随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征

【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。

【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。

【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法

【学时分配】7-9学时

分布函数:)

x

F≤

=——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中

P

X

)

(

(x

分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如：

评价粮食产量，只关注平均产量；

研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数；

评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度；

评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。

描述变量的平均值的量——数学期望，

描述变量的离散程度的量——方差。

§4.1 数学期望

教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望；

使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。

教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。

教学过程：

(一) 数学期望的概念

先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入

区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个

e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2

现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为

∑==⨯+⨯+⨯2

210210k k N a

k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值

−−→−N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=−−→−2

k k k p x x 稳定值

。

显然,数值∑=2

k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。

定义:

1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1

k k k x p ∞

=∑绝对收敛，则称级数1

k k k x p ∞

=∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1

k k k x p ∞

=∑。

2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞

-∞

⎰绝对

收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞

⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞

-∞

⎰。

数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算

关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若

则()E X ＝1k k k x p ∞

=∑ （绝对收敛）

2、连续型——若X ～ 密度函数

，则()E X ＝()xf x dx ∞

-∞

⎰ （绝对收敛）

例1 甲、乙两个工人，生产同一种产品，在相同条件下，生产100件产品所出的废品数分别用X 、

Y 表示，它们的概率分布如下：

问这两个工人谁的技术好?

解: ()E X ＝00.710.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=,()E Y ＝00.510.320.2300.7⨯+⨯+⨯+⨯=

甲工人生产出废品的均值较小，甲的技术好。

例2 有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命X k (k=1,2，3，4，5)服从同一指数分布，其概

率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,

0,1x x e x f x θ

θ，0>θ，(1)若将这5个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命

（以小时记）N 的数学期望。(2)若将这5个电子装置并联连接组成整机，求整机寿命（以小时记）M 的数学期望。

分析:5个电子装置串联，整机寿命{}54321,,,,min X X X X X N =，并联，整机寿命

{}54321,,,,max X X X X X M =，要求N ，M 的数学期望，关键求N,M 的密度函数).(),(max min x f x f

解: (1)k X ()5,4,3,2,1=k 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-.

0,0,

0,1x x e x F x θ。

因为5个电子装置串联，所以整机寿命{}54321,,,,min X X X X X N =的分布函数为

()()[]

⎩⎨

⎧≤>-=--=-.0,

0,

0,11155

min x x e x F x F x θ，因而N 的概率密度为

()⎩⎨⎧≤>=-.0,

0,0,55min x x e x f x θθ，于是N 的数学期望为,()5)(055min θθ

θ

===⎰⎰+∞-+∞∞-dx e x dx x xf N E x 。 (2) 因为5个电子装置并联，所以整机寿命{}54321,,,,max X X X X X M =的分布函数为

()()[]

[]

⎪⎩⎪⎨⎧≤>-==-.0,

0,0,15

5

max x x e x F x F x θ，因而N 的概率密度为 ()[]

⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--.0,

0,

0,145

m ax x x e e x f x

x θθθ，于是N 的数学期望为

()[]

θθ

θθ60

137

1)(0

4

5

max =

-==⎰⎰+∞

--+∞∞

-dx e

e x dx x x

f N E x

x 。 我们可以看到

()()

4.11≈N E M E ，即5个电子装置并联联接工作的平均寿命是串联联接工作的平均寿命的11.4倍。

例3 按规定，某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时间是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为

分析 ：

第一

车8:30到站

10分钟,第一

车8:50到站

30分钟