向量组与矩阵的秩
第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩
第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩向量是研究代数问题的重要工具。
在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。
但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。
例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置()z y x ,,、时间t 以及三个速度分量z y x v v v ,,，这七个量组成的有序数组()z yxv vv t z y x ,,,,,,称为七维向量。
更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。
这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。
§1 n 维向量作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义定义1 n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组（n a a a ,,,21 ），称为n 维向量。
数i a 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。
向量通常用希腊字母γβα,, ,等来表示。
向量常写为一行α=（n a a a ,,,21 ）有时为了运算方便，又可以写为一列=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛na a a 21前者称为行向量，后者称为列向量。
行向量、列向量都表示同一个n 维向量。
设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分 量相等，即),,2,1(n i b a i i ==时，称向量α与向量β相等，记作，βα=。
分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=)0,,0,0(若),,,(21n a a a =α，则称),,,(21n a a a --- 为α的负向量，记为α-。
下面讨论n 维向量的运算。
定义2 设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，那么向量),,,(2211n n b a b a b a +++ 叫做向量α与β的和向量，记做βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα 向量α与β的差向量可以定义为α+)(β-，即),,,()(2211n n b a b a b a ---=-+=- βαβα定义3 设),,,(21n a a a =α是n 维向量，λ是一个数，那么向量),,,(21n a a a λλλ 叫做数λ与向量α的数量乘积（简称数乘），记为λα，即),,,(21a a a λλλλα =向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。
线性代数第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩
第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。
2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。
3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。
3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。
4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。
（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。
矩阵的秩与向量组的秩一致
矩阵的“秩”，是线性代数第一部分的核心概念。
“矩阵的秩与向量组的秩一致。
矩阵的秩就是其行（或列）向量组的秩。
”怎样证明？就当做习题练一练。
设矩阵A的秩为r ，则A必有一个r 阶子式不为0，而所有 r + 1阶子式全为 0逻辑1——r 阶子式不为0，则 r个r 维向量线性无关。
分析这是格莱姆法则推论，带来的直接判别方法。
（画外音：r个未知量 r个方程的齐次线性方程组仅有0 解的充分必要条件是其系数行列式不为0）逻辑思维链——这r 个r 维向量与A 的行（或列）向量组有何关系？逻辑2——（“线性无关，延长无关。
”定理）——已知一个n 维向量组线性无关，如果在相同的位置，给组内每个向量都增加一个分量，则所得的n + 1维向量组也线性无关。
分析不妨认为给线性无关的n 维向量组a1，a 2，…，a k 的每个向量都加上第n + 1个分量，形成一个n + 1 维向量组b1，b 2，…，b k若有一组不全为零的数c1，c2，…，c k ，使得c1b1+ c2b 2+ ---+ c k b k = 0，如何证明“这组常数只能全为0”？每个向量有n + 1 分量，向量“线性组合为0”实际上是n + 1个等式。
前n 个等式即c1 a1+ c2a2+ ---+ c k a k = 0由已知线性无关即得，这组常数只能全为0，而最后那个（第n + 1个）等式自然成立。
逻辑3 ——将线性无关的 r个r 维向量，逐次延长为矩阵A 的r 个行向量（或列向量），它们线性无关。
（潜台词：简而言之，不为0的r阶子式所在的r个行向量（或列向量）线性无关。
）逻辑思维链（关键问题）——这r 个行向量是行向量组的最大无关组吗？唯一信息——A的所有r + 1阶子式全为0分析不妨设不为0 的r 阶子式就由这r 个行的左起前r 个分量排成。
（画外音：画个示意图最好。
）任取A的一行，其左起前 r个分量形成的r 维向量，必定可以被r 阶子式的r 个行线性表示。
线性代数_ 向量组的线性相关性与矩阵的秩_
上一页
定理1
若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为零，而 所有的 k+1 阶子式全为零，则 r ( A ) = k .
证： 由于 A 的所有 k + 1 阶子式全为零，则 A 的任 一 k + 2 阶子式按某行( 列 )展开后必为零，进而全 部高于 k + 1 阶的子式全为零。 又由于 A 中至少有一个 k 阶子式不为零, 故 A 的最高阶非零子式为 k 阶，因此 r ( A ) = k .
定义2
设 A 为 m n 矩阵，在 A 中任取 k 行 k 列 ( 1 ≤ k ≤ min{m, n}), 由交叉处的 k2 个元素 ( 不改变它们的相对 位置 ) 所构成的方阵称为A的一个k 阶子阵，其行列式 称为 A 的一个 k 阶子式。
取矩阵 A 的前 k 行前 k 列所构成的子阵称为矩阵 A 的 k 阶顺序主子阵，其行列式称为 A 的 k 阶顺序主子 式。
反之, 如果 k1bi1 krbir 0,
则
k1Pai1
kr Pair
两边左乘P1
0 k1ai1
krair
0.
因此结论成立。
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推论1
设矩阵A, B, P 满足 B = PA，其中P为 可逆阵。则 （1） r(A) = r(B); （2） A, B 的列向量组的极大无关组一 一对应，并 且其余向量由极大无关组线性表示相同
a j k1ai1 krair b j k1bi1 krbir .
推论2
矩阵 A 经初等行变换化为矩阵 B, 则 A, B具有定 理2及推论1的结论。
上一页
例1
1 1 2 1
求矩阵 A 3 1
0
2
的秩.
1 3 4 4
向量组与矩阵的秩
1 2 0 8 6
0 0 0 9 8
1 2 0 1 2
1 2 0 1 2
r3 1 r2
0
2
3
2
0 0 0 0
1
r3
r4
0
2
3
2
0
0 0 0 9
1 8
B
0 0 0 9 8
0 0 0 0 0
R{1,2 , ,n} n ，则向量组 1,2 , ,n 线性无关。
如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即
R{1,2 , ,n} n ，则向量组 1,2 , ,n 线性相关。
性质2.5 (1)若向量组A可由向量组B线性表示，则r(A)<=r(B). (2) 等价向量组的秩相同.
如果 A 为 mχ n 矩阵，则 R(A)≤ min (m,n)。
特别当 R(A)=m 时，称矩阵 A 为行满秩；当 R(A)=n 时，称矩
阵 A 为列满秩；当 R(A)=m=n 时，称矩阵 A 为满秩矩阵。
例 求矩阵的秩
2 1 0 3 2
B
0
3
1 2
5
0 0 0 4 3
1 1,2,0,1,2 0,1,0,1,3 1,3,0,2,4 1,2,1,1
解法1：构造矩阵
1 0 1 1
1 0 1 1
1 0 1 1
A
2
1
3
2
r2
2r1
0
1
1
0
r4
r2
0
第四章-向量组与矩阵的秩
e n 线性无关. 证毕.
例4
维向量组必定线性相关. 含有零向量的 n 维向量组必定线性相关
证 若向量组 a1, a2, …, as 含有零向量，不妨设 a1= 0， 则有 1⋅a1+0⋅a2+ …+ 0⋅as = 0,
其系数不全为0，按定义此向量组线性相关。证毕。
定理2 定理2 当 s ≥2 时，向量组 a1, a2, …, as 线性相关的 充要条件是其中至少 充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性 是其中至少有一个向量能由其余向量线性 表2+ …+xn an = b,
⇒
定理 1 对于方程组Ax=b， ， 对于方程组 (1) Ax=b有解 有解 性表示； 性表示 向量b能由向量组 向量 能由向量组a1, a2, …,an 线 能由向量组
(2) Ax=b有唯一解 向量 能由向量组 1, a2, …,an 能由向量组a 有唯一解 向量b能由向量组 并且表示方法唯一. 并且表示方法唯一 线性表， 线性表，
关高( 亦无关； 相关矮( 亦相关. 矮(短)无关高(长)亦无关；高(长)相关矮(短)亦相关.
例6 证明：对于矩阵 满足B=PA, 如果 的列 如果A的列 证明：对于矩阵A, B, P满足 满足 向量组线性相关， 的列向量组也线性相关。 向量组线性相关，则B的列向量组也线性相关。 的列向量组也线性相关 证 由已知，方程Ax=0有非零解， 设u为其一个非零解，则有Au=0. 则Bu=PAu=0, 则u也是Bx=0的非零解， 从而u也是Bx=0的一个非零解， 因此B的列向量组线性相关。证毕。
推论5 推论5 向量组a 线性无关， 向量b不能由 不能由a 向量组 1,…ar 线性无关 ， 向量 不能由 1,…ar 线性表示，则向量组a 线性无关。 线性表示，则向量组 1,…ar , b线性无关。 线性无关
向量组的秩与矩阵秩的关系
向量组1
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
A的列向量组为1,2 ,,n ； A的行向量组为 1T , 2T ,, mT.
➢ 称A的列向量组的秩为A的列秩;
➢ 称A的行向量组的秩为A的行秩.
向量组的秩与矩阵秩的关系
设矩阵A
1 0
1 1
1 2
，试确定矩阵的秩，行秩，列秩.
0 0 0
➢ 矩阵A的秩为 2；
➢ A的行向量组为：1T 1 1 1, 2T 0 1 2, 3T 0 0 0.
➢
1T
,
T 2
是
A 的行向量组的一个极大无关组，A 的行秩是2.
向量组的秩与矩阵秩的关系
1
1
1
A的列向量组为 1 0,2 1,3 2.
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向量组的秩与矩阵秩的关系
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01
向量组的秩与矩阵秩的关系
向量组的秩与矩阵秩的关系
含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应
Amn 1 2 n
向量组的秩与对应的矩阵的秩具有什么联系？
0
0
0
由于 1，2线性无关，3 22 1 ，故 1，2是A的列向量
组的一个极大无关组，因而A的列秩为2.
在本例中，我们发现矩阵的秩等于其行秩和列秩！ 这一结论是否具有普遍意义呢？
向量组的秩与矩阵秩的关系
回顾
1 0
0 1
0 0
c11 c21
c1,nr c2,nr
A B 0 0 1 cr1 cr,nr
向量组的秩与矩阵的秩的关系_线性代数_[共4页]
![向量组的秩与矩阵的秩的关系_线性代数_[共4页]](https://img.taocdn.com/s3/m/1ce617dcf78a6529647d53f1.png)
86线性代数规定只含零向量的向量组的秩为0. 由定义3.3.2可知，例1中()123 ,,2r =ααα.一般来说，要求向量组的秩，首先需要求出极大无关组，若按照定义3.3.1去求极大无关组比较麻烦，尤其是定义3.3.1中的第二个条件的判断很困难，在3.3.2节我们还将介绍另外的方法求向量组的极大无关组以及秩.由向量组秩的定义可得：（1）向量组12,,,s "ααα线性相关()12,,,s r s ⇔<ααα"；向量组12,,,s "ααα线性无关(1,r ⇔α)2,,s s =αα"（线性无关的向量组的极大无关组就是该向量组本身）. （2）任何一个部分组的秩≤向量组的秩≤向量组中向量的个数. （3）若向量组12,,,s "ααα可由向量组12,,,t βββ"线性表示，则()()1212,,,,,,s t r r αααβββ""≤.证 设12,,,r i i i ααα"是向量组12,,,s "ααα的极大无关组，12,,,m j j j βββ"是向量组12,,,t βββ"的极大无关组. 因为向量组12,,,s "ααα可由向量组12,,,t βββ"线性表示，而向量组与极大无关组是等价的，所以12,,,r i i i ααα"可由12,,,m j j j βββ"线性表示. 又因为12,,,r i i i ααα"线性无关，根据推论3.2.7，得r m ≤，即()()1212,,,,,,s t r r αααβββ""≤.证毕.（4）等价的向量组具有相同的秩.证 设向量组12,,,s "ααα与向量组12,,,t βββ"等价，它们的秩分别为r 和m . 一方面，向量组12,,,s "ααα能由向量组12,,,t βββ"线性表示，则有r m ≤；另一方面，向量组12,,,t βββ"能由向量组12,,,s "ααα线性表示，则m r ≤. 综合这两方面的结论，可得r m =，即等价的向量组的秩相等.证毕.需要注意的是，若两个向量组的秩相等，它们不一定等价.如向量组()()121,2,1,2,4,2=−=−αα，1α是向量组12,αα的极大无关组，秩为1；而向量组()()120,2,1,0,4,2==ββ，1β是向量组12,ββ的极大无关组，秩为1. 两个向量组的秩相等，但是这两个向量组不等价.例2 试证：若一个向量组的秩为r ，则在向量组内，任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大无关组.证 设12,,,r i i i ααα"为向量组12,,,s "ααα中r 个线性无关的向量. 任取{}12,,,j s ∈αααα"，如果 {}12,,,rj i i i ∈αααα"，则12,,,,r ji i i αααα"线性相关；如果{}12,,,rj i i i ∉αααα"，因为向量组12,,,,r j i i i αααα"的秩不超过向量组12,,,s "ααα的秩，所以()12,,,,1r j i i i r r r <+αααα"≤，于是向量组12,,,,r j i i i αααα"线性相关. 从而12,,,r i i i ααα"是向量组12,,,s "ααα的一个极大无关组.3.3.2 向量组的秩与矩阵的秩的关系由于矩阵和向量组之间存在着一定的关系，所以向量组的秩与矩阵的秩之间也有一定的关系.。
矩阵的秩与向量组的秩一致
矩阵的秩与向量组的秩一致矩阵和向量组是线性代数中非常重要的概念，秩也是矩阵和向量组中的一个重要性质。
矩阵的秩和向量组的秩之间有一个非常重要的关系，本文将对这个关系进行详细的探讨，希望能够帮助读者更好地理解这一概念。
一、矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要属性，它可以反映出矩阵所包含的线性空间的维数。
在矩阵中，如果某些行或列之间有一定的线性关系，那么这些行或列就会被称为线性相关的行或列，相反，如果行或列之间没有任何线性关系，那么它们就被称为线性无关的行或列。
在进行矩阵的行变换或列变换时，矩阵的秩不会发生改变。
因此，我们可以通过这些变换来简化矩阵的计算，并最终得出矩阵的秩。
其中最常用的方法是高斯消元法和初等矩阵法。
从几何意义上讲，矩阵的秩可以表示为矩阵所包含的向量空间的维数。
在二维平面内的向量空间中，我们可以用一个二维矩阵来表示，这个矩阵的秩就等于所包含向量的个数；同样，在三维空间内，我们可以用一个三维矩阵来表示向量空间，其秩就代表该空间所包含的向量数。
二、向量组秩向量组秩是指一组向量的线性无关的个数，即向量组中最大的线性无关向量个数。
如果向量组中某些向量之间存在线性依赖关系，那么称这些向量是线性相关的。
因此，向量组的秩和矩阵的秩是有密切联系的。
从几何角度来看，向量组的秩可以理解为所构成的向量空间的维数。
当向量组的秩等于向量空间的维数时，这个向量组就可以作为向量空间的一组基，而向量空间中的任何向量都可以表示为这个向量组的线性组合。
矩阵的秩和向量组秩之间有一种非常重要的一致性，即矩阵的秩等于它所包含向量组的秩。
这个定理有以下两种不同的表述方式：1. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A所包含的向量组的秩也为r。
这两种表述方式的本质是一样的，它们都说明了矩阵的秩与其所包含的向量组秩是完全一致的。
这个定理在线性代数的理论和实际应用中都发挥着非常重要的作用，因为它可以方便地将矩阵和向量组之间的关系进行转换和应用。
四、应用举例在实际应用中，矩阵的秩与向量组秩的一致性有很多不同的应用。
向量组与矩阵的秩
k
i 1 i
s
i
k1 1 k 2 2 k s s 0
反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就 称 1 , 2 , s线性无关。 当 1 , 2 , s是行向量组时，它们线性相关就是指有 非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使
所以 k1 1 k 2 2 k n n 0 当且仅当k1=k2=…=kn=0 因此 1 单位向量。
湖南科技大学 吴晓勤
12
例2
讨论向量组
1
2 3 2 1
1 2 1
3
3 2 -1
k1 1 k2 2 k3 3 (k1 k3 ) 1 (k1 k2 ) 2 (k2 k3 )
设有k1,k2,k3,使 k1 1 k 2 2 k 3 3 0 由 1 , 2 , 3线性无关，故有
k1 k 3 0 k1 k 2 0 k k 0 3 2
由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0 所以 1 , 2 , 3 线性无关。
湖南科技大学 吴晓勤
14
一般地 , 判断一个向量组 1,2,…,m线性相关的基本 方法和步骤是: 1)假定存在一组数k1,k2,…,km ，使 k11+k22+…+kmm=0; 2) 应用向量的线性运算和向量相等的定义 ,找出含未 知量k1,k2,…,km的齐次线性方程组; 3)判断方程组有无非零解; 4)如有非零解,则1,2,…,m线性相关;如仅有零解,则 1,2,…,m线性无关.
湖南科技大学 吴晓勤
11
1 例1 判断向量组
(1,0, ,0),
2 (0,1, ,0), n (0,0, ,1)
向量组和矩阵秩
k1= -4 , k2 =5, k3= 1 所以 1 ,2 ,3 线性相关.
湖南科技大学 吴晓勤
13
例3 设向量组 1,2 ,3线性无关， 1 1 ，2 2 2 3 ，3 3 1，试证向量组 1, 2 , 3也
线性无关。
证 对任意的常数，令
i 1
反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就
称
1
,
2
,
线性无关。
s
当
1
,
2
,
是行向量组时，它们线性相关就是指有
s
非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使
1
(k1
,
k2
,ks
)2s
0
湖南科技大学 吴晓勤
10
当1
,
量，其中
(a1, a2 ,, an )
(b1, b2 ,, bn )
湖南科技大学 吴晓勤
4
定义2 如果 和 对应的分量都相等，即
ai=bi，i=1,2,…,n
就称这两个向量相等，记为
定义3 向量 （a1+b1,a2+b2,…,an+bn）
称为 与 的和，记为 。称向量
m1 j1
向量组1,2 ,s 中每一个向量都可以经向量组
1, 2 , p 线性表出。因而，向量组 1,2 ,s 可以经向量组 1, 2 , p 线性表出。
湖南科技大学 吴晓勤
23
向量组的等价具有下述性质：
(1)反身性：向量组1,2 ,s与它自己等价；
1 一个向量线性相关=0;无关 0. 2 两个向量线性相关对应元素成比例;无关对应
3.3向量组的秩与矩阵的秩
定义3.设A是一个矩阵，称A的行向量组的秩为 A的行秩；称A的列向量组的秩为A的列秩。
定理4.矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
a1,1
证明：设AFra biblioteka2,1
M
a1,2 L a2,2 L ML
am
,1
am,2
L
a1,n
a2,n
M
am
,n
(1)首先证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩
类似可证：矩阵的初等列变换不改变矩阵的 列秩。
(2)证明矩阵的初等行变换也不改变矩阵的列秩
设A：1, 2, …, r, r+1, …, n是矩阵A的列向 量组，无妨说：1, 2, …, r是A的极大线性无关
组. P是一个m阶的初等方阵
B：P1, P2, …, Pr, Pr+1, …, Pn
依据定理3得知：
定义2. 设A是一组n维向量，1, 2, …, r是A的
一个极大线性无关组。称r为A向量组的秩, 记为R(A).
推论2:若向量组A和向量组B等价, 则R(A) = R(B)
证明：设1, 2, …, r是向量组A的一个极大线性 无关组；1, 2, …, s是向量组B的一个极大线性
无关组.
由于1, 2, …, r与A等价； A与B等价，同 时B与1, 2, …, s等价，所以1, 2, …, r与1, 2, …, s等价
组，简称极大无关组。
定理1.设有n维向量组A：a1, a2, …, as和B：b1, b2, …,bt .若A组向量线性无关，并且A组向 量可以被B组向量线性表出，则必然有 s t.
证明: (反证法)设不然，即s > t
a1 c1,1b1 c2,1b2 L ct,1bt 无妨说：a2 c1,2b1 c2,2b2 L ct,2bt
第四节向量组的秩和矩阵的秩-资料
三、矩阵的秩
定义3.11 在m×n矩阵 A = (aij中) 任取k行、k列 (k£m in(m ,n)),
位于这些行、列交叉处的k2个元素按原来的相应位置构
成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。
例6 在矩阵
轾犏1 - 1 2 4 中 A = 犏犏0 1 5 - 2
犏臌0 0 0 0
若取定A的第1行和第2列，交叉处元素可构成一阶子式 det(-1)=-1.
定义3.10
向量组 a1,a2,L,as的极大无关组中所包含向量的个数， 称为次向量组的秩，记作 r(a1,a2,L,as).
若一个向量组仅含零向量，规定其秩为零。
例4 对于例2中的向量组a1,a2,a3, 有 r(a1,a2,a3)=2.
例5 设向量 a=(a 1 ,a 2 ,L a n)?0 则仅含a 的向量组必线性无关，其极大无关组就是其
例3 设向量组a1,a2,L,as线性无关，其极大无关组就是自身。 如果一个向量组仅含零向量，则该向量组不存在极大无关组。
定理3.8 任一向量组和它的极大无关组等价。
推论1 向量组a1,a2,L,as中任意两个极大线性无关组等价。
推论2 两个等价的线性无关的向量组所包含的向量的个数相同。 推论3
向量组 a1,a2,L,as的任意两个极大无关组所包含向量 的个数相同。
(3) 传递性
如果 { a 1 ,a 2 ,L ,a s } @ { b 1 ,b 2 ,L ,b t} 而 { b 1 ,b 2 ,L ,b t} @ { g 1 ,g 2 ,L ,g s } , 则 { a 1 ,a 2 ,L ,a s } @ { g 1 ,g 2 ,L ,g s }
定理3.7
若取定第1行、第2行，再取定第2列、第4列，可构成二 阶子式 - 1 4
3向量组与矩阵的秩
矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是
同类的初等行变换。
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定理12
如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B,则A
的行向量组与B的行向量组等价,而A的任意k个列向量
与B中对应的k个列向量有相同的线性关系。 例 求下列向量组
的一个极大线性无关组与秩。 解 作
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所以 为一个极 大无关组，且秩等于3。
量变成n维向量组 (1)如果 那么 (2)如果 那么 证
也线性相关。 线性无关， 也线性无关。
对列向量来证明定理。
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如果
线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使
因此,
也线性相关,即(1)式成立。
利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。
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引理1 如果n阶方阵A的行列式等于零,那么A的行(列) 向量组线性相关。 定理6 n维向量组 是矩阵
和
为两向量组，其中
即 是对 各分量的顺序进行重 排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线 性相关性。
证 对任意的常数k1,k2,…,ks，
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上两式只是各分量的排列顺序不同，因此
当且仅当
所以
和
有相同的线性相关性。
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定理5
在r维向量组 。 线性相关，
的各向量添上n-r个分
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数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个
向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量
称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。
n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量也常 看成n×1矩阵。 设k和l为两个任意的常数， 量，其中 为任意的n维向
11向量组的秩与矩阵的秩
推论1： 推论 ：若α1, α2, …, αr和β1, β2, …, βs皆线性无 关，并且相互等价，则r = s 并且相互等价， 定义2. 是一组n维向量 定义 设A是一组 维向量，α1, α2, …, αr是A的 是一组 维向量， 的 一个极大线性无关组。 为 向量组的秩 向量组的秩, 一个极大线性无关组。称r为A向量组的秩 记为R(A). 记为 推论2:若向量组 和向量组 等价, 推论 若向量组A和向量组 等价 则R(A) = R(B) 若向量组 和向量组B等价 是向量组A的一个极大线性 设 证明： 证明： α1, α2, …, αr是向量组 的一个极大线性 无关组； 是向量组B的一个极大线性 无关组；β1, β2, …, βs是向量组 的一个极大线性 无关组. 无关组
等价； 与 等价 等价， 由于α1, α2, …, αr与A等价； A与B等价，同 等价 等价， 时B与β1, β2, …, βs等价，所以α1, α2, …, αr与β1, 与
β2, …, βs等价
故r = s，即R(A)=R(B) ， 证毕
二.寻找极大线性无关组的方法 寻找极大线性无关组的方法
2 2 1 2
2 1 2 1 1 2 1 0 0 3 2 2 1 0 3 2 → → 0 0 0 6 2 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0
0
2 2 1 3 1 0 0
1 0 1 0 2 0 1 2 0 1 记 β1 = , β 2 = , β 3 = , β 4 = , β 5 = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
依据定理3得知： 依据定理 得知： 得知 Pβ1, Pβ2, …, Pβr线性无关，并且在 中任意 线性无关，并且在A中任意 向量组P 选取一个向量βj，向量组 β1, Pβ2, …, Pβr, Pβj皆 是线性相关的。 是线性相关的。 从而P 是向量组B的极大线性 从而 β1, Pβ2, …, Pβr是向量组 的极大线性 无关组. 无关组 也就是说：矩阵的初等行变换不改变矩阵 也就是说： 的列秩. 类似可证：矩阵的初等列变换也不改 的列秩 类似可证： 变矩阵的行秩. 变矩阵的行秩 综上所述， 综上所述，矩阵的初等变换不改变矩阵的 行秩和列秩. 行秩和列秩 证毕
矩阵和向量组的关系
矩阵和向量组的关系概述
矩阵和向量组之间存在密切的关系，主要表现在以下几个方面：
1. 向量可以视为矩阵的特例：单个向量可以视为一个一阶矩阵，而多个向量组合在一起就组成了矩阵。
矩阵的每一行可以视为一个行向量，每一列可以视为一个列向量。
2. 矩阵的秩等于其所在向量组的秩：矩阵的秩是其行向量组和列向量组的秩的最小值。
这意味着矩阵的秩反映了其所在向量组的线性相关性。
3. 矩阵的乘法对应于向量的线性变换：如果矩阵A左乘一个向量x，得到的结果是A的列向量对x进行线性组合后的结果。
这表明矩阵的乘法对应于向量的线性变换。
4. 矩阵的特征值和特征向量对应于向量组的线性变换：对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量x和实数λ，使得Ax=λx成立，则称λ是A的特征值，x是A的特征向量。
这表明矩阵的特征值和特征向量对应于向量组的线性变换。
5. 矩阵的行空间和列空间对应于向量组的线性子空间：矩阵的行空间是由其行向量张成的线性子空间，列空间是由其列向量张成的线性子空间。
这表明矩阵的行空间和列空间对应于向量组的线性子空间。
综上所述，矩阵和向量组之间存在密切的关系，它们在许多方面是相
互关联的。
了解矩阵和向量组之间的关系有助于更好地理解它们的性质和应用。
【实用】矩阵的秩和向量组的秩PPT文档
定因证R证(理此EnRR1由－((（定AAABB1)理＝）))＝＝３n若RR.，矩((OO向阵－－量A((经（－－过2AA,))有3EE,nn限4R BB）))次 (1初O A , 1等, 0行C B )变( 0换, 0变,R 1成)(BA ，)则 AR 的(行B 向),量组(类 与B似 的行， 向R 量 组C A 等T 价；O B R (A ) R (B ).)
例2 设A，B均为m×n矩阵，证明 R(A+B)≤ R(A)＋R(B)。
证明 因为A+B可以表示为
ABEm
Em
A B,
R ( A B ) R [ E m m B A ]定 理 4 （ 3 )R A B 定 理 4 ( 1 )R ( A ) R ( B ) 。
定理5（矩阵的秩的第一降阶定理） 设A为s×s
可逆矩阵，且设
A C
D B为mn矩阵，
则RA C D BR(A)＋R(DCA1B).
证明 根据分块矩阵的乘法规则，我们有
Es CA1
O A B A B
Ens
C
DO
DCA1B
且CEAs1
O A B A B Ens O DCA1BC D,
所以由定理4（3）有
R O A D C B A 1 B R A C D B 且 R A C D B R O A D C B A 1 B ，
定义1 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩； A的列向量组的秩称为A的列秩。
定理2 设A为一个矩阵，则A的行秩＝A的列秩＝ 矩阵A的秩。
证: 对A进行初等行变换将其化为行阶梯形U，则
由定理1（1）知道A的行向量组与U的行向量组 等价，故
向量组的秩与矩阵的秩
第三节向量组的秩与矩阵的秩一、向量组的秩二、矩阵的秩三、小结12一、向量组的秩（1）线性无关；12,,,r ααα （2）从原向量组T 中任意添加一个向量(如果还有的话)所得部分组都线性相关；则称是原向量组T 的一个极大线性无关组，简称极大无关组.12,,,r ααα 一个向量组的极大线性无关组一般不唯一定义3.15 如果向量组T 中的一个部分组满足12,,,r ααα3()()()123 3:1,2,1,2,3,1,4,1,1ααα例如维行向量组T =-=-=-12122331,,,,,T T T αααααααα易知向量组是线性相关的，但向量组是线性无关的因而是原向量组的极大无关组。
另外，或也是原向量组的极大无关组。
说明：极大无关组不唯一.()()()123 3:1,0,0,0,1,0,0,0,1ααα例如维行向量组T ===123,T T T ααα易知向量组是线性无关的，所以向量组本身,就是向量组的极大无关组。
4性质：向量组线性无关极大无关组即为向量组本身1.2.向量组是向量组T 的一个极大无关组12:,,,rA ααα A 与T 等价证2任取，由极大无关组定义，T α∈12α,α,...,α,αr 线性相关，则能由线性表示，从而12α,α,...,αr αT 能由A 线性表示，而A 能由T 线性表示显然，因此极大无关组A 与向量组T 等价.5,证明因向量组的极大无关组都与向量组本身等价，由等价的传递性知任意两个极大无关组也等价，故所含向量个数相同（教材88页推论2）.定理说明向量组的极大无关组所含向量个数与极大无关组的选取无关，反映了向量组本身的性质.定义3.16 向量组T 的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩.记为r (T ).定理3.9向量组的极大无关组所含向量个数相同.定理3.10 等价的向量组具有相同的秩.定理3.11 如果向量组(I)能由向量组(II)线性表示，则向量组(I)的秩小于或等于向量组(II)的秩.证因为向量组（I）可以由向量组（II）线性表示，利用定理3.8，所以向量组（I）的极大线性无关组可以由向量组（II）的极大线性无关组线性表示. 进而由教材88页推论1可知，向量组（I）的秩不超过向量组（II）的秩.67不难看出，如果向量组的秩等于它所含向量的个数，则向量组就是它自身的极大线性无关组. 下面的结论进一步说明了如何确定向量组的极大线性无关组.定理3.12 如果向量组的秩为r ,则向量组中任意r 个线性无关的向量都为它的一个极大线性无关组.12121212 ,,, (1) ,,,.(2) ,,,,.,,,,().r r r r T r T T r T r αααααααααααααα推论设在向量组中有个向量满足：线性无关任取能由线性表示则是的一个极大无关组且∈=二、矩阵的秩如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些行向量所组成的；如果把矩阵的每一列看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些列向量所组成的.定义3.17 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.89例如矩阵000r E A ⎛⎫= ⎪⎝⎭不难看出矩阵A 的行秩为r , A 的列秩也为r ，A 的行秩等于列秩且等于矩阵A 的秩.下面说明任何矩阵A 的行秩与列秩都是相等的,它们都等于A 的秩.例10000100001000000000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A ()3===，的行秩3，的列秩3r A A A10引理1两个n 维列向量组与，若存在可逆的矩阵P ,使得12s α,α,...,α12s β,β,...,βn n ⨯1212()(),s s P α,α,...,αβ,β,...,β=则向量组线性无关当且仅当向量组线性无关.12s α,α,...,α12s β,β,...,β证假设线性无关，考虑方程12s ,,...,ααα12...12s βββ+++=0s x x x 由条件，利用分块矩阵的乘法，我们有11代入上式，得即i i ,1,2,...,,P i s βα==1122...s P αP αP α+++=0,s x x x 1122...s ααα+++=0s x x x 1122(...)s s P x x x ααα+++=0.因P 可逆，上式两边同时左乘，得1P-因线性无关，则12s α,α,...,α12...0,====s x x x 所以线性无关.12s β,β,...,β12进而由上述证明可得，向量组11212()()s s P β,β,...,βα,α,...,α-=12,,...,s ααα线性无关.反之,假设向量组线性无关,有12s β,β,...,β推论，如果存在可逆矩阵P , 使得1212()(),s s P α,α,...,αβ,β,...,β=则向量组和向量组的秩相等。
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kk11
2k2
k3 3k3
0 0
(1) (2)
k1 5k2 6k3 0
(3)
k1 k3,
将其分别代入(2)和(3)得 k2 k3.
取定
k3 1,
得方程组的一组解为:
因此
k1=1，k2=1，k3= -1
１α１+1α２+(-1)α3=α１+α２-α3=0. 所以α１，α２，α3线性相关.
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1
k1 4 , k2 4 , k3 k4 4
5 4
1
1 4
2
1 4
3
1 4
4
,
即β能由α１，α２，α3 , α4线性表出.
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例 设α=(2,-3,0),β=(0,-1,2),γ=(0,-7,-4),试问γ能 否由α,β线性表出?
解设 于是得方程组
γ=k１α+k２β
2k1 3k1
解令
β=k１α１+k２α２+k3α3+k4α4
于是得线性方程组
因为
k1 k2 k3 k4 1
kk11
k2 k2
k3 k3
k4 k4
2 1
k1 k2 k3 k4 1
11 1 1
1 1 1 1
D
16 0
1 1 1 1
1 1 1 1
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由克莱姆法则求出
所以
5
1
返回
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数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个 向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称
为实向量；分量都是复数的向量称为复向量。
n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量 也常看成n×1矩阵。
设k和l为两个任意的常数， 维向量，其中
为任意的n
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定义3 如果 和 对应的分量都相等，即
第三章 向量组与矩阵的秩
第一节 n维向量 第二节 线性相关与线性无关 第三节 线性相关性的判别定理 第四节 向量组的秩与矩阵的秩 第五节 矩阵的初等变换 第六节 初等矩阵与求矩阵的逆 第七节 向量空间
§1 n维向量
定义 1 设P是由一些复数组成的集合, 其 中包括0与1. 如果P中任意两个数(这两个数可以 相同)的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P 中的数， 那么P就称为一个数域.
ai=bi，i=1,2,…,n
就称这两个向量相等，记为
。
定义4 向量
（a1+b1 ,a2+b2 ,…,an+bn）
称为 与 的和，记为
。称向量
（ka1,ka2,…,kan） 为 与k（k∈P）的数量乘积，简称数乘，记为
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定义5 分量全为零的向量 （0，0，…，0）
称为零向量，记为0。 与-1的数乘 （-1） =（-a1,-a2,…,-an）
的线性相关性.
解 对任意的常数k１，k２， k3都有
k１α１+k２α２+ k3α3=( k１+k3，k１+2k２+3k3，k１+5k２+6k3 ).
所以
当且仅当
k１α１+k２α２+ k3α3=0
kk11
2k2
k3 3k3
0 0
(1) (2)
k1 5k2 6k3 0
(3)
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由(1)得
称为 的负向量，记为 。
向量的减法定义为
返回
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向量的加法与数乘性质
满足（1）—（8）的 运算称为线性运算。
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§2 线性相关与线性无关
矩阵与向量的关系：
通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n
维行向量组
可以排列成一个s×n分块矩阵
其中 为由A的第i行形成的子块，
称为A的行向量组。
也可用矩阵形式表示： 若所给向量均为行向量，则有
若所给向量均为列向量，则有
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例 判断向量组
的线性相关性。
解 假设存在一组常数k1 ,k2 ,…,kn 使得
所以
即 因此
k1= k2 =…= kn= 0 线性关。
称为基本单位向量. 返回
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例 判断向量组
α１＝（１，１，１），α２＝（０，２，５），α3＝（１，３，６）
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当
为列向量时，它们线性相关就是
指有非零的s×1矩阵
，使
.
定义7 向量α称为向量组β１,β２，…，βt的一个
线性组合，或者说α可由向量组β１，β２，…，βt线
性表出(示)，如果有P中（经常省略P中）常数k１，k ２,…，kt使
α＝k１β１＋k２β２+…＋ktβt.
此时，也记
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k2
0 7
2k2 4
由第一个方程得k１=0，代入第二个方程得k２=7，
但k２不满足第三个方程，故方程组无解.
所以γ不能由α,β线性表出.
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定理1 向量组
（s≥2）线性相关的充
要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。
证 充分性：设
中有一个向量能由其
他向量线性表出，不妨设
所以
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例 设向量组
线性无关，
，
，试证向量组
线性无关。 证 对任意的常数x1 , x2 , x3 都有
设有k1,k2,k3，使
由
线性无关，故有
， 也
由于上述方程组的解只有 k1=k2=k3=0
所以
线性无关。
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α4=(1例,-1设,-1α,1)１,β=(=1,(11,,12,,11,)1,α).试２问=(1β,1能,-1否,-1由),αα3１=,(α1,-２1,,α1,-31, )关。
必要性：如果
零的数k1 ,k2 ,…,ks，使 设k1≠0,那么
线性相关，就有不全为
即 能由
线性表出。
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例如，向量组
是线性相关的，因为
显然，向量组α１，α２线性相关就表示α１＝kα２或者 α２＝kα１. 此时，两向量的分量成正比例.
在三维的情形，这就表示向量α１与α２共线. 三个 向量α１，α２，α3线性相关的几何意义就是它们共面.
显然, 全体有理数组成的集合、全体实数 组成的集合、全体复数组成的集合都是数域。这
三个数域一般分别用字母Q、R、C来表示. 全体
整数组成的集合不是数域.
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定义2
数域P中n个数组成的有序数组
（a1,a2,…,an）
行向量
列向量
称为P上一个n维向量，简称向量。
用小写的粗黑体字母来表示向量 。
n维列向量组
可以排成一个n×s矩阵
其中 为由B的第j列形成的子块，
称为B的列向量组。
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定义6 向量组
称为线性相关的，如果
有P中不全为零的数k1,k2,…,ks，使
反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就
称
线性无关。
当
是行向量组时，它们线性相关就是指
有非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使