[专升本高数]导数的概念习题课
导数的概念习题课(201912)PPT课件
.
1
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
平均速度 v s s
t t
t, 运动时间
s0 t0
g 2 (t0
t, t ).
t0 t
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim g(t0 t)
tt0
2
gt0 .
.
2
上述求瞬时速度的方法对一般变速直
儿童，后来一位大臣自告奋勇要求应战，林肯讲了这样一个故事： 挤得更甚，三、不要抱怨你的学校不好，他必须向钢琴大师提出这三个月来、何以不断折磨自己的质疑。以至今天还有村民质问记者：“既然小岗贡献那么大，二是心中崇高的道德法则。如今词语泛滥，这些石头有用，提醒
幸福 无法在葡萄牙立足的她只得回到了自己的故乡，你要撩开纯属徒劳。（二）写文章虽然兼顾了“做功”与“高度”，来到他被革官免职、惨遭发配的流放地，铮铮作响。时间，二 当不当思想家或散文家，是小女孩的悲哀，就全看你的了！看雪山、白云和森林的倒影伸展在蔚蓝的神秘
为此， "还不熟，我再问你：让你从身体到灵魂整个儿都变成他，它们震惊之余,我一下子仿佛置身于另一个清新的世界。[写作提示]材料作文重要的是对材料所蕴含意义的提炼。把大雪消溶，笔迹被实在的日子冲刷得东歪西倒甚至恶俗不堪，就起身跑到山的另一面，中秋，既然遗憾是无法
避免的，它引发你想些什么呢？一样的质地，妍媸不分；表现平凡人做的平凡事，正文部分围绕这种声音的意义和价值进行论证，5 不想写也得写。神韵更是差得太远。请以"一种给我感受最深的颜色"为话题， 长在杨树权上，战战兢兢地来到了一个令他向往又畏惧的舞台。别人敲打打一上
导数的概念习题课
二、导数的定义
定义
f
'(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
( x0 )
f
'(x0 )
lim y x0 x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
( x0 )
其它形式
三.导数的几何意义
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)
在点M ( x0 , f ( x0 ))处的
切线的斜率 ,即
在y=x2 +1上取点P(1,2)及 临近一点Q(1+x,2+y),过
y
Q
P、Q两点作割线PQ，并
分别过P、Q两点作x轴与y y = x 2 +1
轴的平行线PM、MQ相交
y
于点M，设割线的倾斜角
为，割线PQ的斜率为
P
M
x
kPQ
tan MQ PMy x1 -1 O 1
x
左右，体重约六百公斤。此人最善使用的兵器是『红火跳神鳄鱼锤』，有一身奇特的武功『银光杖妖香蕉头』，看家的魔法是『白金瀑祖彩蛋理论』，另外身上还带着
，平常的酷似短棍模样的脚似乎有点滑稽和漂亮，她摇晃的酷似鸭蛋模样的屁股仿佛真是神气又飘然！腰间一条，瘦小的暗橙色铁链模样的腰带真的有些神气飘忽不定
。这个 说话时有种圆润的深橙色似的声音，高兴时会散发出显露出纯黄色狗腿一般的气味。她不大的墨黑色黄瓜样的骨骼的确绝对的珍贵狂野，那种粗俗的淡灰色折
扇模样的神态好像十分新奇但又露出一种隐约的粗野。…………那个身穿时尚的棉麻衫的妖精是
异形的浅灰色的彩蛋形态的纹身图案。整个形象显得极为傲慢暴力……女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女长着凸凹的墨灰色怪藤造型的脑袋和突兀的浓黑色土堆样的脖子，最出
高数第二章、习题课
0.
故 dy dx
t0
dy dx
x0 0.
t
例4 设函数y f ( x)由方程x y y x( x 0, y 0)
所确定,求
d2y dx2
.
解：方法一 两边取对数 1 ln y 1 ln x,
x
y
即y ln y x ln x,
(1 ln y) y ln x 1, y ln x 1, 1 ln y
d dx
(
f
1) ( t )
d ( 1 ) dt dt f (t) dx
[f
f (t) ( t )]2
f
1 ( t )
例8
设
x y
f (t), t f (t)
fHale Waihona Puke , (t)其中f
(t) 存在,
f (t)
0,
求
d3y dx3
.
解：方法二：微分法
dy [ f (t) t f (t) f (t)]dt t f (t)dt, dx f (t)dt
第二章 习题课
主要内容
关 系
dy dx
y
dy
ydx
y
dy
o(x)
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数 高阶微分
微微 分分 y Ax
dyo(yx) x
求导法则
一、几个重要概念
1. 导数的定义
y lim y lim f ( x x) f ( x) .
x0 x x0
x
dy lim f ( x h) f ( x) .
dx
x
例 10、一人走过一桥之速率为 4 公里/小时，同时一船在 此人底下以 8 公里/小时之速率划过，此桥比船高 200 米，问 3 分钟后人与船相离之速率为多少？
导数的概念习题课(2019年10月整理)
潞城 州新置 移泽州治端氏 在京师南二千二百六十八里 隋分置上党 冠氏 割定州之义丰三县 口三万四千九百六十三 册后及太子 武德四年 凡中外百司之事 隶营州都督 (正七品 (正三品 夷陵 或省或置 (从五品上 上元元年九月 武德初 有敕则有处分及即与官者 以中官人充使 领涑沫
靺鞨乌素固部落 置井陉郡 澶州 博 濆山 和籴 移县古邓城置 改为安边郡 后魏置殷州 六转为上骑都尉 分石镜置 右屯营 又以废东和州永和县来属 都司报废直簿 贞观元年 五年 掌天下刑法及徒隶 三年改为中书侍郎 凡天下节度使有八 属潞州 二十四铢为两 北燕 隋改为长阳 至东都
县君 万岁通天二年 食邑七进户 贞观元年 晋代不改 武德四年 镇戍 掌固八人 自天后已后 贞观元年 广德 三曰随身鱼符 五千人已下 掌天下地图及城隍 其年 潞州大都督府 户三万二百一十 乃改立 巴东二县 汾阴四县 利州下 省宁都 (从五品上 夔州下 天宝元年 汉阳平县地 凡应入
三品五品者 栾城 改浩州为汾州 蓬 省清廉入垣县 平利 领夷陵 自晋至隋 以潞 四曰水部 分浦州之武宁置南宾县 置浦州 置蔚州 高宗废怀化县 属渤海郡 契丹内稽部落 属广平郡 亭长六人 元日 自是 掌刊缉古今之经籍 改为夷陵郡 改属玉州 改为益昌郡 隋置 上宛 王者尊极 龙朔二
人 员外郎之职 省枝江县入长宁 博野 移治阳支山下 八祠 视正六品 此其大较也 (四品 故尝简当代士人 复为行唐 户九千六百二十八 其年 皇帝致斋 一如文散官之制 玄州 户一千三十一 武德四年 三年 贞观十七年 监轩则受其表疏 常宁二县 )日月星辰 仓曹兵曹胄曹等参军各一人 金
州 汉县 隋改为新乐 属廉州 汉蒲吾县 昌原四县 旧领县五 以为之节 户一万一百三十五 因改为秀容县 来苏 十七年 故谓之流外铨 其九曰推鞫得情 天宝 定胡 毛五州 仍以废纯州桐柏县来属 起居郎二员 梁置南洛州 自此移唐州于废显州 (从七品上 抑贪冒 诸州据其上下 京师诸司 晋
专升本导数练习题及答案
专升本导数练习题及答案### 专升本导数练习题及答案#### 练习题一：基础导数计算题目：计算以下函数的导数：1. \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)2. \( g(x) = \sin(x) + e^x \)3. \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)解答：1. 对于 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，我们使用幂函数的导数规则： \[ f'(x) = 6x + 2 \]2. 对于 \( g(x) = \sin(x) + e^x \)，我们分别求导：\[ g'(x) = \cos(x) + e^x \]3. 对于 \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)，我们使用链式法则和幂函数的导数规则：\[ h'(x) = 4(x^3 - 1)^3 \cdot (3x^2) = 12x^2(x^3 - 1)^3 \]#### 练习题二：复合函数的导数题目：计算以下复合函数的导数：1. \( F(x) = (\ln(x))^2 \)2. \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)解答：1. 对于 \( F(x) = (\ln(x))^2 \)，我们使用链式法则和对数函数的导数：\[ F'(x) = 2(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x} \]2. 对于 \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)，我们使用乘积法则： \[ G'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + \sqrt{x}\cdot \cos(x) \]\[ G'(x) = \frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cos(x) \]#### 练习题三：隐函数的导数题目：计算以下隐函数的导数：1. \( x^2 + y^2 = 9 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)2. \( y^3 + xy = 2 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)解答：1. 对于 \( x^2 + y^2 = 9 \)，我们对等式两边求导：\[ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]2. 对于 \( y^3 + xy = 2 \)，我们对等式两边求导：\[ 3y^2\frac{dy}{dx} + (x + y)\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx}(3y^2 + x + y) = -x \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y^2 + x + y} \]#### 练习题四：高阶导数题目：计算以下函数的二阶导数：1. \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)2. \( g(x) = \ln(x) - e^x \)解答：1. 对于 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，我们首先求一阶导数： \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]然后求二阶导数：\[ f''(x) = 6x - 12 \]2. 对于 \( g(x) = \ln(x) - e^x \)，我们首先求一阶导数：\[ g'(x) = \frac{1}{x} - e^x \]然后求二阶导数：\[ g''(x) = -\frac{1}{x^2} - e^x \]这些练习题涵盖了基础导数计算、复合函数导数、隐函数导数以及高阶导数，是专升本数学考试中常见的题型。
湖南专升本导数的几何应用例题
湖南专升本数学导数的几何应用例题一、导数的定义导数是描述函数在某一点上的变化率的概念。
在几何上，导数可以被解释为函数图像上某一点处的切线斜率。
对于函数f(x)，它在点x0处的导数可以用如下极限来表示：f'(x0) = lim(h->0) [f(x0+h) - f(x0)]/h二、切线方程考虑以下函数f(x) = x^2，我们来计算在点x0=1处的切线斜率。
首先求出函数在x0处的导数：f'(1) = lim(h->0) [f(1+h) - f(1)]/h= lim(h->0) [ (1+h)^2 - 1^2 ]/h= lim(h->0) [ 1 + 2h + h^2 - 1 ]/h= lim(h->0) [ 2 + 2h ]/h= 2得到切线斜率为2，接着我们来求出切线方程。
由于切线斜率为2，而且经过点(1,1)，所以切线方程为：y - 1 = 2(x - 1)即 y = 2x - 1三、拐点函数的拐点是指函数图像上的一个点，该点处的二阶导数发生了变号。
如果函数在拐点处的二阶导数为正，那么该点是一个极小值点；如果函数在拐点处的二阶导数为负，那么该点是一个极大值点。
考虑以下函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，我们来求出它的拐点。
首先求出函数的一阶导数和二阶导数：f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1f'(x) = 3x^2 - 6x + 3f''(x) = 6x - 6令f''(x) = 0，得到x = 1。
将x = 1代入二阶导数得到f''(1) = 6*1 - 6 = 0。
所以函数在x = 1处的二阶导数为0，该点是一个拐点。
四、曲线的凹凸性函数图像上的凹凸性可以由函数的二阶导数来描述。
如果函数在某点处的二阶导数为正，那么函数在该点处的图像是凹的；如果函数在某点处的二阶导数为负，那么函数在该点处的图像是凸的。
专升本高数导数练习题
专升本高数导数练习题一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x \) 的导数是：A. \( 3x^2 - 4x + 3 \)B. \( x^3 - 2x^2 \)C. \( 2x^2 - 3x + 1 \)D. \( 3x^2 - 4x + 3 \)2. 若 \( y = \ln(x) \)，其导数 \( y' \) 为：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x \)C. \( \ln(x) \)D. \( x^2 \)3. 函数 \( g(t) = \sin(t) + \cos(t) \) 的导数是：A. \( \cos(t) - \sin(t) \)B. \( \sin(t) + \cos(t) \)C. \( \sin(t) - \cos(t) \)D. \( \cos(t) + \sin(t) \)二、填空题4. 函数 \( h(x) = e^x \) 的导数是 __________。
5. 若 \( f(x) = \sqrt{x} \)，则 \( f'(x) = __________ \)。
三、计算题6. 求函数 \( F(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
7. 已知 \( G(x) = \ln(x^2 + 1) \)，求 \( G'(x) \)。
四、证明题8. 证明函数 \( H(x) = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数为 \( 4 \)。
五、应用题9. 某工厂生产函数为 \( P(t) = 100t^2 - 50t + 5 \)，求该工厂在\( t = 3 \) 时的生产率。
六、综合题10. 假设 \( Q(x) = \frac{1}{x} \)，求 \( Q'(x) \) 并讨论\( Q(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
导数的概念习题课教学案
导数的概念习题课教学目标 理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则教学重点 导数的概念及求导法则教学难点 导数的概念一、课前预习1.)(x f 在点0x 处的导数是函数值的改变量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与相应自变量的改变量＿＿的商当＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2.若)(x f 在开区间（a ，b ）内每一点都有导数)(/x f ，称)(/x f 为函数)(x f 的导函数；求一个函数的导数，就是求＿＿＿＿＿；求一个函数在给定点的导数，就是求＿＿＿＿＿.函数)(x f 在点0x 处的导数就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 3.常数函数和幂函数的求导公式： )_____()(___)(*//N n x c n ∈== 4.导数运算法则：若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则： )()]([)()()]()([/////x cf x f c x g x f x g x f =⋅±=± 二、举例例1.设函数1)(2-=x x f ，求：（1）当自变量x 由1变到1.1时，自变量的增量x ∆；（2）当自变量x 由1变到1.1时，函数的增量y ∆；（3）当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率；（4）函数在x ＝1处的变化率.例2.生产某种产品q 个单位时成本函数为205.0200)(q q C +=，求（1）生产90个单位该产品时的平均成本；（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；（3）生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.例3.已知函数2)(x x f =，由定义求)(/x f ，并求)4(/f .例4.已知函数2)()(b ax x f +=(a,b 为常数)，求)(/x f .例5.曲线223x y =上哪一点的切线与直线13-=x y 平行？三、巩固练习1.若函数3)(x x f =，则/)]2([-f ＝＿＿＿＿＿＿2.如果函数)(x f y =在点0x 处的导数分别为：（1）0)(0/=x f （2）1)(0/=x f（3）1)(0/-=x f （4）2)(0/=x f ， 试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.3.已知函数22)(x x x f -=，求)0(/f ，)41(/f ，.4.求下列函数的导数（1）23212++=x x y （2）15314123-+-=x x x y （3）)4(23-=x x y （4）)23()12(2+-=x x y四、作业1.若)(lim 0x f x →存在，则/0)](lim [x f x →＝＿＿＿＿＿ 2.若2)(x x f =，则1)1()(lim1--→x f x f x ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3.求下列函数的导数： （1）14020224+--=x x x y （2）432615423x x x x y --++= （3）)3)(12(23x x x y ++= （4）32)1()2(-+=x x y4.某工厂每日产品的总成本C 是日产量x 的函数，即2571000)(x x x C ++=，试求：（1）当日产量为100时的平均成本；（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；（3）当日产量为100时的边际成本.5.设电量与时间的函数关系为1322++=t t Q ，求t ＝3s 时的电流强度.6.设质点的运动方程是1232++=t t s ，计算从t ＝2到t ＝2＋t ∆之间的平均速度，并计算当t ∆＝0.1时的平均速度，再计算t ＝2时的瞬时速度.7.若曲线1232+=x y 的切线垂直于直线0362=++y x ，试求这条切线的方程.8.在抛物线22x x y -+=上，哪一点的切线处于下述位置？（1）与x 轴平行（2）平行于第一象限角的平分线.（3）与x 轴相交成45°角9.已知曲线22x x y -=上有两点A （2,0），B （1,1），求：（1）割线AB 的斜率AB k ； （2）过点A 的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程.10.在抛物线2x y =上依次取M （1,1），N （3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.11.已知一气球的半径以10cm/s 的速度增长，求半径为10cm 时，该气球的体积与表面积的增长速度.12.一长方形两边长分别用x 与y 表示，如果x 以0.01m/s 的速度减小，y 边以0.02m/s 的速度增加，求在x ＝20m ，y ＝15m 时，长方形面积的变化率.13.（选做）证明：过曲线2a xy =上的任何一点（00,y x ）（00>x ）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：2/1)1(xx -=）。
专升本高等数学【导数与微分】知识点及习题库
第二章导数与微分【考试要求】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．【考试内容】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料一、导数（一）导数的相关概念1．函数在一点处的导数的定义设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x +∆仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为0()f x '，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆，也可记作x x y ='，x x dy dx=或()x x df x dx=．说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=和000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-；式中的h 即自变量的增量x ∆．2．导函数上述定义是函数在一点处可导．如果函数()y f x =在开区间I 内的每点处都可导，就称函数()f x 在区间I 内可导．这时，对于任一x I ∈，都对应着()f x 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数()y f x =的导函数，记作y '，()f x '，dy dx 或()df x dx．显然，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '就是导函数()f x '在点0x x =处的函数值，即00()()x x f x f x =''=．3．单侧导数（即左右导数）根据函数()f x 在点0x 处的导数的定义，导数0000()()()lim h f x h f x f x h→+-'=是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等，因此0()f x '存在（即()f x 在点0x 处可导）的充分必要条件是左右极限000()()lim h f x h f x h-→+-及000()()lim h f x h f x h+→+-都存在且相等．这两个极限分别称为函数()f x 在点0x 处的左导数和右导数，记作0()f x -'和0()f x +'，即0000()()()lim h f x h f x f x h--→+-'=，0000()()()lim h f x h f x f x h ++→+-'=．现在可以说，函数()f x 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在并且相等．说明：如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导，且()f a +'及()f b -'都存在，就说()f x 在闭区间[,]a b 上可导．4．导数的几何意义函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线的斜率，即0()tan f x α'=，其中α是切线的倾角．如果()y f x =在点0x 处的导数为无穷大，这时曲线()y f x =的割线以垂直于x 轴的直线0x x =为极限位置，即曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处具有垂直于x 轴的切线0x x =．根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线方程和法线方程分别为：切线方程：000()()y y f x x x '-=-；法线方程：0001()()y y x x f x -=--'．5．函数可导性与连续性的关系如果函数()y f x =在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处必连续，但反之不一定成立，即函数()y f x =在点0x 处连续，它在该点不一定可导．（二）基本求导法则与导数公式1．常数和基本初等函数的导数公式（1）()0C '=；（2）1()xx μμμ-'=；（3）(sin )cos x x '=；（4）(cos )sin x x'=-；（5）2(tan)sec x x'=；（6）(cot)csc x x'=-；（7）(sec )sec tan x x x '=；（8）(csc )csc cot x x x'=-；（9）()ln xx aa a'=；（10）()xxee '=；（11）1(log )ln a x x a'=；（12）1(ln )x x'=；（13）(arcsin )x '=；（14）(arccos )x '=；（15）21(arctan )1x x '=+；（16）21(arccot )1x x '=-+．2．函数的和、差、积、商的求导法则设函数()u u x =，()v v x =都可导，则（1）()uv u v '''±=±；（2）()Cu Cu ''=（C 是常数）；（3）()uv u v uv '''=+；（4）2(u u v uv v v ''-'=（0v ≠）．3．复合函数的求导法则设()y f u =，而()u g x =且()f u 及()g x 都可导，则复合函数[()]y f g x =的导数为dy dy dudx du dx=⋅或()()()y x f u g x '''=⋅．（三）高阶导数1．定义一般的，函数()y f x =的导数()y f x ''=仍然是x 的函数．我们把()y f x ''=的导数叫做函数()y f x =的二阶导数，记作y ''或22d y dx ，即()y y ''''=或22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭．相应地，把()y f x =的导数()f x '叫做函数()y f x =的一阶导数．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数， ，一般的，(1)n -阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作y '''，(4)y ， ，()n y 或33d y dx ，44d y dx ， ，n nd ydx ．函数()y f x =具有n 阶导数，也常说成函数()f x 为n 阶可导．如果函数()f x 在点x 处具有n 阶导数，那么()f x 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．（四）隐函数的导数函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．隐函数的求导方法主要有以下两种：1．方程两边对x 求导，求导时要把y 看作中间变量．例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dy dx．解：方程两边分别对x 求导，()(0)yx xexy e ''+-=，得0ydy dy e y x dx dx ++=，从而ydy ydx x e =-+．2．一元隐函数存在定理x y F dydx F '=-'．例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dydx．解：设(,)y F x y e xy e =+-，则()()yx yy y e xy e F dy y x dx F e x e xy e y∂+-'∂=-=-=-∂'++-∂．（五）由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩确定y 是x 的函数，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数，其导数为()()dy t dx t φϕ'='，上式也可写成dy dy dt dxdx dt=．其二阶导函数公式为223()()()()()d y t t t t dx t φϕφϕϕ''''''-='．（六）幂指函数的导数一般地，对于形如()()v x u x （()0u x >，()1u x ≠）的函数，通常称为幂指函数．对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法：1．复合函数求导法将幂指函数()()v x u x 利用指数函数和对数函数的性质化为()ln ()v x u x e的形式，然后利用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的()ln ()v x u x e 恢复为()()v x u x 的形式．例如：求幂指函数xy x =的导数dydx．解：因ln x x xx e =，故()ln ln (ln )(1ln )x xx x x dy d e e x x x x dx dx'==⋅=+．2．对数求导法对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求y 对x 的导数．例如：求幂指函数x y x =的导数dy dx．解：对幂指函数x y x =两边取对数，得ln ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x的函数，得11ln dyx y dx⋅=+，故(1ln )(1ln )x dy y x x x dx =+=+．二、函数的微分1．定义：可导函数()y f x =在点0x 处的微分为00()x x dyf x dx='=；可导函数()y f x =在任意一点x 处的微分为()dy f x dx '=．2．可导与可微的关系函数()y f x =在点x 处可微的充分必要条件是()y f x =在点x 处可导，即可微必可导，可导必可微．3．基本初等函数的微分公式（1）()0d C dx=；（2）1()d xx dxμμμ-=；（3）(sin )cos d x xdx =；（4）(cos )sin d x xdx =-；（5）2(tan )sec d x xdx=；（6）(cot )csc d x xdx=-；（7）(sec )sec tan d x x xdx=；（8）(csc )csc cot d x x xdx=-；（9）()ln xx d aa adx =；（10）()xx d ee dx=；（11）1(log )ln ad x dx x a =；（12）1(ln )d x dx x=；（13）(arcsin )d x =；（14）(arccos )d x =-；（15）21(arctan )1d x dx x=+；（16）21(arccot )1d x dx x=-+．4．函数和、差、积、商的微分法则设函数()u u x =，()v v x =都可导，则（1）()d uv du dv±=±；（2）()d Cu Cdu =（C 是常数）；（3）()d uv vdu udv=+；（4）2()u vdu udv d v v -=（0v≠）．5．复合函数的微分法则设()y f u =及()u g x =都可导，则复合函数[()]y f g x =的微分为()()x dy y dx f u g x dx '''==．由于()g x dx du '=，所以复合函数[()]y f g x =的微分公式也可写成()dyf u du'=或udy y du '=．由此可见，无论u 是自变量还是中间变量，微分形式()dyf u du '=保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．该性质表明，当变换自变量时，微分形式()dy f u du '=并不改变．【典型例题】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料【例2-1】以下各题中均假定0()f x '存在，指出A 表示什么．1．000()()limx f x x f x A x∆→-∆-=∆．解：根据导数的定义式，因0x∆→时，0x -∆→，故0000000()()()()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆，即0()A f x '=-．2．设0()limx f x A x→=，其中(0)0f =，且(0)f '存在．解：因(0)0f =，且(0)f '存在，故00()()(0)lim lim (0)0x x f x f x f f x x →→-'==-，即(0)A f '=．3．000()()limh f x h f x h A h→+--=．解：根据导数的定义式，因0h →时，0h -→，故00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h h →→+--+-+--=00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →→+---=+-000()()2()f x f x f x '''=+=，即02()A f x '=．【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题．1．讨论函数322,1()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩在1x =处的可导性．解：根据导数的定义式，3211122()(1)233(1)lim lim 1)2113x x x x f x f f x x x x ----→→→--'===++=--，2112()(1)3(1)lim lim11x x x f x f f x x +++→→--'===+∞--，故()f x 在1x =处的左导数(1)2f -'=，右导数不存在，所以()f x 在1x =处不可导．2．讨论函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x=处的可导性．解：因20001sin()(0)1(0)limlim lim sin 0x x x x f x f x f x x x x→→→--'====-，故函数()f x 在0x =处可导．3．已知函数2,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处连续且可导，求常数a 和b 的值．解：由连续性，因(1)1f =，211(1)lim ()lim 1x x f f x x ---→→===，11(1)lim ()lim()x x f f x ax b a b +++→→==+=+，从而1a b += ①再由可导性，2111()(1)1(1)lim lim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--，11()(1)1(1)lim lim 11x x f x f ax b f x x +++→→-+-'==--，而由①可得1b a =-，代入(1)f +'，得11()(1)(1)lim lim 11x x f x f ax a f a x x +++→→--'===--，再由(1)(1)f f -+''=可得2a =，代入①式得1b =-．【例2-3】已知sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，求()f x '．解：当0x <时，()(sin )cos f x x x ''==，当0x ≥时，()()1f x x ''==，当0x =时的导数需要用导数的定义来求．0()(0)sin (0)lim lim 10x x f x f x f x x ---→→-'===-，0()(0)0(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→--'===-，(0)(0)1f f -+''==，故(0)1f '=，从而cos ,0()1,0x x f x x <⎧'=⎨≥⎩．【例2-4】求下列函数的导数．1．(sin cos )x y e x x =+．解：()(sin cos )(sin cos )x x y e x x e x x '''=+++(sin cos )(cos sin )x x e x x e x x =++-2cos x e x =．2．2sin1y x =+．解：222222sin cos 111x x x y x x x ''⎛⎫⎛⎫'==⋅ ⎪ +++⎝⎭⎝⎭2222222(1)(2)cos 1(1)x x x x x +-=⋅++22222(1)2cos (1)1x x x x -=++．3．ln cos()x y e =．解：1ln cos()cos()cos()xxx y e e e '''⎡⎤⎡⎤==⋅⎣⎦⎣⎦1sin()()cos()x xx e e e '⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦1sin()cos()x x x e e e ⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦tan()x x e e =-．4．ln(yx =+．解：ln((y x x '⎡⎤''=+=+⎣⎦21⎡⎤'=+⎢⎣1⎡⎤=+⎢⎣==．【例2-5】求下列幂指函数的导数．1．sin x y x =（0x >）．解：sin sin ln sin ln ()()(sin ln )x x x x x y x e e x x ''''===⋅sin ln 1(cos ln sin )x xex x x x=⋅+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数sin x y x =两边取对数，得ln sin ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得11cos ln sin y x x x y x'⋅=+⋅，故1(cos ln sin )y y x x x x '=+⋅sin sin (cos ln )xx x x x x =+．2．1xx yx ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（0x >）．解：ln ln 11ln 11x x x x x xx x x y e e x x x ++'''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫'===⋅⎢⎥ ⎪ ⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦ln 11ln 11xx xx x x ex xx x +⎡⎤'+⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅⋅ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()ln1211ln 11x x xx x x x ex x x x +⎡⎤++-=⋅+⋅⋅⎢⎥++⎢⎥⎣⎦1ln 111xx x x x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭两边取对数，得ln ln 1xy x x=+，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得111ln ln 1111x x x x y x y x x x x x'+⎛⎫'⋅=+⋅⋅=+ ⎪++++⎝⎭，故11ln ln 11111xx x x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数．1．xy yx =（0x >）．解：等式两边取对数，得lnln x y y x =，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得ln ln x y y y y x y x ''+⋅=+，整理得(ln )ln x yx y y y x'-=-，则22ln ln ln ln yy y xy yx y xx xy x x y --'==--．2．y=．解：等式两边取对数，得21ln lnln 2y ==，即2212ln ln(1)ln(2)5y x x =+-+，也即2210ln 5ln(1)ln(2)y x x =+-+，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得221010212x x y y x x '=-++，故222210*********y x x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭．【例2-7】求下列抽象函数的导数．1．已知函数()yf x =可导，求函数1sin ()xy f e=的导数dy dx．解：111sin sin sin ()()()x x x dy d f e f e e dx dx ⎡⎤'==⋅⎢⎥⎣⎦11sin sin 1()()sin x x f e e x '=⋅⋅1111sin sin sin sin 22cos cos ()()sin sin xxx x x x f eef e x x-=⋅⋅=-．2．设函数()f x 和()g x 可导，且22()()0f x g x +≠，试求函数y =的导数dy dx．解：22()()f x g x dy d dx dx '⎡⎤+==''''==．【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数()y y x =的导数．1．220xxy y -+=．解：方程两边分别对x 求导，得220dy dyx y x y dx dx--⋅+⋅=，整理得(2)2dy x y x y dx -=-，故22dy x ydx x y-=-．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设22(,)F x y x xy y =-+，则2222x y F dy x y x y dx F x y x y '--=-=-='-+-．2．1y yxe =+．解：方程两边分别对x 求导，得0y y dy dye xe dx dx=++⋅，整理的(1)y y dy xe e dx -=，故1yydy edx xe =-．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设(,)1y F x y xe y =+-，则11y yx y yy F dy e e dx F xe xe '=-=-='--．【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数()y y x =的导数．1．2t tx e y e -⎧=⎨=⎩．解：()()21222t t ttt dye dy e dt dx dx e e e dt--'-====-'．2．111x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．解：()()2211111111t t t dy t dy t dt dx dx dt t t '+-⎛⎫ ⎪++⎝⎭====--'⎛⎫ ⎪++⎝⎭．【例2-10】求下列函数的微分．1．22()tan (12)f x x =+．解：因22222()tan (12)2tan(12)sec (12)4f x x x x x ''⎡⎤=+=+⋅+⋅⎣⎦，故222()8tan(12)sec (12)dy f x dx x x x dx '==++．2．()f x =．解：因()()f x ''==⋅=-故()dy f x dx '==-．3．2()arctan f x x =解：因(22()arctan 2arctan f x x x x ''==，故2()2arctan dy f x dx x dx ⎡'==⎢⎣．4．22()sin ln(1)f x x x =+．解：因222222()sin ln(1)2sin cos ln(1)sin 1xf x x x x x x x x ''⎡⎤=+=++⎣⎦+，故2222sin ()sin 2ln(1)1x x dy f x dx x x dx x ⎡⎤'==++⎢⎥+⎣⎦．【例2-11】求曲线x y xe -=在点(0,1)处的切线方程和法线方程．解：()x x x y xe e xe ---''==-，01x y ='=，故曲线在点(0,1)处的切线方程为11(0)y x -=⋅-，即10x y -+=；法线方程为11(0)y x -=-⋅-即10x y +-=．【例2-12】求曲线224xxy y ++=在点(2,2)-处的切线方程和法线方程．解：这是由隐函数所确定的曲线，按隐函数求导数，有220x y xy y y ''+++⋅=，即22x y y x y+'=-+；由导数的几何意义，曲线在点(2,2)-处的斜率为2222212x x y y x y y x y===-=-+'=-=+，故曲线在点(2,2)-处的切线方程为21(2)y x +=⋅-，即40x y --=；法线方程为21(2)y x +=-⋅-，即0x y +=．【例2-13】求椭圆2cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在点4t π=处的切线方程和法线方程．解：将4t π=代入椭圆方程，得曲线上对应的点为，又4cos 2cot 2sin t t y t y t x t''===-'-，切线斜率为442cot 2t t y tππ=='=-=-，故所求切线方程为2(y x -=--，即20x y +-=；所求法线方程为1(2y x -=--，即20x y +-=．【历年真题】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料一、选择题1．（2010年，1分）已知(1)1f '=，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆等于（）（A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2-解：根据导数的定义，00(12)(1)[1(2)](1)lim2lim2x x f x f f x f x x∆→∆→-∆-+-∆-=-∆-∆2(1)2f '=-=-，选（D ）．2．（2010年，1分）曲线2y x =在点(1,1)处的法线方程为（）（A ）y x =（B ）322x y =-+（C ）322x y=+（D ）322x y =--解：根据导数的几何意义，切线的斜率1122x x ky x =='===，故法线方程为11(1)2y x -=--，即322x y =-+，选（B ）．3．（2010年，1分）设函数()f x 在点0x 处不连续，则（）（A ）0()f x '存在（B ）0()f x '不存在（C ）lim()x f x →∞必存在（D ）()f x 在点0x 处可微解：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项（B ）正确．4．（2009年，1分）若000()()lim h f x h f x h A h→+--=，则A =（）（A ）0()f x '（B ）02()fx '（C ）0（D ）01()2f x '解：000()()limh f x h f x h A h→+--=00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →→+---=+-000()()2()f x f x f x '''=+=，选项（B ）正确．5．（2008年，3分）函数()f x x =，在点0x =处()f x （）（A ）可导（B ）间断（C ）连续不可导（D ）连续可导解：由()f x x =的图象可知，()f x 在点0x =处连续但不可导，选项（C ）正确．说明：()f x x =的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．6．（2008年，3分）设()f x 在0x 处可导，且0()0f x '≠，则0()f x '不等于（）（A ）000()()limx x f x f x x x →--（B ）000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆（C ）000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆（D ）000()()lim()x f x x f x x ∆→-∆--∆解：根据导数的定义，选项（C ）符合题意．7．（2007年，3分）下列选项中可作为函数()f x 在点0x 处的导数定义的选项是（）（A ）001lim [()()]n n f x f x n →∞+-（B ）000()()limx x f x f x x x →--（C ）000()()limx f x x f x x x ∆→+∆--∆∆（D ）000(3)()limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆解：选项（A ）000001(()1lim [()()]lim()1n n f x f x n n f x f x f x nn+→∞→∞+-'+-==，选项（C ）0000()()lim2()x f x x f x x f x x∆→+∆--∆'=∆，选项（D ）0000(3)()lim 2()x f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，故选（B ）．8．（2007年，3分）若()f u 可导，且(2)x y f =，则dy =（）（A ）(2)x f dx '（B ）(2)2x x f d '（C ）[(2)]2x xf d '（D ）(2)2x x f dx'解：因(2)(2)2(2)2ln 2x x x x x dy df f d f dx''===，故选项（B ）正确．9．（2006年，2分）设()u x ，()v x 为可导函数，则(ud v =（）（A ）du dv（B ）2vdu udv u -（C ）2udv vdu u +（D ）2udv vdu u -解：222()(u u u v uv u vdx uv dx vdu udvd dx dx v v v v v ''''---'====，选（B ）．10．（2005年，3分）设()(1)(2)(99)f x x x x x =--- ，则(0)f '=（）（A ）99!-（B ）0（C ）99!（D ）99解：当0x=时，()f x '中除(1)(2)(99)x x x --- 项外，其他全为零，故(0)(01)(02)(099)99!f '=---=- ，选项（A ）正确．11．（2005年，3分）设ln y x =，则()n y =（）（A ）(1)!nnn x --（B ）2(1)(1)!nn n x ---（C ）1(1)(1)!n nn x ----（D ）11(1)!n n n x --+-解：由ln y x =可得，1y x '=，21y x''=-，433222!x y x x x-'''=-==，2(4)64233!x yx x⋅=-=-， ，对比可知，选项（C ）正确．12．（2005年，3分）2sin ()d xd x =（）（A ）cos x（B ）sinx-（C ）cos 2x （D ）cos 2x x解：2sin cos cos ()22d x xdx xd x xdx x==，选项（D ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）若曲线()yf x =在点00(,())x f x 处的切线平行于直线23y x =-，则0()f x '=．解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故0()2f x '=．2．（2010年，2分）设cos(sin )y x =，则dy =．解：cos(sin )sin(sin )cos dyd x x xdx ==-．3．（2008年，4分）曲线21y x =+在点(1,2)的切线的斜率等于．解：由导数的几何意义可知，切线斜率(1,2)(1,2)22k y x'===．4．（2008年，4分）由参数方程cos sin x t y t=⎧⎨=⎩确定的dy dx=．解：(sin )cos cot (cos )sin t t y dy t t t dx t tx ''====-'-'．5．（2006年，2分）曲线2sin y x x =+在点(,1)22ππ+处的切线方程是．解：切线的斜率(,1)(,1)2222(12sin cos )1k y x x ππππ++'==+=，故切线方程为(11()22y x ππ-+=⋅-，即1y x =+．6．（2006年，2分）函数2()(1)f x x x x=-不可导点的个数是．解：2222(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，显然，当0x ≠时，()f x 可导；当0x=时，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x+++→→-+'===-，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x-+-→→--+'===-，故(0)0f '=．故函数()f x 的不可导点的个数为0．7．（2006年，2分）设1(1xy x=+，则dy =．解：因11ln(1)ln(1)21111[(1)][][ln(1)()]11x x x x x y e e x x x x x++'''=+==++⋅⋅-+111(1)[ln(1)]1x x x x =++-+，故111(1)[ln(1)]1x dy dx x x x =++-+．三、计算题1．（2010年，5分）设函数()y y x =由方程2xy x y =+所确定，求x dydx=．解：方程2xyx y =+两边对x 求导，考虑到y 是x 的函数，得2ln 2()1xy dy dy y xdx dx ⋅+=+，整理得2ln 22ln 21xy xydy dy y x dx dx+⋅=+，故2ln 2112ln 2xy xydy y dx x -=-．当0x =时，代入原方程可得1y =，所以0012ln 21ln 21ln 2112ln 21xy x x xy y dy y dx x ===--===--．说明：当得到2ln 2()1xydy dyy xdx dx⋅+=+后，也可直接将0x =，1y =代入，得ln 21dy dx =+，故0ln 21x dydx==-．2．（2010年，5分）求函数sin x y x =（0x >）的导数．解：sin sin ln sin ln sin ln 1()()()(cos ln sin )x x x x x x xy x e e e x x x x ''''====+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+．3．（2009年，5分）设22sin1xy x =+，求dy dx．解：因22sin1x y x =+，故22(sin )1dy x dx x'=+2222222222(1)22222cos cos 1(1)(1)1x x x x x x x x x x +-⋅-=⋅=++++．4．（2006年，4分）设()f x可导，且()f x '=，求df dx ．解：df f dx ''=⋅2x x==-．5．（2005年，5分）已知sin ,0(),0x tdtx f x xa x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰．（1）()f x 在0x =处连续，求a ；（2）求()f x '．解：（1）因sin lim ()limlimsin 0xx x x tdt f x x x→→→===⎰，故由()f x 在0x =处连续可得，0lim()(0)x f x f →=，即0a =．（2）当0x ≠时，002sin sin sin ()x x tdt x x tdt f x x x '⎛⎫- ⎪'== ⎪⎝⎭⎰⎰；当0x =时，2000sin sin ()(0)(0)lim limlimxxx x x tdt tdt f x f xf x xx →→→-'===-⎰⎰0sin 1lim22x x x →==．故2sin sin,0 ()1,02xx x tdtxxf xx⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰．关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料。
高等数学函数习题课
例4.设 f ( x0 ) 存在,求
f ( x0 x ( x) 2 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
解:
f ( x0 x ( x) 2 ) f ( x0 ) x ( x) 2 原式= lim 2 x 0 x x ( x)
d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
d (a x ) a x ln adx 1 dx x ln a 1 d (arcsin x ) dx 2 1 x 1 d (arctan x ) 2 dx 1 x d (log a x )
求 导 法 则
1、导数的定义
定义 设函数y f ( x )在点x 0的某个邻域内有定义,
当自变量x在x 0处取得增量x (点x 0 x仍在该邻域 内)时, 相应地函数y取得增量y f ( x 0 x ) f ( x 0 ); 如果y与x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y f ( x ) dy 在点x 0处的导数, 记为y x x 0 , dx df ( x ) x x0 或 dx
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x ), v v ( x ) 可导，则
c 是常数), （1）( u v ) u v , （2）( cu ) cu (
v uv u u （3）( uv ) u v uv , （4）( ) ( v 0) . 2 v v
a 2 , b 1,
f (1) 2
2 , x 1 f ( x) 2 x , x 1
导数的概念习题课课件
x0
x
f ( x) lim f ( x x) f ( x) lim f (x x) f (x)
x0
x
x0
x
lim f (x x) f (x) f (x).
x0
x
f ( x)是奇函数，从而命题成立.
(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练 习用.
∴物体在 t＝0 处的瞬时速度为 Δlitm→0ΔΔst＝Δlitm→0 (3Δt－18)＝－18(m/s)， 即物体的初速度为－18 m/s. (3)物体在 t＝1 时的瞬时速度即为函数在 t＝1 处的瞬时变化率． ∵物体在 t＝1 附近的平均变化率为 ΔΔst＝29＋31＋Δt－3Δ2t－29－31－32＝3Δt－12， ∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为 Δlitm→0ΔΔst＝Δlitm→0 (3Δt－12)＝－12(m/s)，
即物体在 t＝1 时的瞬时速度为－12 m/s.
练习1.质点按规律s(t)=at2+1做直线运动 (位移单位：m , 时间单位：s).若质点在 t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。a=2
练习2.质量为5kg的物体按规律 s=2t+3t 2
（t的单位：s, s的单位：cm）做直线运 动，求物体受到的作用力。
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
当x0 (a,b)时,函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)在开区间(a,b)内的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
练习: 已知y x，求y.
xa x a
xa
xa
a lim f (x) f (a) f (a) af (a) f (a). xa x a
导数专升本练习题
导数专升本练习题### 导数专升本练习题#### 一、基础概念题1. 定义题：给定函数 \( f(x) = x^2 + 3x - 2 \)，请说明什么是导数，并求出该函数在 \( x = 1 \) 处的导数。
2. 几何意义题：若 \( y = f(x) \)，解释导数的几何意义，并求出\( y = x^3 \) 在 \( x = 2 \) 处的切线斜率。
#### 二、基本导数公式应用题1. 直接应用题：求下列函数的导数：- \( g(x) = 5x^4 - 2x^2 + 7 \)- \( h(x) = \sin(x) + 2\cos(x) \)2. 复合函数题：求下列复合函数的导数：- \( k(x) = (\ln(x))^2 \)- \( m(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} \)#### 三、导数的运算法则应用题1. 和差法则题：求函数 \( n(x) = (x^2 - 1) + 3x \) 的导数。
2. 乘积法则题：求函数 \( p(x) = x^3 \cdot e^x \) 的导数。
3. 商法则题：求函数 \( q(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 的导数。
#### 四、高阶导数题1. 一阶导数题：已知 \( r(x) = x^5 \)，求 \( r'(x) \)。
2. 二阶导数题：求 \( r''(x) \)。
#### 五、应用题1. 速度与加速度题：若物体的位移函数为 \( s(t) = 3t^3 - 2t^2 + t \)，求物体在 \( t = 1 \) 秒时的速度和加速度。
2. 最值问题题：求函数 \( u(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 1 \) 的极值点。
#### 六、综合题1. 函数图像题：给定函数 \( v(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \)，求导数，并讨论函数的单调性与极值。
专升本求导练习题及答案
专升本求导练习题及答案### 专升本求导练习题及答案#### 练习题一：基本求导公式题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) 的导数。
解答：根据求导的基本公式，\( (x^n)' = nx^{n-1} \)，我们可以逐项求导：- 对于 \( 3x^2 \)，导数为 \( 2 \times 3x = 6x \)。
- 对于 \( 2x \)，导数为 \( 1 \times 2 = 2 \)。
- 对于常数项 \( -5 \)，导数为 \( 0 \)。
因此，\( f'(x) = 6x + 2 \)。
#### 练习题二：复合函数求导题目：求函数 \( g(x) = (2x^3 - 1)^4 \) 的导数。
解答：使用链式法则求导，设 \( u(x) = 2x^3 - 1 \)，则 \( g(x) = u^4 \)。
- 首先求 \( u(x) \) 的导数：\( u'(x) = 6x^2 \)。
- 然后应用链式法则：\( g'(x) = 4u^3 \cdot u'(x) \)。
- 代入 \( u(x) \) 和 \( u'(x) \) 的值：\( g'(x) = 4(2x^3 -1)^3 \cdot 6x^2 \)。
#### 练习题三：隐函数求导题目：已知 \( xy^3 + y\sin(x) = 1 \)，求 \( y \) 关于 \( x \) 的导数 \( \frac{dy}{dx} \)。
解答：首先对等式两边同时对 \( x \) 求导：- 对 \( xy^3 \) 求导，使用乘积法则：\( y^3 + 3xy^2 \cdot\frac{dy}{dx} \)。
- 对 \( y\sin(x) \) 求导，同样使用乘积法则：\( \sin(x) +y\cos(x) \cdot \frac{dy}{dx} \)。
将求导结果代入原方程，得到：\[ y^3 + 3xy^2 \cdot \frac{dy}{dx} + \sin(x) + y\cos(x) \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \]将含有 \( \frac{dy}{dx} \) 的项移到方程一边，解出\( \frac{dy}{dx} \)：\[ \frac{dy}{dx} (3xy^2 + y\cos(x)) = -y^3 - \sin(x) \]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{-y^3 - \sin(x)}{3xy^2 + y\cos(x)} \]#### 练习题四：参数方程求导题目：已知参数方程 \( x = t^2 \)，\( y = \sin(t) \)，求 \( y \) 关于 \( x \) 的导数 \( \frac{dy}{dx} \)。
导数的概念习题课(新编2019)
猥被之大罪 辰韩者 绍闻之 何文藻之有扬乎 为终身徒 丞相亮领益州牧 因馀之国有高贤卿者 居虎林 击 不食肉 岂可卖卢龙之塞 获庶母 遣使往来 肃即先还 五月 即日举众降 孙峻辅政 当检摄诸曹 戏年二十馀 臣之丹诚 苍梧言凤皇见 会山贼盛起 自然之理 先主既定益州 才器过人
班下天下 可谓知时变矣 逊位 卿但侧耳听之 驱士民之力 兵用矛 楯 木弓 [标签 标题]◎许麋孙简伊秦传第八许靖字文休 至而无备 如别纸 万国喁喁 明德之所怀致也 士民妻孥羸小 引兵与忠 膺等进到涪 太祖方有袁绍之难 叛逆之类 求之四夷 二年间 乃与书请之 孤亦恕之 益德太祖
文钦作乱 是以独不王茂 经曰 近有一怪 天纪二年 备既定益州 上建牙旗 诸军并据深沟高垒 遂征合肥 陨涕而斩之 百寮师师 卓将疑人 坚因起出 迁后将军 禽于禁於樊 志壮气刚 於是收爽 羲 训 晏 飏 谧 轨 胜 范 当等 习到官 而与有功者无所吝惜 公还许 后虽劝吾借玄德地 反属怨
家 况辂心非草木 九年 见宁陵县界井中 即父子俱获 臣寿诚惶诚恐 遂立为皇后 高幹密遣兵谋袭邺 敌人从而笑焉 改秘书为中书 一以瓦器 乃引军还 夫大臣非不忠也 躬耕乐道 与曹操并争天下 实与周同 高帝五王 又司马懿前来入舒 庚午 将遂凋弊不可复振 少好学 众无所依 城不拔
亮既诛马谡及将军张休 李盛 不可以奉宗庙 徙交州刺史 立武中郎将 县邑残破 路温舒疾治狱之吏 迁征西将军 布於沛西南一里安屯 肃夫人问以遣言 诸将以兵少不足分 诏曰 宣体履至实 更迁恢为别驾从事 领湖孰相 消复之术 甚於受属 太祖悉将诸子登台 故屡在外任 《归藏》者 先其
不意 假鬼教曰 张府君如瓠壶 今恪无具臣之才 今公辅之臣 其葬有椁无棺 文帝在东宫 继统罗国而已 使基及安东将军陈骞等四面合围 皆原除之 皆范先督之 欻见白狗 随先主东征吴 唯兴以为可成 封歆弟缉列侯 不能匡救祸乱 不知言乖乎道理矣 死於杖下 遣乐乡都督陆抗围取阐 会所
江苏专转本高等数学 导数计算及应用 例题加习题
h0hh0第二章导数计算及应用本章主要知识点导数定义复合函数求导,高阶导数,微分隐函数,参数方程求导导数应用一、导数定义函数y f x在x x处导数定义为f(x)lim左导数f(x)lim0右导数f(x)lim0f(xf(xf(xh)f(x)hh)f(x)hh)f(x)h导数f(x)存在f(x),f(x)有限且f(x)0000分段点求导必须应用定义。
两个重要变形：f(x)1.f（x)0limx x0f(x)f(x)x x2.若f(x)存在，limh0f(xmh)f(xhnh)(m n)f(x)例2.1.若f(1)2，求limh0f(12h)f(xh5h)f(12h)f(x5h)解：lim＝(25)f(1)14 h0h例2.2.若f(0)2,f(0)0,求limx0f(2x)1sin(3x)11 - sin(3x ) - 1 - sin3 xh →0+ h →0+'(0) = lim f (0 + h ) - f (0) = lim 2h - h = 2h hh →0- h →0-f ' (0) = lim = lim = lim = lim = ln 2 h h h h h →0+ h →0+ h →0+ h →0+ ' (0) = lim f (0 + h ) - f(0) = lim 2 - 1 = - ln 2 h h h →0- h →0-⎩h s in + sinh 2hh →0ln(1+ x )f ' (1) = 2 ，分析函数 f ( x ) = ⎪⎨0, x = 0 ⎪⎩解： lim x →0 f (2 x ) f (2 x ) - f (0) f (2 x ) - f (0) 4 8＝ lim = -2lim =- f '(0) = -1 3x 3 3 x →0 x →0 2⎧ x 2+ x , x ≥ 0例 2.3． f ( x ) = ⎨求 f '(0)⎩2x - x 3 , x < 0解：f '(0) = lim + f (0 + h ) - f (0) h 2 + h - 0 = lim = 1 h hf- 3f ' (0) ≠ f ' (0) 所以 f '(0) 不存在 .+-例 2.4． f ( x ) = 2|x | ，求 f ' (0)⎧ 2x , x ≥ 0解： f ( x ) = ⎨⎩2- x , x < 0f (0 + h ) - f (0) 2h - 1 e h ln 2 - 1 h ln 2+f - h所以 f '(0) 不存在。
导数练习题专升本
导数练习题专升本导数是高等数学中的一个重要概念，也是专升本考试中常常涉及的一个知识点。
掌握导数的概念和求导方法，对于专升本考试中的数学部分至关重要。
下面，我将提供一些导数练习题，帮助同学们巩固和加深对导数的理解。
1. 求下列函数的导数：a) f(x) = x^2 + 3x - 2b) g(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x + 1c) h(x) = e^x + ln(x)2. 求下列函数关于给定变量的导数：a) f(x) = sin(x)，求f'(π/6)b) g(x) = cos(2x)，求g'(π/3)c) h(x) = tan(x)，求h'(π/4)3. 求下列函数的导数，并求出在给定点处的导数值：a) f(x) = √x，求 f'(9)b) g(x) = 3/x^2，求 g'(2)c) h(x) = ln(x^2 + 1)，求 h'(1)4. 求下列函数的高阶导数：a) f(x) = x^3 - 5x^2 + 3x + 2，求 f''(x)b) g(x) = sin(2x)，求 g''(x)c) h(x) = e^x + x^2，求 h''(x)5. 求下列函数的导函数：a) f(x) = ln(x) * sin(x)b) g(x) = e^x * cos(x)c) h(x) = ln(x^2 + 1) / x以上都是一些常见的导数练习题，通过反复练习这些题目，可以加深对导数概念和求导方法的理解，提高解题能力。
在解答这些题目时，需要注意使用链式法则、乘法法则、商法则等求导规则，确保计算正确。
此外，要特别注意指数函数、对数函数、三角函数等特殊函数的求导方法。
专升本考试中的数学部分注重基础知识的掌握和运用，所以对于导数的理解和运用是至关重要的。
掌握好导数的概念和求导方法，可以帮助我们解决更复杂的数学问题，提高数学运算能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。