相对论习题及答案解析

与 X 轴正向夹角 θ 为
θ
=
arctan
∆y ∆x
=
arctan⎜⎜⎛ ⎝
tgθ ′ 1−u2 /c2
⎟⎟⎞ ⎠
3.一观测者测得运动着的米尺长 0.5m ，问此米尺以多大的速度接近观测者？
解：由相对论长度缩短关系 L = L0 1 − (v / c)2 得到 v = c 1 − (L / L0 )2 = 3.0 ×108 × 1 − (1/ 2)2 = 2.6 ×108 m / s
解(1) 由相对论动量公式 p = mV = m0V 1 − (V / c)2
而且 p = 2m0V
联立两式 m = 2m0 ⇒
V = 3 c = 2.6 ×108 ms −1 2
(2) 由相对论动能公式 EK = mc 2 − m0c 2
而且 EK = 2m0 c 2
联立两式 m = 2m0 ⇒
V = 3 c = 2.6×108 ms−1 2
=
mb c 2
− mac2
=
⎡ m0c2 ⎢
⎢⎣
1 1 − (Vb / c) 2
−
1
⎤ ⎥
1 − (Va / c)2 ⎥⎦
因为 Va = 0 ， Vb = 0.1c
代入得到
Aab
=
m0
c
2
⎡ ⎢
⎣
1 1 − 0.12
⎤ − 1⎥
= 0.005m0 c 2
=
4.095×10−16 J
≈
2.56Kev
⎦
1 − (v / c)2 由于 ∆x ≠ 0 ， v ≠ 0 且 v << c 所以 ∆t′ ≠ 0 ，即两事件一定不同时发生。
8. 试证明：(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两 个 事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短；(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的， 则对一切惯性系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短 。
事件相隔 3s，两事件发生地点相距 10m，观察者 S ′ 测得两事件相隔 5s， S ′ 测得两事件发生
地的距离最接近于多少 m?
(
)
(A) 0 (B) 2 (C) l0 (D) 10 9
答案：D
2.某种介子静止时的寿命为 10−8 s ，质量为10−25 g 。如它在实验室中的速度为 2 ×108 m / s ，
x′ = x − ut , 1− β 2
y′ = y,
z′ = z
代入原方程中，得到
(x − ut)2 + y2 = a2 1− β 2
化简得
(x − ut)2 y 2 + =1
a 2 (1 − β 2 ) a 2
所以，在 K 系中质点做椭圆运动，椭圆中心以速度 u 运动。 2.如题图所示，在 K ' 系的 O′X ′Y ′ 平面内放置一固有长度为 ℓ 0 的细杆，该细杆与 x′ 轴的夹
(2) 将 Va = 0.9c ， Vb = 0.99c 代入原式
Aab
=
m0
c
2
⎡ ⎢
⎣
1 −
1− 0.992
1 1− 0.92
⎤
⎥ ⎦
=
4.7946m0 c 2
=
3.93×10−13 J
≈
2.46×103 Kev
12. 在什么速度下粒子的动量是其非相对论动量的两倍？在什么速度下粒子的动能等于它 的静止能量？
7.论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同的地点，在有相对运动的其他
惯性系中，这两个事件一定不同时发生 。
证明：令在某个惯性系中两事件满足 ∆t = 0 ， ∆x ≠ 0 则在有相对运动的另一个惯性系中(相对运动速度为 v ),两事件的时间间隔是 ∆t′ = u(∆t − ∆x ⋅ v / c 2 ) = −u∆x ⋅ v / c 2 = − ∆x ⋅ v / c 2
第十四章 相对论 一、思考题 1.你你能说明经典力学的相对性原理与狭义相对论的相对性原理之间的异同吗？ 2.假设光子在某惯性系中的速度等于 c，那么是否存在这样一个惯性系，光子在这个惯性系 中的速度不等于 c？ 3.在宇宙飞船上，有人拿着一个立方体形物体，若飞船以接近光速的速度背离地球飞行，分 别从地球上和飞船上观察此物体，他们观察到物体的形状是一样吗？
∆t′ = u∆x ⋅ v / c2 (1)
∆t′ = ∆x′ ⋅ v / c2 (2)
联立两式得到
u∆x = ∆x′ ⇒ u = ∆x′ ⇒
1 = ∆x′
∆x
1− (v / c)2 ∆x
⇒ v = c 1− (∆x / ∆x′)2
代入(2)式中得到
∆t′ = ∆x′ ⋅ v / c2 = ∆x′⋅ 1− (∆x / ∆x′)2 / c = 2 × 1− (1/ 2)2 /(3×108 ) = 5.77×10−9 s
则它的一生中能飞行多远(以 m 为单位)？
()
(A)10−3 (B)2 (C) 5 (D) 6 / 5
答案：D
3.一刚性直尺固定在 K ′ 系中，它与 X ′ 轴正向夹角 α ′ = 45° ，在相对 K ′ 系以 u 速沿 X ′ 轴
作匀速直线运动的 K 系中，测得该尺与 X 轴正Fra Baidu bibliotek夹角为
()
(A) α > 45° ； (B) α < 45° ； (C) α = 45° ；
1 − (V / c)2
而且 m = 2m0
得到 V = 3 c = 0.866c 2
11. 如果将电子由静止加速到 0.1c [ c 为真空中的光速] 的速度，需要对它作多少功？速度
从 0.9c 加速到 0.99c ，又要作多少功？
解(1) 由相对论动能定理：
∫ Aab =
b� � F ⋅ dr
a
角为 θ ′ 。设 K ' 系相对于 K 系沿 x 轴正向以速率 u 运动，试求 在 K 系中测得的细杆的长度
ℓ 和细杆与 x 轴的夹角θ 。
Y
Y′
θ′
O
O'
X ，X′
解：细杆在 K ′系中的两个坐标上的投影分别为
⎧∆x′ = l0 cosθ ′ ⎩⎨∆y′ = l0 sin θ ′
细杆在 K 系中的两个坐标上的投影分别为
夹角θ 。
解：光线的速度在 K ′ 系中两个速度坐标上的投影分别为
⎧Vx′ = c cosθ ′ ⎩⎨V y′ = c sin θ ′
由速度变换关系
Vx
=
u + Vx′
1
+
Vx′ c
⋅
2
u
，
则在 K 系中速度的两个投影分别为
Vy
=
V y′
u2 1−
c2
1
+
u c2
V x′
Vx
=
c cosθ ′ + u ， uc cosθ ′
()
(A) ( p 2c 2 − Ek2 ) / 2Ek (B) ( p 2c 2 − Ek ) / 2Ek
(C)
p2c2
−
E
2 k
答案：A
( D )(
p 2c 2
+
E
2 k
)
/
2Ek
6.静止质量为 m0 、带电荷量为 q 的粒子，其初速为零，在均匀电场 E 中加速，则经过时间t
后它所获得的速度是多少？
⎪⎧∆x = ⎨
1 − (u / c)2 ∆x′ = l0
1 − (u / c)2 cosθ ′
⎪⎩∆y = ∆y′ = l0 sin θ ′
在 K 系中细杆的长度为
[ ] l = ∆x 2 + ∆y 2 = l0 1 − (u / c)2 cos 2θ ′ + sin2θ ′ = l0 1 − (u cosθ ′ / c)2
证明(1) 设两事件在某惯性系中于同一地点发生，即 ∆x = 0 ，时间间隔为 ∆t ，则在另一个 相对运动速度为 v 的惯性系中，两事件的时间间隔为
∆t′ = u(∆t − ∆x ⋅ v / c 2 ) = u∆t =
∆t
> ∆t
1 − (v / c)2
所以，在原惯性系中时间间隔最短。
(2) 设两事件在某惯性系中于同时发生，即 ∆t = 0 ，时间间隔为 ∆x ，则在另一个相对运动 速度为 v 的惯性系中，两事件的时间间隔为
4.两个观察者分别处于惯性系 S 和惯性系 S ′ 内，在这两个惯性系中各有一根分别与 S 和 S ′ 系相对静止的米尺，而且两米尺均沿 xx′ 轴放置，这两个观察者从测量中发现，在另一个惯
性系中的米尺总比自己惯性系中的米尺要短些，你怎样看待这个问题呢？ 5.一民航客机以 200km.h-1 的平均速度相对地面飞行，机上的乘客下机后，是否需要因时间 延缓而对手表进行修正呢？
1+
c2
c sin θ ′ 1 − u 2 / c 2
Vy =
uc cosθ ′
1+
c2
所以，在 K 系中的观测者观测到此光线与 x 轴的夹角θ = arctan V y Vx
10.如果一观测者测出电子的质量为 2m0 [ m0 为电子的静止质量]，问电子的速度是多大？
解：由相对论质量关系 m =
m0
4.一飞船以 9 ×103 ms−1 的速率相对于地面[假设地面惯性系]匀速飞行。若 飞船上的钟走了
5s 的时间，用地面上的钟测量是经过了多少时间？
解：根据相对论中时间延长关系 T =
T0
1 − (v / c)2
代入数据，可得 T =
5
= 5.000000002s
1 − [9 ×103 /(3 ×108 )]2
(D) 若 u 沿 X ′ 轴正向，则α > 45° ；若 u 沿 X ′ 轴反向，则α < 45° 。
答案：A
4.电子的动能为 0.25MeV，则它增加的质量约为静止质量的？
()
(A) 0.1 倍 （B）0.2 倍 (C) 0.5 倍 (D) 0.9 倍
答案：D
5. Ek 是粒子的动能，p 是它的动量，那么粒子的静能 m0c 2 等于
c
14. 一个质量为 M 的静止粒子，衰变为两个 静止质量为 m1 和 m2 的粒子，求这两个粒子的
5.已知 π + 介子束的速度为 0.73c [ c 为真空中的光速]，其固有平均寿命为 2.5 ×10−8 s ，在实
验室中看来， π + 介子在一个平均寿命期内飞过多大距离？
解：根据相对论中时间延长关系
T=
T0
1 − (v / c)2
代入数据，可得
T = 2.5 ×10−8 = 3.658×10−8 s 1 − 0.732
(x′)2 + (y′)2 = a 2 ， z′ = 0 ，
试证：在惯性系 K 中的观测者观测到该质点作椭圆运动，椭圆的中心以速度 u 运动。 提示：在惯性系 K 中的观测者观测到该质点的轨道方程为 (x − ut)2 + y 2 = 1。 a 2 (1 − β 2 ) a 2
证明：根据洛仑兹坐标变换关系
6.若一粒子的速率有1.0 ×108 m s 增加到 2.0 ×108 m s ，该粒子的动量是否也增加 2 倍呢？
其动能是否也增加 4 倍呢？ 7.你能举例说明相对论在原子弹研制中的应用吗？你能举例说明相对论在宇宙学中的应用 吗？
二、选择题
1.两个事件分别由两个观察者 S 、 S ′ 观察， S 、 S ′ 彼此相对作匀速运动，观察者 S 测得两
V =c
1−
m02 c4 25E02
=c
(9.1×10−31 )2 × (3×108 )4 1 − 25× (0.511×106 ×1.6 ×10−19 )2
= 0.98c
将(1)式代入动量公式
p = mV = 5E0 × 0.98c = 5 × 0.98 × 0.51Mev = 2.5Mev
c2
c
因此 S = vT = 0.73× 3×108 × 3.658×10−8 = 8.01m
6.惯性系 K ′ 相对另一惯性系 K 沿 x 轴作匀速直线运动，在惯性系 K 中观测到两个事件同时 发生 x 轴上，且其间距是 1m ，在 K ′ 系观测到这两个事件的空间间距是 2m ，求 K ′ 系中测
得的这两个事件的时间间隔。 解：由相对论的同时性的两个等价关系
()
(A 答案：B) υ =
Eqtc
；(B) υ = Eqt ；(C) c ； (D) 。
m02c 2 + E 2q2t 2
m0
答案：A
三、计算题
1.惯性系 K ' 相对惯性系 K 以速度 u 运动。它们的坐标原点 O 与 O' 重合时， t = t ' = 0 。在
惯性系 K ' 中一质点作匀速率圆周运动，轨道方程为
13.静止质量为 9.1×10−31 kg 的电子具有 5 倍于它的静能的总能量，试求它的动量和速率。
[提示：电子的静能为 E0 = 0.511MeV ] 解：由总能量公式 E = mc 2
而且 E = 5E0
⇒
m
=
5E0 c2
(1)
其中 m =
m0
(2)
1 − (v / c)2
联立(1)、(2)两式
∆x′ = u(∆x − v∆t) = u∆x = ∆x > ∆x 1 − (v / c)2
所以，在原惯性系中空间间隔最短。
9. 一光源在 K ′ 系的原点 O′ 发出一光线。光线在 O′X ′Y ′ 平面内且与 x′ 轴的夹角为θ ′ 。设
K ′ 系相对于 K 系沿 x 轴正向以速率 u 运动。试 求 在 K 系中的观测者观测到此光线与 x 轴的