2011-2013年卓越联盟自主招生数学试题及答案(精校版+完整版)

2011年卓越联盟自主招生数学试题

(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为 (A )6

π

(B )

3

π

(C )

23

π (D )

56

π

(2)已知sin2(α+γ)=n sin2β，则

tan()

tan()

αβγαβγ++-+等于

(A )

11

n n -+

(B )

1

n n +

(C )

1

n n - (D )

1

1

n n +-

(3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为

(A

(B

(C (D

(4)i 为虚数单位，设复数z 满足|z |=1，则222

1z z z i

-+-+的最大值为

(A -1

(B

(C +1 (D

(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为

(A )y 2

=16x

(B )y 2

=8x

(C )y 2

=-16x (D )y 2

=-8x

(6)在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为

(A

(B

(C )

2

(D )

2

(7)若关于x 的方程||4

x x +=kx 2

有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( ) (A )(0，1)

(B )(14，1)

(C )(14

，+∞) (D )(1，+∞)

(8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB

于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，

则PA的长为

(A(B

(C(D

(9)数列{a n}共有11项，a1=0，a11=4，且|a k+1-a k|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )

(A)100(B)120(C)140(D)160

(10)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为2

7

π

的旋转，τ表示坐标平面关于y轴的镜面

反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用σk表示连续k次的变换，则στσ2τσ3τσ4是( ) (A)σ4 (B)σ5 (C)σ2τ(D)τσ2

(11)设数列{a n}满足a1=a，a2=b，2a n+2=a n+1+a n．

(Ⅰ)设b n=a n+1-a n，证明：若a≠b，则{b n}是等比数列；

(Ⅱ)若lim

n→∞

(a1+a2+…+a n)=4，求a，b的值．

(12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC．

(Ⅰ)求k的取值范围；

(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？

(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x相切．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．

(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n．

(Ⅰ)求EX1；

(Ⅱ)设P(X n=a+k)=p k，求P(X n+1=a+k)，k=0，1，…，b；

(Ⅲ)证明：EX n+1=(1-

1

a b

+

)EX n+1．

(15)(Ⅰ)设f(x)=x ln x，求f′(x)；

(Ⅱ)设0

1

|ln|

b

a

x C dx

b a

-

-

⎰取得最小值；

(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a,b，证明：m a,b

2012年卓越联盟自主招生数学试题

2013年卓越联盟自主招生数学试题

一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．） （1）已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则

（A ）0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.7

2(3)(2)(log 5)f f f -<<- (C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.7

2(2)(3)(log 5)f f f <-<-

（2）已知函数()sin()(0,0)2

f x x π

ωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6

B π

-

，且()f x 的

相邻两个零点的距离为

2

π

，为得到()y f x =的图象，可将sin y x =图象上所有点 （A ）先向右平移3

π

个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变

(B) 先向左平移3

π

个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变

(C) 先向左平移3π

个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

(D) 先向右平移3

π

个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

（3）如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为

（A ）21 (B)24 (C)30 ( D)48

(4)设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有

2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若

(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为

（A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞

二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

（5）已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点是双曲线22

18x y p

-=的一个焦点，则双曲线的渐 近线方程为 ．