（p →q ）；（⌝r ∧p ）→q 或⌝q →（⌝p ∨r ）⑸ 整数n 是偶数当且仅当n 能被2整除. p ↔q ⑹ 若地球上没有树木，则人类不能生存. q p ⌝→⌝ ⑺ 若422=+，则地球是静止不动的. q p → 3、求下列复合命题真值.P ：2能整除5，q ：旧金山美国的首都，r ：一年有四季 ⑴（（p ∨q ）→r ）∧（r →（p ∧q ）⑵（（⌝q ↔p ）→（r ∨p ））∨（（⌝p ∧⌝q ）∨⌝r ）4、判断下面一段论述是否为真：“3是无理数.并且，如果3是无理数，则2也是无理数.另外，只有6能被2整除，6才能被4整除.”解设p ：3是无理数，q ：3是无理数，r ：2是无理数，s ：6能被2整除， t ：6能被4整除. 则原命题为：)()(s t r q p →∧→∧，这里0,1,1,0,1=====t s r q p . 则)()(s t r q p →∧→∧1111)10()10(1⇔∧∧⇔→∧→∧⇔. ５、判断公式的类型.⑴（⌝（q ↔p ）→（（p ∧⌝q ）∨（（⌝p ∧q ）））∨r 重言式 ⑵（p ∧⌝（q →p ））∧（r ∧q ）矛盾式 ⑶（p ↔⌝r ）→（r ↔q ）可满足式６、求公式p →（（q ∧r ）∧（p ∨（⌝q ∧⌝r ）））的主析取范式和主合取范式.m 0∨m 1∨m 2∨m 3∨m 7７、求公式⌝（⌝（p →q ）∨（⌝q →⌝p ）的主合取范式.８、将公式p →（q →r ）化成与之等值的且仅含{⌝，∧}中联结词的公式. ⌝（p ∧q ∧⌝r ）９、用主析取范式或主合取范式判断两公式是否等值.⌝（p ↔q ）与（（p ∨q ）∧⌝（p ∧q ））等值 10、在自然推理系统P 中，构造下面推理的证明.⑴前提：⌝（p ∧⌝q ），q →⌝ r ，r 结论：⌝p⑵前提： p → r ，q →s ，p ，q结论：（r ∧s ）∨t11、在自然推理系统P 中，用附加前提法证明下面推理.⑴前提：⌝p ∨（q → r ），s →p ，q 结论：⌝r →⌝s⑵前提：⌝p →q ，⌝p ∨r ，q →s 结论：⌝s →r12、在自然推理系统P 中，用归谬法证明下面推理.前提： p →（q →r ），p ∧q 结论： r ∨s13、在自然推理系统P 中，构造下面用自然语言给出的推理.若小张喜欢数学，则小赵或小李也喜欢数学. 若小李喜欢数学，他也喜欢物理.小张确实喜欢数学，可小李不喜欢物理，所以小赵喜欢数学.P ：小张喜欢数学 q ：小赵喜欢数学 r ：小李喜欢数学 S ：小李喜欢物理前提：P →（q ∨r ），r →s ，p ， ⌝s 结论：q证明 ① r →s ② ⌝s ③ ⌝r④ P →（q ∨r ） ⑤ p ⑥ q ∨r ⑦ q14、设p ：A 到过受害人房间 q ：A 在11点以前离开房间 r ：A 犯谋杀罪看门人看到A则{p ∧⌝q →r ，p ，q →s ，⌝s}|=r① ⌝s 前提引入 ② q →s 前提引入 ③⌝ q① ②拒取④ p 前提引入 ⑤p ∧⌝ q ③ ④合取⑥ p ∧⌝q →r 前提引入 ⑦ r ⑤ ⑥假言推理二、一阶逻辑部分1.在一阶逻辑中将下列命题符号化.⑴ 所有的整数，不是负整数，就是正整数，或者是零.解 F （x ）：x 是整数G （x ）：x 是正整数H （x ）：x 是负整数L （x ）：x 是0∀x （F （x ）→ G （x ）∨H （x ）∨L （x ））或∀x （F （x ）∧⌝ G （x ）→H （x ）∨L （x ）） ⑵ 有的实数是有理数有的实数是无理数. 解 F （x ）：x 是实数 G （x ）：x 是有理数 H （x ）：x 是无理数∃x （F （x ）∧G （x ））∧∃y （F （y ）∧ H （y ）） ⑶ 不存在能表示成分数无理数.解 F （x ）：x 能表示成分数 G （x ）：x 是无理数⌝∃x （G （x ）∧ F （x ））⇔∀x （G （x ）→⌝ F （x ））⑷ 若x 、y 都是实数，且x>y ，则x+2>y+2. 解 F （x ）：x 是实数 H （x ，y ）：x>y∀x ∀y （F （x ）∧F （y ）∧ H （x ，y ）→ H （x+2，y+2）） ⑸不存在最大的自然数.解 F （x ）：x 是自然数 H （x ，y ）：x>y⌝∃x （F （x ）∧∀y （F （y ）→ H （x ，y ））⑹ 在北京卖菜的人不全是外地人.解设)(x M ：x 是外地人. )(x F ：x 在北京卖菜. 则符号化为))()((x F x M x ∧⌝∃. ⑺ 设：)(x M ：x 是火车. )(x H ：x 是轮船. )(x F ：x 是汽车. ),(y x G ：x 比y 快. 则“火车都比轮船快.”符号化为)),()()((y x G y H x M y x →∧∀∀. 则“有的火车比有的汽车快.”符号化为)),()()((y x G y F x M y x ∧∧∃∃.则“不存在比所有火车都快的汽车.”符号化为)))),()(()(((y x G y M y x F x →∀∧∃⌝. 4、指出下列公式中的指导变元，量词的辖域，各个体变项的自由出现和约束出现：（1）)),()((y x G x F x →∀解 x ∀的辖域：),()(y x G x F →.x 是指导变元. x 是约束出现，y 是自由出现. （2）),(),(y x yG y x xF ∃→∀解 x ∀的辖域：),(y x F .x 是指导变元. x 是约束出现，y 是自由出现.y ∃的辖域：),(y x G .y 是指导变元. x 是自由出现，y 是约束出现.5、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：（1）))),()(()((y x H y G y x F x ∧∃→∀证明1解释1I ：R D =，)(x F ：x 是正数.)(y G ：y 是负数.),(y x H ：0=+y x .))),()(()((y x H y G y x F x ∧∃→∀指对任意正数x ，存在负数y ，使得0=+y x .在该解释下，命题为“真”. 2解释2I ：}3,2,1{-=D ，)(x F ：x 是正数.)(y G ：y 是负数.),(y x H ：0=+y x .则对1=x 时，不存在负数D y ∈，使0=+y x ，故在该解释下，命题为“假”，所以（1）公式既不是永真式也不是矛盾式. （2）)),()()((y x H y G x F y x →∧∀∀6、设个体域},,{c b a D =，消去下列各式的量词：（1）))()((y G x F y x ∧∃∀)))()(((y G a F y ∧∃⇔)))()(((y G b F y ∧∃∧)))()(((y G c F y ∧∃∧∨∧⇔))()(((a G a F ∨∧))()((b G a F ∧∧)))()((c G a F ∨∧))()(((a G b F ∨∧))()((b G b F ∧∧)))()((c G b F ∨∧))()(((a G c F ∨∧))()((b G c F )))()((c G c F ∧（2）))()((y G x F y x ∨∀∀)))()(((y G a F y ∨∀⇔)))()(((y G b F y ∨∀∧)))()(((y G c F y ∨∀∧∧∨⇔))()(((a G a F ∧∨))()((b G a F ∧∨)))()((c G a F ∧∨))()(((a G b F ∧∨))()((b G b F ∧∨)))()((c G b F ∧∨))()(((a G c F ∧∨))()((b G c F )))()((c G c F ∨7、求前束范式⑴⌝∃x ∀yF （x ，y ）（⇔ ∀x ∃y ⌝F （x ，y ）） ⑵（∃xF （x ，y ）→∀yG （x ，y ，z ））→∃z H （z ）.（⇔∃x ∃y ∃z （F （x ，t ）→G （u ，y ，v ）→H （z ）））⑶⇔∀→∀),()(y x yG x xF ),()(y z yG x xF ∀→∀)),()((y z G x F y x →∀∃⇔⑷ ⇔∃→∀)),,(),((z y x yG y x F x ⇔∃→∀)),,(),((z y x yG t x F x )),,(),((z y x G t x F y x →∃∀ ⑸ ⇔∃↔∀),(),(y x xG y x xF ),(),(y z zG t x xF ∃↔∀)),(),(()),(),((t x xF y z zG y z zG t x xF ∀→∃∧∃→∀⇔ )),(),(()),(),((h r rF g s sG y z G t x F z x ∀→∃∧→∃∃⇔ )),(),(()),(),((h r F g s G r s y z G t x F z x →∀∀∧→∃∃⇔ ))),(),(()),(),(((h r F g s G y z G t x F r s z x →∧→∀∀∃∃⇔8、在自然推理系统 N L 中构造下面推理的证明.⑴前提：∃xF （x ）→∀y （G （y ）→H （y ）），∃xR （x ）→∃yG （y ）结论：∃x （ F （x ）∧ R （x ））→∃x H （x ）证明1 ⑴ ∃x （ F （x ）∧ R （x ）） ⑵ F （c ）∧ R （c ） ⑶ F （c ） ⑷ R （c ） ⑸ ∃x F （x ）⑹∃xF （x ）→∀y （G （y ）→H （y ）） ⑺ ∀y （G （y ）→H （y ）） ⑻ G （c ）→H （c ） ⑼R （c ） ⑽∃x R （x ）⑾∃xR （x ）→∃yG （y ） ⑿∃yG （y ） ⒀G （c ） ⒁H （c ） ⒂∃x H （x ）证明2： ⑴∃x （ F （x ）∧ R （x ）） ⑵∃x F （x ）∧∃x R （x ）） ⑶∃x F （x ）⑷∃xF （x ）→∀y （G （y ）→H （y ）） ⑸∀y （G （y ）→H （y ）） ⑹G （c ）→H （c ）⑺∃xR（x）→∃yG（y）⑻∃x R（x））⑼∃yG（y）⑽G（c）⑾H（c）⑿∃x H （x）⑵人都喜欢吃蔬菜.但说所有的人都喜欢吃鱼是不对的.所以存在只喜欢吃蔬菜而不喜欢吃鱼的人.F（x）：x是人G（x）：喜欢吃蔬菜H （x）：喜欢吃鱼前提：∀x（F（x）→G（x））⌝∀x（F（x）→H（x））结论：∃x（F（x）∧G（x）∧⌝H（x））证明：⑴⌝∀x（F（x）→H（x））⑵∃x⌝（F（x）→H（x））⑶∃x（F（x）∧⌝H（x））⑷F（c）∧⌝H（c）⑸∀x（F（x）→G（x））⑹F（c）→G（c）⑺F（c）⑻G（c）⑼F（c）∧⌝H（c）∧G（c）⑽∃x（F（x）∧G（x）∧⌝H（x））⑶任意三角形的内角和等于1800，ABC三角形，则ABC的内角和等于1800.证明设F（x）：x是三角形G（x）：x的内角和等于1800a：ABC前提：∀x（F（x）→G（x））F（a）结论：G（a）证明：⑴∀x（F（x）→G（x））⑵F（a）→G（a）⑶F（a）⑷G（a）（4）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车.每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车.有的人不喜欢乘汽车.所以有的人不喜欢步行.（个体域为人类集合）.证明设F（x）：x喜欢步行G（x）：x喜欢骑自行车H（x）：x喜欢乘车｛∀x（F（x）→⌝G（x）），∀x （G（x）∨H（x），∃x ⌝H（x））→∃x ⌝F（x）①∃x ⌝H（x）②⌝H（c）③∀x （G（x）∨H（x））④G（c）∨H（c）⑤G（c）⑥∀x（F（x）→⌝G（x））⑦F（c）→⌝G（c）⑧⌝F（c）⑨∃x ⌝F（x）(5)每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而有聪明的人在他的事业中都将获得成功.王大海是科学工作者，并且是聪明的.所以王大海在他的事业中将获得成功.（个体域为人类集合）.证明设F（x）：x是科学工作者G（x）：x喜欢钻研H（x）：x聪明W（x）：x事业成功a：王大海｛∀x（F（x）→G（x）），∀x（G（x）∧H（x）→W（x）），F（a），H（a）｝→W（a）①∀x（F（x）→G（x））②F（a）→G（a））③∀x （G（x）∧H（x）→W（x））④G（a）∧H（a）→W（a）⑤F（a）⑥G（a）⑦H（a）⑧G（a）∧H（a）⑨W（a）。

数理逻辑复习题

数理逻辑复习题随着现代科学的发展，数理逻辑作为一门重要的学科被广泛应用于各个领域。

它不仅是数学、计算机科学和哲学的重要基础，也在日常生活中发挥着重要的作用。

为了帮助大家复习数理逻辑，以下是一些数理逻辑的复习题。

一、命题逻辑1. 下列命题属于复合命题的是：a) 数学是一门有趣的学科。

b) 如果我下周一有空，我们可以一起去看电影。

c) 2+2=4且1+1=2。

d) 今天天气晴朗。

2. 根据以下命题，判断哪些命题是真命题，哪些命题是假命题：a) 如果今天下雨，那么昨天是晴天。

b) 数学是一门艺术。

c) 2+2=4或1+1=3。

d) 所有的狗都有四条腿。

3. 假设P表示“今天下雨”，Q表示“明天下雨”，R表示“后天下雨”，用逻辑运算符表示以下命题：a) 后天不会下雨。

b) 如果今天下雨，那么明天也会下雨。

c) 明天下雨是必要条件，但不是充分条件。

d) 今天不下雨是充分条件，但不是必要条件。

二、谓词逻辑1. 根据下列谓词逻辑公式，判断每个公式是否为真：a) (∀x)(P(x) ∧ Q(x))b) (∃x)(P(x) ∨ Q(x))c) (∀x)(P(x) → Q(x))d) (∃x)(P(x) → Q(x))2. 给定谓词逻辑公式(∀x)(P(x) ∧ Q(x))，假设P(x)表示“x是奇数”，Q(x)表示“x是偶数”，判断公式的真假。

三、命题演算1. 使用命题演算的推理法则，证明以下结论：a) (P ∧ Q) → Pb) P → (P ∨ Q)c) (P → Q) ∧ P → Qd) (P ∨ Q) ∧ ¬P → Q2. 给定命题P表示“我学习数理逻辑”，Q表示“我能解决复杂问题”，将以下陈述转化为蕴含式（蕴含式形式为“If A, then B”）：a) 如果我学习数理逻辑，那么我能解决复杂问题。

b) 我不能解决复杂问题是一个充分条件，但不是必要条件。

四、命题等价1. 判断以下两个命题是否等价：a) P ∨ (Q ∧ R)b) (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)2. 利用逻辑运算法则，将命题(~P ∨ Q) ∧ (~Q ∨ P)进行化简。

数理逻辑_复习题及参考答案

从一份模拟试题中抽取出来的《数理逻辑》复习题及参考答案一、单选题（每小题2分，共20分）1 以下语句是命题的是（）。

A ． y 等于x 。

B ．每个自然数都是奇数。

C ．请爱护环境。

D ．你今天有空吗？2 设α是一赋值，α(p)= α(q)=1，α(r)=0，下列公式的值为假的是（）。

A ．p ∧(q ∨r)B ．(p ✂r) ↔ (¬r ✂q)C ．(r ✂q) ∧(q ✂p)D ．(r ✂q)3 以下联结词的集合（）不是完备集。

A ．{¬,∧,∨, ✂,↔}B ．{¬,∧,∨}C ．{¬, ✂}D ．{∧,∨}4 公式A 的对偶式为A*，下列结果成立的是（）。

A ．A ↔A*B ．¬A ↔A*C ．A|=|A*D ．¬A|=|A*5 假设论域是正整数集合，下列自然语言的符号化表示中，（）的值是真的。

A ．∀x ∃yG(x,y)，其中G(x,y)表示xy=yB ．∀x ∀yF(x,y)，其中F(x,y)表示x+y=yC ．∃x ∀yH(x,y)，其中H(x,y)表示x+y=xD ．∀x ∀yM(x,y)，其中M(x,y)表示xy=x6．以下式子错误的是（）。

A ．∀x ¬A(x) |=| ¬∃xA(x)B ．∀x(A(x)∧B(x)) |=| ∀xA(x)∧∀x B(x)C ．∃x(A(x)∨B(x)) |=| ∃xA(x)∨∃x B(x)D ．∀x(A(x)∨B(x)) |=| ∀xA(x)∨∀x B(x)7. 下列式子（）不正确。

A ．{x}∈{{x}}B ．{x}∈{{x},x}C ．{x}⊆{{x}}D ．{x}⊆{{x},x}二、填空题（每小题2分，共20分）1．句子“只有小王爱唱歌，他才会弹钢琴。

”中，把“小王爱唱歌”形式化为命题符p ，“小王会弹钢琴”形式化为命题符q ，则句子形式化为公式。

数理逻辑复习题

离散数学期末复习题2012-6-161.“太阳系以外的星球上有生命。

”是命题。

（ T ）2．ρ（A⋃B）=ρ（A）⋃ρ（B）（ F ）ρ（A∩B）=ρ（A）∩ρ（B）（ T ）3．一个命题的合取范式不是唯一的。

（ T ）4．等价式⌝（∃x）A（x）⇔（∀x）⌝A（x）成立。

( T )5．（∀x）（P（x）∨Q（x））∧ R（x）是命题。

（ F ）8．对于一个谓词公式，指定不同的个体域，则其真值不一定相同.T9. 若命题公式A的主析取范式包含全部的极小项，则A为永真式T10．命题“他在教室看书或在宿舍看书。

”可以符号化为P∨ S。

F11．当个体域S=｛a,b,c｝消去公式(∀x) P(x)∨(∃x)Q(x)中量词为(P(a)∨Q(a)) ∧ (P(b)) ∨Q(b)) ∧ (P(c)∨Q(c)) F12. 设P、Q是两个命题，当且仅当P、Q的真值均相同时，P↔Q的值为T. T13. 命题公式(P∧(P→ Q)) → Q是永真式. T14．命题联结词集｛∨、∧｝是极小功能完备的联结词集. F15．(A ≠Φ) ∧ (B ≠Φ) ⇒ (A ⋂ B ≠Φ ) F16. （P ↔ Q）→┐（ P ∨Q）是矛盾式。

F17. ∃xA(x) ∨∃x B(x) ⇒∃x ( A(x) ∨ B(x)) T19. 若关系R不具有对称性则R一定具有反对称性 F22. 设A、B、C是任意集合，且C-B = C-A，则A=B 。

F23. 设A、B和C为任意集合，且A∪B=A∪C，则B=C. F24．若R和S是X上具有对称性的关系，则R º S也具有对称性。

F25．若R和S是X上的具有对称性的关系，则R ∩S具有对称性。

T26．∃xA(x)∨∃x B(x)⇒∃x ( A(x) ∨ B(x)) （F ）27．（P ↔ Q）→┐（ P ∨Q）是可满足式。

（ F）28．｛｝=｛φ｝（ F ）二、填空题1．已知B={ {a，b}，c}，则B的幂集ρ（B）= { B ,Φ,{{a，b}}，{c} }2．已知A={1，2，3，4，5，6，7}，B={2，4，6，8，10}，则A-B= {1,3,5,7,} ,A + B= {1,3,5,7, 8,10} 。

数理逻辑复习题

数理逻辑复习题复习要求：掌握命题、逻辑联结词的概念；公式与解释的概念，用基本等价式化简其他公式；会用真值表法和主范式判断公式的类型；公式蕴涵与逻辑结果的概念；形式演绎方法判断公式的类型；公式蕴涵与逻辑结果的概念；形式演绎方法..一阶逻辑的基本概念，一阶逻辑公式及其解释，等值演算，推理理论；一阶逻辑公式的三种类型，即逻辑有效式（永真式），矛盾式和可满足式；用联结词产生复合命题的方法；公式在解释下的真值；公式范式的概念；形式演绎和蕴涵的关系生复合命题的方法；公式在解释下的真值；公式范式的概念；形式演绎和蕴涵的关系..命题逻辑与一阶逻辑推理理论理理论. .一、命题逻辑部分1、填空题.⑴ 公式（p ÙØq ）Ú（Øp Ùq ）的成真赋值为）的成真赋值为 01，10 .⑵ 设p 、r 为真命题，q 、s 为假命题，则复合命题（p ®q ）«（Ør ®s ）的真值为）的真值为 0 . ⑶ 设p 、q 为命题，在为命题，在 p 、q 不能同时发生不能同时发生条件下，p 与q 的排斥或也可以写成p 与q 的相容或.⑷ 设A 为任意公式，B 为重言式，则A ÚB 的类型是的类型是重言式重言式⑸ 设A 是含命题变项p 、q 、r 的重言式，则公式A Ú（（p Ùq ）®r ）的类型为重言式.⑹ 设B 是含命题变项p 、q 、r 的矛盾式，则公式B Ù（（p «q ）®r ）的类型为矛盾式）的类型为矛盾式 . ⑺ 矛盾式的主析取范式是矛盾式的主析取范式是 0 .⑻ 重言式的主合取范式是重言式的主合取范式是 1 .⑼ 设公式A 含命题变项p 、q 、r 已知A 主合取范式是M 0ÙM 2ÙM 5ÙM 6，则A 的主析取范式是的主析取范式是 .⑽ 已知公式Ø（q ®p ）Ùp 是矛盾式，则公式Ø（q ®p ）Ùp ÙØr 的成真赋值是的成真赋值是成假赋值 .⑾已知公式（p ®（p Úq ））Ù（（p Ùq ）®p ）是重言式，公式p ®（p Úq ）及（p Ùq ）®p 类型是 .⑿已知公式（p Ùq ）®p 是重言式，则公式（（p Ùq ）®p ）Úr 的成真赋值是的成真赋值是成假赋值 .⒀（A ®B ）ÙØB Þ 为拒取式推理定律.⒁（A ÚØB ）ÙB Þ 为析取三段论推理定律.⒂（ØA ®B ）Ù（B ®ØC ）Þ 为假言三段论推理定律.⒃（ØA ®ØB ）ÙØA Þ 为假言推理定律.2、将下列命题或语句符号化. ⑴ 说7不是无理数是不对的. ØØp （p ）⑵ 小刘既不怕苦，又很钻研. Øp Ùq⑶ 只有不怕困难，才能战胜困难只有不怕困难，才能战胜困难 q ®Øp⑷ 只要别人有困难，老王就帮助别人，除非问题解决了. Ør ®（p ®q ）；（Ør Ùp ）®q 或Øq ®（Øp Úr ） ⑸ 整数n 是偶数当且仅当n 能被2整除. p «q ⑹ 若地球上没有树木，则人类不能生存. q p Ø®Ø⑺ 若422=+，则地球是静止不动的. q p ®3、求下列复合命题真值. P ：2能整除5，q ：旧金山美国的首都，r ：一年有四季：一年有四季⑴（（p Úq ）®r ）Ù（r ®（p Ùq ）⑵（（Øq «p ）®（r Úp ））Ú（（Øp ÙØq ）ÚØr ）4、判断下面一段论述是否为真：“3是无理数.并且，如果3是无理数，则2也是无理数.另外，只有6能被22⑥ p ÙØq ®r 前提引入前提引入⑦ r ⑤ ⑥假言推理⑥假言推理二、一阶逻辑部分1.在一阶逻辑中将下列命题符号化.⑴ 所有的整数，不是负整数，就是正整数，或者是零. 解 F （x ）：x 是整数G （x ）：x 是正整数H （x ）：x 是负整数L （x ）：x 是0 "x （F （x ）® G （x ）ÚH （x ）ÚL （x ））或"x （F （x ）ÙØ G （x ）®H （x ）ÚL （x ）） ⑵ 有的实数是有理数有的实数是无理数. 解 F （x ）：x 是实数是实数 G （x ）：x 是有理数是有理数H （x ）：x 是无理数是无理数 $x （F （x ）ÙG （x ））Ù$y （F （y ）Ù H （y ）） ⑶ 不存在能表示成分数无理数. 解 F （x ）：x 能表示成分数能表示成分数 G （x ）：x 是无理数是无理数Ø$x （G （x ）Ù F （x ））Û"x （G （x ）®Ø F （x ）） ⑷ 若x 、y 都是实数，且x>y ，则x+2>y+2. 解 F （x ）：x 是实数是实数 H （x ，y ）：x>y "x "y （F （x ）ÙF （y ）Ù H （x ，y ）® H （x+2，y+2）） ⑸不存在最大的自然数. 解 F （x ）：x 是自然数是自然数 H （x ，y ）：x>y Ø$x （F （x ）Ù"y （F （y ）® H （x ，y ））⑹ 在北京卖菜的人不全是外地人. 解设)(x M ：x 是外地人. )(x F ：x 在北京卖菜. 则符号化为))()((x F x M x ÙØ$. ⑺ 设：)(x M ：x 是火车. )(x H ：x 是轮船. )(x F ：x 是汽车. ),(y x G ：x 比y 快. 则“火车都比轮船快.”符号化为)),()()((y x G y H x M y x ®Ù"". 则“有的火车比有的汽车快.”符号化为)),()()((y x G y F x M y x ÙÙ$$. 则“不存在比所有火车都快的汽车.”符号化为)))),()(()(((y x G y M y x F x ®"Ù$Ø. 4、指出下列公式中的指导变元，量词的辖域，各个体变项的自由出现和约束出现：指出下列公式中的指导变元，量词的辖域，各个体变项的自由出现和约束出现：（1）)),()((y x G x F x ®"解 x "的辖域：),()(y x G x F ®.x 是指导变元. x 是约束出现，y 是自由出现. （2）),(),(y x yG y x xF $®"解 x "的辖域：),(y x F .x 是指导变元. x 是约束出现，y 是自由出现. y $的辖域：),(y x G .y 是指导变元. x 是自由出现，y 是约束出现. 5、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：（1）))),()(()((y x H y G y x F x Ù$®"证明1解释1I ：R D =，)(x F ：x 是正数.)(y G ：y 是负数.),(y x H ：0=+y x . ))),()(()((y x H y G y x F x Ù$®"指对任意正数x ，存在负数y ，使得0=+y x .在该解释下，命题为“真”. 2解释2I ：}3,2,1{-=D ，)(x F ：x 是正数.)(y G ：y 是负数.),(y x H ：0=+y x .则对1=x 时，不存在负数D y Î，使0=+y x ，故在该解释下，命题为“假”，所以（1）公式既不是永真式也不是矛盾式. （2）)),()()((y x H y G x F y x ®Ù""6、设个体域},,{c b a D =，消去下列各式的量词：，消去下列各式的量词：（1）))()((y G x F y x Ù$")))()(((y G a F y Ù$Û)))()(((y G b F y Ù$Ù)))()(((y G c F y Ù$ÙÚÙÛ))()(((a G a F ÚÙ))()((b G a F ÙÙ)))()((c G a F ÚÙ))()(((a G b F ÚÙ))()((b G b F ÙÙ)))()((c G b F ÚÙ))()(((a G c F ÚÙ))()((b G c F )))()((c G c F Ù（2）))()((y G x F y x Ú"")))()(((y G a F y Ú"Û)))()(((y G b F y Ú"Ù)))()(((y G c F y Ú"ÙÙÚÛ))()(((a G a F ÙÚ))()((b G a F ÙÚ)))()((c G a FÙÚ))()(((a G b F ÙÚ))()((b G b F ÙÚ)))()((c G b FÙÚ))()(((a G c F ÙÚ))()((b G c F )))()((c G c F Ú7、求前束范式⑴Ø$x "yF （x ，y ）（Û "x $y ØF （x ，y ））⑵（$xF （x ，y ）®"yG （x ，y ，z ））®$z H （z ）. （Û$x $y $z （F （x ，t ）®G （u ，y ，v ）®H （z ）））⑶Û"®"),()(y x yG x xF ),()(y z yG x xF "®")),()((y z G x F y x ®"$Û⑷ Û$®")),,(),((z y x yG y x F x Û$®")),,(),((z y x yG t x F x )),,(),((z y x G t x F y x ®$" ⑸ Û$«"),(),(y x xG y x xF ),(),(y z zG t x xF $«")),(),(()),(),((t x xF y z zG y z zG t x xF "®$Ù$®"Û)),(),(()),(),((h r rF g s sG y z G t x F z x "®$Ù®$$Û)),(),(()),(),((h r F g s G r s y z G t x F z x ®""Ù®$$Û))),(),(()),(),(((h r F g s G y z G t x F r s z x ®Ù®""$$Û8、在自然推理系统在自然推理系统N L 中构造下面推理的证明. ⑴前提：$xF （x ）®"y （G （y ）®H （y ）），$xR （x ）®$yG （y ）结论：$x （ F （x ）Ù R （x ））®$x H （x ）证明1 ⑴ $x （ F （x ）Ù R （x ））⑵ F （c ）Ù R （c ）⑶ F （c ）⑷ R （c ）⑸ $x F （x ）⑹$xF （x ）®"y （G （y ）®H （y ））⑺ "y （G （y ）®H （y ））⑻ G （c ）®H （c ）⑼R （c ）⑽$x R （x ）⑾$xR （x ）®$yG （y ）⑿$yG （y ）⒀G （c ）⒁H （c ）⒂$x H （x ）证明2： ⑴$x （ F （x ）Ù R （x ））⑵$x F （x ）Ù$x R （x ））⑶$x F （x ）⑷$xF （x ）®"y （G （y ）®H （y ））⑸"y （G （y ）®H （y ））⑹G （c ）®H （c ）⑺$xR （x ）®$yG （y ）⑻$x R （x ））⑼$yG （y ）⑽G （c ）⑾H （c ）⑿$x H （x ）⑵人都喜欢吃蔬菜.但说所有的人都喜欢吃鱼是不对的.所以存在只喜欢吃蔬所以存在只喜欢吃蔬菜而不喜欢吃鱼的人. F （x ）：x 是人是人G （x ）：喜欢吃蔬菜：喜欢吃蔬菜 H （x ）：喜欢吃鱼：喜欢吃鱼前提："x （F （x ）®G （x ）） Ø"x （F （x ）®H （x ））结论：$x （ F （x ）Ù G （x ）ÙØH （x ））证明：证明： ⑴⑴ Ø"x （F （x ）®H （x ）） ⑵$ x Ø（F （x ）®H （x ））⑶$ x （F （x ）ÙØH （x ））⑷F （c ）ÙØH （c ）⑸"x （F （x ）®G （x ））⑹F （c ）®G （c ）⑺ F （c ）⑻ G （c ）⑼F （c ）ÙØH （c ）Ù G （c ）⑽$x （ F （x ）Ù G （x ）ÙØH （x ））⑶任意三角形的内角和等于1800，ABC 三角形，则ABC 的内角和等于1800. 证明设F （x ）：x 是三角形是三角形 G （x ）：x 的内角和等于1800 a ：ABC 前提："x （F （x ）®G （x ）） F （a ）结论：结论： G （a ）证明：证明： ⑴"x （F （x ）® G （x ）） ⑵F （a ）® G （a ）⑶F （a ）⑷G （a ）（4）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车.每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车.有的人不喜欢乘汽车.所以有的人不喜欢步行.（个体域为人类集合）. 证明设F （x ）：x 喜欢步行喜欢步行 G （x ）：x 喜欢骑自行车喜欢骑自行车 H （x ）：x 喜欢乘车喜欢乘车｛"x （F （x ）®Ø G （x ）），"x （G （x ）Ú H （x ），$x ØH （x ））®$x ØF （x ）① $x ØH （x ）② ØH （c ）③ "x （G （x ）Ú H （x ））④ G （c ）Ú H （c ）⑤ G （c ）⑥ "x （F （x ）®Ø G （x ））⑦ F （c ）®Ø G （c ）⑧ Ø F （c ）⑨$x ØF（x）(5)每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而有聪明的人在他的事业中都将获得成功.王大海是科学工作者，并且是聪明的所以王大海在他的事业中将获得成功（个体域为人类集合）. 聪明喜欢钻研 H（x）：x聪明证明设F（x）：x是科学工作者是科学工作者 G（x）：x喜欢钻研W（x）：x事业成功：王大海事业成功 a：王大海｛"x（F（x）®G（x）），"x（G（x）ÙH（x）®W（x）），F（a），H（a）｝®W（a）①"x（F（x）®G（x））②F（a）®G（a））③"x （G（x）ÙH（x）®W（x））④G（a）ÙH（a）®W（a）⑤F（a）⑥G（a）⑦H（a）⑧G（a）ÙH（a）⑨W（a）。

数理逻辑复习

5、证明 ( p q) (q r ) r ( p s ) s
6、设F(x)：x是鸟，G(x)：x会飞翔。则命题“鸟会飞”符号化为。 7、定义个体域为人的集合，试将以下命题符号化：
a、所有喜欢牛奶和鸡蛋的人也喜欢面包；
b、所有喜欢牛奶的人也喜欢鸡蛋和面包； c、有的喜欢牛奶和鸡蛋的人也喜欢面包； d、有的喜欢牛奶的人也喜欢鸡蛋和面包；
（以谓词F(x),G(x),H(x)分别表示演算证明下列等值式成立： x( P( x) Q( x)) xP( x) xQ( x) 9、完成以下推理证明：前提：xF ( x ) ，xG ( x)
结论： x( F ( x) G ( x))
1、作命题公式 ( p q) (( p q) p) 的真值表，并判断该公式的类型． 2、化简下式命题公式 (( p q) (p q)) p
3、求公式 ( p q) r 的析取、合取、主析取、主合取范式、成真赋值。
4、试证明命题公式 (p(qr))pq 与（pq）等价

数理逻辑总复习2013

条件1：该新闻条目在程序的前一次执行中已下载，用命题符号e表示；
条件2：该新闻条目在程序的本次执行中已下载，用命题符号n表示；
条件3：该新闻条目是一个动态更新的新闻条目，用命题符号d表示；
条件4：该新闻条目已过期，程序需要重新下载，用命题符号o表示。
19
精品资料
练习(liànxí)3：实际应用题
足式
9
精品资料
第四章基本(jīběn)要求
准确地将给定命题符号化理解一阶语言的概念深刻理解一阶语言的解释熟练地给出公式(gōngshì)的解释记住闭式的性质并能应用它深刻理解永真式、矛盾式、可满足式的概念,
会判断简单公式(gōngshì)的类型
10
精品资料
第五章主要(zhǔyào)内容
24
精品资料
练习(liànxí)5（续）
前提(qiántí)：
x(P(x) Q(x) x(P(x) (S(x) x(P(x) S(x))
结论： x(P(x)
R(x)), r(x))),
x(P(x)
Q(x))
S(x))
25
精品资料
练习(liànxí)5（续）
1) x(P(x)S(x))x(P(x)S(x)) 前提(qiántí)引入
一阶逻辑等值式基本等值式，置换规则、换名规则、代替规
则前束范式推理的形式结构自然推理系统(xìtǒng)NL 推理定律、推理规则
11
精品资料
第五章基本(jīběn)要求
深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式, 并能准确而熟练地应用它们．
熟练正确地使用置换规则(guīzé)、换名规则 (guīzé)、代替规则(guīzé)．
4）对平面上任意两点，有且仅有一条直线通过 (tōngguò)这两点。 P(x):x是一个点；L(x):x是一条直线 R(x,y,z):z通过(tōngguò)x,y；E(x,y):x等于y.

数理逻辑小结与例题

解： R(x)：x 是年老的。Q(x) ： x 是健壮的。
P(x)：x 是教练。
xR(x) Q(x) P(x)
例1、在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (3) 会叫的狗未必会咬人。
解： D(x) ：x 是会叫的狗。 R(x) ：x 是会咬人的狗。
xD(x) R(x) (或 xD(x) R(x))
命题逻辑小结与例题
一、命题与联结词 1、基本概念命题与真值；简单命题和复合命题；
命题常项和变项；五个联结词, ,,, ，
真值表。 2、应用。
(1) 选择适当的联结词将命题符号化。 (2) 判断命题(简单或复合)的真假。
二、命题公式及分类 1、基本概念命题公式的定义；公式的赋值；重言式，矛盾式，可满足式。 2、应用 (1) 求给定公式的真值表，及成真赋值，成假赋值。 (2) 用真值表判断给定公式的类型。
例2、设 p、q 的真值为0，r 、s 的真值为1，
试求下列命题的真值。
(1) p (q r) 解：p (q r)
0 (0 1) 1
例2、设 p、q 的真值为0，r 、s 的真值为1，
试求下列命题的真值。
(2) ( p q) (r s) 解：( p q) (r s) (0 0) (11) 1 (0 1) 11 1
例5、求命题公式 (p q) (q p)
的主析取范式，主合取范式，成真赋值和成假赋值。解：先求主析取范式
(p q) (q p) m0 m2 m3 (0, 2,3) 故主合取范式为(p q) (q p)
M1
例5、求命题公式 (p q) (q p)
例1、判断下列各语句中，命题，简单命题，复合命题，真命题，假命题，真值待定的命题各有哪些？

数理逻辑复习题

3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵ ⑴ P Q → ⑵Q P ⌝→(3) Q P →⌝ ⑷ P Q ⌝→⌝()P Q ⌝∧ 提示：()R P Q P Q ⇔⌝∧⇔→⌝4、下列表达式错误的有⑷⑴()P P Q P ∨∧⇔ ⑵()P P Q P ∧∨⇔⑶()P P Q P Q ∨⌝∧⇔∨ ⑷()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨ 5、下列表达式正确的有⑷⑴ P P Q ⇒∧ ⑵ P Q P ⇒∨ ⑶ ()Q P Q ⌝⇒⌝→⑷Q Q P ⌝⇒→⌝)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3)⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ↔ 6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∃→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∀→(3) (()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∃→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∀→7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”的逻辑符号化为⑵⑴)),()((y x A x L x →∀ ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是⑶⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇒∀∨∀ ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∧⇒∃∧∃ (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ∀∧⇔∀∧∀ ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∨⇔∃∨∃ 10、下列推导错在⑶①)(y x y x >∃∀ P②)(y z y >∃ US ① ③)(z C z >ES ②④)(x x x >∀ UG ③ ⑴② ⑵③ ⑶④ ⑷无 11、下列推理步骤错在⑶①(,)x yF x y ∀∃ P②),(y z yF ∃ US ① ③),(c z F ES ② ④),(c x xF ∀UG ③⑤),(y x xF y ∀∃ EG ④⑴①→② ⑵②→③ ⑶③→④ ⑷④→⑤12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ∀∃去掉量词后，可表示为⑷⑴()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧ ⑵()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨ (3) ()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ ⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨提示：原式()()()()()()()(),,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ⇔∃∧∃⇔∨∧∨二、填充题1、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有2n 种。

离散数学数理逻辑部分期末复习题

离散数学数理逻辑部分综合练习辅导一、单项选择题1．设P ：我将去打球，Q ：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．A ．P Q →B ．Q P →C ．Q P ↔D ．Q P ⌝∨⌝因为语句“仅当我有时间时”是“我将去打球”的必要条件，所以选项B 是正确的．正确答案：B一般地，当语句是由“……，仅当……”组成，它的符号化用条件联结词→．问：如果把“我将去打球”改成“我将去学习”、“我将去旅游”等，会符号化吗？2．设命题公式G ：)(R Q P ∧→⌝，则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( )．A ．0, 0, 0B ．0, 0, 1C ．0, 1, 0D ．1, 0, 0 个人收集整理勿做商业用途当P 为真值为1时，P ⌝的真值为0，无论()Q R ∧的真值是1还是0，命题公式G 的真值为1．所以选项D 是正确的．正确答案：D3．命题公式P ∨Q 的合取范式是 ( )．A ．P ∧QB ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）C ．P ∨QD ．⌝（⌝P ∧⌝Q ）复习合取范式的定义：定义6.6.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：A 1∧A 2∧…∧A n ，（n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是由命题变元或其否定所组成的析取式．由此可知，选项B 和D 是错的．又因为P ∧Q 与P ∨Q 不是等价的，选项A 是错的．所以，选项C 是正确的．正确答案：C4．命题公式)(Q P →⌝的析取范式是( )．A ．Q P ⌝∧B Q P ∧⌝C ．Q P ∨⌝D ．Q P ⌝∨复习析取范式的定义：定义6.6.3 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：A 1∨A 2∨…∨A n ，（n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是有命题变元或其否定所组成的合取式．公式)(Q P →⌝与Q P ⌝∧是等价的，Q P ⌝∧满足析取范式的定义，所以，选项A是正确的．正确答案：A5．下列公式成立的为( )．A．⌝P∧⌝Q ⇔P∨Q B．P→⌝Q⇔⌝P→QC．Q→P⇒ P D．⌝P∧(P∨Q)⇒Q因为：⌝P∧(P∨Q)⇒Q所以，选项D是正确的．正确答案：D6．下列公式( )为重言式．A．⌝P∧⌝Q↔P∨Q B．(Q→(P∨Q)) ↔(⌝Q∧(P∨Q))C．(P→(⌝Q→P))↔(⌝P→(P→Q)) D．(⌝P∨(P∧Q)) ↔Q(P→(⌝Q→P)) ⇔⌝P∨(Q∨ P)，(⌝P→(P→Q)) ⇔ P∨(⌝P∨Q) 所以，C是重言式，也就是永真式．正确答案：C说明：如果题目改为“下列公式( )为永真式”，应该是一样的．7．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A．(∀x)(A(x)∧B(x)) B．⌝(∃x)(A(x)∧B(x))C．⌝(∀x)(A(x)→B(x))D．⌝(∃x)(A(x)∧⌝B(x))由题设知道，A(x)→B(x)表示只要是人，就是学生，而“不是所有”应该用全称量词的否定，即⌝∀x，得到公式C．个人收集整理勿做商业用途正确答案：C8．设C(x)：x是国家级运动员，G(x)：x是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为( )．个人收集整理勿做商业用途A．))G(xx)(⌝∀(→x⌝C((x()Gx∧x⌝C⌝∀B．)) C．))G(x()(x∧x⌝C⌝∃x⌝∃D．)))((x(Gx⌝→C由题设知道，C(x)∧⌝ G(x)表示国家级运动员不是健壮的，而“没有一个”就是“不存在一个”，因此用存在量词的否定，即⌝∃x，得到公式D．个人收集整理勿做商业用途正确答案：D9．表达式))RyQzyxP∧∨∃→x∀∀中x(x(,)())(zQ((zy,)∀的辖域是( )．A．P(x, y) B．P(x, y)∨Q(z) C．R(x, y) D．P(x, y)∧R(x, y)个人收集整理勿做商业用途所谓辖域是指“紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域”．那么看题中紧接于量词∀x之后最小的子公式是什么呢？显然是P(x, y)∨Q(z)，因此，选项B是正确的．个人收集整理勿做商业用途正确答案：B10．在谓词公式(∀x )(A (x )→B (x )∨C (x ，y ))中，（）．A ．x ，y 都是约束变元B ．x ，y 都是自由变元C ．x 是约束变元，y 都是自由变元D ．x 是自由变元，y 都是约束变元约束变元就是受相应的量词约束的变元．而自由变元就是不受任何量词约束的变元．所以选项C 是正确的．正确答案：C注：如果该题改为填写约束变元或自由变元的填空题，大家也应该掌握．二、填空题1．命题公式()P Q P →∨的真值是．因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨P )⇔1，所以应该填写：1．应该填写：1问：命题公式Q Q →、Q Q ⌝∨的真值是什么？2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为．个人收集整理勿做商业用途一般地，当语句是由“如果……，那么……”，或“若……，则……”组成，它的符号化用条件联结词→．应该填写：(P ∨Q )→R3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是．复习主析取范式的定义：定义6.6.5 对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有小项的析取组成，则该等价式称为原式的主析取范式．个人收集整理勿做商业用途而小项的定义是：定义6.6.4 n 个命题变元的合取式，称为布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．个人收集整理勿做商业用途由小项的定义知道，命题公式P ∧Q 中缺少命题变项R 与它的否定，因此，应该补上，即P ∧Q ⇔P ∧Q ∧ (R ∨⌝R ) ⇔(P ∧Q ∧ R ) ∨(P ∧Q ∧⌝R )得到命题公式P ∧Q 的主析取范式．应该填写：(P ∧Q ∧R )∨ (P ∧Q ∧⌝R )4．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为．因为在有限个体域下，消除量词的规则为：设D ＝{a 1, a 2, …, a n }，则所以，应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))如果个体域是D ＝{1, 2}，D ={a , b , c }, 或谓词公式变为(()())x A x B x ∃∨，怎么做?5．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为．因为(∃x)A(x)⇔A(1)∨A(2)∨A(3)⇔1∨1∨0⇔1应该填写：16．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为．因为自由变元就是不受任何量词约束的变元，在公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中，y是不受全称量词∀约束的变元．所以应该填写：y．个人收集整理勿做商业用途应该填写：y问: 公式中的约束变元是什么?三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．解：设P：今天是天晴；则命题公式为：P．问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，则命题公式为：P∧Q．注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“∧”．3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则命题公式为：P→Q．4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．谓词公式为：(∀x)(P(x)→ Q(x))．四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．命题公式P P⌝∧的真值是1．解错误．因为P P⌝∧是永假式（教材167页的否定律）．2．命题公式⌝P∧(P→⌝Q)∨P为永真式．解：正确因为，由真值表P Q ⌝P ⌝Q P→⌝Q⌝P∧(P→⌝Q)∨P0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 110 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1可知，该命题公式为永真式．注：如果题目改为该命题公式为永假式，如何判断并说明理由？3．下面的推理是否正确，请给予说明．(1) (∀x )A (x ) ∧ B (x ) 前提引入(2) A (y ) ∧B (y ) US (1)解：错第2步应为：A (y )∧B (x )因为A (x )中的x 是约束变元，而B (x )中的x 是自由变元，换名时，约束变元与自由变元不能混淆．五．计算题1．求P →Q ∨R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．解 P →Q ∨R ⇔⌝P ∨Q ∨R （析取范式、合取范式、主合取范式）⇔(⌝P ∧(Q ∨⌝Q )∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧Q ∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧(Q ∨⌝Q )∧R )个人收集整理勿做商业用途（补齐命题变项）⇔(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R ) （∧对∨的分配律）个人收集整理勿做商业用途⇔(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R ) （主析取范式）个人收集整理勿做商业用途注：如果题目只是求“析取范式”或“合取范式”，大家一定不要再进一步求“主析取范式”或“主合取范式”．2．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀．（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．解（1）量词x ∃的辖域为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀，z ∀的辖域为(,,)Q y x z ，y ∀的辖域为(,)R y z ．（2）自由变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的y ，(,)R y z 中的z ．约束变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的x ，(,,)Q y x z 中的z ，(,)R y z 中的y ．3．设个体域为D ={a 1, a 2}，求谓词公式∀y ∃xP (x ,y )消去量词后的等值式．解：∀y ∃xP (x , y )⇔(∃xP (x , a 1))∧(∃xP (x , a 2))⇔(P (a 1, a 1)∨P (a 2, a 1))∧(P (a 1, a 2)∨P (a 2, a 2))六、证明题1．试证明命题公式(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q与⌝（P∨⌝Q）等价．证：(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∨(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔((⌝P∨Q∨⌝R)∧⌝P)∧Q⇔⌝P∧Q（吸收律）⇔⌝(P∨⌝Q) （摩根律）2．试证明(∃x)(P(x)∧R(x))⇒(∃x)P(x)∧(∃x)R(x)．分析：前提：(∃x)(P(x)∧R(x))，结论：(∃x)P(x)∧(∃x)R(x) ．证明(1) (∃x)(P(x)∧R(x)) P(2) P(a)∧R(a) ES(1) (存在指定规则)(3) P(a) T(2) （化简）(4) (∃x)P(x) EG(3) (存在推广规则)(5)R(a) T(2) （化简）(6) (∃x)R(x) EG(5) (存在推广规则)(7) (∃x)P(x)∧(∃x)R(x) T(4)(6) （合取引入）。

数理逻辑复习总结题.doc

数理逻辑复习题

05a数理逻辑总复习

数理逻辑复习题

华南师范大学 离散数学数理逻辑-复习题

篇数理逻辑复习题

复习(数理逻辑部分)

数理逻辑复习题

数理逻辑复习题

数理逻辑_复习题及参考答案

数理逻辑复习题

数理逻辑复习题

数理逻辑复习

数理逻辑总复习2013

数理逻辑小结与例题

数理逻辑复习题

离散数学数理逻辑部分期末复习题

最新数理逻辑复习题知识分享

华南师范大学离散数学数理逻辑-复习题