线性系统的可控性与可观性
第三章线性系统的可控性与可观性2
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
若满足下列条件，则称 1 与 2 是互为对偶的。
A2 A1T , B2 C1T , C 2 B1T
式中
x1 , u1 , y1 , A1 , B1 , C1 , x2 u2 y2 A2 B2 C2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； —— n n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
非奇异变换不改变系统的自然模态及能控性， 能观性，而且只有系统完全能控（能观）才能 化成能控（能观）标准型，对于一个传递函数 为
bn 1 s n 1 bn 2 s n 2 b1 s b0 W ( s) n s a n 1 s n 1 a1 s a 0
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
两个n维系统 S1(A1 B1 CI)、S2(A2 B2 C2) 若满足下列关系 A2=A1T B2=C1T C2=B1T 则称S1与S2是对偶系统.
式中
x1 , u1 , y1 , A1 , B1 , C1 , x2 u2 y2 A2 B2 C2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； —— n n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
如果∑1 和 ∑2 互为对偶系统，那么： 1．如果将∑1模拟结构图中将信号线反向；输入 端变输出端，输出端变输入端；信号综合点变信 号引出点，信号引出点变信号综合点，那么形成 的就是∑2的模拟结构图，如下图所示。
9.2 线性系统的可控性和可观测性
n 1
n 1 k 0
t1
0
k ( )u( )d f k
f0 f An 1 B 1 f n 1
若图1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电 压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统 是可控的。
由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
+ x1 + C1 R u R + x2 R C2 R
阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图2 并联双水槽系统
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常 数,记为R。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。 该双水槽系统的状态可控性可分析如下: 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位 的变化。
t / AR
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义,可控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
§8.4 线性系统的可控性和可观测性
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a）
(b)
(c)
图 8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别
对图 8-20 所示的结构图，其中，由图 8.20（a）显见， x1 受 u 的控制，但 x2 与 u 无关， 故系统不可控。系统输出量 y = x1 ，但 x1 是受 x2 影响的， y 能间接获得 x2 的信息，故系统 是可观测的。图 8.20（b）中所示的 x1 、, x2 均受 u 的控制，故系统可控，但 y 与 x2 无关，故 系统不可观测。图 8.20（c）中所示的 x1 、 x2 均受 u 的控制，且在 y 中均能观测到 x1 、 x2 ，
（8-94）
可控性矩阵为
S2 = ⎡⎣G Φ G L Φ n-1G ⎤⎦
（8-95）
⎡u(n −1)⎤
Δ x = ⎣⎡G
ΦG
L
Φ n−1G ⎤⎦
⎢ ⎢
M
⎥ ⎥
⎢⎣u(0) ⎥⎦
（8-96）
该阵为 n × np 矩阵，由于列向量 u(n −1),L, u(0) 构成的控制列向量是 np 维的，式（8-96） 含有 n 个方程和 np 个待求的控制量。由于 Δx 是任意的，根据解存在定理，矩阵 S2 的秩为 n
⎡ u0 ⎤
n−1
∑ e− Atf Δ x = Ambum = ⎡⎣b m=0
Ab
L
An−1b ⎤⎦
⎢ ⎢ ⎢
u1 M
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣un
−1
⎥ ⎦
(8-103)
第四章线性定常系统的可控性和可测性资料
• 显然那些与输入（控制）无关的状态是不 可控的，这些状态构成了不可控子空间。 而与输入（控制）有关的状态是可控的， 这些状态构成了可控子空间。
• 上述方法称为按能控性分解，显然主要是 对A和B进行变换。
• ⑵. 另一种，则是按能观性分解，其方法是 类似的。即将状态空间表达式中的状态分 解为：一部分状态与输出有关，另一部分 状态则与输出是无关的。显然这主要是通 过对C的变换来达到。
• ⑶. 第三种方法是按能控性和能观性进行分 解
• 显然如果系统不可控也不可观，则需要同 时进行可控和可观性分解。A, B, C
三. 按可控性分解
• 设定常系统
x Ax Bu
y Cx
(3 1)
是状态不完全能控，其能控性判别阵：
M B, AB, , An1B
的秩 rankM n1 n
1 R1 b 1 ,
0
0 R2 Ab 1 ,
1
1 R3 0 任意
0
1 0 1 R c 1 1 0
0 1 0
• 检查 det Rc 1 0 ，故 Rc 满秩。
•则
0 1 1
Rc1 0 0
1
1 1 1
•则
0 1 1
Aˆ
Rc1 ARc
1
2
0
0
0
1
1
Bˆ
Rc1B
0
• 2.性质
(1).对偶系统 S1和 S2 的传函阵互为转置,即
GS 2 (GS1)T
(2).对偶系统的特征值是相同的
• 3.对偶原理
(1)若 S1 可控则有 S2 可观 (2)若 S2可观则有 S1 可控
线性系统的可控性与可观测性
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第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运
动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如
可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容
是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、
可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被
证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学
定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性
的各种准则，这的。
整理版
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※） 3.4 对偶原理
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可
由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
例3-1：给定系统的状态空间描述为
xx1204 05xx1212u
y 0
6
x1 x2
图3-1 系统结构图
如果对取定初始时刻 t0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1Tt,t1t0 和一个无约 束的容许控制u(t)，t [t0,t1]，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
线性系统的可控性与可观测性
线性系统的可控性与可观测性经典控制理论中用传递函数描述系统的输入-输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且稳定，输出量便可以控制。
且输出量总是可以被测量的，因而不需提出可控性及可观测性概念，现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就纯在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。
如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制由任意的初态达到原点，则称系统是完全可控的，或者更确切的说是状态完全可控的额，简称为系统可控；否则就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可控。
相应的，如果系统所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称西戎是状态完全可观测的，简称为系统可观测；反之系统是不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
可控性与可观测概念是卡尔曼与20世纪60年代首先提出来的是用状态空间描述系统引申出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。
它不仅是研究性线性系统控制问题必不可少的重要概念，而且对于徐福哦最优控制、最优估计和自适应控制问题，也是常用到的概念之一。
下面我们现举例来直观地说明可控性与可观测性的而无力概念，然后给出可控性与可观测性的严格定义。
应当指出，对可控性和可观测性所作的直观说明，只是对这两个概念的直觉的但不严密的描述，而且也只能用来解释和判断非常直观和非常简单系统的可控性和可观测性。
为了揭示可控性和可观测性的本质属性，并用于分析和判断更为一般和较为复杂的系统，需要对这两个概念建立严格的定义，并在此基础上导出相应的判别准则。
尽管本章主要研究线性定常数，但由于线性时变系统的可控性和可观测性定义更具有代表性，而线性定常数系统知识线性时变系统的一种特殊类型，因而我们选用线性时变系统给出可控性和可观测性的严格定义。
线性系统的可控性和可观测性
8.4 线性系统的可控性和可观测性8.4.1 可控性和可观测性的概念第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。
在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。
现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。
这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。
如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。
相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。
可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。
可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a ） (b) (c)图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别 对图8-20所示的结构图，其中图（a ）显见1x 受u 的控制，但2x 与u 无关，故系统不可控。
系统输出量y =1x ，但1x 是受2x 影响的，y 能间接获得2x 的信息，故系统是可观测的。
图（b ）中的1x 、,2x 均受u 的控制，故系统可控，但y 与2x 无关，故系统不可观测。
图（c ）中的1x 、2x 均受u 的控制，且在y 中均能观测到1x 、2x ，故系统是可控可观测的。
9-2线性系统的可控性与可观测性
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 20r1 r4 r2 r4 2
2
5
6 11
16 0.
23
454页例9-12：已知线性定常系统状态方程为
0 0 x 0 0 1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 x 0 1 0 2 1 0 u 1 0
判断系统的可控性。 解：根据状态方程可写出
3
9.2.1． 可控性定义
1．状态可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
25
2）当 s 3 5 时，有
rank sI A B =rank 5 0 0 0 1 1 5 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 1 0 4 1 0
A 2A I
2
A AA 2 A A 2(2 A I ) A 3A 2I
3 2 2
A AA 3A 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
3 2
根据数学归纳法有
A kA (k 1) I
k
所以：
A
线性系统的可控性和可观性
线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。
本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。
本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。
通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。
关键词:线性系统；可控性；可观性Linear system controllability and observabilityHou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin HuanAbstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controllability and observability of the standard normal form, and the system controllability and observability criterion for a detailed description. This study is beneficial to the linear system controllability and observability of knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory provides a solid foundation, through summarized the relevant knowledge for the future of learning Study provides a good method. Through which a large number of learning and application of advanced mathematics, applied mathematics can improve awareness of the problem solving and capacity-related.Key words: Linear system ；Controllable ；Observability0 引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。
第四章线性系统的可控性和可观性4
【例4.10.1】设线性定常系统 u x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=01131301100 ， []x y 210-=判别可控性。
若系统不可控，将系统按可控性进行规范分解。
解：（1）判别可控性[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==213111012b A AbbQ c ，n rankQ c<=2，故系统不完全可控。
（2）构造按可控性进行规范分解的非奇异变换阵c R 。
[]321R R R R c =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0111R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1102R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1003R ，故而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11011001c R 变换后系统的动态方程为：u B x A x+= ，x C y = 式中： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=c c x x x可控子系统动态方程：u x x x c c c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=01212110， []c x y 111-=cc AR R A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11011001313011001100110011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=10221110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==--00101111001100111B R B c [][]2111101100121--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==c CR C不可控子系统动态方程：c c x x-= ， c x y 22-=为了说明在构造变换阵c R 时，n r R R ,,1 +列是任意选取的（当然必须保证c R 为非奇异），现取[]321R R R R c =中的[]TR 1013=，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11011101c R u B x A x+= ，x C y = 式中： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=c c x x x即有 u x x xxc c c c ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00110221010[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c x x y 211二、系统按可观测性的结构分解设不可观测线性定常系统为Bu Ax x+= ，Cx y =，其可观测性判别矩阵o Q 的秩为r cc AR R A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11011101313011001100111011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=10221010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==--00101111001110111B R B c [][]2111101110121--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==c CR C（n r <），即n r rankQo<=，则存在非奇异变换x R x o =将状态空间表达式变换为：u B x A x+= ，x C y = 其中：非奇异线性变换阵可这样构造：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+-T n T r T rT oR R R R R 1111-o R 中的前r 个向量Tr TR R ,,1 为可观测性判别矩阵o Q 中的r 个线性无关的行。
第四章线性系统的可控性和可观性2
§4-5 线性定常连续系统的可观测性一、可观测性的定义定义4.4（可观测性定义）：设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为Bu Ax x+= ，cx y =，如果对于任一给定的输入)(t u ，存在一有限观测时间0t t f >，使得在],[0f t t 期间测量到的)(t y ，能唯一地确定系统的初始状态)(0t x ，则称此状态是可观测的。
若系统的每一个状态都是可观测的，则称系统是状态完全可观测的，简称系统是可观测的。
二、线性定常连续系统可观测性的判别准则定理4.6：（可观测性判别准则Ⅰ）线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，其状态完全可观测的充分必要条件是：由A 、C 构成的可观测性判别矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1n o cA cA c Q 满秩，即n rankQ o =【例4.5.1】判别可观测性（1）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=110154 ，[]x y 11-=（2）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=113112 ，x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0101说明： 在定义中之所以把可观测性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定输入，利用状态方程的解 ⎰-+-=tt d Bu t t x t t t x 0)()()()()(00τττφφ 就可以求出各个瞬间状态。
（3）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111001 ，[]x y 11= 解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5511cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。
（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12120101cA c Q o ，22==o rankQ ，故系统是可观测的。
（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1111cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。
定理4.7：（可观测性判别准则Ⅱ）设线性定常连续系统Bu Ax x+= ，cx y =，A 阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型u B x x n +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλ001， x c y = 中的矩阵c 中不含元素全为零的列。
线性定常动力系统可控性与可观性概念及其判断方法
Q [ B AB A B A B]
2 n 1 c
满秩，即
c
rankQ n
其中，n为该系统的维数。
设某车间用行车系统有图1.20示工作原理图。其 中，小车由直流电动机-主动轮-牵引钢索拉动可 在轨道上左右移动。另外，负荷（即起吊物家吊 钩）由起吊绳索悬挂在小车上，并可在限定的距 离内移至所希望的位置。分析时可就直流电动机 的a电枢电流调节与b转速调节两种不同调节方式 进行讨论。
二、线性定常连续系统状态可控性的定义
对于线性定常系统，如果存在一个分段连续 的输入，能在有限时间间隔内，使得系统从某一
初始状态转移到指定的任一终端状态，则称此状
态是可控的。若系统的所有状态都是可控的，则
称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
三、可控性的判别准则
对于n阶线性定常系统，其系统状态完全可控的 充分必要条件是：由A、B构成的可控性判别矩 阵
线性定常动力系统可控性与可观 性概念及其判断方法
一、问题的提出
经典控制理论中用传递函数描述系统的输 入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是
因果系统并且是稳定的，输出可观性的概念。
现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的 基础上的。状态方程描述输入引起状态的变化过 程；输出方程描述由状态变化所引起的输出的变 化。可控性和可观性正是定性地分别描述输入对 状态的控制能力，输出对状态的反映能力。它们 分别回答： “输入能否控制状态的变化”——可控性 “状态的变化能否由输出反映出来”——可观性
第四章线性系统得可控性与可观性
第四章线性系统得可控性与可观性第四章线性系统得可控性与可观性§4-1 问题得提出经典控制理论中⽤传递函数描述系统得输⼊—输出特性,输出量即被控量,只要系统就是因果系统并且就是稳定得,输出量便可以受控,且输出量总就是可以被测量得,因⽽不需要提出可控性与可观性得概念。
现代控制理论就是建⽴在⽤状态空间法描述系统得基础上得。
状态⽅程描述输⼊引起状态得变化过程;输出⽅程描述由状态变化所引起得输出得变化。
可控性与可观性正就是定性地分别描述输⼊对状态得控制能⼒,输出对状态得反映能⼒。
它们分别回答: “输⼊能否控制状态得变化”——可控性“状态得变化能否由输出反映出来”——可观性可控性与可观性就是卡尔曼(Kalman)在1960年⾸先提出来得。
可控性与可观性得概念在现代控制理论中⽆论就是理论上还就是实践上都就是⾮常重要得。
例如:在最优控制问题中,其任务就是寻找输⼊,使状态达到预期得轨线。
就定常系统⽽⾔,如果系统得状态不受控于输⼊,当然就⽆法实现最优控制。
另外,为了改善系统得品质,在⼯程上常⽤状态变量作为反馈信息。
可就是状态得值通常就是难以测取得,往往需要从测量到得中估计出状态;如果输出不能完全反映系统得状态,那么就⽆法实现对状态得估计。
状态空间表达式就是对系统得⼀种完全得描述。
判别系统得可控性与可观性得主要依据就就是状态空间表达式。
【例如】 (1)分析:上述动态⽅程写成⽅程组形式:从状态⽅程来瞧,输⼊u 不能控制状态变量,所以状态变量就是不可控得;从输出⽅程瞧,输出y 不能反映状态变量,所以状态变量就是不能观测得。
即状态变量不可控、可观测;状态变量可控、不可观测。
(2)分析:上述动态⽅程写成⽅程组形式:由于状态变量、都受控于输⼊u,所以系统就是可控得;输出y 能反映状态变量,⼜能反映状态变量得变化,所以系统就是可观测得。
即状态变量可控、可观测;状态变量可控、可观测。
(3)分析:,似乎该系统得所有状态变量都就是可控得;,似乎系统就是可观测得。
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tf t0
( t ) B u ( ) d
续
由凯莱-哈密顿定理得：
(t0 ) e
A ( t0 )
x (t0 )
t f n 1
t0
m 0
m ( t ) A Bu( )d m 0
m0
n 1
m (t0 ) A m
x (t0 )
tf t0
m 0
n 1
A
m
B
t t0
f
m
( t 0 ) u ( ) d
tf t0
[ B 0 ( t 0 ) u ( )d A B 1 ( t 0 ) u ( )d A
u0 u AB An 1 B ) 1 u n 1
可控性可观测性定义
【例】RLC网络
取 x1 i L , x 2 uc , y uc
当
R1 R4 R2 R3 ，即电桥不平衡时，u能控制
u
x1，x2所有变量，称系统可控。 所有变量 称系统 控
控制量对状态变量的控制能力－称状态可控性 输出量对状态变量的反映能力 称状态可观测性 输出量对状态变量的反映能力－称状态可观测性
离散时间系统的可控性
1.定义： 设系统
x ( k 1) x ( k ) Gu( k ) ，
nT ] ,存在控制作用 u ( (0) ) u (l 1) )
[0 若在有限时间 t [
使系统从任意初始状态 x (0) x0 在l 步 转移到零终态 x (l ) 0 则称此状态可控；如果系统所有状态可控，则称系统完全可 控，简称系统可控。 2.线性定常离散系统的可控条件 定理： 线性定常离散系统 x ( k 1) ) Φ x ( k ) Gu ( k )，系统状态完全可控
对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；
状 完 状态完全可控的条件 条件
一. 可控性判据 定理1： 若定义线性定常系统 A, B的n*(np)可控矩阵
2 n 1 Sc B AB A B A B 则系统状态完全可控（或系统可控）的充要条件是：
该系统的可控性矩阵满秩 即 该系统的可控性矩阵满秩，即
2 1 P (P ) 1 1
1 1
p11 1 1 P 1 1 2 p A 1 1 1 1 0 2 1 0 1 1 A P AP 1 2 0 2 1 1 2 3
n 1
B n 1 ( t 0 ) u ( )d
t0
tf
x (t0 ) ( B
rank( B
AB An 1 B ) n
线性定常连续系统状态完全可控的条件 例题
【例】
2 x 0
Qc [b
1 1 x u, 1 0
（2）
4 1 2 x x u 0 4 0
1 0 u 0 1
（3）
4 1 0 0 0 4 0 x x 0 3 1 0 0 3 2
0 0 （4） 4 1 0 0 4 0 1 x x u 2 0 3 1 0 0 0 3 0
（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。 （2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。 （3）系统可控 （3）系统可控。 （4）系统不可控 （4）系统不可控。
定理 3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
定理3 ： 系统
Ax 件为 x A B Bu 状态完全可控的充要条件为：
p1 0 0 0 1 b
Ab A b
n 1
1
例题 线性定常连续系统状态完全可控的条件
【例】已知系统的状态方程为
1 0 1 x x u 0 2 1
试判别状态可控性 如可控将状态方程化为可控标准型 试判别状态可控性，如可控将状态方程化为可控标准型。 解：（1）首先判别可控性
rankSc n
PBH秩判据，可控的充分必要条件： 判 控的充 条件
rank sI A B n
推论 推论:
Ak
e
At
m0
m 0 n 1
n1
m
(t ) A m
m
(k n)
m (t ) A
凯莱-哈密顿定理：
f ( ) I A
n
a n 1
（3）
解：
7 0 0 0 1 0 5 0 x 4 0 u x 0 0 1 7 5
（4）
7 0 0 0 1 0 5 0 x 0 0 u x 0 0 1 7 5
x 2 ，所以状态变量 所以状态变量 x 2 不能观测。
可控与可达的定义
A x Bu ，若在有限时间 设系统 x 若在有限时间 t [ t 0 , t f ] ,存在分段连续 存在分段连续 输入u(t)
定义1：使系统从任意初始状态 x(t0 ) 转移到任意终态则称 x (t f ) 此状态可控； 如果系统所有状态可控，则称系统完全可控，简称系统可控。
假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态 P 1, P 2 , , P n ， 那么相平面上的P点是可控状态。
P3 0 P 4 Pn x2 P P2 x1 P1
可控与可达的定义
定义2：使系统从任 ：使系统从任一初始状态 初始状态 x (t0 ) 转移到终态 x (t f ) 0 状态 零点，则称状态完全可控，简称状态可控； 定义3：使系统从零状态 x (t 0 ) 0 转移到任意指定终端状 态 x (t f ) ，则称此状态可达，简称系统可达。
Ax A B Bu , y C Cx D Du ，则系统输出完全可控的充要条件是 设系统 x 则系统输出完全可控的充要条件是
输出可控性矩阵
CSc
| D 满秩，即
D q
n 1 CB CAB CA B rank ...
（q-输出变量个数） 一般而言，系统输出可控性和状态可控性之间没有什么必然的联系。 即输出可控不一定状态可控，状态可控不一定输出可控。
的充要条件为能控性矩阵满秩
1 2 Ab] 0 0 ，
试判别状态可控性
解：
rankQc 1 n
∴系统不可控。
线性定常连续系统状态完全可控的条件
定理2：
定理2
Ax Bu , 系统状态完全可控的充要条件为： 设线性定常系统 x
当A为对角阵且特征根互异时，输入矩阵B无全零行
状态可控性例题
解 解：
（1）系统是可控的。 ）系统是可控的 （2）系统是不可控的。 ）系统是不可控的 （3）系统是可控的。 （4）系统是不可控的。
可控标准型 线性定常连续系统状态完全可控的条件
二、 可控标准型
0 0 A 0 a0 1 0 0 a1 0 1 0 a2 ... ... 0 0 0 ,b 0 1 a n 1 1 0
1 1 1 0 b P b 1 2 1 1
1
即有可控标准型:
0 1 0 x x u 2 3 1
线性定常连续系统状态完全可控的条件 连续系统的输出可控性
三 连续系统的输出可控性 定理：
定理
线性定常连续系统状态完全可控的条件
2. 若一单输入系统可控,则一定能找到一线性变化将起转 换为可控标准型系统.
Ax bu 定理:线性定常单输入系统 x
可控,则 x P 1 x
, 使其状态方程化为
Ax bu 可控标准型 x
p1 pA P 1 n 1 p A 1
线性定常连续系统状态完全可控的条件
【例】判别下列系统的状态可控性。
7 0 0 2 （1） 0 5 0 x 5 u x 0 0 1 7
（2）
7 0 0 0 0 5 0 x 5 u x 0 0 1 7
当A 为约当阵且相同特征根分布在一个约当块内时,
输入矩阵B中与约当块最后一行不全为零中对应的行， （当相同特征根分布在两个或两个以上约当块中不适用）。 两个或两个以上约当块中不适用）
例题
（1）
线性定常连续系统状态完全可控的条件
【例】判别下列系统的状态可控性。
4 1 0 x x u 0 4 2
1.可控标准型系统一定可控
A x bu 定理：线性定常单输入系统 定理 线性定常单输入系统 x
若系统可控，则
x P 1 x
Ax bu , 使其状态方程化为可控标准型x
a i ( i 0 , , n 1 )为 I A n a n 1 n 1 a 1 a 0 各项系数
n 1
a1 a 0
则A满足特征方程
f (A) A
证明 证明:
n
a n 1 A
n 1
a1 A a 0 I 0
Ax Bu x x (t ) (t to ) x (t0 )
tf t0
x ( t 0 ) ( t 0 )Bu ( )d
Qc b 1 1 Ab 1 2
ran k Q c 2 ，故系统是可控的。