上海高二数列期末复习试题集(完整资料)
(完整版)高二数学数列专题练习题(含答案),推荐文档
高中数学《数列》专题练习1．与的关系：，已知求，应分时；n S n a 11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩n S n a 1=n 1a =1S 时，=两步，最后考虑是否满足后面的.2≥n n a 1--n n S S 1a n a 2.等差等比数列等差数列等比数列定义（）1n n a a d--=2n ≥*1()n na q n N a +=∈通项，dn a a n )1(1-+=(),()n m a a n m d n m =+->mn m n n n q a a q a a --==,11中项如果成等差数列，那么叫做与,,a A b A a 的等差中项．。
b 2a b A +=等差中项的设法：da a d a +-,,如果成等比数列，那么叫做与的等,,a G b G a b 比中项．abG =2等比中项的设法：，，aq a aq前项n 和，)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=时；时1=q 1,na S n =1≠q qqa a q q a S n n n --=--=11)1(,11*(,,,,)m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+若，则2m p q =+qp ma a a +=2若，则q p n m +=+qp nm a a a a =2*2,,(,,,)m p q m p q a a a p q n m N =+=⋅∈若则有性质、、为等差数列n S 2n n S S -32n n S S -、、为等比数列n S 2n n S S -32n n S S -函数看数列12221()()22n n a dn a d An B d d s n a n An Bn=+-=+=+-=+111(1)11nn n n n n a a q Aq q a as q A Aq q q q===-=-≠--判定方法(1)定义法：证明为常数；)(*1N n a a n n ∈-+(2)等差中项：证明，*11(2N n a a a n n n ∈+=+-)2≥n (1)定义法：证明为一个常数)(*1N n a a n n ∈+(2)等比中项：证明21n n a a -=*1(,2)n a n N n +⋅∈≥(3)通项公式：均是不为0常数）(,nn a cq c q =3.数列通项公式求法：(1)定义法(利用等差、等比数列的定义)；(2)累加法；(3)累乘法(型)；n n n c a a =+1(4)利用公式；(5)构造法(型)；(6)倒数法等11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩b ka a n n +=+14.数列求和(1)公式法；(2)分组求和法；(3)错位相减法；(4)裂项求和法；(5)倒序相加法。
上海市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．若（），则______．22311n n n C C C --=+*n ∈N n =【答案】5【分析】结合组合数的性质即可求解.【详解】由，所以，111m m m n n n C C C ---=+23n n C C =又因为，所以，所以，即，m n m n n C C -=22n n n C C -=23n -=5n =故答案为：5.2．总体是由编号为的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法01,02,,29,30 是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________.7816157208026315021643199714019832049234493682003623486969387181【答案】19【分析】根据随机数表选取编号的方法求解即可.【详解】随机数表第1行的第5列和第6列数字为15，则选取的5个个体依次为：15，，故选出来的第5个个体的编号为19.08,02,16,19故答案为:19.3．已知所在平面外一点，且两两垂直，则点在平面内的射影应为ABC :P ,,PA PB PC P ABC 的___________心.ABC :【答案】垂【分析】设点在平面内的射影为，由已知可证明，，根据线面垂直的P ABC 1P 1PP BC ⊥PA BC ⊥判定以及性质可得.同理可得，，即可得出答案. 1BC AP ⊥1AC BP ⊥1AB CP ⊥【详解】设点在平面内的射影为，则平面. P ABC 1P 1PP ⊥ABC 又平面，所以.BC ⊂ABC 1PP BC ⊥因为，，，平面，平面， PA PB ⊥PA PC ⊥PB PC P ⋂=PB ⊂PBC PC ⊂PBC 所以平面.又平面，所以.PA ⊥PBC BC ⊂PBC PA BC ⊥因为，平面，平面，所以平面. 1PA PP P =I PA ⊂1PAP 1PP ⊂1PAP BC ⊥1PAP 又平面，所以. 1AP ⊂1PAP 1BC AP⊥同理可证，，，所以是的垂心. 1AC BP ⊥1AB CP ⊥1PABC :所以，点在平面内的射影应为的垂心. P ABC ABC :故答案为：垂.4．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性___________. 【答案】502023【分析】应用随机抽样定义,每各个体被抽到的概率相等求解即可.【详解】先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，每各个体被抽到的概率相等， 再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性为 502023故答案为:5020235．在的二项展开式中，项的系数是___________.92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x 【答案】672-【分析】由二项式的通项公式即可求解.【详解】二项式的通项为，92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭9992192((C 2C )r r r r rr r T x x x --+-==-令，得，923r -=3r =所以项的系数是.3x 339(2)C 672-=-故答案为：.672-6．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________. 2π【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，则，解得：，又21π2π2l =2l =2ππ2πr l ==，解得：. 1r =故答案为：17．如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面ABC 111ABC A B C -AB BC ⊥1AB BC BB ==11A B C 所成的二面角的大小为_____.【答案】4π【分析】通过题意易得直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1即为正方体的一半，直接得出答案． 【详解】根据题意，易得直三棱柱1即为正方体的一半，111ABC A B C -所求即为平面与平面所成的二面角，即为，∴11A B C 111A B C 11C B C ∠又△为等腰直角三角形，，11B C C 114C B C π∴∠=故答案为.4π【点睛】本题考查二面角的求法，发现“直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1即为正方体的一半”是解决本题的关键，属于中档题．8．有一道路网如图所示，通过这一路网从A 点出发不经过C 、D 点到达B 点的最短路径有___________种.【答案】24【分析】根据已知，要想避开C 、D 点，需分步考虑.得到每一步的方法种类，用分步计数原理乘起来即可得出答案.【详解】如图，由已知可得，应从点，先到点，再到点，最后经点到点即可.A E F GB 第一步：由点到点，最短路径为4步，最短路径方法种类为；A E 1343C C 4⋅=第二步：由点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为；E F 1232C C 3⋅=第三步：由点经点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为. F G B 111121C C C 2⋅⋅=根据分步计数原理可得，最短路径有种. 43224⨯⨯=故答案为：24.9．从本市某高中全体高二学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以，，，，为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100损，可见部分信息如图，则a 的值为___________.【答案】0.02【分析】根据频率分布图可得组内有2个数据.结合茎叶图和频率分布直方图可知样本容量[]90,100，即可得出组内的数据有4个，进而求出a 的值.20n =[)80,90【详解】由频率分布直方图可得，组内数据的频率等于组内数据的频率，所以[]90,100[)50,60组内有2个数据.[]90,100设样本容量为，则，所以. n 20.0110n=⨯20n =所以组内的数据有，所以组内数据的频率等于，所以[)80,902025724----=[)80,9040.220=. 0.20.0210a ==故答案为：.0.0210．如图，四边形为梯形，，，图中阴影部分绕旋转一周所形成的ABCD //AD BC 90ABC ∠=︒AB 几何体的体积为_________【答案】． 683π【分析】由题意知：旋转所得几何体为一个圆台，从上面挖去一个半球；利用球体、圆台的体积公式求几何体体积.【详解】由题意知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球；圆台的上底面面积，14S π=下底面面积，216S π=∴圆台的体积为，()114163283V πππ=⨯⨯=又半球的体积为， 3214162233V ππ=⨯⨯⨯=故旋转体的体积为． 1216682833V V πππ-=-=故答案为：． 683π11．斐波那契数列是由13世纪意大利斐波那契提出的，它的通项公式为：，若，则数列通项公式为*,N n nn a n ⎤⎥=-∈⎥⎦1212C C C nn n n n n S a a a =+++ {}n S ___________.*,N n nn ⎤⎥-∈⎥⎦【分析】根据已知数列的通项公式,结合二项式定理,计算可得.n S 【详解】因为, *,N n nn a n ⎤⎥=-∈⎥⎦又因为22121212C C CC C Cnn n n n nn nnn n nS a a a=+++⎤⎤⎤⎥⎥--+-⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦212122C C C C Cnnn n n n n⎤⎤⎤⎤⎤⎥⎥⎥=+⎥⎥-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦⎦⎦121222C C C C C Cn nn nn n n n n n⎤⎤⎥⎥=++++⎥⎥+⎦+⎦0202 012012C+C C C C+C Cnnn n n n n n n⎤⎥=+++++⎥⎦11n n⎤⎤=++⎥⎥⎥⎥⎦⎦n n⎤⎥=-⎥⎦故答案为:n n⎤⎥⎥⎦-12．在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点11111ABCD A B C D-,F P1AC1111DCBA G为线段的中点，则周长的最小值为___________.1B C PGF:【答案】##43113【分析】若取得最小值，则在线段上，将平面绕旋转到与共面的情况，PF P11A C11AAC1AC1ABC可知过作于点，结合三角形三边关系可知的最小值为，可知所求三G11GP A C'⊥P'PF FG+P G'角形周长最小值为；利用二倍角公式可求得，在可求得，由此可得2P G'11sin AC B∠1Rt GP C':P G'结果.【详解】若取得最小值，则平面，又在平面上的投影为，PF PF ⊥1111D C B A 1AC 1111D C B A 11A C 在线段上，P ∴11A C 将平面绕旋转到与共面的情况，如图所示，11AAC 1AC 1ABC过作于点，交于点，G 11GP A C '⊥P '1AC F '（当且仅当重合，重合时取等号）， PF FG PG P G '∴+≥≥,F F ',P P '，， 1AB = 1BC =1AC =1GC =在中，∴1Rt ABC :1sin AC B ∠=1cos AC B ∠=11111sin sin 22sin cos A C B AC B AC B AC B ∴∠=∠=∠∠=则在中，， 1Rt GP C ':1112sin 3P G GC A C B '=∠==的周长.PGF ∴:423PG PF FG P G '++≥=故答案为：. 43【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是能够通过旋转平面将立体几何中距离之和的问题，转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况.二、单选题13．设M ，N 为两个随机事件，如果M ，N 为互斥事件，那么（ ） A ．是必然事件 B ．是必然事件 M N ⋃M N ⋃C ．与一定为互斥事件 D ．与一定不为互斥事件M N M N 【答案】A【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，再借助维恩图即可求解. 【详解】因为M ，N 为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示（第一种情况）（第二种情况）无论哪种情况，均是必然事件．故A 正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故M N ⋃M N ⋃B 不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C 不正确，如果是第二种情况，M N M 与一定为互斥事件，故D 不正确. N 故选：A.14．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足αβγ、、a b c 、、,,a b c αβγ⊆⊆⊆a b c 、、以下哪种关系 A ．两两垂直 B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【答案】B【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能//a b ,a b ,αβc 存在，可得正确结果.////a b c 【详解】设，且与均不重合l αβ= l ,a b假设：，由可得：， ////a b c //a b //a β//b α又，可知， l αβ= //a l //b l 又，可得：////a b c //c l 因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面 ,,αβγl γl c 若与或重合，同理可得与相交或异面 l a b l c 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B 【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.15．某种疾病可分为两种类型：第一类占70%，可由药物治疗，其每一次疗程的成功率为70%，A 且每一次疗程的成功与否相互独立；其余为第二类，药物治疗方式完全无效.在不知道患者所患A 此疾病的类型，且用药物第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率最接近下列哪一A 个选项（ ） A ．0.25 B ．0.3 C ．0.35 D ．0.4【答案】B【分析】分别写出两次疗程概率,再应用独立事件概率是概率的积, 计算即可. 【详解】用药物A 第一次疗程失败的概率为0.70.3+0.3=0.51⨯用药物A 第一次疗程失败第二次疗程成功的概率为 0.70.30.7=0.3×0.49⨯⨯所以药物A 第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率为，0.30.49490.30.290.5151⨯=⨯≈ 故选:B .16．已知随机变量，，，，记，其中，()2,B n p ξ:*n ∈N 2n ≥01p <<()()f t P t ξ==t ∈N 2t n ≤，现有如下命题：①；②若，则，下列判断正确的是011(2)(21)2nnt t f t f t ==<<-∑∑6np =()()12f t f ≤（ ）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】根据已知得出.取，根据二项式定理求出奇数项和偶数项()()22C 1n tt t n f t p p -=⋅⋅-12p =和，即可判断命题①真假；先利用分布列的表达式得出，判断()()()()()()1211111f t n p t f t t p ++-+=++-()f t的增减性.讨论是否为整数，得出最大项.最后根据已知，即可判断命题②真假. ()21n p +【详解】由已知可得，.()()()22C 1n tt t n f t P t p p ξ-===⋅⋅-对于命题①，当时，. 12p =()()2222111C 1C 222tn tnt t n n f t P t ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅⋅-=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为， ()()0221321222222C C C C C C n n n n n n n n -+++++++L L ()2012212222222C C C C C 112nn nn n n n n n -=+++++=+=L ()()221321222222CC C C C C n n nn n n n n -+++-+++L L ，所以()()()()()()0122122012212222221C 1C 1C 1C 1C 110n n nn nn n n n n --=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯+-⨯=-=L . 022132121222222C C C C C C 2n n n n n n n n n--+++=+++=L L 所以，所以，所以()222222221111(2)2222C C Cn nnnnn t nnf t -=+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⋅⋅∑ 101(21)(2)2n nt t f t f t ==-==∑∑①为假命题；对于命题②，若.()~2,B n p ξ()()()()21112221C 1C 1n t t t n n tt t n f t p p f t p p --++-+⋅⋅⋅⋅-=-()()()211n t p t p -=+-()()()()()()2111111n p t t p t p +-+++-=+-.()()()()211111n p t t p +-+=++-当时，，随着的增加而增加；当时，()121t n p +<+()()1f t f t +>()f t t ()121t n p +>+，随着的增加而减小.()()1f t f t +<()f t t 当为整数时，或时，有最大值；当不为整数()21n p +()21t n p =+()211t n p =+-()f t ()21n p +时，为的整数部分时，有最大值.因为，，所以当t ()21n p +()f t ()2112n p p +=+01p <<12t =时，最大，所以有，所以②为真命题. ()f t ()()12f t f ≤故选：D.三、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，，交于点111ABC A B C -2AB AC ==14AA =AB AC ⊥1BE AB ⊥1AA E ，D 为的中点.1CC(1)求证：平面；BE ⊥1AB C (2)求直线与平面所成角的大小. 1B D 1AB C 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直1AA AC ⊥AC ⊥11AA B B AC BE ⊥的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解即可 1AB C 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 111ABC A B C -所以平面， 1AA ⊥ABC 又平面， AC ⊂ABC 所以.1AA AC ⊥因为，，，平面，平面， AC AB ⊥1AA AC ⊥1AB AA A ⋂=AB ⊂11AA B B 1AA ⊂11AA B B 所以平面. AC ⊥11AA B B 因为平面， BE ⊂11AA B B 所以.AC BE ⊥因为，，，平面，平面， 1BE AB ⊥AC BE ⊥1AC AB A ⋂=AC ⊂1AB C 1AB ⊂1AB C 所以平面.BE ⊥1AB C （2）由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系. AB AC 1AA A xyz -则，，，，，()0,0,0A ()12,0,4B ()0,2,0C ()2,0,0B ()0,2,2D 设，，，，()0,0,E a ()12,0,4AB = ()2,0,BE a =-()0,2,0AC =因为，所以，即，则， 1AB BE ⊥440a -=1a =()2,0,1BE =- 由（1）平面的一个法向量为.1AB C ()2,0,1BE =-又()12,2,2B D =--设直线与平面所成角的大小为，则1B D 1AB C π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭11πsin cos 2BE B DBE B D θθ⋅⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，直线与平面所成角的大小为. 1B D 1ABC18．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等.现将体积为1000的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸3cm 成长为的面条，……，小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过0.5cm ，求至少经过多少2100cm ⨯次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求？（单位：cm.每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）【答案】至少经过次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求7【分析】拉伸之后面条数列为等比数列，可得拉伸后面条的数量；由圆柱的体积公式，结合等体积法即可求得拉伸后面条的截面半径，进而得解.【详解】经过次对折拉伸之后面条的数量成等比数列， n 因而可知经过次对折拉伸之后面条的长度为， n 12100n -⨯设拉伸次后面条的截面半径为，由面团体积为可得 n r 31000cm ，121002π1000n r -⨯⨯⨯=又因为直径， 122d r =≤即得,,是单调递增的 2121012π4n r -=≤⨯5102πn -≤52n y -=且当时,,当时, , 6n =102π>7n =104π≤所以至少经过次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求719．一个随机变量的概率分布为：，其中A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个ζ()12cos2sin x x A B C ⎛⎫⎪+⎝⎭内角.(1)求A 的值；(2)若，求数学期望的取值范围. 12cos sin x B x C ==，E ζ【答案】(1)π6(2)34⎫⎪⎪⎭【分析】(1)根据概率分布的概率性质计算即可;(2)把转化为三角函数,根据角的范围确定三角函数的值域可解. E ζ【详解】（1）由已知可知: cos2sin 1A A +=,,212sin sin 1A A -+=()sin 12sin 0A A -=又因为为锐角, ,所以,即得. A sin 0A >1sin 2A =π6A =（2）因为 12cos sin xB xC ==，所以cos cos2sin sin 11cos sin 22E B A C A B C ζ=+=+ 11πcos sin 226B B ⎛⎫=++⎪⎝⎭111cos sin cos 22213sin cos 22B B B B B ⎛⎫=++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭1sin cos 2π3B B B =⨯+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又因为是锐角三角形,且,所以ABC :π6A =ππ32B <<, 2ππ5π336B <+<π1sin 32B ⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝π334B ⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭34E ζ⎫∈⎪⎪⎭20．《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形n n n n A B C D ，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点1,2,3n =,n n P Q ，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃11,P Q 2222A B C D m E m F 1,2,3,4m =舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与11122A PE P E -22131A P E P F -(1)求异面直线与成角余弦值； 12P A 12Q B (2)求平面与平面的夹角正弦值； 111P A E 122A E P (3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）. 【答案】(1)；13；(3)表面积为，体积为. 2【分析】（1）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角O 221,,OP OQ OP u u u r u u u u r u u u r,,x y z 坐标系.写出点的坐标，求出，，根据向量即可结果；()121,1,1P A =--u u u r ()121,1,1Q B =u u u u r（2）根据坐标，求出平面与平面的法向量，根据向量法可以求出法向量夹角的余弦111P A E 122A E P 值，进而得出结果；（3）由已知可得，四边形为菱形.根据向量法求出四棱锥的体积以及表面积即1122PE P E 11122A PE P E -可得出结果.【详解】（1）解：由题意可知，两两垂直，且.以点为坐标原221,,OP OQ OP 2211OP OQ OP ===O 点，分别以的方向为轴的正方向，如图5，建立空间直角坐标系. 221,,OP OQ OP u u u r u u u u r u u u r,,x y z则由题意可得，，，，，，，()0,0,0O ()21,0,0P ()20,1,0Q ()10,0,1P ()21,1,0B ()11,0,1A ()21,1,0A -，.()10,0,1Q -又分别是的中点，所以，. 12,E E 1212,P A PB 1111,,222E ⎛⎫- ⎪⎝⎭2111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()121,1,1P A =--u u u r ()121,1,1Q B =u u u u r 则，12121cos ,3P A Q B <=-u u u r u u u u ru u u r u u u u r 所以异面直线与成角余弦值为. 12P A 12Q B 13（2）解：由（1）可得，，，，.()111,0,0P A =u u u r11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ()210,0,1P A =u u u r 22111,,222P E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 设是平面的一个法向量，()1111,,n x y z =111P A E 则， 1111110n P A n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即， 111101110222x x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩令，可得是平面的一个法向量. 11y =()10,1,1n =-111P A E 设是平面的一个法向量，()2222,,n x y z =122A E P 则， 22122200n P A n P E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即，取，可得是平面的一个法向量. 222201110222z x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩21x =()21,1,0n = 122A E P 则，1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>===u r u u ru r u u r u r u u r所以平面与平面. 111P A E 122A E P =（3）解：由（1）（2）可得，，，，()121,0,1PP =-u u u r()120,1,0E E =u u u u r 11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，. 22111,,222P E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ()111,0,0A P =-u u u r12111,,222PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 所以，2211P E PE =-u u u u r u u u r 所以∥且，所以四边形为平行四边形. 22P E 11PE 2211=P E PE 1122PE P E 又，()()12121,0,10,1,00PP E E ⋅=-⋅=u u u r u u u u r所以，即， 1212PP E E ⊥u u u r u u u u r1212PP E E ⊥所以四边形为菱形.1122PE P E ，， 121E E =u u u u r 所以. 112212112P E P E S PP E =⨯⨯u u u r u u u 设是平面的一个法向量，则，()3333,,n x y z = 1122PE P E 31231100n PP n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，取， 3333301110222x z x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩31x =则是平面的一个法向量.()31,0,1n =u r1122PE P E 又，所以点到平面的距离()111,0,0A P =-u u u r 1A 1122PE P Ed 所以四棱锥的体积. 11122A PE P E -11221111336P E P E V S d =⨯⨯==因为，，. ()111,0,0A P =-u u u r12111,,222PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r 所以在方向上的投影为 11A P u u u r 12PE u u u u r 111212AP PE PE ⋅==u u u r u u u u r u u u u r 所以点到直线的距离. 1A 12PE 1h 同理可得点到直线的距离1A 11PE 2h =所以四棱锥的侧面积11122A PE P E -1121114422S PE h =⨯⨯⨯==u u u u r 所以埃舍尔体的表面积为，体积为.112S =1122V =21．随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转A B A B 化率分别为对应区间的中点值.等级A B询单转化率70%%[90，） 50%%[70，）人数6 4(1)求该网店询单转化率的平均值；(2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概70%率；(3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A 等级客服接待的概率为a ，被任一位B 等级客服接待的概率为b ，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a 应该控制在什么范围？ 【答案】(1)； 72%(2)； 3742(3). 113,8100⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由已知分别求出、等级客服的询单转化率，根据平均数公式求出即可； A B （2）设A 等级客服的人数为，则的可能取值为，对应的询单转化率中位数分别为X X 0,1,2,3,4，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；60%,60%,70%,80%,80%（3）根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出120006000a +a 的取值范围.【详解】（1）解：由已知可得，等级客服的询单转化率为，等级客服的询单转化率为A 80%B 60%，所以该网店询单转化率的平均值为.80%660%472%10⨯+⨯=（2）解：由（1）知：、等级客服的询单转化率分别为. A B 80%,60%设抽取4位客服中，等级客服的人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3,4. A 由题意可得，服从超几何分布.X 当时，4人转化率为，中位数为； X 0=60%,60%,60%,60%60%当时，4人转化率为，中位数为； 1X =60%,60%,60%,80%60%当时，4人转化率为，中位数为； 2X =60%,60%,80%,80%70%当时，4人转化率为，中位数为； 3X =60%,80%,80%,80%80%当时，4人转化率为，中位数为. 4X =80%,80%,80%,80%80%所以，当时，这4人的询单转化率的中位数不低于.2X ≥70%因为，服从超几何分布，所以的分布列为，. X X ()464410C C C k k P X k -⋅==0,1,2,3,4k =所以. ()()()2101P X P X P X ≥=-=-=04136464441010C C C C 371C C 42⋅⋅=--=（3）解：设改革前后等级客服的接待顾客人数分别为. A ,Y Z 则改革前，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， A 163105P ==所以，则.310000,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()31000060005E Y =⨯=因为，等级客服的询单转化率分别为，A B 80%,60%所以改革前日均成交人数为； ()600080%10000600060%7200⨯+-⨯=改革后，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， A 26P a =所以，则，()10000,6Z B a ~()10000660000E Z a a =⨯=故改革后日均成交人数为. ()6000080%100006000060%120006000a a a ⨯+-⨯=+由得：，①1200060007200300a +≥+18a ≥因为每位顾客被一位等级客服接待的概率为，又，所以每位顾客被一位等级客服A a 641a b +=B 接待的概率为. 164ab -=又每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，所以， 100001300161000013004a a≤⎧⎪⎨-⋅≤⎪⎩解得：，②13100225a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩由①②得：，所以应该控制在. 1138100a ≤≤a 113,8100⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.________________ ．2.已知复数满足是虚数单位)，则_____________．3.已知是纯虚数，是实数，则4.已知，求=5.复数的值是．6.若关于x的一实系数元二次方程有一个根为，则______7.设复数，则=_____________．8.若且的最小值是_____________9.在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为（结果用反三角函数值表示）|为直径的圆的面积为______．10.，那么以|z111.用一个平面去截正方体。
其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是条12.已知空间四边形，、分别是、中点，，，，则与所成的角的大小为_________二、选择题1.若复数z=a+bi(a、b∈R),则下列正确的是（）A．>B．=C．<D．=z22.在复平面内，若复数对应的向量为，复数对应的向量为，则向量对应的复数是（）A．1B．C．D．3.如图，正方体中，若分别为棱的中点，、分别为四边形、的中心，则下列各组中的四个点不在同一个平面上的是（）（A）（B）（C）（D）4.若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交三、解答题1.（本小题满分10分）已知复数z 1满足(1+i )z 1=－1+5i ， z 2=a －2－i ， 其中i 为虚数单位，a ∈R ， 若<|z 1|，求a 的取值范围.2.（本小题满分12分） 如图，长方体中，AD=2，AB=AD=4，，点E 是AB 的中点，点F 是的中点。
（1）求证：；（2）求异面直线与所成的角的大小；（本题满分12分） 已知，且以下命题都为真命题： 命题 实系数一元二次方程的两根都是虚数； 命题存在复数同时满足且.求实数的取值范围.3.（本小题满分14分）已知实系数一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1，x 2。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知全集，集合，则2.若复数满足（是虚数单位），则3.已知直线的倾斜角大小是，则4.若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是5.已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为6.已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为7.函数的最小正周期8.若展开式中含项的系数等于含项系数的8倍，则正整数9.执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是10.已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．11.某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙名学生，这名学生选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)．12.各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是.13.已知两个不相等的平面向量，()满足||＝2，且与－的夹角为120°，则||的最大值是14.给出30行30列的数表：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数按顺序构成数列，存在正整数使成等差数列，试写出一组的值二、选择题1.已知，，则的值等于（）A．．B．．C．．D．．2.已知圆的极坐标方程为，则“”是“圆与极轴所在直线相切”的（）A．充分不必要条件．B．必要不充分条件．C．充要条件．D．既不充分又不必要条件．3.若直线经过点，则（）A．．B．．C．．D．．4.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”. 给出下列4个集合：①②③④其中所有“集合”的序号是（）A．②③．B．③④．C．①②④．D．①③④．三、解答题1.在棱长为的正方体中，分别为的中点．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小．2.如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是半径的中点，求线段的大小；（2）设，求△面积的最大值及此时的值．3.已知函数．（1）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．4.已知点，、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为，．（1）若坐标为，，点在直线上时，求点的坐标；（2）已知圆的方程是，过点的直线交圆于两点，是圆上另外一点，求实数的取值范围；（3）若、、都在抛物线上，点的横坐标为，求证：线段的垂直平分线与轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．5.已知数列的前项和为，且满足 ()，，设，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若≥，，求实数的最小值；（3）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成(且)的形式，则称为“指数型和”．问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．上海高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.已知全集，集合，则【答案】【解析】根据题意，由于全集，集合={x|x>3或x<-1}因此结合数轴法可知，。
上海重点高中高二上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的__________条件．【答案】必要不充分【分析】两条直线没有公共点，得到异面或者平行，异面可以得到没有交点，得到答案.【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或者异面两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的必要不充分条件.故答案为必要不充分【点睛】本题考查了充分必要条件，属于基础题型.2．已知向量，则向量的坐标为______．()()()3,5,1,2,1,3,1,1,2a b c =-==-- 4a b c -+ 【答案】 ()5,012-，【分析】根据向量坐标运算法则即可求解.【详解】由题意可知，. ()()()()435121341,125012a b c -+=--+--=- ，，，，，，，故答案为： ()5,012-，3．已知球的体积是，则该球的半径为______． 9π2【答案】## 32 1.5【分析】根据球的体积公式，代入就可求得半径. 34π3V R =【详解】设球的半径为R ,根据球的体积公式,即，解得. 34π9π32V R ==3278R =32R =故答案为：. 324．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是2的倍数的概率为______．【答案】##0.8 45【分析】列举出所有情况，及数字之积是2的倍数的情况，从而利用古典概型求概率公式求出答案.【详解】6张卡片中无放回随机抽取2张，有以下情况：，()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6，共有15种情况，()()()4,5,4,6,5,6其中数字之积是2的倍数的情况有，()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,6,4,5,4,6,5,6共12种情况，故概率为. 124155=故答案为： 455．用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为______．【答案】16【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．【详解】设原正方形的边长为，根据斜二测画法的原则可知，， a O C a ''=1122O A OA a ''==高， 1sin 452A D O A a '=''==∴对应直观图的面积为，故原正方形的面积为16，2a 216a =故答案为:16．6．将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在直线旋转一周得到一个圆柱，则该3cm 2cm 3cm 圆柱的体积为______．3cm 【答案】12π【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得.【详解】解：由题知，圆柱的底面半径为，母线长为，2cm r =3cm l =所以该圆柱的体积为2π12πV r l ==3cm 故答案为：．12π7．棱长为2的正四面体（所有棱长都相等）的侧棱与底面所成角的大小是______．【答案】【分析】设正四面体的顶点在平面中的投影为点，进而得是侧棱与底面所P ABC O PCO ∠PC ABC 成角，再根据几何关系求解即可.【详解】解：如图，设正四面体的顶点在平面中的投影为点，P ABC O 所以，由正四面体的性质可知，平面，且为等边三角形的中心，OP ⊥ABC O ABC 所以，是侧棱与底面所成角，且是等边三角形的边的中线，PCO ∠PC ABC OC ABC AB 因为正四面体的棱长为，-P ABC 2所以，OC=OP ==所以，在中，，Rt POC △tan OPPCO OC ∠==所以，侧棱与底面所成角的大小是故答案为：8．圆锥底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为______． 2π3【答案】27π【分析】侧面积即为扇形面积，底面周长为扇形弧长，由此可得扇形半径，后可得答案.【详解】因底面半径为3，则底面周长即扇形弧长为，又圆心角为，则扇形半径为：2π36π⨯=2π3.则扇形面积即圆锥侧面积为：. 6923ππ=21292723ππ⨯⨯=故答案为：27π9．正三棱锥底面边长为4，则二面角的大小为______．-P ABC P BC A --【答案】【分析】根据题意分析可得二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解.P BCA --PMA ∠【详解】取的中点，连接，BC M ,PM AM ∵，则，4,PB PC PA AB AC BC ======,PM BC AM BC ⊥⊥故二面角的平面角为，P BC A --PMA ∠由题意可得：，3,4PM AM PA ===∵，且， 222cos 2PM AM PA PMA PA AM +-∠==⋅[]0,πPMA ∠∈故二面角的大小为P BC A --故答案为：10．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为，母线（原圆雉母线在圆台中的1:4部分）长为9，则原圆锥的母线长______．【答案】12【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.【详解】由题意可得，几何体如下图所示：取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且， 14CD AB =//,9CD AB BD =设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得， l 914CD ED l AB EB l -===12l =即原圆锥的母线长为.12故答案为：.1211．在棱长为的正方体中，，分别是正方形、正方形的中a 1111ABCD A B C D -M N ABCD 11BB C C 心，则过点，，的平面截正方体的截面面积为______．A M N2【分析】连接AC ，, ,找到过点A 、、的平面截正方体的截面,确定其形状，求得截面1B C 1AB M N 边长，即可求得答案.【详解】如图连接AC ，则AC 过点M ,连接,则经过点N ,连接,1B C 1B C 1AB则过点A 、、的平面截正方体的截面为等边，M N 1ACB A 因为正方体棱长为，故， a 1ACBA22)= 212．设一组样本数据的方差为6，则数据的方差是______．128,,,x x x ⋅⋅⋅12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+【答案】54【分析】设的平均数为，结合的方差为6，根据平均数和方差的计算公式得128,,,x x x ⋅⋅⋅x 128,,,x x x ⋅⋅⋅到的平均数和方差.12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+【详解】设的平均数为，则，且128,,,x x x ⋅⋅⋅x 1288x x x x ⋅⋅+++=⋅，()()()2122288648x x x x x x ⋅⋅⋅-+-+-+=⨯=故的平均数为， 12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+()128128383131313188x x x x x x x +⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=++=+方差为()()()8212223131313131318x x x x x x +--++--+⋅⋅⋅++--. ()()()22228194854898x x x x x x ⎡⎤⋅⋅⋅+⎢=-⎦+-+-⎥⨯⎣==故答案为：54二、单选题13．若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（ ）l r αn l α∥A ．B ． ()()1,0,0,1,0,0r n ==- ()()1,2,3,0,3,2r n =-=C ．D ． ()()0,1,1,1,0,1r n ==-- ()()1,3,5,1,0,1r n ==-【答案】B 【分析】由题意知，要使，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即.l α∥l r αn r ⋅n 0=【详解】若，则；l α∥r ⋅n 0=对于A ：，，故A 错误； ()()1,0,0,1,0,0r n ==- ()()1,0,01,0,010r n ⋅-=⋅=-≠ 对于B ：，，故B 正确；()()1,2,3,0,3,2r n =-= ()()1,2,30,3,20r n =-⋅⋅= 对于C ：，，故C 错误；()()0,1,1,1,0,1r n ==-- ()()0,1,11,0,110r n -⋅⋅-==-≠ 对于D ：，，故D 错误；()()1,3,5,1,0,1r n ==- ()()1,3,51,0,140r n =⋅-⋅=-≠ 故选：B.14．下列命题中真命题是（ ）A ．四边形一定是平面图形B ．相交于一点的三条直线只能确定一个平面C ．四边形四边上的中点可以确定一个平面D ．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面A B C ∈αA B C ∈βαβ【答案】C【分析】利用平面的基本性质逐一判断即可．【详解】对于A ，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故A 错误；对于B ，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故B 错误；对于C ，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可以确定一个平面，故C 正确；下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形．证明：如图为四边形，其中，，，分别为，，，的中点，ABCD E F G H AD AB BC CD 连接，，，BD FE GH 由，为，，则，且，同理，且， E F AD AB FE BD ∥1=2FE BD GH BD ∥1=2GH BD 所以，且，所以四边形为平行四边形．FE GH A =FE GH EFGH对于D ，当点，，在一条直线上时，平面和与平面也可能相交，故D 错误．A B C αβ故选：C ．15．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为A ．B ．C ．D ． 7105838310【答案】B 【详解】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B. 40155408-=【解析】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．16．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A 正确；0.020.040.066%+==该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B 正确；0.040.0230.1010%+⨯==该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D 正确；0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于. ⨯频率组距组距三、解答题17．某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女生人数如下表：高一 高二 高三 男生（人数）149 x y 女生（人数）143 130z已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16(1)求的值；x (2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名?【答案】(1)128.(2)10名.【分析】（1）根据抽到高二年级男生的概率是0.16，列式计算，可得答案.（2）求出高三年级的总人数，根据分层抽样的比例，列式计算，求得答案.【详解】（1）由题意可知. 0.16,128800x x =∴=（2）高三年级人数为，800(149143)(128130)250-+-+=故用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生， 应从高三年级抽取人数为（名）. 2503210800⨯=18．甲乙两名射击运动员在某次选拔赛中的成绩的茎叶图为： 甲乙 1 10 3 33 3 6 7 7 9 92 23 6 68 8 8 8 9如果以这个成绩为依据选择一个人参加正赛，从平均水平和稳定性的角度出发应该选择谁？用统计学相关数据说明你选择的理由．【答案】选择甲，理由见解析【分析】分别求出，和，，然后比较大小即可求解. x 甲x 乙2S 甲2S 乙【详解】依题意，， 888893939697979910129493x ++++++++==甲， 8889929293969610310329493x ++++++++==乙 2222212222889488949394939493333S ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣甲 222222222296949794979499941019416633333⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦2222212222889489949294929493333S ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣乙， 2222222222939496949694103941039423633333⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦所以，.x x =甲乙22S S <甲乙所以从平均水平和稳定性的角度出发应该选择甲.19．三棱锥中，，分别为，中点，，A BCD -O E BD BC 2CA CB CD BD ====AB AD ==(1)求证：平面；AO ⊥BCD (2)求异面直线与所成角的大小．AB CD 【答案】(1)证明见解析.(2).【分析】（1）连接，证明，,根据线面垂直的判定定理即可证明结论； OC AO BD ⊥AO OC ⊥（2）取的中点M ，连接，找到异面直线与所成角，求出相关线段长，AC OM ME OE 、、AB CD 解三角形，即可求得答案.【详解】（1）连接，∵ O 为的中点， OC AB AD ==BD∴，,且, AO BD ⊥112OD BD ==1AO ===又，O 为的中点，2CA CB CD BD ====BD∴，且，CO BD ⊥CO ===在中，，AOC A 2224AO CO AC =+=∴，即，=90AOC ∠︒AO OC ⊥又平面，,,OC BD O OC BD =⊂ BCD ∴平面.AO ⊥BCD （2）取的中点M ，连接， AC OM ME OE 、、由E 为的中点，知，BC ,ME AB OE DC ∥∥∴直线与所成的角就是异面直线与所成角或其补角，OE EM AB CD 在中，，， OMEV 12EM AB ==112OE DC ==由平面，平面,所以,AO ⊥BCD OC ⊂BCD AO OC ⊥∵是直角三角形斜边上的中线，∴, OM AOC 112OM AC ==在中，由余弦定理可得：OEM △222cos 2OE EM OM OEM OE EM +-∠=⋅==由于异面直线所成角的范围为， π(0,2所以异面直线与所成角的大小为. AB CD 20．如图所示的正四棱柱的底面边长为，侧棱,点在棱上，1111ABCD A B C D -112AA =E 1CC 且().1=CE CC λ 0λ>（1）当时，求三棱锥的体积； 1=2λ1D EBC -（2）当异面直线与所成角的大小为时，求的值. BE 1D C 2arccos 3λ【答案】(1) (2) 16λ=【详解】试题分析：（1）正四棱柱中，平面，可得1111ABCD A B C D -11D C ⊥EBC；（2）以为原点，射线、、作轴、11113D EBC Rt ECB V S D C -∆=⋅111326CE BC =⨯⋅=D DA DC 1DD x y 轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，可得，，利用空间向量夹z ()10,1,2D C =- ()1,0,2BE λ=- 角余弦公式列方程求解即可.试题解析：（1）由，得， 又正四棱柱，则平面， 11=2CE CC 1CE =1111ABCD A B C D -11D C ⊥EBC 则 . 11113D EBC Rt ECB V S D C -∆=⋅111326CE BC =⨯⋅=（2）以为原点，射线、、作轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系（如D DA DC 1DD x y z 图），则，，，，()1,1,0B ()0,1,2E λ()10,0,2D ()0,1,0C 即，()10,1,2D C =- ()1,0,2BE λ=- 又异面直线与所成角的大小为， BE 1D C2arccos 3则23化简整理得，又，即. 2165λ=0λ>λ=【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求异面直线所成的角角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 21．如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转一Rt AOB △2OA OB ==C OB AOB A BO 周．设逆时针旋转至，旋转角为，．OA OD θ[)0,2θ∈π(1)求旋转一周所得旋转体的体积和表面积；ABC A V S (2)当时，求点到平面的距离； π3θ=O ABD (3)若，求旋转角．AC BD ⊥θ【答案】(1)， . 4π3V =S =+(3)或. 2π3θ=4π3θ=【分析】(1) 旋转体的体积为圆锥与圆锥的体积之差; 表面积为圆锥与圆锥的侧面BO CO S BO CO 积之和;(2)三棱锥与三棱锥体积相等,使用等积转化法求点到平面的距离；B AOD -O ABD -O ABD (3) 取中点,连接,得,在求得,在中由余弦定理得OD E ,CE AE AC CE ⊥Rt ACE A AE AOE △cos AOE ∠,从而求得旋转角．θ【详解】（1）设底面半径为,圆锥底面面积为,底面周长, 母线R BO 2π4πS R '==4πL =.AB ==圆锥的体积，侧面积. BO 1118π4π2333V S BO '=⋅=⨯⨯=14π22L S AB =⨯=⨯=圆锥的体积 ，CO 1114π4π1333V S CO '=⋅=⨯⨯=AC ==. 24π22L S AC =⨯==旋转一周所得旋转体的体积. ABC A 124π3V V V =-=旋转一周所得旋转体表面积.ABC A 12S S S =+=+（2）,π,3OA OD AD θ=∴== 2AOD S R ∴=A, ∴11233B AOD AOD V S OB -=⋅==A 在中,连接,取的中点,连接, ABD △AD AD M BM,, 2BA BD AD ===BM ===所以11222ABD S AD BM =⋅⋅=⨯=A 设点到平面的距离为，O ABD h，13O ABD ABD B AOD V S h V --∴=⋅=A 13h ∴=h ∴=即点到平面O ABD （3）取中点,连接, OD E ,CE AE, 1//,2CE BD CE BD ∴==,,AC BD AC CE ⊥∴⊥在中,Rt ACE A AC CE ==AE ∴=在中,由余弦定理得, AOE △2,1,OA OE AE ==2224171cos 22212OA OE AE AOE OA OE +-+-∠===-⋅⋅⨯⨯，， ()0,AOE ∈π∠ 2π3AOE ∴∠=,或. [)0,2θπ∈ 2π3θ∴=4π3θ=。
上海市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．在等差数列中，已知，，则__．{}n a 12a =34a =-4a =【答案】7-【分析】利用通项公式的相关的性质即可求解.【详解】设公差为，则， d 3132a a d -==-所以.437a a d =+=-故答案为：7-2．等比数列中，若，，则_____． (){*}n a n ∈N 2116a =512a =8a =【答案】4【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案．【详解】设等比数列的公比为，则，解得，即，所以(){*}n a n ∈N q 35212a a q ⨯==38q =2q =， 3581842a a q =⨯⨯==故答案为：．43．半径为2的球的表面积为________.【答案】16π【分析】代入球的表面积公式:即可求得.2=4S R π表【详解】， 2R = 由球的表面积公式可得,∴2=4S R π表,2=42=16S ππ⨯⨯球表故答案为:16π【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.4．从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答).【答案】 16【解析】先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲､乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.【详解】解：从4名同学中选2名同学共有种, 2443621C ⨯==⨯甲､乙两人都没有被选到有种，1甲､乙两人都没有被选到的概率为. ∴165．已知正项等差数列的前项和为，，则________．{}n a n n S 25760a a a +-=11S =【答案】22【分析】根据等差数列的性质可得，再根据求和公式即可求出．62a =【详解】正项等差数列的前项和为.{}n a n n S 由得，所以，（舍）25760a a a +-=26620a a -=62a =60a = 611111*********a a a S +=⨯=⨯=故答案为：22【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查了运算能力，属于基础题． 6．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建1111ABCD A B C D -D D 立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________1DB (4,3,2)1AC【答案】(4,3,2)-【详解】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，1111ABCD A B C D -D 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，D 因为的坐标为，所以,1DB (4,3,2)(4,0,0),(0,3,2)A C 所以.1(4,3,2)AC =-7．一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________.【答案】0.9## 910【分析】利用概率加法公式直接求解.【详解】一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：.0.50.70.30.9P =+-=故答案为：0.9.8．如图，点为矩形的边的中点，，，将矩形绕直线旋转所M ABCD BC 1AB =2BC =ABCD AD 得到的几何体体积记为，将绕直线旋转所得到的几何体体积记为，则的值为1V MCD △CD 2V 12V V ________【答案】6【分析】分析几何体的结构，计算出、，由此可得出结果.1V 2V 【详解】将矩形绕直线旋转所得到的几何体是以为底面圆的半径，母线长为的圆柱，ABCD AD 12所以，，21122V ππ=⨯⨯=将绕直线旋转所得到的几何体是以为底面圆的半径，高为的圆锥，MCD △CD 11所以，. 2211133V ππ=⨯⨯⨯=因此，. 126V V =故答案为：.69．已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于．若该三棱柱的所有顶点都在球的表面上，()318cm O 则球的体积等于__． O ()3cm 【分析】先由题目条件可得三棱柱的棱长，后可结合图形确定球O 的球心，后可得答案.【详解】如图，三棱柱是直三棱柱，且所有棱长都相等，111ABC A B C -该三棱柱的顶点都在球的表面上，且三棱柱的体积为18，O 设三棱柱的棱长为，则， a 1sin 60182a a a ⨯⨯⨯︒⨯=解得，分别设上下底面中心为、，a =1O 2O 则的中点即为三棱柱外接球的球心，12O O O ，22O A ==所以球的半径，R ===则球的体积等于．O 34π3⨯=10．如图，一质点从原点出发沿向量到达点，再沿轴正方向从点前进AO )1OA = 1A y 1A 到达点，再沿的方向从点前进到达点，再沿轴正方向从点前进112OA 2A 1OA 2A 1212A A 3A y 3A 到达点，，这样无限前进下去，则质点最终到达的点的坐标为__．2312A A 4A L A【答案】 83【分析】根据已知前进规律,再应用无穷等比数列求和公式可得横纵坐标.【详解】等比数列前项和公式当, n ()11,1n n a q S q -=-,110n q q ∞→+-<<≠，1,1n a S q→-根据已知前进规律,探究轴正方向的规律，得， y 1111181121441616314++++++=⨯=-同理也可发现x==故质点最终到达的点的坐标为．A8)3故答案为:8)3二、单选题11．设“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的（）A B A BA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由对立事件及互斥事件的关系即可得出结论.【详解】由对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，故“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的必要而不充分条件．A B A B故选：B．12．如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与1111A B C D ABCD-E F1A A BC11ADD A平面平行的直线（）DEFA．有一条B．有二条C．有无数条D．不存在【答案】C【分析】设平面，且，可证明平面，从而可得正确的选项.l⊂11ADD A//l DE//l DEF【详解】设平面，且，又平面，平面，l⊂11ADD A//l DE DE⊂DEF l⊂DEF平面，显然满足要求的直线l有无数条.//l∴DEF故选：C.【点睛】本题考查线面平行的判断，注意根据所求直线在定平面中去构造与平面平行的直线，本题属于容易题.13．实数a ，b 满足a •b ＞0且a ≠b ，由a 、b 、按一定顺序构成的数列（ ） 2a b +A ．可能是等差数列，也可能是等比数列B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列C ．不可能是等差数列，但可能是等比数列D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】B【分析】由实数a ，b 满足a•b ＞0且a≠b ，分a ，b ＞0和a ，b ＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a 、b 、2a b +件的a ，b 的值，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】（1）若a ＞b ＞0则有a ＞ b 2a b +若能构成等差数列，则a+b= 2a b +2a b +解得a=b （舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=， 2a b +2a b +=解得a=b （舍），即此时无法构成等比数列（2）若b ＜a ＜0，2a b a b +>>>，得2a b b a +=+于是b ＜3a4ab=9a 2-6ab+b 2得b=9a ，或b=a （舍）当b=9a 时这四个数为-3a ，a ，5a ，9a ，成等差数列．于是b=9a ＜0，满足题意＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列 2a b +故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．14．已知正项等比数列满足，若存在两项，，则的{}n a 7652a a a =+m a n a 14a =14m n +最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．不存在3243256【答案】A【分析】根据求出公比得到，结合均为正整7652a a a =+2q =14a =6m n +=,m n 数，得到五组值，代入求出最小值.【详解】设正项等比数列的公比为，{}n a 0q >因为，所以，7652a a a =+25552a q a q a =+化为，，解得．220q q --=0q >2q =因为存在两项，,m n a a 14a =14a =化为．6m n +=则，；，；，；，；，．1m =5n =2m =4n =3m =3n =4m =2n =5m =1n =则当，时，， 1m =5n =1449155m n +=+=当，时，， 2m =4n =1413122m n +=+=当，时，， 3m =3n =14145333m n +=+=当，时，， 4m =2n =1419244m n +=+=当，时，， 5m =1n =14121455m n +=+=故最小值为. 32故选：A ．15．已知函数是定义在上的严格增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则()f x R {}n a 10110a >的值（ ） ()()()()()12320202021f a f a f a f a f a ++++ A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为D ．可正可负0【答案】A 【分析】根据函数的性质可判断函数值正负，从而结合等差数列性质推出()f x 12021()()0f a f a +>，进而将结合等差数列的性质即可判断答案.()()()()()12320202021f a f a f a f a f a ++++ 【详解】因为函数是上的奇函数且是严格增函数，()f x R 所以，且当时，； 当时，．(0)0f =0x >()0f x >0x <()0f x <因为数列是等差数列，，故．{}n a 10110a >1011()0f a >再根据，所以，则，12021101120a a a +=>12021a a ->120212021()()()f a f a f a >-=-所以．12021()()0f a f a +>同理可得，，，22020()()0f a f a +>32019()()0f a f a +>L 所以()()()()()12320202021f a f a f a f a f a +++++ ，1202122020101210101011[()()][()()][()()]()0f a f a f a f a f a f a f a =+++++++> 故选：．A三、解答题16．在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3，甲乙两人的击互不影响，求：(1)甲乙同时射中目标的概率；(2)甲乙中至少有一人击中目标的概率.【答案】(1)0.12(2)0.58【分析】（1）设出相应的事件，找出对应事件的概率，利用相互独立事件的概率求解即可，（2）利用对立事件性质求解即可.【详解】（1）设“甲击中目标”为事件，“乙击中目标”为事件，A B 则，且事件，相互独立，()()0.4,0.3P A P B ==A B 所以甲乙同时射中目标的概率为.()()()0.40.30.12P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=（2）设“甲乙中至少有一人击中目标”为事件，C 则它的对立事件为“甲乙都没有击中目标”记为：，A B ⋅则. ()()()()()()11110.410.30.58P C P A B P A P B =-⋅=-⋅=---=17．如图，已知平面，，直线与平面所成的角为，且AB ⊥BCD BC BD ⊥AD BCD 30︒.2AB BC ==(1)求三棱锥的体积；A BCD -(2)设为的中点，求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）M BD AD CM【答案】(2)【分析】（1）由题目条件可得BD ，后可由三棱锥体积公式得答案； （2）取中点，连接，则，即为异面直线与所成角，后可AB N ，CN MN //MN AD CMN ∠AD CM 由余弦定理得答案.【详解】（1）因为平面，所以即为直线与平面所成的角， AB ⊥BCD ADB ∠AD BCD所以，所以 o 30ADB ∠=o tan 30AB BD ==所以三棱锥的体积 A BCD -1111223632A BCD BCD V S AB BC BD AB -=⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯A （2）取中点，连接，则，AB N ，CN MN //MN AD 所以即为异面直线与所成角，CMN ∠AD CM 又平面，平面，则，AB ⊥BCD BD ⊂BCD AB BD ⊥得. 1422，AD MN AD ====CN CM ====则在中，，CMN A 2，MN CN CM ===所以， 222cos 2CM MN CN CMN CM MN +-∠=⋅所以异面直线与所成角的大小为AD CM18．已知数列满足，且.{}n a 11a =123n n a a +=+(1)令，求证：是等比数列；3n n b a =+{}n b (2)求数列的通项公式及数列的前项和.{}n a n a {}n a n 【答案】(1)证明见解析(2)，数列的前项和为 123n n a +=-{}n a n 2234n n +--【分析】（1）根据题意结合等比数列定义运算分析；（2）根据题意结合等比数列的通项公式求得，再利用分组求和以及等比数列的求和公123n n a +=-式运算求解.【详解】（1）因为，所以， 123n n a a +=+()1323n n a a ++=+又∵，则，且，3n n b a =+12n n b b +=14b =所以是以首项，公比的等比数列.{}n b 14b =2q =（2）由（1）得，所以，11422n n n b -+=⋅=123n n a +=-所以 ()()()()23123412323...23222...23n n n S n ++=-+-++-=++++-. ()2412312324n n n n +-=-=---19．如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异1OO AB BC O A D 于、的点．B C(1)求证：平面；CD ⊥ABD (2)若，，，求圆柱的侧面积．2BD =4CD =6AC =1OO 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由圆柱的性质可得底面，即可得出，再由直线与平面垂直的判定AB ⊥BCD AB CD ⊥得出结论；（2）由已知解直角三角形求出圆柱的底面半径及母线长，即可求出答案.【详解】（1）证明：底面，且底面，AB ⊥Q BCD CD ⊂BCD ，AB CD ∴⊥又，且，平面，CD BD ⊥ AB BD B = AB 、BD ⊂ABD 平面；CD \^ABD （2）在中，，，Rt BCD ∆2BD =4CD =BC ∴==又在中，，Rt ABC ∆6AC =．4AB ∴==4，∴圆柱的侧面积为．∴1OO 24π=20．若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列{}n a i j i j ≠k k i j a a a =⋅具有“性质”.{}n a P （1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；a P （2）若公比为的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；2{}n a P 1a （3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值.12a ={}n a P d【答案】（1）答案见解析；（2），且；（3）或.12ma =1m ≥-m Z ∈1d =2d =【分析】（1）根据性质计算，由解得或，可得结论； P 2i j k a a a a a ===0a =1a =（2）通项公式，然后由求出，由的范围可得的值的形式；112n n a a -=⋅k i j a a a =⋅1a 1m k i j =+--1a （3）由得，由对于任意的正整数，存在整数和，使得，1k n a a a =221d k n =-+n 1k 2k 11k n a a a =⋅，两式相减得.首先确定，得是整数，因此也是整数，22k n a a a =⋅21()n da k k d =-0d ≠21n a k k =-d 然后说明不合题意（取较大的，使得即可得），时只有或2，并说明符0d <m 11m m a a a +>0d >1d =合题意．【详解】解：（1）若数列具有“性质”，由已知对于任意正整数，，，都存在正整数{}n a P i j i j ≠，使得，所以，解得或.k k i j a a a =⋅2a a =0a =1a =所以当或时，常数数列满足“性质”的所有条件，数列具有“性质”；当且0a =1a =P P 0a ≠1a ≠时，数列不具有“性质”.{}n a P （2）对于任意正整数，，，存在正整数，使得，即，i j i j ≠k k i j a a a =⋅111111222k i j a a a ---⋅=⋅⋅⋅，令，则.112k i j a +--=1k i j m Z +--=∈12m a =当且时，则，对任意正整数，，，由得1m ≥-m Z ∈11122n m n n a a -+-=⋅=i j i j ≠k i j a a a =⋅，得，而是正整数，所以存在正整数使111222m k m i m j +-+-+-=⋅1k i j m =++-1i j m ++-1k i j m =++-得成立，数列具有“性质”.k i j a a a =⋅P 若，取，，，不是中的项，不合题意．2m ≤-1,2i j ==12112222m m m a a ++=⨯=21m m +<212m +{}n a 综上所述，且.12m a =1m ≥-m Z ∈（3）.对于任意的正整数，存在整数，使得得. 2(1)n a n d =+- n k 1k n a a a =⋅221d k n =-+对于任意的正整数，存在整数和，使得，，两式相减得. n 1k 2k 11k n a a a =⋅22k n a a a =⋅21()n da k k d =-当时，显然不合题意.0d =当时，得，是整数，从而得到公差也是整数.0d ≠21n a k k =-d 若时，此数列是递减的等差数列，取满足正整数，解得，0d <()2102m m a a a <⎧⎪⎨->=⎪⎩m 211m d m ⎧>-+⎪⎪⎨⎪>⎪⎩由，所以不存在正整数使得成立.从而时，不具有“性质”.211m m m a a a a +⋅>>k 1m m k a a a +⋅=0d <P 是正整数，都是正整数，因此或2． 221d k n =-+,k n 1d =当时，数列2，3，4，……，，……，对任意正整数，，，由得1d =1n +i j i j ≠k i j a a a =⋅，得，而是正整数，从而数列具有“性质”.1(1)(1)k i j +=+⋅+k i j i j =++⋅i j i j ++⋅P 当时，数列2，4，6，……，，……，对任意正整数，，，由得2d =2n i j i j ≠k i j a a a =⋅，得，而是正整数，从而数列具有“性质”.222k i j =⋅2k i j =⋅2i j ⋅P 综上所述或.1d =2d =【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查学生的创新意识，推理能力．解题关键是理解新定义并能运用新定义解题．性质，即对任意的，存在，使得，只要根据P ,*m n N ∈*k N ∈k m n a a a =这个恒成立式求得数列即可．。
上海市高二数学下学期期末试卷(共3套,含答案)
上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为______．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______．7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为______．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为______．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______．13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=018．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④ C．①②④ D．③④三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据直线a，b是否共面得出结论．【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．故答案为：平行或异面．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，由题意可得﹣=﹣2，即可解得p的值．【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得﹣=﹣2，解得p=4．故答案为：4．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为14．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20，结合P到其焦点F1的距离为6，可求P到另一焦点F2的距离．【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20∵P到其焦点F1的距离为6，∴|PF2|=20﹣6=14即P到另一焦点F2的距离为14故答案为：14．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，∴rh=1．∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π．故答案为：2π．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．【解答】解：与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），∵双曲线过点（﹣2，2），∴λ=，即﹣y2=﹣2，即，故答案为：6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）点时z有最大值8故答案为87．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V==．故答案为：．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为+1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切d=r，切点在第一象限，求出a的值．【解答】解：圆的参数方程（θ为参数）化为普通方程是（x﹣1）2+y2=1，直线的参数方程（t为参数）化为普通方程是x+y=a；直线与圆相切，则圆心C（1，0）到直线的距离是d=r，即=1；解得|1﹣a|=，∴a=+1，或a=1﹣；∵切点在第一象限，∴a=+1；故答案为： +1．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，即可求出两点间的球面距离．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：；故答案为：．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=2．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意，可设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，b ≠0．由根与系数的关系得到a，b的关系，上α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值【解答】解：设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，n≠0．由根与系数的关系可得α+β=2a=﹣2，α•β=a2+b2=m．∴m＞0．∴a=﹣1，m=b2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b2=1，所以m=1+1=2；，故答案为：211．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是acrcos （结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用两个向量数量积的定义求得，由=（）•（）求得，求得cos＜＞=，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos．【解答】解：=4×4cos＜＞=32cos＜＞．又=（）•（）=+++=4×4cos120°+0+0+4×4=8．故有32cos＜＞=8，∴cos＜＞=，∴＜＞=arccos，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos，故答案为arccos．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10] ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，结合图形可求．【解答】解：复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，由图象可知，当点在E，G处最小，最小为：4+4=8，当点在D，F处最大，最大为2=10，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]，故答案为[8，10]13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为10．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，∵（m2+n2）（1+9）≥（m+3n）2，∴m2+n2≥10，∴T的最小值为10．故答案为：10．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有①③⑤（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．【考点】曲线与方程．【分析】由曲线的定义可知，具备曲线的条件是对于任意的P1（x1，y1）∈T，都存在P2（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．然后逐个验证即可得到答案．【解答】解：对于任意P1（x1，y1）∈T，存在P2（x2，y2）∈T，使x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．对于①2x2+y2=1，∵2x2+y2=1的图象关于原点中心对称，∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故2x2+y2=1为曲线；对于②x2﹣y2=1，当P1（x1，y1）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故x2﹣y2=1不是曲线；对于③y2=2x，其图象关于y轴对称，OP1的垂线一定与抛物线相交，故y2=2x为曲线；对于④，当P1（x1，y1）为（1，0）时，曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故④不是曲线；对于⑤，由（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0可得2x﹣y+1=0或点（1，2），∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0为曲线．故答案为：①③⑤．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件”可得结论．【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选：B．16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称【考点】曲线与方程．【分析】由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，∴曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：D．17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0【考点】复数的基本概念．【分析】由已知条件利用复数的性质及运算法则直接求解．【解答】解：在A中，若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1的实数大于z2的实部，z1与z2的虚部相等，z1与z2不能比较大小，故A错误；在B中，若z∈R，当z=0时，z•=|z|2成立，故B错误；在C中，z1、z2∈C，z1•z2=0，则由复数乘积的运算法则得z1=0或z2=0，故C正确；在D中，令Z1=1，Z2=i，则Z12+Z22=0成立，而Z1=0且Z2=0不成立，∴z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0不成立，故D错误．故选：C．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④ C．①②④ D．③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，可得直线BC1上的点到平面AD1C 的距离不变，而△AD1C的面积不变，即可判断出结论．②由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，即可判断出正误．③由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，即可判断出二面角P﹣AD1﹣C的大小是否改变．④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC1|，利用两点之间的距离公式化简即可得出．【解答】解：①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，因此直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，点P在直线BC1上运动，又△AD1C的面积不变，因此三棱锥A﹣D1PC的体积=不变．②点P在直线BC1上运动，由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，因此直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，故不正确．③点P在直线BC1上运动，由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，可得二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，正确；④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C1（0，a，a），设P（x，y，0），∵|PD|=|PC1|，则=，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直线，正确．其中的真命题是①③④．故选：B．三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）求出正四棱锥形的体积即可；（2）求出斜高，在计算侧面积．【解答】解：（1）V=S 正方形ABCD •h==64．∴正四棱锥形冷水塔的容积为64立方米．（2）取底面ABCD 的中心O ，AD 的中点M ，连结PO ，OM ，PM ．则PO ⊥平面ABCD ，PM ⊥AD ，∴PO=h=3，OM=，∴PM==5， ∴S △PAD ===20． ∴S 侧面积=4S △PAD =80．∴制造这个冷水塔的侧面需要80平方米的钢板．20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）联立方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式以及两点间的距离公式求出半径和圆心即可得到结论．（2）求出对应的斜率，结合根与系数之间的关系代入进行求解即可．【解答】解：（1）将直线y=x+2代入﹣=1得x2﹣4x﹣14=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=﹣14，则AB的中点C的横坐标x=，纵坐标y=，即圆心C（2，3），|AB|====3，则半径R=，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=．（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，则k OA=，k OB=，则k OA•k OB=====﹣．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．【分析】（1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出；（2）根据韦达定理即可求出．【解答】解：（1）∵（2﹣i）α=3﹣4i，∴a==2﹣i，∴α+β=2+m﹣2i，∵|α+β|＜2||，∴（2+m）2+4＜4（4+1），解得﹣6＜m＜2，∴m的取值范围为（﹣6，2），（2）α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，则2+m+2i也是方程的另一个根，根据韦达定理可得，解的或22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，又CD⊥AD得出CD⊥平面PAD，故而CD⊥PD；（2）以A为坐标原点激励空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角即可得出答案；（3）求出平面PCD的法向量，则sinα=|cos＜，＞|，sinβ=|cos＜，＞|．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．（2）由（1）可知CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．∴tan∠CPD=，∴PD=2．∴PA==2．以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．∴=（2，1，0），=（0，2，﹣2）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴异面直线AE与PD所成的角为arccos．（3）∵C（2，2，0），B（2，0，0），∴=（﹣2，0，2），=（﹣2，﹣1，2），=（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（0，1，1）．∴=1，=2．∴cos＜＞==，cos＜＞==．∴sinα=，sinβ=．∴=．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化简即可得出．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，根据|MN|≥0.5，可得r≥++．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣的最小值，即可得出r的取值范围．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得=（x1﹣1）（x2﹣1）+ =0．即可证明．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化为：x2+=1．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，∵总有|MN|≥0.5，∴r≥++=+1．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣=﹣=﹣，∴．综上可得：r的取值范围是∪．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取A，B．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，∴x1+x2=，x1x2=．则=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+=（1+k2）x1x2+（x1+x2）+1+=（1+k2）×﹣×+1+=0．∴在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是．9．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣116．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．20．已知F1，F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，求实数m的值．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a•3=﹣1，∴a=，故答案为：3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=10．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=29．【考点】圆的标准方程．【分析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=3+5i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简，即可求出复数z．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故答案为：3+5i．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是x2+y2﹣3x+2=0．【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【分析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．【解答】解：设中点坐标为（x，y），则圆上的动点坐标为（2x﹣3，2y）所以（2x﹣3）2+（2y）2=1即x2+y2﹣3x+2=0故答案为：x2+y2﹣3x+2=09．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=10．【考点】复数求模．【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5．【解答】解：由|z+3i|=5，所以复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离：=5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是1．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故答案为：1．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【考点】双曲线的标准方程．【分析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的范围．【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．【解答】解：直线倾斜角的范围是：[0，π），故选：C．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1【考点】复数相等的充要条件．【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B16．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把直线与抛物线方程联立消去y，进而根据y02＜4x0判断出判别式小于0进而判定直线与抛物线无交点．【解答】解：由y2=4x与y0y=2（x+x0）联立，消去x，得y2﹣2y0y+4x0=0，∴△=4y02﹣4×4x0=4（y02﹣4x0）．∵y02＜4x0，∴△＜0，直线和抛物线无公共点．故选D三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，可得=24，解得m即可．【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴=24，解得m=±24．∴直线l的方程为3x+4y±24=0．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】设出复数z，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i）•z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得；。
(完整版)上海市高二(下)数学期末复习(含答案),推荐文档
2 2 - 2ai 2 33一．填空题：高二（ 下） 数学期末复习1．计算： (1+ 2i )(3 - 2i ) +32 1+ i ＝ 8＋3 i ． 2．∈( ， )，直线l ： x sin ＋ y c os ＋1＝0 的倾角＝ 2－ ．23. 与两平行直线l 1 ：3 x － y ＋9＝0 与l 2 ：3 x － y －3＝0 等距离的直线方程 为： 3 x － y ＋3＝0 ．4. 在复平面上，满足条件 2＜| z |≤4 的复数 z 所对应的点 Z 组成的图形的面积是 12．5. 一条渐近线方程 3 x ＋4 y ＝0，且经过点是( 4，6 ) 的双曲线标准方程是y 2 x 2－ ＝1． 27 48 6. 与直线 y ＝ x ＋1 平行，被椭圆 x 2 + 4 y 2 = 4 截得的弦长为 的直线l 的方程 是： y ＝ x ± 55 ．47. 若| |＝ ，则实数 a 的值是：± ．a + 2i3 8. 已知复数 z 1 ＝3＋4 i ， z 2 ＝ t ＋ i ，且 z 1 ⋅ z 2 是实数，则实数t 等于 4．9. 直线a ∥平面，直线b ⊂平面，则a 、b 的位置关系是平行或异面．10. 在空间四边形 ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E 、F 分别是 AB 、CD 的中点，若 EF ＝ ， 则 AD 、BC 所成角为 60 o ．11. 正方体 ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1 中，M 、N 分别是 AA 1 和 BB 1 的中点，则异面直线 C 1 M 1与 DN 所成角的大小为arccos．912. 已知命题：椭圆 x 2 ＋ y 2 ＝1 与双曲线 x 2 － y 2 ＝1 的焦距相等．试将此命题推广到 25 9 11 5一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例：椭圆 x 2 ＋ y 2 ＝1 与双曲线 x 2 － y 2 ＝1 (a 2 - b 2= c 2 + d 2 ) 的焦距相等．a2b2二．选择题：c2d213. 设 M 、N 是空间四边形 ABCD 的边 AD 、BC 的中点，则下列答案中正确的是（ B）（A ）MN ＝ 1 ( AB ＋CD ) ； （B ）MN ＜ 1 ( AB ＋CD ) ； 2 2 （C ）MN ＞ 1 ( AB ＋CD ) ； （D ）MN 与 1 ( AB ＋CD ) 的大小关系不确定． 2 2x 2y 214. 命题甲：“双曲线 C 的方程为a2－b2＝1 ( a ＞0， b ＞0 ) ”，命题乙：“双曲线 C(z 1+ z )22 - 4z z 1 2 22 ⎩⎩ ⎩ 的渐近线方程为 y ＝± bax ”，那么甲是乙的（ A ）（A ）充分不必要条件；（B ）必要不充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件．15. 设 z 1 ， z 2 为复数，则下列四个结论中正确的是（ D）（A ）若 z 2 + z 2 > 0 ，则 z 2 > -z 2 ； （B ）若 z 2 + z 2 = 0 ，则 z = z = 0 ；12121212（C ） z - z =； （D ） z - z 是纯虚数或零． 12 1 116. 在实数集 R 上定义运算⊕ ： x ⊕ y = 2x 2 + y 2 + 1 - y ，则满足 x ⊕ y = y ⊕ x 的实数对(x ， y ) 在平面直角坐标系内对应点的轨迹是（ D）（A ）一个圆； （B ）双曲线； （C ）一条直线； （D ）两条直线． 三．解答题：17. 已知z 、为复数， (1+ 3i )z 为实数，＝z 2 + i ，且||＝5 ，求复数．解：设＝ x ＋ yi （ x ， y ∈R ），＝2 z⇒ z ＝ (2 + i )． + i(1+ 3i )z ＝ (1+ 3i )(2 + i )＝(-1 + 7i )(x + yi ) ＝－ x －7 y ＋ (7x - y )i ， 依题意(1+ 3i )z 为实数，且||＝5 ， ⎧7x - y = 0 ⎧x = 1 ⎧x = -1 ∴ ⎨x 2 + y 2 = 50 ，解之得⎨ y = 7 或⎨ y = -7 ，∴＝1＋7 i 或＝－1－7 i ．18. 已知 z 1 、 z 2 是实系数一元二次方程 x 2 ＋ px ＋q ＝0 的两个虚根，且 z 1、 z 2满足方程 - 2 + 8i2 z 1 ＋ (1- i )z 2 ＝- 2 + 8i 1+ i 解： ＝3＋5 i ．1 + i ，求 p 、 q 的值．设 z 1 ＝ a ＋ bi （ a ， b ∈R ），则 z 2 ＝ a － bi ．⎧a = 4 代入并化简得： ( 3 a － b ) ＋ (b - a )i ＝3＋5 i ，解得⎨ ．⎩b = 9∴ p ＝－ ( z 1 ＋ z 2 ) ＝－2 a ＝－8， q ＝ z 1 ⋅ z 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ＝97．，得：19. 已知动圆过定点 F (1 1，0 ) ，且与定直线l ： x ＝－ 相切．22（1） 求动圆圆心 M 的轨迹方程；（2） 设点 O 为坐标原点， P 、Q 两点在动点 M 的轨迹上，且满足 OP ⊥OQ ，OP ＝OQ ，求等腰直角三角形 POQ 的面积．解：（1）根据抛物线定义可得动圆圆心 M 的轨迹方程为 y 2 ＝2 x ；（2）因为 OP ⊥OQ ，设直线 OP 的方程为 y ＝ kx ，则直线 OQ 的方程为 y ＝－ 1x ，k2，2) ， ( 2 k 2 ，2 k 3 ) ．解得点 P 、Q 的坐标分别为(k 2 k由 OP ＝OQ 4 ＋ 4 ＝4 k 4 ＋4 k 6 ， k 8＝1，k 2 k 4可得点 P 、Q 坐标分别为( 2，2 ) ， ( 2，－2 ) ． ＝ 1 | OP |2 ＝4． ∴ S POQ220. 如图：在长方体 ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB ＝4，BC ＝6，AA 1 ＝2，M 、N 分别是 A1 B 1 和 BC 的中点．求：（1）A 1B 与 B 1C 所成的角；（2） MN 与 AC 所成的角； （3） MN 与平面 ABCD 所成的角．解：（1） arccos2 ； 10（2） arctan2 13 ；13（3） arctan2 13 ． 13“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.过点，且垂直于OA的直线方程为_______________。
2.直线l的一个法向量（），则直线l倾角的取值范围是_______。
3.已知直线：与：平行，则k的值是____________。
4.直线l的一个方向向量，则l与的夹角大小为__________。
（用反三角函数表示）5.已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为________________________。
6.等轴双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为____________。
7.有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽_________米。
8.直线：绕原点逆时针旋转的直线，则与的交点坐标为_______。
9.已知方程表示圆，则___________。
10.已知过抛物线C：（）焦点F的直线l和y轴正半轴交于点A，并且l与C在第一象限内的交点M 恰好为A、F的中点，则直线的斜率_____________。
11.已知、是椭圆C：（）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且。
若的面积为9，则_________。
12.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为切点，那么的最小值为_____________。
二、选择题1.已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ( )A．B．C．D．2.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是 ( )A．B．C．D．3.给出下列3个命题：①在平面内，若动点M到、两点的距离之和等于2，则动点M的轨迹是椭圆；②在平面内，给出点、，若动点P满足，则动点P的轨迹是双曲线；③在平面内，若动点Q到点和到直线的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线。
其中正确的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4.已知直线l：y=k(x+2)（k>0）与抛物线C：相交于A、B两点，F为C的焦点，若，则( )A．B．C．D．三、解答题1.已知直线l：与x轴交于点A；以O为圆心，过A的圆记为圆O。
上海高二数列期末复习试题集
数列复习（一）一知识点、方法点复习提纲： 1、 通项公式的应用(1)等差数列的通项公式: (2)等比数列的通项公式:2、递推公式的应用（会读框图；由框图写递推公式）3、确定通项公式的方法（1）观察法；（2）利用等差、等比数列定义求通项；（3）已知n S 求n a （勿忘分段）； （4）已知递推公式求通项（叠加、待定系数、取倒数、叠乘以及归纳、猜想、证明） 4、基本量问题（列方程，解方程组） 注：（1）等差中作差，等比中作比的方法； （2）统一变量、整体带入的方法； 5、等差数列和的最值问题 （1）由通项判定；（2）由前n 项和的函数表达式出发）； 6、数列求和问题：（1）等差、等比数列的求和问题（2）熟悉几个可求和数列的通项：裂项求和，错项相减，分项求和，倒序相加； 7、数学归纳法证明问题 （1）恒等式证明； （2）整除问题的证明； （3）归纳猜想和证明；（4）简单的几何问题的判断. 8、求数列极限的常用方法(1) 定义法：以计算各项观察为主; （2）转化为重要极限； （3）利用极限的运算法则.9、三大重要极限：1,11(1)0,0,11(2),(3)lim lim lim n n n q q n n n C C q →∞→∞=⎧==⎨-<<→∞⎩→∞= 及其应用.10、无穷等比数列各项和问题 （1）定义 （2）应用11、等差、等比数列性质的应用12、项数为奇数、偶数时等差、等比数列项与和间的转化 二、能力点复习提纲：1、 等差中绝对值求和问题：（分段问题）2、 利用数列单调性寻找最大项解决恒成立问题；3、 n S 与n a 的关系在解题中的灵活转换；4、 等差与等比数列中类比问题；5、 数列与函数的联系；三、思想方法： （1）方程的思想； （2）基本量的思想； （3）化归的思想； （4）极限的思想. 四、课前热身：1、实数96是不是数列{}n a 满足*31,n n a n N =-∈的项？为什么？2、数列{}n a 满足*0.53,n a n n N =-+∈，则其是 数列，首项是 ，公差（比）是3、数列{}n a 满足*0.5,n n a n N =-∈，则其是 数列，首项是 ，公差（比）是4、已知1359900x ++++= ；则x=5、等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ；则其前n 项和n S =6、数列{}n a 满足*113,1,n n n a a a n N -=+=∈，则其通项式是7、数列{}n a 满足*110.53,1,n n a a a n N -=-+=∈，则其通项式是8、已知数列{}n a 满足*111,(1),1,1n n a n n a n N a n -+=>=∈-，则其通项式是 9、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足223,*n S n n n N =-+-∈，则其通项式是五、例题分析：1、写出下列数列的通项式1)1,0,1,0, 2)1,0,3,0,5,0,--3)9,99,999,999 4)0.4,0.44,0.444,0.2、已知数列{}n a 满足*32,112n a n N n =+∈-求数列{}n a 的最大项与最小项？3、已知数列{}n a满足*113,n a a n N +==∈ 1）求5a 2）求数列{}n a 的通项公式.4、已知数列{}n a 的前n 项和2*100,n S n n n N =-∈, 1)求证：数列{}n a 是等差数列；2）若数列{}n b 的通项n n b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n T .5、等差数列{}n a 中，前n 项和为n S1）已知1113135,0a a a =>，问123,,,n S S S S 中最大项是哪一项？ 2）已知119200,0,0a S S >><，问123,,,n S S S S 中最大项是哪一项？6、已知数列{}n a 的前n 项和*0.25,n n S c n N =+∈,若数列{}n a 是等比数列。
最全面高二数学数列练习题(含答案)(精华版)
高二 《数列 》专题(n 1) S 1 S nS n 求 a n ， 应分 n 1 时 a 1； n 2 时 ，1 ． S n 与 a n 的关系 ： a n， 已知 S n (n 1)1 a n =两步 ， 最后考虑 a 1 是否满足后面的 a n .2. 等差等比数列等差数列 等比数列a n a nN *)1 q(n d （ n2 ）定义a n a n 1通项a na 1 ( n 1)d ， a na m (n m)d ,( n m)，如果 a, G,b 成等比数列 ， 那么 G 叫做 a 与 a, A, b A 叫做 a 与 b 的 等差中如果 成等差数列 ， 那么 a b b 的等比中项 ． 项． 中项 A 。
2aq等比中项的设法 ： ， a ， aq等差中项的设法 ：前 nn 2n( n 1) 2， S n( a 1a n ) S nna 1d项和 m n p q ， 则若 性*a m a na p a q (m, n, p ,q N , m n p q)若2*若 2m q,则有ap a p a q ,( p, q , n , m N )质m2m p q ， 则S n 、 S 2nS n 、 S 3 nS 2 n 为等差数列S n 、 S 2 n S n 、 S 3nS 2n 为等比数列函数a 1 qnq nAqa a ndn 2(a 1 d) An B n看数dd 222 a 1a 1 qs nn( a 1) n An Bnq n Aq n(q s A 1)2n1 q 1 列a n N * ) 1( n为一个常数 （1 ）定义法 ：证明*N ) (n 为一个常数 ； （ 1 ） 定义法 ： 证明 a a a n 1n n（ 2 ） 中项 ： 证 明*（ 2 ） 等 差 中 项 ： 证 明 2a na n a n 1 (n N ，1 2*ana n a n 1 (n N , n 2)判定1 n 2)n(c , q 均是不为 0 常（3 ）通项公式 ： a ncq方法*b ( k , b 为常数 （ 3 ） 通项公式 : a n kn )( n N )数） 2*n( A, B 为常数 )( n N （ 4 ） s nAnBn s n AqA )(A,q（ 4 ）为 常 数 ，0,1 ）A 0,q 3. 数列通项公式求法 。
2023-2024学年上海中学高二下学期数学期末试卷及答案(2024.06)
1上海中学2023-2024学年第二学期高二年级数学期末2024.06一、填空题(每题3分，共36分)1.已知事件A 满足()0.3P A =，则()P A =___________.2.将4封不同的信投入3个不同的信箱，则不同的投递方式共有___________种.3.已知3223n n C P =，则n =___________.4.在()101x +的展开式中，3x 的系数为.___________(以数字作答)5.函数()242f x lnx x x =−−的驻点为___________.6.若随机变量X 服从正态分布()1,3,21N Y X =+，则[]D Y =___________.7.集合A 是{}12,3,4,5,6,7,8,9,10，的子集，且A 中的元素有完全平方数，则满足条件的集合A 共有___________个.8.从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面直线的概率为___________. 9.若不等式x e ax ≥对任意1x ≥−成立，则a 的取值范围是___________.10.对于在定义域上恒大于0的函数()f x ，令()()g x lnf x =.已知()f x 与()g x 的导函数满足关系式()()()f x f x g x ′=′.由此可知，函数()2x f x x =在1x =处的切线方程为___________.11.甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票，因此他们决定自行安排这些座位.高铁列车的座位安排如图，甲希望坐在靠窗的座位上，乙不希望坐在B 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上(中间不能隔着过道)，则满足要求的座位安排方式共有___________种.12.将1,2,3,4,5,6的所有排列按如下方式排序:首先比较从左至右第一个数的大小，较大的排列在后;若第一个数相同，则比较第二个数的大小，较大的排列在后，依此类推.按这种排序2方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________. 二、选择题(每题4分，共16分) 13.设()2f x sin x =，则()f x ′=（ ）(A)2cos x (B)2cos x − (C)22cos x (D)22cos x −14.某班级共有40名同学，其中15人是团员.现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动，定义随机变量X 为其中团员的人数，则X 服从（ ）(A)二项分布 (B)超几何分布 (C)正态分布 (D)伯努利分布 15.将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为12，且三次抛掷的结果互相独立.记事件A 为“至少两次结果为正面”，事件B 为“第三次结果为正面”，则()P B A =∣（ ） (A)12 (B)23 (C)34 (D)7816.现有编号分别为()1,2,,*n n N …∈的小球各两个，每个球的大小与质地均相同.将这2n 个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为n a ，则（ ） ①对任意,*n n N a ∈都是偶数;②()()()11212n n a n n a n −>−−≥.(A)①②都是真命题 (B)①是真命题，②是假命题 (C)①是假命题，②是真命题 (D)①②都是假命题 三、解答题(本大题共5题，共48分，解答各题须写出必要的步骤) 17.(本题8分)求函数()()231x f x e x x =⋅−+的单调区间.18.(本题8分)某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为33%，且这些消费者可以分为A B C、、三类.其中A类消费者占30%，其在一年内再次购买产品的概率为60%;B类消费者占40%，其在一年内再次购买产品的概率为30%;C类消费者占比x%，其在一年内再次购买产品的概率为y%.(1)求x与y的值.(2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是B类消费者的概率.19.(本题10分)某学校举办知识竞赛，该竞赛共有三道问题，参赛同学须回答这些问题，以其答对的问题的得分之和作为最终得分.每个问题的得分与参赛同学答对的概率如下表(每次回答是否正确相互独立).定义随机变量X为最终得分.(1)求()50P X=.(2)求[]D X.E X与[]3420.(本题10分)设函数()()()1f x x x x a =−−，其中1a >.且()f x 在0x =与x a =处的切线分别为12,l l .(1)若1l 与2l 平行，求a 的值.(2)记(1)中a 的值为0a .当0a a >时，记12,l l 与x 轴围成的三角形面积为S .当S 取到最小值时，求a 的值.21.(本题12分)仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”k n T 为()21nx x ++的展开式中kx 的系数()02k n ≤≤，即()201122221.nn n n n n n x x T T x T x T x ++++++其中0122,,,,n n n n n T T T T Z …∈. (1)求234333,,T T T 的值:(2)对于给定的*n N ∈，计算以下两式的值:20n knk T =∑与20nk n k k T =∑(3)对于*n N ∈，记0122,,,,n n n n n T T T T …中偶数的个数为n a ，奇数的个数为n b .是否存在n 使得2024n n a b −≥?若存在，请给出一个满足要求的n 并说明理由;若不存在，请给出证明.5参考答案一、填空题1.0.7;2.81;3.11;4.120;5.1;6.12;7.896;8.411;9.1,e e−; 10.210x y −−=； 11.11 12.2，3，4，6，1，5二、选择题13.C 14.B 15.C 16.A 三．解答题17.（1）增区间为()(),1,2,−∞−+∞，减区间为[]1,2− 18.（1）30,10x y == （2）123319.（1）0.36 （2）[]57E X =，[]853D X = 20．（1）2 （221．（1）234333676,,T T T ===（2）203nnk nk T ==∑，203n nk n k k T n ==⋅∑ （3）1024n =。
上海重点高二上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．等比数列中，且，则公比为______． {}n a 11a =1238a a a =-【答案】2-【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求出，再求出公比作答.2a 【详解】在等比数列中，因为，则，所以公比． {}n a 321238a a a a ==-22a =-212a q a ==-故答案为：2-2．已知空间向量，，且与垂直，则等于 ___．()3,2,5a =- ()1,,1b x =- a bx 【答案】4【分析】根据向量垂直数量积等于列方程即可求解.0【详解】因为向量，，且与垂直，()3,2,5a =- ()1,,1b x =- a b所以，可得，3250a b x ⋅=-+-=4x =故答案为：.43．圆锥底面半径为1cm ，母线长为4cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角______． θ=【答案】π2【分析】直接利用弧长公式即可求解.【详解】因为圆锥底面半径为1cm ，所以侧面展开图对应的扇形的弧长为， 2π2πr =所以圆锥侧面展开图的圆心角． 2ππ42θ==故答案为：π24．已知无穷等比数列的前项的和为，首项，公比为，且，则______. {}n a n n S 13a =q lim 2n n S →∞=q =【答案】##-0.512-【分析】根据无穷等比数列前n 项和的极限可知且，可得，结合已知求即可. 0q ≠||1q <121a q=-q 【详解】无穷等比数列的前项和为，首项为，公比，且， {}n a n n S 13a =q lim 2n n S →∞=∴且，0q ≠||1q <，则. 13211a q q ∴==--12q =-故答案为：.12-51，则球的表面积为______．【答案】16π【分析】计算半径为，再计算表面积得到答案.2R =【详解】球的半径，故球的表面积为． 2R ==24π16πR =故答案为：16π6．甲､乙､丙三人100米跑的成绩（互不影响）合格的概率分别为，若对这三人进行一次231543、、100米跑检测，则三人都合格的概率是___________（结果用最简分数表示）. 【答案】110##0.1【分析】利用独立事件的概率求解.【详解】因为甲､乙､丙三人100米跑的成绩（互不影响）合格的概率分别为，231543、、所以三人都合格的概率是，231154310p ⨯⨯==故答案为：1107．在空间中，直线平行于直线，直线为异面直线，若，则异面直线AB EF BC EF 、120ABC ∠=︒所成角的大小为______．BC EF 、【答案】60︒【分析】根据异面直线所成角的定义，即可求得答案.【详解】直线为异面直线，且直线平行于直线， BC EF 、AB EF 所以与所成角即为异面直线、所成角， AB BC BC EF 因为，且异面直线所成角的范围是， 120ABC ∠=︒(0],90︒︒所以异面直线、所成角的大小为, BC EF 60︒故答案为：60︒8．如图的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次体育测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则______．x y -=【答案】2【分析】根据茎叶图和题中所说的平均数和中位数计算未知量即可. 【详解】由茎叶图得甲组数据为：9，12，，24，27，10x +因为甲组数据的平均数为18，所以， 91210242751890x +++++=⨯=解得;8x =由茎叶图可知乙组数据为：9，15，，18，24， 10y +乙组数据的中位数为16，所以，解得， 1016y +=6y =所以． 2x y -=故答案为：29．已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为0{}n a n n S {}457,,10,0a S S ∈-n S ____________ 【答案】12-【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值. 4a n n S 【详解】取得最小值，则公差，或， n S 0d >410a =-40a =（1）当 17474530,0,770,5102a a a d S a S a +=>=⨯====-，1130,51010a d a d ⇒+=+=-，16,20,28,2804n n a d a n a n n ⇒=-=>=-=-≤⇒≤所以的最小值为. n S 4146241212S a d =+=-+=-（2）当，不合题意. 1747410,0,77702a a a d S a +=->=⨯==-综上所述：的最小值为. 457=0,= 10,0,n a S S S -=12-故答案为：12-10．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的2323表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为______．24π【答案】163π【分析】利用圆柱的表面积求出球的表面积，然后求出球的半径，最后求出圆柱的底面半径和高，利用圆柱和球的体积差，求出水的体积即可.【详解】设球的半径为，由题意得球的表面积为，r 224243r ππ=⨯所以，所以圆柱的底面半径为2，高为4，2r =所以最多可以注入的水的体积为．2341624233πππ⨯⨯-⨯=故答案为：163π11．在棱长为的正方体中，点分别是线段（不包括端点）上的动11111ABCD A B C D -12,P P 1,AB BD 点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是___________. 12PP 11A ADD 121PP AB 【答案】124【分析】由线面平行的性质定理知， ∽ ， ， 121//PP AD 12PP B ∴A 1ADB A 112211PB PP P B AB AD BD ==设，则 ， 到平面 的距离为 ，则, 1,(0,1)PB x x =∈12PP =2P 11AA B B h 2111P B hA D BD =所以，所以四面体 的体积为， h x =121PP AB 22111111(1)1()()3266224V x x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-=--+当 时，四面体 的体积取得最大值： ． 12x =121PP AB 124所以答案应填：． 124【解析】1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知， ∽ ，设出121//PP AD 12PPB ∴A 1ADB A ，则 ， 到平面 的距离为 ，表示出四面体 的体1,(0,1)PB x x =∈12PP =2P 11AA B B x121PP AB 积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．12．已知数列和，其中的小数点后的第n 位数字，（例如{}n a {}n b n a 1.41421356237= 14a =，），若，且对任意的，均有，则满足的所有n 的值为63a =11b a =N n *∈1n n b b a +=2022n b n =-______．【答案】或20242026【分析】计算得到为周期数列，考虑，，三种情况，代入数据计算得{}n b 32n k =-31n k =-3n k =到答案.【详解】当时，，当时，， 1n =114b a ==2n =1242b b a a ===当时，，当时，， 3n =2321b b a a ===4n =3414b b a a ===当时，，当时，，5n =4542b b a a ===6n =5621b b a a ===故为周期数列，，，{}n b 4,322,311,3 n n k b n k n k =-⎧⎪==-⎨⎪=⎩*N k ∈当时，，所以， 32n k =-20224n b n =-=2026n =当时，，所以， 31n k =-20222n b n =-=2024n =当时，，所以（舍去）， 3n k =20221n b n =-=2023n =综上所述：或2024． 2026n =故答案为：或20242026二、单选题13．用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得()323121111n n a a a a a a++-+⋅⋅⋅+=≠-++1n =项是（ ） A ．1 B ．1a +C ． D ．21a a ++2341a a a a ++++【答案】D【分析】根据数学归纳法求解即可.【详解】表达式的左边是从开始加到结束，131n a +所以验证成立时等式左边计算所得项是. 1n =2341a a a a ++++故选：D14．某中学高三年级共有学生1600人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有男生12人，则该校高三年级共有女生（ ）A ．1260B ．1230C ．1120D ．1140【答案】C【分析】由男生所占抽取样本容量的比例求出男生的总人数，进而求出女生总人数. 【详解】由男生人数为，所以女生人数为. 12160048040⨯=16004801120-=故选：C ．15．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更2小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过11程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角243形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为10（ ）AB ． CD1【答案】A【分析】记第个正三角形的边长为，第个正三角形的边长为，根据与的关系判n n a 1n +1n a +n a 1n a +断出为等比数列，由此求解出最小的正三角形的边长，从而面积可求. {}n a 【详解】设第个正三角形的边长为，则个正三角形的边长为， n n a 1n +1n a +由条件可知：，1243a =又由图形可知：，所以，222112122cos 603333n n n n n aa a a a +⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211,03n n n a a a +=>所以，所以是首项为的等比数列， 1n n a a +={}n a 243所以，所以，所以，1243n n a -=⨯11n n a -=10a所以最小的正三角形的面积为：， 12=故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将已知问题转化为等比数列问题，通过每一次的迭代分析正三角形的边长之间的关系，从而分析得到正三角形的边长成等比数列，据此可进行相关计算.16．已知平面经过圆柱的旋转轴，点是在圆柱的侧面上，但不在平面上，则下α12O O AB 、12O O α列个命题中真命题的个数是（ ） 4①总存在直线且与异面； ,l l α⊂l AB ②总存在直线且； ,l l α⊂l AB ⊥③总存在平面且； ,AB ββ⊂βα⊥④总存在平面且. ,AB ββ⊂//βαA ．l B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据空间位置关系可直接判断.【详解】解：由已知得直线与平面可能平行，也可能相交， AB α所以一定存在直线，且与异面，故①正确； l l ⊂αl AB 一定存在直线，且，故②正确； l l ⊂αl AB ⊥一定存在平面，且，故③正确；βAB β⊂βα⊥当直线与平面相交时，不存在存在平面，且，故④错误； AB αβAB β⊂//βα所以4个命题中真命题的个数是3个. 故选：C三、解答题17．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO 是圆锥的高，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.(1)求该圆锥的体积；(2)求直线CD 与平面PAB 所成角的大小.【答案】(2)4π【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积.（2）作出直线CD 与平面PAB 所成角，解直角三角形求得角的大小.【详解】（1）依题意可知圆锥的底面半径，高 2r =OP ==所以圆锥的体积为. 2123π⨯⨯⨯=（2）连接，由于是的中点，所以， OD D PA 122OD PA ==由于是弧的中点，所以，C AB OC AB ⊥根据圆锥的几何性质可知，,OC OP AB OP O ⊥⋂=所以平面，所以是直线CD 与平面PAB 所成角的平面角. OC ⊥PAB ODC ∠在中，，所以.Rt ODC A ,22COD OD OC π∠===4ODC π∠=即直线CD 与平面PAB 所成角的大小为.4π18．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两,A B 组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体A B 积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为. C 5.5()P C 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；,a b （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【答案】(1) ，；(2) ，.0.35a =0.10b = 4.056【分析】(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.()0.70P C =a b 【详解】(1)由题得，解得，由，解得0.200.150.70a ++=0.35a =0.050.151()10.70b P C ++=-=-.0.10b =(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，0.1520.2030.3040.2050.1060.057 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙离子残留百分比的平均值为 0.0530.1040.1550.3560.2070.1586⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.19．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后2012每一年都比前一年增加万元.0.2(1)若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求1()*n n N ∈n S n S 的表达式；(2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每617一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当10%()*n n N ∈n C 时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值） 0n n =n C 6n >n C 0n 0n 【答案】(1) 22920,100*1n n nN S n ++∈=(2)5010 1.15,6,*;7n n C n n N n n -⨯-=>∈=【分析】（1）根据题意，购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，进而20.2得年后燃油的总费用是，进而结合题意可得； ()*n n N ∈2191010n n +229201010n n n S =++（2）由题知从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 ，公比为，进而得1.1 1.1年后，养护保险费为，再求平均值即可得答案，最后利用计算器计算可*,(6)n n N n ∈>510 1.15n -⨯-得.07n =【详解】（1）解：根据题意，购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元， 120.2所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为， 20.2所以购买该种型号汽车第年的燃油费用为， ()*n n N ∈0.2 1.8n a n =+所以购买该种型号汽车年后燃油的总费用是，()*n n N ∈()20.2 1.821921010n n n n ++=+因为每年养护保险费均为万元，所以购买该种型号汽车年后养护费用共万元， 1()*n n N ∈n 所以. 2219292020,10101010*n n n n N n nS n =+++=∈++（2）解：当时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加， 6n >10%所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为， 1.1 1.1所以从第七年起，第年的养护保险费用为，*,(6)n n N n ∈>61.1,*n n N -∈所以购买该种型号汽车年后，养护保险费为，*,(6)n n N n ∈>()651.11 1.1610 1.151 1.1n n --⨯-+=⨯--所以当时，使用年后，养护保险费的年平均费用为.6n >()*n n N ∈510 1.15,6,*n n C n n N n-⨯-=>∈经计算器计算得时，最小.07n =n C 20．已知梯形中，，，，，分别是ABCD //AD BC 2ABC BAD π∠=∠=24AB BC AD ===E F AB，上的点，，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图）．CD //EF BC AE x =EF ABCD AEFD ⊥EBCF（1）当时，①证明：平面；②求二面角的余弦值； 2x =EF ⊥ABE D BF E --（2）三棱锥的体积是否可能等于几何体体积的？并说明理由． D FBC -ABE FDC -49【答案】（1）①见解析，2）当时，三棱锥的体积等于几何体2AE =D FBC -体积的. ABE FDC -49【分析】（1）①可证，从而得到平面.②如图，在平面中，过,EF AE EF BE ⊥⊥EF ⊥ABE AEGD 作且交于.在平面中，过作且交于，连接.可证D DG EF ⊥EF G DBF D DH BF ⊥BF H GH 为二面角的平面角，求出和的长度后可求二面角的余弦值.DHG ∠D BF E --DG GH（2）若存在，则，利用体积公式可得关于的方程，解方程后可得，故假设5=4B ADFE D BFC V V --x 2x =成立.【详解】（1）①在直角梯形中，因为，故，ABCD 2ABC BAD π∠=∠=,DA AB BC AB ⊥⊥因为，故.//EF BC EF AB ⊥所以在折叠后的几何体中，有，,EF AE EF BE ⊥⊥而，故平面.AE BE E =I EF ⊥ABE ②如图，在平面中，过作且交于.AEFD D DG EF ⊥EF G 在平面中，过作且交于，连接.DBF D DH BF ⊥BF H GH 因为平面平面，平面平面， AEFD ⊥EBCF AEFD ⋂EBCF EF =平面，故平面，DG ⊂AEFD DG ⊥EBCF 因为平面，故，而，BF ⊂EBCF DG BF ⊥DG DH D = 故平面，又平面，故，BF ⊥DGH GH ÌDGH GH BF ⊥所以为二面角的平面角，DHG ∠D BF E --在平面中，因为，故，AEFD ,AE EF DG EF ⊥⊥//AE DG 又在直角梯形中，且， ABCD //EF BC ()132EF BC AD =+=故，故四边形为平行四边形，//EF AD AEGD 故，2DG AE ==1GF =在直角三角形中，，因为三角形内角， BEF 2tan 3BFE ∠=BFE ∠故sin BFE ∠=1sin GHBFE =⨯∠=故，因为三角形内角，故tan DHG ∠=DHG∠cosDHG ∠=所以二面角D BF E --（2）若三棱锥的体积等于几何体体积的， D FBC -ABE FDC -49则即. 9=4B ADFE D BFCD BFC V V V ---+5=4B ADFE D BFC V V --由（1）的证明可知，平面，DG ⊥BEFC 同理可证平面，.BE ⊥AEFD AE DG =故，其中为直角梯形的面积. 113B ADFE V BE S -=⨯⨯1S ADFE 而， 1133D BFC BCF BCF V DG S AE S -=⨯⨯=⨯⨯A A 在直角梯形中，过作的垂线，与分别交于，ABCD D BC ,EF BC ,M N 则，故，所以， 24FM x =2x FM =22x FE =+所以. 21112242222x x S x x ⎛⎫⎛⎫=++⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. ()()22111444432262B ADFE x x V x x x x -⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又， ()1242BCF S BE BC x =⨯⨯=-A 故，所以， ()1243D BFC V x x -=⨯⨯-()()215144246243x x x x x ⎛⎫⨯-⨯+=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得，2x =故当时，三棱锥的体积等于几何体体积的. 2AE =D FBC -ABE FDC -49【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.21．设数列与满足：的各项均为正数，.{}n a {}n b {}n a cos , n n b a n *=∈N （1）设，若是无穷等比数列，求数列的通项公式； 233ππ, 43a a =={}nb {}n b（2）设.求证：不存在递减的数列，使得是无穷等比数列； 1π02<≤a {}n a {}n b （3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件121≤≤+n m {}n b 21m +的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.06π (121)<≤≤≤+n a n m {}n a 21m +21m S +100πm【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最大值为8.1n n b -⎛= ⎝【解析】（1）运用等比数列的中项性质，解方程可得公比，所求通项公式；q （2）运用反证法证明，结合数列的单调性和余弦函数的值域，可得矛盾，即可得证；（3）运用等差数列的等差中项的性质和求和公式，解不等式可得所求最大值．【详解】（1）解：，公比为23πcos4b ==3π1cos 32b ==q =由解得， 2213b b b =⋅11b =数列的通项公式为.{}n b 1n n b -⎛= ⎝（2）证明：反证法，设存在则，此时 21π02a a <<<21cos cos 0a a >>公比21cos 1cos a q a =>，考虑不等式11cos cos ()n n a a q -=⋅11cos 1n a q -⋅>当时，即时，11log (cos )q n a >-11[1log (cos )]q n a ≥+-有(其中表示不超过x 的最大整数)，cos 1n a >[]x 这与的值域为矛盾()cos f x x =[1,1]-假设不成立，得证∴（3）解：， 121()(21)02+++=m b b m ∴1210m b b ++=由等差数列性质221210 (11, )*+-++=+=≤≤+∈N i m i m b b b b i m i 即，特别地，，22cos cos 0i m i a a +-+=10m b +=现考虑的最大值21m S +为使取最大值，应有，21m S +[]5π,6πn a ∈否则在中将替换为，且，21m S +n a n a 'cos cos n n a a '=[]5π,6πn a '∈将得到一个更大的21m S +由可知，特别地，； 22cos cos 0i m i a a +-+=2211π211π2i m i a a +-+=⋅=111π2m a +=于是 ()21max 11π(21)11π(11π)10022++⋅=⋅+=≤m m S m π解得，所以的最大值为8. 18922m ≤m 【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，以及反证法的应用．。
高二上学期期末复习题----数列部分 题
高二上学期期末复习题——数列部分一、填空题：1、114230113111__________⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭2、不等式120010321x x x +-≥的解集为_______________3、等差数列{}110,1,n a a a =是第一个比20大的项，则公差d 的取值范围是4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21015a a a ++是一个确定的常数，则数列{}n a 中可以由该常数确定的项是第 项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21015a a a ++是一个确定的常数，则数列{}n S 中可以由该常数确定的项是第 项5、设{}n a 与{}n b 是两个已知的等差数列，其前n 项和分别为n S 和n T ，若3475n n S n T n +=-，则__n nab = 6、数列{}n a 是公比为(1)a a ≠、首项为b 的等比数列，n S 是其前n 项和，对任意的n N *∈，点1(,)n n n P S S +都在同一条直线上，该直线的方程为7、若方程250x x m -+=与2100x x n ++=的四个实根经过适当的排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则_____mn = 8、在无穷等比数列{}n a中，12a a ==35721lim()___n n a a a a -→∞++++=9、计算：1234(21)2lim1________(1)(1)n n nn n→∞-+-++--=-+10、若(1)log (2)()n n a n n N *+=+∈，我们把使乘积12n a a a 为整数的数n 叫做“劣数”，则在区间(1,1004)内所有劣数的和为 11、已知数列{}n a 满足21123333()2n n na a a a n N -*++++=∈，则数列{}n a 的前n 项和为__n S = 12、已知)n a n N *=∈，则数列{}n a 的前100项中最大项为第 项。
2023-2024年上海高二下学期数学期中期末复习-核心考点06数列(原卷版)
核心考点06数列--原文目录一．数列的概念及简单表示法（共2小题）二．数列的函数特性（共2小题）三．等差数列的性质（共4小题）四．等差数列的通项公式（共6小题）五．等差数列的前n项和（共5小题）六．等比数列的性质（共2小题）七．等比数列的通项公式（共6小题）八．等比数列的前n项和（共3小题）九．数列的极限（共4小题）十．数学归纳法（共2小题）考点考向一．数列的概念及简单表示法【知识点的认识】1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这1项，又称为首项．2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，..简记作{a n}，此处的n是序号．3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；4．数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．5．数列的递推公式：如果已知数列{a n}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．二．数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝2、等比数列的通项公式：a n＝a1q n﹣1；前n项和公式S n＝＝（q≠1）3、用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列，a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，a n是n的一次函数，对应的点（n，a n）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．若等差数列的前n项和为S n，则S n＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{a n}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．（2）对于等比数列：a n＝a1q n﹣1．可用指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞时，等比数列{a n}是递减数列．当q＝1时，是一个常数列．当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．三．等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1+n（n﹣1）或S n＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）【等差数列的性质】（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t ＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．四．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．五．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝六．等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，a n为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，a n＝a1q n﹣1，这里a1为首项，q 为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S n＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有a m•a n＝a p•a q．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．七．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1•q n﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab ≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．八．等比数列的前n项和【知识点的知识】1．等比数列的前n项和公式等比数列{a n}的公比为q（q≠0），其前n项和为S n，当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝＝．2．等比数列前n项和的性质公比不为﹣1的等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为q n．九．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：S n＝na1+n（n﹣1）d或S n＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{a n×b n}的前n项和，其中{a n}{b n}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{a n}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+a n）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．十．数列递推式【知识点的知识】1、递推公式定义：如果已知数列{a n}的第1项（或前几项），且任一项a n与它的前一项a n﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和S n与通项a n的关系式：a n＝．在数列{a n}中，前n项和S n与通项公式a n的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用a n＝S n﹣S n﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由a n的表达式，则a n不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式a n＝S n﹣S n﹣1，先将已知条件转化为只含a n或S n的关系式，然后再求解．3、数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知S n（即a1+a2+…+a n＝f（n））求a n，用作差法：a n＝．一般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…a n＝f（n）求a n，用作商法：a n，＝．（4）若a n+1﹣a n＝f（n）求a n，用累加法：a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求a n，用累乘法：a n＝（n≥2）．（6）已知递推关系求a n，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如a n＝ka n﹣1+b、a n＝ka n﹣1+b n（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求a n．②形如a n＝的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．十一．数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{a n}的项a n无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于0），那么就说数列{a n}以a为极限，记作a n＝a．（注：a不一定是{a n}中的项）2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S＝S n．（2）十二．等差数列与等比数列的综合【知识点的知识】1、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t ＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．2、等比数列的性质．（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．十三．数学归纳法【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．十四．极限及其运算【知识点的知识】1．数列极限（1）数列极限的表示方法：（2）几个常用极限：③对于任意实常数，当|a|＜1时，a n＝0，当|a|＝1时，若a＝1，则a n＝1；若a＝﹣1，则a n＝（﹣1）n不存在当|a|＞1时，a n＝不存在．（3）数列极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．（4）数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S＝（|q|＜1）．（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限．＝a2．函数极限；（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x 0时，函数f（x）的极限为a．记作＝a或当x→x0时，f（x）→a．注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f （x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）如P（x）＝在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．（2）函数极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．注：①各个函数的极限都应存在．②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．（3）几个常用极限：3．函数的连续性：（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点x＝x0处都连续．（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：①函数f（x）在点x＝x 0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．＝f（x 0）．（3）函数f（x）在点x＝x处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．考点精讲一．数列的概念及简单表示法（共2小题）1．（2023春•闵行区月考）已知r，s，t为整数，集合A＝{a|a＝2r+2s+2t，0≤r＜s＜t}中的数从小到大排列，组成数列{a n}，如a1＝7，a2＝11，a121＝（）A．515B．896C．1027D．17922．（2022春•沙依巴克区校级期中）数列2，5，11，20，x，47，…中的x值为（）A．28B．32C．33D．27二．数列的函数特性（共2小题）3．（2022春•虹口区期末）在等差数列{a n}中，a1＝﹣9，a4＝﹣3．记T n＝a1a2⋅⋅⋅a n（n为正整数），则数列{T n}（）A．有最大项，也有最小项B．有最大项，但无最小项C．无最大项，但有最小项D．无最大项，也无最小项4．（2022春•黄浦区校级期末）在数列{a n}中，已知，n∈N*，则“a1＜a2”是“{a n}是单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件三．等差数列的性质（共4小题）5．（2022春•杨浦区校级期末）若a，b，c成等差数列，则（）a，（）b，（）c一定（）A．成等差数列B．成等比数列C．既成等差数列也成等比数列D．既不成等差数列也不成等比数列6．（2022春•杨浦区校级期末）若b是2，8的等差中项，则b＝．7．（2022春•浦东新区校级月考）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是．8．（2022春•浦东新区校级月考）等差数列{a}前n项和S，若S＝S，则S＝．四．等差数列的通项公式（共6小题）9．（2022春•闵行区校级期末）在等差数列{a n}中，若a2＝4，a5＝10，则公差d＝．10．（2022春•长宁区校级期末）已知数列{a n}是等差数列，a9＝20，a20＝9，则这个数列的公差d＝．11．（2022春•虹口区期末）在等差数列{a n}中，a2＝2，a5＝8，则其公差等于．12．（2022春•黄浦区校级期末）在数列{a n}中，a1＝﹣2，a n+1﹣a n＝2（n∈N，n≥1），则a5＝．13．（2022春•长宁区校级期末）数列{a n}是公差d＝1的等差数列，如果a1+a4+a7+⋅⋅⋅+a28＝10，则a2+a5+a8+⋅⋅⋅+a29＝．14．（2022•徐汇区校级开学）已知数列{a n}中，a3＝2，a7＝1，若为等差数列，则a19＝．五．等差数列的前n项和（共5小题）15．（2022春•宝山区校级期中）已知数列{a n}为等差数列，a3＝1，{a n}的前n项和为S n，若S7＝42，则公差d＝．16．（2022春•浦东新区校级月考）已知{a n}为等差数列，d为公差，S n表示数列的前n项和，若a3＝4，d ＝2，则S n＝．17．（2022春•金山区期中）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝4，S4＝20，则a9＝．18．（2022春•宝山区校级月考）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a3＝4，则公差d＝．19．（2022春•浦东新区校级期中）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5＝50，a1、a4、a13成等比数列．（1）求公差d的值；（2）求S n．六．等比数列的性质（共2小题）20．（2022春•长宁区校级期末）2+与2﹣的等比中项是．21．（2021春•金山区校级月考）设等比数列z1，z2，z3，…，z n，其中z1＝1，z2＝a+bi，z3＝b+ai（a，b∈R，a＞0）．（1）求a，b的值．（2）求使z1+z2+…+z n＝0的最小正整数n的值．（参考数据：）七．等比数列的通项公式（共6小题）22．（2022春•南岗区校级期末）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f23．（2022春•闵行区校级期中）在等比数列{a n}中，若a2＝9，a4＝3，则a8＝．24．（2022春•闵行区校级期末）在等比数列{a n}中，a2＝1，a5＝27，则a1a4＝．25．（2022春•长宁区校级期末）已知等比数列{a n}的公比为q，若a2＝1，，则公比q＝．26．（2022春•黄浦区校级期中）已知{a n}为等比数列，且8a2+a5＝0，则{a n}的公比为．27．（2022春•黄浦区校级月考）正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得，且a7＝2a6+3a5，则的最小值为．八．等比数列的前n项和（共3小题）28．（2022春•杨浦区校级期末）化循环小数为分数：＝．29．（2022春•闵行区校级期中）已知无穷等比数列{a n}的前n项和，则{a n}的各项和为．30．（2022•徐汇区校级开学）已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若a1＝﹣24，，则当T n取最大值时，n的值为．九．数列的极限（共4小题）31．（2023•上海模拟）下列用递推公式表示的数列中，使得成立的是（）A．B．C．D．32．（2022春•虹口区期末）已知数列{log2（a n﹣1）}为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则＝（）A．2B．C．1D．33．（2022春•宝山区校级期中）已知数列{a n}，{b n}满足a1＝b1＝1，对任何正整数n均有a n+1＝an+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设，记T n＝，则＝．34．（2022春•黄浦区校级期中）已知{a n}为等差数列，且a1+a3+a5＝108，a2+a4+a6＝102，S n表示{a n}的前n项和．（1）{a n}的公差d＝；（2）使得S n达到最大值的n＝；（3）设，则＝．一十．数学归纳法（共2小题）35．（2022春•杨浦区校级期末）在用数学归纳法求证：（n+1）（n+2）⋅⋅⋅（n+n）＝2n•1•5...（2n﹣1），（n 为正整数）的过程中，从“k到k+1”左边需增乘的代数式为（）A．2k+2B．（2k+1）（2k+2）C ．D ．2（2k +1）36．（2022春•长宁区校级期末）用数学归纳法证明某命题的过程中，若当n ＝k （k 为大于0的整数），设，那么当n ＝k +1时，f （k +1）可表示为（）A ．B ．C ．D ．巩固提升一、单选题1．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2023这2023个数中，所有能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列共有（）A ．97项B ．98项C ．99项D ．100项2．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）若a b c d ,,,成等比数列，则下列三个数列：（1）2222,,,a b c d ;（2）,,ab bc cd ;（3）,,a b b c c d ---，必成等比数列的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．33．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19290,0a a a a +>+<，则（）A ．90S >且100S >B ．90S <且100S >C ．90S >且100S <D ．90S <且100S <4．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）将数列{}n a 中的所有项排成如下数阵：1a 234a a a 56789a a a a a……已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数125,,a a a ……，成等差数列，且2104,10a a ==．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以12为公比的等比数列，则下列结论错误的为（）A ．11a =B ．221n n a a +<C ．2022a 位于第85列D ．2023861332a =二、填空题5．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知等差数列{}n a 满足371,5a a ==，则公差d =__________;6．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）数列{}n a 的前n 项和23n S n n =+-，则4a =___________.7．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）对于数列{}n a 满足:{}()11121,,,,N,1n n n a a a a a a n n +=-∈∈≥ ，记满足条件的所有数列{}n a 中，10a 的最大值为a ，最小值为b ，则a b -=__________;8．（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ，{}*2,n B x x n ==∈N .将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得116n n S a +>成立的n 的最小值为______.9．（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）数列{}n a 的首项12a =，且146n n a a +=+（n 为正整数），令()2log 2n n b a =+，则1220232023b b b +++= ______.10．（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}n a 不是常数列，则以下命题正确的是______.①若数列{}n a 为等差数列，则{}2n a为等比数列；②若数列{}n a 为等差数列，0n S >恒成立，则{}n a 是严格增数列；③若数列{}n a 为等比数列，则202320230S a ⋅>恒成立；④若数列{}n a 为等差数列，10a >，611S S =，则n S 的最大值在n 为8或9时取到.11．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））;二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））;将二级分形图的每条线段三等分，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））;L ;重复上述作图方法，依次得到四级、五级、n 、级分形图.则n 级分形图的周长为__________;12．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考开学考试）已知数列{}n a 的前n 项和为()0,n n n S S T ≠为数列{}n S 的前n 项积，满足n n n n S T S T +=⋅（n 为正整数），其中11T a =，给出下列四个结论：①12a =；②2(21)n a n n =-；③{}n T 为等差数列；④1n n S n+=.其中所有正确结论的序号是__________.13．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）对于数列{}n a ，令()112341n n n T a a a a a +=-+-+⋅⋅⋅+-，给出下列四个结论：①若n a n =，则20231012T =；②若n T n =，则20221a =-；③存在各项均为整数的数列{}n a ，使得1n n T T +>对任意的*n ∈N 都成立；④若对任意的*n ∈N ，都有n T M <，则有12n n a a M +-<.其中所有正确结论的序号是______.14．（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）数列{}n a 的通项公式为[]2log n a n =（n 为正整数），其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1232023a a a a +++⋅⋅⋅+=______.三、解答题15．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知数列{}n a 的前n 项和为()11,3,121n n n S S S a n n n -=-=≥-(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．（2023春·上海·高二校联考阶段练习）已知{}n a 是等差数列，13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设·cos πn n c b n =，求数列{}n c 的前n 项和n S ，并判断是否存在正整数m ，使得2023m S =？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．17．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）记n S 为公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和，542188a a a a -=-+，621S =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设22log n n b a =，若由{}n a 与{}n b 的公共项从小到大组成数列{}n c ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知数列{}n a 满足()1*1111,N ,2,R 9n n n a a t a n n t --⎛⎫==⋅+∈≥∈ ⎪⎝⎭.(1)若1t =，求数列{}n a 的通项公式;(2)若19t =，求证:数列{}9nn a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式;(3)对于（2）中的数列{}n a ，设8nn n b a =⋅，则数列{}n b 是否有最大项，如有，请求出是第几项，若没有，请说明理由.19．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知数列{}n a 是首项等于116且公比不为1的等比数列，n S 是它的前n 项和.(1)若公比为2，求满足15128n S >的最小正整数n ;(2)若325416S S =-，设()log 1n a n b a a =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最小值.20．（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知数列{}n a 为等差数列，122a a +=-，454a a +=，数列{}n b 中，点(),n n b T 在直线112y x =-+上，其中n T 是数列{}n b 的前n 项和.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)若n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的最大项.21．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知数列{}n a 中，21a =，其前n 项和为*,N n S n ∈(1)若{}n a 是等比数列，24S =，求通项公式n a ;(2)若121++=+n n a a n ，求2023S ;(3)若{}n a 是等差数列，对任意的*n ∈N 都有20n S n +≥，求其公差d 的取值范围.22．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S .若()112N,12n n an n a +≤≤∈≥，则称{}n a是“紧密数列”.(1)已知数列{}n a 是“紧密数列”，其前5项依次为39811,,,,2416x ，求x 的取值范围;(2)若数列{}n a 的前n 项和为()2134n S n n =+，判断{}n a 是否是“紧密数列”，并说明理由;(3)设数列{}n a 是公比为q 的等比数列.若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围.23．（2023秋·上海徐汇·高二上海中学校考期末）已知数列{}n a 满足11a =，11n n n a a a +=+.(1)写出数列{}n a 的前四项；(2)判断数列(){}2n a 的单调性；(3)求证：())221211n n a ++<<.24．（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）记实数a 、b 中较小者为{}min ,a b ，例如{}min 1,21=，{}min 1,11=，对于无穷数列{}n a ，记{}212min ,k k k h a a -=.若对任意*N k ∈均有1k k h h +<，则称数列{}n a 为“趋向递增数列”.(1)已知数列{}n a 、{}n b 的通项公式分别为cos 2n n a π=，12nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，判断数列{}n a 、{}n b 是否为“趋向递增数列”？并说明理由；(2)已知首项为1，公比为q 的等比数列{}n c 是“趋向递增数列”，求公比q 的取值范围；(3)若数列{}n d 满足1d 、2d 为正实数，且21n n n d d d ++=-，求证：数列{}n d 为“趋向递增数列”的必要非充分条件是{}n d 中没有0.。
上海市数学高二下期末经典测试(含答案解析)
一、选择题1．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形2．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．3π B ．6π C ．12πD ．24π3．已知向量a 、b 、c 满足a b c +=，且::1:1:2a b c =a 、b 夹角为（ ） A ．4π B ．34π C ．2π D ．23π 4．非零向量a b ，满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60°D ．45°5．已知π(,π)2α∈，π1tan()47α+=，则sin cos αα+= （ ） A ．17-B ．25-C ．15-D ．156．若将函数1()cos 22f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．(,0)12πB ．(,0)6πC ．(,0)3πD ．(,0)2π7．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos56π)，则角x 的最小正值为( ) A ．56π B ．53πC ．116πD ．23π 8．函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．4B ．23C ．2D ．39．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(3,1)P --，则sin(2)2πα-=（ ）A ．32B ．32-C ．12D ．12-10．已知4cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-11．已知复数1cos 2()z x f x i =+，()23sin cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（） A ．14-B ．14C ．12-D ．1212．已知函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示.则()y f x =的图象，可由函数cos y x =的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π个单位B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位13．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为314．若向量a ，b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为60，则a b +等于（ ） A ．223+B ．23C ．4D ．1215．如图，在ABC ∆中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若,AB a AC b ==,则AO =（ ）A ．1122a b + B ．1124a b + C ．1142a b + D ．1144a b + 二、填空题16．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，点P 在线段BC 上运动，且满足CP CB λ=，当PA PC ⋅取到最小值时，λ的值为_________ .17．设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=，则FA FB FC ++=______．18．如图在ABC 中，AC BC =，2C π∠=，点O 是ABC 外一点，4OA =,2OB =则平面四边形OACB 面积的最大值是___________．19．已知平面向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a ﹣b |=3，则a 在b 方向上的投影是__________．20．已知函数()2cos sin 2=-f x x x ，则()f x 的最大值是__________． 21．已知向量a ，b 满足1a =，且()2a a b b -==，则向量a 与b 的夹角是__________．22．计算：2tan81tan8ππ=- __________．23．已知已知sin π3()25α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于__________24．在三角形ABC 所在平面内有一点H 满足222222HA BC HB CA HC AB +=+=+,则H 点是三角形ABC 的___________.25．若x 2+y 2=4,则x −y 的最大值是三、解答题26．已知向量()2sin ,3cos a x x =，()sin ,2sin b x x =，函数()f x a b =⋅ （1）求的单调递增区间；（2）若不等式都成立，求实数m 的最大值．27．已知23cos()(,)41024x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3x π+的值.28．在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.29．已知α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，tanα＝12，求： (1)tan2α的值； (2)sin 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 30．已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1． （1）求常数a 的值；（2）求使()0f x ≥成立的x 的取值集合．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．B 11．B 12．B 13．D15．B二、填空题16．【解析】【分析】将用表示出来注意的数量关系再根据的二次函数求最值【详解】设因为所以；所以故当时有最小值【点睛】图形中向量的数量积问题主要是将未知的向量用已知的向量表示这样可以方便计算17．6【解析】【分析】由题意可得焦点F（02）准线为y＝﹣2由条件可得F是三角形ABC的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p＝4焦点F（02）准线为y＝﹣2由于故F是三角形ABC的重心设AB18．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m则由余弦定理把m表示出来利用四边形OACB面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m则由余19．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影20．【解析】分析：对函数求导研究函数的单调性得到函数的单调区间进而得到函数的最值详解：函数设函数在故当t=时函数取得最大值此时故答案为：点睛：这个题目考查了函数最值的求法较为简单求函数的值域或者最值常用21．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小22．【解析】根据正切公式的二倍角公式得到故答案为：23．【解析】由题意得24．垂心【解析】【分析】根据向量运算用表示出向量可得从而可得【详解】因为所以整理得即;同理可得所以可知为垂心【点睛】本题主要考查平面向量的运算三角形垂心的向量表示考查转化化归思想25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y的最大值【详解】由题意可知xy表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2cosθ2sinθ则x-y=2c三、解答题27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】由AB DC=可得四边形为平行四边形，由AC·BD＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．【详解】∵AB DC=，∴AB与DC平行且相等，∴四边形ABCD为平行四边形．又0⋅=，AC BD⊥，∴AC BD即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD为菱形．故选A．【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础2．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果 【详解】由题，向左平移(0)ϕϕ>不改变周期，故2ω=，∴平移得到()sin 2sin 22cos 233x x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫++=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 2+=+232k ππϕπ∴，12k πϕπ∴=+0ϕ>，∴当0k =时，min 12πϕ=，故选C【点睛】本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化3．C解析：C 【解析】 【分析】对等式a b c +=两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出0a b ⋅=，由此可求出a 、b 的夹角. 【详解】等式a b c +=两边平方得2222a a b b c +⋅+=，即2222cos a b b c a θ+⋅+=，又::1:1:a b c =0a b ⋅=，a b ∴⊥，因此，a 、b 夹角为2π，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量夹角的计算，同时也考查平面向量数量积的运算律以及平面向量数量积的定义，考查计算能力，属于中等题.4．A解析：A 【解析】 【分析】先化简()0a a b ⋅-=得2=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =，最后求a b -与b 的夹角.【详解】因为()0a a b ⋅-=，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅，，因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =，设a b -与b 的夹角为θ，则()2cos a b b a b b a b ba bθ-⋅⋅-===-222222||a a =-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．C解析：C 【解析】 【分析】由两角和的正切公式得出3sin cos 4αα=-，结合平方关系求出43cos ,sin 55αα=-=，即可得出sin cos αα+的值. 【详解】1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭3tan 4α∴=-，即3sin cos 4αα=-由平方关系得出223cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：43cos ,sin 55αα=-=341sin cos 555αα+=-=-故选：C 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.6．A解析：A 【解析】 【分析】通过平移得到1cos(2)23y x π=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案. 【详解】 向左平移6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则其对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值． 【详解】 因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知5sin cos6x π==x 的最小正值为5233x πππ=-=． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．8．A解析：A 【解析】试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><，那么根据图像可知周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到22sin(4)6πϕ=⨯+，6πϕ=-，则可知()f π=4，故答案为A.考点：三角函数图像点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．9．D解析：D 【解析】 试题分析：因,则,故sin(2)2πα-,选D ．考点：三角函数的定义．10．B解析：B 【解析】 【分析】由题意首先求得sin α的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意结合诱导公式可得：4sin cos 25παα⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 则2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【解析】 【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解. 【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)23cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos 3cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象可知1A =，根据周期为π知=2ω，过点(,1)12π求得3πϕ=，函数解析式()sin(2)3f x x π=+，比较解析式cos sin()2y x x π==+，根据图像变换规律即可求解.【详解】由()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象可得1A =,11244126T πππω=⋅=+，解得=2ω，图象过点(,1)12π，代入解析式得1sin(2)12πϕ=⨯+，因为2πϕ<，所以3πϕ=，故()sin(2)3f x x π=+，因为cos sin()2y x x π==+，将函数图象上点的横坐标变为原来的12得sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移12π个单位得sin[2()]sin(2)()1223y x x f x πππ=-+=+=的图象，故选B. 【点睛】本题主要考查了由sin()y A x ωϕ=+部分图像求解析式，图象变换规律，属于中档题.13．D解析：D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．14．B解析：B【解析】【分析】将a b+平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式.【详解】因为2222cos6044412a b a a b b+=+︒+=++=，所以23a b+=，故选：B.【点睛】本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算xa yb+这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.15．B解析：B【解析】【分析】【详解】分析：利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出．详解：∵在ABC∆中，BE是AC边上的中线∴12 AE AC=∵O是BE边的中点∴1()2AO AB AE=+∴1124AO AB AC =+ ∵,AB a AC b == ∴1124AO a b =+ 故选B.点睛：本题考查了平面向量的基本定理的应用.在解答此类问题时，熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键．二、填空题16．【解析】【分析】将用表示出来注意的数量关系再根据的二次函数求最值【详解】设因为所以；所以故当时有最小值【点睛】图形中向量的数量积问题主要是将未知的向量用已知的向量表示这样可以方便计算解析：18【解析】 【分析】将PA PC ⋅用AB ，AC 表示出来，注意AB ，AC 的数量关系，再根据λ的二次函数求最值. 【详解】设AC a =，因为90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，所以3AB a =，2BC a =；22()()PA PC PC CA PC BC CA BC BC BC CA λλλλ⋅=+⋅=+⋅=+⋅，所以22222142cos1204()816a PA PC a a a a λλλ⋅=+⋅⋅⋅︒=--，故当18λ=时，PA PC⋅有最小值. 【点睛】图形中向量的数量积问题，主要是将未知的向量用已知的向量表示，这样可以方便计算.17．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB解析：6 【解析】 【分析】由题意可得 焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由条件可得F 是三角形ABC 的重心，可得21233y y y ++=， 由抛物线的定义可得 结果． 【详解】由题意可得 p ＝4，焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由于 0FA FB FC ++=，故F 是三角形ABC 的重心，设 A 、B 、C 的纵坐标分别为 y 1，y 2，y 3， ∴21233y y y ++=，∴y 1+y 2+y 3＝6． 由抛物线的定义可得 FA FB FC ++=（y 1+2）+（y 2+2）+（y 3+2）＝12． 故答案为12． 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y 1+y 2+y 3＝6，是解题的关键．18．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m 则由余弦定理把m 表示出来利用四边形OACB 面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC 为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m 则由余解析：5+ 【解析】分析：利用余弦定理，设AOB α∠=,设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理把m 表示出来，利用四边形OACB 面积为S=24sin 4sin 2OACB ABC m S S αα∆∆=+=+．转化为三角形函数问题求解最值．详解：△ABC 为等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，不妨设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理，42+22﹣2m 2=16cos α，∴2108cos m α∴=-．108cos 4sin 4sin 4sin 4cos 52OACB ABC S S ααααα∆∆-∴=+=+=-+)554πα=-+≤.当34απ=时取到最大值5+.故答案为5+点睛：（1）本题主要考查余弦定理和三角形的面积的求法，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设AOB α∠=，再建立三角函数的模型.19．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影 解析：12【解析】分析：根据向量的模求出a •b =1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵|a |=1，|b |=2，|a ﹣b ∴|a |2+|b |2﹣2a •b =3， 解得a •b =1， ∴a 在b 方向上的投影是a b b⋅=12， 故答案为12点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．20．【解析】分析：对函数求导研究函数的单调性得到函数的单调区间进而得到函数的最值详解：函数设函数在故当t=时函数取得最大值此时故答案为：点睛：这个题目考查了函数最值的求法较为简单求函数的值域或者最值常用解析：2【解析】分析：对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的单调区间，进而得到函数的最值. 详解：函数()2cos sin2f x x x =-，()22sin 2cos24sin 2sin 2,f x x x x x =----'=设()()[]2sin ,422,1,1t x f x g t t t t ===--∈-'，函数在11-1-122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故当t=12-时函数取得最大值，此时,66x f ππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭故答案为：2. 点睛：这个题目考查了函数最值的求法，较为简单，求函数的值域或者最值常用的方法有：求导研究单调性，或者直接研究函数的单调性，或者应用均值不等式求最值.21．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小 解析：120︒【解析】 【分析】先根据条件得a b ⋅，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】因为1a =，且()2a a b ⋅-=，所以2-2,121,a a b a b ⋅=∴⋅=-=-因此112πcos ,,1223a b a b a b a b⋅-===-∴=⨯⋅. 【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b a bθ⋅=⋅；二是坐标公式cos θ=；三是几何方法，从图形判断角的大小.22．【解析】根据正切公式的二倍角公式得到故答案为：解析：12【解析】 根据正切公式的二倍角公式得到22tan 8tantan 21481tan 8ππππ=⨯==-，2tan1821tan 8ππ=-. 故答案为：12. 23．【解析】由题意得解析：4-5【解析】 由题意得3π44cos ,(0,)sin ,sin(π)sin 5255ααααα=∈∴=+=-=- 24．垂心【解析】【分析】根据向量运算用表示出向量可得从而可得【详解】因为所以整理得即;同理可得所以可知为垂心【点睛】本题主要考查平面向量的运算三角形垂心的向量表示考查转化化归思想解析：垂心 【解析】 【分析】根据向量运算,用,,HA HB HC 表示出向量,,CA AB BC ,可得HC AB ⊥,从而可得. 【详解】因为BC HC HB =-,CA HA HC =-,AB HB HA =- 所以2222)(()HC HA HB HB HA HC +=--+ 整理得()0HC HB HA ⋅-=,0HC AB ⋅=,即AB HC ⊥; 同理可得AC HB ⊥,BC HA ⊥. 所以可知H 为垂心.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，三角形垂心的向量表示，考查转化化归思想.25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y 的最大值【详解】由题意可知xy 表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2cosθ2sinθ则x-y=2c 解析：2√2【解析】 【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题，然后结合辅助角公式即可确定x −y 的最大值. 【详解】由题意可知(x,y )表示坐标原点为圆心，2为半径的圆上的点，设点的坐标为(2cosθ,2sinθ)，则x −y =2cosθ−2sinθ=−2√2sin (θ−π4)， 当sin (θ−π4)=−1时，x −y 取得最大值2√2. 【点睛】本题主要考查三角函数最值的求解，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 26． （1）（2）0【解析】试题分析：解：（1）2()2sin 23sin cos f x x x x =+1cos 223sin cos x x x =-+3sin 2cos 21x x =-+2sin(2)16x π=-+由222()262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得所以的单调增区间是(6分)（2）因为所以所以()2sin(2)1[0,3].6f x x π=-+∈所以0m ≤，m 的最大值为0. (12分) 考点：三角恒等变换，三角函数性质点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题．27．(1)45；(2)2450+-. 【解析】【分析】 【详解】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可. 试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()4x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-45=+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===- 2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x x ==-=-=-所以中sin(2)sin 2coscos 2sin333x x x πππ+=+= 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.28．(Ⅰ) 14-；(Ⅱ) 716-.【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到,,a b c 的比例关系，然后利用余弦定理可得cos B 的值 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】(Ⅰ)在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =. 又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =. 由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-=2224161992423a a aa a +-==-⋅⋅. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-.故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.29．（1）43（2）410＋ 【解析】 (1)因为tanα＝12，所以tan2α＝22413tan tan αα＝－. (2)因为α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2α∈(0，π)． 又tan2α>0，所以sin2α＝45，cos2α＝35. 所以sin 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝sin2αcos3π＋cos2αsin 4133525π⨯＝＋ 30．（1）1a =-，（2）2|22,3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】试题分析：（1）()(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )cos 6666f x x x x x x a ππππ=++-++cos x x a =++2sin()6x a π=++ ∴max ()21f x a =+=，∴1a =-（2）∵()2sin()16f x x π=+-，∴2sin()106x π+-≥，∴1sin()62x π+≥， ∴522,666k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得222,3k x k k πππ≤≤+∈Z ， ∴使()0f x ≥成立的x 的取值集合为2|22,3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 考点：本题考查了三角函数的变换及三角不等式的解法点评：，对三角函数性质和图象的综合考查主要体现为一个题目中考查三角函数的多种性质及图象的变换、作法等.在其具体的解题过程中，一般都需要先将三角函数的解析式转化为只含有一种函数、一个角(ωx ＋Φ)的形式，再根据题目具体的要求进行求解.。
上海市高二数学期末考试
高二第一学期数学期末考试一、填空题（每题3分，共39分）1、已知数列的通项公式12+=n n a n ，求这个数列第6项____________ 2、在等差数列{}n a 中，1615210S d a ，则，且=-==_____________3、若等差数列{}n a 共有十项，其中奇数项的和是12.5，偶数项的和是15，则公差d =________4、已知等差数列{}{}n n b a 、满足532+=n n b a n n ，它们的前n 项之和分别记为n n T S 和，求1111T S 的值_______________ 5、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =____________ 6、已知数列{a n }为等比数列，Sn 是它的前n 项和。
若a 2· a 3=2a 1,且a4与2a 7等差中项为54，则S 5＝__________ 7、已知向量a 与b 都是单位向量，它们的夹角为120︒，且3=+b a k ，则实数k 的值是8、若向量a =)(,2x x ，b =)(3,2x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 .9、设向量a ϖ与b ϖ的夹角为θ，)3,3(=a ϖ，)1,1(2-=-a b ϖϖ，则cos θ= ．10、已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==u u u r u u u r 则与的夹角的大小为 .11、P 为ΔABC 所在平面上的点，且满足AP u u u r =AB u u u r +12AC u u u r ，则ΔABP 与ΔABC 的面积之比是_______．12、对于n 个向量，L 12n a ,a ,,a ,若存在n 个不全为零的实数12,,,n k k k L 使得 120n k k k +++=L 12n a a a 成立，则称向量L 12n a ,a ,,a ,是线性相关的.按此规定，能使向量(1,0),(1,1),(2,2)==-=123a a a 是线性相关的实数123,,k k k 的值依次为13、若==k k 则,012131012_____________。
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【最新整理，下载后即可编辑】数列复习（一）一知识点、方法点复习提纲：1、通项公式的应用(1)等差数列的通项公式:(2)等比数列的通项公式:2、递推公式的应用（会读框图；由框图写递推公式）3、确定通项公式的方法（1）观察法；（2）利用等差、等比数列定义求通项；（3）已知Sn求a（勿忘分段）；n（4）已知递推公式求通项（叠加、待定系数、取倒数、叠乘以及归纳、猜想、证明）4、基本量问题（列方程，解方程组）注：（1）等差中作差，等比中作比的方法；（2）统一变量、整体带入的方法；5、等差数列和的最值问题（1）由通项判定；（2）由前n项和的函数表达式出发）；6、数列求和问题：（1）等差、等比数列的求和问题（2）熟悉几个可求和数列的通项：裂项求和，错项相减，分项求和，倒序相加；7、数学归纳法证明问题（1）恒等式证明；（2）整除问题的证明；（3）归纳猜想和证明；（4）简单的几何问题的判断.8、求数列极限的常用方法(1) 定义法：以计算各项观察为主;（2）转化为重要极限；（3）利用极限的运算法则.9、三大重要极限：1,11(1)0,0,11(2),(3)lim lim lim n n n q q n n n C C q →∞→∞=⎧==⎨-<<→∞⎩→∞= 及其应用.10、无穷等比数列各项和问题 （1）定义 （2）应用11、等差、等比数列性质的应用12、项数为奇数、偶数时等差、等比数列项与和间的转化 二、能力点复习提纲：1、 等差中绝对值求和问题：（分段问题）2、 利用数列单调性寻找最大项解决恒成立问题；3、 n S 与n a 的关系在解题中的灵活转换；4、 等差与等比数列中类比问题；5、 数列与函数的联系； 三、思想方法： （1）方程的思想； （2）基本量的思想； （3）化归的思想； （4）极限的思想. 四、课前热身：1、实数96是不是数列{}n a 满足*31,n n a n N =-∈的项？为什么？2、数列{}n a 满足*0.53,n a n n N =-+∈，则其是 数列，首项是 ，公差（比）是3、数列{}n a 满足*0.5,n n a n N =-∈，则其是 数列，首项是 ，公差（比）是4、 已知1359900x ++++=；则x=5、 等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ；则其前n 项和n S =6、数列{}n a 满足*113,1,n n n a a a n N -=+=∈，则其通项式是7、数列{}n a 满足*110.53,1,n n a a a n N -=-+=∈，则其通项式是8、已知数列{}n a 满足*111,(1),1,1n n a n n a n N a n -+=>=∈-，则其通项式是9、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足223,*n S n n n N =-+-∈，则其通项式是五、例题分析：1、写出下列数列的通项式1)1,0,1,0,2)1,0,3,0,5,0,7,--3)9,99,999,9999,4)0.4,0.44,0.444,0.4444,2、已知数列{}n a 满足*32,112n a n N n =+∈-求数列{}n a 的最大项与最小项？3、已知数列{}n a 满足*113,n a a n N +==∈ 1）求5a 2）求数列{}n a 的通项公式.4、已知数列{}n a 的前n 项和2*100,n S n n n N =-∈, 1)求证：数列{}n a 是等差数列；2）若数列{}n b 的通项n n b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n T .5、等差数列{}n a 中，前n 项和为n S1）已知1113135,0a a a =>，问123,,,n S S S S 中最大项是哪一项？ 2）已知119200,0,0a S S >><，问123,,,n S S S S 中最大项是哪一项？6、已知数列{}n a 的前n 项和*0.25,n n S c n N =+∈,若数列{}n a 是等比数列。
试求常数C7、（1）已知数列111111,3,5,7,,(21),,248162n n -+求其前n 项和（2） 已知数列{}n a 满足1*12(),3n n a n N -=-∈， 1）求数列{}n a 前n 项和n S2）若123n n T S S S S =++++；试求n T（3）已知等差数列{}n a 中，1,(0)a d d ≠，求12233411111n na a a a a a a a -++++8、已知：等差数列{}n a 的第三项为3，前10项和为80. (1)求数列的通项公式；（2）若从数列中取出第3项，第9项，第27项，┄，第3n 项，按取出顺序组成一个新数列{}n b ，求新数列{}n b 的前n 项和n S . 六、练习与作业： 1、数列1，4，7，10，13，，的一个递推公式是 . 2、已知等差数列{}n a 的公差为2，且123100100a a a a ++++=，那么4812100a a a a ++++=3、等差数列{}n a 中，若242,3a a ==，则51是该数列的第 项.4、等比数列{}n b 中，若36128,16b b ==，则公比q = .5、等差数列{}n a 共有2m 项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且2133m a a -=-，则该数列的公差为6、等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -=7、数列{}n a 是首项为-5的等差数列，它的前11项的平均数为5，若从中抽走一项，余下的平均数为 4.6，则抽走的数是第 项8、若数列}{n a 为等差数列，且,17,982==a a 则________18=a9、数列{}n a 满足*23,n n S a n N =-+∈，则其通项式是10、数列{}n a 既是等差数列，又是等比差数列且12,*31nn n a a n N a +=∈+，则其前10项和为11、在数列{}n a ，已知*12211,,()n n n a a a a a n N ++===+∈则6a = 12、数列1，2+3，3+4+5，4+5+6+7，。
则数列的通项n a = 13、在数列{}n a 中2*122334,(),n a a a n n N a a a a =∈+=14、数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且24466216a a a a a a ++=，则10a =15、数列{}n a 中，{n 3,(21,(n n n n a -=为偶数）为奇数），求数列{}n a 的前10项和16、数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，12312,n n n n S a a a a Q s s s =+++=+++求n Q数列复习（二） 一、课前热身：1、1123lim23n n n nn +-→∞+=- ，2(1)lim1n n n n →∞+=+ .2、2135(21)lim32n n n →∞++++--=______.3、1111lim(1)(1)(1)(1)234n n→∞---- =______ .4、111lim(1)12123123n n→∞+++++++++++=_________________. 5、()2121111122*********lim nn n n -→∞-++++-+-+-=_________________. 6、用数学归纳法证明)(2)1()1()1(4321*1212222N n n n n n n ∈+-=-++-+--- 时，在假设k n =时等式成立，要证明1+=k n 时等式也成立，这时要证的等式为________. 7、用数列归纳法证明要证明)(983*22N n n n ∈--+是64的倍数，为了证明当1+=k n 时命题成立，需应用当k n =时命题成立的假设，为此可建立k n =和1+=k n 时相应的两个式子的联系，即________________________9)1(832)1(2=-+-++k k .8、在等比数列{}n a 中，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围为___________9、用数学归纳法证明不等式n n<-+⋅⋅⋅+++12131211（1,*>∈n N n ）时，第二步证明中从k n =到1+=k n ，左边增加的式子为______________________ 二、例题分析：1、已知数列{}n a 和{}n b 都是公差不为0的等差数列，且2lim=∞→nnn b a ，则nnn nb a a a 221lim +⋅⋅⋅++∞→=___________2、 已知等比数列{}n a 的前n项的和12-=n n S ，则____2232221=+⋅⋅⋅+++n a a a a3、设1()21xf x =+，利用课本推导等差数列前n 项和的方法，可求得(5)(4)(1)(0)(1)(5)_________f f f f f f -+-+⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=. 4、 在等差数列{}n a 中，若),,(*∈≠=N s r s r a a s r ，则有公差0=d 。
判断在等比数列{}n b 中，若),,(*∈≠=N s r s r b b s r ，是否一定有公比1=q 成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举出一个反例._________________________________________. 5、把数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的所有的数按照从大到小，左大右小的原则写成如下数表，第k 行有12k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(,)A t s ，则(8,17)______A =6、已知数列{}n a 中，()*12,211N n a a a nn ∈-==+，通过计算数列的前若干项，猜测n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.7、已知数列{}n a 是正实数构成的数列，13a =，且满足111351111791113111115171929⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1lg lg lg n n a a c -=+（c 是正实常数，2,n n N≥∈）（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；（2）求2lim2n n na a →∞-+的值 .8、已知数列{}n a 的首项12a =，且满足12n n a a +=；数列{}n b 的前n 项和为n B ，且23122n B n n =+.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若由{}n a 和{}n b 相同的项依次组成一个新的数列{}n c ，证明：若n c 是数列{}n a 中的第k 项，则1n c +是数列{}n a 中的第2k +项.三、练习与作业：1．在数列{}n a 中，q pn a a a n +===,9,531（q p ,为常数），则____8=a 1. 在等比数列{}n a 中，123430,120a a a a +=+=，则56________a a += 2. 计算：22212100lim()________12100n n n n →∞++⋅⋅⋅+=+++ 3.在数列{}n a 中，*)(241N n n a n ∈-=，前n 项和记为n S ，则当n=______时，n S 达到最大值4、（1）数列{}n a 中，22211100010012n n na n n n n ⎧⎪⎪=⎨⎪>⎪-⎩，≤≤，，， 求数列{}n a 的极限值 （2）数列{}n a 中，211001100n n a n n n⎧⎪=⎨>⎪+⎩n ，≤≤，，，前n 项和是n S ，求lim n n S →∞5、已知131lim,3(1)3n n n n a +→∞=++求a 的取值范围已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和n S ,公比为10,1q a >=1)求：limn n na S →∞2）求：lim1nn n S S →∞-6、lim(0.999)n →∞=7、1111lim()2558811(31)(32)n n n →∞++++⋅⋅⋅-+=8、22(1)4lim 2,1n k n nn →∞-+=+则k=9、如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m =，，，），我们称其为“对称数列”．例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”． （1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，，。