电磁场与电磁兼容 闻映红

四、标量场的梯度
设有一个标量场 f 从场中某点沿路经dl位移到邻近的另一点，此 标量值从 f 变化为 f+df ，在直角坐标系内增量为
f f f d f dx d y dz x y z f f f x a x y a y z a z d l f d l
例：流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动 = 0，无涡旋运动
流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源
例1：求力F =2yax+xyay+zaz N将目标从P1（1，1，0） 移动到P2（0，2，3）点所做的功,路径方程：
y x 2
解：
W
b
a
0 2 3 F dl 2 ydx xydy zdz

标量场和矢量场（二）

场（field）：假设有一个n维空间，如果空间 的每一个点都具有某一特性的“量”，这种性 质的“量”，就被称为“场”。 如温度场、 电场、磁场、电磁场。 标量场(scalar field)：如果空间中每一个点 所赋予的“量”为标量，此空间就为标量场。


矢量场(vector field)：如果空间中每一个点 所赋予的“量”为矢量，此空间就为矢量场。
矢量也可以按平行四边形法则或三角
形法则来实现相加：
B B A B A+B B A A-B A A+B -B A A-B
-B
矢量的加法运算满足：
1) 交换律：A + B = B + A 2) 结合律：
A + B + C = ( A + B ) + C = A+( B + C )
3) 矢量与系数k相乘等于k与各个分量相乘的和：
• 定义：A B = A B cos 其中 为A 、B间的夹角 直角坐标系中： A B = AxBx + AyBy +AzBz
A B Ay By Az Bz A B 1 x x cos cos AB AB
1
• 物理意义：表示一个矢量与另一个矢量投影 的乘积
A
S S
(3)矢量场A穿过闭合面S的通量：
A dS A cos dS
S S
通量的物理意义：
以流体为例，若
v dS 0
S
v dS 0
S
v dS 0
S
每秒有净流量流 出，封闭面内有 正源
每秒有净流量 流入，封闭面 内有负源
每秒流入封闭面和 流出封闭面的净流 量相等，封闭面内 无源，或正源与负 源相等
F dS 0
S
则称其为无散场——F=0 无散场对应着一个矢量场A——F = A
若F=0，则F≠0——散度源（通量源） 若F=0 ，则F≠0——旋度源（涡旋源） 源是场的因，场同源一起出现。
例：判断矢量场的性质
F 0 F 0
F 0 F 0
（1）汉密顿算符 定义:
ax ay az x y z
称为矢量微分算子，也叫汉密顿算符。
汉密顿算符的运算: F (a x ay a z ) (a x Fx a y Fy a z Fz ) x y z
Fx Fy Fx 矢量场的散度运算，散度源 x y z
ax F x Fx
ay y Fy
az z 矢量场的旋度运算，旋度源 Fz
Fz Fy Fx Fz Fy Fx ax ( ) ay ( ) az ( ) y z z x x y
f ( x, y, z ) 6 x y e
2 3
z
在点P（2，1，0）的梯度。
解： 2 3 z 2 3 z f 6 x y e a x 6 x y e a y 6 x 2 y 3 e z a z x y z
3. 矢量的积分运算
在直角坐标系中，路径长度微分元，曲 面积微分元和体积微分元为：
d l d xa x d ya y d za z ds dy d za x dzdxa y dxdya z dv d xdy d z
（1）矢量场沿曲线C的积分 ：
散度定理
F d s Baidu Nhomakorabea F dv
S v
散度定理表明：矢量场通过任意闭合面向外的 总通量等于矢量场的散度在闭合面所包围的体 积内的积分。这个结论使体积分和面积分能相 互转化。
（3）矢量场的旋度的定义 矢量场的旋度是当平面面积S收缩为零时，矢
量场沿包围不闭合面S的边界线C的线积分。 旋度
第一部分 电磁场基本理论
第1章 矢量分析
标量场和矢量场（一）

标量(scalar):只具有数值大小，而没有方向 的物理量。如质量、密度、温度、功、能量、 速率、时间、热量、电阻等物理量。这些量之 间的运算遵循一般的代数法则。 矢量（vector）:指需要大小和方向才能完整 表示的物理量。如位移、速度、加速度、力、 力矩、动量等物理量。矢量也常称为向量。这 些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而 遵循特殊的运算法则。如矢量加法一般用平行 四边形法则。
l
P2 P1
• 沿闭合曲线的线积分定义 为矢量场的环流量:
Γ A dl Acosdl
L L
( Ax dx Ay dy Az dz )
L
环流量的计算
环流量的物理意义：
c
A dl 0 —— 表明c包围涡旋源
c
A dl 0 —— 表明c不包含涡旋源

A 或用上面带箭头的符号
A 来表示
用有向线段（带箭头的线段）来表示:
A
B
为了能对矢量进行运算，首先必须确定坐标系
直角坐标系： 由三个相互垂直的平面构成，某一点的位置 由这三个平面的交叉点来描述：P =（x, y, x）
如果矢量在直角坐标系每个坐标轴上的投影分别 为Ax, Ay, Az，则矢量可以写成单位矢量的叠加：
kA= (k Ax) ax+ (k Ay ) ay + (k Az ) az 若k=-1，则得两个矢量相减：
A + ( -B )= A – B= (Ax-Bx) ax + (Ay-By ) ay+ (Az-Bz) az
2. 矢量的乘法运算
两个矢量的乘积有两种定义：点乘和叉乘
(1)两个矢量的点乘（标量积，点积）—— 结果是标量
（2）矢量场的散度的定义 矢量场的散度是指当体积趋向于零时，每单位 体积内的矢量向外的净通量。 散度是标量
div F lim F ds
s
0
Fx Fy Fz F x y z
实质上，矢量场的散度表示从一个点出发的场 的通量，它指出了在那个点处的合成源。
一个矢量场只可能有两种源——旋度源和散 度源，此外，再无其它类型的源。若在给定边界 空间中，一个矢量场的旋度和散度都给定了，则 该矢量场的解是唯一确定的。
1.矢量场和源的关系
无旋场：一个矢量场F，对任意闭合路径都有
F dl 0
c
则称其为无旋场——F=0 无旋场对应着一个标量场 f——F = f 无散场：一个矢量场F，对任意闭合面都有
F dl F cos dl Fx dx Fy dy Fz dz
C C C C C
乘积的积分
该积分表示 C的路径长度微分 dl 乘积的积分。
F 沿路径切向的分量 Fcos
与沿曲线
• 沿不闭合曲线的线积分定义为力场所做的功:
F dl
例2：求矢量力场 F =2xax+ay-az 在三点（2， 1，0），（2，3，0）和（2，3，4）所确定 的平面上的通量。
解：
F ds F cos ds
s s
Fx dydz Fy dxdz Fz dxdy 16
4. 矢量的散度和旋度运算
A Ax ax Ay a y Az az
二、矢量的运算
矢量的加法 矢量的乘法 矢量运算 矢量的积分 矢量的散度 矢量的旋度
1. 矢量的加法运算
定义：矢量可以通过各个分量的相加来实现叠加。 若 A= Axax + Ay ay + Az az B= Bx ax + By ay + Bz az 则 A+B = (Ax+Bx) ax + (Ay+By ) ay+ (Az+Bz) az
矢量分析

又称数学场论，是研究各种类型场运动规 律的数学工具，它的数学公式与场的物理 概念紧密相关 场论是把各种物理的场在数学上抽象成矢 量场和标量场来研究 麦克斯韦方程组描述的电磁场场量可以用 矢量来描述


一、矢量的概念

矢量就是有方向的量，矢量包含了两种信息：幅 度和方向 矢量的表示：
用黑体符号来表示
x 1 y 1 z 0
0 2 3 2 x 2dx y 2 ydy zdz y 1 z 0 x 1 13 J 6
（2）矢量场在曲面S上的面积分：
F ds F cos ds Fx dydz Fy dxdz Fz dxdy
推论： A B = 0 A ⊥B
（可作为两矢量相互垂直的判据）
（2）两个矢量的叉乘（叉积、矢量积） —— 结果是矢量
定义：C = A × B 模 C =∣ A × B ∣=A B sin A 、B、C成右手螺旋关系
C=A×B
方向 C⊥A，C⊥B
即叉积垂直于由两个矢量构成的平面
B

Bsin A
是矢量
curl F lim F
S 0

C
F dl S
Fy Fx Fx Fz Fz Fy ( )a x ( )a y ( )a z y z z x x y
实质上，旋度是矢量场关于一个点的合成环 流量。旋度表征了矢量在三个相互正交的平面内 的环流量。
直角坐标系中，
A B A B sin AB an ( Ay Bz Az By )ax ( Az Bx Ax Bz )a y ( Ax By Ay Bx )az
a n 为单位矢量
两个矢量的叉乘满足：
1) A×B = -B×A A×(B+C)=A×B+A×C 2) A × A = 0

B
A 在 B 方向上的投影
两个矢量的点乘满足：
1） A B = B A 2） ( A+ B ) C = A C + B C
3) A A = A 2 直角坐标系中， A A = Ax2 + Ay2 + Az2
4) 两个单位矢量的点乘： 1 0 i=j i≠j
ai aj =
f f f ax a y az 梯度： f x y z
梯度的物理意义
梯度的模为为 f 的最大增加率， 方向与等值面相垂直，即等 值面的法线方向。等值面： 由 f 值相同的点构成。
u 0
df f d ln
梯度矢量重要性质 f 0
例： 求标量场
斯托克斯定理

S
( F ) ds F dl
C
斯托克斯定理表明：矢量场沿任意闭合回路C的 环流量可由矢量场的旋度在由此闭合回路所包 围的开曲面上的面积分来获得。这个结论使得 面积分和线积分之间能相互转换。 旋度的重要性质
( F ) 0
三、亥姆霍兹定理
S S
其中, 是矢量 F 和曲面法线之间的夹角。
面积分表示我们将矢量F 垂直于积分面的分量与曲面微分 元的乘积进行相加。该结果给出了矢量F 通过曲面S 的通量。
矢量场的通量的定义:
(1)矢量场A穿过面元dS的通量：
A dS A cos dS
(2)矢量场A穿过开曲面S的通量：
A dS A cos dS