动点问题与特殊平行四边形(1)

例一：如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=−x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD.

(1)若点A的坐标是(−4,4).

①求b，c的值；

②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；

(2)是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形?若存在，请直接写出一个符合条件的点A 的坐标；若不存在，请说明理由。

例二：如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(−2,0),点B(4,0),点D(2,4)，与y轴交于点C，

作直线BC，连接AC，CD.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；

(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长。

例三：如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2−2ax−3a(a<0)与x轴交于A,B

两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l:y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC.

(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示)；

(2)点E是直线l上方的抛物线上的一点,若△ACE的面积的最大值为5

4

，求a的

值；

(3)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。

例四：如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于

点D（6，3），交x轴于点C（12，0）

（1）求直线CD的函数表达式；

（2）动点P在x轴上从点（-10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t.

①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值.

例五：如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B.

（1）求抛物线的解析式.

（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标. （3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E.是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由.

例一：

例二：

例三：

例四：

例五：