有限元方法理论及应用仿真
计算电磁学中的有限元方法
计算电磁学中的有限元方法随着计算机技术的不断发展和应用，计算电磁学研究的范围和深度不断提高，其应用领域也越来越广泛。
有限元方法是计算电磁学研究中重要的数值分析方法之一，其可模拟复杂电磁场问题，有着广泛的应用。
本文将简要介绍计算电磁学中的有限元方法的一些基本原理和应用。
一、有限元法基本理论有限元方法是数值分析中一种重要的数学工具，其基本思想是将整个计算区域分割成若干个简单的单元，然后在每个单元内选取一个适当的基函数，通过求解基函数系数来表示数值解。
这种思想很容易扩展到计算电磁场问题上，因为电磁场分布可以被视为由一些小电磁场单元组成。
有限元方法的基本过程包括建立有限元模型、离散化、求解以及后处理。
其中建模是有限元方法中最重要的一个环节。
在建模过程中，首先需要选取合适的计算区域，并将其离散化为若干个小单元（如三角形、四边形等）。
然后，我们需要选取适当的基函数，并确定它们所对应的系数的初始值。
一旦有限元模型被建立，我们就可以进行求解了。
具体来说，有限元法的求解过程需要求解一个大规模的稀疏矩阵方程，其中系数矩阵和右侧向量都与电磁场有关。
这个过程需要借助计算机的优势，通过矩阵解法算法完成求解。
最后，我们通过后处理来获得我们需要的电磁场信息或工程参数，例如电势、磁场强度、感应电动势等。
二、有限元法应用领域有限元法在计算电磁学中广泛应用。
其应用范围涉及电机、变压器、电力电子、雷达、电磁兼容等多个领域。
有限元法可用于仿真复杂的电磁场分布问题，例如在电机设计中，有限元法可用于电机磁场分析、电机振动分析以及谐波分析等。
在电力电子领域中，有限元法可用于设计电感元件和变压器等。
另外，有限元法在雷达技术中也有着广泛的应用，可用于雷达天线设计和仿真。
三、有限元法的优缺点有限元法作为一种数值分析方法，具有一定优缺点。
有限元法的主要优点在于它具有很强的适应性和通用性，可用于模拟各种复杂的材料和几何形状。
此外，有限元法允许我们针对不同的模型选择不同的元素类型和元素尺寸，因此可以根据实际需求自由选择不同的模型。
sw有限元在圆柱面施加垂直力
sw有限元在圆柱面施加垂直力SW有限元在圆柱面施加垂直力- 从理论到实践的全面分析引言：计算机仿真是一种在工程设计中广泛应用的技术，有限元法是其中的一种重要手段。
随着计算机技术的不断发展，有限元法已经成为了解决工程设计中各种工程问题的一种有效方法。
本篇文章主要是介绍有限元法在圆柱面施加垂直力时的应用，以及从理论到实践的全面分析。
一. 有限元方法的基本原理有限元方法就是将连续体离散化成有限个小单元，然后通过计算单元的应力和应变来求解整个结构的应力和应变分布。
通俗来讲就是将整个物体划分成许多小的部分，每一小段都可以使用线性微分方程或非线性常微分方程表示。
通过求解这些微分方程来得到相应的应力和应变分布。
二. 圆柱体壁面承受压力的有限元分析对于一个圆柱体来说，在壁面上受到的垂直力可以通过有限元方法进行分析和计算。
具体的步骤如下：1. 确定有限元模型首先，需要在CAD软件中绘制出需要进行分析的圆柱体的模型。
在完成模型绘制后，需要将模型转换成STEP文件格式，并导入到有限元分析软件中进行下一步的操作。
2. 建立材料模型在进行有限元分析之前，需要为材料建立正确的模型。
一般情况下，圆柱体材料可以模拟为线弹性或弹塑性。
这要根据实际要求进行选择。
对于弹性材料，需要输入杨氏模量和泊松比；对于弹塑性材料，还需要输入屈服强度和强化系数等参数。
3. 网格划分有限元方法的一个基本特征就是需要将模型离散化，将其分成有限个小单元。
对于圆柱体来说，可以使用四面体单元（也是常用的单元）或六面体单元进行网格划分。
在求解过程中，粗略或者不精细的网格可能会导致分析结果的误差。
因此，一个好的规则是：网格越精细，结果越可靠。
4. 施加荷载在弹性分析中，施加荷载的常用方法是施加集中荷载或均布荷载。
在圆柱体壁面上施加垂直力时，可以在圆柱体上选择合适的面施加集中荷载或均布荷载。
为保证施加荷载位置的正确性，需要精确地定义施加点所在的面和施加点的位置。
第五章刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
塑性成形过程 计算机数值模拟
第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 从数学的角度来讲，有限元法是解微分方程的一种数值方法。它的 基本思想是：在整个求解区域内要解某一微分方程很困难(即求出 原函数)时，先用适当的单元将求解区域进行离散化，在单元内假 定一个满足微分方程的简单函数作为解，求出单元内各点的解；然 后，再考虑各单元间的相互影响，最后求出整个区域的场量。
两个或一个事先得到满足，而将其余的一个或两个，通过拉格朗日
乘子引入泛函中，组成新的泛函，真实解使泛函取驻值，这就是不
完全广义变分原理。
❖ 在选择速度场时应变速率与速度的关系(1)式和速度边界条(3)式容 易满足，而体积不可压缩条件(2)式难于满足。因此，可以把体积 不可压缩条件用拉格朗日乘子入引入到泛函中，得到新泛函：
够的工程精度的前提下，可提高计算效率。
塑性成形过程 计算机数值模拟
第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 由于刚塑性有限元法采用率方程表示，材料变形后的构形可通 过在离散空间对速度的积分而获得，从而避开了应变与位移之 间的几何非线性问题。
❖ 由于忽略了弹性变形，刚塑性有限元法仅适合于塑性变形区的 分析，不能直接分析弹性区的变形和应力状态，也无法处理卸 载和计算残余应力与变形。
在满足： (1) 速度-应变速率关系
ij
1 2
ui, j
u j,i
(2) 体积不可压缩条件 (3) 速度边界条件
V kk 0
ui ui
(在 Su 上)
的一切动可容场
ui*j
，
有限元法介绍
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。
这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。
有限元法也叫有限单元法（finite element m ethod, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。
由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。
有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。
事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。
理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。
为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。
有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。
大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。
有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
有限元分析及工程应用
1.3 ANSYS软件操作简介
（2）ANSYS的操作界面 6）信息输出窗口
显示ANSYS软件对已输入命令或已使用功能的响应信 息，包括用户使用命令的出错信息、警告信息、执行命令 的响应、注意事项以及其它信息。
在GUI方式下，用户可随时访问该窗口。 若用户对该窗口使用了关闭操作，则整个ANSYS系统 将会退出。
打开接触对管理器。
1.3 ANSYS软件操作简介
（2）ANSYS的操作界面 3）命令输入窗口 可以输入ANSYS的各种命令，也可以利用剪切(cut)和粘 贴(paste)操作。输入命令后，按“Enter”或“Return”可执 行该命令，用户也可以在输入窗口的历史记录区中，对某一 行的命令双击鼠标左键，就可以执行该命令。
如选择结构分析，则只有与结构分析相关的菜单或命令出 现，其它分析菜单或命令将被屏蔽。
1.3 ANSYS软件操作简介
（2）ANSYS的操作界面 7）主菜单(Main menu) Preprocessor：前处理器。它包含着建 模、划分网格和施加载荷等功能，也可 以通过执行命令“/PREP7”进入。 Solutoin：求解器。它包含着指定分析类 型和选项、施加载荷、载荷步设置以及求 解执行等功能。可通过执行命令 “/SOLU”进入。 General Postproc：通用后处理器。它包 含着结果数据的显示和列表等功能，可 通过执行命令“/POST1”进入。 TimeHist Postpro：时间历程后处理器。显示时间历程变量 阅览器，包含着变量的定义、列表和显示等功能，可执行 命令“/POST26”进入。
1.3 ANSYS软件操作简介
（2）ANSYS的操作界面 4）图形输出窗口 显示几何模型、网格、计算结
果、云图、等值线等图形。 ANSYS允许同时打开 5个窗口，
有限元分析ANSYS理论与应用（第4版）.例3.1_MATLAB理论求解
有限元分析ANSYS理论与应⽤（第4版）.例3.1_MATLAB理论求解相关帖⼦：有限元分析 ANSYS理论与应⽤(第4版).例3.1_ANSYS.Workbench求解题⽬描述：如图所⽰阳台桁架及其尺⼨。
假设所有杆件均为⽊质材料（道格拉斯红杉），弹性模量E=1.9×106lb/in2，且且⾯积为8in2。
确定每个接头的挠度，以及每个杆件的平均应⼒。
下⾯将MATLAB求解这个问题。
1、将问题结构离散为节点和单元：桁架的每个杆件作为单元，每个杆件的连接点作为节点。
因此，给定的桁架可以⽤5个节点和6个单元进⾏建模。
其中：1ft=12in.Element Node i Node j Length（in.）A（in2）E（lb/in2）θ（°)11236.08 1.9E+06022350.98 1.9E+0613533436.08 1.9E+06042436.08 1.9E+069052550.98 1.9E+064564536.08 1.9E+0602、计算各个单元的刚度矩阵，建⽴整体矩阵，边界条件处理，刚度⽅程及未知位移求解，求解⽀反⼒%% 定义输⼊条件A = 8; %杆件截⾯积E = 1.9E6; % 杆件材料弹性模量L1 = 36; % 1、3、4、6号杆件的长度L2 = 50.9; % 2、5号杆件的长度%% 计算单元刚度矩阵k1 = Bar2D2Node_Stiffness(E, A, L1, 0); %计算单元1刚度矩阵k2 = Bar2D2Node_Stiffness(E, A, L2, 135); %计算单元1刚度矩阵k3 = Bar2D2Node_Stiffness(E, A, L1, 0); %计算单元1刚度矩阵k4 = Bar2D2Node_Stiffness(E, A, L1, 90); %计算单元1刚度矩阵k5 = Bar2D2Node_Stiffness(E, A, L2, 45); %计算单元1刚度矩阵k6 = Bar2D2Node_Stiffness(E, A, L1, 0); %计算单元1刚度矩阵%% 建⽴整体刚度矩阵kk = zeros(10, 10);kk = Bar2D2Node_Assembly(kk, k1, 1, 2);kk = Bar2D2Node_Assembly(kk, k2, 2, 3);kk = Bar2D2Node_Assembly(kk, k3, 3, 4);kk = Bar2D2Node_Assembly(kk, k4, 2, 4);kk = Bar2D2Node_Assembly(kk, k5, 2, 5);kk = Bar2D2Node_Assembly(kk, k6, 4, 5) % 输出整体刚度矩阵%% 边界条件处理k = kk([3478910], [3478910]);%添加位移约束。
弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
用于模拟流体流动和传热问题 ，如流体机械、航空航天和化 工等领域。
电磁场
用于分析电磁场问题和电气设 备性能，如电机、变压器和天 线等。
声学
用于模拟声音传播和噪声控制 问题，如声学器件和声学环境
等。
04 弹塑性有限元法的基本原 理
弹塑性有限元法的离散化方法
有限元离散化
将连续的物理场或结构体离散为有限个小的单元体， 每个单元体之间通过节点相互连接。
结构强度分析的模拟
结构强度评估
通过弹塑性有限元法模拟，可以对结构的强度进行评估，预测结构在不同载荷下的响应， 确保结构的安全性和稳定性。
疲劳寿命预测
利用弹塑性有限元法，可以模拟结构的疲劳载荷历程，预测结构的疲劳寿命，为结构的维 护和更换提供依据。
结构优化设计
通过模拟结构的应力分布和变形，可以优化结构设计，降低结构重量，提高结构效率。
边界条件和初始条件
在平衡方程中考虑边界条件和初始条件，以确保模拟的准确性和收 敛性。
弹塑性有限元法的边界条件和初始条件
边界条件的处理
01
根据实际情况，将边界条件转化为节点约束或单元载荷的形式。
初始条件的设置
02
在非稳态问题中，需要考虑初始条件的设置，以模拟问题的初
始状态。
边界条件和初始条件的实施
03
随着计算机技术的不断发展，弹塑性 有限元法在各个工程领域中得到了广 泛应用，如机械、航空航械设计中，弹塑性有限元法可用于分析各种复杂结构 的应力分布、变形和疲劳寿命等，提高产品的可靠性和安 全性。
航空航天
在航空航天领域，弹塑性有限元法可用于分析飞行器结构 在各种载荷下的响应，优化结构设计，提高飞行器的性能 和安全性。
有限元方法与ANSYS应用第7讲有限元的基础理论与方法 有限元案例分析 动力分析
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
完全法谐响应分析----加载并求解
步骤：
2 定义分析类型和分析选项
· 选项： Mass Matrix Formulation[LUMPM]
此选项用于指定是采用缺省的分布质量矩阵（取决 于单元类型）还是集中质量矩阵。建议在大多数应用中 采用缺省的分布质量矩阵。但对于某些包含“薄膜”结 构的问题，集中质量近似矩阵经常能产生较好的结果。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
三种求解方法----完全法
优点：
· 用单一处理过程计算出所有的位移和应 力。 · 允许定义各种类型的载荷：节点力、外 加的（非零）位移、单元载荷（压力和温 度）。 · 允许在实体模型上定义载荷。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
步骤：
9 观察结果
2.派生数据 · 节点和单元应力 · 节点和单元应变 · 单元力 · 节点反作用力，等等。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
缩减法谐响应分析
缩减法的分析过程由五个主要步骤组成： 1.建模； 2.加载并求得缩减解； 3.观察缩减解结果； 4.扩展解（扩展过程）； 5.观察已扩展的解结果。 在这些步骤中，第1步的工作与完全法的相同。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析
任何持续的周期载荷作用在结构系统中 所产生的持续性周期响应（谐响应）。
有限元法分析的基本理论与方法
★ 有限元案例分析—谐响应分析 谐响应分析寻求对已知幅值载荷的
响应振幅。 该载荷随时间以已知频率呈正弦形
式变化。
有限元方法的数学理论
有限元方法的数学理论有限元方法是一种数值计算方法，用于求解常微分方程、偏微分方程和积分方程等数学问题。
它通过将求解区域分割成有限数量的简单形状（如三角形、四边形等）的小区域，将求解问题转化为在这些小区域上的近似解的求解问题。
在有限元方法的数学理论中，有以下几个重要概念：1. 有限元空间：有限元空间是定义在求解区域上的函数空间，它由离散化的形状函数（也称为有限元函数）和它们所对应的节点组成。
形状函数是一组基函数，它们用于近似描述在每个小区域上的解。
2. 变分问题和弱形式：有限元方法通过引入变分问题和弱形式来求解原始的偏微分方程问题。
变分问题是将原始问题转化为一个能够描述解的变分和测试函数的问题。
弱形式是变分问题的特定形式，它通过引入积分和部分积分来简化求解过程。
3. 有限元离散化：有限元方法利用离散化技术将求解区域划分成有限数量的小区域，称为单元。
每个单元上的解用形状函数近似表示，并通过求解线性方程组来得到近似解。
有限元离散化同时确定了单元之间的连接方式，以及解在相邻单元之间的边界条件。
4. 误差估计和收敛性分析：有限元方法通过误差估计和收敛性分析来评估数值解的精度。
误差估计是通过比较数值解和精确解之间的差异来确定数值解的误差大小。
收敛性分析则是研究如果将离散化细化，数值解是否趋向于精确解。
5. 稳定性和收敛阶：有限元方法的稳定性和收敛阶是评价该方法的两个重要性质。
稳定性指的是当离散化细化时，数值解的稳定性是否得到保持。
收敛阶指的是当离散化细化时，数值解的误差与离散化大小的关系。
以上是有限元方法的几个数学理论方面的介绍，了解这些理论可以帮助我们更好地理解有限元方法的原理和应用。
有限元法及应用课件
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有 一定相应，相互之间存在物理 作用。 单元: 节点间相互作用的媒介， 用一组节点相互作用的数值矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
14
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。 梯子的有限元模型不到100个方程；
34
3）非线性边界 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦 的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲 压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等， 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通 常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种 非线性问题。
10
2.几个基本概念 1）单元（element） 将求解的工程结构看成是 由许多小的、彼此用点联结的 基本构件如杆、梁、板和壳组 成的，这些基本构件称为单元。 在有限元法中，单元用一 组节点间相互作用的数值和矩 阵（刚度系数矩阵）来描述。
11
单元具有以下特征：
每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷 下的响应； 模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总 体响应； 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有
限单元”。
12
2）节点（node） 单元与单元之间的联结点，称为节点。在有 限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有 物理特性，且存在相互物理作用。 3）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由 一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连 接，并承受一定载荷。 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描 述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了 整体结构的数学模型。
第四章__弹塑性有限元法基本理论与模拟方法讲解
Pi( k ) P(k 1) Pi(k )
q
(k ) 1
k) (k ) qi( k ) qi( q 1 i
q(k )
q( k 1)
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
(3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
4.2 材料非线性问题及分类
为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力。 与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖 于塑性变形的大小和历史。 后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形 后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
F
ห้องสมุดไป่ตู้ nom
s0
F nom A0 L nom L0
L
nom
s0
nom (1 nom ) p e ln(1 nom ) E
x1 x x 2 , xn
F(x)=0
f1 (x) f ( x) F ( x) 2 , f n ( x)
0 0 0 0
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下同样 存在初始屈服和后继屈服的问题。
材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性 变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹 性状态）。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
有限元方法及应用_02基本理论
1 2
uT
L(u)
1 2
uT
L(u)
d
b.t.(
u,
u)
1 uT L(u)d b.t.( u,u)
2
伽辽金提法等效为
(u) 0
(u)
1 2
uT
L(u)
uT
f
d
b.t.(u)
sdustzhu
泛函的极值性
u 0
u
1m
CT
uC
u
uT
f
d
b.t.(u)
u uu
u u u u u 1 2 u
v1
v
Байду номын сангаас
v2
v
x
k
x
y
k
y
Q
d
q
v
k
n
q
d
0
sdustzhu
Ω vT Au dΩ+Γ v TB u dΓ 0
如果在微分算子A出现的最 高阶导数是n阶，则要求函数u 必须具有连续的n-1阶导数，即 函数应具有Cn-1连续性。
sdustzhu
微分方程的等效积分“弱”形式
2
1 2
2
u
1 2
1m
CT
u C
u d
sdustzhu
Ritz法
n
u u Niai Na i 1
a1
a1
a2
a2
+
an
an
0
a1
a
a2
0
an
sdustzhu
对于二次泛函
Ka p 0 a
1 aT Ka aT P 2
1 aT Ka 1 aT K a aT P
CAE课有限元分析理论基础
类型。
精度要求
03
根据问题对精度的要求，选择足够高阶的有限元以保证求解精
度。
常用有限元的介绍
四面体有限元
适用于解决三维问题，具有较高的计算效率 和适应性。
壳体有限元
适用于解决薄壁结构问题，能够模拟结构的 弯曲和变形。
六面体有限元
适用于解决二维和三维问题，精度较高但计 算效率较低。
梁有限元
适用于解决细长结构问题，能够模拟结构的 轴向拉伸和弯曲。
CAE课有限元分析理论基础
目 录
• 引言 • 有限元分析的基本原理 • 有限元的分类和选择 • 有限元分析的实现过程 • 有限元分析的应用实例 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
目的
有限元分析（FEA）是一种数值分析方法，用于解决复杂的工程问题，如结构 分析、热传导、流体动力学等。本课程旨在使学生掌握有限元分析的基本原理 和应用。
弯曲有限元
适用于解决大变形问题，如结 构动力学、流体动力学等。
非线性有限元
适用于解决非线性问题，如塑 性力学、断裂力学等。
耦合有限元
适用于解决多物理场耦合问题 ，如流体-结构耦合、电磁-热
耦合等。
有限元的选择
问题特性
01
根据问题的物理特性、边界条件和求解精度要求选择合适的有
限元类型。
计算资源
02
考虑计算资源的限制，选择计算效率高、内存占用小的有限元
04 有限元分析的实现过程
建立模型
确定分析对象和边界条件
首先需要明确分析的对象和所受的边界条件， 这是建立有限元模型的基础。
几何建模
根据分析对象的特点，利用CAD软件建立几何 模型。
模型简化
弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹性本构关系：弹性本构关系是描述材料的弹性行为的数学模型。
常见的弹性本构模型包括线性弹性模型和非线性弹性模型。
线性弹性模型假设应力与应变之间的关系是线性的，而非线性弹性模型则考虑了应力与应变之间的非线性关系，如Hooke定律和多项式模型等。
塑性本构关系：塑性本构关系是描述材料的塑性行为的数学模型。
常见的塑性本构模型有单一的本构模型和多线性本构模型。
单一本构模型假设应力与应变之间的关系是单调递增的函数，而多线性本构模型则将塑性行为分段描述，适用于复杂的应力和应变关系。
一般在工程中，弹性本构关系常与塑性本构关系相结合，用于模拟材料在加载过程中的弹性和塑性变形。
有限元方法：有限元方法是一种将连续介质离散成有限个子域，并建立一个代表离散网格的有限元模型进行求解的方法。
在弹塑性有限元方法中，将结构或材料划分成无限形状的有限个单元，每个单元都有一组本征坐标。
然后根据问题的对称性和几何形状，选择适当的数学模型，建立方程组。
模拟方法：在弹塑性有限元法中，首先要确定问题的边界条件，包括力、位移或边界反应。
然后，应用合适的数值方法，如有限差分法或有限元法，对弹塑性问题进行离散求解。
通常采用迭代法进行求解，不断更新单元应力和应变，直到达到一定的收敛准则。
在实际应用中，弹塑性有限元法可以用于模拟多种材料和结构的力学行为，如金属、混凝土、岩土、复合材料等。
通过合理选择材料模型和有限元网格，可以准确地模拟材料的应力、应变分布以及变形情况。
总之，弹塑性有限元法是一种基于有限元法的理论框架，用于模拟材料和结构在加载过程中的弹性和塑性行为。
它包括弹性本构关系、塑性本构关系、有限元方法和模拟方法等几个方面，可以应用于各种材料和结构的力学分析和设计中。
有限元仿真分析
有限元仿真分析有限元仿真分析是一项利用有限元理论分析实物问题的方法。
有限元理论源于二十世纪六十年代末发展起来的结构抗力理论，是一种利用有限元法求解实物问题的复杂理论和方法，把复杂的物体分为若干有限形状的“元”，元件中细分了空间和时间，并对其施加一系列已知条件，以便在微观上进行准确分析。
有限元仿真分析是一种复杂的结构抗力理论，它是一种数值计算的应用，可以用来解决复杂的物理材料的力学和热力学性能。
这项技术的目的是在计算机上模拟复杂物体的动态行为，通过计算自然现象的力学、热力学等的响应，对工程结构的安全性、稳定性和耗散性能等进行预测，以实现安全、高效、节能减排的设计目标。
有限元仿真分析可以模拟实物结构、材料特性及其各种状态下发生的情况，模拟出物体不同性质的变化，获取物体在不断改变状态时与环境相互作用的反馈变化。
例如，可以模拟出物体受力时的变形、应变，以及在静载荷和动载荷下的变化等。
另外，有限元仿真也可以模拟物体的温度场变化特性，从而认识到物体在不同温度下的力学性能变化情况，从而获得物体在不同温度下的力学特性。
有限元仿真分析法在工程应用方面的重要性已经日益凸显。
如在航空航天、汽车、核动力、船舶、新能源及工程制造等领域，有限元仿真仿真分析法被广泛用于结构分析、设计进程控制、性能验证和风险评估等，以确保结构物理特性的可靠性和高效性。
有限元仿真分析法不仅可以减少结构的实验分析，而且可模拟出实物结构的真实反应，并有效地控制设计工艺，从而提高了结构仿真能力，有效控制了工程投入风险，从而可以有效地实现安全、高效、节能减排的设计目标。
有限元仿真分析技术的发展，使有限元仿真仿真分析法成为一种既可靠又有效的分析技术，因此在工程建设、结构设计、技术开发等方面得到广泛应用。
有限元仿真分析法能够准确测量物体的性能和特性，可以帮助解决结构的复杂性，从而改善结构的可靠性，减少结构的错误，提高工程的高效性和抗冲击性，缩短工程的时间，减少结构的投资成本，从而可以提高工程的品质。
工程仿真技术中的有限元理论基础
图4-17 型材挤压成形的分析
图4-18 螺旋齿轮成形过程的分析
17
(a) 模拟结果
(b)实物
图4-19 T形锻件的成形分析
(3) 焊接残余应力分析 （用Sysweld完成）
图4-20 结构与焊缝布置
图4-21 焊接过程的温度分布与轴向残余应力
19
(4) 热处理过程的分析 BMW曲轴的感应淬火 （Induction quenching of crankshafts at BMW，用SysWeld 软件完成）在曲轴表面获得压应力，可以提高曲轴的 疲劳寿命。
先进制造与工程仿真技术
第4章 工程仿真技术中的有限元理论基础
§4.1 工程仿真中有限元法的概述 §4.2 弹性力学的基本原理与有限元分析 §4.3 仿真工程中常用有限元软件简介
教学要求：
了解有限元法的基本原理与基本方法。
学习有限元法的原理，主要结合弹性力学问题来介绍有 限元法的基本方法，包括单元分析、整体分析、载荷与 约束处理、等参单元的概念等。
图4-4 平面桁架系统
图4-5 大型编钟“中华和钟”的振动分析 6
4.1.2 有限元法的基本思路 有限元法把求解区域看作由于许多小的在节点处相互连接的子域 (单元)所构成，模型给出基本方程的分片(子)近似解。 有限元法一种结构分析的方法。分析的基本思想是将连续的求解区 域离散为一组由有限个单元组成的并按一定方式相互联结在一起的单元 组合体来加以分析。分析假想将物体划分为小的单元，然后对各个单元 进行分析，最后再把单元分析结果组合得到整个对象的分析结果。有限 元法首先体现的是一种思想，其基本思想可以归纳为如下几点：
4. 热传导分析 包括稳态传导分析、瞬态热传导分析、热辐射、强迫对流及温度
有限元方法
有限元方法有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种基于物理数学原理和工程力学理论的数值计算方法，它广泛应用于工程领域中结构分析、流体力学和热传导等问题的求解。
本文将为读者介绍有限元方法的原理、应用和发展，并探讨其在工程实践中的重要性。
有限元方法的核心思想是将一个连续的物理问题离散化，通过将其分解为许多小的有限单元，利用数值计算的方法来求解整个问题。
因此，所使用的数学模型将物理问题转化成一个由大量独立节点和元素组成的离散系统，并通过求解节点上的未知量（通常是位移或其他物理量）来得到问题的数值解。
有限元方法的工作流程主要包括以下几个步骤：建立物理模型、离散化、确定边界条件、建立刚度矩阵和荷载向量、组装和求解代数方程组、后处理结果。
首先，将真实的物理问题抽象成一个数学模型，包括几何形状、材料性质和加载条件等。
然后，将物理模型离散化为许多小的有限单元，通常是三角形或四边形。
接下来，根据边界条件确定节点的约束和加载条件。
然后，根据离散化后的模型建立刚度矩阵和荷载向量，用于描述各个单元之间的相互作用关系和力的传递。
随后，将每个单元的刚度矩阵和荷载向量组装成整个系统的刚度矩阵和荷载向量。
最后，通过求解代数方程组，得到节点上的位移或其他物理量的数值解，并进行后处理分析，如应力、应变和位移等。
有限元方法在工程实践中具有重要的意义。
首先，它可以帮助工程师和科学家研究和理解各种复杂的物理现象和工程问题。
其次，通过有限元分析，可以在设计阶段对工程结构进行性能预测和优化，提高产品质量和工程效率。
此外，有限元方法还能为工程实践提供快速、准确和经济的解决方案，节约成本和时间。
近年来，随着计算机技术和数值算法的不断发展，有限元方法在计算规模、精度和可视化方面取得了重大突破。
在结构分析领域，有限元方法已经成为工程设计和分析的重要工具。
同时，在流体力学和热传导等领域，也有广泛的应用。
有限元方法的发展使得工程师和科学家能够更好地理解和解决复杂的工程问题。
第一章概述 有限元法基本原理及应用课件
第一章 概述
有限元法的基本思想 有限元法的特点 有限元法的发展及其应用领域
1.1有限元法的基本思想
2．有限元法是一种应用已知求解未知的思想
在弹性力学领域，已经能用数学偏微分方程将问 题加以表达，但是运用解析方法求解这些方程有时会 很难甚至无法求解。而有限元法是应用人们对事物规 律的已有认识并结合研究对象的各种约束条件，组织 一个运用已知的参量和规律来求解未知问题的有机过 程。
西班牙的Onate E和波兰的Rojek J将DEM 和FEM结合解决地质 力学中的动态分析问题；
瑞典的Birgersson F和英国的Finnveden S针对FEM在频域中的 应用提出了SFEM 。
FEM也从分析比较向优化设计方向发展。印度Mahanty博士用 ANSYS对拖拉机前桥进行优化设计
物体的几何形状可以用大大小小的多种单元进行拼装，所以 有限元法可以分析包括各种特殊结构的复杂结构体。
单元之间材料性质可以有跳跃性的变化，所以能处理许多物 体内部带有间断性的复杂问题，以适应不连续的边界条件和载荷 条件。
三维实体的四面体单元划分
平面问题的四边形单元划分
1.2 有限元法的特点
7．适合计算机的高效计算
20世纪90年代以来，大批FEA系统纷纷向微机移植， 出现了基于各种微机版FEA系统。有限元法向流体力学、 温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算 方面发展，并发展到求解一些交叉学科的问题。
1.3.1 有限元法的发展
3．有限元法的研究现状
美国的HeoFanis Strouboulis等人提出用GFEM 解决 分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时的Nguyen Dang Hung 和越南的Tran Thanh Ngoc 提出用HSM解 决实际开裂问题
有限元方法理论及应用仿真
再创建如下 1/4 圆，如图 1.5 所示
图 1.5
16
有限元方法理论及应用
将两个面积进行布尔减运算，除去 1/4 圆，如图 1.6 所示
图 1.6
5）划分网格：采用自由网格划分，划分时选择三角形单元划分，如图 1.7 所示
图 1.7
17
有限元方法理论及应用
6）施加约束、载荷：对模型左端线约束 X 方向自由度，下端线约束 Y 方向自由 度，并在左端施加 q 1 106 N m 2 的均布载荷，如图 1.8 所示
max 2.97 MPa, max 0.5MPa 。
x y
对比分析分别采用 3 节点三角形单元和 8 节点四边形等参元计算孔边应力集 中可知，应用 8 节点四边形等参元计算得到的结果更符合我们理论分析的结果。 因此应用不同单元类型对数值实验精度有较大的影响。
实验体会与总结
在进行有限元分析的过程中，选取不同单元类型，对模型划分不同的网格密 度将对计算精度产生较大的影响。因此，我们一定要结合实际情况选取出最适合 的单元类型并划分合适的单元网格密度，这样才能得到符合我们要求的理论解。
有限元方法理论及应用
三、上机实验
实验题目
一个 200mm×200mm 平板，中心有一个直径 5mm 圆孔，左右两边受面内均匀 拉伸载荷 1MPa。 建立平面应力问题有限元模型，分别采用 3 节点三角形单元和 8 节点四边形等参元计算孔边应力集中，对两种单元的求解精度进行比较。注意优 化模型单元网格布局和网格密度过渡。撰写实验报告。
图 1.8
7）进行求解 选择 Solution>Solve>Current LS，开始计算 8）进行计算并进行后处理：显示 x 方向应力强度云图，如图 1.9 所示
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实验目的
采用 3 节点三角形单元和 8 节点四边形等参元两个不同的单元计算孔边应力 集中， 并对两种单元的求解精度进行比较，进而分析比较不同单元类型对数值实 验精度的影响。
建模概述
（1）采用 3 节点三角形单元 1）设置工作文件名，如图 1.1 所示
图 1.1
2）设置单元类型：如图 1.2 所示选择单元类型
图 2.15
29
有限元方法理论及应用
计算结果分析与结论
从图 2.8 可以看出，在内壁受均匀载荷的作用下，应用轴对称二次等参单元 建立轴对称模型求解，空心球的应力呈分布层状，最大应力出现在球的内表面为 30.7 MPa，最小应力出现在球的外表面为 15.7 MPa，符合我们理论分析的结果， 该计算是准确的。 从图 2.15 可以看出，在内壁受均匀载荷的作用下，应用二次六面体等参单 元建立三维模型求解，空心球的应力同样呈分布层状，最大应力出现在球的内表 面为 30.9 MPa，最小应力出现在球的外表面为 15.7 MPa，符合我们理论分析的 结果，该计算是准确的。 对比分析分别应用轴对称二次等参单元建立轴对称模型、 应用二次六面体等 参单元建立三维模型求解可知， 两个模型的计算结果相近且符合我们理论分析的 结果。
实验体会与总结
模态是机械结构的固有振动特性， 每一个模态具有特定的固有频率和模态振 型。通过有限元分析并选取合适的单元类型可以得到理论的模态参数，对于指导 工程的实践与应用有着非常重要的指导作用。
37
图 2.7
7)进行求解 选择 Solution>Solve>Current LS，开始计算 8）进行计算并进行后处理：显示应力强度云图，如图 2.8 所示：
图 2.8
26
有限元方法理论及应用
(2)应用二次六面体等参单元建立三维模型求解 1)设置工作文件名，如下图 2.9 所示：
图 2.9
2)设置单元类型：如图所示选择单元，如下图 2.10 所示：
图 3.7
33
有限元方法理论及应用
图 3.8
图 3.9
选择 Solution>Solve>Current LS，开始求解计算 8）列表显示频率如图 3.10 所示
图 3.10
34
有限元方法理论及应用
显示各阶（一阶至六阶 ）频率振型图如下图 3.11.1-3.11.6 所示
图 3.11.1 一阶振型图
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有限元方法理论及应用
实验题目
一个矩形平板， 长 1000mm,宽 100mm， 厚度 10mm。 材料的 E=200GPa， 0.3 ， -6 3 7.82 10 Kg / mm 。板的一侧短边固支，其它三边自由。 在相同的较粗网格（厚度方向 1 层单元）下，分别用 8 节点六面体全积分等参元 和二次六面体等参元计算其前六阶自由振动频率和振型。计算结果列在表中， 对 计算结果作对比和分析。并撰写实验报告。
31
有限元方法理论及应用
图 3.3
4)建立几何模型，如图 3.4 所示
图 3.4
32
有限元方法理论及应用
5)设置单元尺寸并划分网格，如图 3.5 所示
图 3.5
6)施加约束、载荷：对左下端短边施加约束，如图 3.6 所示
图 3.6
7）进行求解 选择分析类型并设置分析选项，如图 3.7；3.8；3.9 所示
图 2.13
6)施加约束、载荷：对左边界面、右边界面和下边界面实行对称约束，球内壁施 加压力 P=10MPa,如下图 2.14 所示：
28
有限元方法理论及应用
图 2.14
7)进行求解 选择 Solution>Solve>Current LS，开始计算 8)进行计算并进行后处理：显示应力强度云图，如图 2.15 所示：
图 1.2
3）设 置 材 料 属 性 ， 取 弹 性 模 量 E 2e11 ， 泊 松 比 0.3 ， 如 图 1.3 所 示
15
有限元方法理论及应用
图 1.3
4）建立几何模型（考虑到模型具有对称性，为方便计算，因此建立 1/4 模型）： 先创建如下 1/4 矩形，如图 1.4 所示
图 1.4
图 1.11
2）划分网格：采用自由网格划分，划分时选择三角形单元划分,如图 1.12 所示
19
有限元方法理论及应用
图 1.12
按如下步骤细化网格划分,得到如图 1.13 所示
图 1.13
20
Байду номын сангаас
有限元方法理论及应用
3）施加约束、载荷：对模型左端线约束 X 方向自由度，下端线约束 Y 方向自由 度，并在左端施加 q 1 106 N m 2 的均布载荷，如图 1.14 所示
图 2.10
3)设置材料属性，取弹性模量 E 2e11 ，泊松比 0.3 ，如下图 2.11 所示：
图 2.11
27
有限元方法理论及应用
4)建立几何模型:由于空心球的对称性，只需建立 1/4 圆球,如下图 2.12 所示：
图 2.12
5)设置单元尺寸并划分网格（采用扫略网格划分：将侧面短边 6 等分，圆弧长边 40 等分），扫略后得如下图 2.13 所示：
图 3.11.2 二阶振型图
图 3.11.3 三阶振型图
图 3.11.4 四阶振型图
图 3.11.5 五阶振型图
图 3.11.6 六阶振型图
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有限元方法理论及应用
(2)选取二次六面体等参元计算 同以上步骤，只需更改选择如下图 3.12 单元（其余步骤略）
图 3.12
列表显示频率，如下图 3.13
实验目的
对比和分析分别用 8 节点六面体全积分等参元和二次六面体等参元计算其 前六阶自由振动频率和振型。
建模概述
（1）应用 8 节点六面体全积分等参元 1)设置工作文件名，如图 3.1 所示
图 3.1
2)定义单元类型，如图 3.2 所示
图 3.2
3)设置材料属性，取弹性模量 E 2e11 ，泊松比 0.3 ， 7.82 106 Kg / mm3 ， 如图 3.3 所示
实验体会与总结
当实验对象为对称的规则模型时，而且载荷也是对称的情况下，我们可以通 过创建对称性模型来简化计算，此时得到的解完全符合我们所要求的理论解。 与 建立完整的有限元模型相比，通过创建对称性模型不仅可以得到近似的理论解， 而且还可以大大减小计算规模， 提高作图效率和计算速度。因此在实际的工程实 践中要充分利用有限元模型的对称性。
图 2.2
设置单元选项，设置 K3 为 Axisymmetric（轴对称单元），如下图 2.3 所示：
23
有限元方法理论及应用
图 2.3
3)设置材料属性，取弹性模量 E 2e11 ，泊松比 0.3 ，如下图 2.4 所示：
图 2.4
4)建立几何模型:由于空心球的对称性，只需建立 1/4 圆环面，如下图 2.5 所示：
图 1.14
4）进行求解 选择 Solution>Solve>Current LS，开始计算 5)进行计算并进行后处理：显示 x 方向应力强度云图，如图 1.15 所示
图 1.15
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有限元方法理论及应用
显示 y 方向应力强度云图，如图 1.16 所示
图 1.16
计算结果分析与结论
从图 1.9,图 1.10 可以看出， 在两边受均匀拉伸载荷的作用下，应用 3 节点三 角形单元求解， max x 2.25MPa, max y 0.235MPa ；从图 1.15,图 1.16 可以看出， 在两边受均匀拉伸载荷的作用下，应用 8 节点四边形等参元求解，
24
有限元方法理论及应用
图 2.5
5)设置单元尺寸并划分网格（采用映射网格划分：将短边 6 等分，圆弧长边 40 等分）,如下图 2.6 所示：
图 2.6
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有限元方法理论及应用
6)施加约束、载荷：对左端竖直线约束 X 方向自由度，下端横线约束 Y 方向自 由度，并在内壁施加 q 1 107 N m 2 的均布载荷，如下图 2.7 所示：
再创建如下 1/4 圆，如图 1.5 所示
图 1.5
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有限元方法理论及应用
将两个面积进行布尔减运算，除去 1/4 圆，如图 1.6 所示
图 1.6
5）划分网格：采用自由网格划分，划分时选择三角形单元划分，如图 1.7 所示
图 1.7
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有限元方法理论及应用
6）施加约束、载荷：对模型左端线约束 X 方向自由度，下端线约束 Y 方向自由 度，并在左端施加 q 1 106 N m 2 的均布载荷，如图 1.8 所示
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有限元方法理论及应用
实验题目
一个空心球的外半径 R1 150mm ，内半径 R2 120mm 。内壁受均匀压力
10 MPa 。试用有限元法计算该空心球体的应力分布情况。要求分别应用轴对称
二次等参单元建立轴对称模型、应用二次六面体等参单元建立三维模型求解， 对 两个模型计算结果进行对比分析。 注意利用对称性简化建模。 撰写实验报告。 （10 分）
图 1.8
7）进行求解 选择 Solution>Solve>Current LS，开始计算 8）进行计算并进行后处理：显示 x 方向应力强度云图，如图 1.9 所示
图 1.9
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有限元方法理论及应用
显示 y 方向应力强度云图，如图 1.10 所示
图 1.10
(2)采用 8 节点四边形等参元 1)前 4 步如上所示，只需更改单元类型,如图 1.11 所示选择单元
有限元方法理论及应用
三、上机实验
实验题目
一个 200mm×200mm 平板，中心有一个直径 5mm 圆孔，左右两边受面内均匀 拉伸载荷 1MPa。 建立平面应力问题有限元模型，分别采用 3 节点三角形单元和 8 节点四边形等参元计算孔边应力集中，对两种单元的求解精度进行比较。注意优 化模型单元网格布局和网格密度过渡。撰写实验报告。