有限元方法理论及应用仿真

实验体会与总结
当实验对象为对称的规则模型时，而且载荷也是对称的情况下，我们可以通 过创建对称性模型来简化计算，此时得到的解完全符合我们所要求的理论解。 与 建立完整的有限元模型相比，通过创建对称性模型不仅可以得到近似的理论解， 而且还可以大大减小计算规模， 提高作图效率和计算速度。因此在实际的工程实 践中要充分利用有限元模型的对称性。
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有限元方法理论及应用
实验题目
一个空心球的外半径 R1 150mm ，内半径 R2 120mm 。内壁受均匀压力
10 MPa 。试用有限元法计算该空心球体的应力分布情况。要求分别应用轴对称
二次等参单元建立轴对称模型、应用二次六面体等参单元建立三维模型求解， 对 两个模型计算结果进行对比分析。 注意利用对称性简化建模。 撰写实验报告。 （10 分）
图 1.8
7）进行求解 选择 Solution>Solve>Current LS，开始计算 8）进行计算并进行后处理：显示 x 方向应力强度云图，如图 1.9 所示
图 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.9
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有限元方法理论及应用
显示 y 方向应力强度云图，如图 1.10 所示
图 1.10
(2)采用 8 节点四边形等参元 1)前 4 步如上所示，只需更改单元类型,如图 1.11 所示选择单元
再创建如下 1/4 圆，如图 1.5 所示
图 1.5
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有限元方法理论及应用
将两个面积进行布尔减运算，除去 1/4 圆，如图 1.6 所示
图 1.6
5）划分网格：采用自由网格划分，划分时选择三角形单元划分，如图 1.7 所示
图 1.7
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有限元方法理论及应用
6）施加约束、载荷：对模型左端线约束 X 方向自由度，下端线约束 Y 方向自由 度，并在左端施加 q 1 106 N m 2 的均布载荷，如图 1.8 所示
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有限元方法理论及应用
图 3.3
4)建立几何模型，如图 3.4 所示
图 3.4
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有限元方法理论及应用
5)设置单元尺寸并划分网格，如图 3.5 所示
图 3.5
6)施加约束、载荷：对左下端短边施加约束，如图 3.6 所示
图 3.6
7）进行求解 选择分析类型并设置分析选项，如图 3.7；3.8；3.9 所示
实验目的
采用 3 节点三角形单元和 8 节点四边形等参元两个不同的单元计算孔边应力 集中， 并对两种单元的求解精度进行比较，进而分析比较不同单元类型对数值实 验精度的影响。
建模概述
（1）采用 3 节点三角形单元 1）设置工作文件名，如图 1.1 所示
图 1.1
2）设置单元类型：如图 1.2 所示选择单元类型
图 2.2
设置单元选项，设置 K3 为 Axisymmetric（轴对称单元），如下图 2.3 所示：
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有限元方法理论及应用
图 2.3
3)设置材料属性，取弹性模量 E 2e11 ，泊松比 0.3 ，如下图 2.4 所示：
图 2.4
4)建立几何模型:由于空心球的对称性，只需建立 1/4 圆环面，如下图 2.5 所示：
图 3.11.2 二阶振型图
图 3.11.3 三阶振型图
图 3.11.4 四阶振型图
图 3.11.5 五阶振型图
图 3.11.6 六阶振型图
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有限元方法理论及应用
(2)选取二次六面体等参元计算 同以上步骤，只需更改选择如下图 3.12 单元（其余步骤略）
图 3.12
列表显示频率，如下图 3.13
图 1.11
2）划分网格：采用自由网格划分，划分时选择三角形单元划分,如图 1.12 所示
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有限元方法理论及应用
图 1.12
按如下步骤细化网格划分,得到如图 1.13 所示
图 1.13
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有限元方法理论及应用
3）施加约束、载荷：对模型左端线约束 X 方向自由度，下端线约束 Y 方向自由 度，并在左端施加 q 1 106 N m 2 的均布载荷，如图 1.14 所示
有限元方法理论及应用
三、上机实验
实验题目
一个 200mm×200mm 平板，中心有一个直径 5mm 圆孔，左右两边受面内均匀 拉伸载荷 1MPa。 建立平面应力问题有限元模型，分别采用 3 节点三角形单元和 8 节点四边形等参元计算孔边应力集中，对两种单元的求解精度进行比较。注意优 化模型单元网格布局和网格密度过渡。撰写实验报告。
实验目的
分别应用轴对称二次等参单元建立轴对称模型、 二次六面体等参单元建立三 维模型两个模型求解，对计算结果进行对比分析计算该空心球体的应力分布规 律。进而说明对称性对有限元分析的重要性。
建模概述
(1)应用轴对称二次等参单元建立轴对称模型求解 1)设置工作文件名，如下图 2.1 所示：
图 2.1
2)设置单元类型：如图 2.2 所示选择单元：
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有限元方法理论及应用
实验题目
一个矩形平板， 长 1000mm,宽 100mm， 厚度 10mm。 材料的 E=200GPa， 0.3 ， -6 3 7.82 10 Kg / mm 。板的一侧短边固支，其它三边自由。 在相同的较粗网格（厚度方向 1 层单元）下，分别用 8 节点六面体全积分等参元 和二次六面体等参元计算其前六阶自由振动频率和振型。计算结果列在表中， 对 计算结果作对比和分析。并撰写实验报告。
图 2.10
3)设置材料属性，取弹性模量 E 2e11 ，泊松比 0.3 ，如下图 2.11 所示：
图 2.11
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有限元方法理论及应用
4)建立几何模型:由于空心球的对称性，只需建立 1/4 圆球,如下图 2.12 所示：
图 2.12
5)设置单元尺寸并划分网格（采用扫略网格划分：将侧面短边 6 等分，圆弧长边 40 等分），扫略后得如下图 2.13 所示：
max 2.97 MPa, max 0.5MPa 。
x y
对比分析分别采用 3 节点三角形单元和 8 节点四边形等参元计算孔边应力集 中可知，应用 8 节点四边形等参元计算得到的结果更符合我们理论分析的结果。 因此应用不同单元类型对数值实验精度有较大的影响。
实验体会与总结
在进行有限元分析的过程中，选取不同单元类型，对模型划分不同的网格密 度将对计算精度产生较大的影响。因此，我们一定要结合实际情况选取出最适合 的单元类型并划分合适的单元网格密度，这样才能得到符合我们要求的理论解。
实验目的
对比和分析分别用 8 节点六面体全积分等参元和二次六面体等参元计算其 前六阶自由振动频率和振型。
建模概述
（1）应用 8 节点六面体全积分等参元 1)设置工作文件名，如图 3.1 所示
图 3.1
2)定义单元类型，如图 3.2 所示
图 3.2
3)设置材料属性，取弹性模量 E 2e11 ，泊松比 0.3 ， 7.82 106 Kg / mm3 ， 如图 3.3 所示
图 3.13
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有限元方法理论及应用
显示各阶（一阶至六阶 ）频率振型图如下图 3.14.1-3.14.6 所示
图 3.14.1 一阶振型图
图 3.14.2 二阶振型图
图 3.14.3 三阶振型图
图 3.14.4 四阶振型图
图 3.14.5 五阶振型图
图 3.14.6 六阶振型图
计算结果分析与结论
从自由振动的各阶型态的数值以及振型图来看， 分别用 8 节点六面体全积分 等参元和二次六面体等参元计算得到的前六阶对应每一阶自由振动频率和振型 相差很小。
实验体会与总结
模态是机械结构的固有振动特性， 每一个模态具有特定的固有频率和模态振 型。通过有限元分析并选取合适的单元类型可以得到理论的模态参数，对于指导 工程的实践与应用有着非常重要的指导作用。
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图 3.7
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有限元方法理论及应用
图 3.8
图 3.9
选择 Solution>Solve>Current LS，开始求解计算 8）列表显示频率如图 3.10 所示
图 3.10
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有限元方法理论及应用
显示各阶（一阶至六阶 ）频率振型图如下图 3.11.1-3.11.6 所示
图 3.11.1 一阶振型图
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有限元方法理论及应用
图 2.5
5)设置单元尺寸并划分网格（采用映射网格划分：将短边 6 等分，圆弧长边 40 等分）,如下图 2.6 所示：
图 2.6
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有限元方法理论及应用
6)施加约束、载荷：对左端竖直线约束 X 方向自由度，下端横线约束 Y 方向自 由度，并在内壁施加 q 1 107 N m 2 的均布载荷，如下图 2.7 所示：
图 2.15
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有限元方法理论及应用
计算结果分析与结论
从图 2.8 可以看出，在内壁受均匀载荷的作用下，应用轴对称二次等参单元 建立轴对称模型求解，空心球的应力呈分布层状，最大应力出现在球的内表面为 30.7 MPa，最小应力出现在球的外表面为 15.7 MPa，符合我们理论分析的结果， 该计算是准确的。 从图 2.15 可以看出，在内壁受均匀载荷的作用下，应用二次六面体等参单 元建立三维模型求解，空心球的应力同样呈分布层状，最大应力出现在球的内表 面为 30.9 MPa，最小应力出现在球的外表面为 15.7 MPa，符合我们理论分析的 结果，该计算是准确的。 对比分析分别应用轴对称二次等参单元建立轴对称模型、 应用二次六面体等 参单元建立三维模型求解可知， 两个模型的计算结果相近且符合我们理论分析的 结果。
图 1.2
3）设 置 材 料 属 性 ， 取 弹 性 模 量 E 2e11 ， 泊 松 比 0.3 ， 如 图 1.3 所 示
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有限元方法理论及应用
图 1.3
4）建立几何模型（考虑到模型具有对称性，为方便计算，因此建立 1/4 模型）： 先创建如下 1/4 矩形，如图 1.4 所示
图 1.4
图 2.13
6)施加约束、载荷：对左边界面、右边界面和下边界面实行对称约束，球内壁施 加压力 P=10MPa,如下图 2.14 所示：
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有限元方法理论及应用
图 2.14
7)进行求解 选择 Solution>Solve>Current LS，开始计算 8)进行计算并进行后处理：显示应力强度云图，如图 2.15 所示：
图 1.14
4）进行求解 选择 Solution>Solve>Current LS，开始计算 5)进行计算并进行后处理：显示 x 方向应力强度云图，如图 1.15 所示
图 1.15
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有限元方法理论及应用
显示 y 方向应力强度云图，如图 1.16 所示
图 1.16
计算结果分析与结论
从图 1.9,图 1.10 可以看出， 在两边受均匀拉伸载荷的作用下，应用 3 节点三 角形单元求解， max x 2.25MPa, max y 0.235MPa ；从图 1.15,图 1.16 可以看出， 在两边受均匀拉伸载荷的作用下，应用 8 节点四边形等参元求解，
图 2.7
7)进行求解 选择 Solution>Solve>Current LS，开始计算 8）进行计算并进行后处理：显示应力强度云图，如图 2.8 所示：
图 2.8
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有限元方法理论及应用
(2)应用二次六面体等参单元建立三维模型求解 1)设置工作文件名，如下图 2.9 所示：
图 2.9
2)设置单元类型：如图所示选择单元，如下图 2.10 所示：