利用空间向量解决空间距离问题共23页
利用空间向量解决空间距离问题
(1,
2,
3)
D
x 选A1E与BD1的两点向量为D1A1 1, 0, 0, A
得A1E与BD1的距离
d
D1A1 n n
14 14
Cy
B
直线到平面旳距离：
d
|
AP n |
平面到平面旳距离：
n
异面直线旳距离：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1旳中点，求下列问题：
z (1) 求B1到面A1BE旳距离；
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1旳中点，求下列问题：
(4) 求异面直线D1B与A1E旳距离.
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
练习1：
已知棱长为1旳正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 旳中点，求点A1到平 面DBEF旳距离。
z
D1 F
C1
A1
E B1
D A
x
C y
B
练习2：
已知棱长为1旳正方体ABCD－A1B1C1D1， 求平面DA1C1和平面AB1C间旳距离。
已知正方形ABCD旳边长为4，CG⊥平面
ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD旳中点，
求点B到平面GEF旳距离。
zG
x
D
F
A
E
C
B
y
练习7：
在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4旳正三角
形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= 2 3 ，
用空间向量研究距离、夹角问题全文
MN ( 1 1 )2 (0 1 )2 ( 1 0)2 2 .
22
22
2
y
x
【巩固训练3】如图，正方体ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂 直，点M在AC上，点N在BF上，若CM = BN = 2，求MN的长.
2
解2：设 AB a, AD b, AF c . 则
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
的中点.
z
(4) 求直线FC1到平面AB1E的距离.
D1
C1
解 : FC1 //平面AB1E,直线FC1到平面AB1E的距离 A1
B1
等于点C1到平面AB1 E的距离.
E
由(3)知平面AB1E的一个法向量为n (1, 2, 2). 易知C1(0,1,1), B1(1,1,1),C1B1 (1,0,0).
D1 A1
E
D
C1 B1
F
C
A
B
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
的中点.
z
(1) 求点A1到直线B1E的距离;
D1
C1
解 : 如图示,以D为原点建立空间直角坐标系, 则有
A1
B1
1 A1(1, 0,1), B1(1,1,1), E(0, 0, 2).
z0 ,
0
取y
1, 则z
1,
x
1.
∴平面D1CB1的一个法向量为n (1,1,1).
D
A x
C y
B
点B到平面D1CB1
的距离为
|
BC n |n|
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
用空间向量解决距离问题(第1课时)(课件)高二数学同步备课
(2)在三棱锥中用等体积法求解.
|·|
(3)向量法:d= || (n 为平面的法向量,A 为平面上一点,MA 为过点 A
的斜线段)
练一练
2.如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，
E，F分别为AB，BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离；
解
则
建立如图所示的空间直角坐标系，
则=(-2,2,0),1 =(-2,0,4),1 1 =(-2,-2,0),
设平面 AD1C 的法向量为 n=(x,y,z),
· = 0,
-2 + 2 = 0,
则
得
-2 + 4 = 0.
·1 = 0,
取 z=1,则 x=y=2,所以 n=(2,2,1).
|·1 1 |
→ ———→
|BC
· A′C |
4
→ ———→
所以BC在 A′C 上的投影长为
＝
.
———→
14
| A′C |
所以点 B 到直线 A′C 的距离 d＝
→ ———→
→ 2 BC· A′C 2
|BC| －
＝
———→
| A′C |
16 2 35
4－14＝ 7 .
归纳
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
1
1
D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E1，2，0，F2，1，0.
设DH⊥平面PEF，垂足为H，
→
→
→
→ 1 1
则DH＝xDE＋yDF＋zDP＝x＋2y，2x＋y，z，
利用空间向量求空间距离
利用空间向量求空间距离定远中学 赵艳丽教学目标：（1）知识与技能了解空间中的各种距离，掌握各种空间距离的转化方法，利用空间向量求各种空间距离。
（2）过程与方法通过将空间距离转化求解的过程，使学生体会类比，转化、化归及数形结合思想的应用。
（3）情感、态度与价值观通过求解空间距离，培养学生观察、分析和解决问题的能力。
感受数学之妙，激发学生学习数学的热情。
教学重、难点：重点：空间距离的转化和求解。
难点：空间距离的转化。
教学过程： 一、新课引入不考虑时间，我们生活在一个三维空间里。
这个空间里充满了各种与我们生活密切相关的距离。
那么空间距离有哪些？又该怎么求呢？［设计意图］数学来源于生活，又服务于生活。
从生活出发，让学生体会数学的价值，明确学习数学的重要性。
二、新课讲解1、点到平面的距离向量法求点到平面的距离. 在PAO Rt ∆中，θθcos ||||cos AP d AP =⇒=又|||||cos n AP n AP =θ|||n n AP d =∴（其中AP 为斜向量，n 为法向量）2、直线到平面的距离转化为点到线的距离：|||n n AP d =AP 为斜向量，n 为法向量）3、平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：|||n n AP d =AP 为斜向量，n 为法向量）师生：教师引导，启发，学生积极思考，共同总结，给出结论。
［设计意图］体会转化、化归思想在数学学习中的重要性。
三、例题讲解例1．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，求下列问题： （1）求点1D 到面BD A 1的距离；解：如图，建立空间直角坐标系xyz D -，则)1,0,0(,)1,1,0(,)1,1,1(,)1,0,1(),0,0,0(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(1111 D C B A D C B A ,（1）显然,)1,1,1(1-=AC 为面BD A 1的法向量 选点1D 到面BD A 1的斜向量为)0,0,1(11=A D 得点1D 到面BD A 1的距离为33|||1111==AC AC A D d （2）求直线C D 1到面BD A 1的距离； (3) 求面DB A 1与面11CB D 的距离；解：转化、化归为点1D 到面BD A 1的1D 到面BD A 1距离；师生：共同合作，共同完成。
用向量法求空间距离
同学们，下课 同学们，
点到平面的距离
一点P到它在一个平面 α 内的正射影的距离，即：
P
PA ⊥ α , A ∈ α
垂线段PA即为点P到平面的距离
A
α
直线到与它平行平面的距离
一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离， 叫做这条直线到平面的距离
即是把直线 直线到与它平行平面 平面的距离转化为 直线 平面 平面的距离 点到平面 平面
例题2：已知在边长为4 2 的正 ABC 中，E，F分别为BC 和AC的中点，PA垂直面ABC，PA=2，设平面PFD过PF且 与AE平行，交线段BC与点D，求AE与面PFD间的距离
分析：这道题也是我们上一节课的例题，当时我们解决这道题时， 是先找经过AE且垂直于面PFD的一个垂面，再在AE上找一点做 两垂面交线的垂线，这条垂线就是AE到面PFD的距离，求解过程 麻烦，今天，我们用向量来求解的话，我们应该怎么样把线面距 离转化 转化成点面距离呢？ 转化 由题意可知，AE平行于面PFD，也就是说，AE上每一点到面 PFD的距离都相等，那么我们可以转化成点A 或点E或AE上任 一点到面PFD的距离，这样，我们就可以用上一道例题的解题 思路来进行解答了
uuur r A1 A n (0, 0,1) (1, −1, −1) 3 d= r = = 3 3 n
经过了上面几道例题，我们已经熟悉并掌握了用向量法求空间距 离的知识了，接下来请同学们完成下面的练习，同样也是用向量 法解决
Ex1:四面体 四面体ABCD中， 中 四面体 ∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°，AC=AD=2， ∠ ∠ ° ， AB=3. 求点 到平面 求点C到平面 到平面ABD的距离 的距离. 的距离 Ex2:已知正方体 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为 已知正方体 a，求体对角线 1与面对角线 1C的距离 的距离. ，求体对角线BD 与面对角线B 的距离
用向量法求空间距离
用向量法求空间距离湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法. 一、 求两点之间的距离用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离.例1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是AD 1的中点，Q 是BD 上一点，DQ=41DB ，求P 、Q 两点间的距离.解 如图1，以1DD DC DA 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则0)4141(Q )21021(，，、，，P ， 所以)21－4141(－，，=.46=,即P 、Q 两点的距离为46. 二、 求点到直线之间的距离已知如图2，P 为直线a 外一点，Q 为a 上任意一点，PO ⊥a 于点O ，所以点P 到直线a 的距离为|PO|=d .则有><⋅=⋅cos ，所以cos >=<故><⋅=∠⋅==QP PQO PQ PO d sin sin=⋅==xa图2例2 在长方体OABC-O 1A 1B 1C 1中，OA=2，AB=3，AA 1=2.求点O 1到直线AC 的距离. 解 建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO 1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O 1(0，0，2).所以0)32－(AC 2)02－(AO 1，，，，，==. 故d =13286213168=-= 所以点O 1到直线AC 的距离为132862. 三、 求点到平面的距离如图4设A 是平面α外一点，AB 是平面α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量在方向上的射影长就是点A 到平面α的距离d，所以d ==><⋅=cos .例3 如图5，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点，N 为AC 与BD 的交点，求点B 到平面CMN 的距离. 解 如图5，以CE CB CD 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz.因为AB=2，AF=1，所以)12222(CM ，，=，)02222(CN ，，=)02(0CB ，，=设平面CMN 的法向量为)(x z y ，，=，则有图4yxx⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n CM 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++0222202222y x z y x 令x=1,得y=-1，z=0，所以)01(1，，-=.所以点B 到平面CMN的距离1==d .四、 求异面直线间的距离如图6，假设a 、b 是异面直线，平移直线a 至a ′且交b 于点A ，那么直线a ′和b 确定平面α，且直线a ∥α，设n ⊥a ,n ⊥b ，即n 为异面直线a 、b 的公垂线的方向向量.所以异面直线a 的b 的距离等于直线a 上任意一点至平面α的距离.若F ∈a ，E ∈b ，则异面直线a 、b之间的距离d =⋅=><⋅=cos ，即为异面直线a 、b 之间的距离.例4 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1C 1与B 1C 的距离. 解 如图7所示，以1DD DC DA 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则有1)01－(C B 0)11－(C A 111－，，，，，==.设B C A 111与的公垂线的方向向量为)(x z y ，，=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0B 0111C n C A n 即⎩⎨⎧=--=+-00z x y x 令x=1,得y=1，z=-1，所以)11(1-=，，又)010(11，，=B A ，x所以A 1C 1与B 1C的距离3331===d . 五、 求直线与它平行平面及求两个平行平面之间的距离求直线与它平行平面及两个平行平面之间的距离可以转化为求点到平面的距离，即运用d =求它们之间的距离.例5 如图8，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 、N 、E 、F 分别是A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1 C 1D 1的中点.求平行平面AMN 与平面EFDB 的距离. 解 以1CC 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ，则0)0(1)121(0)1021(，，，，，，，，=-=-=.设平面EFDB 的法向量为)(x n z y ，，=，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-021021z y z x 取1=z ,则2==y x ，所以)12(2，，=，所以平行平面AMN 与平面EFDB的距离32==d .x。
利用空间向量解决空间距离问题
2x, 3x,
D A
x
得A1E与BD1的距离
d D1A1 n n
14 14
Cy
B
B1到面A1BE的距离
2)A1E
=(-1,1 2
,0),A1B=(0,1,-1)设n
(
x,
y,
z
)为面A1BE的法向量，
则
n
A1E
0,
n A1B 0,
x 1 y 0, 2 y z 0,
则D1
(0,
Hale Waihona Puke 0,1),B(1,1,
0),
A1
(1,
0,1),
E(0,
1 2
,1)
z
A1E
1,
1 2
,
0
,
D1B 1,1, 1
D1
E
C1
n
A1E
0,
x 1 y 0, 2
A1
B1
n D1B 0, x y z 0,
即zy
n
P
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
例1、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
即zy
2x, 2x,
z
D1 A1
3.2.4 空间向量法求距离
EF
设平面
(2, 2, 0), EG (2, r4, 2), EFG 的一个法向量为 n ( x,
y,
z
)x
D
C
Q r uuur r n EF，n
r n
(
1
,
1
uuur EG
uuur22xx24y
0 y2
,1) ,BE (2, 0, 0)
0
F A
3 3 r uuur
l a
l B1
B n
A1
A
uuur r
uuuur AB n
A1B1
r n
b
uuur r
r
已知向量 AB a和轴 l，e是 l 上与 l 同方向的单
位向量.
作点uuAuur在
l
上的射影 uuur
A1，作点
Br
在l
上的
射影 B1，则 A1B1叫做向量 AB在轴上或在e方向上的
正射影，简称射影.
z S
B
Ay
xC
D
小结：
1、怎样利用向量求距离？ ① 点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定
向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对 值）。 ② 点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。
③ 直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。
④ 平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距 离。
上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的
绝对值.
一、求点到平面的距离
uur r PA n d r
n
P M
O
9利用向量解决距离问题
Z
AB = (0,4, −2).设MN, AB公垂线的方向向量为 1 1
A1 评注 : 用向量法求异面直线a与b之间距离的一般过程是:
1
B 1
C1
N B Y C
n • MN = 公垂线的方向向量;0 −3x + 2 y + z = 0 n = (x, y, z), 则有 ⇒ 4 作向量 AB (2)在直线a , b各取一点 A,B ,y − 2z = 0 ; n • AB = 0 1 令y = 0, 则z = 2, x = ,∴n = ( ,1,2).| n |= 3 3 3 又MA1 = (−3, −2,2)在n的射影的长度为: 4 3| (−3, −2,2) • ( ,1,2) | MA1 • n 6 61 3 |= = . d=| 61 | n| 61 6 61 即异面直线MN与AB的距离为: . 1 61
2. 直线到它平行平面的距离 定义： 定义：直线上任一点到与它平行的平面的 距离，叫做这条直线到平面的距离 直线到平面的距离。 距离，叫做这条直线到平面的距离。 由定义可知，求直线到它平行平面的距离 由定义可知， 的问题可由点到平面距离的知识来解决。 的问题可由点到平面距离的知识来解决。 点到平面距离的知识来解决
2.求异面直线的距离、夹角 .求异面直线的距离、
求两异面直线的距离，先公共法向量，再求两异面 求两异面直线的距离，先公共法向量， 距离 直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长。 直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长。 求两异面直线的夹角 用公式： 夹角， 求两异面直线的夹角，用公式：
F n E b a
D1 C1 A1
B1 C y
D A B
x
练习:如图, 练习 如图, 如图
利用空间向量解决空间距离问题
z
D1
E
C1
A1
B1
D
C
A
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (2) 求D1C到面A1BE的距离；
z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
S (1)证明：AC SB; ( 2)求二面角N CM B的大小； ( 3)求点B到平面CMN 的距离. O A x M z
N
C y B
1 2)A1 E =(-1, ,0),A1 B =(0,1,-1)设n ( x, y, z )为面A1BE的法向量， 2 则 1 n A E 0, x y 0, 1 z 2 n A1 B 0, y z 0, E
y 2 x, 即 z 2 x,
取x＝ 1，得平面A1BE的 一个法向量n (1, 2, 2)
D1
C1
A1
D
B1
C
B
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0 ,
得B1到面A1BE的距离为d A1B1 n n 2 3 A
y
x
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴， DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示 1 则D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 z 1 A1 E 1, , 0 , D1B 1,1, 1 2 E D1 C1 设n ( x, y, z )是与 A1E , D1B都垂直的向量， 1 A1 则 B1 n A E 0, x y 0, 1 2 n D1 B 0, x y z 0, D y 2 x, C 即 取x＝ 1，得其中一个n (1, 2,3) z 3x, B 选A1E与BD1的两点向量为D1 A1 1,0,0 , A
第7讲 利用空间向量求空间角、空间距离
[注意] 直线与平面所成角的范围为[0，π2]，而向量之间的夹角的范围为 [0，π]，所以公式中要加绝对值．
6
利用空间向量求空间角、空间距离
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3．二面角
(1)若 AB，CD 分别是二面角αl-β 的两个平面内与棱 l 垂直的异面直线，
则二面角(或其补角)的大小就是向量A→B与C→D的夹角，如图①.
逻辑推理
的距离问题和简单夹角问题.
2.平面与平面的夹 数学运算
2.了解向量方法在研究立体几何问题中 角(二面角)
直观想象
的作用
3.距离问题
2
利用空间向量求空间角、空间距离
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01 02
知识特训 能力特训
3
利用空间向量求空间角、空间距离
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01
知识特训
范围为(0，π)，所以公式中要加绝对值．
5
利用空间向量求空间角、空间距离
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2．直线与平面所成角 如图所示，设 l 为平面α的斜线，l∩α＝A，a 为 l 的方向向量，n 为平面α 的法向量，θ为 l 与α所成的角，则 sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝||aa|·|nn||.
(3)点到平面的距离
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如 B 到图平所面示，α 已的知距离AB为为|B→平O|面＝_α_|A的→_B_|n一_·_| 条_n_| 斜__线__段．，n 为平面 α 的法向量，则点
11
利用空间向量求空间角、空间距离
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[记结论·提速能] 【记结论】
9
利用空间向量求空间角、空间距离
用向量法求空间距离课件
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
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用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。
解决实际问题的空间向量应用
解决实际问题的空间向量应用空间向量是指在三维空间内用有序三元组表示的矢量，具有方向和大小。
在物理、工程、计算机图形学等领域，空间向量的应用十分广泛。
在解决实际问题时，空间向量的运用可以提供一种简洁、高效的分析和解决方法。
本文将探讨在实际问题中如何应用空间向量来解决问题。
一、三维空间中的几何问题空间向量在几何问题的解决中起到了至关重要的作用。
例如，在计算两点间的距离时，可以利用空间向量的模长计算公式：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别为两点的坐标。
通过这个公式，可以方便地计算两点之间的距离。
此外，在求两向量的夹角时，可以利用向量的数量积公式：cosθ = (a·b) / (|a||b|)其中，a和b分别为两个空间向量，(a·b)表示向量的数量积，|a|和|b|表示向量的模长。
通过这个公式，可以快速求解向量之间的夹角。
二、力学问题中的向量运用力学问题中经常涉及到力、速度与加速度的计算。
空间向量可以提供简洁且有效的计算方法。
例如，在计算合力时，可以将各个力看作空间向量，利用向量的代数运算求出它们的合力向量。
另外，在求解动力学问题时，将速度和加速度表示为空间向量可以简化运算。
例如，求解物体在给定力下的运动轨迹时，可以通过分解速度和加速度为水平方向和垂直方向的分量，然后利用空间向量的叠加原理计算出物体的运动轨迹。
三、电磁学问题中的向量应用电磁学问题中的向量应用也是十分常见的。
例如，在求解电场和磁场强度时，可以利用库仑定律和安培定律来描述电场和磁场的分布情况。
而库仑定律和安培定律都可以用空间向量表示，从而方便了对电磁问题的分析和研究。
此外，在电磁学问题中，还常常需要计算电流线圈和磁场线之间的夹角。
空间向量的运用可以提供一种简洁的计算方法。
例如，在计算电流线圈内某一点的磁场强度方向时，可以利用安培定律和向量叉积的概念，得出磁场线和电流线圈的夹角。
2021届高考数学专题突破利用空间向量求空间距离(解析版)
2021届高考数学立体几何突破性讲练09利用空间向量求空间距离一、考点传真：能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． 二、知识点梳理：空间距离的几个结论(1)点到直线的距离：设过点P 的直线l 的方向向量为单位向量n ，A 为直线l 外一点，点A 到直线l 的距离d ＝|P A →|2－|P A →·n |2. (2)点到平面的距离：设P 为平面α内的一点，n 为平面α的法向量，A 为平面α外一点，点A 到平面α的距离d ＝|P A →·n ||n |.(3)线面距离、面面距离都可以转化为点到面的距离． 三、例题：例 1.(2018天津)如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ； (2)求二面角E BC F --的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60，求线段DP 的长．【解析】依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(2,0,2)E ，(0,1,2)F ，(0,0,2)G ，3(0,,1)2M ，(1,0,2)N ．N ABC D EF G M(1)证明：依题意(0,2,0)DC =，(2,0,2)DE =．设0(,,)x y z =n 为平面CDE 的法向量，则0000DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即20220y x z =⎧⎨+=⎩，，不妨令1z =-，可得0(1,0,1)=-n ． 又3(1,,1)2MN =-，可得00MN ⋅=n ，又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．(2)依题意，可得(1,0,0)BC =-，(122)BE =-，，，(0,1,2)CF =-．设(,,)x y z =n 为平面BCE 的法向量，则00BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0220x x y z -=⎧⎨-+=⎩，，不妨令1z =，可得(0,1,1)=n ．设(,,)x y z =m 为平面BCF 的法向量，则00BC BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，m m 即020x y z -=⎧⎨-+=⎩，， 不妨令1z =，可得(0,2,1)=m ．因此有cos ,||||10⋅<>==m n m n m n，于是sin ,<>=m n 所以，二面角E BC F --． (3)设线段DP 的长为h ([0.2]h ∈)，则点P 的坐标为(0,0,)h ，可得(12)BP h =--，，． 易知，(0,2,0)DC =为平面ADGE 的一个法向量，故cos BP DC BP DC BP DCh ⋅<⋅>==3sin602==，解得[0,2]3h=．所以线段DP例2. （2014新课标2）如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D AE C--为60°，AP=1，AD求三棱锥E ACD-的体积．【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连结EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB．EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立空间直角坐标系Axyz-，则D1(0,),22E1(0,)2AE=．设(,0,0)(0)B m m>，则(C m(AC m=．设1(,,)x y z=n为平面AEC的法向量，则110,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,10,22mx y z ⎧+=+=⎪⎩，可取1=-n ． 又2(1,0,0)=n 为平面DAE 的法向量， 由题设121cos ,2=n n12=，解得32m =． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12． 三棱锥E ACD -的体积113132228V =⨯⨯=． 例3.(2013天津) 如图， 四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点．（Ⅰ）证明11B C CE ⊥；（Ⅱ）求二面角11B CE C --的正弦值；（Ⅲ）设点M 在线段1C E 上；且直线AM 与平面11ADD A， 求线段AM 的长．【解析】解法一 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，1A 1依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E(0，1，0)（Ⅰ）易得=（1，0，-1），=（-1，1，-1），于是，所以． （Ⅱ） =（1，-2，-1）．设平面1B CE 的法向量，则，即消去，得y+2z =0，不妨令z=1，可得一个法向量为=（-3，-2，1）．由（Ⅰ）知，，又，可得平面，故=（1，0，-1）为平面的一个法向量． 于是从而 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为． （Ⅲ）=（0，1，0），=(1，l ，1)，设，，有．可取=（0，0，2）为平面的一个法向量，设为直线AM 与平面所成的角， 则，解得，所以11B C CE 110BC CE ⋅=11B C CE ⊥1B C (),,x y z =m 100B C CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 200x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩x m 11B C CE ⊥111CC B C ⊥11B C ⊥1CEC 11B C 1CEC 111111cos ,||||14B C B C B C ⋅<>===m m m 1121sin ,7B C <>=m 7AE 1EC ()1,,EM EC λλλλ==01λ≤≤(),1,AM AE EM λλλ=+=+AB 11ADD A θ11ADD A sin cos ,3AM AB AM AB AM ABθ⋅=<>==⋅6=13λ=AM =例4.（2012福建）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中11AA AD ==，E 为CD 中点.（Ⅰ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ,使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求AP 的行；若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角11A B E A --的大小为30°，求AB 的长． 【解析】（Ⅰ）以A 为原点1,,AB AD AA 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB a =,则(0,0,0)A ，(0,1,0)D ，1(0,1,1)D ，,1,02a E ⎛⎫⎪⎝⎭， 1(,0,1)B a 故1(0,1,1)AD =，1,1,12a B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1(,0,1)AB a =，,1,02a AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵11011(1)102aAD B E ⋅=-⨯+⨯+-⨯=， ∴11B E AD ⊥ （Ⅱ）假设在棱AA 1上存在一点0(0,0,)P z ， 使得DP ∥平面1B AE ．此时0(0,1,)DP z =-．又设平面1B AE 的法向量n =(x ,y ,z )．∵n ⊥平面1B AE ，∴1AB ⊥n ,AE ⊥n ，得002ax z ax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取1x =，得平面1B AE 的一个法向量1,,2a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n ． 要使DP ∥平面1B AE ，只要DP ⊥n ，有002a az -=，解得012z =． 又DP ⊄平面1B AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面1B AE ，此时AP =12．（Ⅲ）连接A 1D ,B 1C ,由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1及AA 1=AD =1,得AD 1⊥A 1D ．∵B 1C ∥A 1D ,∴AD 1⊥B 1C ．又由（Ⅰ）知B 1E ⊥AD 1,且B 1C ∩B 1E =B 1,∴AD 1⊥平面DCB 1A 1．∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量,此时1AD =(0,1,1)． 设1AD 与n 所成的角为θ,则11cos a an AD n AD θ--⋅==⋅．∵二面角A -B 1E -A 1的大小为30°，∴cos cos30θ=3a=解得2a =，即AB 的长为2． 四、巩固练习：1.如图，已知圆柱OO 1底面半径为1，高为π，平面ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其运动路程最短时在侧面留下曲线Γ.将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ(0<θ<π)后得到平面A 1B 1C 1D 1，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P .(1)求曲线Γ的长度；(2)当θ＝π2时，求点C 1到平面APB 的距离．【解析】 (1)将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD .由于AB ＝πr ＝π，AD ＝π，∴BD ＝2π. 故曲线Γ的长度为2π.(2)当θ＝π2时，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (0,1,0)，P ⎝⎛⎭⎫－1，0，π2，C 1(－1，0，π)，则AB →＝(0,2,0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，π2，OC 1→＝(－1,0，π)， 设平面ABP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，－x ＋y ＋π2z ＝0， 取z ＝2得n ＝(π，0,2)，∴点C 1到平面P AB 的距离d ＝|OC 1→·n ||n |＝ππ2＋4.2.如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AE ⊥BD ，DE ∥12AC ，AD ＝BD ＝1.(1)求AB 的长；(2)已知2≤AC ≤4，求点E 到平面BCD 的距离的最大值．【解析】 (1)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC ⊥AB ，∴AC ⊥平面ABD . 又∵DE ∥AC ，∴DE ⊥平面ABD ，从而DE ⊥BD . 注意到BD ⊥AE ，且DE ∩AE ＝E ，∴BD ⊥平面ADE ， 于是，BD ⊥AD .而AD ＝BD ＝1，∴AB ＝ 2. (2)∵AD ＝BD ，取AB 的中点为O ，∴DO ⊥AB . 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC .过O 作直线OY ∥AC ，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．记AC ＝2a ，则1≤a ≤2， A ⎝⎛⎭⎫－22，0，0，B ⎝⎛⎭⎫22，0，0， C ⎝⎛⎭⎫－22，2a ，0，D ⎝⎛⎭⎫0，0，22，E ⎝⎛⎭⎫0，－a ，22，BC →＝(－2，2a,0)，BD →＝⎝⎛⎭⎫－22，0，22.设平面BCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧BC →·n ＝0，BD →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2ay ＝0，－22x ＋22z ＝0. 令x ＝2，得n ＝⎝⎛⎭⎫2，1a ，2. 又∵DE →＝(0，－a,0)，∴点E 到平面BCD 的距离d ＝|DE →·n ||n |＝14＋1a2.∵1≤a ≤2，∴当a ＝2时，d 取得最大值， d max ＝14＋14＝21717.3.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .(1)证明：DC 1⊥BC ；(2)设AA 1＝2，A 1B 1的中点为P ，求点P 到平面BDC 1的距离． 【解析】 (1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形． 由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .又因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1A 1，所以CA ，CB ，CC 1两两垂直．以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .由题意知B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)，B 1(0，1,2)，P ⎝⎛⎭⎫12，12，2，则BD →＝(1，－1，1)，DC 1→＝(－1，0,1)，PC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0. 设m ＝(x ，y ，z )是平面BDC 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，可取m ＝(1,2,1)． 设点P 到平面BDC 1的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PC 1→·m |m |＝64. 4.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===E ，F 分别为PD ，PB 的中点.（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角为4π，求PA 的长度. 【解析】（1）证明：取PA 的中点Q ，连接QF ，QD ，F 是PB 的中点，//QF AB ∴且12QF AB =， 底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===//CD AB ∴，12CD AB =， //QF CD ∴且QF CD =，∴四边形QFCD 是平行四边形，//FC QD ∴，又FC ⊄平面PAD ，QD ⊂平面PAD ，//FC ∴平面PAD .（2）如图，分别以AD ，AB ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设PA a =。
用空间向量研究距离、夹角问题
直角坐标系.
C
D
F
B
D1
C1
A1
E
B1
问：应用向量方法求距离，共同点是什么？
问：为此我们要做什么准备？
z
以D1为原点，D1 A1，D1 C1，
A
D1 D所在直线为x轴、y轴、
C
D
z轴，建立如图所示的空间
F
B
D1
直角坐标系.
C1
A1
E
x
B1
y
问: 相关点的坐标是什么？
A(1，0，1)，B(1，1，1)，
)
A
Q
= ∙
P
平面 α的法向量为n
A是平面α内的定点
点P 到平面 α的距离
n
A
∙
∙
= ∙
=
=
α
Q
小结：整理向量方法求距离的相关公式
距离问题
图示
两点间的距离
点到直线
的距离
两平行线之间
的距离
点到平面
的距离
向量法距离公式
Q
P
=
u
的距离可以转化为点到平面的距离.
P
β
P
α
n
α
n
A
Q
A
Q
= ∙
直线到平面的距离
∙
∙
=
=
两个平行平面间的距离
P
β
P
α
n
α
n
A
Q
A
Q
例题小结
2.用向量方法解决距离问题的“三步曲”：
利用空间向量求空间距离(第四课时) (2)
(1)求证:平面 平面 ;
(2)求点C到平面 的距离.
变式引申:已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,H是EF与AC的交点,CG⊥面ABCD,且CG=2.求点B到面EFG的距离.
例4已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.
∠BNE=120°,求折后所得线段AB的长度.
例2在直三棱柱 中,∠BAC=90°,A
B= =1,直线 与平面ABC所成的角为30°.试求点 到平面 的距离.
变式引申:四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=2,E是AC的中点,若异面直线AD与BE所成的角的大小为 ,求B点到平面ACD的距离.
第 □ 讲
利用空间向量求空间距离
例5如下图,在棱长为 的正方体
中,
(1)求证:平面 ∥平面 ;
(2)求平面 和平面 的距离.
[分级训练]:
A.基础训练
1.若平面 ∥平面 ,直线 ,且平面 与 之间的距离为 ,下面给出了四个命题:( )
① 内有且仅有一条直线与 的距离等于 ;
② 内所有直线与 的距离等于 ;
(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
变式引申:在正方体 中,E,F,G分别在棱AB, 上,且正方体的棱长为 ,AE=CF= .
(1)求证: 平面EFG;
(2)求 与平面EFG的距离.
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△14.(2ຫໍສະໝຸດ 04.江苏)如下图,在棱长为4的正方体
中,O是正方形 的中心,点P在棱 上,且 =4CP.
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空间距离问题的向量解法
一、求点到平面的距离
P
一般方法：
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
d
sin
AP
d| AP|sin
P
n
| AP n |
sin
d
AP n
d | AP n |
n
O
A
得 A 1E与 BD 1的 距 离d
D1A1 n n
14 14
Cy
B
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
二、直线到平面的距离
l
d | AP n |
n
P
n
d
O A
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
三、平面到平面的距离
d | AP n |
n
A
n
P
d
O
四、异面直线的距离
n
d | AP n | a
P
n
AP ?
b
n?
A
n 是与 a , b 都垂直的向量
四种距离的统一向量形式：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面
ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，
求点B到平面GEF的距离。
zG
x
D
F
A
E
C
B
y
练习7：
在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4的正三角
形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= 2 3 ，
M、N分别为AB、SB的中点，求：点B到平面
CMN的距离. (1)证 明 A：CSB;
Sz
(2)求 二 面N角CMB的 大 小 ；
(3)求 点B到 平 C面MN 的 距.离
N
C
O
y
B
A
M
x
2 ) A 1 E = ( - 1 , 1 2 , 0 ) , A 1 B = ( 0 , 1 , - 1 ) 设 n (x ,y ,z)为 面 A 1 B E 的 法 向 量 ，
则
n A1 E 0 ,
x
Cy
B
解 ： 1 ) 以 D 为 坐 标 原 点 ， D A 所 在 的 直 线 为 x 轴 ， D C 所 在 的 直 线 为 y 轴 ，
D D 1 所 在 的 直 线 为 z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D x y z ， 如 图 所 示
则 D 1(0 ,0 ,1 ),B (1 ,1 ,0 ),A 1 (1 ,0 ,1 ),E (0 ,1 2,1 )
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
平面到平面的距离： 异面直线的距离：
| AP n | n
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(1) 求B1到面A1BE的距离； z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(2) 求D1C到面A1BE的距离；
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
z
D1
A1
D
A
x
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(4) 求异面直线D1B与A1E的距离.
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平 面DBEF的距离。
z
D1 F
C1
A1E B1D A源自xC yB
练习2：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1， 求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。
练习4：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,
∠ACB=900,AA1= 2 ,
求B1到平面A1BC的距离。C1 z
A1
B1
C
A
B
x
y
练习5：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
AC=BC=AB=1, AA1= 2
z
求B1到平面A1BC的距离。 C1
A1
B1
C
xA M
B y
练习6：
z
设 n A1 E(x ,y ,1z ,)12是 ,与 0A , 1 E ,D D 11 B B 都 垂 1,1直 ,的 1向 量 ， D 1
则 n A1 E 0 ,
x 1 y 0 , 2
A1
n D 1 B 0 , x y z 0 ,
E
C1 B1
x 选 即A 1 E 与 zy B 3D 2xx1 的 ,, 取 两 x 点 ＝ 1 向 ， 量 得 为 其 D 中 1 A 一 1 个 1 n , 0 , ( 0 1 ,, 2 , A3 )D
z
D1
C1
A1 B1
D A
x
C y
B
练习3:
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1， 求直线DA1和AC间的距离。
z
D1
C1
A1 B1
D A
x
C y
B
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
x 1 y 0 , 2
z
n A1 B 0 , y z 0 ,
即
y z
2x, 2x,
取x＝1，得平面A1BE的
D1
一个法向量n(1,2,2) A 1
E
C1 B1
选 点 B 1 到 面 A 1 B E 的 斜 向 量 为 A 1 B 1 0 , 1 , 0 ,
D
得 B1到 面 A 1BE的 距 离 为 dA 1B n1n2 3 A