高三数学导数基础讲义教案

高三数学导数基础讲义教案

二、考试要求

⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。

⑵熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x,lnx, log

x的导数）。掌

a

握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

三、复习目标

1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．

x的导数）。

2．熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x, lnx, log

a

掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。

4．了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。

四、双基透视

导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:

1．导数的常规问题：

（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；

（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；

（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

5．瞬时速度

在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 6．导数的定义 7．导数的几何意义

函数y=f(x)在点0x 处的导数，就是曲线y=(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：

(1)求出函数y=f(x)在点0x 处的导数，即曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 ))(('000x x x f y y -=-

特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为0x x = 8．和（或差）的导数 9．积的导数

10．商的导数

11. 导数与函数的单调性的关系

范例分析

例1．⎩⎨

⎧>+≤==1

1

)(2

x b

ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：

（1）h

h a f h a f h 2)

()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆

例3．观察1

)(-='n n

nx

x ，x x cos )(sin ='，x x sin )(cos -='，是否可判断，可导的

奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。

例4．（1）求曲线1

22

+=x x

y 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2

221t t

t S +-=，求t=3时的速度。

例5． 求下列函数单调区间 （1）522

1)(2

3

+--

==x x x x f y （2）x

x y 1

2-=

（3）x x

k y +=2

)0(>k （4）αln 22

-=x y 例6．求证下列不等式

（1）)

1(2)1ln(22

2x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x （2）π

x

x 2sin >

)2

,

0(π

∈x

（3）x x x x -<-tan sin )2

,0(π

∈x

例7．利用导数求和：

（1）； （2）

。

例8．求满足条件的a

（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数 （2）使a ax x y ++=3

为R 上…… （3）使5)(2

3

-+-=x x ax x f 为R 上↑

例9．（1）),0(∞+∈x 求证x x x x 11ln 11<+<+ （2）N n ∈ 2≥n 求证 1

1

211ln 13121-+++<<+++n n n

例10． 设0>a ，求函数),0()(ln()(+∞∈+-=

x a x x x f 的单调区间.

例11．已知抛物线42

-=x y 与直线y=x+2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别为1l 和2l 。

（1）求A 、B 两点的坐标； （2）求直线1l 与2l 的夹角。

例12．（ 天津卷）设0>a ，x x e

a

a e x f +=

)(是R 上的偶函数。 （I ）求a 的值；

（II ）证明)(x f 在),0(+∞上是增函数。 例13．（2000年全国、天津卷）设函数ax x x f -+=

1)(2，其中0>a 。