偏微分方程分类

Δ
≡
a2 12
− a11a22
=
x2 y2
−
x2 y2
=
0,
方程为抛物型的,其特征方程为
dy dx
=
y x
,
积分得 y = c, 作变换
x
ξ = y , η = x,
x
代入方程化简得标准方程
uηη = 0( x ≠ 0).
椭圆型偏微分方程的化简
Δ
≡
a2 12
−a11a22
<
0,
方程(3)和(4)的右端是复数,故不存在实的特征
在点 ( x0 , y0 ) 为椭圆型的。
Δ > 0 时，方程称为双曲型;
Δ = 0 时，方程称为抛物型;
Δ < 0 时，方程称为椭圆型;
作变量变换 ξ = ξ ( x, y) η = η( x, y)
(1)
假设变换 (1)是二次连续可微的,且函数行列式
D(ξ ,η) = ξx ξy D( x, y) ηx ηy
式,求出变换后的各项系数,把方程化为标准类型.
⎪uy = uξξy +uηηy,
⎪
⎨uxx = uξξξx2 +2uξηξxηx +uηηηx2 +uξξxx +uηηxx,
⎪ ⎪uxy
=
uξξξxξy
+ uξη (ξxηy
+ξyηx ) +
uηηηxηy
+ uξξxy
+ uηηxy ,
⎪⎩uyy = uξξξy2 +2uξηξyηy +uηηηy2 +uξξyy +uηηyy,
=
0,
则称
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
在点 ( x0 , y0 ) 为抛物型的。
若在区域 Ω 上某点 ( x0 , y0 )
Δ
≡ a2 12
−a11a22
< 0,
则称
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
2 x
+
2a12ξxξ y
+
a22ξ
2 y
=
a11η
2 x
+
2a12η xη y
+
a22η
2 y
,
a11ξxξx + a12(ξxηy + ξ yηx ) + a22ξ yηy = 0.
33
方程 a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
化为标准形式
uξξ + uηη = Φ (ξ ,η , u, uξ , uη ),
dx2 − a2dt2 = 0, 故特征直线为 x + at = c1, x − at = c2,
作变换 ξ = x + at, η = x − at,
弦振动方程化为 uξη = 0.
判断方程的类型并化为标准形式的步骤:
1.按
Δ
≡
a2 12
−a11a22
判断方程的类型.
2.解出特征方程式,根据方程类型,选择适当的变换
(6)
Φ
=
1 2a12
(
f
− b1uξ
− b2uη
− cu).
在方wenku.baidu.com(6)中再作自变量变换
ξ = 1 (s + t), η = 1 (s − t),
2
2
方程可以化为另一种标准形式
uss − utt = Φ1(s, t, u, us , ut ).
将方程 y2uxx − x2uyy = 0 化为标准形式.
得
dy dx
=
a12
+
a122 − a11a22 a11
(3)
dy dx
=
a12
−
a122 − a11a22 a11
(4)
双曲型偏微分方程的化简
Δ
≡
a2 12
−a11a22
>
0,
方程(3)和(4)的右端是相异的实值,故积分曲线为
两族不同的实曲线,依次表示为 ϕ1( x, y) = c1 及
ϕ2( x, y) = c2
引理2 如果 ϕ( x, y) = c 是方程
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
的一般积分.
则 ω = ϕ( x, y) 满足方程
a11ω
2 x
+
2a12ω xω y
+
a22ω
2 y
=
0
证明：由隐函数 ϕ ( x, y) = c 确定的函数
是
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
(一般选取ϕ2使得ϕ1和ϕ2是函数无关的)
又 a11 = 0, a12 = 0
这是因为
Δ
≡
a2 12
−
a11a22
=
0,
所以
a =± 12
a11a22 ,
则由
a11
=
a11ξ
2 x
+
2a12ξ xξ y
+
a22ξ
2 y
可得
( )2
= a11ξ x ± a22ξ y = 0，
a12 = a11ξ xηx + a12 (ξ xη y + ξ yηx ) + a22ξ yη y
在 ( x0 , y0 ) 不等于零.
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
ξ = ξ(x, y) η =η(x, y)
a11uξξ +2a12uξη +a22uηη +b1uξ +b2uη +cu= f (2)
由于
⎧⎪ux = uξξx +uηηx,
y = y(x)
的一般积分.
对于 ω = ϕ ( x, y)
我们可得
dy = − ωx . dx ωy
( ) a11 ωx 2 + 2a12ωxω y + a22 (ω y )2
=
⎛
⎜ ⎜
a11
⎝
⎛ ⎜⎜⎝
−
ω ω
x y
⎞2 ⎟⎟⎠
+
2a12
ωx ωy
+
a22
⎞
⎟ ⎟
(ω
y
)2
⎠
=
⎛ ⎜⎜⎝
a11
最简形式.
引理1 如果 ω = ϕ( x, y) 是方程
a11ω
2 x
+
2a12ω xω y
+
a22ω
2 y
=
0
的一个特解．则 ϕ( x, y) = c 是方程
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
(a)
的一般积分(积分曲线或者通解).
证明：由隐函数 ϕ( x, y) = c 确定了函数 y = y(x)
且 dy = − ωx . dx ωy
因此
a11
⎛ ⎜⎝
dy dx
⎞2 ⎟⎠
−
2a12
dy dx
+
a22
=
⎛ a11 ⎜⎜⎝ −
ωx ωy
⎞2 ⎟⎟⎠
+
2a12
ωx ωy
+
a22
所以
( ) = a11
ωx
2
+ 2a12ω xω y (ω y )2
+ a22 (ω y )2
=
0
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
+
2a12ω xω y
+
a22ω
2 y
=
0
代入方程得
( ) ( ) a11ξ
2 x
+
2a12ξxξ y
+
a22ξ
2 y
−
a11η
2 x
+
2a12ηxη y
+
a22η
2 y
( ) +2i ⎣⎡a11ξxηx + a12 ξxηy + ξ yηx + a22ξ yηy ⎦⎤ = 0
分离实部和虚部可得
a11ξ
dx ± i ydy = 0,
x±
i
2
3
y2
=
c,
因此得
3
作变换
ξ
=
x,
η
=
2
3
y2,
3
原方程化为
uξξ
+
uηη
=
-
1
3η
uη .
在双曲型区域 y < 0 内,特征方程为
dx ± − ydy = 0,
因此得
x±
2
(
−
y
)
3 2
=
c,
作变换
3
ξ
=
x
−
2
(−
3
y)2
,
η
=
x
+
2
(−
3
y)2
,
3
3
原方程化为
令 ξ = ϕ1( x, y), η = ϕ2( x, y) (5)
则 a11 = 0,a22 = 0
假设 ϕ1x 及 ϕ1y ,ϕ2x ,ϕ2 y , 不同时为零,则变换(5)
是可逆的.且 a12 ≠ 0. 方程(2)可以化为双曲型方程的第一标准形式
其中
uξη = Φ (ξ ,η , u, uξ , uη ),
( ) ( ) = a11ξ x ± a22ξ y a11ηx ± a22η y
= 0.
得抛物型方程的标准形式
uηη = Φ (ξ ,η , u, uξ , uη ),
其中
Φ
=
1 a22
(
f
− b1uξ
− b2uη
− cu).
将方程 x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0 化为
标准形式.
22
22
代入方程化简得
uξη
=
η 2(ξ 2 − η 2 ) uξ
−
ξ 2(ξ 2 − η 2 ) uη .
抛物型偏微分方程的化简
Δ
≡
a2 12
−a11a22
=
0,
方程(3)和(4)重合,故得到方程(a)一个一般积分
ϕ1( x, y) = c
令 ξ = ϕ1( x, y), η = ϕ2(x, y)
的实值函数，且连续可微。
若在区域 Ω 上某点 ( x0 , y0 )
Δ
≡
a2 12
−a11a22
>
0,
则称
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
在点 ( x0 , y0 ) 为双曲型的。
若在区域 Ω 上某点 ( x0 , y0 )
Δ
≡ a2 12
−a11a22
uξη
=
6(ξ
1
−η
) (uξ − uη ).
如果方程
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
的系数全部是常系数,按照
Δ
≡
a2 12
−a11a22
的符号,通过变换,方程可以化为以下三种形式:
双曲型: uξη = a1uξ + b1uη + c1u + f1 ,
其中
Φ
= 1 (f a22
− b1uξ − b2uη − cu).
将方程 yuxx + uyy = 0 化为标准形式.
Δ ≡ − y.
当 y > 0 时,方程为椭圆型的; 当 y < 0 时,方程为双曲型的; 当 y = 0 时,方程为抛物型的. 其特征方程为
ydy2 + dx2 = 0,
在椭圆型区域 y > 0 内,化为
目的：从数学上表示出二阶线性偏微分方程 的共性与差异.
1
一、二阶线性偏微分方程的分类 二、两个自变量的二阶方程的化简 三、两个自变量二阶常系数方程
设 ( x, y) 为自变量，二阶线性偏微分方程的形状：
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
其中 a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 是关于 x, y 在区域 Ω 上
故方程(2)中的 a11,a12,a22 为
⎧⎪⎪⎨aa1112
= =
a11ξx2 + a11ξxηx
2a12ξxξy + + a12(ξxηy
a22ξ
2 y
,
+ ξ yηx
)
+
a22ξ yηy
,
⎪ ⎪⎩a22
=
a11ηx2
+
2a12ηxηy
+
a22ηy2 .
设法选取变换(1),使得方程(2)的二阶偏导数项化为
⎛ ⎜⎝
dy dx
⎞2 ⎟⎠
−
2a12
dy dx
+
a22
⎞ ⎟⎟⎠
(ω
y
)2
( ) =
a11 (dy )2 − 2a12dydx + a22 (dx )2
(ωy )2 = 0
dx
关于 ω=ϕ ( x, y) 的一阶偏微分方程
a11ω
2 x
+
2a12ω xω y
+
a22ω
2 y
=
0
的求解问题. 转化为求常微分方程
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
在OXY平面上的积分曲线问题.
方程 a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
(的积分曲线)叫做方程
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
的特征方程(特征线).
分解方程
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
Δ
≡
a2 12
−
a11a22
=
x2
y2
>
0,
x
≠
0,
y
≠
0,
当 x ≠ 0, y ≠ 0 时,方程为双曲型的,其特征方程为
y2
⎛ ⎜⎝
dy dx
⎞2 ⎟⎠
−
x2
=
0,
从而有
dy dx
=
x y
,
dy dx
=
−
x y
,
积分得两族积分曲线
1 2
y2
−
1 2
x2
=
c1 ,
1 2
y2
+
1 2
x2
=
c2 ,
作变换 ξ = 1 y2 − 1 x2, η = 1 y2 + 1 x2,
或 uξξ − uηη = a2uξ + b2uη + c2u + f2 ;
抛物型:
uηη = a3uξ + b3uη + c3u + f3 ;
椭圆型:
uξξ + uηη = a4uξ + b4uη + c4u + f .
三类方程中的系数均为常数.
弦振动方程 utt − a2uxx = 0.
特征方程为
曲线,方程(a)的一般积分为复数. 设
ϕ (x, y) = ϕ2(x, y) + iϕ2(x, y)
是方程(3)的一般积分,且 ϕx ,ϕ y 不同时为零.
作变换
ξ = Reϕ(x, y) = ϕ1(x, y),
η = Imϕ(x, y) = ϕ2(x, y). 由于 ξ + iη 满足方程
a11ωx2