湖北省荆州中学2020-2021学年高一元月月考数学试题
湖北省荆州中学2020-2021学年高一9月月考数学试题Word版含答案
荆州中学2020级9月考试高一年级数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列各式表述正确的是（ ） A ．20{0}x ∈=B ．0{(0,0)}∈C ．0N ∈D ．0φ∈2. 已知集合1{,}24k M x x k Z ==+∈，1{,}42k N x x k Z ==+∈，则（ ） A ．M N =B ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M 与N 的关系不确定3. 设，则下列不等式中正确的是 （ ）A. 2a b a b ab +<<<B ． 2a ba ab b +<<< C ．2a ba ab b +<<<D ． 2a bab a b +<<< 4. 集合{}4,3,2,1=A ，{}0))(1(<--=a x x x B ，若集合{}32=B A ，则实数a 的范围是（ ） A.43<<aB.43≤<aC.43<≤aD.3>a5. 若数集{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|322B x x =≤≤，则能使B A ⊆成立的所有a 的集合是（ ） A ．{}|19a a ≤≤B ．{}|69a a ≤≤C ．{}|9a a ≤D ．∅6. 已知a ，∈b R +，12=+b a ，求ba 11+的最小值为（ ）A ．3+B ．3-C ．D ．47. 已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则B 中所含元素的个数为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．108．若关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．{}14a a -≤≤ B ．{}25a a a ≤-≥或 C. {}14a a a ≤-≥或 D ．{}25a a -≤≤二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分) 9．下面关于集合的表示正确的是( )①}{}{2,33,2≠；②}{}{(,)|1|1x y x y y x y +==+=； ③}{}{|1|1x x y y >=>；④}{}{|1|1x x y y x y +==+= A ．①B ．②C ．③D ．④10．下列四个命题中,是真命题的有( ) A ．没有一个无理数不是实数 B ．空集是任何一个集合的真子集C ．已知,m n ∈R ,则“1m n +>”是“1n <-”的必要不充分条件D ．命题“对任意x ∈R ,2220x x ++>”的否定是“存在x ∈R ,2220x x ++≤”11．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的有（ ）①1ab ≤≤；③222a b +≥；④112a b+≥A ．①B ．②C ．③D ．④12．设a b c >>，使不等式11ma b b c a c+≥---恒成立的充分条件是 ( ) A ．4m ≤ B ．3m ≤C ．4m ≥D ．5m ≤三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分将答案填在题中横线上) 13.设{}28150A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若AB B =，则实数a 组成的集合是 .14.不等式26x x <+的解集为 .15. 设集合}023|{2=+-=x ax x A ，若A 中至多只有一个元素，则实数a 的取值范围是 ．16.若非空集合G 关于运算⊕满足:(1)对任意,a b G ∈,都有a b G ⊕∈;(2)存在e G ∈,对任意a G ∈,都有a e e a a ⊕=⊕=,则称G 关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算： ①{}G =非负整数,⊕为整数的加法运算; ②G ={偶数},⊕为整数的乘法运算;③{}G =二次三项式,⊕为多项式的加法运算.其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是 (写出所有“融洽集”的序号) .四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设命题p : 2,230x x x m ∃∈-+-=R ,命题q :()22,25190x x m x m ∀∈--++≠R .若p ,q 都为真命题,求实数m 的取值范围.18.(本小题满分12分)解关于x 的不等式：(1)(1)0ax x -->(0)a >.19.（本小题满分12分)已知集合},0)]13()[2(|{<+--=a x x x A B=},0)1(2|{2<+--a x ax x 其中.1≠a （1）当2=a 时，求B A ； （2）求使A B ⊆的实数a 的取值范围20.(本小题满分12分)某建筑工地决定建造一批简易房（房型为长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为x 米，两侧墙的长为y 米，所用材料费为p 元，试用x ，y 表示p ； （2）简易房面积S 的最大值是多少？并求当S 最大时，前面墙的长度应设计为多少米？21.(本小题满分12分)已知集合{}22A x a x a =-≤≤+,{}14B x x x =≤≥或. (1)当3a =时,求A B ;(2)若“x A ∈”是“x B ∈R ”的充分不必要条件,且A ≠∅,求实数a 的取值范围.22.(本小题满分12分) 设0<a 45≤,若满足不等式22()x a b -<的一切实数x ，亦满足不等式221()4x a -<求正实数b 的取值范围。
湖北省荆州中学2020学年高一数学4月月考试题 理
湖北省荆州中学2020学年高一数学4月月考试题 理时间：120分钟 满分：150分一、选择题:(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. )1．下列有关棱柱的命题中正确的是( )A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C ．一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱D ．棱柱的侧棱长有的相等，有的不相等 答案：C2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b2 B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b答案：B3．已知两条直线l 1:(a-1)x+2y+1=0,l 2:x+ay+3=0平行,则a=( )A.-1B.2C.0或-2D.-1或2【解析】选D.若a=0,两直线方程为-x+2y+1=0和x=-3, 此时两直线相交,不平行,所以a ≠0.当a ≠0时,若两直线平行,则有解得a=-1或a=2.4．定义运算a ⊕b ＝a 2－ab －b 2，则sin π6⊕cos π6＝( )A ．－12－34B ．－12＋34C ．－12 D.34解析：sin π6⊕cos π6＝sin 2π6－sin π6cos π6－cos 2π6＝－12－34.答案：A 5．已知sin α＝55，则cos4α的值是( ) A.425 B ．－725 C.1225 D ．－1825a 1211a 3-≠＝，解析：∵sin α＝55，∴cos2α＝1－2sin 2α＝35， ∴cos4α＝2cos 22α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.答案：B6．不等式x 2－|x |－2＜0的解集是( )A ．{x |－2＜x ＜2}B ．{x |x ＜－2，或x ＞2}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＜－1，或x ＞1}解析：原不等式⇔|x |2－|x |－2＜0⇔(|x |－2)(|x |＋1)＜0⇔|x |－2＜0⇔－2＜x ＜2.答案：A7.若直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,那么a 的值等于 ( )解析：由a ·1+2·1=0得a=-2. 答案：D8．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3，n ∈N *)，则a 2020＝( ) A ． 1 B ．2 C.12D ．2－987解析：由已知，得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，a 9＝2，a 10＝1，a 11＝12，a 12＝12，即a n 的值以6为周期重复出现，故a 2020＝2.答案：B9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( )A ．66B ．65C ．61D ．56 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2] ＝2n －5.∴a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15. ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋81＋152＝2＋64＝66. 答案：A12A.1 B. C. D.233---10．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，又无最大值答案：B11．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80解析：换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48＋817.答案：C12．设函数f (x )＝2x －cos x ，{a n }是公差为π8的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π，则[f (a 3)]2－a 1a 5＝( )A ．0 B.116π2 C.18π2D.1316π2解析：∵f (x )＝2x －cos x ，∴f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＋f (a 5)＝2a 1－cos a 1＋2a 2－cos a 2＋2a 3－cos a 3＋2a 4－cos a 4＋2a 5－cos a 5 ＝10a 3－(cos a 1＋cos a 2＋cos a 3＋cos a 4＋cos a 5) ＝10a 3－⎣⎢⎡cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫a 3－π8＋cos a 3＋⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋π8＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋π4 ＝10a 3－(2＋2＋2＋1)cos a 3＝5π.① [f (a 3)]2－a 1a 5＝(2a 3－cos a 3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－π4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋π4＝(3a 3－cos a 3)(a 3－cos a 3)＋π216.②由①知a 3＝π2，代入②得结果为13π216.答案：D二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷含答案
数学试卷考试时间：120分钟；一、单选题（12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（ ） A ．{}0,2 B ．{}2,2-C ．2,0,2D ．{}2,1,0,1,2-- 2．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．()2f x x =()2f x x = B ．(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()g t t = C ．21y x =-11y x x =+-D ．()1f x =与()0g x x = 3．已知函数()1f x +的定义域为[]2,1-，则函数()()122g x f x x =+--的定义域为 A ．[1,4] B ．[0,3] C ．[1,2)(2,4]⋃ D ．[1,2)(2,3]⋃4．已知函数1,2()(3),2x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则(1)(9)f f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．6 D ．75．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）．A ．()3f x x =-B ．()23f x x x =-C ．()11f x x =-+D ．()f x x =-6．在映射f ：M N →中，(){},,,M x y x y x y R =<∈，(){},,N x y x y R =∈，M 中的元素(),x y 对应到N 中的元素(),xy x y +，则N 中的元素()4,5的原象为（ ） A ．()4,1 B ．()20,1C ．()1,4D ．()1,4和()4,1 7．已知全集U =R ，集合91A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭和{}44,B x x x Z =-<<∈关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个 8．函数24y x x -+ ）A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[]0,2D ．[]0,49．已知函数()()()22,12136,(1)x ax x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩，若()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2 B ．1(,)2+∞ C ．[1，)+∞ D ．[1，2]10．函数()f x 是奇函数，且在∞（0，+）内是增函数，(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．∞（-3,0）（3，+）B ．∞（-，-3）（0,3）C ．∞∞（-，-3）（3，+）D ．（-3,0）（0,3）11．已知函数24y x x =-+-的最小值为（ ）A ．6B ．2-C ．6-D ．212．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+.且当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，那么表达式1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．654- B ．65- C ．1314- D ．1312-二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数()f x 的图象经过3,3)，则函数2)f =_____14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x 的值为________. x 1 23 4f(x)1 3 1 3 g(x)3 2 3 215．已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，则2m n +等于_______. 16．某同学在研究函数 f （x ）=1x x+（x ∈R ） 时，分别给出下面几个结论： ①等式f （-x ）=-f （x ）在x ∈R 时恒成立；②函数f （x ）的值域为（-1，1）；③若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）；④方程f （x ）=x 在R 上有三个根．其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）三、解答题（共70分）17（10分）．已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{}B 03x x =<≤，U =R . （1）若12a =，求A B ⋃；()U A C B ⋂． （2）若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围. 18（12分）．设函数()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()()()42D x f x x =-.（1）写出x ∈R 时分段函数()f x 的解析式；（2）当()f x 的定义域为[]3,3-时，画出()f x 图象的简图并写出()f x 的单调区间.19（12分）．已知函数2()21f x x ax a =-++-，（1）若2a =，求()f x 在区间[0,3]上的最小值；（2）若()f x 在区间[0,1]上有最大值3，求实数a 的值.20（12分）．已知函数()m f x x x=+，()12f =. （1）判定函数()f x 在[)1,+∞的单调性，并用定义证明；（2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.21（12分）．已知函数()1f x x x =-（1）求()f x 单调区间（2）求[0,]x a ∈时，函数的最大值.22（12分）．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =+. （1）求(0)f 的值；（2）求此函数在R 上的解析式；（3）若对任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f k t -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 23（12分）．函数()f x 的定义域为R ,且对任意,x y R ∈,有()()()f x y f x f y +=+,且当0x >时()()0,12f x f <=-.（1）证明:()f x 是奇函数;（2）证明:()f x 在R 上是减函数;（3）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小数学试卷参考答案1．C{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-. 故选：C.2．B选项A ：()f x =R ，()2f x =的定义域为[)0+，∞，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项B ：()00t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩和函数(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域、法则和值域都相同，故是同一函数.选项C ：y =(][)11+-∞-⋃∞，，，y =的定义域为[)1+∞，，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项D ：()1f x =的定义域为R ，()0g x x =的定义域为{}|0x x ≠，两函数的定义域不同，故不是同一函数.故选：B【点睛】本题考查判断两个函数是否是同一函数，属于基础题.3．C【解析】【分析】首先求得()f x 定义域，根据分式和复合函数定义域的要求可构造不等式求得结果.【详解】()1f x +定义域为[]2,1- 112x ∴-≤+≤，即()f x 定义域为[]1,2-由题意得：20122x x -≠⎧⎨-≤-≤⎩，解得：12x ≤<或24x <≤ ()g x ∴定义域为：[)(]1,22,4本题正确选项：C本题考查函数定义域的求解问题，关键是能够通过复合函数定义域确定()f x 定义域，从而利用分式和复合函数定义域的要求构造不等式.4．A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式分别求得()()19,f f 的值，然后求解两者之差即可.【详解】由题意可得：()()1413f f ===，()914f ==， 则(1)(9)341f f -=-=-.故选A.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．5．C【解析】【分析】A ，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用1y x =-以及平移的思路去判断；D 根据y x =-的图象的对称性判断.【详解】A ．()3f x x =-在R 上是减函数，不符合；B ．()23f x x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，不符合； C ．()11f x x =-+可认为是1y x=-向左平移一个单位所得，所以在()1,-+∞上是增函数，符合； D ．()f x x =-图象关于y 轴对称，且在(),0-∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，不符合；【点睛】（1）一次函数()0y kx b k =+≠、反比例函数()0k y k x=≠的单调性直接通过k 的正负判断； （2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.6．C【解析】【分析】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，再由x y <，能求出N 中元素()45，的原像. 【详解】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，解得1 4x y =⎧⎨=⎩或4 1x y =⎧⎨=⎩， ∵x y <，∴N 中元素()45，的原像为()1,4， 故选：C .【点睛】本题考查象的原象的求法，考查映射等基础知识，考运算求解能力，考查函数与方程思想. 7．B【解析】【分析】先解分式不等式得集合A ，再化简B ，最后根据交集与补集定义得结果.【详解】 因为91(0,9)A x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，{}{}44,3,2,1,0,1,2,3B x x x Z =-<<∈=---， 所以阴影部分所表示集合为(){0,1,2,3}U C A B =---,元素共有4个，故选B【点睛】 本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.【解析】【分析】配方即可得到()224=24x x x -+--+，从而得出≤2，即得出y 的范围，从而得出原函数的值域．【详解】∵()224=24x x x -+--+，∴0≤()224x --+≤4；∴≤2；∴函数y =的值域为[0,2].故选：C .【点睛】本题考查函数的值域，利用配方法即可，属于简单题.9．D【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质进行求解即可．【详解】∵当1x ≤时，函数f （x ）的对称轴为x a =，又()f x 在(),-∞+∞上为增函数， ∴ 1210125a a a a ≥⎧⎪-⎨⎪-+≤-⎩＞，即1122a a a ≥⎧⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎩，得1≤a 2≤， 故选D ．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，注意分段处保证单调递增．10．D【解析】【分析】易判断f （x ）在（-∞，0）上的单调性及f （x ）图象所过特殊点，作出f （x ）的草图，根据图象可解不等式．【详解】∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （-3）＝0，得f （﹣3）＝﹣f （3）＝0，即f （3）＝0，作出f （x ）的草图，如图所示：由图象，得()0xf x <()()0000x x f x f x ><⎧⎧⇔⎨⎨<>⎩⎩或 解得0＜x ＜3或﹣3＜x ＜0，∴xf （x ）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．11．D【解析】【分析】用绝对值三角不等式求得最小值．【详解】24(2)(4)2y x x x x =-+-≥---=，当且仅当(2)(4)0x x --≤，即24x ≤≤时取等号．所以min 2y =．故选：D ．【点睛】本题考查绝对值三角不等式，利用绝对值三角不等式可以很快求得其最值，本题也可以利用绝对值定义去掉绝对值符号，然后利用分段函数性质求得最值．12．C【解析】【分析】由()f x 是定义在[1-，1]上的奇函数，且()1(1)f x f x =--，推出()1f ，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再结合当(0,1)x ∈时，2()()5xf f x =，推出1()5f ，1()25f ，4()5f ，4()25f ，由题意可得x 对任意的1x ，2[1x ∈-，1]，均有2121()(()())0x x f x f x --，进而得1903193201()()()2020202020204f f f =⋯===，再由奇函数的性质()()f x f x -=-算出最终结果．【详解】解：由()()11f x f x =--，令0x =，得()11f =，令12x =，则1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭﹐ 当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()152x f f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，111125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且4111552f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，414125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11903204252020202025<<<， 19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()21210x x f x f x --≥，190120204f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，同理19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()f x 是奇函数， 1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19019131932013120202020202020204f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数值计算，属于中档题． 13．2 【解析】 【分析】设幂函数()f x x α=，将点代入求出α，即可求解.【详解】设()f x x α=，()f x 的图象经过，23,2,(),2f x x f αα=∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数值，属于基础题. 14．2或4 【解析】 【分析】对于x 的任一取值，分别计算()()f g x 和()()g f x 的值若两个值相等，则为正确的值. 【详解】当1x =时，()()()()()()131,113f g f g f g ====，不合题意.当2x =时，()()()()()()223,233f g f g f g ====，符合题意.当3x =时，()()()()()()331,313f g f g f g ====，不合题意.当4x =时，()()()()()()423,433f g f g f g ====，符合题意.故填2或4.【点睛】本小题主要考查函数的对应法则，考查复合函数求值.在计算这类型题目的过程中，往往先算出内部函数对应的函数值，再计算外部函数的函数值.属于基础题. 15．-6 【解析】 【分析】由函数是偶函数，则定义域关于原点对称、()()f x f x -=即可求出参数m 、n 的值； 【详解】解：已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，所以40n n ++=，解得2n =-，又()()f x f x -=，()3232(2)5(2)5m x nx m x nx ∴+-++=+++302(2)m x +=∴解得2m =-，所以26m n +=- 故答案为：6- 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16．①②③ 【解析】 【分析】由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由1xx x=+只有0x =一个根说明④错误． 【详解】对于①，任取x ∈R ，都有()()11x xf x f x x x--==-=-+-+，∴①正确；对于②，当0x >时，()()110,111x f x x x==-∈++， 根据函数()f x 的奇偶性知0x <时，()()1,0f x ∈-， 且0x =时，()()()0,1,1f x f x =∴∈-，②正确； 对于③，则当0x >时，()111f x x=-+， 由反比例函数的单调性以及复合函数知，()f x 在()1,-+∞上是增函数，且()1f x <；再由()f x 的奇偶性知，()f x 在(),1-∞-上也是增函数，且()1f x >12x x ∴≠时，一定有()()12f x f x ≠，③正确；对于④，因为1xx x=+只有0x =一个根， ∴方程()f x x =在R 上有一个根，④错误． 正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 17．（1）1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，()1|02U AC B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【解析】 【分析】 （1）当12a =，求出集合A ，按交集、并集和补集定义，即可求解； （2）对A 是否为空集分类讨论，若A =∅，满足题意，若A ≠∅，由A B φ⋂=确定集合A 的端点位置，建立a 的不等量关系，求解即可. 【详解】（1）若12a =时1|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|03B x x =<≤， ∴1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，由{|0U C B x x =≤或3}x >，所以()1|02U A C B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由AB =∅知当A =∅时121a a -≥+∴2a ≤-当A ≠∅时21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩∴4a ≥或122a -<≤-综上：a 的取值范围是1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【点睛】本题考查集合间的运算，以及集合间的关系求参数范围，不要忽略了空集讨论，属于基础题.18．（1）()48,04,04,02x x f x x x x ⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩； （2）图见解析；单调递增区间为(]0,3，单调递减区间为[)3,0- 【解析】 【分析】(1)代入()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩求解即可. (2)根据一次函数与分式函数的图像画图,再根据图像判断单调区间即可. 【详解】（1）()48,0 4,04,02x xf x xxx⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩；（2）()f x的图象如下图所示：单调递增区间为(]0,3,单调递减区间为[)3,0-.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用与一次函数、分式函数的图像与性质等.属于基础题. 19．（1）min()(0)1f x f==-；（2）2a=-或3a=.【解析】试题分析：（1）先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最小值取法（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数a的值试题解析：解：（1）若2a=，则()()224123f x x x x=-+-=--+函数图像开口向下，对称轴为2x=，所以函数()f x在区间[]0,2上是单调递增的，在区间[]2,3上是单调递减的，有又()01f=-，()32f=()()min01f x f∴==-（2）对称轴为x a =当0a ≤时，函数在()f x 在区间[]0,1上是单调递减的，则 ()()max 013f x f a ==-=，即2a =-；当01a <<时，函数()f x 在区间[]0,a 上是单调递增的，在区间[],1a 上是单调递减的，则()()2max 13f x f a a a ==-+=，解得21a =-或，不符合；当1a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()()max 11213f x f a a ==-++-=，解得3a =；综上所述，2a =-或3a =点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式. 20．（1）单调递增,证明见解析.（2）3a ≤ 【解析】 【分析】（1）先根据()12f =求得m 的值,得函数解析式.进而利用作差法证明函数单调性即可. （2）构造函数()()g x f x x =+.根据（1）中函数单调性,结合y x =的单调性,可判断()g x 的单调性,求得()g x 最小值后即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）函数()mf x x x=+,()12f = 代入可得211m=+,则1m = 所以()1f x x x =+函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增.证明:任取12,x x 满足121x x ≤<,则()()21f x f x -212111x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111x x x x =-+- 122112x x x x x x -=-+()()2112121x x x x x x --=因为121x x ≤<,则21120,10x x x x ->->所以()()21121210x x x x x x -->,即()()210f x f x ->所以()()21f x f x > 函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增. （2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立 则()a f x x <+, 令()()g x f x x =+ 由（1）可知()1f x x x=+在()1,+∞上单调递增,y x =在()1,+∞上单调递增 所以()()g x f x x =+在()1,+∞上单调递增 所以()()13g x g >=所以3a ≤即可满足()a f x x -<在()1,+∞恒成立 即a 的取值范围为3a ≤ 【点睛】本题考查了利用定义证明函数单调性的方法,根据函数单调性解决恒成立问题,属于基础题.21．（1）单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）；（2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+.， 当112a 2+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当12a +≥时，函数的最大值为()2f a a a =-． 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 去绝对值，表示成分段函数模型并作出图像，由函数图像进行判断． （2）令()12f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1x >），解出122x +=，对实数a 的范围分类讨论求解． 【详解】（1）()22,1f x ,1x x x x x x ⎧-+≤=⎨->⎩， 由分段函数的图象知,函数的单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）. （2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+ 当112a 22+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当12a +>()2f a a a =-. 【点睛】（1）考查了分段函数单调性问题，结合分段函数图像可直接判断单调区间.（2）主要考查了分类讨论思想，结合分段函数图像，对区间端点的范围讨论，自变量的范围不同，对应的函数的最值也不同.22．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：(1)利用奇函数的特性,定义在的奇函数必过原点,易得值；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）为上的奇函数，；（2）设，则，，又为奇函数，，即，.（3）在上为增函数，且，为上的奇函数，为上的增函数，原不等式可变形为：即，对任意恒成立，（分离参数法）另法：即，对任意恒成立，∴解得：，取值范围为.考点：函数的奇偶性；函数的解析式；解不等式. 【方法点晴】(1)由奇函数的特性,在时必有，，故定义在的奇函数必过原点；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.23．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 最大值是6,最小值是-6. 【解析】 【分析】（1）令x ＝y ＝0，则可得f （0）＝0；y ＝﹣x ，即可证明f （x ）是奇函数，（2）设x 1＞x 2，由已知可得f （x 1﹣x 2）＜0，再利用f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），及减函数的定义即可证明．（3）由（2）的结论可知f （﹣3）、f （3）分别是函数y ＝f （x ）在[﹣3、3]上的最大值与最小值，故求出f （﹣3）与f （3）就可得所求值域． 【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ,且()()()f x y f x f y +=+,令y x =-得()()()f x x f x f x +-=+-⎡⎤⎣⎦,所以()()()0f x f x f +-=; 令0x y ==,则()()()0000f f f +=+,所以()00f =,从而有()()0f x f x +-=,所以()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数. （2）任取,x y R ∈,且12x x <,则()()()()121121f x f x f x f x x x -=-+-⎡⎤⎣⎦()()()()112121f x f x f x x f x x =-+-=--⎡⎤⎣⎦,因为12x x <,所以210x x ->,所以()210f x x -<,所以()210f x x -->, 所以()()12f x f x >,从而()f x 在R 上是减函数.（3）由于()f x 在R 上是减函数,故()f x 在区间[]3,3-上的最大值是()3f -,最小值是()3f ,由于12f ,所以()()()()()()()31212111f f f f f f f =+=+=++()()31326f ==⨯-=-,由于()f x 为奇函数知， ()()3-36f f -==,从而()f x 在区间[]3,3-上的最大值是6,最小值是-6.【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键．。
2021届湖北省荆州中学高三上学期第一次月考数学试题
荆州中学2020年下第一次月考高三年级数学试题一、选择题（本大题共8小题，共40分）1．已知集合{}||1,A y y x x R ==-∈∣，{}2B x x =≥∣，则下列结论正确的是（ ）A ．3A -∈B ．3B ∉C ．A B B =D ．A B B =2．据记载，欧拉公式cos sin ()ixe x i x x R =+∈是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x π=时，得到一个令人着迷的优美恒等式10i e π+=，将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数4iz e π=的共轭复数为z ，则z =（ ）A ．22-- B ．22-+ C ．22+ D ．22- 3．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．0．35B ．0．25C ．0．20D ．0．154．如图1是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象判断下列说法错误的是（ ）①图2的建议为减少运营成本 ②图2的建议可能是提高票价 ③图3的建议为减少运营成本 ④图3的建议可能是提高票价 A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③5．设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为(0)k k >，通过x 块这样的玻璃以后强度为y ，则()0.9x y k x N *=⋅∈，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃块数为（ ）（参考数据：lg30.477≈） A ．9B ．10C ．11D ．126．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A ，B ，C ，D ，E ，F ，6人（其中A 是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC 相邻，而BD 不相邻的排法种数为（ ） A ．36种B ．48种C ．56种D ．72种7．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为平面ABCD 内一点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-8．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)2xf x x a =++-，则满足()23120f x x --+<的实数x 的取值范围是（ ）A ．()3,0-B ．()1,0-C ．()0,3D ．()1,2二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点与抛物线24x y =的焦点之间的距离为2，且C 的离心率）A ．C 的渐近线方程为y =B ．C 的标准方程为2212y x -=C ．CD ．曲线1x y e=-经过C 的一个焦点10．已知函数()cos 22sin cos ()344f x x x x x R πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的最大值为1C ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到的函数解析式为()sin 2g x x = 11．设0b a >>，c R ∈，则不列等式中正确的是（ ）A ．1122a b <B ．11c c a b->- C ．22a ab b+>+ D ．22ac bc <12．已知已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为[]60,300，若使标准分X 服从正态分布(180,900)N ，（参考数据：①(P Xμσ-<)0.6827μσ≤+=；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+=．则（ ）A ．这次考试标准分超过180分的约有450人B ．这次考试标准分在(]90,270内的人数约为997 C ．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为38D ．(240270)0.0428P X <≤= 三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且||AF =3||2BF ，则直线l 的斜率为___________． 14．如图所示的圆中，已知圆心角23AOB π∠=，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D ，若CD 的长为a ，则弧ACB 与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积为___________．15．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()sin f x x π=，当[0,)x ∈+∞时，函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a ，2a ，3a ，…，n a …，并记相应的极大值为1b ，2b ，3b ，…，n b …，则数列{}n n a b +前9项的和为___________．16．如图，在直角梯形ABCD 中，AB BC ⊥ ，AD BC ∥，112AB BC AD ===，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF AD ⊥于点F ，将DEF △沿EF 折起到PEF △的位置，并使PF AF ⊥，则五棱锥P ABCE -的体积的取值范围为___________．四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（10分）已知等比数列{}n a 中，432230a a a -+=，且112a =，公比1q ≠． （1）求n a ；（2）设{}n a 的前n 项和为n T ，求证112n T ≤<． 18．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin b B． （1）求 sin sin A C ； （2）若1cos cos 6A C =，3b =，求a c +的值． 19．（12分）在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数i y （单位：万元）与时间i t （单位：年）的数据，列表如下：（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若||0.75r >，则线性相关程度很髙，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式：()()i i i i nnt ty y t y ntyr ∑--∑-==7.547≈，5185.2i i i t y =∑===（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满500元可减50元；方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为25，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．①某位顾客购买了1050元的产品、该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客换得100元现金奖励的概率．②某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回200元现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面P AD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点，2AD =．（1）求证：平面AEC ⊥平面PCD ；（2）若二面角A PC D --的平面角大小θ满足cos 4θ=，求线段AB 的长． 21．（12分）已知函数21()ln ()2f x x x ax a R =++∈，23()2x g x e x x =+-． （1）当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，离心率等于5． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ=，求证12λλ+为定值．荆州中学2020年下第一次月考高三年级数学试题答案1-8． CDBD CDDC 9． ABD 10．BD 11． ABC 12．BC 13． 14215．11032 16．10,3⎛⎫⎪⎝⎭17．（1）由等比数列{}n a 中，432230a a a -+=，且11a =，公比1q ≠．得：2123102q q q -+=⇒=或1q =（舍去），所以111111222n nn n a a q--⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）证明：因为112a =，12q =，所以11122111212nn n T ⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎭==- ⎪⎝⎭-，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，且102xy ⎛⎫=> ⎪⎝⎭恒成立，所以当n N *∈，1n ≥时，11022n⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，所以111122nn T ⎛⎫≤=-< ⎪⎝⎭．18．（1）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵ABC △的面积为23sin b B，∴21sin 23sin b ac B B⋅=，即223sin sin b ac B B =⋅． 再利用正弦定理可得223sin sin b ac B B =⋅， 因为sin 0B >， ∴2sin sin 3A C =． （2）1cos cos 6A C =，3b =，2sin sin 3A C =， ∴1cos cos sin sin cos()cos 2A C A C A CB -=-=+=-，∴1cos 2B =，∴3B π=．由正弦定理，2sin sin sin a b cR A B C ====∴22sin sin 224123a c ac ac A C R R R =⋅===，8ac =，再根据余弦定理，222292cos ()3b a c ac B a c ac ==+-⋅=+-， ∴2()9333a c ac +=+=，∴a c +=．19．（1）由题知，1(12345)35t =++++=，1(2.4 2.7 4.1 6.47.9) 4.75y =++++=， 511185.2i t y =∑===则ni i t y ntyr ∑-===14.70.970.7515.095≈≈>．故y 与t 的线性相关程度很高，可以用线性回归方程拟合；（2）①顾客选择参加两次抽奖，设他获得100元现金奖励为事件A ，122312()5525P A C =⋅⋅=；②设X 表示顾客在四次抽奖中中奖的次数， 由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则24,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ∴2()4 1.65E X np ==⨯=． 由于顾客每中一次可获得100元现金奖励，因此顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.6100160⨯=．由于顾客参加四次抽奖获得现金奖励的均值160小于直接返现的200元现金， 故专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖．20．（1）取AD 的中点O ，∵侧面P AD 为正三角形，∴OP AD ⊥， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面P AD ， 平面PAD平面ABCD AD =，∴OP ⊥平面ABCD ，如图所示，以O 为原点，建立空间直角坐标系，设AB a =，则(1,0,0)A ，(1,,0)C a -，(1,0,0)D -，P，1,0,22E ⎛- ⎝⎭，∴32AE ⎛=-⎝⎭，(0,,0)DC a =，DP =，∴30220AE DP AE DC ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=⎩，即AE DP ⊥，AE DC ⊥， ∵DP 、DC ⊂平面PCD ，且DP DC D =，∴AE ⊥平面PCD ，又AE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PCD ． （2）由（1）可知，(2,,0)AC a =-，(AP =-，平面PCD的法向量为3,0,22AE ⎛⎫⎪⎪⎝=-⎭， 设平面APC 的法向量为(,,)m x y z =，则00m AC m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x ay x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，则2y a=，3z =，∴21,m a ⎛= ⎝⎭，∴32cos ,||||4m AE m AE m AE -⋅<>===⋅+，由题可知，二面角A PC D --的平面角为锐角，∴cos 4θ==，解得a =（舍负），∴线段AB21．（1）当4a =时，2141()4x xf x x x x-+'=+-=，当()0f x'>时，即241002x x x -+>⇒<<-2x >当()0f x '<时，即241022x x x -+<⇒<<∴()f x 的单调递增区间为(0,2-，(2)++∞，()f x 的单调递减区间为(22．（2）2213()()()ln 22x F x f x g x x x ax e x x =-=++--+2ln (0)x x x ax x e x =-++->，∵()F x 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln x e x x a x -+=有解，令2ln ()(0)x e x xh x x x+-=>，()221(1)ln (1)ln (1)(1)()xx e x x xe x x x x h x x x++-+-+++-'==， 令()0h x '=，得1x =，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， ∴()(1)1h x h e ≥=+，当1a e ≥+时，()F x 有不动点， ∴a 的范围为[1,)e ++∞．22．（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则由题意知1b =．==25a =． ∴椭圆C 的方程为2215x y +=． （2）设A 、B 、M 点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ．又易知F 点的坐标为()2,0．显然直线l 存在的斜率，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程是(2)y k x =-．将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得()222215202050k xk x k +-+-=．∴21222015k x x k +=+，212220515k x x k-=+． 又∵1MA AF λ=，2MB BF λ=， 将各点坐标代入得1112x x λ=-，2222x x λ=-， ∴()()12121212121212222242x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+=---++22222222202052215151020205421515k k k k k k k k -⨯-⨯++==--⨯+++.。
专题06 水平面及竖直面内圆周运动的临界问题(解析版)
专题06 水平面及竖直面内圆周运动的临界问题一．选择题1.(2020-2021学年·四川棠湖中学高一月考)如图所示，长为l 的轻杆，一端固定一个小球；另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为v ，下列叙述中不正确的是( )A.v 的值可以小于glB.当v 由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大C.当v 由gl 值逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D.当v 由gl 值逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小【答案】 D【解析】 细杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，故A 正确；根据F 向＝m v 2l 知，速度增大，向心力增大，故B 正确；当v ＝gl ，杆的作用力为零，当v ＞gl 时，杆子表现为拉力，速度增大，拉力增大，故C 正确；当v ＜gl 时，杆子表现为支持力，速度减小，支持力增大，故D 错误。
2.(2020-2021学年·吉林东北师大附中高一月考)如图所示，长为L 的轻质细长物体一端与小球(可视为质点)相连，另一端可绕O 点使小球在竖直平面内运动。
设小球在最高点的速度为v ，重力加速度为g ，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )A.v 最小值为gLB.v 若增大，此时小球所需的向心力将减小C.若物体为轻杆，则当v 逐渐增大时，杆对球的弹力也逐渐增大D.若物体为细绳，则当v 由gL 逐渐增大时，绳对球的弹力从0开始逐渐增大【答案】D【解析】 若物体为轻杆，通过最高点的速度的最小值为0，物体所受重力和支持力相等，A 错误；v 增大，根据F 向＝m v 2r 可知向心力将增大，B 错误；若物体为轻杆，在最高点重力提供向心力mg ＝m v 20L ，解得v 0＝gL ，当速度小于gL 时，根据牛顿第二定律mg －F N ＝m v 2L ，随着速度v 增大，杆对球的弹力在逐渐减小，C 错误；若物体为细绳，速度为gL 时，重力提供向心力，所以绳子拉力为0，当v 由gL 逐渐增大时，根据牛顿第二定律F T ＋mg ＝m v 2L 可知绳子对球的拉力从0开始逐渐增大，D 正确。
【全国百强校】湖北省荆州中学2020-2021学年高一12月月考数学试题
【全国百强校】湖北省荆州中学【最新】高一12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于零向量，下列说法中错误的是 ( )A ．零向量是没有方向的B ．零向量的长度是0C ．零向量与任一向量平行D ．零向量的方向是任意的 2．函数()()2ln 0f x x x x =->的零点所在的大致区间是 ( ) A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 3．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）A ．24cmB ．26cmC ．28cmD ．216cm4．函数y =） A ．[3π-，3π] B ．[2k π3π-，2k π3π+]（k ∈Z ） C ．33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．2π2π33k k ，ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ） 5．设0.20.20.1 1.1log 0.2,log 0.2, 1.2, 1.1a b c d ====，则（ ）A ．a b d c >>>B ．c a d b >>>C ．d c a b >>>D ．c d a b >>> 6．已知cos (α−π4)=√24, 则tan 2(α+π4)=（ ） A ．-7B ．7C ．17D ．−17 7．设函数f(x)=12cos(ωx +φ)对任意的x ∈R ，都有f(π6−x)=f(π6+x)，若函数g(x)=3sin(ωx +φ)−2，则g(π6)的值是（ ） A ．1 B ．-5或3 C ．12 D ．-2 8．若直线(01)2a x a π=<<与函数tan 2y x =的图象无公共点，则不等式tan 22x a ≥的解集为（ ）A ．,2622k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭B ．,2824k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭C ．,62x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭ D ．,84x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭9．已知正方形ABCD 边长为1，则() AB BC AB AD ++-=A ．4B ．2CD ．10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称 B ．()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称 C ．将函数2sin(2)6y x π=-的图象向左平移6π个单位得到函数()f x 的图象 D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(2,-11．已知()sin(2014)cos(2014)63f x x x ππ=++-的最大值为A ，若存在实数12,x x ,使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ）A ．1007πB ．2014πC ．21007πD ．100712．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2 0x ∈-，时，()122x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间( 2 6]-，内关于x 的方程()()()log 2001a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A.10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.0 4⎛ ⎝⎭，C.1 42⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， D.1 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，二、填空题13．函数()()2ln 2f x x x =-的定义域为_____ 14．函数tan(2)y x k θ=++图像的一个对称中心为,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则点(),k θ对应的坐标为______________.15．下列结论正确的序号是_______.①若a ，b 都是单位向量，则a b =；②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量；③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；④直角坐标平面上的x 轴，y 轴都是向量.16．已知函数()()211f x 2x x x x a e e --+=-++,下列说法中，正确的序号是______. (1)x=1是函数f(x)图像的对称轴;(2)若f(x)有唯一零点，则1a 2=; (3)若f(x)有2个零点，则零点之和为2.三、解答题17．已知角θ的始边为x 轴的非负半轴，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点5,13M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求a 的值；（2）若角θ是第二象限角，求()()sin()sin 32cos πθπθπθ-+--的值. 18．已知函数()sin(2)6f x x π=+，将函数()f x 图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2()g x 的图象.（1）写出g(x)的解析式；（2）用“五点描点法”画出()g x 的图象（[]0,2x π∈）.（3）求函数()g x 图象的对称轴，对称中心.19．已知函数32()(1)4f x a x ax x =+++（a 为实数）是定义在R 上的奇函数． （1）求a 的值；（2）若对任意(0,)x ∈+∞，2()f x mx ≥恒成立，求实数m 的最大值．20．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点()()0003,2,,202x x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，上()f x 分别取得最大值和最小值．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的递增区间； （3）若函数()()g x af x b =+的最大和最小值分别为6和2，求,a b 的值．21．如图，ABCD 是块边长为100m 的正方形地皮，其中扇形AST 是一半径为90m 的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在弧ST 上，相邻两边CQ 、CR 落在正方形的边BC 、CD 上．（提示：sin θcos θ4πθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭） (1)设PAB θ,∠=把矩形停车场PQCR 的面积表示为θ的函数.(2)求矩形PQCR 面积的最大值和最小值．22．已知函数()()2f x mx 3,g x 2x x m =+=++ (1)求证：函数f(x)-g(x)必有零点；(2)设函数G(x)=f(x)-g(x)-1①若函数G(x)有两相异零点且()G x 在[]1,0-上是减函数，求实数m 的取值范围． ②是否存在整数a,b 使得()a G X b ≤≤的解集恰好为[],,a b 若存在，求出a,b 的值，若不存在，请说明理由．参考答案1．A【解析】【分析】根据零向量的概念，逐项判定，即可求解，得到答案．【详解】由定义可得，零向量的长度为0，方向任意；且零向量与任意向量都平行，所以选项A 错误，所以选项B,C,D 正确，故选A ．【点睛】本题主要考查了零向量的概念的应用，其中解答中熟记零向量的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．2．C【解析】函数()()2ln 0f x x x x=->为单调增函数，且图象是连续的， 又()()1202ln210f f ，=-<=-<，()223ln31033f =->-> ∴零点所在的大致区间是()2,3故选C3．A【分析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．【详解】设此扇形半径为r ，扇形弧长为l=2r则2r +2r ＝8，r=2，∴扇形的面积为12l r=224r cm = 故选A【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．4．B【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解三角不等式得x 的取值集合．【详解】由2cos x ﹣1≥0，得cos x 12≥， 解得：2233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，． 故选B ．【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了三角不等式的解法，是基础题．5．D【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】∵00.1log 1=＜0.10.1log 0.2log 0.1a ＜==1，b 1.1 1.1log 0.2log 1=<=0，c ＞1，d ＞1． ∴y ＝x 0.2在R 上为增函数，∴c ＞d ，故选D ．【点睛】本题考查了幂函数、指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．C【解析】【分析】根据α+π4=π2+α−π4，利用诱导公式可得tan 2(α+π4)=cot 2(α−π4)，再根据同角三角函数的基本关系即可求出.【详解】因为α+π4=π2+α−π4，所以tan 2(α+π4)=cot 2(α−π4)=cos 2(α−π4)sin 2(α−π4)=cos 2(α−π4)1−cos 2(α−π4)=1878=17， 故选C.【点睛】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题.7．D【解析】试题分析：根据题意有x =π6是函数f(x)=12cos(ωx +φ)图像的对称轴，从而有π6ω+φ=kπ,k ∈Z ，所以有g(π6)=3sin(kπ)−2=−2，故选D ．考点：三角函数的性质．8．B【分析】 根据直线(01)2a x a π=<<与函数tan2y x =的图象无公共点知tan a π无意义，因此,2a k k Z πππ=+∈，即1,2a k k Z =+∈.可求出12a = ，解tan21x ≥即可. 【详解】 因为直线(01)2a x a π=<<与函数tan2y x =的图象无公共点， 所以2,22a k k Z πππ⨯=+∈，即1,2a k k Z =+∈，又01a <<，所以12a =. 由tan21x ≥可得：242k x k ππππ+≤<+，解得11+,8242k x k k Z ππππ≤<+∈， 故不等式的解集为,2824k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭，所以选B. 【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质，属于中档题.9．D【分析】利用向量的三角形法则和正方形的性质即可得出．【详解】∵正方形ABCD 的边长为1，∴|AB BC +|+|AB AD -|22AC DB =+=故选D ．【点睛】本题考查了向量的三角形法则和正方形的性质，属于基础题．10．D【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】由函数的图象可得A ＝2，124312πππω⋅=-，求得ω＝2． 在根据五点法作图可得23π⨯+φ＝π，求得φ3π=，∴函数f （x ）＝2sin （2x 3π+）． 当23x π=-时，f （x ）＝0，不是最值，故A 不成立． 当x 512π=-时，f （x ）＝0＝﹣2，不等于零，故B 不成立． 将函数y =2sin （2x 6π-）的图象向左平移6π个单位得到函数y ＝sin[2（x 6π+）6π-]＝sin （2x 6π+）的图象，故C 不成立． 当x ∈[2π-，0]时，2x 3π+∈[23π-，3π]．∵sin （23π-）＝sin （3π-）=，sin （2π-）＝﹣1，故方程f （x ）＝m 在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上有两个不相等的实数根时，则m 的取值范围是(2-，，故D 成立；故选D ．【点睛】 已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min maxmin ,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.11．A【解析】试题分析：解：∵()sin(2014)cos(2014)63f x x x ππ=++-=3113sin 2014cos 2014cos 2014sin 20142222x x x x +++=3sin 2014cos 20142sin 20146x x x π=+=+（），∴2A =，周期220141007T ππ==，由于存在实数12,x x ,使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，∴()()()()2122max min f x f x f x f x ====-，，12x x -的最小值为半个周期，即122014T π=， ∴12A x x -的最小值为1007π，故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 12．C 【解析】试题分析：由()()4f x f x +=可知函数()f x 是以4为周期的周期函数，在直角坐标系内作出函数在区间[2,0]-内的图象，由偶函数性质作出函数()f x 在区间[0,2]内的图象，由周期性作出函数在定义域内的图象，再作出函数()()()log 201a y h x x a ==+<<的图象，由图象可知两个函数在区间( 2 6]-，有三个公共点的条件为：(2)log 42(6)log 82a a h h =>-⎧⎨=<-⎩，解之得2142a <<，故选C.考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.函数与方程.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、函数与方程，属中档题；函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-零点的个数⇔函数()()y f x g x =-在x 轴交点的个数⇔方程()()0f x g x -=根的个数⇔函数()y f x =与()y g x =交点的个数.13．()1,2 【分析】由函数解析式的特点得到关于x 的不等式组，解不等式组可得函数的定义域． 【详解】要使函数有意义，则需满足22010x x x ⎧->⎨->⎩，解得12x <<，所以函数()f x 的定义域为()1,2． 故答案为()1,2． 【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域时，关键是根据解析式的特点得到自变量的限制条件，进而得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）可得所求的定义域．另外，还需注意函数的定义域一定为集合或区间的形式． 14．,16π⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】根据正切函数的对称中心为,0)2k π（即可求出. 【详解】因为tan y x =的对称中心为(0),2k π， 所以由 ()tan 2y x k θ=++的对称中心为,16π⎛⎫-⎪⎝⎭可知，2,,162n n Z k ππθ⨯+=∈=- 又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以6πθ=，故填(,1)6π-.【点睛】本题主要考查了正切函数的图象和性质，涉及正切函数的对称中心，属于中档题. 15．②③ 【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可． 【详解】解：对于①，a ，b 都是单位向量，则不一定有a b =，①错误； 对于②，物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反， 是一对共线向量，②正确； 对于③，如图所示，方向为南偏西60︒的向量与北偏东60︒的向量在一条直线上， 是共线向量，③正确；对于④，直角坐标平面上的x 轴、y 轴只有方向，没有大小， 不是向量，④错误；综上，正确的命题序号是②③． 故答案为：②③．【点睛】本题通过命题真假的判断考查了平面向量的概念与应用问题，属于基础题． 16．（1）（2）（3） 【解析】 【分析】利用()()f 2x ?f x -=判断函数的对称性，利用对称性，数形结合处理零点问题. 【详解】由()()211f x 2x x x x a ee --+=-++可得()()()211f x 11x x x a e e ---⎡⎤=--++⎣⎦()()()22121f 2x 211x x x a e e -----⎡⎤-=---++⎣⎦，()()()21111?f x x x x a e e ---⎡⎤=--++=⎣⎦，即()()f 2x ?f x -=，∴x=1是函数f(x)图像的对称轴;若f(x)有唯一零点，由（1）可知()f 10=，解得1a 2=，经检验适合题意 若f(x)有2个零点，由（1）可知两个零点关于x=1对称，即零点之和为2 故答案为：（1）（2）（3） 【点睛】本题考查函数零点的问题，函数的对称性，考查运算求解能力，数形结合能力，转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 17．（1）1213a =±；（2）712-【分析】（1）根据点在单位圆上即可求出（2）利用诱导公式化简为1tan θ--，再由正切函数定义即可求出. 【详解】 （1）因为5,13M a ⎛⎫⎪⎝⎭在单位圆上， 所以225()113a +=，解得：1213a =±. （2）因为()()sin sin 32cos πθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-cos sin 1tan cos θθθθ+==---, 而角θ是第二象限角，所以5513tan 121213θ==--，故()()sin sin 32cos πθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭- 71tan 12θ=--=-. 【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题.18．（1）gx 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）详见解析；（3）对称轴3x k ππ=+，对称中心,06k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈.【分析】（1）根据图像的伸缩变换得到g(x)的解析式；（2）利用“五点法”作图得到()g x 的图像（[]0,2x π∈）； （3）求出()g x 图像的对称轴，对称中心. 【详解】（1）∵函数()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，∴gx 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)绘制表格如下：(3)根据图象易得：对称轴3x k ππ=+，对称中心,06k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈ 【点睛】本题考查了图像的伸缩变换，五点法作图，以及正弦型函数的对称性，考查推理能力及运算能力，属于中档题. 19．（1）0；（2）4 【分析】（1）由()f x 是R 上的奇函数，可得以()()0f x f x +-=恒成立，即220ax =从而可得结果；（2）对任意()0,x ∈+∞，()2f x mx ≥恒成立等价于4x m x+≥，利用基本不等式求出4x x+的最小值即可的结果. 【详解】（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()0f x f x +-=恒成立，则220ax =． 所以0a =．（2）由（1），()34f x x x =+，由()2f x mx ≥得4x m x+≥，由于4x x +≥，当且仅当2x =时，“＝”成立． 所以实数m 的最大值为4． 【点睛】已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. 20．（1）()22sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）313,3,42k k k R ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）14a b =-⎧⎨=⎩或14a b =⎧⎨=⎩. 【分析】（1）由题意得f （0）＝1，f （x ）的最大值等于2，周期的一半等于32，列出方程组解出A ，ω，φ; （2）令2122k Z 2362k x k ，，πππππ-+≤+≤+∈从而得到()f x 的递增区间； （3）对a 分类讨论，建立方程组即可得到,a b 的值． 【详解】解：（1）依题意，得0033222T x x =+-=，223,3T ππωω∴==∴=最大值为2，最小值为－2，2A ∴=22sin 3y x πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,图象经过()0,1，2sin 1ϕ∴=，即1sin 2ϕ= 又2πϕ<6πϕ∴=，()22sin 36f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭;（2）令2122k Z 2362k x k ，，πππππ-+≤+≤+∈ 从而得到函数的增区间：313,3,42k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）()22sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()22f x ∴-≤≤2622a b a b -+=⎧∴⎨+=⎩或2226a b a b -+=⎧⎨+=⎩ 解得，14a b =-⎧⎨=⎩或14a b =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了三角函数解析式的求解，三角函数的图象与性质，属于基础题.21．（1）()()100009000sin cos 8100sin cos 090S θθθθθ=-++≤≤；（2）最小值2950m ，最大值(214050m -.【分析】(1) 设()090,PAB θθ∠=︒≤≤︒延长RT 交AB 于M ,90cos ,90sin AM MP θθ==，再求出PR ，PQ 的长度，即可得到停车场PQCR 的面积； （2）利用换元法转化为二次函数的最值问题. 【详解】解：（1）设()090,PAB θθ∠=︒≤≤︒延长RT 交AB 于M90cos ,90sin AM MP θθ== 10090cos .PQ MB θ∴==-（2）令故当时，S 的最小值为,当2t = 时 S 的最大值为【点睛】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 22．（1）详见解析；（2）①（﹣∞，0]∪[2，+∞）；②1,1a b =-=或2,4a b ==. 【分析】（1）判断对应方程的△与0的关系，易得结论；（2）由函数f （x ）＝mx +3，g （x ）＝x 2+2x +m ，我们易给出函数G （x ）＝f （x ）﹣g （x ）﹣1，①若|G （x ）|在[﹣1，0]上是减函数，根据对折变换函数图象的特征，我们分△≤0和△＞0两种情况进行讨论，可得到满足条件的m 的取值范围；②若a ≤G （x ）≤b 的解集恰好是[a ，b ]，则()()()242(2)4G a a G b b m m a b ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪-+-⎪≤≤⎪⎩将a ，b 代入消去m ，可以求出a ，b 的值．【详解】证明：（1）f （x ）﹣g （x ）＝﹣x 2+（m ﹣2）x +3﹣m ． 令f （x ）﹣g （x ）＝0．则△＝（m ﹣2）2﹣4（m ﹣3）＝m 2﹣8m +16＝（m ﹣4）2≥0恒成立．所以方程f （x ）﹣g （x ）＝0有解． 所以函数f （x ）﹣g （x ）必有零点．（2）①G （x ）＝f （x ）﹣g （x ）﹣1＝﹣x 2+（m ﹣2）x +2﹣m ． ①令G （x ）＝0，△＝（m ﹣2）2﹣4（m ﹣2）＝（m ﹣2）（m ﹣6）． 当△≤0，即2≤m ≤6时，G （x ）＝﹣x 2+（m ﹣2）x +2﹣m ≤0恒成立， 所以|G （x ）|＝x 2﹣（m ﹣2）x +m ﹣2． 因为|G （x ）|在[﹣1，0]上是减函数，所以22m -≥0．解得m ≥2． 所以2≤m ≤6．当△＞0，即m ＜2或m ＞6时，|G （x ）|＝|x 2﹣（m ﹣2）x +m ﹣2|． 因为|G （x ）|在[﹣1，0]上是减函数，所以方程x 2﹣（m ﹣2）x +m ﹣2＝0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零 且x 22m -=≤-1． 所以20202m m -⎧⎪⎨-⎪⎩＞＞或20212m m ＜-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩ 解得m ＞2或m ≤0． 所以m ≤0或m ＞6．综上可得，实数m 的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）． ②因为a ≤G （x ）≤b 的解集恰好是[a ，b ]， 所以()()G a a G b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩由()()222222a m a m ab m b m a ⎧-+-+-=⎪⎨-+-+-=⎪⎩消去m ，得ab ﹣2a ﹣b ＝0，显然b ≠2． 所以a 2b b ==-122b +-． 因为a ，b 均为整数，所以b ﹣2＝±1或b ﹣2＝±2． 解得33a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=⎩或24a b =⎧⎨=⎩或00a b =⎧⎨=⎩因为a ＜b ，且a ()()24224m m -+-≤≤b所以11ab=-⎧⎨=⎩或24ab=⎧⎨=⎩【点睛】本题考查的知识点是函数的零点，函数图象的对折变换，函数的单调性，函数的值域，（1）中解答的关键是“三个二次”之间的辩证关系，即函数有零点，则对应的方程有根；（2）中①的切入点是函数图象对折变换后的函数图象特征；②中消参思想是解答的关键．。
【全国百强校】湖北省荆州中学2020-2021学年高一10月月考数学试题
【全国百强校】湖北省荆州中学【最新】高一10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2230,M x x x x Z =--<∈，则集合M 的真子集个数为（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．3 2．已知集合{A x y ==，{}|1B x a x a =+≤≤， 若A B=A ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(][),32,-∞-+∞ B ．[]1,2- C ．[]2,1- D ．[)2,+∞ 3．下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是( )． A ． B ． C ．D ．4．函数()f x =） A ．[)2,2- B ．[)()2,22,-⋃+∞ C ．[)2,-+∞ D ．()2,+∞ 5．若函数()f x 满足(32)98f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ）A ．()98f x x =+B ．()=32f x x +C ．()=34f x x --D ．()=32f x x +或()=34f x x --6．函数()()()10x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，则下列结论错误的是( )A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{}0,1C ．方程()()()f f x f x =的解只有1x =D ．方程()()f f x x =的解只有1x = 7．函数111y x =--的图象是（ ） A ． B ． C ．D ．8．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ）A ．()2log f x x =B ．()1f x x =+C ．()lg f x x =D ．()3f x x = 9．已知22log 3a =，223b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 121log 3c =，则a,b,c 的大小关系是（ ） A ．a>b>c B ．b>c>a C ．c>a>b D ．c>b>a10．函数()()215m f x m m x -=--是幂函数，且当()0,x ∈+∞时()f x 是增函数．则实数m=（ ）A ．3或﹣2B ．﹣2C ．3D ．﹣3或2 11．已知函数()()231f x ax a a x =+-+在(],1-∞-上递增，则a 的取值范围是（ ） A．a ≤B．a ≤≤C．0a <≤D．0a ≤<12．已知函数()2018112,012log ,1x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩，若a,b,c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a+b+c 的取值范围（ ）A ．(1,2018)B ．[]1,2018C ．（2,2019）D ．[]2,2019二、填空题13．已知()()()211231x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩则()3f f ⎡⎤=⎣⎦__________. 14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =+，则(),0x ∈-∞时，()f x =__________．15．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算得f (0)<0，f (0.5)>0，第二次应计算f (x 1)，则x 1＝________.16．若函数()()221log 214f x kx k x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，则实数k 的取值范围为_____．三、解答题17．求值：（1）（0.64）−12+2723−（14）0−（12）−3（2）2log 310＋log 30.8118．已知全集为R ，集合{}26A x x =≤≤， {}3782B x x x =-≥-.（1）求A B ， ()R C A B ⋂；（2）若{}44M x a x a =-≤≤+，且R A C M ⊆，求a 的取值范围.19．已知函数()21log 1x f x x x-=-++ （1）求1120182018f f ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）当(],x a a ∈-,其中()0,1a ∈时，函数()f x 是否存在最小值？若存在，求出()f x 的最小值，若不存在，请说明理由.20．已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且()10f =（1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()32f x x a +<+恒成立，求a 得范围 21．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）22．已知()()()2log 41x f x kx R =+-∈ （1）设()()g x f x a =-,2k =，若函数()g x 存在零点，求a 的取值范围；（2）若()f x 是偶函数，求k 的值；（3）在（2）条件下，设()24log 23x h x b b ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求实数b 的取值范围.参考答案1．B【分析】解不等式得到集合M ，然后根据集合元素的个数得到真子集的个数．【详解】 由题意得{}{}13,0,1,2M x x x Z =-<<∈=，所以集合M 的真子集的个数为3217-=个．故选B ．【点睛】解答本题时要注意结论：含有n 个元素的集合的子集的个数为2n 个，真子集的个数为(21)n -个，非空子集的个数为(21)n -个，非空真子集的个数为(22)n -个．2．C【解析】试题分析：{}{||22A x y x x ===-≤≤，又因为A B A ⋃=即B A ⊆，所以12{2a a +≤≥-，解之得21a -≤≤，故选C. 考点：1.集合的表示；2.集合的运算.3．C【解析】试题分析：图形C 中有“一对多”情形，故选C.考点：本题考查函数定义．4．B【解析】【分析】根据函数解析式的特点得到不等式（组），然后解不等式（组）可得函数的定义域．【详解】要使函数有意义，则有2020x x +≥⎧⎨-≠⎩， 解得2x ≥-且2x ≠，所以函数的定义域为[)()2,22,-⋃+∞．故选B ．【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出关于变量的不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．5．B【分析】设32,t x =+得23t x -=，再求()f t ，即得()f x 的解析式. 【详解】 设232,3t t x x -=+∴=， 所以2()983(2+8=323t f t t t -=⨯+=-+） 所以()=32f x x +.故选：B.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．C【分析】根据相关知识对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结论．【详解】对于A ，当x 为有理数时，有()()1f x f x -==；当x 为无理数时，有()()0f x f x -==，所以函数为偶函数，所以A 正确．对于B ，由题意得函数的值域为{}0,1，所以B 正确．对于C ，若x 为有理数，则方程f (f (x ))=f (1)=1=f (x )恒成立；若x 为无理数，则方程f (f (x ))=f (0)=1≠f (x )，此时无满足条件的x ，故方程f (f (x ))=f (x )的解为任意有理数，所以C 不正确．对于D ，若x 为有理数，则方程f (f (x ))=f (1)=1，此时x =1；若x 为无理数，则方程f (f (x ))=f (0)=1，此时无满足条件的x ，故方程f (f (x ))=x 的解为x =1，所以D 正确．【点睛】解得本题的关键是正确理解函数()f x 的定义，同时结合给出的条件分别进行判断，考查理解和运用的能力，属于基础题．7．B【分析】利用函数的定义域、特殊点的函数值确定正确选项.【详解】 依题意111y x =--的定义域为{}|1x x ≠，由此排除CD 选项. 当0x =时，11201y =-=-，由此排除A 选项. 故选：B8．D【解析】【分析】根据要求对给出的四个选项分别进行判断，进而可得结果．【详解】选项A 中，函数()f x 为非奇非偶函数，在定义域上为增函数，所以不合题意；选项B 中，函数()f x 为非奇非偶函数，在定义域上为增函数，所以不合题意；选项C 中，函数()f x 为偶函数，在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，所以不合题意；选项D 中，函数()f x 为奇函数，在定义域上为增函数，所以符合题意．故选D ．【点睛】解答本题的关键是熟知所给函数的性质，然后再根据要求进行判断，考查对基础知识的掌握情况和判断能力，属于基础题．9．D【解析】根据对数、指数的知识先判断出各数所在的范围，然后再比较大小．【详解】 由题意得22log 03a =<，22013b ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，112211log log 132c =>=， 所以c b a >>．故选D ．【点睛】判断数的大小时，若各数都为幂的形式或都为对数的形式，则可根据指数函数、幂函数或对数函数的性质进行判定；若既含有幂的形式又含有对数的形式，则一般先判断出每个数的大体范围，然后再借助中间量（如0或1）进行判断．10．C【分析】由函数()f x 为幂函数可得251m m --=，求出m 的值后再进行验证，最后可得所求的值．【详解】∵函数()()215m f x m m x -=--是幂函数，∴251m m --=，即260m m --=，解得2m =-或3m =．当2m =-时，()3f x x -=，在()0,+∞上为减函数，不合题意； 当3m =时，()2f x x =，在()0,+∞上为增函数，符合题意． ∴3m =．故选C ．【点睛】本题考查幂函数的定义和性质，以及计算和判断能力，解题时根据幂函数的定义进行求解即可，属于基础题．11．D【分析】分0a =和0a ≠两种情况分别求解，可得所求范围．①当0a =时，()1f x =，在(],1-∞-上没有单调性，不合题意； ②当0a ≠时，函数()f x 图象的对称轴为32122a a a x a --=-=-, ∵函数()f x 在(],1-∞-上递增， ∴20112a a <⎧⎪⎨--≥-⎪⎩，解得0a ≤<， ∴实数a的取值范围为)⎡⎣． 故选D ．【点睛】解答本题时注意两点：（1）对a 的取值要进行分类讨论，以确定函数的类型；（2）二次函数在给定区间上的单调性取决于抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系，解题时要结合函数的图象求解，以增强解题的直观性．12．C【解析】【分析】画出函数()f x 的图象，根据图象确定出,,a b c 所在的关系及范围，然后可得所求．【详解】画出函数()f x 的图象，如下图所示．则当01x ≤≤时，函数()f x 的图象关于12x =对称． 设a b c <<，则10120182a b c <<<<<<，且1a b +=， ∴1a b c c ++=+，又12018c <<，∴212019c <+<，∴a b c ++的取值范围为()2,2019．故选C ．【点睛】本题考查函数图象的画法和图象的应用，考查动手和理解能力，解题的关键是正确画出函数的图象，并结合图象的对称性得到1a b c c ++=+，进而将问题转化为求c 的范围的问题处理．13．10【解析】【分析】先求出()3f 的值，然后再求出()3f f ⎡⎤⎣⎦的值即可．【详解】由题意得()32333f =-⨯+=-，∴()()()2333110f f f ⎡⎤=-=-+=⎣⎦.故答案为：10．【点睛】本题考查分段函数的求值，解题的关键是分清自变量的取值在定义域的哪一个区间上，考查判断和计算能力，属于简单题．14．22x x -+【分析】当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，结合题意求出()f x -，然后再根据函数为奇函数求出()f x 即可．【详解】当(),0x ∈-∞时，则有()0,x -∈+∞，∴()()2222f x x x x x -=--=-，又函数()f x 为奇函数， ∴()22f x x x -=-，∴()22f x x x =-+．即(),0x ∈-∞时，()22f x x x =-+．故答案为22x x -+． 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查转化的方法在解题中的应用，解题的关键是根据对称性将问题转化到区间()0,+∞上去求解，再根据奇偶性得到所求． 15．0.25 【分析】由零点存在定理得零点在(0,0.5)上，区间中点即为下一步要计算的自变量的值． 【详解】 ∵f (0)·f (0.5)<0，∴f (x )在区间(0，0.5)内有零点． 又∵00.52+＝0.25， ∴第二次应计算f (0.25)， 即x 1＝0.25. 故答案为：0.25． 【点睛】本题考查二分法，掌握二分法的概念是解题基础．在确定零点在区间(,)a b 上后，接着可计算2+⎛⎫ ⎪⎝⎭a b f ，即区间中点处的函数值． 16．1[0,][1,)4+∞【分析】将问题转化为()21214kx k x +-+能取尽所有的正数，然后再分0k =和0k ≠两种情况，并结合函数的性质求解即可．【详解】∵函数()()221log 214f x kx k x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ， ∴()()21214g x kx k x =+-+能取尽所有的正数． ①当0k =时，()14g x x =-+，能取尽所有的正数，符合题意；②当0k ≠时，要使()()21214g x kx k x =+-+能取尽所有的正数，则需满足()220214510k k k k k >⎧⎪⎨=--=-+≥⎪⎩，解得104k <≤或1k ≥， 综上可得104k ≤≤或1k ≥,∴实数k 的取值范围为][10,1,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】解答本题的关键是深刻理解题意，解题中容易出现的错误是将“函数()()221log 214f x kx k x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦的值域为R”与“函数()()221log 214f x kx k x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦的定义域为R”误认为相同；另外，解题时还要注意分类讨论思想方法的灵活运用． 17．（1）54（2）4 【解析】试题分析：（1）利用分数指数幂的性质运算即可;(2)利用对数的运算性质计算可得结果. 试题解析： (1)（0.64）−12+2723−（14）0−（12）−3=54+9−1−8=54， (2)2log 310＋log 30.81=log 3(102×0.81)=418．（1）{}2A B x x ⋃=≥, (){}36R C A B x x x ⋂=或(2) ()(),210,-∞-⋃+∞【分析】（1）先求出集合B ，于是可得A B ⋃和A B ⋂，进而得到()R C A B ⋂；（2）先求出R C M ，再将R A C M ⊆转化为不等式求解，可得所求范围． 【详解】（1）∵{}{}37823B x x x x x =-≥-=≥， ∴{}2A B x x ⋃=≥，{}36A B x x ⋂=≤≤，∴(){}3,6R C A B x x x ⋂=或．(2)由题意知M φ≠，且{}4,4RC M x x a x a =-+或.∵{}26A x x =≤≤，R A C M ⊆， ∴46a ->或42a +<， 解得10a >或2a <-.故实数a 的取值范围为()(),210,-∞-⋃+∞. 【点睛】本题考查集合的基本运算，解题时根据要求逐步求解即可，其中解答（2）的关键是将集合间的包含关系转化为不等式来求解，容易出现的错误是忽视不等式中的等号能否成立． 19．（1）0 （2）当(,]x a a ∈-时，min 21()()log 1af x f a a a-==-++ 【分析】（1）根据解析式及所求值的特点，先证明()()0f x f x -+=，进而得到结果；（2）先判断出函数的单调性，然后再求出最小值． 【详解】 （1）由101xx->+，得11x -<<, ∴()f x 定义域()1,1-． ∵()21log 1xf x x x+-=+-， ∴()()22211log log log 1011x x f x f x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-+=++-+== ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，∴11020182018f f ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）设()12,1,1x x ∈-，且12x x <， 令()12111x t x x x-==-+++， 则()()()()()211212121222222110111111x x t x t x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=-+--+=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， ∴12221111x x -+>-+++， ∴221222log 1log 111x x ⎛⎫⎛⎫-+>-+ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭． 又12x x ->-， ∴12221222log 1log 111x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+>-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 即()()12f x f x >，∴函数()f x 在()1,1-内为减函数， ∴函数()f x 在(],a a -内为减函数，∴当(],x a a ∈-时，()()2min 1log 1af x f a a a-==-++， ∴函数()f x 存在最小值，且最小值为()21log 1af a a a-=-++．【点睛】本题考查函数最小值的求法和函数值的计算，属于基础题，其中利用单调性求最值是常用的方法，解题时可根据定义判断出函数的单调性，然后再根据单调性求出函数的最值即可． 20．（1）()02f =-（2）()22f x x x =+-（3）514a >【详解】试题分析：（1）求函数值()0f 需将已知关系式()()()21f x y f y x x y +-=++中的变量1,0x y ==即可；（2）求函数式即将已知关系式转化为()f x 的形式，因此赋值0y =即可；（3）利用求得的函数式代入不等式中，将不等式变形分离参数a ，转化为求函数最值问题试题解析：（1）令1,0x y ==得()()()100210,f f f +-==可得()02f =-（2）令0y =，可得()()()()2012f x f x x f x x x -=+∴=+-（3）10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()32f x x a +<+恒成立，即10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时2510a x x >++恒成立，()2max510a x x ∴>++2510x x ++在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调增，所以最大值为514，所以a 得范围是514a >考点：1．赋值法求值；2．函数单调性与最值；3．不等式与函数的转化21．（1）()()2140,4060150,60802x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大【分析】（1）利用待定系数法分别求出当4060x ≤≤和6080x <≤时的解析式，进而可得所求结果；（2）设该店有职工m 名，根据题意得到关于m 的方程，求解可得所求；（3）由题意得到利润的函数关系式，根据分段函数最值的求法可得所求． 【详解】（1）当4060x ≤≤时，设y ax b =+， 由题意得点()()40,60,60,20在函数的图象上，∴40606020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得2140a b =-⎧⎨=⎩，∴当4060x ≤≤时，2140y x =-+． 同理，当6080x <≤时，1502y x =-+． ∴所求关系式为()()2140,4060150,6080.2x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）设该店有职工m 名，当x=50时，该店的总收入为()()()4010010021404040000y x x x -⨯=-+-=元，又该店的总支出为1000m+10000元， 依题意得40000=1000m+10000, 解得：m=30.所以此时该店有30名员工． （3）若该店只有20名职工，则月利润()()()()()21404010030000,40601504010030000,60802x x x S x x x ⎧-+-⨯-≤≤⎪=⎨⎛⎫-+-⨯-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ ①当4060x ≤≤时，()225515000S x =--+， 所以x=55时，S 取最大值15000元； ②当6080x <≤时，()2170150002S x =--+， 所以x=70时，S 取最大值15000元； 故当x=55或x=70时，S 取最大值15000元，即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大． 【点睛】解决函数应用问题重点解决以下几点：（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域； （3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值； （4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 22．（1）()0,∞+（2）1k =（3）{3}(1,)-+∞【解析】 【分析】（1）由题意得方程()f x a =有解，求出函数()f x 的值域即可得到所求的范围； （2）根据偶函数的定义得()()f x f x -=，由此得到()220k x -=在R 上恒成立，故得1k =；（3）将问题转化为方程()()f x h x =只有一解求解，整理后结合分类讨论并根据方程根的分布的知识求解即可．【详解】（1）令()()0g x f x a =-=，得()f x a =． ∵函数()g x 存在零点， ∴方程()f x a =有解.又()()222411log 412log log 144x xx xf x x +⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭， 易知()f x 在(),-∞+∞上是减函数， 又1114x +>，21log 104x⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 所以()0f x >，所以a 的取值范围是()0,+∞. （2）方法1：由题意得函数()()2log 41xf x kx =+-的定义域为R ．∵函数()f x 为偶函数， ∴()()11f f -=-，∴()221log 1log 414k k ⎛⎫++=+-⎪⎝⎭， ∴2252log 5log 24k =-=， ∴1k =．检验：当1k =时，()()()22241log 41log log 222x xx xxf x x -⎛⎫+=+-==+ ⎪⎝⎭， ∵()()()2log 22xx f x f x --=+=，∴函数()f x 为偶函数， ∴1k =． 方法2：∵函数()f x 为偶函数， ∴()()f x f x =-， ∴()()22log 41log 41xxkx kx -+-=++，∴22412log log 4241x xx kx x -⎛⎫+=== ⎪+⎝⎭， ∴()220k x -=在R 上恒成立， ∴1k =．∴()()()2241log 41log log 222x xx xxf x x -+=+-==+． （3）∵()f x 与()h x 的图象只有一个公共点， ∴方程()()f x h x =只有一解， 即()224log 2log 223xx x b b -⎛⎫⋅-=+ ⎪⎝⎭只有一解， 又220x x -+>，∴方程42223xxx b b -+=⋅-只有一解.令()20xt t =>，则关于t 的方程143t bt b t +=-有一正根，∴方程()231430b t bt ---=有一正根，（ⅰ）当b=1时，解得304t =-<，不合题意； （ⅱ）当1b ≠时，①若方程有两相等正根，则()()()()244313040231b b bb ⎧∆=--⨯-⨯-=⎪-⎨->⎪⨯-⎩， 解得3b =-②若方程有两不等实根且只有一个正根，由于函数()23143y b t bt =---的图象恒过点()0,3-，故只需二次函数图象，即抛物线的开口向上，∴10b ->， 解得1b >，综上可得实数b 的取值范围{}()31,-⋃+∞． 【点睛】（1）已知函数的奇偶性求参数的值时，一般的方法是根据奇偶性的定义得到关于自变量和参数的恒等式，然后通过比较系数可得所求．（2）解题时注意转化思想的运用，即方程解的个数问题可转化为两个函数图象公共点的个数问题，已知方程有解求参数范围问题可转化为求函数的值域问题等．。
湖北省荆州中学高一数学元月月考试题
学习资料湖北省荆州中学高一数学元月月考试题湖北省荆州中学2020-2021学年高一数学元月月考试题一、单项选择题（本大题共8小题,共40分） 1。
sin454cos176︒+︒的值为（ ）A 。
sin4︒B 。
cos4︒C. 0D 。
2sin4︒2.已知集合仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ) A. B 。
0， C. D 。
3.已知命题：命题;命题，且p 是q 的必要不充分条件,则a 的取值范围（ ) A 。
B.C 。
D 。
4。
函数在区间内的零点个数是（ ） A 。
1 B. 2C 。
3D 。
45。
已知函数,，则下列说法正确的是（ ）A 。
与的定义域都是B 。
为奇函数,为偶函数C 。
的值域为，的值域为D.与都不是周期函数6.将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变）得到函数的图象,则下列说法正确的是（ )A 。
函数的图象关于点(,0)3π-对称B. 函数的最小正周期为2π C. 函数的图象关于直线6x π=对称 D 。
函数在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增7.已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ )A 。
15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦D. (0,2]8.已知是定义域为的单调函数，若对任意的,都有13[()log ]4f f x x +=，且方程在区间上有两解，则实数a 的取值范围（ ） A 。
B 。
C. D 。
二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分) 9.下列结论中正确的是( ）A. 终边经过点的角的集合是；B 。
将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是3π; C. 若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角；D.，则．10。
下列说法正确的是（ ）A 。
若都是第一象限角且，则；B. 1312tan()tan()45ππ->-; C. cos()2y x π=-在区间2[,]63ππ的值域为13[,]2； D 。
2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期9月月考数学试题(解析版)
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注：资料封面，下载即可删除2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期9月月考数学试题一、单选题1．下列各式表述正确的是（ ） A ．20{0}x ∈= B ．0{(0,0)}∈C ．0N ∈D ．0∈∅【答案】C【解析】根据元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项． 【详解】2{0}x =表示集合中有一个元素是20x =，20{0}x ∴∉=，A 错误，{(0,0)}表示集合中有一个元素为(0,0)，0{(0,0)}∴∉，B 错误，N 表示自然数集，包含数0，0N ∴∈成立，C 正确， φ表示集合一个元素也没有，0φ∴∉，D 错误.故选：C 【点睛】本题考查集合的含义，以及元素与集合的关系，属于基础题. 2．已知集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．MNB ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M 与N 的关系不确定 【答案】B【解析】整数分为奇数和偶数，由此可得答案． 【详解】 解：∵1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭211,4222n n x x ⎧==+=+⎨⎩或21111,4224n n x n Z ++⎫=+=+∈⎬⎭， 且1,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， ∴M N ⊆， 故选：B ．本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题． 3．设0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）A ．2a ba b +<<<B ．2a ba b +<<C ．2a ba b +<<<D 2a ba b +<<< 【答案】B【解析】利用不等式的基本性质和基本不等式即可求出答案． 【详解】解：∵0a b <<，2a b+，a <22a b b b b ++<=，∴2a ba b +<<<， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质和基本不等式的应用，属于基础题． 4．集合{}{}1,2,3,4,(1)()0A B x x x a ==--<若集合{}2,3A B =，则实数a 的范围是（ ） A ．34a << B ．34a <≤C ．34a ≤<D ．3a >【答案】B【解析】分类讨论a 的值，根据集合间的交集运算，确定实数a 的范围. 【详解】当1a <时，{1}B xa x =<<∣，显然不满足{}2,3A B =当1a =时，B =∅，不满足{}2,3AB =当1a >时，{1}B xx a =<<∣，因为{}2,3A B =，所以34a <≤故选：B 【点睛】本题主要考查了根据交集运算的结果确定参数的范围，属于基础题.5．若集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 的集合是（ ）A ．{}19a a ≤≤B ．{}69a a ≤≤C ．{}9a a ≤D ．φ【解析】若A =∅，即2135a a +>-，解得6a <时，满足A B ⊆成立，若A ≠∅，即6a ≥时，要使A B ⊆成立，则2133522a a +≥⎧⎨-≤⎩，即19a a ≥⎧⎨≤⎩，解得19a ≤≤，此时69a ≤≤，综上，9a ≤，故选C.6．已知,a b +∈R ，21a b +=，求11a b+的最小值为（ ）A ．3+B ．3-C ．D ．4【答案】A【解析】由正实数a ，b 满足21a b +=，代入()1111223b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】 解：正实数a ，b 满足21a b +=，则()111122233232b a b aa b a b a b a b a b⎛⎫+=++=+++=+ ⎪⎝⎭当且仅当1a ==时取等号．故选：A 【点睛】本题考查基本不等式的性质，考查乘1法则,考查推理能力与计算能力，属于基础题． 7．已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．10【答案】D【解析】列举法得出集合()()()()()()()()()(){}2,1314151324252435354B =，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共含10个元素．故答案选D8．若关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,4]-B ．(,2][5,)-∞-⋃+∞C ．(,1][4,)-∞-⋃+∞D ．[2,5]-【答案】A【解析】试题分析：由题意得，因为0x >，则4424x x x x+≥⋅=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，又关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则234a a -≤，即，解得14a -≤≤，故选A.【考点】基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.二、多选题9．下面关于集合的表示正确的是（ ）①{2,3}{3,2}≠；②{}{}(,)11x y x y y x y +==+=； ③{}{}11x x y y >=>；④{}{}11x x y y x y +==+= A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】CD【解析】根据集合中元素的特征，可得判定①不正确；根据集合的表示方法和集合的元素的特征，可判定②不正确；③④正确，即可得到答案. 【详解】根据集合元素的无序性和集合的表示，可得{2,3}{3,2}=，所以①不正确；根据集合的表示方法，可得集合{}(,)1x y x y +=为点集，集合{}1y x y +=表示数集， 所以{}{}(,)11x y x y y x y +=≠+=，所以②不正确；根据集合的表示方法，可得集合{}{}11x x y y >=>，所以③正确； 根据集合的表示方法，可得集合{}{}1,1x x y R y x y R +==+==， 所以{}{}11x x y y x y +==+=，所以④是正确的. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中熟记集合的表示方法，合理推算是解答的关键，属于基础题.10．下列四个命题中，是真命题的有（ ）A ．没有一个无理数不是实数B ．空集是任何一个集合的真子集C ．已知,m n ∈R ，则“||||1m n +>”是“1n <-”的必要不充分条件D ．命题“对任意2,220x x x ∈++>R ”的否定是“存在2,220x x x ∈++≤R ” 【答案】ACD【解析】根据实数、空集的概念分别判断A 、B ；举反例判断C ；全称命题的否定为特称命题，D 正确. 【详解】所有的无理数均是实数，A 正确； 空集是任何集合的子集，B 错误；若1n <-，则||1n >，||||1m n +>成立；可取1,1m n ==时，||||21m n +=>，故C 正确；全称命题的否定为特称命题，D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查实数的概念、空集的概念、必要不充分条件的判断、含有一个量词的命题的否定，属于基础题.11．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的有（ ）①1ab ≤≤；③222a b +≥；④112a b+≥ A ．① B ．② C ．③D ．④【答案】ACD【解析】①.由2a b +=≥②.由()22=++≤+a b a b 判断；③.由()2222a b a b ab +=+-判断；④.由()111111122⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b 判断. 【详解】因为0a >，0b >，2a b +=，所以2a b +=≥1≤，故A 正确；因为()224=++≤+=a b a b 2，故B 错误；因为()2222422+=+-≥-=a b a b ab ，故C 正确；因为()11111111122222⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b ，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 12．设a b c >>，使不等式11ma b b c a c+≥---恒成立的充分条件是（ ） A ．4m ≤ B ．3m ≤C ．4m ≥D ．5m ≤【答案】AB【解析】把不等式11m a b b c a c +≥---恒成立，即a c a c m a b b c --≤+--恒成立，结合基本不等式，求得a c a ca b b c--+--的最小值为4，进而结合选项，即可求解. 【详解】因为a b c >>，可得0,0,0a b b c a c ->->->，又由不等式11m a b b c a c +≥---恒成立，即a c a c m a b b c --≤+--恒成立， 因为()()()()2a c a c a b b c a b b c b c a ba b b c a b b c a b b c---+--+---+=+=++------24≥+=，当且仅当b c a b a b b c --=--时，即2b a c =+时等号成立， 所以a c a ca b b c--+--的最小值为4，故4m ≤， 所以结合选项，可得不等式11m a b b c a c+≥---恒成立的充分条件是4m ≤和3m ≤. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了充分条件的判定及应用，以及利用基本不等式求最小值，其中解答中熟练应用基本不等式求得a c a ca b b c--+--的最小值，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、填空题13．设{}28150A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 组成的集合C =________.【答案】110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】解出集合A ，由A B B =，可得出B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，可得出实数a 的值. 【详解】{}{}281503,5A x x x =-+==，且A B B =，B A ∴⊆.当B =∅时，则0a =，此时B A ⊆成立；当B ≠∅时，则0a ≠，此时{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，则有13a=或15a =，解得13a =或15a =.因此，110,,35C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.故答案为：110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，解题时要对含参集合分空集和非空集合两种情况讨论，考查分类讨论思想的应用，属于基础题.14． 一元二次不等式26x x <+的解集为_________． 【答案】(-2，3)【解析】试题分析：解不等式,解得.【考点】解一元二次不等式.15．若集合{}2|320A x ax x =-+=中至多有一个元素，则实数a 的取值范围是________． 【答案】0a =或98a ≥【解析】条件可转化为方程2320ax x -+=至多有一个根，然后分0a =和0a ≠两种情况讨论即可. 【详解】因为集合{}2|320A x ax x =-+=中至多有一个元素所以方程2320ax x -+=至多有一个根， 当0a =时解得23x =，满足题意 当0a ≠时，980a ∆=-≤，解得98a ≥ 综上：0a =或98a ≥ 【点睛】解答本题时一定要注意讨论0a =的情况，否则就会漏解.16．集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意的,a b G ∈，都有a b G ⊕∈；（2）存在e G ∈，对任意a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G ={非负整数}，⊕为整数的加法；②G ={偶数}，⊕为整数的乘法；③G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是________．（写出所有“融洽集”的序号） 【答案】①【解析】根据题意对给出的集合和运算对两个条件：运算的封闭性和单位量e 进行验证，分别用加法、乘法的法则判断，只有都满足时才是G 关于运算⊕为“融洽集”． 【详解】根据题意，判断给出的集合对运算⊕是否满足条件（1）（2）即可．其中，条件（1）的含义是：集合G 中任意两个元素关于运算⊕的结果仍然是集合G 的元素；条件（2）的含义是：集合G 中存在元素e ，它与G 中任何一个元素a 关于运算⊕满足交换律，且运算结果等于a ．①中，G ={非负整数}，⊕为整数的加法，满足对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈，且存在0e =，使得00a a a ⊕=⊕=，所以①中的G 关于运算⊕为“融洽集”； ②中，G ={偶数}⊕为整数的乘法，若存在e G ∈，使a e e a a ⊕=⊕=，则1e =，与e G ∈矛盾，所以②中的G 关于运算⊕不是“融洽集”；③中，G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以③中的G 关于运算⊕不是“融洽集”． 综上，G 关于运算⊕为“融洽集”的只有①． 故答案为① 【点睛】本题考查了学生对新定义的理解和运用能力，可结合学过的运算性质进行类比理解，比如：第一条是运算的封闭性，第二条如加法中的“0”或乘法中的“1”．四、解答题17．设命题:p x ∃∈R ，2230x x m -+-=，命题:q x ∀∈R ，222(5)190x m x m --++≠.若p 、q 都为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】3|45m m ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【解析】先求出命题,p q 为真时，m 的取值范围，再取交集可得答案. 【详解】若命题:p x ∃∈R ，2230x x m -+-=为真命题，则44(3)0m ∆=--≥，解得4m ≤； 若命题:q x ∀∈R ，222(5)190x m x m --++≠为真命题，则命题:q x ∃∈R ，222(5)190x m x m --++=为假命题，即方程222(5)190x m x m --++=无实数根， 因此，()224(5)4190m m ∆=--+<，解得35m >. 又p 、q 都为真命题，所以实数m 的取值范围是33{|4}||455m m m m m m ⎧⎫⎧⎫≤⋂>=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭.【点睛】本题考查全称命题与特称命题的真假求参数值、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 18．解关于x 的不等式：(1)(1)0(0)ax x a -->>. 【答案】当01a <<时，解集为{1x x <或1x a ⎫>⎬⎭； 当1a =时，解集为{x x R ∈且}1x ≠； 当1a >时，解集为1x x a⎧<⎨⎩或}1x >. 【解析】根据0a >，结合方程(1)(1)0ax x --=两根大小的关系分类讨论,求解不等式的解集即可. 【详解】0a >，∴方程(1)(1)0ax x --=的两根分别为121,1==x x a（1）当01a <<时，11a >∴解得：1x <或1x a>； （2）当1a =时，原不等式即为2(1)0x ->，解得：1x ≠（3）当1a >时，11a <，∴解得：1x a<或1x > 综上可知：当01a <<时，解集为{1x x <或1x a ⎫>⎬⎭； 当1a =时，解集为{x x R ∈且}1x ≠；当1a >时，解集为1x x a⎧<⎨⎩或}1x >. 【点睛】 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.19．已知集合{}()22(2)[(31)]0,01x a A x x x a B x x a ⎧⎫-⎪⎪=--+<=<⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭其中1a ≠ （1）当2a =时，求A B ；（2）求使B A ⊆的实数a 的取值范围【答案】（1）(4,5)A B ⋂=；（2）13a 或1a =-.【解析】（1）由交集的定义直接计算即可；（2）分13a <，13a =，13a >三种情况讨论得出. 【详解】（1）当2a =时，(2,7),(4,5),(4,5)A B A B ==∴⋂=（2）()22,1B a a =+当13a <时，(31,2)A a =+，要使B A ⊆，必须2231121a a a a ≥+⎧⎪+≤⎨⎪≠⎩，此时1a =-； 当13a =时，A =∅，使B A ⊆的a 不存在； 当13a >时，(2,31)A a =+，要使B A ⊆，则2221311a a a a ≥⎧⎪+≤+⎨⎪≠⎩，解得13a ， 综上可得：a 的取值范围是13a或1a =-.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查根据集合包含关系求参数，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，属于基础题.20．某建筑工地要建造一批简易房，供群众临时居住，房形为长方体，高2．5米，前后墙用2．5米高的彩色钢板，两侧用2．5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2．5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为x ，两侧墙的长为y ，一套简易房所用材料费为p ，试用,x y 表示p ．（2）一套简易房面积S 的最大值是多少？当S 最大时，前面墙的长度是多少？【答案】（1）；（2） 100，．【解析】试题分析：（1）依题得，根据长方体的表面积公式可知，；（2） S xy =根据基本不等式得200120032000S S +≤，解得0100S <≤．试题解析：（1）依题得，根据长方体的表面积公式可知，（2）∵S xy =，∴90040020029004002002001200p x y xy S S S S =++≥⨯+=+又因为32000p ≤，所以200120032000S S +≤，化简得61600S S +-≤， 解得1610S -≤≤，又0S >，∴0100S <≤，当且仅当900400{100x y xy ==，即203x =时S 取得最大值． 答：每套简易房面积S 的最大值是100平方米，S 最大时前面墙的长度是米． 【考点】数学建模能力及利用基本不等式求最值．21．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{1B x x =≤或}4x ≥.（1）当3a =时，求AB ； （2）若“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，且A ≠∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤；（2）{}01a a ≤<.【解析】(1)根据两个集合交集运算性质即可解得;(2) “x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件即A B R ，然后求解出集合B 的补集，根据集合间的关系列出关于a 的不等式即可解得范围.【详解】（1）当3a =时，{}15A x x =-≤≤，又{1B x x =≤或}4x ≥， {11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤（2）{1B x x =≤或}4x ≥，{}R 14B x x =<<.由“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，得A B R ，.又{}22,A x a x a A =-≤≤+≠∅， 222124a a a a -≤+⎧⎪∴->⎨⎪+<⎩，01a ∴≤<即实数a 的取值范围是{}01a a ≤<.【点睛】：本题考查了集合交集的运算、利用集合间的关系求解参数的范围，属于中档题目，解题中需要准确的将充分条件和必要条件的关系转化为集合间的关系.22．设504a <≤，若满足不等式22()x ab -<的一切实数x ，亦满足不等式()2214x a -<求正实数b 的取值范围. 【答案】30,16⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】先化简集合,A B ,从而得到221212b a a b a a ⎧≤-+-⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，504a ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，分别求出两个不等式中b 的范围即得解.【详解】设集合{}22()(,)A x x a b a b a b =-<=-+，()2222111{|},422B x x a a a ⎛⎫=-<=-+ ⎪⎝⎭由题设知A B ⊆，则221212a b a a b a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩于是得不等式组221212b a a b a a ⎧≤-+-⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，504a ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭ 又22113224a a a ⎛⎫-+-=--+ ⎪⎝⎭，函数的最小值为316； 22111224a a a ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，函数的最小值为14； 316b ∴≤， 所以b 的取值范围是30,16⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2024-2025学年湖北省荆州中学高一(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年湖北省荆州中学高一（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a +2∈{1,3,a 2}，则a 的值为( )A. −1或1或2B. −1或1C. −1或2D. 22.设集合U ={1,2,3,4,5}，M ={1,2}，N ={2,3}，则∁U (M ∪N)=( )A. {4,5}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,3,4,5}3.已知集合A ={x|x =k +16,k ∈Z}，B ={x|x =m 2−13,m ∈Z}，C ={x|x =n 2+16,n ∈Z}，则集合A ，B ，C 的关系是( )A. A⫋C⫋BB. C⫋A⫋BC. A⫋C =BD. A⫋B⫋C4.设等腰三角形△ABC 的腰长为x ，底边长为y ，且y =x +1，则“△ABC 的周长为16”是“△ABC 其中一条边长为6”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.下面命题正确的是( )A. 已知x ∈R ，则“x >1”是“1x <1”的充要条件B. 命题“若∃x 0≥1，使得x 20<2”的否定是“∀x <1，x 2≥2”C. 已知x ，y ∈R ，则“|x|+|y|>0”是“x >0”的既不充分也不必要条件D. 已知a ，b ∈R ，则“a−3b =0”是“a b =3”的必要不充分条件6.已知a >b >c >d ，下列选项中正确的是( )A. 1a <1bB. a c 2+1>b c 2+1C. ad >bcD. ac >bd 7.已知正实数x ，y 满足1x +3y =1，则4x +3y 的最小值为( )A. 24B. 25C. 26D. 278.若不等式x 2−(2a +2)x +2a <0(a >0)有且只有三个整数解，实数a 的取值范围为( )A. 0<a <43B. 0<a ≤43C. a >34D. 34<a ≤43二、多选题：本题共3小题，共18分。
2021-2022学年湖北省荆州市云岭中学高一数学理月考试题含解析
2021-2022学年湖北省荆州市云岭中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列{a n}、{b n}，其前n项和分别为S n、T n，，则（）A. B. C. 1 D. 2参考答案：A【分析】利用等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得出，于此可得出结果。
【详解】由等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得，同理可得，因此，，故选：A。
【点睛】本题考查等差数列前和公式以及等差中项性质的应用，解题关键在于等差数列下标性质的应用，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题。
2. 已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为参考答案：C3. 已知集合,则（）A． B． C． D．参考答案：C4. 关于x的不等式只有一个整数解，则a的取值范围是（）A．B． C. D．参考答案：C，当时，得，不符合题意；当时，且，解得。
故选C。
5. 已知θ∈R，则直线的倾斜角的取值范围是A．[0°，30°] B．C．[0°，30°]∪ D．[30°，150°]参考答案：C6. 下图是某几何体的三视图，则此几何体可由下列哪两种几何体组合而成（）A．两个长方体B．两个圆柱C．一个长方体和一个圆柱D．一个球和一个长方体参考答案：C7. 若偶函数f(x)在区间（-∞，-1]上是增函数，则( )A.f(-)<f(-1)<f(2) B f(-1)< f(-)<f(2) C f(2)< f(-1)< f(-) D f(2)< f(-)<f(-1)参考答案：D8. 若函数的图像（部分）如图所示，则和的取值分别为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：A9. 在下列函数中，最小值是的是（）．A．B．C．，D．参考答案：D【考点】7F：基本不等式．【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项，正负不定，不能满足最小值是，故错误；选项，，当且仅当，即时取等号，但，故错误；选项，∵，∴，∴，当且仅当，即时取等号，但，取不到，故错误；选项，，当且仅当即时取等号，故正确．故选：．10. 若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0]上满足＜0，且f（1）=0，则使得＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣1，1）参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得奇函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，f（1）=0，f（﹣1）=0，可得函数f（x）的单调性示意图，数形结合求得使＜0的x的取值范围．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0]上满足＜0，故函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减．∵f（1）=0，∴f（﹣1）=0，故函数f（x）的单调性示意图，如图所示：则由＜0，可得①，或②．解①求得x＞1，解②求得x＜﹣1，故不等式的解集为{x|x＞1，或 x＜﹣1}，故选：B．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设是两个不重合的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：（1）若∥，∥，则∥（2）若∥，，则∥（3）若则（4）若∥∥，则，其中正确的有（只填序号）参考答案： （2）（4）12. 若等比数列的前项和为，且，则= ．参考答案：13. 将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于 .参考答案： 6014. 在△ABC 中，给出如下命题:①O 是△ABC 所在平面内一定点，且满足，则O 是△ABC 的垂心； ②O 是△ABC 所在平面内一定点，动点P 满足，，则动点P 一定过△ABC 的重心；③O 是△ABC 内一定点，且，则；④若且，则△ABC 为等边三角形，其中正确的命题为_____（将所有正确命题的序号都填上）参考答案：①②④． 【分析】①:运用已知的式子进行合理的变形，可以得到，进而得到，再次运用等式同样可以得到,，这样可以证明出是的垂心；②：运用平面向量的减法的运算法则、加法的几何意义，结合平面向量共线定理，可以证明本命题是真命题；③：运用平面向量的加法的几何意义以及平面向量共线定理，结合面积公式，可证明出本结论是错误的；④：运用平面向量的加法几何意义和平面向量的数量积的定义，可以证明出本结论是正确的. 【详解】①:，同理可得：,，所以本命题是真命题；②: ，设的中点为，所以有，因此动点一定过的重心，故本命题是真命题； ③: 由，可得设的中点为，,,故本命题是假命题；④: 由可知角的平分线垂直于底边，故是等腰三角形，由可知：，所以是等边三角形，故本命题是真命题，因此正确的命题为①②④.【点睛】本题考查了平面向量的加法的几何意义和平面向量数量积的运算，考查了数形结合思想. 15. 如图, 在直角坐标系中,锐角内接于单位圆, 已知平行于轴, 且,记 , 则.参考答案：16. 已知，则___________.参考答案：17. 等比数列中，，则的值为参考答案： -4三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021度湖北省荆州市部分重点高中元月调研考试数学试题
2020—2021学年度湖北省荆州市部分重点高中高二年级上学期元月调研考试数学试题一、选择题（一）：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、直线01150cos 30sin :=++y x l 的斜率是（ ） A.33 B.3 C.3- D.33-2、已知直线012:1=-+ay x l 与01)12(:2=---ay x a l 平行，则a 的值是（ ）A.0或1B.0或41 C.1或41 D.413、位于德国东部萨克森州的莱克勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为m 5，跨径为m 12，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A.m 1225 B.m 625C.m 59 D.m 518 4、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为35，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为12，则椭圆短轴长为（ ） A.8 B.6 C.5 D.45、中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地。
”问该人第四天走的路程为（ ） A.48里 B.24里 C.12里 D.6里6、若圆)0(222>=+r r y x 上恒有2个点到直线02:=--y x l 的距离为1，则实数r 的取值范围是（ ）A.),12(+∞+B.)12,12(+-C.)12,0(-D.)12,0(+7、已知数列}{n a 是等比数列，数列}{n b 是等差数列，若π7,3311611062=++=⋅⋅b b b a a a ，则931021tana ab b ⋅-+的值是（ ）A.1B.22 C.22- D.3- 8、若双曲线)0(1222>=-a y a x 的一条渐近线方程为x y 21-=，则其离心率为（ ） A.23 B.25C.2D.3二、选择题（二）：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆州中学2020-2021学年高一上学期9月月考数学试题 答案和解析
湖北省荆州中学【最新】高一上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合U ={1，2，3，4，5，6}，S ={1，4，5}，T ={2，3，4}，则S ∩（∁U T ）等于（ ） A ．{1，4，5，6} B ．{1，5}C ．{4}D ．{1，2，3，4，5}2．已知函数()y f x =，则该函数与直线x a =的交点个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．无数个D ．至多一个3．已知2,0()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则44()()33f f +-的值等于（ ）A ．2-B ．4C ．2D ．4-4．已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（ ） A ．3,1xyB ．()3,1-C ．{}31，-D ．3,15．函数1()3f x x =+的定义域为（ ） A ．(3,0]- B ．(3,1]- C ．(,3)(3,0]-∞--D ．(,3)(3,1]-∞--6．已知()f x 的定义域为[1,5]-，则(25)f x +的定义域为（ ）A ．[1,5]-B ．[3,15]C ．[3,0]-D ．[0,3]7．已知()224f x x x -=-，那么()f x = ( ) A ．284x x --B ．24x x --C ．28x x +D ．24x -8．如果奇函数()f x 在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则()f x 在区间[-8，-2]上是（ ）A ．增函数且最小值为6-B ．增函数且最大值为6-C ．减函数且最小值为6-D ．减函数且最大值为6-9．已知函数2()1xf x a x =≥-在区间[3，5]上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．3B ．13C ．25D ．5210．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是A ．0B ．1C ．2D ．311．已知定义域为R 的函数()y f x =在()0,4上是减函数, 又()4y f x =+是偶函数, 则( )A ．()()()257f f f <<B ．()()()527f f f <<C ．()()()725f f f <<D ．()()()752f f f <<12．已知奇函数()f x 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[1,0(0,1]-⋃，则不等式()()1f x f x -->-的解集（ ）A ．1|02x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭B ．{|11x x -≤≤且0}x ≠C ．1|12x x ⎧-≤<-⎨⎩或01}x < D ．{|10x x -≤<或112x <}二、填空题13．若不等式210kx kx --<对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是_______.14． 设函数f (x )＝(1)()x x a x++为奇函数，则a ＝________.15．函数y =______.三、双空题16．甲乙两地相距500km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度v 不能超过120km/h.已知汽车每．小时运输成本为29360250v +元,则全程运输成本与速度的函数关系是y =______,当汽车的行驶速度为______km/h 时,全程运输成本最小.四、解答题17．设集合{}33A x a x a =-<<+，{|1B x x =<-或}3x >. （1）若3a =，求AB ；（2）若A B =R ，求实数a 的取值范围.18．设函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x >时，2()331f x x x =-+-，求()f x 在R 上的解析式.19．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：某人在此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元.（1）写出y 关于x 的解析式. (2) 若y=30，求此人购物实际所付金额． 20．已知函数2()2(1)f x x a x a =+-+. （1）当1a =-时，求()f x 在[3,3]-上的值域； （2）求()f x 在区间[3,3]-上的最小值.21．规定[]t 为不超过t 的最大整数，例如[12.6]12=，[ 3.5]4-=-.对任意实数x ，令1()[4]f x x =，()4[4]g x x x =-，进一步令21()(())f x f g x =.（1）分别求1716f ⎛⎫⎪⎝⎭和2716f ⎛⎫⎪⎝⎭； （2）求x 的取值范围，使它同时满足1()1f x =，2()3f x =. 22．已知()21ax bf x x +=+是定义在()-1,1上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并证明你的结论； （3）解不等式 ()()220f t f t -+<.参考答案1．B 【分析】由集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4T =，由补集的运算有{}1,5,6U C T =,又{}1,4,5S =，再结合交集的运算即可得解. 【详解】解：因为集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4T =， 所以{}1,5,6U C T =,又{}1,4,5S =， 所以{}()1,5U S C T ⋂=, 故选B. 【点睛】本题考查了补集，交集的运算，重点考查了对交集、补集概念的理解能力，属基础题. 2．D 【解析】试题分析：此题出得巧，此时无形胜有形，充分检验了学生对函数概念的掌握情况，根据函数的概念在定义域范围内任意的一个自变量x 都有唯一的函数值对应，直线x a =与函数()y f x =的图像最多只有一个交点，从而得出正确的答案是D.考点：1.函数的概念；2.函数图像. 3．B 【详解】2,0()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩,448()2333f ∴=⨯=，44112()(1)()(1)()33333f f f f f ∴-=-+=-=-+=24233=⨯=，4484()()43333f f ∴+-=+=，故选B.考点：分段函数. 4．D【分析】解对应方程组，即得结果 【详解】由2,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得3,1x y =⎧⎨=-⎩所以(){}3,1M N ⋂=-，选D. 【点睛】本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．C 【分析】直接利用负数不能开偶次方根和分母不能为零求解. 【详解】 因为030x x -≥⎧⎨+≠⎩，所以0x ≤且3x ≠-，所以函数1()3f x x =+的定义域为(,3)(3,0]-∞--， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 6．C 【分析】根据()f x 的定义域为[1-，5]即可得出：要使得(25)f x +有意义，则需满足1255x -+，解出x 的范围即可． 【详解】()f x 的定义域为[1-，5]，∴要使(25)f x +有意义，则1255x -+，解得30x -，(25)f x ∴+的定义域为[3-，0]．故选：C ． 【点睛】本题考查抽象函数定义域的求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意形如[()]f g x 复合函数的求解原则. 7．D 【解析】因为()224f x x x -=-=()224x --,则()24f x x =-,故选D.点睛: 本题考查函数的表示方法,属于基础题目.求函数解析式的一般方法主要有:待定系数法,配凑法,换元法,构造方程组法,赋值法等.已知函数类型时,比如一次函数,二次函数,反比例函数以及指数函数或者对数函数时,往往使用待定系数法设出函数的表达式,再利用已知条件带入求出参数的值. 8．D 【分析】由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，()f x 在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即()86f =，且()6f x ≥，又由()f x 为奇函数， 则()f x 在区间[-8，-2]上是减函数，且()86f -=-，则有()6f x ≤-， 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题． 9．D 【分析】根据题意需求出()f x 的最小值，利用分离常数的方法分析函数的单调性，即可求解. 【详解】因为22(1)22()2111x x f x x x x -+===+---，所以函数()f x 在[]3,5上单调递减，函数()f x 的最小值为5(5)2f =，所以52a ≤, a 的最大值是52.故选D. 【点睛】本题主要考查根据函数恒成立求参数，利用函数的单调性求最值，考查逻辑推理和运算求解能力，属于中档题. 10．C 【详解】2541()2222x x f x x x x-+==+-≥--，所以选C.11．B 【分析】根据条件将自变量转化到()0,4上，再根据单调性判断大小 【详解】因为()4y f x =+是偶函数,所以()()44f x f x +=-+ 因此()()5(3),7(1)f f f f ==，因为()y f x =在()0,4上是减函数,所以()()()321,f f f <<()()()527f f f <<，选B 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查基本分析判断能力，属基础题. 12．C 【分析】由奇函数的定义可得，不等式即1(2)f x >-，结合图象求出它的解集． 【详解】由题意可得，不等式()()1f x f x -->-，即()()1()1f x f x f x >--=--，即2()1f x >-，即1(2)f x >-，结合图象可得112x -<-或01x <. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查奇函数的定义，利用函数图象解不等式，求得不等式即1(2)f x >-，是解题的关键，属于基础题． 13．-4<k ≤0 【分析】对不等式的最高次项的系数进行分类讨论进行求解即可. 【详解】当0k =时，原不等式变为10-<，显然对一切实数x 都成立；当0k ≠时，要想不等式210kx kx --<对一切实数x 都成立，则满足：k 0<且2()40k k ∆=-+<，解得40k -<<，综上所述：实数k 的取值范围是40k -<≤. 【点睛】本题考查了已知不等式恒成立求参数问题.考查了分类讨论思想. 14．1- 【详解】 因为函数f (x )＝(1)()x x a x++为奇函数，(11)(1)(11)(1)(1)=(1), 1.11a a f f a ++-+-+∴=--=∴=-经检验符合题意.故答案为1-. 15．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题意首先确定函数的定义域，然后结合复合函数的单调性法则即可确定所给函数的单调递增区间. 【详解】函数有意义，则：260x x -++≥，解得：23x -≤≤， 令()26u x x x =-++，则()u x 在区间12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数y =由复合函数同增异减的法则可得，函数的单调递增区间为：12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，复合函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16．18000018y v v=+(0120)v <≤ 100 【分析】由已知可得汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为500v，结合汽车每小时运输成本为29360250v +元，可得全程运输成本与速度的函数关系式，再由基本不等式可得100v =时，y 取最小值.【详解】甲乙两地相距500km ，故汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为500v， 又由汽车每小时运输成本为29360250v +元， 则全程运输成本与速度的函数关系是()25009180000360180120250y v v v v v ⎛⎫=⋅+=+<≤ ⎪⎝⎭，由基本不等式得180000183600v v +≥=， 当且仅当18000018v v+，即100v =时，取最小值, 故答案为()180000180120y v v v=+<≤，100.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.17．（1）{|1x x <-或}0x >；（2）()0,2. 【分析】（1）先求出集合A ，再求A ∪B ；（2）根据A B =R 得到31,33,a a -<-⎧⎨+>⎩解不等式组即得解. 【详解】（1）若3a =，则{}06A x x =<<，故{|1A B x x ⋃=<-或}0x >. （2）若A B =R ，则31,33,a a -<-⎧⎨+>⎩解得02a <<.∴实数a 的取值范围为()0,2.【点睛】本题主要考查集合的补集运算和根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的解掌握水平和分析推理能力.18．22331,0()0,0331,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪-+->⎩【分析】设0x <，则0x ->，再利用奇函数的定义得到()f x 的解析式，再将函数写成分段函数的形式.【详解】设0x <，则0x ->，22()3()3()1331f x x x x x ∴-=--+--=--- ()f x 是奇函数，2()()331f x f x x x ∴=--=++，又()f x 是R 上的奇函数，(0)0f ∴=，22331,0,()0,0,331,0.x x x f x x x x x ⎧++<⎪∴==⎨⎪-+->⎩【点睛】本题考查分段函数的奇偶性及解析式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19．（1）（2）x="1350 "【解析】解：（1）由题可知： ………6分（2）∵y=30＞25∴x ＞1300∴ 10℅(x -1300)+25="30 " 解得，x="1350 " ………12分20．（1）[5,20]-；（2）2min 73,2,()31,24,155, 4.a a f x a a a a a +≤-⎧⎪=-+--<<⎨⎪-≥⎩【分析】（1）当1a =-时，判断函数在区间[3,3]-的单调性，从而求得最值；（2）函数()f x 的对称轴为1x a =-，讨论对称轴与区间的位置关系，分别求得最小值，最后将函数的最小值写成分段函数的形式.【详解】（1）当1a =-时，2()41f x x x =--，()f x ∴的对称轴为2x =，()f x ∴在[3,2]-上单调递减，在(2,3]上单调递增，min ()(2)5f x f ∴==-，又(3)20f -=，(3)4f =-，()f x ∴在[3,3]-上的值域为[5,20]- .（2）函数()f x 的对称轴为1x a =-，①当13a -≤-，即4a ≥时，()f x 在[3,3]-上单调递增，min ()(3)155f x f a ∴=-=-；②当313a -<-<，即24a -<<时，∴()f x 在[3,1]a --上单调递减，在(1,3]a -上单调递增，2min ()(1)31f x f a a a ∴=-=-+-③当13-≥a ，即2a ≤-时，()f x 在[3,3]-上单调递减，min ()(3)73f x f a ∴==+ 综上所述，2min 73,2,()31,24,155, 4.a a f x a a a a a +≤-⎧⎪=-+--<<⎨⎪-≥⎩【点睛】本题考查一元二次函数的图象和性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对区间与对称轴位置关系的讨论. 21．（1）34，3；（2）71162⎡⎫⋅⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）直接利用题目信息的要求求出函数的值；（2）利用已知，1()[4]1f x x ==，()4[4]41g x x x x =-=-，又21()(41)[164]3f x f x x =-=-=，根据规定[]t 为不超过t 的最大整数，可得不等式组，解出即为x 的取值范围.【详解】（1）∵当716x =时，744x =， 1771164f ⎛⎫⎡⎤∴== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，777316444g ⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 211773[3]316164f f g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）1()[4]1f x x ==，()4[4]41g x x x x =-=-，21()(41)[164]3f x f x x ∴=-=-=.142,31644,x x <⎧∴⎨-<⎩解得71162x <.故满足题意的x 的取值范围为71162⎡⎫⋅⎪⎢⎣⎭. 【点睛】 本题为创新题，考查函数与方程的综合运用，解题的关键在于对题目中新定义、新概念的理解和应用，例如本题中若[]x a =，则必有+1a x a ≤<成立，属于较难题.22．（1）()21x f x x =+；（2）()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析；（3）12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得()00f b ==，又由1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得a 的值，代入函数的解析式即可得答案；（2）设1211x x -<<<，由作差法分析()1f x 与()2f x 的大小关系，结合函数单调性的定义，即可得结论； （3）利用函数的奇偶性以及单调性，可以将()()220f t f t -+<转化为22122111t t t t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解可得t 的取值范围，即可得答案．【详解】（1）∵()f x 是()1,1-上的奇函数，∴()00f b ==，∴()21ax f x x =+， 又∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2225112a=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴()21x f x x =+；（2）()f x 在()1,1-上单调递增，证明：任意取()12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， ∵1211x x -<<<，∴120x x -<，1210x x ->，2110x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在()1,1-上单调递增；（3）∵()()220f t f t -+<，∴()()22f t f t -<-，易知()f x 是()1,1-上的奇函数，∴()()f t f t -=-，∴()()22f t f t -<-，又由（2）知()f x 是()1,1-上的增函数，∴22122111t t t t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩， 解得1223t <<， ∴不等式的解集为12,23⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力．。
2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期元月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期元月月考数学试题一、单选题1．sin 454cos176+的值为（ ） A ．sin 4 B ．cos 4C ．0D ．2sin 4【答案】C【分析】利用诱导公式化简计算. 【详解】sin 454cos176sin(36094)cos(1804)sin(904)cos4cos4cos40+=++-=+-=-= 故选：C.2．已知集合{}220|A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ） A ．{}1,1- B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．∅【答案】B【分析】因为集合A 仅有两个子集,可知集合A 仅有一个元素.对m 分类讨论,即可求得m 的值.【详解】由集合A 仅有两个子集 可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =,此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集 当0m ≠时,方程220mx x m -+=有两个相等的实数根,则()22240m ∆=--=,解得1m =或1m =-,代入可解得集合{}1A =或{}1A =-.满足集合A 仅有两个子集综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1-故选:B【点睛】本题考查了集合的元素的特征,子集个数的计算,属于基础题.3．已知命题：命题:1p x +1≥；命题:q x a ，且p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围A ．2a <-B ．2a ≤-C ．0a <D ．0a ≤【答案】B【详解】命题:1p x +1≥，解得0x ≥或2x -≤，命题:q x a ，因为 p 是q 的必要不充分条件，所以(](],,2a -∞⊆-∞- ，2∴≤-a ，故选B. 4．函数2()2|cos |cos 3f x x x =+-在区间[0,2]π内的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】分[0,]2x π∈，[,]2x ππ∈，3[,]2x ππ∈，3[,2]2x ππ∈，结合余弦函数的单调性求解.【详解】当[0,]2x π∈时，2()3cos 3f x x =-，令()0f x =得2cos 9x =， 因为cos y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()0f x =有一解；当[,]2x ππ∈时，2()cos 3f x x =--，令()0f x =得2cos 3x =-， 因为cos y x =在[,]2ππ上递减，所以()0f x =有一解；当3[,]2x ππ∈时，2()cos 3f x x =--，令()0f x =得2cos 3x =-，因为cos y x =在3[,]2ππ上递增，所以()0f x =有一解； 当3[,2]2x ππ∈时，2()3cos 3f x x =-，令()0f x =得2cos 9x =，因为cos y x =在3[,2]2ππ上递增，所以()0f x =有一解；综上：函数()f x 在区间[0,2]π内的有4个零点， 故选：D5．已知函数()cos(sin )f x x =，()sin(cos )g x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]- B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数C ．()f x 的值域为[cos1,1]，()g x 的值域为[sin1,sin1]-D ．()f x 与()g x 都不是周期函数 【答案】C【分析】根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可． 【详解】A ．()f x 与()g x 的定义域都是R ，故A 错误，B ．()cos(sin())cos(sin )cos(sin )()f x x x x f x -=-=-==，则()f x 是偶函数，故B 错误，C ．1sin 1x -，1cos 1x -，()f x ∴的值域为[cos1，1]，()g x 的值域[sin1-，sin1]，故C 正确，D ．(2)cos(sin(2))cos(sin )()f x x x f x ππ+=+==则()f x 是周期函数，故D 错误，故选C ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合复合函数性质之间的关系，利用三角函数的单调性，奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键． 6．将函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是 A ．函数()g x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象关于直线6x π=对称D ．函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D【分析】由三角函数图像的平移变换及伸缩变换可得()sin()6g x x π=-，再结合三角函数的周期、单调区间、对称轴、对称点的求法求解即可.【详解】解：将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，所得图像的解析式为 sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则()sin()6g x x π=-，令6x k ππ-=，则6x k ππ=+，即函数()g x 的图象关于点,06k ππ⎛+⎫⎪⎝⎭，k Z ∈对称,即A 错误； 令62x k πππ-=+，则23x k ππ=+，即函数()g x 的图象关于直线23x k ππ=+，k Z ∈对称,及C 错误；由221T ππ==，即C 错误； 令 22262k x k πππππ-≤-≤+，得22233k x k ππππ-≤≤+，即函数()g x 的单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 正确， 故选D.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.7．已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]【答案】A【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈， ∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈， 0ω>，1524ω∴≤≤．故A 正确．【解析】三角函数单调性．8．已知()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程()3f x a -=在区间(]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．01a <≤ B ．1a <C ．01a <<D ．1a ≥【答案】A【分析】根据函数()f x 的定义域和单调函数，可得必存在唯一的正实数m 满足13()log f x x m +=，()4f m ∴=，结合13()log f m m m +=，可得3m =，所以函数13()3log f x x =-，由方程()3f x a -=在区间(0,3]上有两解，则13log x a =在区间(0,3]上有两解，设()13log g x x =，作出函数()g x 在(0,3]上的图象， 结合图象，可得实数a 的取值范围.【详解】解:因为函数()f x 是定义域为(0,)+∞的单调函数，对于任意的(0,)x ∈+∞， 都有13[()log ]4f f x x +=，所以必存在唯一的正实数m 满足13()log f x x m +=，()4f m ∴=，所以13()log f m m m +=，可得134log m m +=，即13log 4m m =-，所以3m =，所以13()log 3f x x +=，所以函数13()3log f x x =-，由方程()3f x a -=在区间(0,3]上有两解，则13log x a =在区间(0,3]上有两解，设()13log g x x =，作出函数()g x 在(0,3]上的图象，如图所示，结合图象，可得方程()3f x a -=在区间(0,3]上有两解， 实数a 满足01a <≤. 故选:A【点睛】本题考查了对数函数的运算性质及对数函数的图象与性质的综合应用，综合性强，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理进行等价转化，本题的解答中根据13[()log ]4f f x x +=，等价转换求得函数()f x 的解析式是解答的关键.二、多选题9．下列结论中正确的是（ ）A ．终边经过点()()0a a a ≠，的角的集合是4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭， B ．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是3πC ．若α是第三象限角，则2α是第二象限角，2α为第一或第二象限角 D ．{}4590M x x k k Z ==+⋅∈，，{}9045N y y k k Z ==+⋅∈，，则M N【答案】ABD【分析】根据角的终边位置判断A ；根据角的定义判断B ；利用特殊值判断C ；根据集合间的包含关系判断D ．【详解】对于选项A ：终边经过点(a ，)(0)a a ≠的角在第一和第三象限的角平分线上，故角的集合是,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭， 正确； 对于选项B ：将表的分针拨慢10分钟，按逆时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是3π， 正确；对于选项C ：若2252450αα，2α既不是第一象限角又不是第二象限角，错误；对于选项D ：{|4590M x x k ==︒+⨯︒，()}{|2145}k Z x x k k Z ∈==+⨯∈，，而()2145k k Z +⨯∈，表示45的奇数倍，{|9045N y y k ==︒+⨯︒，()}{|245}k Z y y k k Z ∈==+⨯∈，，而()245k k Z +⨯∈，表示45的整数倍，所以MN ，正确．故选：ABD.10．下列说法正确的是（ ）A ．若α，β都是第一象限角且αβ>，则sin sin αβ>；B ．1312tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； C ．cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为132⎡⎢⎣⎦； D ．已知()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中,,,a b αβ都是非零实数.若()20201f =-，则()20211f =.【答案】BD【分析】利用反例当390α=，30β=可知A 错误；利用诱导公式化简得13tan tan 44ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，122tan tan 55ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，根据tan y x =的单调性可确定大小关系，知B 正确； 利用x 的范围可求得2x π-的范围，结合余弦函数性质可求得值域，知C 错误；利用诱导公式可化简得到()()202120201f f =-=，知D 正确.【详解】对于A ，当390α=，30β=时，,αβ均为第一象限角且αβ>，此时sin sin αβ=，A 错误；对于B ，1313tan tan tan 3tan 4444πππππ⎛⎫⎛⎫-=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1212tan tan 55ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭22tan 2tan 55πππ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭， tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，2tan tan 54ππ∴>，2tan tan 54ππ∴-<-， 即1312tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确； 对于C ，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,263x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1cos ,122x π⎛⎫⎡⎤∴-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，cos 2y x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C 错误； 对于D ，()()()2020sin 2020cos 2020sin cos 1f a b a b παπβαβ=+++=+=-， ()()()()2021sin 2021cos 2021sin cos 1f a b a b παπβαβ∴=+++=-+=，D 正确. 故选：BD.【点睛】易错点点睛：本题考查三角函数部分知识的综合应用，涉及到诱导公式的应用、利用正切函数的单调性比较大小、余弦型函数值域的求解等知识；对于A 选项，易错点是忽略三角函数的周期性；对于C 选项，易错点是忽略余弦函数在区间内的单调性，造成值域求解错误.11．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为{}12x x x x <<，则（ ）A ．12120x x x x ++<的解集为403a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1212x x x x ++的最小值为43- C ．1212a x x x x ++的最大值为 D ．1212a x x x x ++【答案】ABC【分析】根据不等式()224300x ax a a -+<<的解集为{}12x x x x <<，利用根与系数的关系，得到2123x x a =，124x x a +=，然后逐项判断.【详解】∵不等式()224300x ax a a -+<<的解集为{}12x x x x <<， 根据根与系数的关系，可得2123x x a =，124x x a +=，则12120x x x x ++<可化为2340a a +<，解得403a -<<，∴A 正确； 221212244343333x x x x a a a ⎛⎫++=+=+-≥- ⎪⎝⎭，∴B 正确；1212143a x x a x x a ++=+，∵0a <，∴1433a a --≥=， 当且仅当143a a -=-，即a =即143a a +≤，故1212a x x x x ++的最大值为，∴C 正确，D 错误． 故选：ABC12．已知函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭(0a >且)1a ≠只有一个零点，则实数m 可能的取值为（ ） A ．1m ≤- B ．12m =-C ．2m ≥D ．0m =【答案】ABD【分析】利用对数的性质将等式变形为()21220mx m x +--=有唯一解，且需保证220,210mx m x+>++>，结合二次函数的性质分别讨论0m =，0m ≠有唯一解的情况，检验是否满足定义域大于0即可得出结果.【详解】解：()()22log 2log 21log 221a a amx f x mx m x m x+⎛⎫=+-++= ⎪⎝⎭++，因为()0f x =有唯一解，则21221mx m x+=++有唯一解，且220,210mx m x+>++> 即2221mx m x+=++，等价于()21220mx m x +--= 当0m =时，2x =，代入220,210mx m x+>++>成立，所以0m =成立；当0m ≠时，若0∆=，则()21280m m -+=，解得12m =-，2x =，代入检验成立，所以12m =-成立；若0∆≠，()()()2122210mx m x x mx +--=-+=，2x =或1x m=-，当1x m =-时，1210m m ⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭且()21210m m ++-=>，则1x m =-为()0f x =的解，所以2x =不是()0f x =的解，即220m +≤或2110m ++≤，解得：1m ≤-. 故选：ABD.【点睛】易错点睛：（1）方程20ax bx c ++=，不一定为二次函数，需讨论a 是否为0； （2）用∆判断根的个数问题，仅适用于二次函数，非二次函数不可用.三、填空题13．若22cos()sin ()1sin()cos ()2πααπαα+-=+-，则tan α=________.【答案】12【分析】利用诱导公式化简即得解.【详解】由题得221cos sin sin tan 2sin cos cos ααααααα-===-. 故答案为：1214．如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为____________.【答案】{}105|180+30180,n n n αα⋅︒︒⋅∈+<︒︒Z【分析】首先确定0360范围内角α的范围，根据终边相同角的定义可求得满足题意的角α的范围. 【详解】在0360范围内，终边落在阴影内的角α满足：30105α<<或210285α<<∴满足题意的角α为：{}{}30360105360210360285360k k k k αααα+⋅≤<+⋅⋃+⋅≤<+⋅{}{}302180105218021021802852180k k k k αααα=+⋅≤<+⋅⋃+⋅≤<+⋅{}()(){}3021801052180302118010521180k k k k αααα=+⋅≤<+⋅⋃++⋅≤<++⋅{}30180105180n n αα=+⋅≤<+⋅，k Z ∈，n Z ∈本题正确结果：{}30180105180,n n n Z αα+⋅≤<+⋅∈【点睛】本题考查根据终边位置确定角所处的范围，重点考查了终边相同的角的定义，属于基础题.15．我国南宋数学家秦九留撰写的名著《数书九章》第五卷提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长，求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =---p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为“海伦—秦九韶”公式，现有一个三角形的边长满足4c =，6p ，则三角形面积的最大值为________. 【答案】43【分析】根据题意,求得+a b 的值,结合三角形的面积公式,由基本不等式即可求得面积的最大值.【详解】因为4c =,162p a b c所以1248a b +=-=而S=(6)(6)2a b -+-=而由基本不等式可知()(6)(6)122a b a b -+-=-+=⎡⎤⎣⎦所以S ≤当且仅当66a b -=-时取得最大值,此时4a b == 即三角形面积的最大值为故答案为: 【点睛】本题考查了对新定义的理解和应用,基本不等式在求最值中的应用,属于基础题.16．已知函数()ln(x x f x e e x -=-+（其中 2.718e ≈），若对任意的[]1,2x ∈-，2(2)(2)0f x f ax ++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是________________. 【答案】32⎡-⎢⎣ 【分析】判断函数f （x ）是R 上的奇函数，且是增函数；把f （x 2+2）+f （﹣2ax ）≥0恒成立化为x 2+2≥2ax 恒成立，设g （x ）=x 2﹣2ax+2，利用二次函数的图象与性质，即可求出实数a 的取值范围．【详解】函数()(xxf x e eln x -=-+（其中e≈2.718），x ∈R ；且f （﹣x ）=e ﹣x ﹣ex +ln （﹣）=﹣（e x ﹣e ﹣x ）﹣ln （）=﹣f （x ）， ∴f （x ）是R 上的奇函数，又f′（x ）=e x +e ﹣x0恒成立，∴f （x ）是定义域R 上的单调增函数；若对任意的x ∈[﹣1，2]，f （x 2+2）+f （﹣2ax ）≥0恒成立， ∴f （x 2+2）≥﹣f （﹣2ax ）恒成立， ∴f （x 2+2）≥f （2ax ）恒成立， ∴x 2+2≥2ax 恒成立，即x 2﹣2ax+2≥0在x ∈[﹣1，2]上恒成立；设g （x ）=x 2﹣2ax+2，其对称轴为x=a ，且开口向上；应满足()111220a g a -⎧⎨-=++≥⎩＜或()224420a g a ⎧⎨=-+≥⎩＞或()2212220a g a a a -≤≤⎧⎨=-+≥⎩； 解得﹣32≤a ＜-1或∅或﹣∴实数a 的取值范围是﹣32故答案为﹣32【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了分类讨论与转化思想的应用问题，是综合性题目．四、解答题17．已知点()1,P t 在角θ的终边上，且sin 3θ=-， （1）求t 和cos θ的值；(2)求()()sin sin 23sin cos cos 2πθθπθπθπθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）? cos t θ==； （2）1-. 【分析】(1)解方程sin θ==即得t 的值，再利用平方关系求cos θ.(2)用诱导公式化简再代入sin θ和cos θ的值求解. 【详解】（1）由已知r op ==，所以sin 3θ==-解得t =，故θ为第四象限角，cos θ==（2）()()sin sin 23sin cos cos 2πθθπθπθπθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭()3sin cos 1θθ-=-.【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义和同角的平方关系，考查诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成,2k k z πα+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角2k πα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“-”，就加在前面）.用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间00(0,360)的角，再变到区间00(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算.18．设关于x 的不等式2(2)0x b x c -++<的解集为{}|23x x <<. （1）设不等式2(1)0bx c x c -+->的解集为A ，集合[2,2)B =-，求AB ；（2）若1x >，求21x bx cx -+-的最小值.【答案】（1）2[2,)3A B ⋂=--（2）最小值为3【详解】试题分析：（1）由不等式()220x b x c -++<的解集为{|23}x x <<可知2,3是方程得根，由韦达定理即可得结果3{6b c ==，代入不等式()210bx c x c -+->可得解集A ，再求A B ⋂（2）可先将原式21x bx cx -+-化为()4111x x -+--再借助基本不等式求解即可 试题解析：解：∵关于x 的不等式()220x b x c -++<的解集为{|23}x x <<∴232{23b c+=+⨯=，解得3{6b c ==.（1）不等式()210bx c x c -+->可化为23760x x -->由23760x x -->得23x <-或3x >，即()2,3,3A ⎛⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭∵[)2,2B =-，∴22,3A B ⎡⎫⋂=--⎪⎢⎣⎭（2）∵1x >，∴10x ->则223611x bx c x x x x -+-+=-- ()()21141x x x ---+=-()4114131x x =-+-≥-=- 当且仅当3x =时等号成立即2361x x x -+-的最小值为319．（Ⅰ）已知a +a －1＝3，求3344a a a a--+-的值； （Ⅱ）化简计算：233(lg5)lg 2lg50(lg 2)3lg 2lg5(lg5)+⨯+⨯+．【答案】（I ） （II ）1 【分析】（I ）利用配方法，求得22a a -+的值，将1a a --两边平方化简后，求得1a a --=.（2）利用对数的运算公式，将lg50化为lg22lg5+并代回原式，合并同类项后化简，可求得最终结果.【详解】（I ）()222127a a a a --+=+-=，()212225a a a a ---=+-=3344a a a a --+-＝()()()()()12211221a a a a a a a a a a -----++-+-+ ＝()()221221a a a a a a ---+--+＝()167a a --＝（II ）()()()233lg5lg2lg50lg23lg2lg5lg5+⨯+⨯+＝()()()()()222lg5lg2lg22lg5lg2lg5lg2lg2lg5lg53lg2lg5++⎡⎤+-⨯++⨯⎣⎦ ＝()()22lg5lg2lg2lg5++＝1 【点睛】本小题主要考查指数的运算，考查对数的运算，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力，属于中档题.20．已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0>ω，且()f x 的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程()f x m =有唯一实根，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）15,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）[{2}⋃.【分析】（1）根据()f x 的最小正周期为π，由2T ππω==，求得函数的解析式，再利用正弦函数的性质求解；（2）由（1）得到函数的单调性和最值，画出函数的图象，根据方程()f x m =有唯一实根，利用数形结合法求解.【详解】（1）因为()f x 的最小正周期为π. 所以2T ππω==，解得2ω=， 由222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈解得1212k x k π5ππ-≤≤π+，k Z ∈所以函数的单调递增区间为15,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由（1）得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，又(0)2sin 33⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f π， 552sin 22sin 2121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2sin 23223f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，如图所示：由图象知：若方程()f x m =有唯一实根，则33m -≤<2m =，所以m 的取值范围为[3,3){2}-⋃.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 21．已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-. （1）当m 取何值时，函数的图象与x 轴有交点；（2）如果函数至少有一个零点在原点的右侧，求m 的值. 【答案】（1）1m ；（2）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）当10m +=时，一次方程有一个根，当10m +≠时，方程有根只需0∆≥；（2）【详解】解：（1）当10m +=时，()43f x x =--，与x 轴有一个交点，所以1m =-成立；当10m +≠时，若与x 轴有交点，只需：2168(1)(21)0m m m ∆=-+-≥得1m 且1m ≠-，所以当1m 时，函数()f x 的图象与x 轴有交点.（2）当1m =-时，则()43f x x =--，从而由430x --=得304x =-<， ∴函数的零点不在原点的右侧，1m =-不成立；当1m ≠-时，有两种情况：①原点的两侧各有一个，则212168(1)(21)02102(1)m m m m x x m ⎧∆=-+->⎪-⎨=<⎪+⎩，解得112m -<<； ②都在原点的右侧，则21212168(1)(21)0402(1)2102(1)m m m mx x m m x x m ⎧⎪∆=-+-≥⎪⎪+=->⎨+⎪⎪-=>⎪+⎩，解得m φ∈，综①②可得11,2m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.【点睛】易错点睛：二次型函数需讨论最高次项的系数，当最高次项系数为0时，不是二次函数；（2）二次函数有根包括有两个相等的实根以及两个不相等的实根两种情况. 22．已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求实数m 的值.（2）令函数2()()6(1)5f x g x ax x a =-+--，当[]4,5x ∈时，求函数()g x 的最大值. （3）是否存在实数p ，a ，当(),2x p a ∈-时，函数()f x 的值域是()1,+∞，若存在，求出实数p ，a ，若不存在，说明理由.【答案】（1）1m =-；（2）max31625,,14933()1,5432531,05a a a g x a aa a ⎧-+≥≠⎪⎪⎪=+<<⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩；（3）存在1p =，2a =【分析】（1）根据奇函数()()0f x f x 恒成立，化简得1m =±，再验证1m =函数无意义，1m =-符合题意即可；（2）先化简为二次函数，再讨论对称轴与区间端点的关系，即结合单调性求得最大值的情况；（3）先求定义域，讨论区间与(,1)-∞-、(1,)+∞的关系，再结合复合函数判断单调性判断最值，根据已知条件值域为()1,+∞列关系，解方程即得结果. 【详解】解：（1）函数1()log (0,1)1amxf x a a x -=>≠-是奇函数. ()()0f x f x ∴-+=，即11log log 11aa mx mx x x +-=----，即1111mx x x mx---=+-恒成立， 化简得222m x x =恒成立，故21m =，所以1m =±，又1m =时，表达式无意义，所以1m =-，1()log 1axf x x +=-符合题意； （2）2()()6(1)5f x g x ax x a=-+--，1()log 1a x f x x +=-，有1log ()111a x f x x a x a x +-+=-=， 2()61g x ax x ∴=-++，[4,5]x ∈，0a >，1a ≠，二次函数开口向下，对称轴3x a=， ①当34a ≤，即34a ≥时，1a ≠时，函数()g x 在[4,5]上单调递减， 所以max ()(4)1625g x g a ==-+，②当35a≥，即305a <≤时，函数()g x 在[4,5]上单调递增，所以max ()(5)2531g x g a ==-+，③当3354a <<时，函数()g x 在34,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以max 39()1g x g a a⎛⎫==+⎪⎝⎭. 综上①②③，max31625,,14933()1,5432531,05a a a g x a a a a ⎧-+≥≠⎪⎪⎪=+<<⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩；（3）由题设知：函数1()log 1axf x x +=-的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞， ①当21p a <-≤-时，有01a <<，而()l 2og 11a f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，复合函数内外两层均是减函数，故()f x 为增函数，要使其值域为(1,)+∞，知1log 1121a p p a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩(与题设矛盾，无解)；②当12p a ≤≤-时，有3a >，而()l 2og 11a f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，复合函数外层log a y u =是()0,∞+上增函数，内层112u x =+-是(),2x p a ∈-上的减函数，故()f x 为减函数， 要使其值域为(1,)+∞，知11(2)log 13a p a f a a =⎧⎪-⎨-==⎪-⎩，解得1p =，2410a a -+=，即2a =2a =.综上①②知，存在这样的实数p ，a 满足条件，1p =，2a =【点睛】思路点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分四种情况：（1）轴定区间定，（2）轴定区间动，（3）轴动区间定，（4）轴动区间动，这四种情况都需要先判定抛物线开口方向，再按照三个方向来研究最值，对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而利于单调性判断最值.。
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(a
0, a
1)
是奇函数．
(1)求实数 m 的值；
(2)令函数
，当
时，求函数 的最大值；
(3)是否存在实数 ，当
时，函数 的值域是
若存在，求出实数 ；若
不存在，说明理由．
高一数学月考卷·第 4 页 共 4 页
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17.已知点 p(1,t) 在角 的终边上，且 sin = − 6 ． 3
(1)求 t 和 cos 的值；
sin + sin( − )
(2)求
2
cos(
+)
2 − cos
+
3sin(
− ) cos(
+)
2
18.设关于 x 的不等式 x2 − (b + 2)x + c 0 的解集为{x 2 x 3} ．
长，求三角形面积的公式．设三角形的三条边长分别为 a,b, c, 则三角形的面积 S 可由公式 S = p( p − a)( p − b)( p − c) 求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为“海伦-秦九 韶”公式，现有一个三角形的边长满足 c = 4, p = 6 ，则三角形面积的最大值为___________． 16.已知函数 f (x) = ex − e−x + ln(x + x2 + 1) (其中 e 2.718 )，若对任意的 x [−1, 2], f (x2 + 2) + f (−2ax) 0 ，恒成立，则实数 a 的取值范围是___________．
(1)设不等式
的解集为 A，集合
，求 ；
(2)若
，求 x2 − bx + c 的最小值． x −1
高一数学月考卷·第 3 页，共 4 页
19. (1)已知
，求 a3 + a−3 的值； a4 − a−4
(2)化简计算：
(lg 5)2 + lg 2 lg 50 (lg 2)3 + 3lg 2 lg 5 + (lg 5)3
f (2020) = −1 ，则 f (2021) = 1．
11.已知关于 x 的不等式 x2 − 4ax + 3a2 0(a 0) 的解集为{x x1 x x2} ，则( )
A.
x1x2
+
x1
+
x2
0
的解集为
a
−
4 3
a
0
B.
x1x2
+
x1
+
x2
的最小值为
−
4 3
C.
x1
+
x2
+
a x1x2
荆州中学 2020～2021 学年高一上学期元月月考 数学试卷
一、单项选择题（本大题共 8 小题，共 40 分）
1. sin 454 + cos176 的值为（ ）
A. sin 4
B. cos 4
C. 0
D. 2sin 4
2.已知集合
仅有两个子集，则实数 m 的取值构成的集合为（ ）
A. 3.已知命题：命题
B. 0， ；命题
C.
D.
，且 p 是 q 的必要不充分条件，则 a 的取值范围（ ）
A.
B.
C.
D.
4.函数
在区间
内的零点个数是（ ）
A. 1 5.已知函数
B. 2 ，
C. 3
D. 4
，则下列说法正确的是（ ）
A. 与 的定义域都是
B. 为奇函数， 为偶函数
C. 的值域为
， 的值域为
D. 与 都不是周期函数
高一数学月考卷·第 2 页 共 4 页
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13.若
cos( sin(
+ )sin2(− ) + ) cos2(−)
=
1 2
，则
t n
=________．
14.如图所示，终边落在阴影部分的角的集合________________________．
15.我国南宋数学家秦九韶撰写的名著 数书九章 第五卷提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边
在区间
6
,
2 3
上单调递增
7.已知
，函数
在区间
上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A.
1 2
,5 4ຫໍສະໝຸດ B.1 2,
3 4
C.
0,
1 2
D. (0, 2]
8.已知 是定义域为
的单调函数，若对任意的
，都有 f [ f (x) + log1 x] = 4 ，
3
且方程
在区间 上有两解，则实数 a 的取值范围（ ）
的最大值为 −
43 3
D.
x1
+
x2
+
a x1x2
的最小值为
43 3
12.
已知函数
f (x) = loga (mx + 2) − loga (2m +1 +
2 )(a x
0且a
1) 只有一个零点，则实数 m 可能
的取值为______．
A. m −1
B. m = − 1 2
C. m 2
D. m = 0
D.
10.下列说法正确的是（ ）
A. 若 都是第一象限角且
，则
；
，则
．
B. tan(− 13 ) tan(− 12 ) ；
4
5
C.
y
=
cos( 2
−
x)
在区间 [ 6
,
2 3
]
的值域为[ 1 2
,
3]； 2
D. 已知 f (x) = a sin( x + ) + b cos( x + ) ，其中 a, b,, 都是非零实数。若
6.将函数 f (x) = sin(2x + ) 的图象向右平移 ，再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标
6
6
不变）得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数
的图象关于点 (− , 0) 对称 3
B. 函数
的最小正周期为 2
C. 函数
的图象关于直线 x = 对称 6
D. 函数
．
20.已知函数
， ，且 的最小正周期为 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若
，方程
有唯一实根，求实数 m 的取值范围．
21.已知函数 (1)当 m 取何值时，函数的图象与 x 轴有交点； (2)如果函数至少有一个零点在原点的右侧，求 m 的值．
22.已知函数
f
(x)
=
loga
1 − mx x −1
A.
B.
C.
D.
高一数学月考卷·第 1 页，共 4 页
二、不定项选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 9.下列结论中正确的是（ ）
A. 终边经过点
的角的集合是
；
B. 将表的分针拨慢 10 分钟，则分针转过的角的弧度数是 ； 3
C. 若 是第三象限角，则 是第二象限角， 为第一或第二象限角；