第二节二元函数的一阶、二阶偏导数

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二元函数连续偏导数和全微分之间的关系

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系全文约2000字偏导数是描述一个多变量函数在某一点处沿着某一方向变化率的一种度量方式。

二元函数则是指含有两个自变量的函数，形如f(x,y)。

我们来看二元函数的一阶偏导数。

对于一个二元函数f(x,y)，其偏导数表示为∂f/∂x 和∂f/∂y，即分别对x和y求偏导数。

全微分则是描述一个函数在某一点附近的变化的一种近似方式。

对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)来说，其全微分表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn。

对于一个二元函数f(x,y)，如果其在某一点处（a,b）的偏导数∂f/∂x和∂f/∂y都存在且连续，那么全微分df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。

这个结论可以通过泰勒展开来证明。

根据泰勒展开公式，对于一个函数f(x,y)，可以将其在某一点（a,b）处展开为：f(x,y) = f(a,b) + ∂f/∂x(a,b)(x-a) + ∂f/∂y(a,b)(y-b) + 余项其中余项是高阶无穷小。

我们现在只考虑一阶偏导数的情况，即忽略余项。

则有：现在我们对该等式两边同时进行微分。

左边是一个函数的微分df，右边是表达式的微分。

根据微分运算法则，我们有：由此可见，全微分df正是函数在某一点附近的变化量。

而这个变化量可以由一阶偏导数来表示。

进一步地，我们可以写成：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy通过这个关系，我们可以看出，当二元函数在某一点处具有连续偏导数时，全微分是一个很好的近似式。

它可以描述函数在某一点附近的变化情况，并且给出了函数沿着不同方向的变化率。

这个关系还可以推广到高维函数的情况。

对于一个多变量函数f(x1,x2,...,xn)，如果其在某一点（a1,a2,...,an）处所有偏导数存在且连续，那么全微分可以表示为：其中dx1,dx2,...,dxn表示自变量的微小变化量。

二元函数的偏导数和极值的应用

大值为
L40 ，24 2 402 64 40 4 40 24 4 242 32 24 14
1 650. 即该企业生产甲、乙两种商品的产量分别为40和24单位时，利润最大，最大利润为1650单位.
结论:
如果在区域D上的连续函数z f (x，y)，在D去掉边界的开区域D0内偏导数存在，而且
二元函数的偏导数和极值的应用
3.边际需求
设有A、B两种相关的商品，它们的价格分别为p1和p2，而需求量分别为q1和q2. 需求量
q1和q2随着价格p1和p2的变动而变动，因此需求函数可表示为
q1 q1 p1，p2 ，q2 q2 p1，p2
则A、B两种商品的边际需求即为需求量q1和q2关于价格p1和p2的偏导数.
Cx (x，y)
300
1 2
x2
4 xy
3 2
y2
x
x
4 y，
总成本C对产量y的边际成本函数为
Cy (x，y)
300
1 2
x2
4xy
3 2
y
2
y
4x
3y；
二元函数的偏导数和极值的应用
（2）当x 50，y 40时，C(x，y)对x的边际成本为
Cx50 ，40 50 4 40 210.
偏导数Cx (x，y)表示总成本C(x，y)对产量x的边际成本，它近似等于在两种产品的产量为( x，y )的基础上，再多生产一个单位的A产品所需增加的成本.
偏导数Cy (x，y)表示总成本C(x，y)对产量y的边际成本，它近似等于在两种产品的产量为( x，y )的基础上，再多生产一个单位的B产品所需增加的成本.
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经济数学

公共课教学部教学大纲_3

《经济数学Ⅰ》（《微积分（经济类）》）教学大纲一、教学大纲说明1. 课程的地位、作用和任务本课程是经济类、管理类学科的一门公共基础课。

2. 课程教学的目的和要求课程所要达到的目的与任务是为使学生学习后续的数学及专业课打下必备的坚实的数学基础。

3. 课程教学改革设想本课是面对经济系学生开设的。

本着“打好基础，够用为度”的原则，讲课内容力求生动流畅，不求深，不求全，只求实用。

重视在经济上的应用，并注意与专业接轨，服务专业的改革思想。

4. 课程与其他课程的联系通过这门课程要掌握微积分的必要基本概念、基本理论与基本方法，培养并提高学生应用微积分的基础知识解决经济实际问题的能力。

5. 教材与教学参考书《微积分》上册（吴赣昌编）中国人民大学出版社2006《微积分》经济应用数学基础（一）赵树塬主编《高等数学》同济大学高数出版社20046. 考试改革设想及成绩计算方法考试与平时成绩结合，考试测重基本知识掌握，对大纲中要求理解、掌握的部分，及在经济上的应用，考试成绩占60%与平时（作业、学习态度课堂发言，出缺习）占40％。

二、课程的教学内容、重点和难点（按章节填写）第一章：函数与极限重点：掌握函数极限的一般求法，掌握两个重要的极限并会用它求相应的函数的极限，掌握常用的经济方面的函数难点：函数在一点有极限的充要条件及其应用，函数的连续性第一节：函数定义域与函数值第二节：函数的类别与基本性质第三节：极限概念及运算法则第四节：无穷大量与无穷小量第五节：未定式极限第六节：两个重要极限第七节;函数的连续性第八节：几何与经济方面函数关系式第二章：导数与微分重点：导数概念及其几何、物理意义；导数运算法则，基本公式，复合函数求导难点：复合函数求导法及隐含数求导法第一节：导数的概念第二节：导数基本运算法则第三节：导数基本公式第四节：复合函数导数运算法则第五节：隐含数的导数第六节：高阶导数第七节：分段函数的导数第八节：微分第三章：导数的应用重点：应用洛必达法则求极限；极值的判别与求法；边际函数与弹性函数难点：经济方面函数的优化第一节：微分中值定理第二节：洛必达法则第四节：函数单调区间与极值第五节：函数的最值第七节：经济方面函数的边际与弹性第八节：几何与经济方面函数的优化第四章：不定积分重点：原函数、不定积分概念；换元法及分布积分法难点：第二换元法；初值问题第一节：不定积分的概念及基本运算法则第二节：不定积分基本公式第三节：凑微分第四节：不定积分第一换元法则第六节：不定积分第二换元法则第七节：不定积分分部积分法则第八节：初值问题第五章：定积分重点：定积分概念及其几何意义、定积分基本运算法则；牛顿－莱不尼兹公式；定积分换元法则及分布积分法则难点：变上限定积分概念与重要性质；广义积分第一节：定积分概念与基本运算法则第二节：变上限定积分第三节：牛顿－莱不尼兹公式第四节：定积分换元积分法则第五节：定积分分部积分法则第六节:分段函数的定积分第七节：广义积分第六章：二元微积分重点：二元函数一阶、二阶偏导数的求法；二元函数全微分、极值的求法；在平面直角坐标系下计算二重积分难点：二元复合函数求导法；把二重积分化为二次积分的方法第一节：二元函数的概念第二节:二元函数的一阶偏导数第三节：二元函数的二阶偏导数第四节：二元函数的全微分第五节：二元函数的极值第七节：二重积分的概念与基本运算法则第八节：二重积分的计算二、基本教学要求第一章：函数与极限1．掌握函数的概念及定义域、值域的求法；理解和掌握复合函数及分段函数定义及常用的经济函数2．熟练掌握基本函数的性质及其图形3．第三节：理解函数在一点有极限的充要条件，并运用4．掌握两个重要极限并能熟练应用5．了解函数在一点的概念第二章：导数与微分1．理解导数与微分的概念；了解导数的几何、物理意义及连续与可导的关系2．理解并掌握导数与微分运算法则和导数的基本公式；掌握初等函数的一、二阶导数的求法3．掌握复合函数求导法，了解隐含数求导法4．掌握函数的微分法第三章：导数的应用：了解罗尔定理与拉格朗日定理理解函数极值与最值的概念；掌握求函数极值、最值的方法及其在经济上的应用掌握用洛必达法则求未定式极限的方法理解函数的边际与弹性的概念，特别是掌握经济方面的边际需求与弹性需求求法及其经济意义第四章：不定积分理解原函数与不定积分的概念；掌握不定积分基本公式及运算法则掌握不定积分的换元法与分部积分发了解在经济上的应用来求初值问题第五章：定积分理解定积分的概念及几何意义理解变上限定积分是积分上限函数，掌握积分上限函数的性质及求导方法理解并掌握中顿——莱布尼茨公式。

第2节偏导数

y2
,
z y
y x2 y2
,
2z x2 y2 x 2x y2 x2 ,
x 2
(x2 y2)2
(x2 y2)2
?2 z
y 2

x2 y2 (x2 y2)2
.
2z 2z 0 . x 2 y 2
例10 证明函数 u 1 满足方程 r
y y0
y0
y
存在, 称极限值为 z f (x, y) 关于 y 的偏导数 .
记为
z , 或 y
f , y
或
zy , 或
f y (x, y) .
函数 z f (x, y)在某点 (x0 , y0 )的偏导数为
f x (x0 , y0 ) ,
f y (x0 , y0 ) , 或
先给出二元函数的增量概念
二元函数 z f (x, y)的增量 z f (x x, y y) f (x, y)
称为函数 z f (x, y)的全增量.
x z f (x x, y) f (x, y) 称为函数 z f (x, y)关于 x 的偏增量.
y z f (x, y y) f (x, y) 称为函数 z f (x, y)关于 y 的偏增量 .
定义如果 lim x z lim f (x x, y) f (x, y)
x x0
x0
x
存在, 称极限值为 z f (x, y) 关于 x的偏导数 .
记为
z , 或 x
f , x
或
zx , 或
fx(x, y) .
同理可定义 z 关于 y的偏导数
如果 lim y z lim f (x, y y) f (x, y)

5.2 二元函数的偏导数与全微分

如图
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
（1）几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的斜率.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例1 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2)处的偏导数. z z 解法1 2x 3y, 3x 2 y x y z z y (1,2) x (1,2) 解法2
z
y2
x2 6x 4
z 记为 y f ， y x x0
y y0 x x0 y y0
， f y ( x0 , y0 ) 或 zy
x x0 y y0
.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
如果函数 z f ( x , y ) 在区域 D 内任一点 ( x , y ) 处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x、 y 的函数，它称为函数 z f ( x , y ) 对自变量 x的偏导函数，简称偏导数. z f 记作，， zx 或 f x ( x, y ) . x x
同理可以定义函数 z f ( x , y ) 对自变量 y 的偏导 z f 数，记作，， zy 或 f y ( x, y). y y
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如函数 u f ( x , y, z ) 在点 ( x , y, z ) 处

二阶偏导数

k
例2. 设u = u ( x, y )在任何点 ( x, y )处的全微分
du = ( x + ay )dx + ( x + y + b sin x )dy. 求常数 a, b.
2
u ′ = x 2 + ay, u ′y = x + y + b sin x. 解: x
知u ′ , u ′y 均可导, 有 x ′ u ′′ = a, (连续), u ′yx = 1 + b sin x, (连续). xy
g ( x , y + ∆y ) − g ( x , y ) g ′y ( x, y ) = lim , ∆y → 0 ∆y
′′ f xy ( x , y ) = [ f x′ ( x , y )
′ ]
y
f x′ ( x, y + ∆y ) − f x′ ( x, y ) = lim , ∆y →0 ∆y
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续偏导. 则记为 f (X)∈Ck (D). k为非负整数. 若 f (x, y)∈Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只要是对 x 求导 m 次, 对 y 求导 k – m 次, 都可写成
∂ f , 或, f x(mky)k −m ∂x m ∂y k −m
2222yxyxyx?????????2yxabybxa????????????????????2222222axxaxa???????????????????????????22222222ddd2dzd则yyzyxyxzxxzzyyxx2dd??????????zyyyxyxxx???????????????2222222ddd2d
(x 0 +∆x , y0)及 (x0 , y0 +∆y)均在U(X0)内. 记 A = [ f (x0 +∆x , y0 +∆y) – f (x0 +∆x , y0)] – [ f (x0, y0 +∆y) – f (x0 , y0)]

二元函数的连续偏导可微

二元函数的连续性、偏导及可微之间的联系二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的定义 1.二元函数的连续性定义设f 为定义在D 上的二元函数，0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点) ,对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()0;P P D δ∈⋂，就有()()0f P f P ε-<, 则称f 在P 点连续2.二元函数的偏导数定义设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆ 时，相应地函数有增量x z ∆=0000(,)(,)f x x y f x y +∆-如果 00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数z (,)f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数，记作00(,)x f x y 或()00,x y fx ∂∂对y 的偏导数同理 3.二元函数的可微性定义设函数(,)z f x y =在点()000,P x y 的某邻域()0U P 内有定义，对于()0U P 中的点()00,(,)P x y f x x y y =+∆+∆，若函数f 在0P 处的全增量z ∆可表示为：()()0000(,),z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+， (1)其中AB 是仅与点P 0有关的常数，ρ=，()o ρ是较高阶的无穷小量，则称函数f 在点P 0可微.并称(1)中A x B y ∆+∆为f 在点P 0的全微分，记作000(,)P dz df x y A x B y ==∆+∆说明：1)A 、B 是与x ∆y ∆无关的常数，但与0P 可能有关；2) dz 是z ∆的线性主部0lim0z dzρρ→∆-=二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有些差异，这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数，我们着重讨论二元函数，在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后，在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系. 一、二元函数连续性与偏导存在性间的关系偏导存在不一定连续，反之连续不一定有偏导存在 1)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续，但偏导不一定存在. 例1.证明函数(,)f xy =(0,0)连续偏导数不存在.证明：∵(,)(0,0)(,)lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→===,故函数(,)f x y =(0,0)连续.由偏导数定义：001,(0,0)(0,0)(0,0)limlim 1,x x x x f x f f x x ∆→∆→∆>⎧+∆-===⎨-∆<∆⎩故(0,0)x f 不存在.同理可证(0,0)y f 也不存在.2)函数(,)f x y 在点000(,)P x y 偏导存在，但不一定连续.例 2.证明函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不连续证明 : 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→∆→+∆-==∆=∆ 同理可求得(0,0)0y f =∵22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处不连续.综上可见，二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系. 二、二元函数的可微性与偏导间的关系1.可微性与偏导存在性1) 可微则偏导存在(可微的必要条件1)若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)P x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在，且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+注1 定理1的逆命题不成立，2)偏导存在，不一定可微.例3证明函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩在原点两个偏导存在，但不可微.证明由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--===∆∆同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦应是较ρ=2200lim lim f df x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则(,)(0,0)2222(,)(0,0)lim lim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.例4. 22220(,)0,x y f x y x y +≠=+=⎪⎩在(0,0)处两个偏导存在，但不可微.证明由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦为此考察极限limf dfρρρ→→∆-=当动点(,)x y 沿直线y =趋于时，则(,)(0,0)(,)limlim x y y mxx y →=→==0≠因此f 在原点不可微例5. 证明函数2222222,0(,)0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)两个偏导存在，但不可微.证明由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+= 222(,)(0,0)x yf f x y f x y ∆∆∆=∆∆-=∆+∆从而()222230,(0,0)222limlimlim0()()x y x y f dfx y x y x y x y ρρρρ→→∆∆→∆∆∆-∆∆∆+∆==≠=∆+∆取因此f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微例6.证明函数2222322222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在(0，0)连续，且两个偏导数都存在但不可微.证明(1)∵223222()x y x y ≤+∴0,4,εδεδε∀>∃=<<∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)又00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而222220limlim ()()f dfx y x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆=∆∆+∆取不存在故 f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微2. 偏导连续与可微1)偏导连续，一定可微.(可微的充分条件)若二元函数(,)z f x y =的偏导在点000(,)P x y 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点000(,)P x y 处连续，则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 可微.注2 偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.2)可微，偏导不一定连续例7.证明函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有222222121(,)2sincos x x f x y x x y x y x y =-+++222222121(,)2sin cos y y f x y y x y x y x y =-+++ (1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(2sin cos )22x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 200(,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x→→-===200(0,)(0,0)1(0,0)lim lim sin 0y y y f y f f y y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=2222222211(,)(0,0)()sinsin ((,):0)f f x y f x y x y x y x y ρρ∆=-=+=∀+≠+ 从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例8. 证明函数()2222220(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有(,)2x f x y x =(,)2y f x y y = (1)当y=x时，极限00lim (,)lim(2x x x f x x x →→=不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点间断.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点间断.(2)∵00(,0)(0,0)(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=-=从而201cos1limlimlim cos0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例9.证明函数2222221sin ,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有22222222121(,)sin cos ()x x y f x y y x y x y x y =-+++22222222121(,)sin cos ()y xy f x y x x y x y x y =-+++(1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(sin cos )222x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 00(,0)(0,0)(0,0)limlim00x x x f x f f x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=221(,)(0,0)sinf f x y f x y x y ∆=∆∆-=∆∆∆+∆从而()22,1limlimx y f dfx y ρρ→∆∆→∆-=∆+∆=0即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.三、二元函数的连续性与可微性间的关系 1)可微，一定连续(可微的必要条件2)二元函数(,)f x y 在000(,)P x y 可微,则必然连续，反之不然.2)连续，不一定可微例10.证明函数3222222,0(,)0,0x x y f x y x yx y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵322222,x x x x x y x y=⋅≤++ ∴0,,,x y x εδεδδε∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)(0,0)limlim 1x x x f x f xf xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0),x y df f x f y x =∆+∆=∆(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而20limf dfρρρ→→∆-=不存在即函数(,)f x y 在点(0，0)不可微. 注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微.例11.证明函数222222sin(),0(,)0,0x y xy x y x y f x y x y +⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵22sin(),222x y x y x y x y xy xy x y xy ++++≤⋅=≤+∴0,,,2x yx y εδεδδε+∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而0limf dfρρρ→→∆-=取y k x ∆=∆则23320022221sin (1)limlim (1)(1)x f dfk kx k k xk k ρρ→∆→∆-++=⋅=++ 不存在故函数(,)f x y 在点(0，0)不可微.注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微. 例12 .证明函数(,)f x y xy =在点(0，0)连续，但它在点(0，0)不可微.证明:(1)∵00lim (,)lim 0(0,0)x x y y f x y xy f →→→→===故函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续.例13.证明函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在(0，0)连续，但不可微.证明:(1)∵2222222222x y xyx y x y x y++≤=++ ∴00lim (,)0(0,0)x y f x y f →→== 故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)不可微见例4综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示：偏导连续可微连续偏导存在补充1.确定α的值，使得函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y α⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微.2.设函数2222(,)sin 0(,)0,0g x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪+=⎩，证明：(1)若(0,0)0g =,g 在点(0，0)处可微,且(0,0)0dg =，则 f 在点(0，0)处可微,且(0,0)0df =.(2)若g 在点(0，0)处可导,且f 在点(0，0)处可微,则(0,0)0df =.3.确定正整数α的值，使得函数()22220(,)0,0x y x y f x y x y α⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处(1)连续，(2)偏导存在，(3)存在一阶连续偏导.4.设函数222222,0()(,)00,0px x y x y f x y p x y ⎧+≠⎪+=>⎨⎪+=⎩,试讨论它在(0,0)点处的连续性.。

第二节偏导数

（2） uf(x,y,z)
对 x求偏导数时，把y,z看成常数，对 x求导；对 y求偏导数时，把 x,z看成常数，对 y求导；对z求偏导数时，把 x, y看成常数，对 z求导。
例1 . 求 zx23xyy2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1:
z 2x3y, x
z y
3x2y
z x
(1,
2)
例如：u = f ( x , y , z )
ux lx i0 m f(xx,y,zx )f(x,y,z)
fy (x ,y ,z ) ly i0f m (x ,y y , z y ) f(x ,y ,z ),
偏导数的求法
（1） zf(x,y)
对 x求偏导数时，把 y看成常数，对 x求导；对 y求偏导数时，把 x看成常数，对 y求导。
第二节偏导数
第九章
一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数
一元函数导数概念的回顾
定义：设 y = f (x) 在点 x 0 的某个邻域内有定义，
当自变量 x 在 x 0 处取得增量 x (x0x仍在该邻)域
相应的函数也取得增量 y f ( x 0 x ) f ( x 0 )
如果比值的极限
(x,y)(0,0) .
0
(x,y)(0,0)
2 偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导连续，
多元函数中在某点偏导数存在连续，
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
,
0,
x2 y2 0
fx(0,0)ddxf(x,0)x0 0
fy(0,0)ddyf(0,y)y0 0

二元函数微积分——偏导数和全微分解读

z f , , z y , f ( x, y ) , f ( x, y ) y 2 y y
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y ( x, y , z ) ?
r2
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法
先求后代（把其他变量视为常数）
利用定义
逐次求导法
练习
1、求二元函数 z x ye 的各二阶偏导数。
2 y
3 3 2
2、求二元函数 z x y 3 xy 的各二阶偏导数。
定义：设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内极限
x0 x
x
x0
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x 的偏导数，记为
f ; zx x ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f ( x , y ) lim x 0 0 x 0 x
例3. 求的偏导数 . 2x x r 解: 2 2 2 x 2 x y z r r z z r
(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程求证: p V T 1 V T p RT p RT 2 , 证: p 说明: 此例表明, V V V 偏导数记号是一个 RT V R V , p T p 整体记号, 不能看作分子与分母的商 !

第二节：偏导数

2 f 2z z = , 或 zx y , 或 fx y ( x, y). ,或 xy xy y x
.
x z z 例 3 设z = arcsin 2 ,求 , . 2 x y x +y
解
z = y
1 x2 1 2 x + y2
′ x x2 + y2 y
x2 + y2 (xy) = | y| ( x2 + y2 )3
x 2 , y>0 2 x +y = x 2 , y<0 2 x +y
理以义数同可定函 z = f ( x, y)对变 y 的导 , 自量偏数
z f 记作 , , z y 或 f y ( x, y). y y
上述关于二元函数偏导数的定义, 上述关于二元函数偏导数的定义,可推广到 n 元函数的情形. 元函数的情形. 例如: 例如:u = f ( x , y , z )
第二节偏导数
一,偏导数的定义及其计算法二,高阶偏导数三,小结
一元函数导数概念的回顾定义: 的某个邻域内有定义, 定义:设 y = f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定义, 当自变量 x 在 x0 处取得增量 x ( x0 + x仍在该邻域内) 相应的函数也取得增量 y = f ( x0 + x) f ( x0 )
y= y0
y= y0
如果函数 z = f ( x, y)在区域 D内任一点( x, y)处对
x的偏导数都存在,那么这个偏导数还是 x, y的函数, 的偏导数都存在, 的函数, 的偏导函数, 它就称为函数 z = f ( x, y)对自变量 x的偏导函数,
简称为偏导数. 简称为偏导数. z f , zx或 fx ( x, y) 记为 , x x

第二节偏导数

x2 y2 ( xy ) 2 2 3 | y| (x y ) z y 不存在
x0 y0
( y 0)
16
偏导数的求法
例5 已知理想气体的状态方程
PV RT
p V T ( R为常数)，求证： 1 V T p
证
RT p RT p 2 ; V V V
y 2 , 2 x y x 2 , 2 x y
22
高阶偏导数
z y 2 x y y x y 2 2 2 y2 x2 ( 1) ( x y ) ( y ) (0 2 y ) 2 , 2 2 2 2 2 (x y ) (x y )
z , x
f ( x , y ), x
z x
或f x ( x , y )
8
偏导函数的概念
偏导函数的概念
类似地，可以定义函数z f ( x , y ) 对自变量y的偏导函数，记作
z , y
f ( x , y ), y
z y
或f y ( x , y )
在不引起的情况下，偏导函数也称偏导数
3
偏导数的概念
问题的提出
一元函数的导数定义为函数增量与自变量增量的比值的极限，它刻画了函数对于自变量的变化率。多元函数对某一个自变量的变化率引出了多元比如：一定量理想气体的体积V，压强P与绝对对于多元函数来说，虽然自变量的个数增多了，函数的偏导数概念温度T之间存在着某种联系，我们可以在等温条我们仍然可以考虑函数对某一个自变量的变化率，件下，考察体积对于压强的变化率。（其余自变量都保持不变）
偏导数的计算由偏导数的定义知： (1).要求函数 f ( x , y ) 对自变量 x 的偏导数, 只须将自变量 y 看成常数，用一元函数的求导

第二节偏导数

x y
x y x y
x
2
y
2
解
z arcsin x e
z 1 1 1 e arcsin x e x y 1 x 2 x
x z arcsin x e 2 y y
x y
7
例1
求下列多元函数的偏导数
3
解
z 1 xy
即函数在点
f 0 x, 0 f 0, 0
0, 0 处可导。
由此知，偏导数存在，函数在该点 11 未必连续。
连续连续
偏导数存在。偏导数存在。
不同！
对比一元函数，我们有：可导但：可导
连续，
连续，
12
偏导数的几何意义（演示）
z x2 y 2 1 5 例4 求曲线在点 ,1, 2 4 y 1
y
z x y 1 xy
y 1
y y 1 xy
2
y 1
ln z y ln 1 xy
1 x z y ln 1 xy y z 1 xy xy y z y 1 xy ln 1 xy 1 xy
0 0
它的几何意义就是函数曲线上点
x , f x 处的切线的斜率。
对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，以二元函数
z f x, y 为例，我们分别讨论：
z 相对于 x 以及 z 相对于 y 的瞬时变化率——偏导数
3
F x, y , z 0 z f x , y
9
例2 理想气体的状态方程pV RT R为常数，求证： p V T 1 V T p

5.2 二元函数的偏导数与全微分(优教课堂)

§5.2 二元函数的偏导数与全微分
一、偏导数二、高阶偏导数三、全微分四、全微分在近似计算中的应用
课堂教育
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
一、偏导数
1、偏导数的定义
定义 1 设函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )的某一邻
域内有定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0 处有增量x
课堂教育
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例 5 设z x3 y2 3xy3 xy 1，
求
2z x 2
、
2z yx
、
2z xy
、
2 y
z
2
及
3z x 3
.
解 z 3x2 y2 3 y3 y, z 2x3 y 9xy2 x;
x
y
2z x 2
6
xy2
,
3z x 3
,
y0
)或
zy
. x x0
y y0
y y0
y y0
课堂教育
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
如果函数z f (x, y)在区域 D内任一点
(x, y)处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是 x、 y的函数，它称为函数z f (x, y)对自
变量 x的偏导函数，简称偏导数.
证
x z 1 z
2z
y x ln x y
例3 求
的偏导数 .
解 r 2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r z .
z r课堂教育
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分

二阶偏导数

= [ f x′( x0 + θ1∆x, y0 + ∆y ) − f x′( x0 + θ1∆x, y0 )]∆x,
其中,0 < θ 1 < 1.
A = [ f x′( x0 + θ1∆x, y0 + ∆y ) − f x′( x0 + θ1∆x, y0 )]∆x
再对变量 y 用拉格朗日中值定理. 得
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续偏导. 则记为 f (X)∈Ck (D). k为非负整数. 若 f (x, y)∈Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只要是对 x 求导 m 次, 对 y 求导 k – m 次, 都可写成
∂ f , 或, f x(mky)k −m ∂x m ∂y k −m
′ 从而, 在任何点 ( x, y ), 有u ′′ = u ′yx xy
即 1 + b sin x ≡ a.
比较知 a = 1, b = 0.
本题也可 :由u ′ = x 2 + ay, 积分(以x为积分变量), x
1 3 得 u = x + axy + c( y ). 3 从而 u ′y = ax + c′( y ).
z 2 z 2
2(e z − sec 2 z ) 2 − 4 x 2 (e z − 2 sec 2 z ⋅ tgz ) = z 2 3 (e − sec z )
′′ 同理 f yx ( x 0 , y 0 )
1 [ f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 +∆x , y0) = lim lim ∆x→0 ∆y→0 ∆x∆y
– f (x0, y0 +∆y ) + f (x0 , y0)]

第二节二元函数的一阶、二阶偏导数

第二节二元函数的一阶、二阶偏导数一、二元函数的一阶偏导数1、在某点处的一阶偏导数——已知二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处及其附近有定义，若一元函数)(0y x f z ，=在点0x 处对x 可导，则称此导数值为二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处对x 的一阶偏导数，记作)(00y x f x ，'，或00|y y x x x z =='，或xy x f ∂∂)(00，，或00|y y x x x z ==∂∂；若一元函数)(0y x f z ，=在点0y 处对y 可导，则称此导数值为二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处对y 的一阶偏导数，记作)(00y x f y ，'，或00|y y x x y z =='，或yy x f ∂∂)(00，，或0|y y x x y z ==∂∂。

2、可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。

3、在某区域上的一阶偏导数——若二元函数)(y x f z ，=在区域E 上每一点)(y x ，处都有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域E 上每一点)(y x ，都有一个对x 的一阶偏导数值和一个对y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新的二元函数分别称为)(y x f z ，=对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作)(y x f x ，'，或x z '，或x y x f ∂∂)(，，或xz ∂∂和)(y x f y ，'，或y z '，或y y x f ∂∂)(，，或y z ∂∂。

二、二阶偏导数 1、定义——二元函数)(y x f z ，=一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数)(y x f z ，=的二阶偏导数，共有四个，分别记作x x xx y x f y x f ))(()(''=''，，，或xx z ''，或22)(x y x f ∂∂，，或22xz ∂∂ y x xy y x f y x f ))(()(''=''，，，或xy z ''，或y x y x f ∂∂∂)(2，，或yx z ∂∂∂2 x y yx y x f y x f ))(()(''=''，，，或yx z ''，或x y y x f ∂∂∂)(2，，或xy z ∂∂∂2y y yy y x f y x f ))(()(''=''，，，或yy z ''，或22)(y y x f ∂∂，，或22yz ∂∂。

第九章第2节偏导数

的斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点M0 处的切线M0Ty 对 y 轴
的斜率.
20
二、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
f (x,
y)
2 xy
f x (1,1) f x ( x, y) x1 2 x y x1 2 7
y 1
y 1
(2) 实际求偏导数不需新的方法，因为这里只有
一个自变量在动，另一个自变量可以看做固定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题，比如：
d fx (x0 , y0 ) dx ( f (x, y0 ) ) xx0 ,
d f y (x0 , y0 ) dy ( f (x0 , y ) ) yy0 .
求函数的偏导函数也是类似
8
(3)偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
fx(x, y,z)
lim
x0
f(x
x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
连续不一定偏导数存在, 偏导数存在也不一定连续
18
4、偏导数的几何意义设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
19
几何意义:
d fx (x0 , y0 ) dx ( f (x, y0 ) ) xx0 ,
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点M0 处的切线 M0Tx 对 x 轴

二元函数 saddle point

二元函数saddle point
二元函数的鞍点是指在函数曲面上同时具有局部极大值和局部极小值的点。

换句话说，鞍点是函数在某一方向上增长，在另一方向上减小的点。

数学上，给定一个二元函数 f(x, y)，其鞍点可以通过以下方式来确定：
1. 计算函数的一阶偏导数：∂f/∂x 和∂f/∂y。

2. 找到所有满足∂f/∂x = 0 和∂f/∂y = 0 的点。

3. 对于这些点，计算二阶偏导数∂²f/∂x²、∂²f/∂y²和∂²f/∂x∂y。

4. 如果二阶偏导数满足∂²f/∂x² * ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)² < 0，则该点为鞍点。

简而言之，鞍点是在局部极值点周围的特殊点，其判别条件是二阶偏导数的行列式为负数。

请注意，鞍点不同于临界点（即梯度为零的点）。

临界点可能是局部最小值、局部最大值或鞍点中的任意一个。

因此，要确定一个点是否为鞍点，需要进一步计算二阶偏导数。

1。

5.2 二元函数的偏导数与全微分ppt课件

z ， f ， x x x0 x x x0
f
x
(
x0
,
y0
)
或Байду номын сангаас
Z
x
(
x0
,
y0
)
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 y
的偏导数，为
lim f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 )
y0
y
记为 z y
， f x x0 y
，
x x0
f
y
(
x0
定理 3（可微的必要条件）如果函数z f (x, y) 在点(x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏导数 z 、 z 必存在，且函数z f (x, y)在点(x, y)的全 x y 微分为
dz z x z y． x y
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例3 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解 r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , y r
r z .
z r最新课件
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例4 已知理想气体的状态方程 pVRT
(R 为常数) , 求证:
p V T 1 V T p
证 p RT , V
y 2u 2(x2( x2 y 2)y 2)y2 2y(x x 2 2 y y2 2 )2.
2u 2u x2 y2 最0新. 课件
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例8 证明函数 u1,r x2y2z2满足 r

第二节二元函数的一阶、二阶偏导数

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系

二元函数的偏导数和极值的应用

公共课教学部教学大纲_3

第2节 偏导数

5.2 二元函数的偏导数与全微分

二阶偏导数

二元函数的连续偏导可微

第二节偏导数

二元函数微积分——偏导数和全微分解读

第二节：偏导数

第二节 偏导数

第二节偏导数

5.2 二元函数的偏导数与全微分(优教课堂)

二阶偏导数

第二节 二元函数的一阶、二阶偏导数

第九章 第2节 偏导数

二元函数 saddle point

5.2 二元函数的偏导数与全微分ppt课件

第2节偏导数

第二节偏导数

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