[工学]线性代数讲义

b1 , b2 .
1 2
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , 2 a12 : a12a21x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得 （a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
14.
11 1
例 求方程 2 3 x 0的根.
4 9 x2
解 方程左端 D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6, 由 x2 5x 0 解得 x 2 或 x 3.
§1.2 n阶行列式
一、相关概念和定理（排列和逆序）
x2

a11b2 a11a22
bwk.baidu.coma21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
2. 二阶行列式的定义
表达式 a11a22 a12a21记作
a11 a21
a12 a22
副对角线
主对角线
即
D a11 a21
a12 a22

a11a22
a12a21.
2阶行列式的对 角线法则
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1

a12 x2 a22 x2
b1, b2 .
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
3.例子
例
求二阶行列式 （1）5 1
32
（2）aa2
b b2
解 5 1 5 2 (1)3 13
32
ab a2 b2
ab2 a2b
1.排列 由n个不同数码1，2，…，n组成的有序数
组，称为一个n级排列，用 i1i2 in 表示。
例：2431—— 一个四级排列 45321—— 一个五级排列 12…n—— 一个n级排列
注1：n级排列的总数为n!个。
注2：12…n称为自然排列。
2.逆序
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.

at1(2ja1 2j23aj31) =2
1aj113 a=222j12a332
j3
a31 a32 a33
a13a=232a31 a11a2=31a32 a12a2=11a33
观类察似结地果：
（（(123D））)每每列每项aa项标1项211的都为行通aa是偶标122式 2 位排都： (于列是a111)不则自at2a2(同1该然j1a1a行项排2)12tj2a(不符列aj2131j同号，j23),at列为为 1 j1a的＋j12jj元2，2 j3的 素否逆 的则序乘为数积－．

若将所有奇排列都施以对换（1,2），
则p个奇排列全部变为偶排列，所以p q
若将所有偶排列都施以对换（1,2），
则q个偶排列全部变为奇排列，所以q p
p=q=n!/2.
二、n阶行列式
1. 观察
三阶行列式
(1) a a a a11
a21
a12 a22
a13 a23

a11a=220a33
类似地，消去 x1，得
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2

b1 , b2 .
（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组有唯一解为
x1

b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
(n-1)+(n-2)+…1= n (n 1)
2
3.排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 例 计算下列排列的逆序数，并讨论它的奇偶性.
23514
解 N(23514) 4 此排列为偶排列.
4.对换 (it , is )
i1i2 it is in
例：排列32514 对换（3， 2） 排列23514
3.例子
1 2 -4 例 计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24
例 设D 2 ,问：当为何值时D 0.
31
解
2
D
2 3 ( 3)
31
0或 3时，D 0
二、三阶行列式
1.定义
a11 a12 a13 a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 记
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
线性代数
主讲教师：王琛晖 厦门理工学院数理系
教材：《线性代数》（第三版）赵树嫄主编 中国人民大学出版社 课件制作人：厦门理工学院数理系 王琛晖
第一章 行列式
§1.1二阶与三阶行列式
一、二阶行列式的引入
1.定义的引出
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1

a12 x2 a22 x2
5.定理1：任意一个排列经过一次对换后奇偶性相反
证明 (1)
AijB
思路：
结论：相邻元素对换一次奇偶相反
(2)
Ais1s2 st jB
t+t+1次相邻对换
结论：不相邻元素对换一次也奇偶相反
5.定理2：n个数码（n>1)共有n!个n级排列，其
中奇偶排列各占一半
证明：n级排列的总数为：n (n-1)…1=n! 设其 中奇排列数为p个，偶排列数为q个。
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若数
it is 则称这两个数组成一个逆序.一个排列中
所有逆序的总数称为此排列的逆序数.记为
N i1i2 in
例 排列32514 中，
逆序
32514
逆序 逆序
例 求排列32514 的逆序数
例 32514 故此排列的逆序数为5.
思考：求 n(n-1)···1排列 的逆序数？
2.三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
说明1 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明2 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．