高考数学二轮复习中档题专练一
百度2021届高考二轮复习数学专题精品试卷 专题一 集合、常用逻辑用语 、不等式
2021届高考二轮复习数学专题精品试卷专题一集合、常用逻辑用语、不等式命题方向1．集合集合考查主要是与不等式结合的交并补运算，以及Venn图的理解运用．要求掌握集合的概念、集合的表示方法、元素与集合的关系、集合之间的关系、集合之间的交并补的运算，能用Venn图表示集合之间的基本关系．2．常用逻辑用语本部分内容的考点为充分条件与必要条件，全称量词和存在量词，充分必要条件主要以其他的知识作为载体进行考查，全称量词和存在量词主要考查命题的否定．3．不等式不等式的考查主要为不等式性质的考查，不等式解法的考查，以及基本不等式的使用，题型以选择填空题为主．另外不等式作为工具在大题解题过程中进行应用．一、集合1．集合间的关系与运算（1）；（2），．2．含有个元素的集合有个子集，有个真子集．3．当集合是不等式的解集时，通常借助数轴进行求解，若集合为抽象集合时，用Venn图求解．二、逻辑用语1．充分、必要条件（1），则是的充分条件；（2），则是的必要条件；（3），则和互为充要条件．2．全称命题、特称命题及其否定（1）全称命题：，其否定为特称命题：；（2）特称命题：，其否定为全称命题：．三、不等式1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一般先将二次项系数化为正数，再判断的符号，然后解对应的一元二次方程，最后写出不等式的解．2．一元不等式的恒成立问题对于恒成立的条件为：二次项系数，；对于恒成立的条件为：．3．分式不等式对于分式不等式：先移项通分标准化，则；．4．基本不等式（1），当且仅当时，等号成立．（2）基本不等式的变形．①，当且仅当时，等号成立；①，当且仅当时，等号成立．一、选择题．1．若集合，，则（）A．B．C．D．2．已知均为的子集，且，则（）A．B．C．D．3．已知全集，，，指出图中阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．4．已知集合，，则中的元素个数为（）A．2B．3C．4D．55．已知集合，，若，则（）A．B．C．0D．16．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．57．已知集合，，，则集合的真子集的个数是（）A．B．C．D．8．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知命题：，，则它的否定形式为（）A．，B．，C．，D．，10．已知且，．则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．设，，则下列不等式中，恒成立的是（）A．B．C．D．12．已知函数，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．13．若，则函数的最小值为（）A．3B．4C．5D．614．若正实数，满足，则的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题．15．已知，，，若不等式对已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_______．一、选择题．1．若集合，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2．设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（）A．2B．3C．4D．83．命题“若，则或”的否定是（）A．若，则或B．若，则且C．若，则或D．若，则且二、填空题．4．在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为__________．一、选择题．1．已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为（）A．0B．1C．2D．32．已知集合，，且，，，记，则（）A．B．C．D．3．已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．4．对于任意两个正整数，，定义某种运算“”如下：当，都为正偶数或正奇数时，；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（）A．10个B．15个C．16个D．18个5．（多选）给定数集合M，若对于任意，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的（）A．集合为闭集合B．集合为闭集合C．正整数集是闭集合D．若集合为闭集合，则为闭集合6．命题“，，使得”的否定形式是（）A．，，使得B．，，使得C．，，使得D．，，使得7．已知函数，则不等式成立的一个充分不必要条件为（）A．B．C．D．8．已知，关于的不等式的解集中有且只有个整数，则的值可以是（）A．3B．4C．5D．69．函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中均大于0，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．1610．（多选）已知，为正实数，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，为正实数，则C．若，则D．若，则二、填空题．11．已知集合，，且，则实数的取值范围是_________．12．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是__________．一、选择题．1．【答案】D【解析】因为或，所以，故选D．【点评】本题主要考查了几何的运算，掌握并集的定义是解题的关键，属于基础题型．2．【答案】B【解析】解法一：，，据此可得，故选B．解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合，矩形区域CDFG表示集合N，满足，结合图形可得：，故选B．【点评】本题考查了几何的抽象概念，需要借助Venn图来进行求解，属于基础题．3．【答案】C【解析】因为，，所以，，因为，所以，由图易知，图中阴影部分表示的集合是，故图中阴影部分表示的集合是，故选C．【点评】本题考查的知识点是Venn图表达几何的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键．4．【答案】B【解析】因为集合，，所以，故选B．【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．5．【答案】B【解析】因为，所以，．又或，且，得．因为，所以，即，故选B．【点评】本题考查了集合中元素的互异性以及集合的运算，属于基础题．6．【答案】C【解析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为，，，集合，，中元素个数分别为A．，B．，C．，则A．，B．，C．，，因为A．B．C，且，，，所以，即，故选C．【点评】本题考查集合多面手问题的应用，考查学生转化问题的能力和应用不等关系解题的思想，属于中档题．7．【答案】D【解析】由题意可知共有个元素集合，所以集合的真子集的个数，故选D．【点评】考查了集合的表示与集合关系，先确定集合中元素的个数是解本题的关键．8．【答案】A【解析】，，，可得“”是“”的充分条件；由，①当时，可得，即；①当时，可得，即；可得“”不是“”的必要条件；所以“”是“”充分不必要条件，故选A．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了不等式性质的理解和应用，解题的关键是正确理解充分条件和必要条件的判断方法．9．【答案】D【解析】因为命题的否定，需要修改量词并且否定结论，所以命题：，，则它的否定形式为：，，故选D．【点评】本题主要考查含有量词的命题否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，本题属于基础题．10．【答案】A【解析】若且，则，所以p是q成立的充分条件，当时，满足，但是不满足且，所以p不是q成立的必要条件，综上所述：p是q成立的充分不必要条件，故选A．【点评】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．11．【答案】B【解析】对于A选项，，所以，，所以，，A选项错误；对于B选项，，则，由不等式的基本性质可得，B选项正确；对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C选项错误；对于D选项，若，由A选项可知，，由不等式的基本性质可得，D 选项错误，故选B．【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．12．【答案】C【解析】令，则，，所以，所以，令，则，因为，所以，所以，所以在单调递增，所以由，得，所以，解得，故选C．【点评】此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得，再构造函数，利用函数的单调性解不等式．13．【答案】D【解析】①，①，①，当且仅当，即时取等号，①函数的最小值为6，故选D．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．14．【答案】C【解析】变形得，因为，是正实数，则，当且仅当时，取最小值，故选C．【点评】在基本不等式中，遇到已知条件为时，需要先变形为，然后利用乘“”法展开计算，再根据“一正二定三相等”的步骤计算最值．二、填空题．15．【答案】5【解析】，当且仅当，即时，取等号，因为不等式对恒成立，所以对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，令，．故答案为5．【点评】本题考查了利用基本不等式求解最值及不等式恒成立与最值求解的相互转化，体现了转化思想的应用．一、选择题．1．【答案】D【解析】设，当时，，满足题意；当时，是二次函数，依题可知，，因为，所以恒大于等于0，即，所以，解得．【点评】本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论．2．【答案】D【解析】，因为，所以，因此，对应实数的值为，，，其组成的集合的子集个数有，故选D．【点评】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题．3．【答案】D【解析】命题：“若，则或”为真命题，则其否定为：“若，则且”，故选D．【点评】本题考查命题的否定形式，注意命题的否定与否命题的区别，若原命题为“若，则”则其否命题为“若，则”，否定为“若，则”，注意一般命题与全称命题、特称命题否定的区别．二、填空题．4．【答案】【解析】依题意，依题意存在，使得，即，即，所以，所以．当且仅当，时等号成立．所以的最小值为，故答案为．【点评】求解有关表达式的最值问题，可以考虑采用的代换的方法，结合基本不等式求得最值，要注意等号成立的条件．一、选择题．1．【答案】C【解析】联立，解得或．即与相交于两点，，故中有两个元素，故选C．【点评】本题考查了集合的表示方法及集合的运算，属于基础题．2．【答案】D【解析】由题意设，，，（），则，而，①，故选D．【点评】本题考点为集合间的关系，属于中档题．3．【答案】C【解析】因为或，所以．因为，所以，故选C．【点评】本题结合函数的定义域，不等式考查集合运算，属于基础题．4．【答案】B【解析】根据定义知分两类进行考虑，一奇一偶，则，，所以可能的取值为共4个，同奇偶，则，由，所以可能的取值为，共11个，所以符合要求的共15个，故选B．【点评】本题主要考查了分类讨论思想，集合及集合与元素的关系，属于中档题．5．【答案】ACD【解析】根据对于任意，，有，且，对于A．当集合，，0，2，时，而，所以集合不为闭集合；对于B．当，时，设，，，，则，，所以集合为闭集合；对于C．设，是任意的两个正整数，当时，不是正整数，所以正整数集不为闭集合；对于D．设，，，是闭集合，且，，而，此时不为闭集合，所以，说法中不正确的是ACD，故选ACD．【点评】本题考查了新定义的集合与元素的判定问题，解题时应深刻理解新定义的概念，适当的应用反例说明命题是否成立，属于中档题．6．【答案】B【解析】命题“，，使得”，则命题的否定为：，，使得，故选B．【点评】本题主要考查了含有量词命题的否定，比较基础．7．【答案】B【解析】可得的定义域为，和都是增函数，是定义在的增函数，，是奇函数，则不等式化为，，解得，则不等式成立的充分不必要条件应是的真子集，只有B选项满足，故选B．【点评】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题的关键是判断出是增函数且是奇函数，从而将不等式化为求解．8．【答案】D【解析】令二次函数，则二次函数开口向上，且对称轴为，根据二次函数对称性可知：若不等式的解集中有且只有个整数，则需要满足，即，解得，故选D．【点评】本题考查根据不等式的解集求参数，主要考查二次函数的对称性的灵活应用，考查推理能力与计算能力，是简单题．9．【答案】B【解析】因为函数（且）的图象恒过定点，又因为点在直线上，所以，即，所以，当且仅当，即取等号，所以的最小值为4，故选B．【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换的思想，是高考考查的重点．10．【答案】ACD【解析】对于A，因为，为正实数，且，所以，所以，故A正确；对于B，因为，，均为正实数，且，所以，所以，故B错误；对于C，因为，为正实数，，所，所以，C正确；对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确，故选ACD．【点评】比较大小的方法：（1）作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．（2）作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．（3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．（4）赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．二、填空题．11．【答案】【解析】由题意可得：，据此结合题意可得：，即，即实数的取值范围是．【点评】本题主要考查集合的表示方法，由集合间的关系求解参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．12．【答案】【解析】由图知实数的取值范围是，其中为直线与相切时的值，即．【点评】本题以分段函数为载体，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．。
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −22.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为()A. 2B. −5C. −1D. −23.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=()A. 1B. 12C. −12D. −14.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A. 4x-y=0B. 4x-y-4=0C. 2x-y-2=0D. 4x-y=0或4x-y-4=05.（5分）若函数f(x)=1x−3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= ()A. −1B. 1C. −712D. −536.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=()A. 13B. 12C. 23D. 347.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( )A. -0.3B. 0.6C. -0.6D. 0.38.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为A. B. C. D.9.（5分）曲线y=12x2−2x在点(1,−32)处的切线的倾斜角为()A. −135°B. 45°C. −45°D. 135°10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A. 2B. 12C. −12D. −211.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为()A. y=xB. y=−xC. y=2xD. y=−2x12.（5分）物体运动方程为s=14t4−3，则t=5时的瞬时速率为()A. 5m/sB. 25m/sC. 125m/sD. 625m/s二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．14.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>0，且f(f(x)−e x)=e+1，若f(x)⩾ax−a+1恒成立，则实数的取值范围是____________.15.（5分）如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为____．16.（5分）已知函数f(x)={1x,x∈(0,2]f(x−2),x∈(2,+∞)，则f(x)在x=3处的切线方程为______．17.（5分）若函数f(x)=−x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于−1，则Δx的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=x2−2x−alnx+ax，a∈R.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设f(x)的极小值点为x0，且f(x0)<a−a24，求a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=ln x−ax，其中a为非零常数．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为−1，求f(x)的极值．20.（12分）已知函数f(x)=−x2+x图像上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx)).(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；(2)用导数的定义求函数f(x)=−x2+x在x=2处的导数f′(2)，并求在点A处的切线方程．21.（12分）已知函数y=23x3−2x2+3，(1)求在点(1,53)处的切线方程，(2)求函数在[−1,3]的最值．22.（12分）已知函数f(x)=e x ln x−ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−e x+1平行，求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.23.（12分）已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(ax)+52，a>0．(Ⅰ)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3)，求a的值并讨论ℎ(x)=xf(x)+m(x2+2x−1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调增区间；(Ⅱ)定义：若直线l：y=kx+b与曲线C1：f1(x,y)=0、C2：f2(x,y)=0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，试求实数a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)=√x−ln x，若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则()A.√x1√x2=12B. x1x2<128C. x1+x2<32D. x12+x22>51225.（5分）函数f(x)的导函数为f′(x)，若已知f′(x)的图像如图，则下列说法不正确的是()A. f(x)存在极大值点B. f(x)在(0,+∞)单调递增C. f(x)一定有最小值D. 不等式f(x)<0一定有解26.（5分）关于函数f(x)=a ln x+2x，下列判断正确的是()A. 函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程为(a−2)x−y−a+4=0B. x=2a是函数f(x)的一个极值点C. 当a=1时，f(x)⩾ln2+1D. 当a=−1时，不等式f(2x−1)−f(x)>0的解集为(12,1)27.（5分）已知函数f(x)=ax3+x2+axe x，则()A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0，则函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(2,+∞)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1⩾f(x)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(−∞,e-12]28.（5分）函数f(x)={e x−1,x⩽1,ln(x−1),x>1,若函数g(x)=f(x)−x+a只有一个零点，则a的值可以为()A. 2B. −2C. 0D. 1答案和解析1.【答案】C;【解析】解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C.先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解答该题的关键是正确理解导数的几何意义．2.【答案】B;【解析】解：设切点坐标为P(x0,y0)，由曲线y=f(x)=x3−5x，得f′(x)=3x2−5，所以过原点的切线斜率为k=f′(x0)=3x02−5，所以切线方程为y−y0=(3x02−5)(x−x0)；又切线过原点O(0,0)，所以−x03+5x0=−3x03+5x0，解得x0=0，所以y0=0，则P(0,0)；所以与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为k=f′(0)=−5．故选：B．设切点为(x0,y0)，求出切线l的斜率为f′(x0)，写出切线l的方程，根据且线1过原点求出切点坐标和斜率．该题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：y=ax2的导数为y′=2ax，可得曲线在点P(1,a)处的切线斜率为k=2a，由切线平行于直线y=2x+1，可得k=2，即2a=2，解得a=1，故选：A．求得y=ax2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，解方程可得a的值．该题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D;【解析】曲线y=x 3+x-2求导可得y′=3x 2+1 设切点为(a ，b)则3a 2+1=4，解得a=1或a=-1 切点为(1，0)或(-1，-4)与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的 直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0 故选D 。
高考数学二轮总复习专题训练一 综合测试题 理
专题一综合测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合M ＝{1,3}，N ＝{2,3,4}，则(∁U M )∩(∁U N )＝( ) A ．{3} B ．{4,6} C ．{5,6}D ．{3,6}解析：∁U M ＝{2,4,5,6}，∁U N ＝{1,5,6}，∴(∁U M )∩(∁U N )＝{5,6}，故选C. 答案：C2．已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩∁I N ＝( )A ．[32，2]B ．[322)C ．(32，2]D ．(322)解析：由f (x )≤0解得1≤x ≤2，故M ＝[1,2]；f ′(x )<0，即2x －3<0，即x <32，故N＝(－∞，32)，∁I N ＝[32M ∩∁I N ＝[32，2]．答案：A3．设某种蜡烛所剩长度P 与点燃时间t 的函数关系式是P ＝kt ＋b .若点燃6分钟后，蜡烛的长为17.4 cm ；点燃21分钟后，蜡烛的长为8.4 cm ，则这支蜡烛燃尽的时间为( )A ．21分钟B ．25分钟C ．30分钟D ．35分钟解析：由⎩⎪⎨⎪⎧17.4＝6k ＋b 8.4＝21k ＋b ，解得k ＝－0.6，b ＝21，由0＝－0.6t ＋21，解得t ＝35.答案：D4．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“綈p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．a >1解析：命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，∴a ≤x 2在[1,2]上恒成立，∴a ≤1，∴綈p 为a >1.命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，∴方程有解，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，a 2＋a －2≥0，∴a ≥1或a ≤－2.若命题“綈p 且q ”是真命题，则a >1，故选D. 答案：D5．(2011·山东肥城模拟)幂函数f (x )＝x n (n ＝1,2,3，12，－1)具有如下性质：f 2(1)＋f 2(－1)＝2[f (1)＋f (－1)－1]，则函数f (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数解析：由f 2(1)＋f 2(－1)＝2[f (1)＋f (－1)－1]⇒n ＝2，f (x )＝x 2为偶函数，所以选B. 答案：B6．(2011·潍坊模拟)已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，3 B.⎣⎡⎦⎤326 C ．[3,12]D.⎣⎡⎦⎤－32，12 解析：f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′－2＝12－8b ＋c ≥0f ′－1＝3－4b ＋c ≤0f ′1＝3＋4b ＋c ≤0f ′2＝12＋8b ＋c ≥0f (－1)＝2b －c ，当直线过A 时f (－1)取最小值3，当直线过B 时取最大值12，故选C.答案：C7．设集合I 是全集，A ⊆I ，B ⊆I ，则“A ∪B ＝I ”是“B ＝∁I A ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由B ＝∁I A ⇒A ∪B ＝I ，而A ∪B ＝I ⇒/ B ＝∁I A ，故“A ∪B ＝I ”是“B ＝∁I A ”的必要不充分条件．答案：B8．若曲线xy ＝a (a ≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )A ．2a 2B ．a 2C ．2|a |D ．|a |解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，曲线方程即y ＝a x ，y ′＝－a x 2，故切线斜率为－a x 20，切线方程为y －a x 0＝－a x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝2x 0，即切线与x 轴的交点A 的坐标为(2x 0,0)；令x ＝0，得y ＝2a x 0，即切线与y 轴的交点B 的坐标为(0，2ax 0)．故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|2x 0||2ax 0|＝2|a |.答案：C9．(2011·天津模拟)定义在R 上的函数f (x )满足(x －1)f ′(x )≤0，且y ＝f (x ＋1)为偶函数，当|x 1－1|<|x 2－1|时，有( )A ．f (2－x 1)>f (2－x 2)B ．f (2－x 1)＝f (2－x 2)C ．f (2－x 1)<f (2－x 2)D ．f (2－x 1)≤f (2－x 2) 解析：由(x －1)f ′(x )≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，f ′x ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，f ′x ≤0，得函数f (x )在区间(－∞，1]上为增函数，在区间[1，＋∞)上为减函数．又由y ＝f (x ＋1)为偶函数，得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由|x 1－1|<|x 2－1|⇒(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1<x 2，x 1＋x 2>2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1>x 2，x 1＋x 2<2.若⎩⎪⎨⎪⎧x 1<x 2，x 1＋x 2>2，则x 2>1.此时，当x 1>1，则f (x 1)>f (x 2)，即f (2－x 1)>f (2－x 2)；当x 1<1⇒2－x 1>1，又x 2>2－x 1⇒f (2－x 1)>f (x 2)，即f (2－x 1)>f (2－x 2)．同理，当⎩⎪⎨⎪⎧x 1>x 2x 1＋x 2<2时，也有上述结论．答案：A10．如图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P沿着A －B －C －M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积函数的图象的形状大致是()解析：y ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧12x ，0≤x ≤1－14x ＋34，1<x ≤2－12x ＋54，2<x ≤2.5)，选A.答案：A11．已知函数f (x )＝ln a ＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．0<a <1eB ．0<a ≤eC ．a ≤eD ．a ≥e解析：f ′(x )＝1x·x －ln a ＋ln x x2＝1－ln a ＋ln x x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e，选D.答案：D12．有下列命题： ①函数y ＝cos(x －π4)cos(x ＋π4)的图象中，相邻两个对称中心的距离为π； ②函数y ＝x ＋3x －1的图象关于点(－1,1)对称； ③关于x 的方程ax 2－2ax －1＝0有且仅有一个实数根，则实数a ＝－1；④已知命题p ：对任意的x ∈R ，都有sin x ≤1，则綈p ：存在x ∈R ，使得sin x >1.其中所有真命题的序号是( )A ．①②B ．③④C ．②③④D ．①②④解析：①函数y ＝cos(x －π4)cos(x ＋π4)＝12cos2x ，相邻两个对称中心的距离为d ＝T2＝π2，故①不正确；②函数y ＝x ＋3x －1的图象对称中心应为(1,1)，故②不正确；③正确；④正确．答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2，x ≤－12x ＋2，－1<x <1，2x－4，x ≥1)则f [f (－2010)]＝________.解析：f [f (－2010)]＝f [f (－2008)]＝f [f (－2006)]＝f [f (－2004)]＝…＝f [f (0)]＝f (2)＝22－4＝0.答案：014．已知函数f (x )＝ln1＋x1－x＋sin x ，则关于a 的不等式 f (a －2)＋f (a 2－4)<0的解集是________．解析：已知f (x )＝ln 1＋x1－x＋sin x 是奇函数， 又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＋sin x ＝ln[2－1－x 1－x]＋sin x ＝ln(－2x －1－1)＋sin x ，f (x )在(－1,1)上单调递增，故f (x )是(－1,1)上的增函数．由已知得f (a －2)<－f (a 2－4)，即f (a －2)<f (4－a 2)．故⎩⎪⎨⎪⎧a －2<4－a 2－1<a －2<1－1<4－a 2<1⇒⎩⎨⎧－3<a <21<a <3－5<a <－3或3<a <5⇒3<a <2.即不等式的解集是(3，2)．答案：(3，2)15．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝mx ＋1x 对一切x >0恒成立，m ≥－(1x )2＋2x ，令g (x )＝－(1x )2＋2x，则当1x＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.答案：[1，＋∞)16．(2011·扬州模拟)若函数f (x )＝133－a 2x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1恒成立，则a 的取值范围是________．解析：问题等价于在[0,1]内f (x )max －f (x )min ≤1恒成立．f ′(x )＝x 2－a 2，函数f (x )＝13x 3－a 2x 的极小值点是x ＝|a |，若|a |>1，则函数f (x )在[0,1]上单调递减，故只要f (0)－f (1)≤1即可，即a 2≤43，即1<|a |≤233；若|a |≤1，此时f (x )min ＝f (|a |)＝13|a |3－a 2|a |＝－23a 2|a |，由于f (0)＝0，f (1)＝13－a 2，故当|a |≤33f (x )max ＝f (1)，此时只要13－a 2＋23a 2|a |≤1即可，即a 2(23|a |－1)≤23，由于|a |≤33，故23a |－1≤23×33－1<0，故此时成立；当33a |≤1时，此时f (x )max ＝f (0)，故只要23a 2|a |≤1即可，此式显然成立．故a 的取值范围是[－233，233]． 答案：[－233，233] 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)(2011·广东惠州模拟)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：y ＝1128000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5小时，要耗油⎝⎛⎭⎫1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升． (2)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128000x 3－380x ＋8·100x ＝11280x 2＋800x －154(0<x ≤120)，h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(80,120]时，h ′(x )>0，h (x )是增函数． ∴当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25. ∵h (x )在(0,120]上只有一个极值，∴它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为11.25升． 18．(本小题满分12分)(2011·安徽)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax1＋ax 22(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.19．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且当－1≤x <0时，f (x )＝2x 3＋5ax 2＋4a 2x ＋b . (1)求函数f (x )的解析式；(2)当1<a ≤3时，求函数f (x )在(0,1]上的最大值g (a )．解：(1)当0<x ≤1时，－1≤－x <0，则f (x )＝－f (－x )＝2x 3－5ax 2＋4a 2x －b . 当x ＝0时，f (0)＝－f (－0)，∴f (0)＝0. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋5ax 2＋4a 2x ＋b ，－1≤x <00 x ＝02x 3－5ax 2＋4a 2x －b ， 0<x ≤1.(2)当0<x ≤1时，f ′(x )＝6x 2－10ax ＋4a 2＝2(3x －2a )(x －a )＝6(x －2a3)(x －a )． ①当23<2a 3<1，即1<a <32时，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，2a 3时，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎦⎤2a3，1时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎦⎤0，2a 3上单调递增，在⎝⎛⎦⎤2a3，1上单调递减， ∴g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫2a 3＝28273－b .②当1≤2a 3≤2，即32≤a ≤3时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在(0,1]上单调递增． ∴g (a )＝f (1)＝4a 2－5a ＋2－b ， ∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2827a 3－b ， 1<a <324a 2－5a ＋2－b ，32≤a ≤3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋(2－a )ln x (a ∈R ，a ≠0)． (1)当a ＝8时，求函数f (x )的单调区间及极值； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)依题意得，当a ＝8时，f (x )＝x 2－4x －6ln x ，f ′(x )＝2x －4－6x＝2x ＋1x －3x，由f ′(x )>0得(x ＋1)(x －3)>0，解得x >3或x <－1.注意到x >0，所以函数f (x )的单调递增区间是(3，＋∞)．由f ′(x )<0得(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，注意到x >0，所以函数f (x )的单调递减区间是(0,3)．综上所述，函数f (x )在x ＝3处取得极小值，这个极小值为f (3)＝－3－6ln3. (2)f (x )＝x 2－4x ＋(2－a )ln x ，所以f ′(x )＝2x －4＋2－a x ＝2x 2－4x ＋2－ax.设g (x )＝2x 2－4x ＋2－a .①当a ≤0时，有Δ＝16－4×2×(2－a )＝8a ≤0，此时g (x )≥0，所以f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，Δ＝16－4×2×(2－a )＝8a >0， 令f ′(x )>0，即2x 2－4x ＋2－a >0，解得x >1＋2a 2或x <1－2a2， 令f ′(x )<0，即2x 2－4x ＋2－a <0，解得1－2a 2<x <1＋2a 2. 当0<a <2时，1－2a 2>0，此时函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a 2，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2a 2，1＋2a 2； 当a ≥2时，1－2a 2≤0，函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a2，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋2a 2.综上可知，当a ≤0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <2时，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a 2，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2a 2，1＋2a 2上单调递减；当a ≥2时，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a 2，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋2a 2上单调递减． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2a x(a ∈R)． (1)若f (x )在x ＝1处的切线垂直于直线x －14y ＋13＝0，求该点的切线方程，并求此时函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤a 2－2a ＋4对任意的x ∈[1,2]恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2x －2ax 2，根据题意f ′(1)＝2－2a ＝－14，解得a ＝8，此时切点坐标是(1,17)，故所求的切线方程是y －17＝－14(x －1)，即14x ＋y －31＝0.当a ＝8时，f ′(x )＝2x －16x 2＝2x 3－8x 2， 令f ′(x )>0，解得x >2，令f ′(x )<0，解得x <2且x ≠0，故函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，0)和(0,2)．(2)f ′(x )＝2x －2ax 2＝2x 3－a x 2.①若a <1，则f ′(x )>0在区间[1,2]上恒成立，f (x )在区间[1,2]上单调递增，函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为f (2)＝4＋a ；②若1≤a ≤8，则在区间(1，3a )上f ′(x )<0，函数单调递减，在区间(3a ，2)上f ′(x )>0，函数单调递增，故函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为f (1)，f (2)中的较大者，f (1)－f (2)＝1＋2a －4－a ＝a －3，故当1≤a ≤3时，函数的最大值为f (2)＝4＋a ，当3<a ≤8时，函数的最大值为f (1)＝1＋2a ；③当a >8时，f ′(x )<0在区间[1,2]上恒成立，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，函数的最大值为f (1)＝1＋2a .综上可知，在区间[1,2]上，当a ≤3时，函数f (x )max ＝4＋a ，当a >3时，函数f (x )max ＝1＋2a .不等式f (x )≤a 2－2a ＋4对任意的x ∈[1,2]恒成立等价于在区间[1,2]上，f (x )max ≤a 2－2a ＋4，故当a ≤3时，4＋a ≤a 2－2a ＋4，即a 2－3a ≥0，解得a ≤0或a ＝3；当a >3时，1＋2a ≤a 2－2a ＋4，即a 2－4a ＋3≥0，解得a >3.综合知当a ≤0或a ≥3时，不等式f (x )≤a 2－2a ＋4对任意的x ∈[1,2]恒成立．22．(本小题满分14分)(2011·陕西)设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系； (3)是否存在x 0>0，使得|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x， ∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调减区间，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ， 设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x则h ′(x )＝－x －12x 2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭1x ， 当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ， 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g⎝⎛⎭⎫1x . (3)满足条件的x 0不存在．证明如下：证法一 假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立，即对任意x >0，有ln x <g (x 0)<ln x ＋2x ，(*)但对上述x 0，取x 1＝e g (x 0)时，有ln x 1＝g (x 0)，这与(*)左边不等式矛盾， 因此，不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立．证法二 假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意的x >0成立．由(1)知，g (x )的最小值为g (x )＝1， 又g (x )＝ln x ＋1x >ln x ，而x >1时，ln x 的值域为(0，＋∞)，∴x ≥1时，g (x )的值域为[1，＋∞)， 从而可得一个x 1>1，使g (x 1)≥g (x 0)＋1， 即g (x 1)－g (x 0)≥1，故|g (x 1)－g (x 0)|≥1>1x 1，与假设矛盾．∴不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立．。
高考总复习二轮文科数学精品课件 专题1 三角函数与解三角形 考点突破练1 三角函数的图象与性质
7.(2023 陕西榆林二模)已知函数
π
π
2 7π
f(x)=2sin(2x+6 )在[-4 , 6 ]和[ 5 , 12 ]上都是单调
的,则 a 的取值范围是( D )
π
f(x)=2sin(ωx+6 )(ω>0),若方程|f(x)|=1
在区间(0,2π)内恰有 5 个实
根,则 ω 的取值范围是( D )
7 5
A.( , ]
6 3
解析 由|f(x)|=
5 13
B.( , ]
3 6
π
|2sin(ωx+ )|=1
6
4
C.(1, ]
3
可得
π
1
sin(ωx+ )=± ,若
6
5
π·
=1,∴当
2
5
f(2)>f(1)=2,当
5
2
x=2时,f(x)< +sin
5
x=2时,得
πx 不成立,即
5
5 2
4
4
g(2)=f(2)- 5 >f(1)-5=2-5
2
=
6
>sin
5
5
5π
g(2)<sin 2 不成立,由此可在坐标系
中画出 g(x)与 y=sin πx 大致图象如图所示:
由图象可知,当 x∈(-∞,-1)∪(0,1)时,g(x)<sin πx,即
f(x)的单调递增区间为[kπ-
5π
π
2021新高考数学二轮总复习专题突破练1 选择题、填空题的解法含解析
专题突破练1选择题、填空题的解法一、单项选择题1.(2020河南开封三模,理1)已知集合A={x|x2-4x+3>0},B={x|2x-3>0},则集合(∁R A)∩B=()A. B.C. D.2.(2020山东历城二中模拟四,2)已知复数z满足|z+1-i|=|z|,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.y=x+1B.y=xC.y=x+2D.y=-x3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则等于()A. B. C. D.4.(2020北京东城一模,7)在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动,每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为,则运动到3分钟时,动点M所处位置的坐标是()A. B.C. D.5.已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2 020+(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是()A.a>c>d>bB.a>d>c>bC.c>d>a>bD.c>a>b>d6.(2020浙江,10)设集合S,T,S⊆N*,T⊆N*,S,T中至少有2个元素,且S,T满足:①对于任意的x,y∈S,若x≠y,则xy∈T;②对于任意的x,y∈T,若x<y,则∈S.下列命题正确的是()A.若S有4个元素,则S∪T有7个元素B.若S有4个元素,则S∪T有6个元素C.若S有3个元素,则S∪T有5个元素D.若S有3个元素,则S∪T有4个元素7.(2020天津河东区检测,9)已知函数f(x)=sin4x+x∈,函数g(x)=f(x)+a有三个零点x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围是()A. B.C. D.二、多项选择题8.(2020山东济南三模,9)已知复数z=1+cos 2θ+isin 2θ-<θ<(其中i为虚数单位),下列说法正确的是()A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限B.z可能为实数C.|z|=2cos θD.的实部为9.一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PB,PC的中点,在此几何体中,给出的下面结论中正确的有()A.直线AE与直线BF异面B.直线AE与直线DF异面C.直线EF∥平面PADD.直线EF∥平面ABCD10.对于定义域为D的函数f(x),若存在区间[m,n]⊆D,同时满足下列条件:①f(x)在[m,n]上是单调的;②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]为该函数的“和谐区间”,下列函数存在“和谐区间”的是()A.f(x)=2xB.f(x)=3-C.f(x)=x2-2xD.f(x)=ln x+211.(2020海南天一大联考三模,12)已知函数f(x)=x3+ax+b,其中a,b∈R,则下列选项中的条件使得f(x)仅有一个零点的有()A.a<b,f(x)为奇函数B.a=ln(b2+1)C.a=-3,b2-4≥0D.a<0,b2+>0三、填空题12.(2020山东烟台模拟,13)已知向量a=(2,m),b=(1,-2),且a⊥b,则实数m的值是.13.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数记为f'(x),若对于∀x∈R,有f(x)>f'(x),且y=f(x)-1是奇函数,则不等式f(x)<e x的解集为.14.(2020山东聊城二模,14)已知f(x)=若f(a)=f(b),则的最小值为.15.(2020广东广州一模,16)已知△ABC的三个内角为A,B,C,且sin A,sin B,sin C成等差数列,则sin2B+2cos B的最小值为,最大值为.专题突破练1选择题、填空题的解法1.D解析因为A={x|x2-4x+3>0}={x|x>3或x<1},B={x|2x-3>0}=,则集合(∁R A)∩B={x|1≤x≤3}故选D.2.A解析(方法1:直接法)设z=x+y i,x∈R,y∈R,由|z+1-i|=|z|,得(x+1)2+(y-1)2=x2+y2,化简整理得y=x+1.(方法2:数形结合法)|z+1-i|=|z|的几何意义为点P(x,y)到点O(0,0)和A(-1,1)的距离相等,所以点P的轨迹为两点(-1,1)和(0,0)的垂直平分线,其对应方程为y-=x+,即y=x+1.3.B解析(方法一)由题意知,可取符合题意的特殊值a=3,b=4,c=5,则cos A=,cos C=0,故选B.(方法二)由题意可取特殊角A=B=C=60°,cos A=cos C=故选B.4.C解析由题意得,动点M每12分钟转动一周,则运动到3分钟时,动点M转过的角为2π=点M的初始位置坐标为,运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M'故选C.5.A解析由题意设g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)=2020+g(x),所以g(x)=0的两个根是a,b.由题意知f(x)=0的两个根c,d,也就是g(x)=-2020的两个根,画出g(x)(开口向上)以及直线y=-2020的大致图象,则g(x)的图象与y=-2020的交点横坐标为c,d,g(x)图象与x轴交点横坐标为a,b.又a>b,c>d,则由图象得,a>c>d>b.故选A.6.A解析当集合S中有3个元素时,若S={1,2,4},则T={2,4,8},S∪T中有4个元素;若S={2,4,8},则T={8,16,32},S∪T中有5个元素,故排除C,D;当集合S中有4个元素时,若S={2,4,8,16},则T={8,16,32,64,128},S∪T={2,4,8,16,32,64,128},包含7个元素,排除选项B.下面来说明选项A的正确性:设集合S={a1,a2,a3,a4},且a1<a2<a3<a4,a1,a2,a3,a4∈N*,则a1a2<a1a4,且a1a2,a2a4∈T,则S,同理S,S,S,S,S,且若a1=1,则a2≥2,=a2,则<a3,故=a2,即a3=,=a2,则a4=a3a2=故S={1,a2,},此时{a2,}⊆T,可得S,这与S矛盾,故舍去.若a1≥2,则<a3,故=a2,=a1,即a3=,a2=又a4>>1,故=a1,所以a4=,故S={a1,},此时{}⊆T.若b∈T,不妨设b>,则S,故,i=1,2,3,4,故b=,i=1,2,3,4,即b∈{},其他情况同理可证.故{}=T,此时S∪T={a1,},即S∪T中有7个元素.故A正确.7.D解析根据题意画出函数f(x)的图象,如图所示,因为函数g(x)=f(x)+a有三个零点,即函数y=f(x)与函数y=-a有三个交点,当直线l 位于直线l1与直线l2之间时,符合题意,由图象可知,x1+x2=2x3<,所以x1+x2+x3<故选D.8.BCD解析z=1+cos2θ+isin2θ=2cosθ(cosθ+isinθ),∵-<θ<,∴cosθ>0,sinθ∈(-1,1),则复数z在复平面上对应的点不可能落在第二象限,故A错误;当θ=0时,z=2,则z可能为实数,故B正确;|z|=====2cosθ,故C正确;tanθ,所以的实部为,故D正确.故选BCD.9.ACD解析由题可知,该几何体为正四棱锥,如图所示.对于A,可假设AE与BF共面,由图可知,点F不在平面ABE中,与假设矛盾,故A正确;对于B,因E,F为BP,CP中点,故EF ∥BC,又四边形ABCD为正方形,所以AD∥BC,故EF∥AD,所以A,D,E,F四点共面,故B 错误;对于C,由B可知,EF∥AD,又AD⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,故直线EF∥平面PAD,故C正确;对于D,因为EF∥BC,又BC⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,故直线EF∥平面ABCD,D正确.故选ACD.10.BD解析对于A,可知函数单调递增,则若定义域为[m,n]时,值域为[2m,2n],故f(x)=2x 不存在“和谐区间”;对于B,f(x)=3-,可假设在x∈(0,+∞)存在“和谐区间”,函数为增函数,若定义域为[m,n]时,值域为[m,n],则解得(符合)(舍去)故函数存在“和谐区间”;对于C,f(x)=x2-2x,对称轴为x=1,当x∈(-∞,1)时,函数f(x)单调递减,若定义域为[m,n]时,值域为[m,n],则满足解得m=n=0,故与题设矛盾;同理当x∈(1,+∞)时,应满足解得m=n=3,所以f(x)=x2-2x 不存在“和谐区间”;对于D,f(x)=ln x+2在(0,+∞)内单调递增,则应满足可将解析式看作h(x)=ln x,g(x)=x-2,由图可知,两函数图象有两个交点,则存在“和谐区间”.故选BD.11.BD解析由题知f'(x)=3x2+a.对于A,由f(x)是奇函数,知b=0,因为a<0,所以f(x)存在两个极值点,由f(0)=0,易知f(x)有三个零点,故A错误;对于B,因为b2+1≥1,所以a≥0,f'(x)≥0,所以f(x)单调递增,则f(x)仅有一个零点,B 正确;对于C,若取b=2,f'(x)=3x2-3,则f(x)的极大值为f(-1)=4,极小值为f(1)=0,此时f(x)有两个零点,C错误;对于D,f(x)的极大值为f=b-,极小值为f=b+因为a<0,所以b2+>b2+>0,所以b2>-,则b>-或b<,从而f<0或f>0,可知f(x)仅有一个零点,D正确.12.1解析∵a⊥b,∴a·b=2-2m=0,解得m=1.13.(0,+∞)解析由题意令g(x)=,则g'(x)=,∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,故函数g(x)=在R上单调递减.∵y=f(x)-1是奇函数,∴f(0)-1=0,即f(0)=1,g(0)=1,则不等式f(x)<e x等价为<1=g(0),即g(x)<g(0),解得x>0.14解析因f(x)=所以函数在区间(0,1],(1,+∞)内是单调函数.令0<a≤1,b>1,又f(a)=f(b),得1-ln a=-1+ln b,所以ln ab=2,即ab=e2.设y=,令y'==0,则b=e,即函数在(1,e]内单调递减,在(e,+∞)内单调递增,所以当b=e时,有最小值,最小值为15+1解析由sin A,sin B,sin C成等差数列可得,2sin B=sin A+sin C, 所以2b=a+c,即b=又cos B=,化简可得cos B=当且仅当a=c时取等号.又B∈(0,π),所以B令f(B)=sin2B+2cos B,则f'(B)=2cos2B-2sin B=2-4sin2B-2sin B=-4(sin B+1).当sin B>,即B时,f'(B)<0;当sin B<,即B时,f'(B)>0.则f(B)=sin2B+2cos B在内单调递增,在内单调递减,所以f(B)max=f=sin+2cos,由f(0)=sin0+2cos0=2,f=sin+2cos+1,所以f(B)min=f+1,所以sin2B+2cos B的最小值为+1,最大值为。
2023届新高考数学二轮复习：专题(利用奇偶性、单调性解函数不等式问题)提分练习(附答案)
2023届新高考数学二轮复习：专题（利用奇偶性、单调性解函数不等式问题）提分练习一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3-∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（ ）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()1,+∞2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（ ）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,-∞⋃+∞D ．[]0,23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x -=+，则使不等式()2122f a a -<成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．()3,3- C ．()1,1- D ．(),3-∞4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，且(2)2f -=-，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．(0,100)D ．(100,)+∞5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（ ） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数21()e e c 2os x xf x x x -=++-，则关于x 的不等式()()213f x f x -<+的解集为（ ）A ．()1,2-B ．2(,4)3-C ．()(),12,-∞-+∞D ．2(,(4,)3-∞-+∞7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()1ln 1x f x x-=+，则不等式()()2110f a f a -+-<的解集为（ ） A ．()2,1-B ．()0,2C ．()1,2-D ．()0,18．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数())lg f x x =，不等式()()()2log 120f x f x ++-≥的解集为（ ）A ．(]1,1-B ．[)2,+∞C ．[)1,+∞D ．(],1-∞9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()e e 2sin x x f x x -=--，则关于x 的不等式()()2320f x f x -+<的解集为（ ）A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．[]1,3-10．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）已知函数131()2021(1)20212x x f x x x --=+--+，则不等式2(4)(23)4f x f x -+-≤的解集为（ ）． A ．[1,4]-B ．[4,1]-C ．(,1][4,)-∞-⋃+∞D ．(,4][1,)-∞-+∞11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()20172017log x f x =+)20173x x --+，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()1,412．（2023春ꞏ广东清远ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()211202320233xxf x x =+-+，则不等式()()12f x f x +>的解集为（ ）A ．1,2023⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．()2023,+∞ C ．()()1,1,3-∞-⋃+∞D ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭13．（2023春ꞏ江苏苏州ꞏ高三统考阶段练习）已知函数()e e 2sin 1x xf x x -=-++，则不等式()()4232f x f x -+-…的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．(],1-∞-D ．(),1-∞-14．（2023春ꞏ四川成都ꞏ高三树德中学校考阶段练习）已知函数()e e 2sin 1x xf x x -=--+，则关于t 的不等式()(21)2f t f t +-≤的解集为（ ）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎝⎦B ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．（2023春ꞏ河南ꞏ高三校联考阶段练习）意大利画家达ꞏ芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为e e cosh 2x x x -+=，相应的双曲正弦函数的表达式为e e sinh 2xxx --=．设函数()sinh cosh x f x x=，若实数a 满足不等式()()232020f a f a ++-<，则a 的取值范围为（ ） A ．5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()5,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()5,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭16．（2023ꞏ全国ꞏ高一专题练习）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()f x []0,1x t ∈-，均有()()f x t x -≥则实数t 的最大值是（ ） A ．32B ．2C ．52D ．317．（2023春ꞏ江西九江ꞏ高三校考阶段练习）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()()1xf x a a =>.若对任意的[]0,21x t ∈+，均有()[]3()f x t f x +≥，则实数t 的最大值是（ ）A ．49-B ．13-C ．0D ．1618．（2023春ꞏ安徽安庆ꞏ高三宿松县程集中学校考阶段练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =,若对任意的[],2x a a ∈+,不等式()()2f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A ．)+∞B ．[2,)+∞C ．(]0,2D ．[1]2]-19．（2023ꞏ浙江ꞏ模拟预测）已知函数(2()ln e 1xf x x =-+，若对任意的实数x ，恒有()2(1)2f ax x f x -+-+<成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()0,∞+B ．[)0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32()log (31xf x x =-+，若()()22122f a f a -+-≤-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]3,1-B ．[]2,1-C ．(]0,1D ．[]0,121．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()2ln x x f x e e x -=++，则使得()()230f x f x -+>成立的x 的取值范围是A ．()1,3-B ．()(),33,-∞-+∞C ．()(),13,-∞-+∞D ．()3,3-22．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）函数()()2211x x f x e x e-=++-，则使得()()23f x f x >+成立的x 取值范围是（ ）A ．()(),13,-∞-⋃+∞B ．()1,3-C ．()1,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭二、多选题23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()3f x x x =+，实数,m n 满足不等式()()2320f m n f n -+->，则（ ）A ．e e m n >B ．11n n m m +>+ C ．()ln 0m n -> D ．20212021m n <三、填空题24．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2228x f x x =+-，则不等式()234f x x -≤的解集为___________.25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数()()e e x x f x a a -=+∈R 为奇函数，则不等式()()ln ln f x f x <的解集为___________.26．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()11x x f x e e x --=-+，则不等式()()2432f x f x -+-≤的解集是______.27．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()ln 1x x f x e e -⎛⎫=-++，则关于x 的不等式()()212f x f x ++<的解集为___________.28．（2023春ꞏ辽宁大连ꞏ高三校联考期中）已知()e e sin 1xxf x x x -=-+-+，若()()22ln 122x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是______．29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是_______________30．（2023春ꞏ江苏连云港ꞏ高二校考阶段练习）已知函数21()ln 1f x x x =-+，若对[1,3]x ∈，不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥恒成立，则实数a 的取值范围___________.参考答案一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3-∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（ ）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】B【答案解析】∵()3f x +为偶函数，∴()()33f x f x -+=+，即函数()f x 关于3x =对称， 又函数()f x 在(],3-∞上单调递增， ∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +-<-， 整理得，23850x x -+>， 解得1x <或53x >. 故选：B.2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（ ）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,-∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C【答案解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以221()42x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥，所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,-∞⋃+∞，故选：C3．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x -=+，则使不等式()2122f a a -<成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．()3,3-C ．()1,1-D ．(),3-∞【答案】A【答案解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +--===-+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增， 且()132f =，不等式()2122f a a -<即为()()223f a a f -<.又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f -<等价于()()223f a a f -<，则223a a -<，所以，222323a a a a ⎧-<⎨->-⎩，解得13a -<<.综上可知，实数a 的取值范围为()1,3-， 故选：A.4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，且(2)2f -=-，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【答案解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，又(2)2f -=-，(2)2f =，所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=，即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]-∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增， 所以lg 2x >， 解得100x >. 故选：D.5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（ ）A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【答案解析】当0x ≥时，()cos x f x e x =-，所以()sin x f x e x '=+，因为0x ≥，所以1x e ≥，即()1sin 0f x x '≥+≥，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，又因为函数()f x 为R 上的偶函数，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减．则不等式(3)(21)0f x f x ---<， 即(3)(21)f x f x -<-等价于321x x -<-，解得<2x -或43x >． 故选：D ．6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数21()e e c 2os x xf x x x -=++-，则关于x 的不等式()()213f x f x -<+的解集为（ ）A ．()1,2-B ．2(,4)3-C ．()(),12,-∞-+∞D ．2(,)(4,)3-∞-+∞【答案】B【答案解析】因为()()2211()e e e e co c 2o )2s s (x xx x f x x x x f x x ---=+-==+--++-， 所以函数()f x 为偶函数，当0x …时，有()e e sin x x f x x x -'=---，令()e e sin x x g x x x -=---，则()e e cos 1cos 11cos 0x x g x x x x -'=+----=-厖，所以函数()g x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g x g =…，即()0f x '≥恒成立， 所以函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，又函数()f x 为偶函数， 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，所以关于x 的不等式(21)(3)f x f x -<+可转化为|3||21|x x +>-，解得243x -<<.关于x 的不等式()()213f x f x -<+的解集为2(,4)3-，故选：B.7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()1ln 1x f x x-=+，则不等式()()2110f a f a -+-<的解集为（ ） A ．()2,1- B ．()0,2C ．()1,2-D ．()0,1【答案】D【答案解析】函数()1ln 1x f x x -=+的定义域满足101xx->+，即定义域为-,11（） ， 又()11ln ln ()11x x f x f x x x +--==-=--+，故()1ln 1xf x x-=+为奇函数， 而12111x x x-=-++ 在-,11（）上随x 的增大而减小，故()1ln1xf x x-=+在-,11（）上为单调递减函数， 则由不等式()()2110f a f a -+-<可得不等式()()()2111f a f a f a -<--=-，故2211111111a a a a ⎧->-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩ ，解得01a << ， 故选：D8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数())lg f x x =+，不等式()()()2log 120f x f x ++-≥的解集为（ ）A ．(]1,1-B ．[)2,+∞C ．[)1,+∞D ．(],1-∞【答案】C【答案解析】函数())lgf x x =+的定义域为(),-∞+∞，且()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，()f x在[0,)+∞上递增，则可得在(),-∞+∞上单调递增，()()()2log 120f x f x ++-≥可以变为()()()2log 12f x f x +≥--，即()()()2log 12f x f x +≥-，所以()2log 12x x +≥-，2log (1)20x x ++-≥，记2()log (1)2g x x x =++-，()g x 在(1,)-+∞上是增函数，且(1)0g =，所以()0g x ≥的解集为{}1x x ≥， 故选：C ．9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()e e 2sin x x f x x -=--，则关于x 的不等式()()2320f x f x -+<的解集为（ ）A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．[]1,3-【答案】A【答案解析】函数()e e 2sin x xf x x -=--的定义域为R ，()()()e e 2sin e e 2sin x x x x f x x x f x ---=---=-+=-，所以函数()e e 2sin x xf x x -=--为奇函数，因为()'e e 2cos 22cos 0x xf x x x -=+-≥-≥，所以函数()e e 2sin x xf x x -=--在R 上单调递增，所以()()()()()22320322f x f x f x f x f x -+<⇔-<-=-，所以232x x -<-，即2230x x +-<，解得31x -<<所以不等式()()2320f x f x -+<的解集为()3,1-故选：A10．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）已知函数131()2021(1)20212x x f x x x --=+--+，则不等式2(4)(23)4f x f x -+-≤的解集为（ ）．A ．[1,4]-B ．[4,1]-C ．(,1][4,)-∞-⋃+∞D ．(,4][1,)-∞-+∞【答案】A【答案解析】设函数3()202120212x x g x x x -=+-+，则函数()g x 是定义域为R ，根据指数函数与幂函数的单调性可得，2021x y =是增函数，2021x y -=是减函数，3y x =是增函数，所以3()202120212x x g x x x -=+-+在R 上单调递增；又3()202120212()x x g x x x g x --=-=---，所以()g x 是奇函数，其图象关于原点对称；又()131()2021(1)202121)212x xf x x xg x --=+--+-+=-+（， 即()f x 的图象可由()g x 向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到， 所以131()2021(1)202121)2x x f x x x --=+--+-+（是定义域为R 的增函数， 且其图像关于点(1,2)对称，即有()(2)4f x f x +-=，即 (2)4()f x f x -=-． 由2(4)(23)4f x f x -+-≤得 2(4)4(23)f x f x -≤--，即()()242(23)f x f x -≤--，即2(4)(3)f x f x -≤，所以 243x x -≤，解得 14x -≤≤． 故选：A ．11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()20172017log xf x =+)20173x x --+，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()1,4【答案】A【答案解析】设()201720172017log x xg x -=-+)x ，显然定义域为R20172017()20172017log )20172017log )x x x x g x x x ---=-+=--()g x =-，()g x 是奇函数，0x ≥时，2017log )y x =是增函数，2017x y =是增函数，2017x y -=-是增函数，所以()g x 是增函数，又()g x 是奇函数，所以0x ≤时，()g x 是增函数， 从而()g x 在R 上是增函数，∴()()12336g x g x -+++>，即()()21g x g x >-，∴21x x >-，∴1x <，∴不等式()()126f x f x -+>的解集为(),1-∞， 故选：A ．12．（2023春ꞏ广东清远ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()211202320233x x f x x =+-+，则不等式()()12f x f x +>的解集为（ ） A ．1,2023⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()2023,+∞C ．()()1,1,3-∞-⋃+∞D ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【答案解析】由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，且()()()221111202320232023202333xxxxf x f x x x ---=+-=+-=+-+， 所以，函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()()()()222211222023ln 2023ln 20232023ln 202302023202333xx x x x xf x x x-=++=-+≥++'且()f x '不恒为零，所以，函数()f x 在[)0,∞+上为增函数，由()()12f x f x +>可得()()12f x f x +>，则12x x +>，可得()2214x x +>，整理可得()()3110x x +-<，解得113-<<x .故选：D.13．（2023春ꞏ江苏苏州ꞏ高三统考阶段练习）已知函数()e e 2sin 1x xf x x -=-++，则不等式()()4232f x f x -+-…的解集为（ ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞ C ．(],1-∞- D ．(),1-∞-【答案】C【答案解析】因为函数()e e 2sin 1x xf x x -=-++，令()e e 2sin x xg x x -=-+，(),x ∈-∞+∞，则()()1g x f x =-，因为()()()()e e2sin e 2n e si x xx x x g x x g x -----=---+=--=， 所以函数()g x 为奇函数，因为()e e 2cos 2cos 22cos 0x x x g x x x -++≥=+=≥'， 所以函数()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，不等式()()4232f x f x -+-…可化为()()41231f x f x ⎡⎤-----⎣⎦…，又因为()()1g x f x =-，所以()()()42332g x g x g x -≥--=-， 又因为函数()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增， 所以432x x -≥-，解得1x ≤-，所以不等式()()4232f x f x -+-…的解集为(],1-∞-. 故选：C.14．（2023春ꞏ四川成都ꞏ高三树德中学校考阶段练习）已知函数()e e 2sin 1x xf x x -=--+，则关于t 的不等式()(21)2f t f t +-≤的解集为（ ）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【答案解析】x ∈R ，令()()1e e 2sin -=-=--x x h x f x x ，()()()()1e e 2sin --=--=---=-x xh x f x x h x ，所以()h x 为奇函数，因为()()e e 2cos 22cos 0-''==+-≥-≥x xh x f x x x ，所以()h x 为单调递增函数，由()()212+-≤f t f t 得()()1121-≤--f t f t ，即()()()2112h t h t h t ≤--=-， 所以12t t ≤-，解得13t ≤.故选：A.15．（2023春ꞏ河南ꞏ高三校联考阶段练习）意大利画家达ꞏ芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为e e cosh 2x x x -+=，相应的双曲正弦函数的表达式为e e sinh 2xxx --=．设函数()sinh cosh x f x x=，若实数a 满足不等式()()232020f a f a ++-<，则a 的取值范围为（ ） A ．5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()5,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()5,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【答案解析】由题意可知：e e ()e +e x xx x f x ---=的定义域为R ，因为e e ()()e +ex xx x f x f x ----==-，所以函数()f x 为奇函数，又因为222e e e 12()==1e +e e +1e +1x x x x x x x f x ----=-，且22()=e +1x g x 在R 上为减函数，由复合函数的单调性可知：22()1e +1xf x =-在R 上为增函数， 因为()()232020f a f a ++-<，所以()()()2232022f a f a f a +<--=，所以23202a a +<，解得：4a >或52a <-，所以实数a 的取值范围为5(,(4,)2-∞-+∞ ，故选：D.16．（2023ꞏ全国ꞏ高一专题练习）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()f x =[]0,1x t ∈-，均有()()f x t x -≥则实数t 的最大值是（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】A【答案解析】易知，函数()f x 在[)0,∞+上单调递增， 由10t ->，得1t >，又()()()2f x t x f x -≥= ，且函数为偶函数，2x t x ∴-≥，两边平方化简，则22320x xt t +-≤在[]0, 1t -恒成立， 令()2232g x x xt t =+-，则()()0010g g t ⎧≤⎪⎨-≤⎪⎩，即()()222031210t t t t t ⎧-≤⎪⎨-+--≤⎪⎩， 解得1322≤≤t ， 综上：t 的最大值为32． 故选：A ．17．（2023春ꞏ江西九江ꞏ高三校考阶段练习）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()()1xf x a a =>.若对任意的[]0,21x t ∈+，均有()[]3()f x t f x +≥，则实数t 的最大值是（ ）A ．49-B ．13-C ．0D ．16【答案】A【答案解析】∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()()1xf x a a =>，∴()()1xf x aa =>，当0x ≥时为增函数，∴[]()()333()3xxf x a af x ===，则()[]3()f x t f x +≥等价于()()3f x t f x +≥，即3x t x +≥，即22820x tx t --≤对任意[]0,21x t ∈+恒成立，设()2282g x x tx t =--，则有()()()()22008212210210g t t t t g t ≤⎧⎪⇒+-+-≤⎨+≤⎪⎩，解得2439t -≤≤-， 又∵210t +>，∴1429t -<≤-. 故选：A.18．（2023春ꞏ安徽安庆ꞏ高三宿松县程集中学校考阶段练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =,若对任意的[],2x a a ∈+,不等式()()2f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A ．)+∞B ．[2,)+∞C ．(]0,2D ．[1]2]-【答案】A【答案解析】 ()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =∴ 当0x <,有0x ->,2()()f x x -=- 2()f x x ∴-=即2()f x x =-22,0(),0x x f x x x ⎧≥∴=⎨-<⎩()f x ∴在R 上是单调递增函数,且满足2())f x f =∴不等式()2())f x a f x f +≥=在[],2x a a ∈+恒成立,x a ∴+≥,[],2x a a ∈+恒成立1)x a ≤∴+对[],2x a a ∈+恒成立2(1a a ∴+≤解得:a ≥∴则实数a 的取值范围是:)+∞. 故选:A.19．（2023ꞏ浙江ꞏ模拟预测）已知函数(2()ln e 1xf x x =-+，若对任意的实数x ，恒有()2(1)2f ax x f x -+-+<成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()0,∞+B ．[)0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】C【答案解析】令()()((21e 11ln ln e 1e 1x x x g x f x x x -=-=--=-++，由于()(()1e e 1ln ln e 11exx x xg x x x g x ----⎛-=--+=+=- ⎝++， 所以得()g x 为奇函数.又因为()g x 在()0,x ∈+∞上单调递减，所以()g x 在R x ∈上单调递减.已知对于任意的实数x ，恒有()()212f ax x f x -+-+<，整理得：()()()2111[11]f ax x f x f x --<--++=--+-，即()()21g ax x g x -<--+，由于()g x 为奇函数，得()()21g ax x g x -<-，由于()g x 在R x ∈上单调递减，得21ax x x ->-对于任意的实数x 恒成立， 即2210ax x -+>对于任意的实数x 恒成立. 当0a =时，210x -+>不恒成立，故0a ≠，当0a ≠时，有()2Δ240a a >⎧⎪⎨=--<⎪⎩，解得1a >. 故选：C20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32()log (31xf x x =-+，若()()22122f a f a -+-≤-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]3,1- B ．[]2,1- C ．(]0,1 D ．[]0,1【答案】A【答案解析】由题可知x R ∈且()(32log 31x f x x --=--+()()((3322log log 3131x x f x f x x x -∴+-=-+-+-++ ()223223log 123131xx x x x ⋅=-++--=-++，()()11f x f x ⎡⎤∴+=--+⎣⎦，令()()1g x f x =+，则()()g x g x =--且定义域为R 关于原点对称，即()g x 为奇函数，函数y x =31x y =+在()0,∞+上均单调递增，(3log y x ∴=与231xy =-+在()0,∞+上单调递增， ()f x \在()0,∞+上单调递增，即()g x 在()0,∞+上也单调递增且()00g =，又 ()g x 为奇函数，()g x ∴在R 上单调递增，不等式()()22122f a f a -+-≤-⇔等价于()()221121f a f a ⎡⎤-+≤--+⎣⎦，()()()222122g a g a g a ∴-≤--=-，()g x 在R 上单调递增， 2212a a ∴-≤-，解得31a -≤≤，∴ 实数a 的取值范围是[]3,1-， 故选：A.21．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()2ln x x f x e e x -=++，则使得()()230f x f x -+>成立的x 的取值范围是A ．()1,3-B ．()(),33,-∞-+∞C ．()(),13,-∞-+∞D ．()3,3-【答案】C【答案解析】因为()()()2xxf x ln e e x f x --=++=,所以函数为偶函数，又()2x x x x e ef x x e e--+'-=+知当0x >时，()0f x '>，所以函数在(0,)+∞上是增函数，所以原不等式转化为(2)(3|)f x f x +即|2||3|x x >+，所以2230x x -->，解得13x x <->或，故选C.22．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）函数()()2211x x f x e x e-=++-，则使得()()23f x f x >+成立的x 取值范围是（ ）A ．()(),13,-∞-⋃+∞B ．()1,3-C ．()1,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【答案解析】()21'22x xf x e x e -=-+- 且令()'0f x = 得1x =， 所以当(),1x ∈-∞ 时，()'0f x ＜，函数()f x 单调递减；当()1+x ∈∞，时，()'0f x >，函数()f x 单调递增； 若()()23f x f x >+，则23x x >+ 或()2113x x -<-+解不等式得3x >或13x <-即x 的解集为 ()1,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选C二、多选题23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()3f x x x =+，实数,m n 满足不等式()()2320f m n f n -+->，则（ ）A ．e e m n >B ．11n n m m +>+ C ．()ln 0m n -> D ．20212021m n <【答案】AC【答案解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 为奇函数，因为()2310f x x '=+>，所以()f x R 上单调递增， 由()()2320f m n f n -+->， 得()()()2322f m n f n f n ->--=-， 所以232m n n ->-， 即1m n ->，m n >，因为x y e =在R 上是增函数，所以m n e e >，故A 正确；因为ln y x =在()0,∞+上是增函数，所以ln()0m n ->，故C 正确； 因为2021y x =在R 上是增函数，所以20212021m n >，故D 错误； 令2,0m n ==，可验证B 错误. 故选：AC 三、填空题24．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2228x f x x =+-，则不等式()234f x x -≤的解集为___________.【答案】[]1,4-【答案解析】函数()f x 的定义域为R ，()()()22228228x xf x x x f x --=+--=+-=，所以，函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()2228x f x x =+-为增函数，因为()42424284f =+-=，则()()2344f x x f -≤=，所以，()()234f x x f -≤，所以，234x x -≤，所以，2434x x -≤-≤，因为223734024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，故234x x -≥-恒成立，由234x x -≤可得2340x x --≤，解得14x -≤≤. 因此，原不等式的解集为[]1,4-. 故答案为：[]1,4-.25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数()()e e x xf x a a -=+∈R 为奇函数，则不等式()()ln ln f x f x <的解集为___________. 【答案】()0,1【答案解析】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()000e e 0f a =+=，解得1a =-，检验可得此时()()f x f x -=-，函数()f x 为R 上的奇函数，所以()e e x xf x -=-，易知()f x 为R 上的增函数，所以不等式()()ln ln f x f x <等价于ln ln x x <， 所以ln 0x <，解得01x <<， 所以原不等式的解集为()0,1. 故答案为：()0,1.26．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()11x xf x e e x --=-+，则不等式()()2432f x f x -+-≤的解集是______.【答案】[1，)∞+【答案解析】构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-，那么()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到1()(1)xxh x g x e x e =+=-+， ()h x 的定义域为R ，且1()()x x h x e x h x e-=--=-， 所以()h x 为奇函数，图象关于原点对称，所以()g x 图象关于(1,0)对称． 不等式()()2432f x f x -+-≤ 等价于(2)1(43)10f x f x --+--…， 等价于()()()()()2430224332g x g x g x g x g x ⎡⎤-+-∴---=-⎣⎦，剟 结合()g x 单调递增可知232,1x x x --∴剠， 所以不等式()()2432f x f x -+-≤的解集是[1，)∞+． 故答案为：[1，)∞+．27．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()ln 1x xf x e e -⎛⎫=-++，则关于x 的不等式()()212f x f x ++<的解集为___________.【答案】1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【答案解析】由题意可知，定义域为R ，设()x x g x e e -=-，()ln 1h x ⎛⎫=+， 由函数()x x g x e e -=-在R 上的增函数，()ln 1)1h x x ⎛⎫=+=+在[0,)+∞为增函数，且()())22h x h x x x -+=+=，所以()h x 关于(0,1)对称，故()h x 在(,0)-∞为增函数，且()h x 在0x =处连续，()h x 在R 上的增函数，故函数()f x 在R 上递增，()()ln 1ln 12x x x x f x f x e e e e --⎛⎫⎛⎫+-=-+++-++=， 且()f x 在R 上递增，原不等式等价于()()()212f x f x f x +<-=-则21x x +<-，解得13x <-. 故答案为：1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 28．（2023春ꞏ辽宁大连ꞏ高三校联考期中）已知()e e sin 1x x f x x x -=-+-+，若()()22ln 122x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是______． 【答案】12ln 22a ≥-． 【答案解析】令()e e sin x x x x x ϕ-=-+-，则有()()x x ϕϕ-=-， ∴()x ϕ为奇函数，图像关于点()0,0对称，()e e sin 1x x f x x x -=-+-+ ，∴()f x 的图像关于()0,1对称，且()e e cos 1x x f x x -'=++-，由()e e cos 1cos 11cos 0x x f x x x x -'=++-≥-=+≥， 所以()f x 是R 上的增函数，()()22ln 122x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭， 等价于()()222ln 2221x x f f f a x ⎛⎫⎛⎫≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-， 所以()22ln 12x a x -+≥-，所以()22ln 12x a x ≥-++， 令()2()2ln 12x g x x =-++，则()max a g x ≥， 因为()()g x g x -=且定义域为R ， 所以()2()2ln 12x g x x =-++是R 上的偶函数， 所以只需求在()g x 在[)0,+∞上的最大值．当[)0,+x ∈∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++， 222(2)(1)()111x x x x g x x x x x --++-'=-+==-+++， 则当[)0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在[)0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 可得：1()(1)2ln 22g x g ≤=-，()max 12ln 22g x =∴- 即12ln 22a ≥-． 故答案为：12ln22a ≥-. 29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是_______________【答案】(,2)(1,)-∞-+∞【答案解析】由210x ->，解得：1x <-或1x >，故函数的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，又()()()()()22ln 122ln 122x x x x f x x x f x ---=--++=-++=，()f x \为(,1)(1,)-∞-+∞ 上的偶函数；当1x >时，()2ln 1y x =-单调递增，设22x t =>，()1222x x t t t-∴+=+>， 1y t t=+ 在()2,∞+上单调递增，22x x y -∴=+在()1,+∞上单调递增， ()f x \在()1,+∞上单调递增，又()f x 为偶函数，()f x \在(,1)-∞-上单调递减；由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞ ．故答案为：(,2)(1,)-∞-+∞ .30．（2023春ꞏ江苏连云港ꞏ高二校考阶段练习）已知函数21()ln 1f x x x =-+，若对[1,3]x ∈，不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥恒成立，则实数a 的取值范围___________. 【答案】12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案解析】由函数21()ln 1f x x x =-+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称， 又由2211()ln ln ()1()1f x x x f x x x -=--=-=+-+， 所以函数()f x 为定义域上的偶函数，所以(ln 1)(ln 1)2(ln 1)f ax x f ax x f ax x -+++--=--，即不等式可化为()(ln 1)1f ax x f --≥，当0x >时，函数21()ln 1f x x x =-+ 根据初等函数的单调性，可得函数21()ln 1f x x x =-+为单调递减函数， 所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减， 由()(ln 1)1f ax x f --≥，可得1ln 11ax x -≤--≤，整理得ln x a x ≥且ln 2x a x+≤， 即ln x a x ≥且ln 2x a x +≤在[1,3]x ∈上恒成立， 设()ln x g x x =，可得()21ln x g x x-'=，其中[1,3]x ∈， 当[1,)x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,3]x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()max 1()g x g e e==. 设()ln 2x h x x +=，可得()21ln x h x x --'=， 当[1,3]x ∈时，()0h x '<，所以()()min 2ln 333h x h +==， 综上可得，实数a 的取值范围为12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析 ：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析 ：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在 双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析 ：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以
2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》(含解析)
2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》一 、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）关于x 的不等式1x +4x a⩾4在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (0,43] B. (1,43] C. [1,43] D. [167,43] 2.（5分）若函数f(x)=x 2+2x +m ，x ∈R 的最小值为0，则实数m 的值是()A. 9B. 5C. 3D. 13.（5分）函数y=x2-2x ，x ∈[0，3]的值域为（ ）A. [0，3]B. [1，3]C. [-1，0]D. [-1，3]4.（5分）函数y =x 2−8x +2的增区间是()A. (−∞,−4]B. [−4,+∞)C. (−∞,4]D. [4,+∞)5.（5分）二次函数y =x 2−2x −3在x ∈[−1,2]上的最小值为( )A. 0B. −3C. −4D. −56.（5分）某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x 元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70.x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于万元，则x 的最大值是( )A. 2B. 6.5C. 8.8D. 107.（5分）函数y =−x 2+2x −3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为()A. 0，−2B. −2，−6C. −2，−3D. −3，−68.（5分） 函数f(x)=|x 2−3x +2|的单调递增区间是( )A. [1,32]和[2,+∞)B. [32,+∞)C. (−∞,1]和[32,2]D. (−∞,32]和[2,+∞)9.（5分）下列命题正确的是( )A. 命题“∃x ∈R ，使得2x <x 2”的否定是“∃x ∈R ，使得2x ⩾x 2”B. 若a >b ，c <0，则ca >cbC. 若函数f(x)=x 2−kx −8(k ∈R)在[1,4]上具有单调性，则k ⩽2D. “x >3”是“x 2−5x +6>0”的充分不必要条件10.（5分）已知函数y=b+a x2+2x(a,b是常数，且0<a<1)在区间[−32,0]上有最大值3，最小值52，则ab的值是()A. 1B. 2C. 3D. 411.（5分）已知f(x)=x2+2(a−2)x+5在区间[4,+∞)上是增函数，则实数a的范围是()A. (−∞,−2]B. [−2,+∞)C. [−6,+∞)D. (−∞,−6]12.（5分）函数f(x)=ln x+12x2−ax(x>0)在区间[12,3]上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A. (52,3] B. [52,103)C. (52,103] D. [2,103]二、填空题（本大题共6小题，共30分）13.（5分）设b>0，二次函数y=ax2+bx+a2−1的图象为下列图象之一：则a的值为______．14.（5分）已知f(x)=m(x−2m)(x+m+3)，g(x)=2x−2，若对任意x∈R有f(x)<0或g(x)<0，则m的取值范围是____.15.（5分）函数y=x2+2ax+1在区间[2,+∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是______ ．16.（5分）函数f(x)=log2(4−x2)的值域为__________________.17.（5分）若不等式−1<ax2+bx+c<1的解集为(−1,3)，则实数a的取值范围为_______.18.（5分）f(x)=x2−ax+3a−1在(3,+∞)上是增函数，实数a的范围是 ______ .三、解答题（本大题共6小题，共72分）19.（12分）求函数f（x）=x2+2ax+3在[-5，5]上的最大值和最小值．20.（12分）已知关于x的一元二次方程(m2−1)x2+(2m−1)x+1=0(m∈R)的两个实根是x1、x2.(1)求1x1+1x2的取值范围；(2)是否存在m，使得|x1−x2|=11−m2若存在，求m的值；若不存在，说明理由．21.（12分）已知函数f(x)=x2+bx+c，且f(1)=0．(1)若函数f(x)是偶函数，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最小值．22.（12分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]．（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值．（2）当a∈R时，求函数f（x）在区间[-5，5]上的最值．23.（12分）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)={400x−12x2,0⩽x⩽400 80000,x>400，其中x是仪器的月产量．(总收益=总成本+利润．)(1)将利润表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？24.（12分）平阳木偶戏又称傀偏戏、木头戏，是浙江省温州市的传统民间艺术之一.平阳木偶戏是以提线木偶为主，活跃于集镇乡村、广场庙会，演绎着古今生活百态.其表演形式独特，活泼多样，具有浓厚的地方色彩和很高的观赏性与研究价值.现有一位木偶制作传人想要把一块长为4dm(dm是分米符号)，宽为3dm的矩形木料沿一条直线MN切割成两部分来制作不同的木偶部位.若割痕MN(线段)将木料分为面积比为1:λ的两部分(含点A的部分面积不大于含点C的部分面积，M，N可以和矩形顶点重合)，有如下三种切割方式如图：①M点在线段AB上，N点在线段AD上;②M点在线段AB上，N点在线段DC上;③M点在线段AD上;N点在线段BC上.设AM=xdm，割痕MN(线段)的长度为ydm，(1)当λ=1时，请从以上三种方式中任意选择一种，写出割痕MN的取值范围(无需求解过程，若写出多种以第一个答案为准);(2)当λ=2时，判断以上三种方式中哪一种割痕MN的最大值较小，并说明理由.四、多选题（本大题共6小题，共30分）25.（5分）已知函数f(x)={ln(x+1),x⩾0x2−2ax+1,x<0，其中实数a∈R，则下列关于x的方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0的实数根的情况，说法正确的有()A. a取任意实数时，方程最多有5个根B. 当−1−√52<a<1+√52时，方程有2个根C. 当a=−1−√52时，方程有3个根D. 当a⩽−4时，方程有4个根26.（5分）若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(2+x)=f(2-x)，则下列结论错误的是()A. b=cB. 2a+b=0C. 4a=-bD. a+b=027.（5分）已知函数f(x)=e2x-2e x-3，则()A. f(ln3)=0B. 函数f(x)的图象与x轴有两个交点C. 函数f(x)的最小值为-4D. 函数f(x)的单调增区间是[0,+∞)28.（5分）设a，b均为正数，且2a+b=1，则下列结论正确的是()A. ab有最大值18B. √2a+√b有最小值√2C. a2+b2有最小值15D. a−12a−1−4bb有最大值1229.（5分）已知函数f(x)=x，g(x)=√x，则下列说法正确的是()A. 函数y=1f(x)+g(x)在(0,+∞)上单调递增B. 函数y=1f(x)−g(x)在(0,+∞)上单调递减C. 函数y=f(x)+g(x)的最小值为0D. 函数y=f(x)−g(x)的最小值为−1430.（5分）已知f(x)是定义域为R的奇函数，x>0时，f(x)=x(1−x)，若关于x的方程f[f(x)]=a有5个不相等的实数根，则实数a的可能取值是()A. 132B. 116C. 18D. 14答案和解析1.【答案】A;【解析】由1x +4xa⩾4，分离变量a得1a⩾−14(1x−2)2+1，由x∈[1,2]求得1x∈[12,1]，则−14(1x−2)2+1∈[716,3 4 ].∴1a ⩾34，由此求得实数a的取值范围．该题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，属于中档题．解：由1x +4xa⩾4，得4xa⩾4−1x=4x−1x，即1a⩾4x−14x2=−14(1x)2+1x=−14(1x−2)2+1，∵x∈[1,2]，∴1x ∈[12,1]，则−14(1x−2)2+1∈[716,34].∴1a ⩾34，则0<a⩽43．∴实数a的取值范围为(0,43].故选：A．2.【答案】D;【解析】解：由题知y=(x+1)2+m−1，易知当x=−1时，f(x)min=m−1=0，故m=1即为所求．故选：D.将二次函数配方，易求得最小值，据此求解．此题主要考查利用配方法求二次函数的最值．3.【答案】D;【解析】解：∵函数y=x2-2x=（x-1）2-1，x∈[0，3]，∴当x=1时，函数y取得最小值为-1，当x=3时，函数取得最大值为 3，故函数的值域为[-1，3]，故选D．4.【答案】D;【解析】解：函数y=x2−8x+2=(x−4)2−14，对称轴为x=4，则函数的增区间为[4,+∞).故选：D.求出二次函数的对称轴，结合二次函数的图象和性质，即可得到所求增区间．此题主要考查二次函数的单调区间的求法，注意结合二次函数的对称轴，属于基础题．5.【答案】C;【解析】此题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，属于基础题.解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，x∈[−1,2]，∴x=1时，函数取得最小值为−4.故选C.6.【答案】D;【解析】由已知有，第二年的年销售收入为(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)万元，商场对该商品征收1％20−％20x%％20的管理费记为y，y％20=％20(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)x%％20(x％20％3E％200)1％20−％20x%％20，则y⩾14，所以(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)x%％20％20⩾％2014，1％20−％20x%％20化简得x2−12x+20⩽0，所以2⩽x⩽10，故x得最大值为10，选D.7.【答案】B;【解析】此题主要考查二次函数的最值的求法，属于简单题.解：函数y=−x2+2x−3的开口向下，对称轴为x=1，结合图象可得当x=3是y有最小值−6，当x=1时，y有最大值−2，所以本题选B.8.【答案】A; 【解析】此题主要考查函数的单调性和函数的单调区间，考查函数图象的应用，考查数形结合思想，属于基础题.由题函数f(x)=|x 2−3x +2|={x 2−3x +2,x ⩽1或x ⩾2−(x 2−3x +2),1<x <2，利用数形结合即可得到答案.解：由题可知函数f(x)=|x 2−3x +2|， 等价于f(x)={x 2−3x +2,x ⩽1或x ⩾2−(x 2−3x +2),1<x <2，画图可得如下图所示：∴函数的单调递增区间是[1,32]和[2,+∞) ，故选A.9.【答案】D;【解析】解：对于A ，命题“∃x ∈R ，使得2x <x 2”的否定是“∀x ∈R ，使得2x ⩾x 2”，故A 错误；对于B ，由条件知，比如a =2，b =−3，c =−1，则ca=−12<cb=13，故B 错误；对于C ，若函数f(x)=x 2−kx −8(k ∈R)在[1,4]上具有单调性，则k 2⩽1或k2⩾4，故k ⩽2或k ⩾8，故C 错误；对于D ，x 2−5x +6>0的解集为{ x |x <2或x >3}，故“x >3”是“x 2−5x +6>0”的充分不必要条件，正确． 故选：D.A 由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；B 由条件，注意举反例，即可判断；C 由二次函数的图象，即可判断；D 先求出不等式x 2−5x +6>0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断． 此题主要考查函数的单调性，充分必要条件的判断、命题的否定、不等式的性质，属于基础题．10.【答案】A;【解析】复合指数函数，当0<a<1时，整体指数为减函数，指数部分为二次函数，根据复合函数同增异减原则，对该区间内进行分块讨论，从而得到最值点−1，0本题着重考察求复合函数最值问题，通常利用图象法法讨论函数单调性的最值问题．解：A.令u=x2+2x=(x+1)2−1，当0<a<1时，整体指数为减函数，则借助二次函数图象，再由复合函数同增异减原则，在已知区间内，x=0取得最大值，x=−1取得最小值时．即{b+a−1=3b+a0=52，解得{a=23b=32，有ab=1．故选：A．11.【答案】B;【解析】解：∵函数f(x)=x2+2(a−2)x+5的图象是开口方向朝上，以x=2−a为对称轴的抛物线若函数f(x)=x2+2(a−2)x+5在区间[4,+∞)上是增函数，则2−a⩽4，解得a⩾−2．故答案为：B．由函数f(x)=x2+2(a−2)x+5的解析式，根据二次函数的性质，判断出其图象是开口方向朝上，以x=2−a为对称轴的抛物线，此时在对称轴右侧的区间为函数的递增区间，由此可构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．该题考查的知识点是函数单调性的性质，及二次函数的性质，其中根据已知中函数的解析式，分析出函数的图象形状，进而分析函数的性质，是解答此类问题最常用的办法．12.【答案】C;【解析】此题主要考查导数与二次方程根的分布，考查学生分析能力及运算能力，属于中档题. 对f(x)求导，问题转化为f′(x)=0在区间[12,3]上有且只有一解，根据二次方程根的分布建立不等式即解.解：f ′(x )=1x +x −a =x 2−ax +1x，x >0，令g(x)=x 2−ax +1，函数f (x )=ln x +12x 2−ax (x >0)在区间[12,3]上有且仅有一个极值点， 所以g (12).g (3)⩽0，即(14−12a +1)(9−3a +1)⩽0，且Δ≠0； 解得52⩽a ⩽103.当a =52时，令g(x)=x 2−52x +1=0，解得x 1=12，x 2=2，此时f (x )在(0,12]上单调递增，在[12,2]上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，故f (x )在x =2处取得极小值，在x =12处取得极大值.不符合题意； 当a =103时，令g(x)=x 2−103x +1=0，解得x 1=13，x 2=3，此时f (x )在(0,13]上单调递增，在[13,3]上单调递减，在(3,+∞)上单调递增， 故f (x )在x =3处取得极小值，在x =13处取得极大值. 此时f (x )在区间[12,3]上有且仅有一个极值点，符合题意； 故选C.13.【答案】-1;【解析】解：若a >0，即图象开口向上，∵b >0，∴对称轴x =−b 2a<0，故排除第2和4两图，若a <0，即图象开口向下，∵b >0∴对称轴x =−b2a >0，故函数图象为第3个图， 由图知函数过点(0,0)，∴a 2−1=0， ∴a =−1 故答案为−1先根据二次函数的开口方向和对称轴的位置，选择函数的正确图象，再根据图象性质计算a 值即可该题考查了二次函数的图象和性质，排除法解图象选择题14.【答案】(−4,0); 【解析】此题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键．解：∵g(x)=2x −2，当x ⩾1时，g(x)⩾0， 又∵∀x ∈R ，f(x)<0或g(x)<0，∴此时f(x)=m(x −2m )(x +m +3)<0在x ⩾1时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在(1,0)的左面，则{m<0−m−3<12m<1，∴−4<m<0故答案为(−4,0).15.【答案】[-2，+∞）;【解析】解：函数y=x2+2ax+1的对称轴为：x=−a，函数y=x2+2ax+1在区间[2,+∞)上是增函数，可得−a⩽2，解得a⩾−2，即a∈[−2,+∞)．故答案为：[−2,+∞)．求出二次函数的对称轴，结合函数的单调性，写出不等式求解即可．该题考查二次函数的简单性质的应用，是基础题．16.【答案】(−∞,2];【解析】此题主要考查了复合函数，先求出定义域，再根据复合函数的值域，属基础题. 解：由4−x2>0，得−2<x<2，即函数f(x)的定义域为(−2,2)，且0<4−x2⩽4，所以，f(x)⩽log24=2，即函数f(x)的值域为(−∞,2].故答案为(−∞,2].17.【答案】(−12,12);【解析】此题主要考查一元二次不等式得解法，考查二次函数的性质，是中档题. 分a=0，a>0和a<0三类讨论，结合二次函数的性质求解即可.解：当a=0时，b≠0，不等式的解集(−1,3)，适当选取b，c可以满足题意.当a>0时，不等式−1<ax2+bx+c<1对应的二次函数的对称轴为x=1，开口向上，所以x=−1时，a−b+c=1，x=3时，9a+3b+c=1，最小值为x=1时，a+b+c>−1，联立解这个不等式组得：a<12，所以0<a<12;当a<0时，不等式−1<ax2+bx+c<1对应的二次函数的对称轴为x=1，开口向下，所以x=−1时，a−b+c=−1，x=3时，9a+3b+c=−1，最大值为x=1时，a+b+c<1，联立解这个不等式组得：a>−12，所以−12<a<0;综上所述得−12<a<12.所以实数a的取值范围为(−12,12).故答案为(−12,12).18.【答案】（-∞，6]; 【解析】解：由题意得：对称轴x=−−a2=a2，∴a2⩽3，∴a⩽6；故答案为：(−∞,6].由已知得，函数图象开口向上，由题意读出对称轴x=a2⩽3，解出即可．本题考察了二次函数的对称轴，单调性，是一道基础题．19.【答案】解：∵函数f（x）=x2+2ax+3=（x+a）2+3-a2的对称轴为x=-a，①当-a＜-5，即a＞5时，函数y在[-5，5]上是增函数，故当x=-5时，函数y取得最小值为28-10a；当x=5时，函数y取得最大值为28+10a．②当-5≤-a＜0，即0＜a≤5时，x=-a时，函数y取得最小值为3-a2；当x=5时，函数y取得最大值为28+10a．③当0≤-a≤5，即-5≤a≤0时，x=-a时，函数y取得最小值为3-a2；当x=-5时，函数y取得最大值为28-10a．④当-a＞5，即a＜-5时，函数y在[-5，5]上是减函数，故当x=-5时，函数y 取得最大值为28-10a ； 当x=5时，函数y 取得最小值为28+10a ．;【解析】由于二次函数的对称轴为x=-a ，分①当-a ＜-5、②当-5≤-a ＜0、③当0≤-a≤5、④当-a ＞5四种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最值．20.【答案】解：（1）由题意知，Δ=（2m−1）2−4（m 2−1） =4m 2−4m+1−4m 2+4 =5−4m ⩾0， ∴m ⩽54， ∵m 2−1≠0， ∴m≠±1，∴m 的取值范围是(−∞，−1)∪(−1，1)∪(1，54]，由题意x 1+x 2=1−2m m 2−1，x 1x 2=1m 2−1 ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=1−2m ，又m ∈(−∞，−1)∪(−1，1)∪(1，54]， ∴2m ∈(−∞，−2)∪(−2，2)∪(2，52]，∴1−2m ∈[−32，−1)∪(−1，3)∪(3，+∞)，所以1x 1+1x 2的取值范围是[-32，−1）∪（-1，3）∪（3，+∞）．（2）(x 1−x 2)2=(x 2+x 2)2−4x 1x 2 =(1−2m )2(m 2−1)2−4m 2−1=5−4m (m 2−1)2，∴|x 1−x 2|=√5−4m |m 2−1|， 若|x 1−x 2|=−1m 2−1， 则m 2−1＜0， 即m ∈（−1，1）， ∴5−4m=1，即m=1∉（−1，1）， 故不存在．; 【解析】(1)由一元二次方程有两个根，则Δ>0，求出m 的范围，再利用韦达定理求解即可， (2)由(1)中结论，对所求式子进行变形，再求解．此题主要考查一元二次方程及韦达定理求参数的范围，属于中档题．21.【答案】解：（1）由f （1）=0，得：1+b+c=0， 由f （x ）是偶函数，得：b=0 ∴c=-1，因此f （x ）=x 2-1，（2）当t+1＜0，即t ＜-1时，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上为减函数， 当x=t+1时，取最小值t 2+2t ，当t≤0≤t+1，即-1≤t≤0时，函数f （x ）在区间[t ，0]上为减函数，在[0，t+1]上是增函数 当x=0时，取最小值-1，当t ＞0时，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上为增函数， 当x=t 时，取最小值t 2-1; 【解析】(1)利用函数的奇偶性，求出b ，利用f(1)=0求出c ， (2)分类讨论区间[t,t +1]与对称轴的关系，可得答案．该题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．22.【答案】解：（1）当a=-1时，f （x ）=x 2-2x+2=（x-1）2+1，对称轴x=1， 在[-5，5]上，最大值为f （-5）=37，最小值为f （1）=1； （2）函数f （x ）的对称轴是：x=-a ， ①当-a≤-5，即a≥5时，f （x ）在[-5，5]递增，f （x ）最小值=f （-5）=-10a+27，f （x ）最大值=f （5）=10a+27； ②当-5＜-a≤0，即0≤a ＜5时，f （x ）在[-5，-a ）递减，在（-a ，5]递增，f （x ）最小值=f （-a ）=-a 2+2，f （x ）最大值=f （5）=10a+27； ③当0＜-a≤5，即-5≤a ＜0时，f （x ）在[-5，-a ）递减，在（-a ，5]递增，f （x ）最小值=f （-a ）=-a 2+2，f （x ）最大值=f （-5）=-10a+27； ④-a≥5，即a≤-5时，f （x ）在[-5，5]递减，f （x ）最小值=f （5）=10a+27，f （x ）最大值=f （-5）=-10a+27．;【解析】（1）直接将a=-1代入函数解析式，求出最大最小值，（2）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，得到函数的单调性，从而求出函数的最值．23.【答案】解：(1)设月产量为x 台，则总成本为20000+100x ， 从而利润f(x)={−12x 2+300x −20000,0⩽x ⩽40060000−100x ,x >400.(2)当0⩽x ⩽400时，f(x)=−12(x −300)2+25000， 所以当x =300时，有最大值25000；当x >400时，f(x)=60000−100x 是减函数，所以f(x)<60000−100×400<25000． 所以当x =300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．;【解析】该题考查了一次函数与二次函数的单调性、函数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设月产量为x 台，则总成本为20000+100x ，即可得出利润f(x)．(2)当0⩽x ⩽400时，f(x)=−12(x −300)2+25000，利用二次函数的单调性即可最大值．当x >400时，f(x)=60000−100x 是减函数，利用一次函数的单调性即可得出最大值．24.【答案】解：(1)选①y =5， 选②y ∈[3,5]， 选③y ∈[4,5]， (2)选①令AN =z ，则S =12xz =4，z =8x，y =√x 2+z 2=√x 2+64x 2，∵{0<x ⩽40<z ⩽3z =8x∴83⩽x ⩽4，∴x ∈[83,2√2]时，y =f(x)为减函数，∴x ∈[2√2,4]时，y =f(x)为增函数， 当x =83时，y =√1453，当x =4时，y =2√5，∴y max =2√5;选②令DN =z ，则S =12(x +z)×3=4，z =83−x ，y =√(x −z)2+9=√(2x −83)2+9，∵{0<x ⩽40⩽z ⩽4,∴0⩽x ⩽83,z =83−x∴x ∈[0,43]时，y =f(x)为减函数，∴x ∈[43,83]时，y =f(x)为增函数， 当∴x =0或x =83时，y max =√1453; 选③令BN =z ，则S =12(x +z)×4=4，z =2−x ，y =√(x −z)2+16=2√(x −1)2+4，∵{0⩽x⩽30⩽z⩽3,∴0⩽x⩽2z=2−x∴x∈[0,1]时，y=f(x)为减函数，∴x∈[1,2]时，y=f(x)为增函数，当∴x=0或x=2时，y max=2√5，综上所述，方式②割痕MN的最大值较小，值为√1453.;【解析】此题主要考查了函数最值的综合应用，属于中档题.25.【答案】CD;【解析】此题主要考查分段函数，二次函数及对数函数的性质，函数图象的应用，函数与方程的综合应用，属难题.求解方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0，可得f(x)=1或f(x)=a，即可得原方程的实数根的个数，即为f(x)=1和f(x)=a的根的个数之和.分别对0⩽a⩽1，a>1，−1−√52<a<0，a=−1−√52和a<−1−√52时讨论画图即可判定.解：对于方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0，解得f(x)=1或f(x)=a.所以原方程的实数根的个数，即为f(x)=1和f(x)=a的根的个数之和.对于函数f(x)={ln(x+1),x⩾0x2−2ax+1,x<0，若a⩾0，当x∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，且f(x)⩾0，当x∈(−∞,0)时，f(x)单调递减，且f(x)>1.如图：，由f(x)=1可得x=e−1，方程有1个根；又由f(x)=a可得，当0⩽a⩽1时，方程有1个根；当a>1时，方程有2个根.所以当0⩽a⩽1时，原方程共有2个根；当a>1时，原方程共有3个根.若a<0，当x∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，且f(x)⩾0，当x∈(−∞,0)时，f(x)在(−∞,a)单调递减，在(a,0)单调递增，且f(x)⩾1−a2.又由{1−a2=aa<0，可得a=−1−√52.所以当−1−√52<a<0时，1−a2>a，如图：，由f (x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程无解.所以此时原方程有2个根；当a=−1−√52时，1−a2=a，如图：，由f(x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程有1个根.所以此时原方程有3个根；当a<−1−√52时，1−a2<a，如图：，由f(x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程有2个根.所以此时原方程有4个根；综上所述，当0⩽a⩽1或−1−√52<a<0时，原方程有2个根；当a>1或a=−1−√52时，原方程有3个根；当a<−1−√52时，原方程有4个根.对于A，对于a∈R，方程最多有4个根，故A错误；对于B，当1<a<1+√52时，方程有3个根，故B错误；对于C，当a=−1−√52时，方程有3个根，故C正确；对于D，当a<−1−√52时，方程有4个根，所以a⩽−4时，方程有4个根成立，故D正确. 故选：CD.26.【答案】ABD;【解析】【解析】此题主要考查二次函数性质，属于基础题.由f(2+x)=f(2−x)可知对称轴x=2，即−b2a=2，即可得到答案.解：由f(2+x)=f(2−x)可知对称轴x =2，即−b 2a=2，得4a =−b ，只有C 正确.故选A 、B 、D.27.【答案】ACD; 【解析】此题主要考查了函数定义域与值域，二次函数的最值，复合函数的单调性以及函数零点与方程根的关系，属于基础题．A 选项，将x =ln 3代入f(x)求解即可；B 选项，令f(x)=0，根据方程根的个数判断f(x)的图象与x 轴有几个交点；C 选项，求二次函数f(x)=(e x -1)2-4的最值即可；D 选项，利用复合函数的单调性判断即可．解：A 选项，f(ln 3)=e 2ln 3-2e ln 3-3=9-6-3=0，正确；B 选项，令f(x)=0，得(e x -3)(e x +1)=0，得e x =3或e x =-1(舍)，所以x =ln 3， 即函数f(x)的图象与x 轴只有1个交点，错误；C 选项，f(x)=(e x -1)2-4，当e x =1，即x =0时，f(x)min =-4，正确；D 选项，因为函数y =e x 在[0,+∞)上单调递增且值域为[1,+∞),函数y =x 2-2x -3在[1,+∞)上单调递增，所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，正确． 故选ACD .28.【答案】ACD; 【解析】此题主要考查基本不等式的应用和函数的最值，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解答该题的关键，属于中档题.利用基本不等式分别判断选项A ，B ，D 的对错，对于C ，由b =1−2a ，且0<a <12，转化为关于a 的二次函数，由函数的性质可得最值，可判断对错.解：∵正实数a ，b 满足2a +b =1，由基本不等式可得2a +b =1⩾2√2ab ， ∴ab ⩽18，当2a =b =12时等号成立，故ab 有最大值18，故A 正确； 由于(√2a +√b)2=2a +b +2√2ab =1+2√2ab ⩽2 ， ∴√2a +√b ⩽√2，当且仅当2a =b =12时等号成立， 故√2a +√b 有最大值为√2，故B 错误；由a ，b 均为正数，且2a +b =1，则b =1−2a ，且0<a <12，则a 2+b 2=a 2+(1−2a )2=5a 2−4a +1，当a =25∈(0,12)时，a 2+b 2有最小值15，故C 正确； b2a+2a b⩾2√b 2a =2,当且仅当2a =b =12时等号成立，a−12a −1−4b b=−a−b 2a −2a −3b b=52−b 2a−2a b⩽52−2=12,当且仅当b2a =2ab 时等号成立， 所以a−12a−1−4b b有最大值12，故D 正确，故选ACD .29.【答案】BCD; 【解析】此题主要考查函数的单调性、最值，属中档题.对于A ，求x =12和x =1时的函数值，即可判断不为单调递增，对于BC ，根据常见函数的单调性即可判断组合函数单调性、最值，对于D ，利用配方法求最值即可得解. 解：对于A:函数y =1f(x)+g(x)=1x+√x ，当x =12时，y =2+√22，当x =1时， y =2，所以函数y =1f(x)+g(x)在(0,+∞)上不单调递增，A 错误. 对于B:函数y =1f(x)−g(x)=1x −√x ，因为函数y =1x 和函数y =−√x 在(0,+∞)上单调递减， 所以y =1f(x)−g(x)在(0,+∞)上单调递减，B 正确.对于C:因为函数y =f(x)+g(x)=x +√x 在[0,+∞)上单调递增， 且当x =0时，y =0，所以y =f(x)+g(x)的最小值为0，C 正确. 对于D:函数y =f(x)−g(x)=x −√x =(√x −12)2−14，当√x =12时，函数y =f(x)−g(x)取得最小值，且最小值为−14，D 正确. 故选BCD.30.【答案】ABC; 【解析】根据函数的奇偶性，由已知区间的解析式，画出函数图象，令f(x)=t ，分别讨论a >14，a =14，316⩽a <14，0⩽a <316，四种情况，得出0⩽a <316满足题意，再根据对称性，得a <0时，−316<a <0满足题意，最后结合选项，即可得出结果．此题主要考查数形结合解决函数的零点个数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．解：因为f(x)是定义域为R 的奇函数，x >0时，f(x)=x(1−x)=−(x −12)2+14⩽14，且f(12)=14，画出函数f(x)的图象如下：令f(x)=t ，f(14)=316，当a >14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有一个交点，且t <−1， 由图象可得f(x)=t 只有一个根，不满足题意，当a =14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有两个不同交点，交点的横坐标分别记作t 1，t 2，则t 1<−1，t 2=12， 则f(x)=t 1与f(x)=t 2共有两个根，不满足题意，当316⩽a <14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有三个不同的交点， 记作t 1，t 2，t 3，不妨令t 1<t 2<t 3， 由图象可得，t 1<−1<14⩽t 2<12<t 3<1，则f(x)=t 1与f(x)=t 3各有一个根，而f(x)=t 2有一个或两个根，共三个或四个根，不满足题意，当0⩽a <316时，由图象可得y =a 与y =f(t)有三个不同的交点， 记作t 1，t 2，t 3，不妨令t 1<t 2<t 3，由图象可得，t 1⩽−1<0⩽t 2<14<12<t 3⩽1，则f(x)=t 1与f(x)=t 3以及f(x)=t 2共有5个根，满足题意，根据函数图象的对称性，当a <0时，为使关于x 的方程f[f(x)]=a 有5个不相等的实数根，只需要−316<a <0，综上，满足条件的a 的取值范围是(−316,316). 故选：ABC .。
高考数学二轮专题复习练习01不等式与不等关系
不等式与不等关系课堂巩固1.已知函数x x f x 2log )31()(-=，0a b c <<<，0)()()(<c f b f a f ，实数d 是函数()f x 的一个零点．给出下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >．其中可能成立的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42.若01,a <<()|log |a f x x =，则下列各式中成立的是（ ）11.(2)()()34A f f f >> 11.()(2)()43B f f f >>11.()(2)()34C f f f >> 11.()()(2)43D f f f >>3.不等式01312>+-x x 的解集是（A ）}2131|{>-<x x x 或 （B ）}2131|{<<-x x（C ）}21|{>x x（D ）}31|{->x x4.下列命题中，正确的命题是( )A 、若,a b c d >>，则ac bd >B 、若11a b>，则 a b <C 、若b c >，则a b a c ≥D 、若,a b c d >>，则a c b d ->-5.若22*1()1,()1,()()2f n n n g n n n n n N nϕ=+-=--=∈,用不等号从小到大连结起来为____________。
课后检测 一、选择题1.β+αβα,,是锐角，cos cos a αβ=+,sin sin b αβ=+,sin()c αβ=+,则有 ( )A. c b a <<B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<2.若2log (1)a a ＋<log (2)a a <0，那么a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，12） C ．（12，1） D ．（1，＋∞） 3.设xyy x yx P N M 3,)3(,233==+=+（其中0<x<y ），则M 、N 、P 的大小顺序是（ ）（A ）M<N<P（B ）N<P<M（C ）P<M<N（D ）P<N<M4.定义在上的偶函数满足：对任都有,当时, 则下列不等式成立的是 A ． B ．C ．D ．二、填空题5.若155a ≤≤，则1a a+的取值范围是 .6.在下列各命题中:①|a+b|－|a －b|≤2|b|； ②b 、c ∈R +,且x ≠0,则|bx+xc|≥2bc ； ③若|x －y|<ε,则|x|<|y|+ε；④当且仅当ab<0或ab=0时,|a|－|b|≤|a+b|中的等号成立.其中真命题的序号为_________.7.若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是 . 8.若110a b <<，则下列不等式：①ab b a <+；②||||b a >；③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有 （填序号）三、解答题9.求证ab+bc+cd+da ≤a 2+b 2+c 2+d 2并说出等号成立的条件．10.表示下列不等关系（1）a 是正数 （2）a+b 是非负数 （3）a 小于3，但不小于－1 （4）a 与b 的差的绝对值不大于5。
新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练1(附解析)
强化训练1 集合、常用逻辑用语、不等式一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·全国甲卷]设全集U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1，3}B ．{0，3}C ．{－2，1}D ．{－2，0}2．[2022·全国乙卷]设全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M 满足∁U M ＝{1，3}，则( )A ．2∈MB ．3∈MC ．4∉MD ．5∉M3．[2022·湖南常德一模]已知集合A ＝{x ∈Z |x 2≤1}，B ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，若A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，0，1}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{－1，0，1，2}D ．{x |－1≤x ≤2}4．[2022·山东潍坊二模]十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数n >2，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为( )A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 都没有正整数解B ．对任意正整数n ＞2，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解C.存在正整数n ≤2，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解D ．存在正整数n ＞2，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解5．[2022·江苏南京模拟]设a 、b 均为非零实数，且a <b ，则下列结论中正确的是( ) A ．1a >1bB ．a 2<b 2C ．1a 2 <1b 2D ．a 3<b 3 6．[2022·山东潍坊一模]已知a >0，则“a a >a 3”是“a >3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．[2022·广东汕头三模]下列说法错误的是( )A ．命题“∀x ∈R ，cos x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，cos x 0>1”B ．在△ABC 中，sin A ≥sin B 是A ≥B 的充要条件C ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“a >0，且b 2－4ac ≤0”D ．“若sin α≠12 ，则α≠π6”是真命题 8．[2022·河北保定二模]已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a 2＋3ab ＋4b 2＝7，则a ＋2b 的最大值为( ) A.2 B ．3C ．22D ．32二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·湖北武汉二模]已知集合A ＝{1，4，a }，B ＝{1，2，3}，若A ∪B ＝{1，2，3，4}，则a 的取值可以是( )A ．2B ．3C ．4D ．510．[2022·广东汕头二模]已知a ，b ，c 满足c <a <b ，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是( )A ．ac (a －c )>0B ．c (b －a )<0C ．cb 2<ab 2D ．ab >ac11．[2022·江苏南京三模]设P ＝a ＋2a，a ∈R ，则下列说法正确的是( ) A ．P ≥22B ．“a ＞1”是“P ≥22 ”的充分不必要条件C.“P ＞3”是“a ＞2”的必要不充分条件D ．∃a ∈(3，＋∞)，使得P ＜312．[2022·辽宁葫芦岛二模]已知a >b >0，a ＋b ＋1a ＋1b＝5，则下列不等式成立的是( )A.1<a ＋b <4B ．(1a ＋b )(1b＋a )≥4 C ．(1a ＋b )2>(1b＋a )2 D ．(1a ＋a )2>(1b＋b )2 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·南京师大附中模拟]命题“∀x >1，x 2≥1”的否定是____________．14．[2022·福建三明模拟]已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－ax ＋a <0，若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是________．15．[2022·湖南怀化一模]已知a ∈R ，且“x >a ”是“x 2>2x ”的充分不必要条件，则a 的取强化训练1 集合、常用逻辑用语、不等式1．解析：由题意，B ＝{x|x2－4x ＋3＝0}＝{1，3}，所以A ∪B ＝{－1，1，2，3}，所以∁U （A ∪B ）＝{－2，0}．答案：D2．解析：由题知M ＝{2，4，5}，对比选项知，A 正确，BCD 错误． 答案：A3．解析：解不等式x2≤1得：－1≤x≤1，于是得A ＝{x ∈Z|－1≤x≤1}＝{－1，0，1}，因A∩B ＝{1}，即1∈B ，解得m ＝3，则B ＝{1，2}，所以A ∪B ＝{－1，0，1，2}．答案：C4．解析：命题的否定形式为全称量词命题的否定是存在量词命题．故只有D 满足题意．答案：D5．解析：对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a <1b ，A 错误；对于B ，取a ＝－1，b ＝1，则a2＝b2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a2 ＝1b2 ，C 错误；对于D ，因a<b ，则b3－a3＝（b －a ）（b2＋ab ＋a2）＝（b －a ）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（b ＋12a ）2＋34a2 >0，即a3<b3，D 正确． 答案：D6．解析：若0<a<1，由aa>a3可得a<3，此时0<a<1； 若a ＝1，则aa ＝a3，不合乎题意；若a>1，由aa>a3可得a>3，此时a>3.因此，满足aa>a3的a 的取值范围是{a|0<a<1或a>3}，因为{a|0<a<1或a>3}{a|a>3}，因此，“aa>a3”是“a>3”的必要不充分条件．答案：B7．解析：A.命题“∀x ∈R ，cos x≤1”的否定是“∃x0∈R ，cos x0>1”，正确；B ．在△ABC 中，sin A≥sin B ，由正弦定理可得a 2R ≥b 2R （R 为外接圆半径），a≥b ，由大边对大角可得A≥B ；反之，A≥B 可得a≥b ，由正弦定理可得sin A≥sin B ，即为充要条件，故正确；C.当a ＝b ＝0，c≥0时满足ax2＋bx ＋c≥0，但是得不到“a>0，且b2－4ac≤0”，则不是充要条件，故错误；D ．若sin α≠12 ，则α≠π6 与α＝π6 则sin α＝12 的真假相同，故正确．答案：C8．解析：7＝（a ＋2b ）2－ab ＝（a ＋2b ）2－12 a·2b≥（a ＋2b ）2－12 （a ＋2b 2 ）2＝7（a ＋2b ）28， 则（a ＋2b ）2≤8，当且仅当a ＝2b ＝ 2 时，“＝”成立，又a ，b ∈（0，＋∞），所以0<a ＋2b≤2 2 ，当且仅当a ＝2b ＝ 2 时，“＝”成立，所以a ＋2b 的最大值为2 2 . 答案：C9．解析：因为A ∪B ＝{1，2，3，4}，所以{1，4，a}{1，2，3，4}，所以a ＝2或a ＝3.答案：AB10．解析：因为a ，b ，c 满足c<a<b ，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a －c>0，b －a>0，所以ac （a －c ）<0，c （b －a ）<0，cb2<ab2，ab>ac.答案：BCD11．解析：A 错误，当a<0时，显然有P 小于0；B 正确，a>1时，P ＝a ＋2a ≥2a·2a ＝2 2 ，当且仅当a ＝2a 时，即a ＝ 2 时等号成立．故充分性成立，而P≥2 2 只需a>0即可；C 正确，P ＝a ＋2a >3可得0<a<1或a>2，当a>2时P>3成立，故C 正确；D 错误，因为a>3有a ＋2a >3＋23 >3，故D 错误． 答案：BC12．解析：a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，即a ＋b ＋a ＋b ab ＝5，所以ab ＝a ＋b 5－（a ＋b ），因为a>b>0，所以由基本不等式得：ab<（a ＋b ）24 ，所以a ＋b 5－（a ＋b ） <（a ＋b ）24， 解得：1<a ＋b<4，A 正确；（1a ＋b ）（1b ＋a ）＝1ab ＋ab ＋2≥21ab ·ab ＋2≥4，当且仅当1ab ＝ab 时等号成立，故B 正确；（1a ＋b ）2－（1b ＋a ）2＝（1a ＋b ＋1b ＋a ）（1a ＋b －1b －a ）＝（1a ＋b ＋1b ＋a ）（1ab ＋1）（b －a ），因为a>b>0，所以（1a ＋b ＋1b ＋a ）（1ab ＋1）（b －a ）<0，所以（1a ＋b ）2<（1b ＋a ）2，C 错误；（1a ＋a ）2－（1b ＋b ）2＝（1a ＋a ＋1b ＋b ）（1a ＋a －1b －b ）＝（1a ＋a ＋1b ＋b ）（1ab －1）（b －a ），因为a>b>0，而1ab 可能比1大，可能比1小，所以（1a ＋a ＋1b ＋b ）（1ab －1）（b －a ）符号不确定，所以D 错误．答案：AB13．解析：因为命题“∀x>1，x2≥1”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即 “∃x>1，x2<1”．答案：“∃x>1，x2<1”14．解析：根据题意，∀x ∈R ，x2－ax ＋a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4a≤0⇒a ∈[0，4].答案：[0，4]15．解析：x2>2x 等价于x<0或x>2，而且“x>a”是“x2>2x”的充分不必要条件，则a≥2.答案：[2，＋∞）16．解析：因为第一象限的点M （a ，b ）在直线x ＋y －1＝0上，所以a ＋b ＝1，a>0，b>0，所以1a ＋2b ＝（a ＋b ）（1a ＋2b ）＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2 2 ，当且仅当a ＝ 2 －1，b ＝2－ 2 时等号成立．答案：3＋2 2。
新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题一小题专攻课件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由线面垂直的性质知，若m⊥α，n⊂α，则m⊥n成立，即充分性成立；根
据线面垂直的定义，m必须垂直平面α内的两条相交直线，才有m⊥α，即必要性
不成立．故选A.
6．[2023·河北邯郸一模]在等差数列{an}中，“a2 ＋a5＝a3 ＋am”是
答案：D
1 1
解析：对于A，如果 >
a b
，例如a＝－2，b＝－1
1 1
，则必定有 <
a b
1
，则－ >－1
2
，不能推出
a>b>0 ，如果a>b>0
，既不是充分条件也不是必要条件，错误；
对于B，如果ln (a＋1)>ln (b＋1) ，根据对数函数的单调性可知a＋1>b＋1，a>b，
但不能推出a>b>0 ，例如a＝1，b＝－0.5 ，不是充分条件，如果a>b>0 ，则a＋
2．要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不
易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．
3．要注意转化：¬p是¬q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条
件；¬p是¬q的充要条件⇔p是q的充要条件
[巩固训练2] (1)[2023·安徽合肥二模]设a∈R，则“a＝1”是“f(x)
＝ln ( x 2 + 1＋ax)为奇函数”的(
M∩
1
N＝{x|
3
≤ x < 16}.故选D.
1
}，所以
3
2．[2023·新课标Ⅱ卷]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，
2023届新高考数学二轮复习：专题(三角函数的范围与最值)提分练习(附答案)
2023届新高考数学二轮复习：专题（三角函数的范围与最值）提分练习【总结】一、三角函数()sin()f x A x ωϕ=+中ω的大小及取值范围 1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tkk ∈Z ； 2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tk k ∈Z ； 3、任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍，即()42T Tk k +∈Z ； 4、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内单调2Tb a ⇒-…且()22k a b k k πππωϕωϕπ-+++∈Z 剟?5、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内不单调(,)a b ⇒内至少有一条对称轴，2a kb πωϕπωϕ+++剟()k ∈Z6、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内没有零点2Tb a ⇒-…且(1)()k a b k k πωϕωϕπ+++∈Z 剟?7、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内有n 个零点(1)()(1)()k a k k k n b k n πωϕππωϕπ-+<⎧⇒∈⎨+-<++⎩Z ……． 二、三角形范围与最值问题1、坐标法：把动点转为为轨迹方程2、几何法3、引入角度，将边转化为角的关系4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．【典型例题】例1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．25D ．36例2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||,24ππϕ≤-为()f x的零点：且()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ） A ．11 B ．13C ．15D ．17例3．（2023ꞏ高一课时练习）如图，直角ABC ∆的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点,B C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA xOB yOC =+，（,x y ∈R ），记M OA OC =⋅，N x y =+，分别考查,M N 的所有运算结果，则A ．M 有最小值，N 有最大值B ．M 有最大值，N 有最小值C ．M 有最大值，N 有最大值D ．M 有最小值，N 有最小值例4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线，且221a b +=，则a b c ++的最大值为（ ） A．B．CD例5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦例6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（ ）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦例7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（ ）A ．3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．43⎤⎥⎣⎦ C ．43⎫⎪⎪⎝⎭D ．43⎫⎪⎪⎣⎭例8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）A ．0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．453⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭例9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,3A a π==，则2b 2c bc ++的取值范围为（ ）A ．(1，9]B ．(3，9]C ．(5，9]D ．(7，9]例10．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O 的圆，已知圆O 的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形,,,MN NP PQ QM 为亲水木平台区域（四边形MNPQ 是矩形，A ，D 分别为,MN PQ 的中点，50OA OD ==米），亲水玻璃桥以点A 为一出入口，另两出入口B ，C 分别在平台区域,MQ NP 边界上（不含端点），且设计成2BAC π∠=，另一段玻璃桥F D E --满足//,,//,FD AC FD AC ED AB ED AB ==．(1)若计划在B ，F 间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：1.732≈≈）(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为AB AC DE DF +++，宽度、连接处忽略不计）．例11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)设3a =，2c =，过B 作BD 垂直AC 于点D ，点E 为线段BD 的中点，求BE EA ⋅的值；(2)若ABC 为锐角三角形，2c =，求ABC 面积的取值范围．【过关测试】 一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知,a b R ∈，设函数1()cos 2f x x =，2()cos f x a b x =-，若当12()()f x f x ≤对[,]()∈<x m n m n 恒成立时，n m -的最大值为3π2，则（ ） A．1a ≥ B．1a ≤ C．2≥b D．2≤b 2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）ABC中，4AB ACB π=∠=，O 是ABC 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．53．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABCcos cos ()sin sin A CA B C a c+=，且cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ） A．(4⎤⎦B．(2,C ．(]0,4D ．(]2,44．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设ω∈R ，函数()()22,0,6314,0,22sin x x f x g x x x x x πωωω⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎪++<⎪⎩．若()f x 在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，则ω的取值范围是（ ）A ．12,43⎛⎤ ⎝⎦B．233⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C．14⎡⎢⎣⎭D ．4412,0,33⎡⎫⎡⎤-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦5．（2023秋ꞏ湖南长沙ꞏ高三长郡中学校考阶段练习）已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π；③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，； ④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）A ．在()0,π不存在1x ，2x 使得()()122f x f x -=B ．函数()f x 在()0,π仅有1个最大值点C ．函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调进增D ．实数ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．2⎢⎣D ．32⎡⎢⎣二、多选题9．（2023秋ꞏ山东济南ꞏ高三统考期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()tan 1tan tan A B A B +-= ） A ．π6A =B ．若b c -=，则ABC 为直角三角形C ．若ABC 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为D ．若D 为边BC 上一点，且1,:2:AD BD DC c b ==，则2b c +的最小值为710．（2023秋ꞏ江苏苏州ꞏ高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()2sin 212cos xf x x=+，则下列说法中正确的是（ ）A ．()()f x f x π+=B ．()f xC ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．若函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60646067,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．22S a bc +的最大值为12B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 12．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos c b b A -=，则下列结论正确的有（ ）A ．2AB = B ．B 的取值范围为0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．ab的取值范围为)2D ．112sin tan tan A B A -+的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭三、填空题13．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若5412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 在区间5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=_______． 14．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，已知π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且对于任意的x R ∈都有ππ066f x f x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在5π2π,369⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为______.15．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||2πϕ…，4π-为()f x 的零点，且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上有最小值无最大值，则ω的最大值是_______16．（2023ꞏ全国ꞏ高三对口高考）在ABC 中，)(),cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________17．（2023ꞏ高一课时练习）用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为________．18．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，cos cos 4b C c B -=，43C ππ≤≤，则tan A 的最大值为_______.19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，若120BAC ∠=︒，点D 为边BC 的中点，1AD =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值为______.20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．21．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得cos()n θϕ+<θ的最小值是___ 22．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A B >，若7sin 2cos sin 25C A B =+，则tan B 的取值范围为_______． 24．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.25．（2023秋ꞏ湖南衡阳ꞏ高一衡阳市八中校考期末）设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对于任意实数ϕ，()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是________．26．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()211(sin )sin 20,22f x x x R ωωωω=+->∈，若()f x 在区间(),2ππ内没有极值点，则ω的取值范围是___________.27．（2023秋ꞏ江苏苏州ꞏ高三苏州中学校考阶段练习）某小区有一个半径为r 米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域I （区域ACD ），区域II （区域CBE ）内分别种上甲和乙两种花卉（如图），已知甲种花卉每平方米造价是a 元，乙种花卉每平方米造价是3a 元，设∠BOC =θ，中植花卉总造价记为()f θ，现某同学已正确求得：()()2f arg θθ=，则()g θ=___________；种植花卉总造价最小值为___________.28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()2sin cos 0,06f x x a x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭对任意12,x x R ∈都有()()12f x f x +≤若()f x 在[]0,π上的取值范围是3,⎡⎣，则实数ω的取值范围是__________．29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若2a =，且2sin sin (sin sin )B A A C =+，则ABC 的周长的取值范围为__________． 30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC ∆中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD长的取值范围是_______; 四、解答题31．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值；32．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,sin cos 6a b c b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求角B 的大小；（2）设点D 是AC 的中点，若BD =，求a c +的取值范围．参考答案【总结】一、三角函数()sin()f x A x ωϕ=+中ω的大小及取值范围 1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tkk ∈Z ； 2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tk k ∈Z ； 3、任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍，即()42T Tk k +∈Z ； 4、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内单调2Tb a ⇒-…且()22k a b k k πππωϕωϕπ-+++∈Z 剟?5、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内不单调(,)a b ⇒内至少有一条对称轴，2a kb πωϕπωϕ+++剟()k ∈Z6、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内没有零点2Tb a ⇒-…且(1)()k a b k k πωϕωϕπ+++∈Z 剟?7、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内有n 个零点(1)()(1)()k a k k k n b k n πωϕππωϕπ-+<⎧⇒∈⎨+-<++⎩Z ……．二、三角形范围与最值问题1、坐标法：把动点转为为轨迹方程2、几何法3、引入角度，将边转化为角的关系4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．【典型例题】例1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．25D ．36【答案】A【答案解析】因为ABC 的内切圆的面积为16π，所以ABC 的内切圆半径为4．设ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．因为7cos 25A =，所以24sin 25A =，所以24tan 7A =．因为1sin 2ABC S bc A ==△1()42a b c ++⨯，所以25()6bc a b c =++．设内切圆与边AC 切于点D ，由24tan 7A =可求得3tan 24A ==4AD ，则163AD =．又因为2b c a AD +-=，所以323b c a +=+．所以2532251626333bc a a ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为b c +≥323a +≥即23210016333a a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得21264a a --0≥．因为0a >，所以16a ≥，当且仅当403b c ==时，a 取得最小值． 故选：A ．例2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||,24ππϕ≤-为()f x 的零点：且()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．17【答案】C【答案解析】由题意，4x π=是()f x 的一条对称轴，所以14f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即11,42k k Z ππωϕπ+=+∈①又04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22,4k k Z πωϕπ-+=∈②由①②，得()1221k k ω=-+，12,k k Z ∈又()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭区间上有最小值无最大值，所以24128T πππ⎛⎫≥--= ⎪⎝⎭ 即28ππω≥，解得16ω≤，要求ω最大，结合选项，先检验15ω=当15ω=时，由①得1115,42k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即1113,4k k Z πϕπ=-∈，又||2πϕ≤ 所以4πϕ=-，此时()sin 154f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,1224x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3315,428x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当1542x ππ-=-即60x π=-时，()f x 取最小值，无最大值，满足题意.故选：C例3．（2023ꞏ高一课时练习）如图，直角ABC ∆的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点,B C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA xOB yOC =+，（,x y ∈R ），记M OA OC =⋅，N x y =+，分别考查,M N 的所有运算结果，则A ．M 有最小值，N 有最大值B ．M 有最大值，N 有最小值C ．M 有最大值，N 有最大值D ．M 有最小值，N 有最小值【答案】B【答案解析】依题意30,2,90BCA BC A ∠==∠= ，所以1AC AB ==.设OCB α∠=，则30,090ABx αα∠=+<< ，所以()())30,sin 30Aαα++ ，()()2sin ,0,0,2cos B C αα，所以()()12cos sin 30sin 2302M OA OC ααα==+=++⋅ ，当23090,30αα+== 时，M 取得最大值为13122+=.OA xOB yOC =+ ，所以()()30sin 30,2sin 2cos x y αααα++==，所以()()30sin 302sin 2cos N x y αααα++=+=+12sin 2α=+，当290,45αα== 时，N 有最小值为1故选B. 例4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线，且221a b +=，则a b c ++的最大值为（ ）A ．B ．C D 【答案】D【答案解析】由221a b +=，令sin ,cos a b θθ==， 由()sin cos f x a x b x cx =++，得()cos sin sin cos cos sin f x a x b x c x x c θθ'=-+=-+()sin x c θ=-+，所以()11c f x c '-≤≤+由题意可知，存在12,x x ，使得12()()1f x f x ''=-，只需要21111c c c -+=-≥，即211c -≤-，所以20c ≤，0c =，πsin cos 4a b c a b θθθ⎛⎫++=+=+=+≤ ⎪⎝⎭所以a b c ++故选: D.例5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】A【答案解析】设()(2)ln(1)g x x x =-+，()cos 34h x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，求导()23ln(1)ln(1)111x g x x x x x -'=++=++-++ 由反比例函数及对数函数性质知()g x '在(]1,,0m m ->上单调递增，且102g ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()10g '>，故()g x '在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内必有唯一零点0x ，当()01,x x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(]0,x x m ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；令()0g x =，解得0x =或2，可作出函数()g x 的图像， 令()0h x =，即3,42x k k Z πππ+=+∈，在(]0,π之间解得12x π=或512π或34π，作出图像如下图数形结合可得：π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，故选：A例6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（ ）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】B【答案解析】由已知，函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111π2ππ2πZ 3k x k k ω-≤-≤∈，解得：()1112π2π2ππZ 33k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()111Z π,π,642π2π2ππ33k k k ωωωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦-+∈，所以112ππ2π632πππ43k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()11141248Z 3k k k ω-≤≤+∈① 又因为函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()0f x ≥恒成立，所以()222πππ2π2π+Z 232k x k k ω-≤-≤∈，解得：()2222π2ππ5πZ 66k k x k ωωωω-≤≤+∈， 由于()2222π2ππ5π,Z 6π,46π3k k k ωωωω-+⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣∈⎦，所以222πππ462ππ5π36k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()2222586Z 32k k k ω-≤≤+∈② 又因为0ω>，当120k k ==时，由①②可知：04432532ωωω⎧⎪>⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，解得403ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，；当121k k ==时，由①②可知：02883221732ωωω⎧⎪>⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩，解得1782ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.所以ω的取值范围为4170,8,32⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选：B.例7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（ ）A．3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．433⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C．4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．4,33⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【答案解析】在ABC 中，1sin()sin ,sin 2A CB S ac B +==， 故题干条件可化为22b a ac -=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 故2cos c a B a =+，又由正弦定理化简得：sin 2sin cos sin sin cos cos sin C A B A A B A B =+=+，整理得sin()sin B A A -=，故B A A -=或B A A -=π-（舍去），得2B A =ABC 为锐角三角形，故02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64A ππ<<tan 1A <<114tan tan (,3tan()3tan 33A AB A A +=+∈- 故选：C例8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．45⎡⎢⎣⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【答案解析】延长CG 交AB 于D ，如下图所示：G 为ABC 的重心，D ∴为AB 中点且3CD DG =，AG BG ⊥ ，12DG AB ∴=，3322CD AB c ∴==；在ADC △中，2222222225522cos 3232c bAD CD AC c b ADC AD CD c c -+--∠===⋅； 在BDC 中，2222222225522cos 3232c a BD CD BC c a BDC BD CD c c -+--∠===⋅； BDC ADC π∠+∠= ，cos cos BDC ADC ∴∠=-∠，即222222525233c a c b c c--=-，整理可得：22225a b c c +=>，C ∴为锐角； 设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，2222222255a ba b a b b a ⎧+>+⎪⎪∴⎨+⎪<+⎪⎩，22221115511155b b a a b b a a ⎧⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎛⎫⎪<++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：223b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 0a b >>，03b a ∴<<，由余弦定理得：22222222cos 255533a b c a b a b C ab ab b a ⎛⎫+-+⎛⎫==⋅=+>⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝， 又C为锐角，cos 1C <<，即cos C的取值范围为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.例9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若,3A a π==，则2b 2c bc ++的取值范围为（ ）A ．(1，9]B ．(3，9]C ．(5，9]D ．(7，9]【答案】D【答案解析】因为,3A a π==，由正弦定理可得22sin sin sin 3ab cAB B π====⎛⎫-⎪⎝⎭， 则有22sin ,2sin 3b B c B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由ABC 的内角,,A B C 为锐角，可得0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，512sin 2124sin 2462666266B B B B πππππππ⎛⎫⎛⎫∴<<⇒<-<⇒<-≤⇒<-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由余弦定理可得222222cos 3,a b c bc A b c bc =+-⇒=+- 因此有2223b c bc bc ++=+28sin sin 33B B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2cos 4sin 3B B B =++22cos 25B B =-+(]54sin 27,96B π⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭故选：D.例10．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O 的圆，已知圆O 的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形,,,MN NP PQ QM 为亲水木平台区域（四边形MNPQ 是矩形，A ，D 分别为,MN PQ 的中点，50OA OD ==米），亲水玻璃桥以点A 为一出入口，另两出入口B ，C 分别在平台区域,MQ NP 边界上（不含端点），且设计成2BAC π∠=，另一段玻璃桥F D E --满足//,,//,FD AC FD AC ED AB ED AB ==．(1)若计划在B ，F 间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：1.732≈≈）(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为AB AC DE DF +++，宽度、连接处忽略不计）．【答案解析】（1）由题意，50,100OA OM ==，则100,2MQ AM BAC π==∠=，设,2MAB NAC πθαθ∠=∠==-．若C ，P重合，1tan tan tan 2αθα=====75MB =，∴75tan tan MB MB AM θθθ<<<<=⋅=，tan NC AN α=⋅=而100100MF CP NC ==-=∴1tan 1001)tan BF MB MF θθ⎫=-=+-≥⎪⎭，当tan 1θ=（符合题意）时取等号，又1)70->， ∴可以修建70米长廊． （2）cos cos AM AN AB AC θα====cos )cos sin sin cos AB AC θθθθθθ++=+=．设sin cos 4t πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则212sin cos t θθ=+，即21sin cos 2t θθ-=．AB AC t t+==-1）知tan 2θ<<，而132<<<<θ∃使42ππθ+=且3444πππθ<+<，即112t t t <≤<-≤，∴AB AC t t+=≥-4t πθ==时取等号． 由题意，AB AC DE DF +=+，则玻璃桥总长的最小值为米，∴铺设好亲水玻璃桥，最少需0.3=例11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)设3a =，2c =，过B 作BD 垂直AC 于点D ，点E 为线段BD 的中点，求BE EA ⋅的值；(2)若ABC 为锐角三角形，2c =，求ABC 面积的取值范围．【答案解析】(1)πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理得：π1sin sin sin sin sin sin sin cos 322B A A B A B A B ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以1sin sin cos 02A B A B =，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以1sin 02B B =，即tan B =因为()0,πB ∈，所以π3B =， 因为3a =，2c =，由余弦定理得：2222cos 9467b a c ac B =+-=+-=， 因为0b >，所以b =，其中11sin 3222ABC S ac B ==⨯⨯=△，所以2ABC S BD AC === 因为点E 为线段BD的中点，所以BE = 由题意得：EA ED DA BE DA =+=+，所以()227028BE EA BE BE DA BE ⋅=⋅+=+= . (2)由（1）知：π3B =，又2c =， 由正弦定理得：2πsin sin sin 3a cA CA ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以2sin πsin 3A a A ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，所以π0,22ππ0,32A C A ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan A ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭()0,3，()11,4tan A +∈，故()1,4a =，ABC面积为1sin ,222S ac B a ⎛==∈ ⎝ 故ABC面积的取值范围是2⎛ ⎝.【过关测试】 一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知,a b R ∈，设函数1()cos 2f x x =，2()cos f x a b x =-，若当12()()f x f x ≤对[,]()∈<x m n m n 恒成立时，n m -的最大值为3π2，则（ ） A．1a ≥ B ．1a C ．2≥b D ．2≤b 【答案】A【答案解析】设[]cos ,x t x m n ∈=，，因为n m -的最大值为3ππ22T>=，所以[,]x m n ∈时，cos t x =必取到最值，当3π2n m -=时，根据余弦函数对称性得cos 12π22m n m Z nk k ++=⇒=∈,，此时3π3πcos cos(cos(2π)cos 22442m n n mm k +-=-=-==-3π3πcos cos(cos(2π)cos 22442m n n m n k +-=+=+==-或者cos1π+2π22m n m n Z k k ++=-⇒=∈,，此时3π3πcos cos(cos(2π+π)cos 22442m n n m m k +-=-=-=-=3π3πcos cos(cos(2π+π)cos 22442m n n m n k +-=+=+=-=由()2212()()2cos 1cos 2cos cos 10f x f x x a b x x b x a ≤⇒-≤-⇒+-+≤，设[]cos ,x t x m n ∈=，时 ()2210t bt a +-+≤对应解为12t t t ≤≤，由上分析可知当1t =，21t ≥或11t ≤-，2t =n m -的最大值为3π2，所以122t t ≤-，即122a +-≤，所以1a ≥.12122b t t -=+≥-或12122b t t -=+≤-+，即2b ≤或2≥-b 故选：A.2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）ABC 中，4AB ACB π=∠=，O 是ABC 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5【答案】C【答案解析】过点O 作,OD AC OE BC ⊥⊥，垂足分别为D ，E ，如图，因O 是ABC 外接圆圆心，则D ，E 分别为AC ，BC 的中点，在ABC 中，AB CB CA =-，则222||||||2AB CA CB CA CB =+-⋅ ，即22||||22CA CB CA CB +-⋅=，21|cos |2CO CA CO CA OCA CD CA CA ⋅=∠=⋅=，同理21||2CO CB CB ⋅= ，因此，()OC AB CA CB OC CB CA CA CB CO CA CO CB CA CB ⋅+⋅=⋅-+⋅=⋅-⋅+⋅ 2222211||||2||||||1222CA CB CA CB CA +-=-+=-，由正弦定理得：||sin ||2sin 2sin sin 4AB B BCA B ACB π===≤∠ ，当且仅当2B π=时取“=”， 所以OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为3. 故选：C3．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABCcos cos ()sin sin A CA B C a c+=，且cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ） A．(4⎤⎦B．(2,C ．(]0,4D ．(]2,4【答案】Acos 2sin()26C C C π+=+=，得262C k πππ+=+，Z k ∈，(0,)2C π∈ ，3C π∴=．由题cos cos A C a c +=cos cos 2b A Cb a ca +==，故cos cos sin sin 2sin A C bA C A+=，即sin cos sin sin cos 2b C A C A C ⋅+⋅==故()sin sin A C B +==即sin b B =由正弦定理有sin sin sin a b c A B C ===，故a A =，b B =，又锐角ABC ，且3C π=，(0,)2A π∴∈，2(0,)32B A ππ=-∈，解得(6A π∈，2π，2sin )sin()]3a b A B A A π∴+=++-1sin )4sin(26A A A A π+=+， (6A π∈ ，2π，(63A ππ∴+∈，2)3π，sin()6A π+∈1]， a b ∴+的取值范围为(4⎤⎦．故选：A ．4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设ω∈R ，函数()()22,0,6314,0,22sin x x f x g x x x x x πωωω⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎪++<⎪⎩．若()f x 在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，则ω的取值范围是（ ）A ．12,43⎛⎤ ⎝⎦B．23⎤⎥⎝⎦C．143⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4412,0,33⎡⎫⎡⎤-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦【答案】B【答案解析】当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，,6626x πππωπω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭， 因为()f x 在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以262413312sin 62πωππωπ⎧+≤⎪⎪⎪-≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得1243ω≤≤， 又因函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，所以在(),0x ∈-∞上函数()f x 与()g x 的图象有两个交点，即方程231422x x x ωω++=在(),0x ∈-∞上有两个不同的实数根，即方程23610x x ω++=在(),0x ∈-∞上有两个不同的实数根，所以22Δ3612003060102ωωω⎧⎪=->⎪-<⎨⎪⎪⨯+⨯+>⎩，解得3ω>，当233ω⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，当0x ≥时，令()()2sin 6f x g x x x πωω⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，由()()10f x g x -=>， 当562x ππω+=时，73x πω=， 此时，()()7203f xg x π-=-<， 结合图象，所以0x ≥时，函数()f x 与()g x 的图象只有一个交点，综上所述，233ω⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦. 故选：B.5．（2023秋ꞏ湖南长沙ꞏ高三长郡中学校考阶段练习）已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】C【答案解析】π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππππ,π3333x ωωω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，其中2ππ4ππ3ωω≤-<，解得：36ω≤<，则ππ4π333ω+≥，要想保证函数在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有三个零点，满足①1111πππ+2π2π+2π33π4π+2π<π5π+2π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，1k Z ∈，令10k =，解得：1114,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；或要满足②2222ππ2ππ+2π33π2π+3π<π2π+4π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，2k Z ∈，令21k =，解得：175,3ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；经检验，满足题意，其他情况均不满足36ω≤<条件，综上：ω的取值范围是111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：C6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π；③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，； ④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】B【答案解析】由函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω，令,42x k k Z ππωπ+=+∈，则()14,4k x k Zπω+=∈函数()f x 在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，即()1404k ππω+≤≤有4个整数k 符合，由()1404k ππω+≤≤，得140101444k k ωω+≤≤⇒≤+≤，则0,1,2,3k =， 即1434144ω+⨯≤<+⨯，131744ω∴≤<，故③正确； 对于①，(0,)x π∈ ，,444x ωωππππ⎡⎫∴+∈+⎪⎢⎣⎭，79,422ππωππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭当,442x ωππ7π⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点；当,442x ωππ9π⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间(0,)π上有且仅有4个不同的零点；故①错误；对于②，周期2T πω=，由131744ω≤<，则4141713ω<≤，881713T ππ∴<≤， 又88,21713πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()f x 的最小正周期可能是2π，故②正确； 对于④，015x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,，44154x ωωππππ⎛⎫∴+∈+ ⎪⎝⎭,，又131744ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，78,1541515ωππππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭ 又8152ππ>，所以()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不一定单调递增，故④错误．故正确结论的序号是：②③ 故选：B7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）A ．在()0,π不存在1x ，2x 使得()()122f x f x -=B ．函数()f x 在()0,π仅有1个最大值点C ．函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调进增D ．实数ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【答案解析】对于A,()f x 在[]0,π上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期T π< ， 所以在[]0,π上存在12,x x ，且12()1,()1f x f x ==- ，使得()()122f x f x -=，故A 错误； 由图象可知，函数在()0,π可能有两个最大值，故B 错误; 对于选项D,令,6x k k Z πωπ-=∈ ，则函数的零点为1(6x k k Z ππω=+∈ ,所以函数在y 轴右侧的四个零点分别是：71319,,,6666ππππωωωω， 函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，所以136196ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩ ，解得1319[,66ω∈ ，故D 正确； 由对选项D 的分析可知，ω的最小值为136， 当02x π<< 时，11(,)6612x πππω-∈-， 但11(,)612ππ-不是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的子集， 所以函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调进增的，故C 错，故选：D.8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C A A C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ） A．2⎝ B．32⎛ ⎝C．2⎢⎣D．32⎡⎢⎣【答案】A【答案解析】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π= ∴cos cos sin sin sin B C AB b cC ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴cos cos c B b C ⋅+⋅==∴sin sin cos cos sin 3A C B C B +=∴sin()sin B C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin 326a c A C A A A A A ππ+=+=+-==+203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤a c <+≤故选：A . 二、多选题9．（2023秋ꞏ山东济南ꞏ高三统考期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()tan 1tan tan A B A B +-= ） A ．π6A =B ．若b c -=，则ABC 为直角三角形C ．若ABC 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为D ．若D 为边BC 上一点，且1,:2:AD BD DC c b ==，则2b c +的最小值为7【答案】BCD【答案解析】对于A ，因为()()tan 1tan tan A B A B +-=tan tan A B +=，()sin cos tan tan C A B A B =+()sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos cos A B A B A B CA B A A A B A A++=⋅=⋅=⋅，cos sin sin C A A C =，因为0πC <<，所以sin 0C >，故tan A = 又0πA <<，所以π3A =，故A 错误；对于B ，由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，因为3b c a -=，即3b a c =+，代入上式得222a c c c c ⎫=+⎫⎪⎪⎝+-+⎪⎭⎭⎪⎝，整理得22320c a +-=，解得a =或2a c =-（舍去），则2b c =，所以222b a c =+，故B 正确；对于C ，设,,AB AC BC 边上的高分别是,,CE BF AD ，则由三角形面积公式易得222,,AD BF CE a b c ===，则()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，因为111a b c ++≥111a b c ==，即a b c ==时，等号成立，此时21sin 12S bc A ===，得2b =所以()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯=≤ ⎪⎝⎭C 正确； 对于D ，因为:2:BD DC c b =，所以22c AD AB AB BC b c BD =+=++()22222c b c AB AC AB AB AC b c b c b c=+-=++++ ，可得22222224212cos 60(2)(2)(2)b c bc c b cb b c b c b c ︒=+++++，整理得()22227b c b c +=，故12c b +=所以()1222225b c b c b c c b c b ⎫⎫+=++=++⎪⎪⎭⎭57⎛⎫≥=⎪⎪⎭，当且仅当22b c c b =且12c b +=，即7b c ==时，等号成立，所以2b c +≥2b c +D 正确. 故选：BCD.10．（2023秋ꞏ江苏苏州ꞏ高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()2sin 212cos xf x x=+，则下列说法中正确的是（ ） A ．()()f x f x π+=B ．()f xC ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．若函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60646067,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】ABD【答案解析】()2sin 2sin 2sin 21cos 212cos 2cos 2122xx xf x x xx ===+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， A 选项：()()()()sin 22sin 22cos 222cos 2x xf x f x x xπππ++===+++，A 选项正确；B 选项：设()sin 22cos 2xf x t x==+，则()sin 2cos 222x t x t x ϕ-==+≤解得213t ≤，t ≤≤，即max t =，即()f xB 选项正确；C 选项：因为022f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误；D 选项：()()()()()222cos 22cos 2sin 22sin 24cos 222cos 22cos 2x x x x x f x x x +--+'==++，令()0f x '=，解得1cos 22x =-，即3x k ππ=+或23x k ππ=+，Z k ∈， 当2,33x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈时，()0f x '<，函数单调递减， 当当24,33x k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，Z k ∈时，()0f x ¢>，函数单调递增， 所以函数()f x 的极大值点为3π，43π，L ，()13n ππ+-， 又函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则2021,202233a ππππ⎛⎤∈++ ⎥⎝⎦，即60646067,33a ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，D 选项正确； 故选：ABD.11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB的面积为13【答案】ACD【答案解析】对于选项A ：。
【金版学案】高考数学理科二轮复习习题：专题专题综合检测卷(一)含答案
专题综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)本部分学生用书单独成册一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·湖南卷)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的(C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵ A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，∴ “A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件．2．若f (x )＝1log 12（2x ＋1），则f (x )的定义域为(A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：由题意，得log 12(2x ＋1)>0，即0<2x ＋1<1，解得－12<x <0.3．已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则(C )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b解析：∵－log 30.3＝log 3103>1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∵y ＝5x 为增函数，∴5log 23.4>5log 43.6，即5log 23.4>⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3>5log 43.6，∴a >c >b .4．(2014·新课标Ⅱ卷)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则(C )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：若x ＝x 0是函数f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0；若f ′(x 0)＝0，则x ＝x 0不一定是极值点，例如f (x )＝x 3，当x ＝0时，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件．选C.5．函数y ＝cos 6x2x －2－x的图象大致为(D )解析：函数f(x)＝cos 6x2x－2－x，f(－x)＝cos 6x2－x－2x＝－f(x)，f(x)为奇函数，当x→0且x＞0时f(x)→＋∞；当x→0，且x＜0时f(x)→－∞；当x→＋∞，2x－2－x→＋∞，f(x)→0；当x→－∞，2x－2－x→－∞，f(x)→0.故选D.6．设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD；反之若AC⊥BD，则四边形不一定是平行四边形，故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．故选A.7．(2014·新课标Ⅱ卷)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(D)A．0 B．1 C．2 D．3解析：因为y＝a－1x＋1，所以切线的斜率为a－1＝2，解得a＝3.故选D.8. 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是(A)A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x解析：根据函数奇偶性的判断可得选项A、B为偶函数，C为奇函数，D为非奇非偶函数，所以排除C，D选项，由二次函数的图象可得选项B在(－∞，0)是单调递减的，根据排除法选A.因为函数y＝x 2在(－∞，0)是单调递减的且y ＝1x在(0，＋∞)是单调递减的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A 在(－∞，0)是单调递增的．9．(2014·辽宁卷)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为(A ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34 解析：先画出当x ≥0时，函数f (x )的图象，又f (x )为偶函数，故将y 轴右侧的函数图象关于y 轴对称，得y 轴左侧的图象，如下图所示，直线y ＝12与函数f (x )的四个交点横坐标从左到右依次为－34，－13，13，34，由图象可知，13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－13，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.故选A.10．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则(A )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是(C )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：由f (x )≥0，可得x ≥0或x ≤－1.当x ≤－1时，f (x )≥1；当x ≥0时，f (x )≥0.又g (x )为二次函数，其值域为(－∞，a ]或[b ，＋∞)，而f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，可知g (x )≥0.12．已知函数f (x )＝33x －1ax 2＋ax －3的定义域是R ，则实数a 的取值范围是(B )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a >13 B ．{a |－12<a ≤0} C ．{a |－12<a <0} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≤13 解析：由a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝a 2－4a ×（－3）<0，可得－12<a ≤0.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．设f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x ，x ＞0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围是(－∞，2]．解析：由题意，当x ＞0时，f (x )的极小值为f (1)＝2；当x ≤0时，f (x )极小值为f (0)＝a ，f (0)是f (x )的最小值，则a ≤2.14．(2014·江西卷)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是(e ，e)．解析：因为y ′＝ln x ＋1，设切点(a ，b )，则k ＝ln a ＋1＝2，a ＝e ，又b ＝a ln a ＝e ，所以P (e ，e)．15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1，0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x －2y 在D 上的最大值为2．解析：∵f ′(x )＝1x ，∴k ＝f ′(1)＝1，∴切线l ：y ＝x －1.因而切线l 、曲线f (x )、x 轴围成三角形区域，其中最优解是(0，－1)，代入得z max ＝2.16．(2015·山东卷)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值． 解析：(1)A ＝{x |x 2＜4}＝{x |－2＜x ＜2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜4x ＋3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －1x ＋3＜0＝{x |－3＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}． (2)因为2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为 B ＝{x |－3＜x ＜1}．所以－3和1为2x 2＋ax ＋b ＝0的两根． 故⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝－3＋1，b 2＝－3×1.所以a ＝4，b ＝－6.18．(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )·x ＋ax ，且g (x )在区间[0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵f (x )的图象与h (x )关于A (0，1)对称，设f (x )图象上任意一点坐标为B (x ，y )，其关于A (0，1)对称点B ′(x ′，y ′)．则⎩⎨⎧x ′＋x2＝0，y ＋y ′2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2－y ，∵B ′(x ′，y ′)在h (x )上，∴y ′＝x ′＋1x ′＋2.∴2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(2)g (x )＝x 2＋ax ＋1， ∵g (x )在[0，2]上为减函数， ∴－a2≥2，即a ≤－4，∴a 的取值范围为(－∞，－4]．19．(12分)已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )(a ＞0)，讨论f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ＝a 2－8＜0，即0＜a ＜22时，对一切x ＞0都有f ′(x )＞0，此时f (x )在(0，＋∞)上是增函数．②当Δ＝a 2－8＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x ＞0都有f ′(x )＞0，此时f (x )在(0，＋∞)上也是增函数．③当Δ＝a 2－8＞0，即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82与⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增， 在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减．20．(12分)如图所示，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R)，E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10，0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围确定移动速度v ，使淋雨量y 最少．解析：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v (3|v －c |＋10)．(2)由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5（3c ＋10）v －15； 当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5（10－3c ）v＋15. 故y ＝⎩⎨⎧5（3c ＋10）v－15，0<v ≤c ，5（10－3c ）v ＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数， 故当v ＝10时，y min ＝20－3c2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c ，10]上，y 是关于v 的增函数，故当v ＝c 时，y min ＝50c.21．(12分)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )变化情况见下表：∴x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知1＋ax 2－2ax ≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.∴a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．22．(12分)(2015·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)．(1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪(1，32)∪(32，＋∞)，求c 的值．解析：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，x ∈(－∞，－2a 3)∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈(－2a 3，0)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，－2a 3)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2a 3，0)上单调递减；当a <0时，x ∈(－∞，0)∪(－2a 3，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈(0，－2a 3)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，0)，(－2a 3，＋∞)上单调递增，在(0，－2a 3)上单调递减．(2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，f (－2a 3)＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f (－2a 3)＝b (427a 3＋b )<0，从而 ⎩⎨⎧a >0，－427a 3<b <0或⎩⎨⎧a <0，0<b <－427a 3.又b ＝c －a ，所以当a >0时，427a 3－a ＋c >0或当a <0时，427a 3－a ＋c <0.设g (a )＝427a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪(1，32)∪(32，＋∞)， 则在(－∞，－3)上g (a )<0，且在(1，32)∪(32，＋∞)上g (a )>0均恒成立，从而g (－3)＝c －1≤0，且g (32)＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a ]，因为函数有三个零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3>0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪(1，32)∪(32，＋∞)． 综上c ＝1.。
(通用版)高考数学二轮复习 稳取120分保分练(一)文-人教版高三全册数学试题
稳取120分保分练(一)一、选择题1．若z ＝2－i2＋i ，则|z |＝( )A.15 B ．1 C ．5D ．25解析：选B z ＝2－i2＋i＝2－i 22＋i 2－i ＝35－45i ，则|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝1.2．设集合A ＝{x ∈Z||x |≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|32x ≤1，则A ∩B ＝( )A ．{1,2}B ．{－1，－2}C ．{－2，－1,2}D ．{－2，－1,0,2}解析：选C A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≥32或x ＜0，所以A ∩B ＝{－2，－1,2}．3．向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．45° B ．60° C ．90°D ．120°解析：选C 因为(a ＋b )⊥(2a －b )，所以(a ＋b )·(2a －b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝4＋a ·b －4＝0，即a ·b ＝0，从而a ⊥b ，即向量a ，b 的夹角为90°.4．已知一组数据(2,3)，(4,6)，(6,9)，(x 0，y 0)的线性回归方程为y ^＝x ＋2，则x 0－y 0的值为( )A ．2B ．4C ．－4D ．－2解析：选D 由题意知x －＝14(2＋4＋6＋x 0)＝14(12＋x 0)，y －＝14(3＋6＋9＋y 0)＝14(18＋y 0)，∵线性回归方程为y ^＝x ＋2， ∴14(18＋y 0)＝14(12＋x 0)＋2， 解得x 0－y 0＝－2.5．已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A ∵a ＝243，b ＝425＝245，43＞45，∴a ＞b ，又a ＝243＝316，c ＝325，∴a ＜c ，故c ＞a ＞b .6．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且a ＝4，b ＋c ＝5，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则△ABC 的面积为( )A.32 B ．3 3C.332D.32解析：选C 由题意可知，tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B，整理化简得，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，所以tan C ＝3，即C ＝60°，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，把a＝4，b ＋c ＝5，C ＝60°代入，解得b ＝32，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝332，故选C.7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，S 3＝3，a n －2＋a n －1＋a n ＝24，S n ＝54，则n 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选D ∵S 3＝3，∴a 1＋a 2＋a 3＝3，则3a 2＝3，a 2＝1.∵a n －2＋a n －1＋a n ＝24，∴3a n －1＝24，a n －1＝8.∵{a n }为等差数列，∴S n ＝a 1＋a n n2＝a 2＋a n －1n2＝1＋8n2＝54，∴n ＝12. 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A ．20B ．22C ．24D ．26解析：选C 由三视图可知：该几何体是一个棱长为3的正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分，如图所示．该几何体的体积V ＝33－3×13＝24.9．已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为MOD(n ，m )，其结果为n 除以m 的余数，例如MOD(8,3)＝2.如图是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选D 模拟执行程序框图，可得：n ＝36，i ＝2，MOD(36,2)＝0，j ＝1，i ＝3，满足条件i ＜n ，MOD(36,3)＝0，j ＝2，i ＝4，满足条件i ＜n ， MOD(36,4)＝0，j ＝3，i ＝5，满足条件i ＜n ， MOD(36,5)＝1，i ＝6，满足条件i <n ， … 由36i∈N *，可得i ＝2,3,4,6,9,12,18，∴j ＝j ＋1执行了7次，故j ＝7.10．若函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝e x－1x 2－1B ．f (x )＝exx 2－1C ．f (x )＝x 3＋x ＋1x 2－1D ．f (x )＝x 4＋x ＋1x 2－1解析：选B 由题意，当x ＝0时，y ＜0，排除A ，当－1<x <0时，若x →－1，则y →－∞，排除C ，D 选项中，f (－2)＝5，f (－3)＝798>f (－2)，不符合，排除D.故选B.11．已知球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，则棱锥S ABC 的体积为( )A.324B.924C.322D.922解析：选D 如图，设O 是球心，则OA ＝OB ＝OS ＝OC ＝12SC ＝3.又AB ＝SA ＝SB ＝3，∴SA ＝OA ＝OB ＝SB ，取SO 的中点D ，连接AD ，BD ，∴AD ⊥SO ，BD ⊥SO ，又AD ∩BD ＝D ，∴SC ⊥平面ABD .又易求得AD ＝BD ＝332，∴S △ABD ＝12×3× ⎝ ⎛⎭⎪⎫3322－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝924.∴V S ABC ＝V S ABD ＋V C ABD ＝13S △ABD ×SD ＋13S △ABD ×DC ＝13S △ABD ×SC ＝13×924×6＝922. 12．设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，如[2.6]＝3，[－3.5]＝－3.已知函数f (x )＝[x ]2－2[x ]，若函数F (x )＝f (x )－k (x －2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则k 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，－1∪[2,5) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23∪[5,10)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－43，－1∪[5,10)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，－1∪[5,10) 解析：选B 令F (x )＝0得f (x )＝k (x －2)－2， 作出函数y ＝f (x )和y ＝k (x －2)－2的图象如图所示： 若函数F (x )＝f (x )－k (x －2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则函数f (x )和g (x )＝k (x －2)－2的图象在(－1,4]上有2个交点，经计算可得k PA ＝5，k PB ＝10，k PO ＝－1，k PC ＝－23，∴k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23∪[5,10)．二、填空题13．已知向量OA ―→⊥AB ―→，|OA ―→|＝3，则OA ―→·OB ―→＝________.解析：由OA ―→⊥AB ―→，得OA ―→·AB ―→＝0，即OA ―→·(OB ―→－OA ―→)＝OA ―→·OB ―→－|OA ―→|2＝0， ∵|OA ―→|＝3，∴OA ―→·OB ―→＝|OA ―→|2＝9.答案：914．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，使sin πx 2的值介于0到12之间的概率为________．解析：当－1≤x ≤1时，－π2≤πx 2≤π2，由0≤sin πx 2≤12，得0≤πx 2≤π6，即0≤x ≤13，则sin πx 2的值介于0到12之间的概率P ＝132＝16.答案：1615．已知双曲线x 216－y 236＝1上一点P (x ，y )到双曲线一个焦点的距离是9，则x 2＋y 2的值是________．解析：双曲线x 216－y 236＝1的a ＝4，b ＝6，c ＝a 2＋b 2＝213，不妨设点P (x ，y )在右支上，由条件可知P 点到右焦点(213，0)的距离为9，即为 x －2132＋y 2＝9，且x 216－y 236＝1，解得x ＝213，y ＝±9，则x 2＋y 2＝52＋81＝133.答案：13316．将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向右平移m (m >0)个单位以后得到的图象与y ＝n sin x cosx (n ＞0)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则n ＋m 的最小值为________．解析：将y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x 的函数图象向右平移m 个单位以后得到y ＝－cos 2(x －m )＝－cos(2x －2m )的图象，根据所得图象与y ＝n sin x cos x ＝n2sin 2x (n ＞0)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，设点P (x 0，y 0)为y ＝－cos(2x －2m )上任意一点，则该点关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0的对称点为Q ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 0，－y 0，且Q 在y ＝n2sin 2x (n ＞0)的图象上，故有⎩⎪⎨⎪⎧－cos 2x 0－2m ＝y 0，n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2x 0＝－y 0，求得n ＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π3＝cos(2x 0－2m )，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0－5π6＝cos(2x 0－2m )，∴－2m ＝－5π6＋2k π，k ∈Z ，即m ＝5π12－k π，k ∈Z ，又m >0，故m 的最小值为5π12，则n ＋m 的最小值为2＋5π12.答案：2＋5π12三、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝1－2S n . (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)设函数f (x )＝log 13x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，求T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n.解：(1)证明：∵数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝1－2S n .∴a 1＝1－2a 1，解得a 1＝13.n ≥2时，a n －1＝1－2S n －1，可得a n －a n －1＝－2a n .∴a n ＝13a n －1.∴数列{a n }是首项和公比均为13的等比数列．(2)由(1)可知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，则f (a n )＝log 13a n ＝n .∴b n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋12.∴1b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 18．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C ＝b ＋c . (1)求A ；(2)若a ＝7，△ABC 的面积为332，求b 与c 的值．解：(1)∵a cos C ＋3a sin C ＝b ＋c ，由正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ， 即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ， 化简得3sin A －cos A ＝1，∴sin A －π6＝12.在△ABC 中，0＜A ＜π，∴A －π6＝π6，得A ＝π3.(2)由已知得12bc sin π3＝332，则bc ＝6，由已知及余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos π3＝7，(b ＋c )2＝25，b ＋c ＝5，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6，b ＋c ＝5，可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.19．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表：初一年级初二年级初三年级女生373x y男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到初二年级女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．解：(1)∵在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19，即x2 000＝0.19，∴x＝380.(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482 000×500＝12名．(3)由题意，满足y＋z＝500，y≥245，z≥245的基本事件共有11个，y＞z包含的事件共有5个，则y＞z的概率为511.即初三年级中女生比男生多的概率为511.20.已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1＝4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点．(1)求证：AB1⊥平面PBC；(2)在BC边上找一点Q，使PQ∥平面A1ABB1，并求三棱锥QPBB1的体积．解：(1)证明：取AA1的中点M，连接BM，PM，BM与B1A相交于点N，∴PM∥AD∥BC，∴BM⊂平面PBC.∵AA1⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴AA1⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC，又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面ABB1A1.∵AB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AB1.∵AB＝AA1＝4，∠BAM＝∠B1A1A＝90°，AM＝B1A1＝2，∴△ABM≌△A1AB1，∴∠MBA＝∠B1AA1，∵∠BAB1＋∠B1AA1＝90°，∴∠MBA＋∠BAB1＝90°，即∠BNA＝90°，∴BM⊥AB1.又BM∩BC＝B，∴AB1⊥平面PBC.(2)在BC边上取一点Q，使BQ＝3，∵PM为梯形ADD1A1的中位线，A1D1＝2，AD＝4，∴PM＝3，PM∥AD，又∵BQ∥AD，∴PM綊BQ，∴四边形PMBQ 是平行四边形，∴PQ ∥BM ， 又BM ⊂平面A 1ABB 1，PQ ⊄平面A 1ABB 1， ∴PQ ∥平面A 1ABB 1.∵BC ⊥平面ABB 1A 1，BM ⊂平面ABB 1A 1， ∴BQ ⊥BM ，∴PQ ⊥BQ . ∵AB ＝AA 1＝4，AM ＝A 1B 1＝2， ∴BM ＝AB 1＝25， 则AN ＝AB ·AM BM ＝455. ∴B 1N ＝AB 1－AN ＝655.∴VQ PBB 1＝VB 1BPQ ＝13S △BPQ ·B 1N ＝13×12×3×25×655＝6.。
高考数学二轮复习 解答题题型练习1 三角函数的单调性及求值问题
解答题题型练题型一 三角函数的单调性及求值问题(推荐时间：30分钟)1．(2010·天津)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值． 2．已知直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 (ω>0)的图象的两个相邻交点之间的距离为π.(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π4个单位得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时x 的取值集合．答 案1．解 (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得 f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π6)， 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin (2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f (0)＝1，f (π6)＝2，f (π2)＝－1，所以函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin (2x 0＋π6)． 因为f (x 0)＝65，所以sin (2x 0＋π6)＝35. 由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]， 从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin 22x 0＋π6＝－45. 所以cos 2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6] ＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin (2x 0＋π6)·sin π6＝3－4310. 2．解 (1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6. 由题意可知函数的周期T ＝2π2ω＝π， 即ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2， 其中k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，其中k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则g (x )的最大值为2，此时有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，k ∈Z .解得x ＝k π＋π12 (k ∈Z )，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π12，k ∈Z .。
2023届高考数学二轮复习专题集合善良、中立、邪恶模式必刷100题
2023届高考数学二轮复习专题集合善良、中立、邪恶模式必刷100题专题 集合必刷100题任务一:善良模式(基础)1-50题 一、单选题1．（2021·江苏省泰兴中学高三期中）设全集U =R ，集合{}220A xx x =--≤∣，{}lg 0B x x =>∣，则()UA B =为（ ）A ．{}|1x x ≤-B ．{|1x x <或}2x ≥C ．{|1x x ≤或}2x >D ．{}|1x x <-2．（2021·山东烟台·高三期中）设集合{}13A x x =≤≤，{}2680B x x x =-+≥，则AB =R（ ）A ．{}23x x <≤B ．{}13x x ≤≤C ．{}14x x ≤<D ．{}24x x <<3．（2021·全国·高三期中）已知集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+≤，若M N =∅，则a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a <D ．1a ≤4．（2021·山东德州·高三期中）已知全集U =R ，若集合{}2540A xx x =-+<∣，集合{}2log 2B xx =>∣，则()UB A =（ ）A ．{14}xx <<∣ B ．{4}xx >∣ C ．{}4xx ∣ D ．{1xx <∣ 或 4}x >5．（2021·山西怀仁·高三期中（文））已知集合{}220A x x x =+-<，01xB x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．()2,0- B ．()1,2 C ．()0,1D ．R6．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知：全集U =R ，集合{}2log (1)1A x x =-<，集合{}3xB x e =>，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}1ln3x x <≤B ．{}ln3x x ≤C ．{}1ln3x x <<D ．{}ln3x x <7．（2021·全国·高三月考）已知集合{(){},20A x y B x l n x ===+>，则A B =（ ）A ．()1,1-B ．(]1,1-C ．()2,1-D ．(]2,1-8．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））如图所示的韦恩图中，已知A ，B 是非空集合，定义*A B 表示阴影部分的集合.若{}03A x x =≤<，{}2B y y =>，则*A B =（ ）A ．{}3x x >B ．{}23x x ≤≤C ．{}23x x <<D ．{}3x x ≥9．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知a 、b R ∈，若{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20202021a b +的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．1-或010．（2021·浙江金华·高三月考）已知集合{}3|1A x x =-≤<，{}|05B x x =<≤，则()AB =R（ ）A ．()()15,-∞+∞，B ．[)3,0-C ．[]3,0-D ．[)3,5-11．（2021·河北石家庄·高三月考）已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，集合{(,)|||1}B x y y x ==-，则集合AB 的真子集的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．812．（2021·重庆市涪陵实验中学校高三期中）已知集合{}2|3100M x x x =--<，{|33}N x x =-≤≤，且M 、N 都是全集R 的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤-D ．{}35x x -≤≤13．（2021·辽宁·沈阳市翔宇中学高三月考）已知集合{A x y ==，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）A ．1,0,1,2B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}214．（2021·湖北·高三期中）设集合{}2log 4A x x =<，102x B x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}22x x -<<B ．{}01x x <<C ．{}21x x -<≤D ．{}01x x <≤15．（2021·江苏如皋·高三月考）已知集合{}24xM x =<，{1,0,1}N =-，则M N =（ ）A ．(,)-∞+∞B ．{0,1}C ．MD ．N16．（2021·四川成都·高三月考（理））已知集合12A y y x ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}2x B y y ==，则下列选项正确的是（ ） A ．A B ⊆ B ．A B = C ．A B A = D ．A B A =17．（2021·河南·高三月考（文））已知集合42sin ,,63A y y x x ππ⎧⎫⎡⎤==∈-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，2,1,0,2,{}3B =--，则A B =（ ）A ．{}1,0,2-B ．{}2,1,0--C ．{}2,1,0,2--D ．1,0,1,218．（2021·江苏高邮·高三月考）已知()(21)1g x f x =-+，且()g x 的定义域为(1，4]，值域为[3，)+∞，设函数()f x 的定义域为A ､值域为B ，则AB =（ ）A ．∅B ．[4，7]C ．[2，7]D ．[2，5]219．（2022·全国·高三专题练习）已知全集U =R ，(){}20A x x x =+<，{}1B x x =≤，则()()UUAB BA =（ ）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,120．（2021·河北省唐县第一中学高三月考）下列集合中表示同一集合的是（ ） A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N = B ．{}(,)1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=C ．{1,2}M =，{(1,2)}N =D ．{}2|3M y y x ==+，{|N x y ==21．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（文））下列各式中，A 与B 表示同一集合的是（ ）A ．(){},{()2}1,21A B ==， B ．{},,22{}11A B ==，C ．{}0,A B ==∅D ．{}{}221,1A y y x B x y x ==+==+22．（2021·江苏省阜宁中学高三月考）设全集为U ，非空真子集A ，B ，C 满足：A B A =，B C B ⋃=，则（ ）A ．A C ⊆B ．AC ≠∅ C ．UB A ⊆D ．()UA C ≠∅23．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三月考）设集合{}1,2,4,6A =，{}2,3,5B =，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}2,3,5B ．{}2C ．{}3,5D ．{}524．（2022·全国·高三专题练习）已知集合M={1，2，(m 2-3m-1)+(m 2-5m-6)i}，N={-1，3}，且M ∩N={3}，则实数m 的值为（ ） A ．4 B ．-1 C ．-1或4D ．-1或625．（2021·河南·高三月考（文））已知集合{}2230A x x x =∈--≤N ，(){}2log 3B x y x ==-，则A B ⋃=( )A ．(],3-∞B ．{}0,1,2,3C ．{}0,1,2D ．R26．（2021·全国·高三月考（理））已知集合{}23M x x =-≤<，()(){}310N y y y =+-≥，则MN =（ ）A ．∅B ．[]2,1-C ．[]3,1-D ．[)2,3-27．（2021·全国·模拟预测（理））设集合{}29M x x =≤，{}ln(1)N x y x ==-，则R()M N =（ ）A ．[3,1]-B ．[3,1)-C ．(,3)[1,)-∞-+∞D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））设,,A B C 是非空集合，定义：{A B C x x A ⨯⨯=∈且x B ∈且}x C ∈.已知{{}{}2,31,log 3x A x y B y y C x x ====+=<，则A B C ⨯⨯=（ ）A ．()1,8B ．()0,8C ．()0,1D ．(][),40,-∞-+∞29．（2021·全国·高三月考）已知集合U =R ，(){}ln A x y e x ==-，{}2|2,11y y x x B x --==≤≤，则()UB A =（ ）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．(),e -∞D ．(],e -∞30．（2021·陕西·西安中学高三期中）设集合{}04M x x =<<，{}1N x x a =≤≤，且M N M =，则a 取值范围是（ ）A ．,4B ．[)1,4C ．(),1-∞D ．(),4-∞二、多选题31．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知集合2{|log 0}A x x =≤，集合1{|0}1y B y y +=≥-，集合1{|3}9z D z =≥，则（ ） A ．A D R = B ．A B =∅ C ．()R A B D D ．R D B32．（2020·全国·高三专题练习）给定数集M ，若对于任意a ，b M ∈，有a b M ，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ） A ．集合{}4,2,0,2,4M =--为闭集合 B ．正整数集是闭集合C ．集合{|3,}M n n k k Z ==∈为闭集合D ．若集合12,A A 为闭集合，则12A A 为闭集合33．（2022·全国·高三专题练习）设集合{|11A x a x a =-<<+，}x R ∈，{|15B x x =<<，}x R ∈，则下列选项中，满足A B ⋂=∅的实数a 的取值范围可以是（ ）A ．{|06}a aB ．{|2a a 或4}aC ．{|0}a aD ．{|8}a a34．（2021·河北·藁城新冀明中学高三期末）已知集合,{}0P m =，{}2250,Q x x x x Z =∈－＜，若P Q ⋂≠∅，则m 可以等于（ ）A ．1B ．2C ．25D ．335．（2021·山东潍坊·高三期末）设全集为U ，如图所示的阴影部分用集合可表示为（ ）A ．AB B ．()U A BC ．()()UAB B D ．()U A B36．（2022·全国·高三专题练习）设不大于x 的最大整数为[]x ，如[]3.63=．已知集合[]{}1A x x ==-，[]{}0223B x x =+＜＜，则（ ） A ．{}10A x x =-≤＜B ．112A B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．3⎡=-⎣D ．102A B x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭＜37．（2021·山东·高三专题练习）已知集合1,44kM x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合1,84k N x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A ．M N =∅B ．M NC ．M N M =D ．M N M =38．（2021·湖南·长沙一中高三月考）已知集合{}2320M x x x =-+≤，{}1N x x =>-，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N ≠∅D ．RMN R =39．（2020·全国·高三专题练习）已知集合{1,1}M =-，{|1}N x mx ==，且M N M ⋃=，则实数m 的值可以为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．0 E.-240．（2020·江苏·东海县石榴高级中学高三月考）设集合{}220M x x x =+-≤，{}2log 1N x x =<，若实数()a M N ∈⋂，则a 的值可以是A ．1B ．2-C ．0.5D ．1.5第II 卷（非选择题）三、填空题41．（2022·上海·高三专题练习）若集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是___________42．（2020·上海市嘉定区第二中学高三期中）若集合{}{}|lg 1,|sin ,A x x B y y x x R =<==∈，则A B =________.43．（2021·上海市敬业中学高三月考）已知全集U =R ，集合{}12A x x =->，则U C A =_________.44．（2022·全国·高三专题练习）设集合{}116A x x =-≤+≤，{}121B x m x m =-<<+，若A B ⊇，则m 的取值范围是________.45．（2022·全国·高三专题练习）集合A 满足{}1,3**15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有________个.46．（2020·上海崇明·高三月考）对于集合A 、B ，定义运算{A B x x A -=∈且}x B ∉，若{}11A x x =-<<，{}02B x x =<<，则A B -=__________.47．（2020·上海市行知中学高三开学考试）若{|2132}A x a x a =+≤<-，2{|11100}B x x x =-+<，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是_________.48．（2020·上海·模拟预测）已知集合(){}2log 21A x x =-<，31B xx ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =______．49．（2021·江苏·高三专题练习）已知集合{}2230M x x x =--≤，{}2322N x a x a =-≤≤+，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是______．50．（2021·全国·高三专题练习）已知集合{A x y ==，集合21{2}x B y y -+==，则A B =_________（用区间表达）．任务二:中立模式(中档)1-30题 一、单选题1．（2021·全国·高三专题练习（理））设集合A ＝()6|1ln x x y x ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭，集合B ＝()()28115|448x x y y x x ⎧⎫++=≤<⎨⎬⎩⎭，.则ARB ＝（ ） A ．2564⎛⎫⎪⎝⎭，B ．63610⎛⎤⎥⎝⎦，C ．2764⎛⎫⎪⎝⎭，D ．R2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}*N 0A x x y =∈≥∣，若B A ⊆且集合B 中恰有2个元素，则满足条件的集合B 的个数为（ ）．A ．1B ．3C ．6D ．103．（2022·全国·高三专题练习）设U 是一个非空集合，F 是U 的子集构成的集合，如果F 同时满足：①F ∅∈，②若,A B F ∈，则()UA B F ∈且A B F ∈，那么称F 是U 的一个环，下列说法错误的是（ ）A ．若{1,2,3,4,5,6}U =，则{}{}{},1,3,5,2,4,6,U F =∅是U 的一个环B ．若{, , }U a b c =，则存在U 的一个环F ，F 含有8个元素C ．若U Z =，则存在U 的一个环F ，F 含有4个元素且{2},{3,5}F ∈D ．若U =R ，则存在U 的一个环F ，F 含有7个元素且[][]0,3,2,4F ∈4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合(){},30A x y x y =-=，(){},10B x y x my =++=.若A B =∅，则实数m =（ ）A ．-3B ．13-C ．13D ．35．（2021·全国·高三专题练习）已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若A B B =，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}1,2--B ．{}1,0-C ．2,0,1D ．{}2,1,0--6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合(){},0A x y x ay a =+-=，()(){},2310B x y ax a y =++-=.若AB =∅，则实数=a （ ）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．3-或17．（2020·天津·南开中学模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足MN =Q ，M N =∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割(),M N ，下列选项中一定不成立的是（ ）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素8．（2021·全国·高三专题练习）已知{}22(,)4P x y x y =-=，{}22(,)()1Q x y x a y =-+=，若P Q =∅，则a 的取值范围是（ ）.A ．11a -<<B ．a <a >C ．1a <-或1a <<D ．以上答案都不对9．（2021·山西长治·高三月考（理））集合{})M x N y x =∈=-，集合{}24x P x =<，则M P ⋂=（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}110．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三月考（理））设U 是全集，若A B U =，则下列关系式一定正确的是（ ） A ．A B =∅ B ．U B C A ⊆ C ．U C A B ⊆ D ．U U C A C B U =11．（2021·全国·高三专题练习）已知集合{}{|02},{|11},10,A x x B x x C x mx =<<=-<<=+>若()A B C ⊆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．112m ≤≤ B ．112m -≤≤ C ．102m -≤≤ D ．112m -<<12．（2022·全国·高三专题练习）设集合{|24k M x x πππ+==-，}k Z ∈，{|42k N x x ππ==+，}k Z ∈，则（ ） A ．M N B ．M N C ．M N ⊆ D ．M N13．（2022·全国·高三专题练习）已知(){},11A x y x a y =-+-≤，()}{22,(1)(1)1B x y x y =-+-≤，若集合AB ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,3-B ．1⎡-⎣C ．[]3,1-D ．[]0,214．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知集合{}13A x x =-<≤，集合{}2B x x =≤，则下列关系式正确的是（ ）A ．AB =∅ B ．{}23A B x x =-<≤C ．{R1A B x x =≤-或}2x > D ．{}R23AB x x =<≤15．（2020·上海市松江二中高三月考）函数2,0()4sin ,0x x f x x x π⎧≤=⎨<≤⎩，则集合{}|[()]0x f f x =元素的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个16．（2021·全国·模拟预测）已知集合(){}()22,|1,,,{,|2M x y x y x y N x y x y +≤∈∈+≤＝＝Z Z }，则集合M ⋂N 中元素的个数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．917．（2021·江苏·模拟预测）已知集合{|2A x cosx =≥，集合2{|20}B x x x =+-≤，则A B =（ ） A ．2,6π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,16π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18．（2021·全国·高三专题练习）{}{}22(,)1,(,),A x y x y B x y x y a A B =+≤=+≤⊆∣，则a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[1,)+∞C ．)+∞D ．[2,)+∞二、多选题19．（2021·广东·普宁市普师高级中学高三月考）已知集合{}220,A x ax x a a R =++=∈，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值有（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．120．（2021·全国·高三专题练习）定义{A B x x A -=∈，且}x B ∉，()()A B A B B A *=--叫做集合的对称差，若集合{}2,13A y y x x ==+-≤≤，21,15B y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，则以下说法正确的是（ ）A ．[]2,10B = B ．[)1,2A B -=C ．(](]1,25,10A B *=⋃D ．A B B A *=*21．（2021·全国·高三专题练习）设全集为U ，下列命题正确的是（ ） A ．若A B =∅，则()()U U A B U =B ．若A B =∅，则A =∅或B =∅C ．若A B U =，则 ()()U U A B =∅D ．若A B =∅，则A B ==∅22．（2020·全国·高三专题练习）若集合{}sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则正确的结论有（ ） A ．A B B = B ．R R B A ⊆ C ．A B =∅ D ．R R A B ⊆23．（2022·全国·高三专题练习）设集合{}4xM y y e ==-+，()(){}lg 23N x y x x ⎡⎤==+-⎣⎦，则下列关系正确的是（ ）A ．R RM N ⊆ B ．N M ⊆ C ．M N =∅ D ．R N M ⊆24．（2020·上海市大同中学高三月考）（多选）集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集B ．对任意a ，1P 不是2P 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集D ．存在a ，使得2P 是1P 的子集第II 卷（非选择题）三、填空题25．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知关于x 的不等式50ax x a-<-的解集为M ，则当3M ∈，且5M ∉时，实数a 的取值范围是___________.26．（2021·福建省厦门第二中学高三月考）若x A ∈，则1A x∈，就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.27．（2021·全国·高三专题练习）已知函数22241,0()241,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨--+<⎩，A ＝{x |t ≤x ≤t +1}，B ＝{x ||f (x )|≥1}，若集合A ∩B 只含有一个元素，则实数t 的取值范围是____．28．（2021·上海·上外浦东附中高三月考）设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()lg(1||)f x x =-的定义域为N ，则MN =_______．29．（2021·上海市七宝中学高三月考）函数()22x f x m x nx =⋅++，记集合(){}0,A x f x x ==∈R ，集()(){}0,B x f f x x ==∈R ．若A B =，且A 、B 都不是空集，则m n +的取值范围是________．30．（2020·上海·南汇县泥城中学高三月考）已知集合{}20,1,A m m =+，{}3,2B m =+，若B A ⊆，则m =___________；任务三:邪恶模式(困难)1-20题 一、单选题1．（2021·上海杨浦·高三期中）非空集合A ⊆R ，且满足如下性质：性质一：若a ，b A ∈，则a b A +∈；性质二：若a A ∈，则a A -∈.则称集合A 为一个“群”以下叙述正确的个数为（ ） ①若A 为一个“群”，则A 必为无限集； ②若A 为一个“群”，且a ，b A ∈，则a b A -∈； ③若A ，B 都是“群”，则A B 必定是“群”；④若A ，B 都是“群”，且A B A ≠，A B B ≠，则A B 必定不是“群”； A ．1 B ．2C ．3D ．42．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设G 为某种元素组成的一个非空集合，若在G 内定义一个运算“*”，满足以下条件：①a ∀，b G ∈，有a b G *∈②如a ∀，b ，c G ∈，有()()a b c a b c **=**；③在G 中有一个元素e ，对a G ∀∈，都有a e e a a *=*=，称e 为G 的单位元； ④a G ∀∈，在G 中存在唯一确定的b ，使a b b a e *=*=，称b 为a 的逆元．此时称（G ，*）为一个群．例如实数集R 和实数集上的加法运算“+”就构成一个群(),+R ，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ） A ．G Q =，则(),+G 为一个群 B ．G R =，则(),G ⨯为一个群 C ．{}1,1G =-，则(),G ⨯为一个群 D ．G ={平面向量}，则(),+G 为一个群3．（2022·上海·高三专题练习）设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集4．（2022·浙江·高三专题练习）设3124a M a a a =+，其中1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①11a =；②21a ≠；③33a =；④44a ≠有且只有一个是错误的，则满足条件的M 的最大值与最小值的差为（ ） A ．233B ．323C ．334D ．4545．（2021·福建·福州四中高三月考）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．36．（2020·陕西·长安一中高三月考（文））在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．47．（2021·全国·高三专题练习（理））在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6k n k n Z =+∈，1k =，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345Z =；③“整数a 、b属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”；④“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．（2021·浙江·路桥中学模拟预测）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈ ，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素9．（2021·广东番禺中学高一期中）设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,2A B =，则称(),A B 为一个“理想配集”．规定(),A B 与(),B A 是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．910．（2020·上海奉贤·高一期中）对于区间(1,10000)内任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“*”如下：当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=；当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，则在此定义下，集合(){},4M a b a b =*=中元素个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个11．（2021·全国·高三专题练习）设X 是直角坐标平面上的任意点集，定义*{(1X y =-，1)|(x x -，)}y X ∈．若*X X =，则称点集X“关于运算*对称”．给定点集{}22(,)|1A x y x y +==，{}(,)|1==-B x y y x ，(){},|1|||1=-+=C x y x y ，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．312．（2021·黑龙江·哈师大附中高一月考）设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是（ ） A ．{|0}1nn Z n n ∈≥+， B ．{|0}x x x ∈≠R ， C ．221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣ D ．整数集Z二、多选题13．（2020·广东广雅中学高三月考）设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =.令集合{(,,),,S x y z x y z X =∈，且三条件,x y z <<,y z x <<z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项不正确的是（ ）A ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∉14．（2021·河北·石家庄二中高三月考）若集合A 具有以下性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“完美集”.下列说法正确的是（ ）A ．集合{}1,0,1B =-是“完美集” B ．有理数集Q 是“完美集”C ．设集合A 是“完美集”，x 、y A ，则x y A +∈D ．设集合A 是“完美集”，若x 、y A 且0x ≠，则y A x∈15．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若非空数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈，x y M -∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（ ） A ．A B 是优集B ．A B 是优集C ．若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若A B 是优集，则A B 是优集16．（2020·山东·高三专题练习）已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M第II 卷（非选择题）三、填空题17．（2021·上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合{}1996,1997,2000,2002,2008,2010,2011,2014A =，设i j x x A ∈、，i j ≠，若方程i j x x k -=至少有六组不同的解，则实数k 的所有可能取值是_________.18．（2021·北京·高三开学考试）记正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点组成的集合为S .若集合M S ⊆，满足i X ∀，j X M ∈，k X ∃，l X M ∈使得直线i j k l X X X X ⊥，则称M 是S 的“保垂直”子集.给出下列三个结论：①集合{}1,,,A B C C 是S 的“保垂直”子集；②集合S 的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；③若M 是S 的“保垂直”子集，且M 中含有5个元素，则M 中一定有4个点共面.其中所有正确结论的序号是______.19．（2021·江苏扬州·模拟预测）对于有限数列{}n a ，定义集合()1212,110k i i i k a a a S k s s i i i k ⎧⎫+++⎪⎪==≤<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，其中k ∈Z 且110k ≤≤，若n a n =，则()3S 的所有元素之和为___________.20．（2021·北京东城·一模）设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ≠∅，则12A A 具有性质P ； ③若12,A A 具有性质P ，则12A A 具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R 不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.。
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中档题专练(一)
,且
1.(江苏盐城高三(上)期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,cosB=7
9
BB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB
(1)求b的值;
(2)求sin(A-B)的值.
2.(南京师大附中高三年级模拟)如图,A,B,C三个警亭有直道相通,已知A在B的正北方向6千米处,C 在B的正东方向6√3千米处.
(1)警员甲从C出发,沿CA行至点P处,此时∠CBP=45°,求PB的长;
(2)警员甲从C出发沿CA前往A,警员乙从A出发沿AB前往B,两人同时出发,甲的速度为3千米/小时,乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达B后原地等待,直到甲到达A时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米,试问两人通过对讲机能保持联系的总时长?
答案精解精析
=7,解得c=3.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7,得accosB=7,即3c×7
1.解析(1)在△ABC中,由BB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB
9
在△ABC中,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac·cosB=9+9-18·7
=4,∴b=2.
9
(2)因为cosB=7
,所以B为锐角,
9
.
故sinB=4√2
9
又由余弦定理,得cosA=B 2+B 2-B 22BB
=22+32-322×2×3=13,所以A 为锐角,且sinA=2√23. 所以sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=2√23×79-13×4√29=10√227
. 2.解析 (1)易知在△ABC 中,AB=6,∠A=60°,∠APB=75°, 由正弦定理得,BB sin∠BBB =BB sin B ,
则BP=6×√3
2
√2+√6
4=√3√6+√2=
12√3×(√6-√2)4=3√3×(√6-√2)=9√2-3√6, 故PB 的长是(9√2-3√6)千米.
(2)甲从C 到A 需要4小时,乙从A 到B 需要1小时.
设甲、乙之间的距离为f(t),要保持通话则需要f(t)≤9. ①当0≤t≤1时,
f(t)=√(6B )2+(12-3t)2-2·6t·(12-3t)cos60°
=3√7B 2-16t +16≤9,
即7t 2-16t+7≤0,解得
8-√157≤t≤8+√157,又t∈[0,1], 所以8-√15
7≤t≤1,
所以时长为
√15-17小时. ②当1<t≤4时,f(t)=√36+(12-3B )2-2·6(12-3t)cos60°
=3√B 2-6t +12≤9,
即t 2-6t+3≤0,解得3-√6≤t≤3+√6,又t∈(1,4],
所以1<t≤4, 所以时长为3小时. 综上,总时长为3+√15-17=√15+207(小时). 答:两人通过对讲机能保持联系的总时长是
√15+207小时.。