2018全国1卷理科第12题——立体几何截面

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立体几何中的截面(解析版)

立体几何中的截面(解析版)在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形。

总共有三种截面方式，分别为横截、竖截、斜截。

我们需要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。

正六面体的基本斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。

圆柱体的基本截面也有其特殊性质。

我们可以运用线、面平行的判定定理与性质求截面问题，或者结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题。

此外，我们还可以灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等。

建立函数模型也是求最值问题的一种方法。

在一个透明的塑料制成的长方体内灌进一些水，固定底面一边于地面上，再将倾斜，有四个命题。

其中，水的部分始终呈棱柱状，棱AD始终与水面平行，当倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值。

水面的面积在转动过程中会改变，而BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH。

因此，正确的命题序号为①③④。

一个容积为1立方单位的正方体，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G。

若此可以任意放置，则该可装水的最大容积是多少？分析本题，不能用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形。

进一步地，截面也不能为正五边形。

这是因为正方体的每个面都是正方形，而五边形无法与正方形相切。

因此，无论如何调整平面的位置，都不能得到五边形的截面。

而且OE=OC是抛物线的直线准线，所以焦点F在OC上，且OF=OC=1.故选：D二、完形填空在数学课上，老师讲到一个有趣的问题：如何用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形。

这个问题引起了我的思考，我开始想象一个平面在正方体中穿过的情景。

我发现，如果截面是一个正五边形，那么这个五边形的五条边必须分属于正方体的五个不同的面。

但是，正方体的每两个相对的面是平行的，所以这五条边中必有两条边是平行的。

最新巧解：2018全国I卷理科数学最后一道选择题(第12题)答案

巧解2018全国I卷理科数学最后一道选择题（第12题）作者: 李泽粤 2018-6-30理科数学【题目】12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A．33B．23C．32D．3【巧解方法一】思路：借助两个定理，将求截面的最大面积转化为：求截面在正方体底面的投影面积的最大值S，再用S除以平面α与正方体底面的夹角正弦值得到截面的最大面积。

[定理一] 易证，如下图1，平面α上的任一闭合图形的面积S1与平面α在底面XOY的投影面积S2的比值为定值，且S2与S1的比值等于平面α与底面XOY夹角的余弦值。

图1[定理二]易证，如下图2，如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么，它们的交线平行（直线HF//直线IJ），且其中一条交线在另一个平行面中的投影直线与另一条交线也平行（直线DB//直线IJ），直线DB与直线IJ的距离为定值。

图2解法：由定理一得，当平面α与正方体的截面面积最大时，也就是截面在正方体底面投影的面积也是最大值。

1）由题设：每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，可知平面α截正方体的方向如图3.图3 图4 图5接着平面α可以继续向AC方向移动，截线段AD于I，截线段AB于J，截线段BC于K，截线段CD于L。

继续向AC方向移动，出现图5。

对应的，平面α截正方体的截面在底面ABCD的投影如下：图6 图7 图8由定理二得，直线IJ与直线LK的距离为定值。

用代数易证得，当IJ=LK，I为AD中点，K为BC中点时，投影面积最大。

（另外，也可以这么理解：在平面α由如图3位置移动到如图5位置过程中，梯形IJBD的面积减少率（即面积值的导数），为线段IJ的长度。

梯形DBKL的面积减少率（即面积值的导数），为线段KL的长度。

显然由图3到图4过程中，梯形DBKL的面积增加值大过于梯形IJBD的减少值。

由图4到图5则相反。

也就是说线段IJ=KL时，投影面积IJBKLD最大。

强基专题--立体几何中的截面问题

强基专题3 立体几何中的截面问题
[跟进训练]
1．(2021·重庆模拟)在三棱锥 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，
PA＝3，PB＝4，PC＝5，点 E 为线段 PC 的中点，过点 E 作该三棱
锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为( )
A．6π
B．8π
C．10π
D．12π
1234 5
(2)当π2＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sin θ＜1，sin α可以取到最大值1，
此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
1234 5
强基专题3 立体几何中的截面问题
综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范围有关，
当0＜θ≤π2时，轴截面面积最大，最大值为S＝12l2sin θ. 当π2＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
同理 FG∥EH，所以四边形 EFGH 为平行四边形，又 AD⊥BC，所以四边形 EFGH 为矩形．
1234 5
强基专题3 立体几何中的截面问题
由相似三角形的性质得BECF＝AACF，FACC＝AFDG，所以BECF＋FAGD＝AACF＋FACC，BC＝AD＝2，所以 EF＋FG＝2，所以四边形 EFGH 的周长为定值 4，S 四边形 EFGH ＝EF×FG≤EF＋2 FG2＝1，所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1.故选 B．]
1 2
l2sin θ.截面VCD的面积S′＝12l2sin α.在△V强基专题3 立体几何中的截面问题
(1)当0＜θ≤π2时，0＜α＜θ≤π2，sin α＜sin θ⇒S′＜S，此时过圆锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝12l2sin θ.
截面形状及相应面积的求法 (1)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题； (2)结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； (3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； (4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型； ③求最值．

2018年度高考全国一卷理科数学内容规范标准答案及其解析

B.p1=p3
C.p2=p3
D.p1=p2+p3
【答案】A
【解析】
整个区域的面积：S1+S半圆BC= S半圆AB+ S半圆AC+S△ABC
根据勾股定理，容易推出S半圆BC= S半圆AB+ S半圆AC
∴S1= S△ABC故选A
【考点定位】古典概率、不规则图形面积
11.已知双曲线C： -y²=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=
=
从而KMA+KMB=0 MA、MB的倾斜角互补，∴∠OMA=∠OMB
综上所述，∠OMA=∠OMB【考Βιβλιοθήκη 定位】圆锥曲线20、（12分）
某工厂的某、种、产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的ｋ概率都为P（0<P<1），且各件产品是否为不合格品相互独立。
f2（x）=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3≧(4/3) 3-3cosx） 3(1+cosx))/4）4= （）4=
当3-3cosx=1+cosx 即cosx 时，f2（x）取最大值
f（x）min=
【考点定位】三角函数的极值，基本不等式的应用
D.[1，+∞）
【答案】C
【解析】
根据题意：f(x)+x+a=0有两个解。令M(x)=-a,

2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

2018年普通高等学招生全国统一考试题，每小题5分，共60分。
1、设z= ，则|z|=
A、0
B、
C、1
D、
【答案】C
【解析】由题可得，所以|z|=1
【考点定位】复数
2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则 A=
A、{x|-1<x<2}
B、{x|-1 x 2}
D.[1，+∞）
【答案】C
【解析】
根据题意：f(x)+x+a=0有两个解。令M(x)=-a,
N(x)=f(x)+x =
分段求导：N‘(x)=f(x)+x = 说明分段是增函数。考虑极限位置，图形如下：
M(x)=-a在区间(-∞，+1]上有2个交点。
∴a的取值范围是C.[-1，+∞）
【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法
【解析】
S1=2a1+1=a1∴a1=-1
n>1时，Sn=2an+1，Sn-1=2an-1+1 两式相减：Sn-Sn-1= an=2an-2an-1∴an=2an-1
an=a1×2n-1= （-1）×2n-1
则下面结论中不正确的是：
A、新农村建设后，种植收入减少。
B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A
【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，
【考点定位】简单统计
M、N的坐标（1，2），（4，4）
则 · =(0,2)·(3,4)=0*3+2*4=8

专题讲义：立体几何中的截面

专题讲义：立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。

其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。

最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。

2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。

【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。

例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D 。

例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：① 水的部分始终呈棱柱状； ② 水面EFGH 的面积不改变； ③ 棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF 是定值；其中正确的命题序号是______________分析当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BC BF BE V ⋅⋅=21水是定值，又BC 是定值，所以BE·BF 是定值，即④正确。

专题12 立体几何问题-2018年全国1卷理科数学高考题相似模拟题分类汇编解析版

专题12 立体几何问题【母题来源一】【2018高考新课标1理数12】【母题原题】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A.B. C. D. 【答案】A所以其面积为26S ==⎝⎭A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果. 【母题来源二】【2017高考新课标1理数16】【母题原题】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．【答案】点睛:对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.【母题来源三】【2016高考新课标1理数11】【母题原题】平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α//平面CB1D1，αI平面ABCD=m，αI平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（A（B（C（D）1 3【答案】A 【解析】【考点】平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.【命题意图】1．空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.2．点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理,并能够证明.如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.4．空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会推导空间两点间的距离公式.【命题规律】立体几何小题常考的题型包括：（1）球体；（2）多面体的三视图、体积、表面积或角度，包括线线角、线面角以及面面角，要重视常见几何体的三视图、三视图还原几何体的常用方法、面积和体积的计算式以及点线面的位置关系等，也要注意提高空间想象能力与数学计算能力．立体几何解答题第1问主要集中考查空间中直线、平面的位置关系的判断，注重对公理、定理的考查，而第2问多考查空间向量在空间立体几何中的应用，在证明与计算中一般要用到初中平面几何的重要定理，空间思维要求较高，运算量较大，对学生的空间想象能力、转化能力、计算能力要求较高．在考查考生运算求解能力的同时侧重考查考生的空间想象能力和推理论证能力，给考生提供了从不同角度去分析问题和解决问题的可能，体现了立体几何教学中课程标准对考生的知识要求和能力要求，提升了对考生的数学能力和数学素养的考查.本试题能准确把握相关几何元素之间的关系，把推理论证能力、空间想象能力等能力和向量运算、二面角作图、建立空间直角坐标系等知识较好地融入试题中，使考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力得到了有效考查.1．【河北省唐山市迁安市第三中学2018届高三上学期期中】在三棱锥A-BCD中，AC＝BD＝3，AD＝BC＝4，AB＝CD＝m，则m的取值范围是（）A．(1，5)B．(1，7)C．(，7)D．(，5)【答案】D【解析】【分析】由为锐角可知：，解得：，所以：.故选D.【点睛】本题考查棱锥的结构特证，需要根据棱锥的棱长性质及角度限制m的范围，考察了空间想象能力，运用了数学中的转化思想.2．【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二）】点是棱长为的正方体的棱切球上的一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（_____）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】【点睛】本题考查空间距离计算，考查学生分析解决问题的能力，转化为M点要棱切球上动，点N在外接球上某个小圆上动是本题的关键。

(完整版)数学说题—2018年全国卷I第12题

说命题说解题说规律说错点说变式说备考
变式：已知正方体的棱长为1，用一个平面α去截此正方
体，则α截此正方体所得面积的最大值为 _____ 正确判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状和位置。
正方体截面形状小结
面积最大
说命题说解题说规律说错点说变式说备考
FQ
PG
则截面面积
S SOPQ 3SOMN
1 [ 2x 2(1 x) 2x]2 sin 60 - 3 1（ 2x）2 sin 60
2
2
- 3x2 3x 3 3(x2 x) 3 (0 x 1)
2
2
所以当x=1 时，面积取到最大值 3 3选A
2
4
说命题说解题说规律说错点说变式说备考
2018年全国卷数学说题
全国卷Ⅰ（理）第12题
1 命题立意
4 错点分析
2 解题总过结程
5 变式拓展
3 规律方法
6 备考启示
说题流程
2018年全国卷1（理）12题
12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）
A. 3 3 B. C2.3 D. 3 2
思路分析作图
条件1.每条棱所在直线与平面α所成的角相等
问题一：面α在什么位置？
条件2.α截此正方体得到截面
问题二：截面是什么形状？
说命题说解题说错点说方法说变式说备考
思路分析
正方体中的12条棱可分为三组互相平行的棱
棱BA,BC,BB'与平面α所成的角相等
三条棱长度相等且交于同一点B

2018年高考真题理科数学(全国卷Ⅰ)+Word版含解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设121iz i i-=++，则z =（）A ．0B ．12C ．1 D2．已知集合{}2|20A x x x =-->，则A =R ð（） A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -≤≤C ．{}{}|1|2x x x x <->D ．{}{}|1|2x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则3a =（） A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（） A．B．C ．3D ．28．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（） A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（）A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（） A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y -=：，O为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =与C 的两条渐近线的交点分别为（） A ．32B ．3 C． D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（） ABCD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则6S =________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．三、解答题（共70分。

2018年高考数学全国1卷第12题出处及变式

可编辑11. 2018 全国 1 卷理科第 12 题——对正方体结构的认知和运用+截面面积计算1.（2018 全国 1 卷理科第 12 题）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A ．3 34B ．2 3 3C ．3 2 4D ． 32【解析】注意到正方体 12 条棱分为三组平行的棱，则只需与共顶点的三条棱所成角相等即可，注意到正方体的结构，则平面应为图 1 中所示，所以只需由图中平面平移即可。

最大面积截面如图 2 所示，，故本题正确答案为 A 。

变式 1：（1994 全国联赛填空题第 5 题）已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于，则sin =【解析】如上图 1，顶点到平面 A BC 的距离为体对角线的 1，则 s in33 a3 3 .a 3变式 2：（2004 湖南数学竞赛第 8 题）过正方体 A BCD A 1 B 1C 1 D 1 的对角线 B D 1 的截面面积为 S ，则S max的值为（） S min3 6 2 3 2 6 A.B. C. D.2233【解析】如图，因为正方体对面平行，所以截面 B ED 1 F 为平行四边形，则1S 2S BED2 2BD 1 h ，此时 E 到 B D 1 的最小值为 C C 1 与 B D 1 的距离，即当 E 为中点时，h2a （ a 为正方体棱长），S2 13a2a6a 2 ，又因为 S 为min2min2 2 2max四边形 B C 1 D 1 F 的面积，选 C .变式 3：（2005 全国高中数学联赛第 4 题）在正方体 ABCD A ' B ' C ' D ' 中，任作平面与对角线 AC ' 垂直，使得与每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为 S ，周长为 l ，则（） A. S 为定值， l 不为定值 B. S 不为定值， l 为定值 C. S 与 l 均为定值D. S 与 l 均不为定值【解析】选 B ，将正方体切去两个正三棱锥 A A ' BD 与 C ' D ' B ' C 后,得到一个以平行平面 A ' BD 与 D ' B ' C 为上、下底面的几何体 V,V 的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行,将 V 的侧面沿棱 A ' B ' 剪开,展平在一张平面上,得到一个平行四边形 A ' B ' B 1 A 1 ,如图而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 A ' A 1 平行的线段(如图中 E ' E 1 ),显然 E ' E 1 A ' A ,故 l 为定值.当 E '位于 A ' B ' 中点时,多边形 W 为正六边形,而当 E '移至 A '处时,W 为正三角形,易知周长为.可编辑定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为3 l 2 与 24 3 l 2,故 S 不为定值. 36变式 4：在长方体 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中， ABAD4, AA 12 ，过点 A 1 作平面与. 11111 11 0AB, AD 分别交于M, N 两点，若AA 与平面所成角为450 ，则截面面积的最小值为．解析：过A 作M N 的垂线，垂足为T ，第一步：寻找T 的轨迹：T 的轨迹是平面A BCD 内，以A为圆心，2为半径的圆法一：（直观感知，作出线面角并证明）连接A1T ，因为A A 1 MN ，所以M N 平面AA1T ，过A作A1T 的垂线，垂足为Q，易证AQ 平面A1MN ，所以AA1T45，则A T 2 。

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2018高考立体几何

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节选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》，参考《立体几何的微观深入和宏观把握》淘宝的博约书斋店铺唯一正版
1.2018全国1卷理科第12题
——对正方体结构的认知和运用+截面面积计算1.（2018全国1卷理科第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的
角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）
A．3 3
4
B．
2 3
3
C．
3 2
4
D．
3
2
【解析】注意到正方体12条棱分为三组平行的棱，则只需与共顶点的三条棱所成角相等即可，注意到正方体的结构，则平面应为图1中所示，所以只需由图中平面平移即可。

最大面积截面如图2所示，
323 3
S 6()，故本题正确答案为A。

max
42 4
变式1：（1994全国联赛填空题第5题）已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于，则sin=___
【解析】如上图1，顶点到平面ABC的距离为体对角线的1
3
3
a
3
3
，则
sin
.
a 3
变式2：（2004湖南数学竞赛第8题）过正方体ABCD A的对角线
1B C D
11 1 BD的截面面
1
积为S，则S
max
S
min
的值为（）
A.
3
2
B.
6
2
C.
232 6
D.
3 3
【解析】如图，因为正方体对面平行，所以截面BED F
1为平行四边形，则
S
1
2S2BD
BED
2 1
1
h ，此时E到BD的最小值为CC与
1 1
BD的距离，即当E为中点
1
212 6
时，h min a（a为正方体棱长），S ，又因为
23a a a
2
min 2
22 2 S为max
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四边形BC D F
1的面积，选C.
1
变式3：（2005全国高中数学联赛第4题）在正方体ABCD A'B'C'D'中，任作平面与对角线AC'垂直，使得与每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（）
A.S为定值，l不为定值
B.S不为定值，l为定值
C.S与l均为定值
D.S与l均不为定值
【解析】选B，将正方体切去两个正三棱锥A A'BD与C'D'B'C后,得到一个以平行平面A'BD与D'B'C为上、下底面的几何体V,V的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形
W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行,将V的侧面沿棱A'B'剪开,展平在一张平面
上,得到一个平行四边形A'B'B A,如图
1 1
而多边形W的周界展开后便成为一条与A'A平行的线段(如图中
1 E'E),显然E'E A'A
1
, 1
故l为定值.
当E'位于A'B'中点时,多边形W为正六边形,而当E'移至A'处时,W为正三角形,易知周长为
3 3
定值l的正六边形与正三角形面积分别为l2与l2,故S不为定值.
2436
变式4：在长方体A BCD1B C D中，AD 4,AA 2
A
AB1，过点
11 1 A 作平面与1
AB,AD分别交于M,N两点，若AA 与平面所成角为450，则截面面积的最小值为．
1
解析：过A作MN的垂线，垂足为T，
第一步：寻找T的轨迹：T的轨迹是平面ABCD内，以A为圆心，2为半径的圆
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法一：（直观感知，作出线面角并证明）连接A T
1，因为AA1MN，所以MN平面AA1T，
过A作A T
1的垂线，垂足为Q，易证AQ平面A1MN，所以AA T，则AT2。

145
法二：（运动变化的观点探求轨迹问题）作一个以AA为轴，母线与对称轴所成角为450的
1
圆锥，过任意一条母线作圆锥的切面A MN
1，与平面ABCD的交线为MN，则AT2。

第二步：求最值
法一：（注意运动中的不变性）因为A22为定值，且A T MN
1
T1，则要求截面面积的最小值，只需求MN的最小值，AT2MT NT4，所以
1
MN MT TN2MT TN4，则S42242，等号成立当且仅当
A MN
1
2
MT NT。

法二：（利用二面角实现面积的转化）切面A1MN与平面ABCD所成角为45，由射影面
积法知cos 45
0 S 1
，所以S22 4 2
AMN S2MN AT MN
A MN AMN
S 2
1
A MN
1
1 1
法三：（等体积法实现面积的转化）由AMN1，
V A1V得S AA S d
AMN A A MN A MN
3 1
1
3
因为线面角为450，所以AA1sin450
d，所以S A2S
MN AMN
1
，同上。

法四：（类比勾股定理）设切点
T x，则切线MN方程为0x y y 4
0,y x，则求得
00
44
M,0,M0,，类比直角三角的勾股定理，猜想截面的平方等于三角直角面的平方x y
00
和，从而把截面面积的平方化为
64
x
2
y
2
16
x
2
16
y
2
64
x
y
2
2
16x
y
2
2
x
y
2
2
128
x y
2 2
00
因为x0y 42x y，即0 2
2 2
x0y
，
0000
128
所以面积平方的最小值为32，面积是最小为4 2
4
变式5：已知正四面体ABCD的棱长为26，四个顶点都在球心为O的球面上，P为棱BC 的中点，过点P作求O的截面，则截面面积的最小值为____________
【解析】当截面与PO垂直时面积最小，设截面半径为OA2OP2PA 6，答案为6
变式6：棱长为2的正方体ABCD A中，E为棱AD的中点，过
1B C D
11 1 B点，且与平面1
A BE
1平行的正方体截面的面积为（）
A.5
B.25
C.26
D.6
【分析】对正方体结构和截面的认知，根据平行作图，得到一个菱形，对角线分别为面对角线和体对角线，选C.
变式7：用一个平面截正四面体，给出下列结论：
①正四面体的截面不可能是正方形；
②正四面体的截面可能是等腰梯形；
③正四面体的截面可能是直角三角形；
④若正四面体的截面是三角形，则一定是是等腰三角形；
其中正确的序号是
【解析】取两组对棱的中点，连接起来，得到平行四边形，因为正四面体对棱互相垂直，则此平行四边形为正方形，平行移动得到的正方形，可得截面为等腰梯形，故①错，②正确；变式8：在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是.
解析：如图，正方体ABCD-EFGH，此时若要使液面不为三角形，
15
则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．可以求出液体取值范围为,
6 6
【点评】在运动变化中，空间想象能力得到了很好的考查。

拓展1：点M为正方体ABCD A B C D的内切球O球面上的动点，点N为
111 1 B C上一点，
1 1
2NB NC,DM BN，若球O的体积为92π，则动点M的轨迹的长度为．
1 1
解析：由已知，要有DM BN，如图1，只需考虑
DM在平面内B CC B的射影
1 1 CM BN，易得
1
M
1
为BB靠近B点的三等分点，如图2，则动点M的轨1
迹为过CM与平面
1 BCC B垂直的平面与球O面相交截得的圆，球心到圆面的距离为O
11 1
到CM BM BC O C，CM的距离O H，由于125,12,32,1 3 12
10310
即sin BCM ,cos BCM ，
1 1
1010
53 5 所以sin HCO sin(45BCM),OH OC sin HCO ，
o
1111 1
5 5
330
则截面圆的半径r R2O H2，所以轨迹长度为
1
10 330
5
．
拓展2：（1989高中数学联赛）已知三棱锥S ABC的高SO 3，底面边长为6，过点A
AP
向其所对侧面SBC作垂线，垂足为O，在AO上取一点P，是8
PO
面平行的截面的面积为．
，则经过点P且与底【答案】 3。