数据的数字特征
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极差和方差来反映离散程度
问题1 在上一节中，从甲乙两个城市随机抽取的
16台自动售货机的销售额可以甲用的茎中叶位数图：表1示8 2如2 下
众数：10 18 30
1极°差甲分乙别两是组多数少据？的中位数众甲数乙的的平众8中极均数8位甲差84数：06数：：250：352320132.478
乙
31
028
2°你能从上图中分别比较甲乙的方平差极均：差7数2051：：002.3298823.6
乙 1 40 40 40 40 39.9 40 10 0.06
方法4
甲 1 40 40 3 39.8 40 3 39.8 40 3 10 0.005 (mm 2 )
乙
1 40 40 3 40 40 3 39.9 40 3
10 0.0006 (mm 2 )
直径/mm
你能选择适当的数分别表示这两组数据吗？
40.3 40.2 40.1
40 39.9 39.8 39.7 39.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
产品编号
它们的平均数都是40，因此仅用平均水平还 难以准确地刻画一组数据
方法1(极差)
甲：40.2-39.8＝0.4
乙：40.1-39.9＝0.2
02337 12448
乙两组数据的平均数和方差 的大小吗？
方差：131581.245
238
例1某某公公司司员员工工的的月月工工资资情情况况如如表表：： 我的工资 是2000
我的工资是 1500
职员c
我的工 资是 4000
职员D
我的可以拿 到？？？
工程师
应聘者
月工资/元 8000 5000 4000 2000 1000 800 700 600 500
2、避免过于复杂、烦琐的计算 我们采用excel计算数据 http://www.hongen.com/pc/oa/excel2k/ex2k0101.htm
从某个确定的时间“开始”计时，经过一段时间 后叫“停止”，试估计这段时长
1°记录下你的估计时间；
2°汇总全班同学的估计时间，并利用适当的统计 图表刻划它；
甲：s＝0.16（mm） 乙：s＝0.077(mm)
因为甲的标准差比乙大，因此乙更稳定
1、对数据数字特征内容的评价,应当更多地 关注对其本身意义的理解和在新情境中的应 用，而不是记忆和使用的熟练程度．因此， 在分析数据的过程中，要理解数据的平均值 和标准差在此处的意义，再对估计结果作出客 观的评判
如果你应聘该公司，你怎样看待公司员工的收入情况？
平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度 量，它是反映数据集中趋势最常用的统计量； 中位数将观测数据分成相同数目的两部分， 其中一部分都比这个数小而另一部分都比这 个数大，对于非对称的数据集，中位数更实 际地描述了数据的中心；当变量是分类变量 时，众数往往经常被使用
员工数/人 1
2
4 6 12 8 20 5 2
(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数。
(2)公司经理会选取上面哪个来代表该公司员工的月工资情 况，税务官呢？工会领导呢？
分析：1.根据平均数、中位数的计算公式，可以算出平均数 为：1373元，中位数为：800元，众数为：700元
2.不同身份的人代表不同阶层人的利益，对公司领导平均数 好，对税务官中位数比较好，对工会领导众数即使他的选择
例2 甲乙两台机床同时生产直径为40mm的零件，为 了检验产品的质量，从两台机床生产的产品中个抽 取10件进行测量，结果如下：
甲/mm
40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 40.0 40.2 39.8 40.2 39.8
乙/mm
40.0 40.0 39.9 40.0 39.9 40.1 40.1 40.1 40.0 39.9
用不同的方式刻画数据离散程度，其理想的形式满 足一下三条 ：
1°应充分利用数据，以便提供更确却的信息 2°仅用一个数据来刻画数据的离散程度 3°对于不同的数据，当离散程度大时，该数亦大
问题这么多方式都可以表达，那么什么方式表 达最好呢？
方法1(即极差)因为极差对极值过于敏感，显然不满足第一条 原则，因此有时我们去掉最小的25%的数据与最大的25%的数 据，然后求出剩下的中间数据的极差，这中间50%数据的极差， 我们称之为四分位数极差
偶数个数时，中位数有2个
④众数：就是一组数据中出现次数最多的数．
⑤极差：就是一组数据中最大数与最小数之间的差．
⑥方差：就是一组数据中所有数与平均数的差的平 方和的平均数．设有n个数据x1，x2，…，xn，这组数 据的方差为：
s2 (x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2 n
其中平均数、加权平均数、中位数或众数反映集中趋势
方法2(方差)
甲： s甲2
1 [(40 40)2 10
39.8 402
39.8 402 ]
＝0.026(m㎡)
乙
s甲2
1 [(40 40)2 10
40 402
39.9 402 ]
＝0.006(m㎡)
方法3
甲 1 40 40 39.8 40 39.8 40 10 0.14
②加权平均数：就是一组数据的加权平均．设有 n个数据x1，x2，…，xn，它们的权分别为l1， l2，…，ln，这组数据的加权平均数为：
x x1l1 x2l2 xnln
由此可以看出，平均数是加权平均数的一个特例， 也就是说，它们的权都是1/n ③中位数：就是一组数据按照从小到大或从大到小的 顺序进行排列时，处于中间位置的数． 奇数个数时，中位数有1个
3°计算这些数据的平均值、标准差，并与确却的 时间进行比较，你会发现什么？
数据的数字特征
Data’s characteristic
复习回顾 前面我们学习了利用统计图表显示数据的特征
条形统计图
统计图
折线统计图 扇形统计图
茎叶图
数据的特征除了利用统计图表外，还可以利用一些统计量 来表述，前面我们在表示数据的集中趋势和离散程度时， 我们利用平均数、中位数，众数、极差、方差等来表示。
方法3（即绝对差）满足理想形式的三条原则，它也是刻画
数据离散程度的标一种准方差法：，但方是差在的实际平中方，根人们更多使用的
是标准差
其主要原因是：从数学上来说，二次函数的性质比绝 对值函数要好，比较方便运算
问题3 分别计算上题中的甲乙车床的标准差？ 根据标准差计算公式
s (x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2 n
①平均数：就是一组数据的平均，设有n个数据， x1 ,x2, …,xn,这组数据的平均数为：
x x1 x2 xn n
特别地，如果上面n个数据中不同数据x1，x2，…，xn的个 数分别为k1，k2，…，kn，那么它们的平均数为
x x1k1 x2k2 xnkn k1 kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ kn
问题1 在上一节中，从甲乙两个城市随机抽取的
16台自动售货机的销售额可以甲用的茎中叶位数图：表1示8 2如2 下
众数：10 18 30
1极°差甲分乙别两是组多数少据？的中位数众甲数乙的的平众8中极均数8位甲差84数：06数：：250：352320132.478
乙
31
028
2°你能从上图中分别比较甲乙的方平差极均：差7数2051：：002.3298823.6
乙 1 40 40 40 40 39.9 40 10 0.06
方法4
甲 1 40 40 3 39.8 40 3 39.8 40 3 10 0.005 (mm 2 )
乙
1 40 40 3 40 40 3 39.9 40 3
10 0.0006 (mm 2 )
直径/mm
你能选择适当的数分别表示这两组数据吗？
40.3 40.2 40.1
40 39.9 39.8 39.7 39.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
产品编号
它们的平均数都是40，因此仅用平均水平还 难以准确地刻画一组数据
方法1(极差)
甲：40.2-39.8＝0.4
乙：40.1-39.9＝0.2
02337 12448
乙两组数据的平均数和方差 的大小吗？
方差：131581.245
238
例1某某公公司司员员工工的的月月工工资资情情况况如如表表：： 我的工资 是2000
我的工资是 1500
职员c
我的工 资是 4000
职员D
我的可以拿 到？？？
工程师
应聘者
月工资/元 8000 5000 4000 2000 1000 800 700 600 500
2、避免过于复杂、烦琐的计算 我们采用excel计算数据 http://www.hongen.com/pc/oa/excel2k/ex2k0101.htm
从某个确定的时间“开始”计时，经过一段时间 后叫“停止”，试估计这段时长
1°记录下你的估计时间；
2°汇总全班同学的估计时间，并利用适当的统计 图表刻划它；
甲：s＝0.16（mm） 乙：s＝0.077(mm)
因为甲的标准差比乙大，因此乙更稳定
1、对数据数字特征内容的评价,应当更多地 关注对其本身意义的理解和在新情境中的应 用，而不是记忆和使用的熟练程度．因此， 在分析数据的过程中，要理解数据的平均值 和标准差在此处的意义，再对估计结果作出客 观的评判
如果你应聘该公司，你怎样看待公司员工的收入情况？
平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度 量，它是反映数据集中趋势最常用的统计量； 中位数将观测数据分成相同数目的两部分， 其中一部分都比这个数小而另一部分都比这 个数大，对于非对称的数据集，中位数更实 际地描述了数据的中心；当变量是分类变量 时，众数往往经常被使用
员工数/人 1
2
4 6 12 8 20 5 2
(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数。
(2)公司经理会选取上面哪个来代表该公司员工的月工资情 况，税务官呢？工会领导呢？
分析：1.根据平均数、中位数的计算公式，可以算出平均数 为：1373元，中位数为：800元，众数为：700元
2.不同身份的人代表不同阶层人的利益，对公司领导平均数 好，对税务官中位数比较好，对工会领导众数即使他的选择
例2 甲乙两台机床同时生产直径为40mm的零件，为 了检验产品的质量，从两台机床生产的产品中个抽 取10件进行测量，结果如下：
甲/mm
40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 40.0 40.2 39.8 40.2 39.8
乙/mm
40.0 40.0 39.9 40.0 39.9 40.1 40.1 40.1 40.0 39.9
用不同的方式刻画数据离散程度，其理想的形式满 足一下三条 ：
1°应充分利用数据，以便提供更确却的信息 2°仅用一个数据来刻画数据的离散程度 3°对于不同的数据，当离散程度大时，该数亦大
问题这么多方式都可以表达，那么什么方式表 达最好呢？
方法1(即极差)因为极差对极值过于敏感，显然不满足第一条 原则，因此有时我们去掉最小的25%的数据与最大的25%的数 据，然后求出剩下的中间数据的极差，这中间50%数据的极差， 我们称之为四分位数极差
偶数个数时，中位数有2个
④众数：就是一组数据中出现次数最多的数．
⑤极差：就是一组数据中最大数与最小数之间的差．
⑥方差：就是一组数据中所有数与平均数的差的平 方和的平均数．设有n个数据x1，x2，…，xn，这组数 据的方差为：
s2 (x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2 n
其中平均数、加权平均数、中位数或众数反映集中趋势
方法2(方差)
甲： s甲2
1 [(40 40)2 10
39.8 402
39.8 402 ]
＝0.026(m㎡)
乙
s甲2
1 [(40 40)2 10
40 402
39.9 402 ]
＝0.006(m㎡)
方法3
甲 1 40 40 39.8 40 39.8 40 10 0.14
②加权平均数：就是一组数据的加权平均．设有 n个数据x1，x2，…，xn，它们的权分别为l1， l2，…，ln，这组数据的加权平均数为：
x x1l1 x2l2 xnln
由此可以看出，平均数是加权平均数的一个特例， 也就是说，它们的权都是1/n ③中位数：就是一组数据按照从小到大或从大到小的 顺序进行排列时，处于中间位置的数． 奇数个数时，中位数有1个
3°计算这些数据的平均值、标准差，并与确却的 时间进行比较，你会发现什么？
数据的数字特征
Data’s characteristic
复习回顾 前面我们学习了利用统计图表显示数据的特征
条形统计图
统计图
折线统计图 扇形统计图
茎叶图
数据的特征除了利用统计图表外，还可以利用一些统计量 来表述，前面我们在表示数据的集中趋势和离散程度时， 我们利用平均数、中位数，众数、极差、方差等来表示。
方法3（即绝对差）满足理想形式的三条原则，它也是刻画
数据离散程度的标一种准方差法：，但方是差在的实际平中方，根人们更多使用的
是标准差
其主要原因是：从数学上来说，二次函数的性质比绝 对值函数要好，比较方便运算
问题3 分别计算上题中的甲乙车床的标准差？ 根据标准差计算公式
s (x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2 n
①平均数：就是一组数据的平均，设有n个数据， x1 ,x2, …,xn,这组数据的平均数为：
x x1 x2 xn n
特别地，如果上面n个数据中不同数据x1，x2，…，xn的个 数分别为k1，k2，…，kn，那么它们的平均数为
x x1k1 x2k2 xnkn k1 kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ kn