59.周末培优

59.周末培优

高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆

【典例】 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，45B =︒，3b =.

（1）若cos 2cos 1C A +=，求A 和c 的值；

（2）若2sin ,12A

⎛⎫=- ⎪⎝⎭m ，23cos ,2sin 22A

A ⎛⎫

= ⎪⎝⎭n ，()f A =⋅m n ，求()f A 的取值范围．

【练习】

1．设1

3

cos 66,22a =+o o 22tan171cos70,1tan 172b c -==+o o

o ，则有

A ．b c a <<

B ．c b a <<

C ．c a b <<

D ．a c b <<

2．已知1

3

4

sin 25αα+=,则4sin 3απ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭的值为

A ．23

B 23

C ．4

5- D ．4

5

3．已知函数()πππcos 22sin cos 344f x x x x ⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫

=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，x ∈R ，给出下列四个命题：

①函数()f x 的最小正周期为2π；②函数()f x 的最大值为1；

③函数()f x 在ππ,44⎡

⎤

-⎢⎥⎣⎦上单调递增；

④将函数()f x 的图象向左平移π

12个单位长度，得到的函数解析式为()sin 2g x x =．

其中正确命题的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【参考答案】（1）45A =︒；32c =；（2）()622f A ⎤--∈⎥⎝⎦. 【试题解析】（1）∵45B =︒， ∴()cos 2cos cos 1352cos C A A A +=︒-+22cos sin 2cos 22

A A A =-++ ()22sin cos sin 45122

A A A =+=+︒=. ()4545180A +︒∈︒︒Q 又，，

4590A ∴+︒=︒，即45A =︒： .

∴ABC △为等腰直角三角形，

∴2232c a b +=

（2）由二倍角公式及辅助角公式得()π2sin 3cos sin 2sin 12226A A A f A A ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭， ∵30π4

A <<

， ∴ππ11π6612A <+<， ∴()622f A ⎤--∈⎥⎝⎦

. 【解题必备】1．与向量相结合的三角综合问题

三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a·b =x 1x 2＋y 1y 2，a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.

2．与解三角形相结合的三角综合问题

（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；

（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．

【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π

(0,)2

内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.

1．【答案】A 【解析】由题意得()2

213630sin 3622a ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭o o o ， 2222sin172tan17cos17sin 34sin 171tan 171cos 17

b ===++o

o o o o o o ，()2112sin 35sin 352c --==o ， 因为正弦函数在0,2

π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上为增函数，所以b c a <<,故选A. 【名师点睛】本题是一道关于三角函数值大小比较的题目，解答本题的关键是掌握三角函数公式；二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数的基本关系等，属于中等题. 2．【答案】C 【解析】由辅助角公式得2213134sin sin 222335αααα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以44sin sin sin 3335ααα⎡⎤πππ⎛

⎫⎛⎫⎛⎫+=π++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝

⎭⎝⎭⎣⎦，故选C. 【名师点睛】本题主要考查了辅助角公式的应用： ()22sin cos tan b a b a b a αααϕϕ⎛⎫+=++= ⎪⎝

⎭，属于基础题. 3．【答案】B 【解析】()cos 2sin 2cos 2cos sin 2sin cos 23233f x x x x x x πππ⎛

⎫⎛⎫=-

-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π 312cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()f x 最小正周期22T π==π，可知①错误； []sin 21,16x π⎛⎫-∈- ⎪⎝

⎭，即()f x 的最大值为1，可知②正确； 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

时，22,633x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()f x 不单调，可知③错误； ()f x 向左平移12π个单位，即()sin 2sin 212126g x f x x x π⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

，可知④正确. 故正确命题个数为2个，故选B.

【名师点睛】本题考查()sin y A ωx φ=+的最小正周期、最值、单调性、平移变换的相关知识，关键是能够首先通过两角和差公式、诱导公式、辅助角公式将函数整理为()sin y A ωx φ=+的形式