常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期
常微分方程课程试卷（B）
一、填空题（每空2 分，共16分）。

1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件．
2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二
维空间上的一条曲线．
3．线性齐次微分方程组Y
A
Y
)
(
d
d
x
x
=的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R
∈
x，n
R
Y∈．
4．二阶线性齐次微分方程的两个解)
(
1
x
yϕ
=,)
(
2
x
yϕ
=成为其基本解组的充要条件是线性无关．
5．方程2
sin()
y xy y
''
=+的通解是
6．变量可分离方程()()()()0=
+dy
y
q
x
p
dx
y
N
x
M的积分因子是()()
x
P
y
N
1
7．性齐次微分方程组的解组)
(
,
),
(
),
(
2
1
x
x
x
n
Y
Y
Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0
)
(≠
x
W．
8．方程540
y y y
'''
++=的基本解组是x
x e
e4
,-
-
二、选择题（每小题3 分，共15分）。

9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组．
(A) 一定有相同(B) 可能有相同
(C) 一定有相似(D) 没有相同
10．方程组
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
=
+
=
y
x
t
y
y
x
t
x
4
3
d
d
2
d
d
的奇点)0,0(的类型是（D ）．
（A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）．
(A) 1±
=
x(B)1±
=
y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x
12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．
（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间
（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间
13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解．
(A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有
三、计算题（每小题8分，共48分）。

14．求方程
x
y x y x y tan d d +=的通解 解：令x
y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin
15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x
x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x
y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为
1012
2d d 1C y x x y x y x
=+--⎰⎰ 即 C x
x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y +
'-'=的通解 解:令 p y ='，得到2
2
2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，
整理得 ()012=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--dx dp x p ，则 取 02=-x p ,得 2x p =,代入（*） 得解 4
2
x y = 取 01=-dx
dp ,得C x p +=,代入（*）得原方程得通解为 22
2
Cx Cx x y ++= 17．求方程53x y y e '''-=的通解
解 对应的齐次方程的特征方程为 032=-λλ，
特征根为 01=λ，32=λ
故齐次方程的通解为 x C C y 321e +=
因为5=α不是特征根。

所以，设非齐次方程的特解为
x A x y 51e )(=
代入原方程，x x x A A 555e e 15e 25=-
即 10
1=
A ， 故原方程的通解为 x x C C y 5321e 101e ++= 18．求方程x y y 2sin 34=+''的通解
解：原方程对应的齐次方程的特征方程为 042
=+λ
特征根为 i 22,1±=λ，故齐次通解是
x C x C y 2sin 2cos 21+=
由于 i i 2±=±βα是特征根，故原方程有形如 )2sin 2cos (~
x B x A x y +=
的特解．代入原方程，确定出 43-
=A ，0=B 所求通解为 x x C x C y 2cos 4
32sin 2cos 21-+= 19．求方程组35,53dY AY A dx ⎛⎫== ⎪-⎝⎭
的实基本解组 解：方程组的特征多项式为 3
553
--λλ，其特征根是i 532,1±=λ，那么 属于1λ的特征向量⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=11i α， 属于2λ的特征向量⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=i 12α。

则方程的基本解组为()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=Φ-+-+x i x i x i x
i ie e e ie x 535353531， 其实基本解组为()()0111-ΦΦx 。

而()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=Φ--i i i i 1121110111 因此所求实基本解组为 ()=Φx ()()0111-ΦΦx
()()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-+x e x e x e x e i i ie e e ie t t t t x i x i x i x i 5cos 5sin 5sin 5cos 1121333353535353 四、应用题（本小题 11 分，共11分）。

20．（1）求函数()at f t e =的拉普拉斯变换
（2）求初值问题3322(0)0,(0)0
t
x x x e x x '''⎧-+=⎨'==⎩的解
解：（1）[]()()⎪⎩⎪⎨⎧≤∞>-=∞+--===----∞
+-⎰⎰a
s a s a s e a s dt e dt e e e t a s t a s at st at ,,1010 （2）设()[]()s X t x = ，()t x 是已知初值问题的解。

对已知方程两端同时使用拉普
拉斯变换，可分别得到
[][][][]()[]()()()()();
212
323232322--=+-=+-=+'-''=+'-''s s s X s s s X s s s X x x x x x x [][]322233-==s e e t
t 故有 ()()()()
3212---=s s s s X 使用部分分式法，可得 ()3
12211-+---=s s s s X 由（1）可知，[][][]
31;21;1132-=-=-=s e s e s e t t t 故所求的初值解为 ()t t t e e e t x 322+-= 。

五、证明题（本小题10分，共10分）。

21． 设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程
y x x
y sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．
证明 ：由已知条件可知，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在惟一及延展定理
条件，又存在常数解 ,2,1,0,±±==k k y π．
对平面内任一点),(00y x ，若πk y =0，则过该点的解是πk y =，显然是在
),(∞+-∞上有定义．
若πk y ≠0,则))1(,(0ππ+∈k k y ,记过该点的解为)(x y y =，那么一方面解
)(x y y =可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域
k y k x y x (,),({<<π+∞<<∞- })1π+内)(x y 不能上、下穿过解π
)1(+=k y 和πk y =，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为),(∞+-∞．。