最新华理高数全部复习资料之重积分

设 在有界闭区域 上可积，
（i）若 关于 轴对称，则
，
其中 。
（ii）若 关于 轴对称，则
，
其中 。
（二）二重积分的计算
1．利用直角坐标系计算二重积分
设 在平面有界闭区域 上连续：
（i）若 ，其中 、 在 上连续。区域 的特点是：穿过 内与 轴平行的直线与 的边界相交不多于两点，称为 型区域。则
。
（ii）若 ，其中 、 在 上连续。区域 的特点是：穿过 内与 轴平行的直线与 的边界相交不多于两点，称为 型区域。则
。
如果区域 不满足以上条件，可以将区域 分成若干个部分区域，使每个部分区域满足以上条件，再利用积分关于区域的可加性来计算。
2．利用极坐标系计算二பைடு நூலகம்积分
极坐标与直角坐标的关系为 ，极坐标系中的面积元素为 。在极坐标系下，二重积分可变为
（i）极点在区域 外。区域 在极坐标下可表示为
，
其中函数 、 在区间 上连续，则
(五)三重积分的性质
（1）线性性质
，其中 在 上可积， 为常数。
（2）分域性质
，
其中 在 上可积 ，且 无公共内点。
（3）若 在 上可积且 ，则有
（4）估值公式
设 在有界闭区域 上的连续函数，其最大值为 ，最小值 ，则
上式中 表示闭区域 的体积。
（5）中值定理
设 在有界连通闭区域 上的连续函数，则 ，使
其中， 称为被积函数， 为被积表达式， 为面积元素， 、 是积分变量， 是积分区域，并称 为积分和式。
2．二重积分的几何意义：设 在区域 上连续，当 时，二重积分 表示以曲面 为顶，底面区域是 的曲顶柱体的体积。
3．性质
（1）线性性质
若 ， 在 上可积， 和 为任意常数，则 在 上可积，且
。
（2）积分区域可加性质
（ii）极点在区域 边界上。区域 在极坐标下可表示为
，
其中函数 在区间 上连续，则
（iii）极点在区域 内。区域 在极坐标下可表示为
，
其中 在区间 上连续，从而有
（三）二重积分的应用
1．曲面面积：设曲面 是由方程 给出， 在 平面上的投影区域为 ，且函数 在 上有连续的偏导数。则曲面 的面积为
2．物理应用：设平面薄片在 平面上所占的区域为 ，其面密度为 。
若被积函数 关于 为奇函数,，即 ，则
当 关于其他坐标面对称时有类似结论。
10．各类坐标系的选择
（1）当积分区域 是圆柱形或圆锥形区域，或 在某坐标面上的投影是圆域，被积函数具有 的形式，常采用柱坐标系。
（2）当积分区域 是与球相关的区域，而被积函数具有 的形式时，常采用球坐标。
（3）其他如平面或抛物面构成的区域，可选用直角坐标系。
若 ，且 和 除边界外没有公共部分，则 在 上可积的充要条件是 在 和 上都可积，且
。
（3）不等式性质
设 ， 在 上可积，则
（i）若 ， ，则
，
特别有 。
（ii）若 ， 是 的面积，则有
。
（4）积分中值定理
设 为有界闭区域 上的连续函数，则存在 ，使得
，
其中 是 的面积。
（5）对称区域上奇偶函数的积分性质
设 ，若
则一
（七）三重积分的应用
（1）体积
（2）物体的质量
若物体所占空间区域为 ，密度函数为 ，则质量
（3）质心坐标
（4）转动惯量
复习指导：
第12章重积分
学习指导
1．掌握二重积分的概念。
2．会用联立不等式表示平面区域。
3．熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算。能按照积分区域的特征将二重积分转化为二次积分，也能由二次积分的积分限确定二重积分的积分区域，并进一步变换二次积分的次序。
华理高数全部复习资料之重积分
第12章重积分
内容提要
（一）二重积分概念和性质
1．二重积分定义：设二元函数 定义在有界闭区域 上。将 任意划分成除公共边界外没有其它公共部分的 个子区域 （ ），在每个 中任取一点 （ ），作和式 。令 表示各子区域直径的最大值，若极限 存在，且极限值和区域 的分割方式以及各子区域中点 的取法无关，则称函数 在区域 上可积，并称此极限为 在区域 上的二重积分，记作 ，即
（1）薄片质量： 。
（2）一阶矩：薄片关于 、 轴的一阶矩 、 分别为
，
（3）薄片质心 ： ， 。
（4）薄片关于 、 轴和原点的转动惯量分别为：
，
（四）三重积分的定义
设 为空间闭区域 上的有界函数，将 任意分成 个子域 ，以 表示第 个子域的体积。在每一个子域 上任取一点 ，作和式 ，如果当所有子域直径中的最大值 趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限值为函数 在区域 上的三重积分，记作 ，即
8．对三重积分 可以理解为密度函数为 的所占的区域为 的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多性质的理解有极大的帮助。
还应将三重积分和以前各类积分比较，一方面可以加强理解，另一方面也使同学不易忘记和混淆。
9．对称性
当积分区域 关于面 对称时，若被积函数 关于 为偶函数，即
，则
其中 为 在 面之上方的部分
（六）三重积分的计算
（1）在直角坐标系中的计算方法
（a）先单后重法
若先对 积分，则将积分区域 向 平面投影，记投影区域为 ， 可表示为 ，则
类似可以先对y积分或先对x积分。
（b）先重后单法
将积分区域 向子轴投影得 ，再用垂直于 轴的平面去截积分区域 ，得 ，则有
（2）在柱面坐标系中的算法
设
若 ，则
（3）在球坐标系中的方法
4．会将直角坐标系中简单曲线的方程改写为极坐标系下的方程，会确定极坐标系中积分区域的参数变化范围，会在极坐标系下计算简单区域的二重积分。
5．掌握二重积分的几何意义，能用二重积分计算平面区域的面积和空间中简单立体的体积。
6．会用二重积分计算质量、质心、一阶矩和转动惯量等。
7．掌握第一型曲面积分的概念，会确定曲面在坐标平面上的投影区域，会计算简单曲面上的第一型曲面积分。