第三章 导数 导学案
高中数学 第3章《导数及其应用》复习 精品导学案2 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》复习2导学案 苏教版选修1-1复习要求：1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．课前预习：1．知识要点回顾：(1)函数的导数与单调性的关系：(2)函数的极值与导数：(3)函数的最值与导数①函数f(x)在[a ，b]上有最值的条件：如果在区间[a ，b]上函数y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．②求y ＝f(x )在[a ，b]上的最大(小)值的步骤：（4）若函数f(x)在定义域A 上存在最大值与最小值，则①对任意x ∈A ，f(x)＞0⇔ ＞0；②存在x ∈A ，f(x)＞0⇔ ＞0.2．判断： (1)函数f(x)在区间(a ，b)内单调递增，则f′(x)>0；( )(2)函数的极大值一定比极小值大；( )(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件；( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值。
( )3．函数f(x)＝x ＋4x的单调减区间是 4.函数f(x)＝xex 的极小值点是5．已知f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是课堂探究：2.已知函数f(x)＝x－alnx．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．3.已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6a x.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．变式：已知函数f(x)＝(x－k)ex(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．3.设函数f(x)＝x3－3ax＋b (a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．4. 设L为曲线C：y＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
高中数学第三章导数单元复习导学案苏教版选修1-1
课题：导数及其应用单元复习教学目标1.知识与技能理解导数的定义及其产生的背景（几何意义和物理意义）；熟记初等函数的求导公式和求导法则；会用导数求函数的单调性；会用导数求函数的极大值、极小值及函数在闭区间上的最大值、最小值. 2.过程与方法通过本课例题的分析与解答，培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．3.情感、态度与价值观通过本节的学习，体会导数的方法在研究函数性质中的一般性和有效性.通过对函数的极值与最值得对比，体会知识间的联系与区别，逐步提高科学地分析、解决问题的能力. 教学重点：导数的应用．教学难点：导数与单调区间的关系、导数与极值点的关系、极值与最值的关系. 教学过程：一、基础知识回顾：1. 平均变化率的定义：2. 导数的定义：3. 导数的几何意义和物理意义：4. 基本初等函数的导数和求导法则： 基本初等函数的求导公式：（1）'___C =(C 为常数)； （2）()'______nx =； （3）(sin )'____x =； （4）(cos )'_____x =； （5）(ln )____'x =； （6）(log )_____'a x =; （7）(e )____'x=; （8）()______'xa =.求导法则：法则1 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±． 法则2 ''[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '=+.法则3：'2()'()()()'()()(()()0)f x f x g x f x g x g g g x x x ⎛⎫-=⎪⎭≠ ⎝ （5）导数与单调性的关系：（6）导数与极值的关系：二、例题讲解：解题回顾: 练习1：1. 质点运动的位移S 关于时间t 的方程是23S t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度是____________.2. 当h →0时，()()2f x h f x h +-→,那么当h →0时，(2)()f x h f x h+-→ ____.3. 已知质点运动的方程为24105S t t =++，则该质点在4t =时的瞬时速度为_________,瞬时加速度为________.练习2：1.求下列函数的导数（1）223y x x =++ ； （2）ln xy e x = ； （3）cos 2xxy =.2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时,()()0,f x xf'x +<且(4)0f -=，则不等式()0xf x >的解集为_______________.[]()1()362()33()3.f x f x f x x f x x ==例1已知函数（）求在，上的平均变化率；（）利用导数的定义求在处的导数；（）求函数的图象在处的切线方程.例2. （1） 在点(1,1)-处作抛物线21y x x =++的切线，则这条切线方程为________________；（2）经过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，求该切线的方程.解题回顾：例3.求函数f (x )=2x 3-6x 2+7的单调区间.解题回顾：练习3.1.已知函数f （x ）= -x 3+12x ，则它的单调减区间为_______________；2.设f (x )=kx 3-x 2+x -5在R 上是单调增函数，则实数k 的取值范围是____________. 练习4.“函数f （x ）可导，且在x 0处的导数 f ∕ (x 0）=0”是“f （x ）在该点处取得极值” 的 _______________条件.例4.求函数214y x x=+(0)x >的极值.例5．已知函数f (x )=-x 3+3x 2+9x +a 在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.解题回顾： 一表三用：三、巩固提高：设函数f (x )= ln x -x +a , x ∈(0,2]. ⑴求f (x )的单调区间；⑵若不等式f (x )<a 2-3 对于任意x ∈(0,2]恒成立，求实数a 的取值范围.四、课堂总结：。
高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.3导数的几何意义导学案新人教B版选修
高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.3
导数的几何意义导学案新人教B版选修
3、1、3 导数的几何意义
一、
【学习目标】
1理解导数的几何意义2学会通过求函数的导数来求函数在某点处的切线斜率与切线方程。
二、
【预习案】
预习教材83-84页并完成下列问题
1、导数的几何意义是
_________________________________________________________ _
2、曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线的斜率等于
_________________________________________总结：
1、导数的定义：
2、求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是：
三、
【课中案】
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程、小结：求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P处的切线方程（一定是以点P为切点）；（2）曲线过点P的切线方程（无论点P是否在曲线上，点P都不一定是切点，此时需设切点坐标）例4 求过点P(1,0)且与曲线f(x)=x3-x相切的直线方程四、
【课后案】
1、已知曲线上一点,则点处的切线斜率为（）
A、4
B、16
C、8
D、
22、曲线在点处的切线方程为（）
A、
B、
C、
D、5、已知曲线C:y=x3(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程。
高中数学 第三章 3.2 常见函数的导数导学案新人教A版选修1-1
⑴ (k, b为常数)⑵ (C为常数)
⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ （ 为常数）⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁
拓展提升学以致 用
例1、求下列函数导数。
（ 1） （2）
（3 ） （4）
（5 ）y=sin( +x ) (6) y=sin
（7）y=cos(2π－x)（8）y=
例2.若直线 为函数 图象 的切线,求b的值和切点坐标.
独立思考，合作探究，小组代表发言
反馈检测体验成功
课后独立完成。
1 .求曲线 y=x2在点(1,1)处的切线方程.
2:求曲线y=x3过点(1,1)的切线方 程
3:已知直线 ,点P为y=x2上任意一点, 求P在什么位置时到直线距离最短.
我的收获
（2）求平均变化率
（3）当取极限，得导数 ＝
本节课 我们将学习常见函数的 导数。首先我们来求下面几个函数的导数。
（1）、y=x（2）、y=x2（3 ）、y=x3
问题： ， ， 呢？
问题ห้องสมุดไป่ตู้从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？
合作探究携手共进
学生先单位独立思考，然后再以小组为单位合作探究
1、基本初等 函数的 求导公式：
江苏省徐州市王杰中学2013-2014学年高中数学第三章3.2常见函数的导数导学案（无答案）新人教A版选修1-1
锁定目标找准方向
预设
生成
掌握初等函数的求导公式
课前向学生解释目标
自我构建快乐无限
。
一、复习
1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图。
（1）求函数的改变量
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修1-1
5．直线y＝4x＋b是曲线y＝ x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
6．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
A． B．0 C．钝角D．锐角
3．曲线y＝ 在点(－1，－1)处的切线 方程为()
A．y＝2x＋1B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2
4．(2015·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()
A．e－1 B．－1 C．－e－1D．－e
(2)y＝x－sin ·cos .
例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
练习：已知抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，过点(1,1 )的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．
例3已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(a)＝－1(0<a<1)，
即3a2－2a－1＝－1，
解得a＝ .
提高题acac
5.－
6.y＝－3x
7.[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，
高中数学 第3章《导数及其应用》常见函数的导数 精品导学案 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》3.2.1常见函数的导数导学案苏教版选修1-1学习目标：1．能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2．能利用导数公式求简单函数的导数．教学重点：基本初等函数的导数公式的应用．课前预习：1．在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？2．用导数的定义求下列各函数的导数：（1）bkxxf+=)(（bk,为常数）；（2）Cxf=)(（C为常数）；（3）xxf=)(；（4）2)(xxf=；（5）3)(xxf=；（6）xxf1)(=；（7）xxf=)(．思考由上面的结果，你能发现什么规律？3．基本初等函数的导数：课堂探究：1.利用求导公式求下列函数导数．（1）5-=xy；（2）xxxy=；(3)3sinπ=y；（4）xy4=；(5)xy3log=；（6）)2sin(xy+=π；（7）)2cos(xy-=π．5.已知直线1:-=x y l ，点P 为2x y =上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短．课堂检测：1．求下列函数的导函数（1）2y x -= （2）35y x =（3）41y x =（4）2x y =（5）4log y x = （6）ln y x =（7）sin()2y x π=- （8）3cos()2y x π=+教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。
2.观摩研讨：以年级组、教研组为单位，围绕一定的主题，定期组织教学观摩，开展以课例为载体的“说、做、评”系列校本研修活动。
《高等数学》教案第三章导数与微分
《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。
三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。
2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。
3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。
五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。
在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。
同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。
希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
[学习资料]高中数学第三章导数及其应用3.1导数课堂导学案
![[学习资料]高中数学第三章导数及其应用3.1导数课堂导学案](https://img.taocdn.com/s3/m/58026ed2910ef12d2af9e7a8.png)
3.1 导数课堂导学三点剖析一、求函数的平均变化率【例1】 求y =2x 2+1在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解析：当自变量从x 0到x 0+Δx 时函数的平均变化率为：x x x x x x f x x f ∆+-+∆+=∆-∆+)12()]1(2[)()(20000 =4x 0+2Δx温馨提示求函数f (x )平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δf =f (x 2)-f (x 1)(2)计算平均变化率1212)()(x x x f x f x f --=∆∆ 二、利用导数的定义求导【例2】 利用导数的定义求下列函数的导数.(1)y =x 2+ax +b ;(2)y =.1x解析：Δy =(x +Δx )2+a (x +Δx )+b -x 2-ax -b=(Δx )2+a (Δx )+2x Δx . xx x x a x x y ∆∆+∆+∆=∆∆·2)()(2=Δx +a +2x . y ′=0lim →∆x (Δx +a +2x )=2x +a .(2)Δy =xx x 11-∆+ .21,21·21lim .)(··1.)(··23230222--→∆-='-=-=∆∆∴∆++∆+-=∆∆∴∆++∆+∆-=∆+∆+-=x y x xx x y x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x 即 温馨提示利用定义求导数分三步：①求Δy ;②求x y ∆∆;③求x y x ∆∆→∆0lim . 三、利用导数求切线方程【例3】 求函数y =41x 2在点P (2,1)处切线的方程. 思路分析：利用导数求切线方程的步骤：①先求出函数y =f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0);②根据直线方程的点斜式，得切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). 解：欲求切线方程需先求过点P 的切线的斜率K =.lim 0x y x ∆∆→∆而Δy =41(2+Δx )2-41×22=21×2Δx +41(Δx )2, ∴1)41221(lim lim 00=∆+⨯∆∆→∆→∆x x y x x ∴过点p 的切线方程为y -1=x -2.即x -y -1=0.温馨提示f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)，即为在该点处的切线的斜率，这是导数的几何意义.各个击破类题演练1求函数y =x 3-2,当x =2时，x y ∆∆的值. 解：Δy =(x +Δx )3-2-(x 3-2)=(2+Δx )3-23=(Δx )3+6(Δx )2+12Δx ∴x y ∆∆=(Δx )2+6Δx +12变式提升1自由落体运动方程为s =21g t 2,计算从3 s 到3.1 s 内的平均速度. 解：Δt =3.1-3=0.1(s)Δs =s (3.1)-s(3)=21g×3.12-21g×32=0.305g cm ∴1.0305.0g t s v =∆∆==3.05g(m /s) 类题演练2求函数y =x 在x =1处的导数.解析：Δy =11111,11+∆+=∆-∆+=∆∆-∆+x x x x y x |21|,21111lim 10='=+∆+=→∆x x y x变式提升2已知f (x )在x 0处可导，则hh x f h x f h 2)()(lim 000--+→等于( ) A.21f ′(x 0)B.f ′(x 0)C.2f ′(x 0)D.4f ′(x 0) 解析：转化成导数的定义.).()]()([21])()(lim )()(lim [21])()()()([21lim 2)]()([)()(lim 2)()(lim 0000000000000000000000x f x f x f hx f h x f h x f h x f hx f h x f h x f h x f hx f h x f x f h x f hh x f h x f h h h h h '='+'=---+-+=---+-+=----+=--+→→→→→ 答案：B类题演练3求曲线y =x x-1上一点p (4,-47)处的切线方程. 解析：由导数的定义，求得y ′=-.165)4(,32112-='∴-f x ∴所求切线的斜率为-165. 所求切线方程为5x +16y +8=0变式提升3已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且直线l 与曲线C 相切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.解：∵直线l 过原点，则k =00x y (x 0≠0). 由点(x 0,y 0)在曲线c 上得y 0=x 30-3x 20+2x 0, ∴.2302000+-=x x x y 由导数的定义，求得 y ′=3x 2-6x +2,∴k =3x 20-6x 0+2.又k =x 20-3x 0+2,∴3x 20-6x 0+2=00x y =x 20-3x 0+2 整理得2x 20-3x 0=0.∵x 0≠0,∴x 0=23.此时y 0=83-,k =-41. 因此直线l 的方程为y =-41x , 切点坐标为(83,23-,).。
第三章-导数-导学案
第三章-导数-导学案§3.1.1 变化率问题1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化.7880复习1：曲线221259x y +=与曲线221(9)259x y k k k+=<--的（ ） A ．长、短轴长相等 B ．焦距相等 C ．离心率相等 D ．准线相同复习2：当α从0到180变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：2121()()f x f x fx x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值yx∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.※ 典型例题例 1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则yx∆∆=例 2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]小结：※ 动手试试练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.（发现：y kx b =+在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？三、总结提升 ※ 学习小结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率※ 知识拓展平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线“视觉化”．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆- 3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆C ．3t +∆D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____ 1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器 甲中水的体积0.1()52tV t -=⨯（单位：3cm ）， 计算第一个10s 内V 率.§3.1.2 导数的概念T(月)39 12第三章-导数-导学案1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．7880复习1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是()r V V 从0增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0(3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.※ 典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求ts∆∆.(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆.※ 动手试试练1. 在例1中,计算第3h 和第5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.练 2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时的瞬时速度三、总结提升 ※ 学习小结这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度v =tt ∆→∆lim※ 知识拓展※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 2. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．13. 在0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0 4.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为5. 若0()2f x '=-，则0001[]()2lim k f x k f x k→--等于1. 高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高度是：2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运动员在1t s =时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.2. 一质量为3kg 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数2()1s t t =+表示，并且物体的动能212U mv =. 求物体开始运动后第5s 时的动能.§3.1.3 导数的几何意义通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.第三章-导数-导学案7880 复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，斜率yk x∆==∆复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.记作：当x ∆ 时， →l二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x ∆→+∆-'==∆新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆※ 典型例题例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.小结：例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)※ 动手试试 练1. 求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程.练2. 求2y x =在点1x =处的导数.三、总结提升 ※ 学习小结函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 其切线方程为 ※ 知识拓展导数的物理意义：如果把函数()y f x =看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量x 表示时间），那么导数0()f x '表示运动物体在时刻o x 的速度，，即在o x 的瞬时速度.即000()lim x t yv f x x∆→∆'==∆而运动物体的速度()v t 对时间t 的导数，即0()lim t vv t∆→∆'=称为物体运动时的瞬时加速度. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ）A. 4B. 16C. 8D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+3. ()f x 在0x x =可导，则000()()limh f x h f x h→+-（ ）A ．与0x 、h 都有关B ．仅与0x 有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与0x 无关D ．与0x 、h 都无关 4. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为 5. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则000()()limx f x x f x x ∆→-∆-∆=1. 如图,试描述函数()f x 在x =5,4,2,0,1---附近的变化情况.2．已知函数()f x 的图象,试画出其导函数()f x '图象的大致形状.§3.2.1几个常用函数导数1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.第三章-导数-导学案一、课前准备（预习教材P 88~ P 89，找出疑惑之处）复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量y ∆= （2）求平均变化率yx ∆=∆（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim =二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：函数()y f x c ==的导数. 问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态. 试试： 求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ （3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？※ 典型例题 例1 求函数1()y f x x ==的导数变式： 求函数2()y f x x ==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限. 例2 画出函数1y x =的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.※ 动手试试练1. 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.(理科用)练2.求函数()y f x ==三、总结提升 ※ 学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.※ 知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神.”※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定 2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ） A ．0 B ．2x C ．6 D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ）A ．(0,0)B ．(2,4)C ．11(,)416D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为. 1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为()5000.834t A t =⨯，问氡气的散发速度是多少？§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.第三章-导数-导学案一、课前准备（预习教材P 90~ P 92，找出疑惑之处） 复习1：常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=； ()ln (0)x x a a a a '=>；()x xe e '=；1()(0,ln log a x a x a '=>且1)a ≠；1(ln )x x'=.复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数（1）6y x = （2）y = （3）21y x =（4）y =二、新课导学※ 学习探究探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=± [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数.※ 典型例题 例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)tp t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?变式：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x =<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%； （2）98%.小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. ※ 动手试试练1. 求下列函数的导数：（1）2log y x =； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-.练2. 求下列函数的导数：（1）32log y x x =+；（2）n xy x e =；（3）31sin x y x-=三、总结提升 ※ 学习小结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.※ 知识拓展1．复合函数的导数：设函数()u g x =在点x 处有导数()xu g x ''=，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数()uy f u ''=，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅=2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导—※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数1y x x=+的导数是（ ）A ．211x -B ．11x -C ．211x+ D ．11x +2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ） A ．cos2cos x x - B ．cos2sin x x + C ．cos2cos x x + D ．2cos cos x x +3. cos xy x=的导数是（ ）A ．2sin xx -B ．sin x -C ．2sin cos x xx x +- D ．2cos cos x x x x +-4. 函数2()138f x x =-+，且0()4f x '=， 则0x =5.曲线sin xy x=在点(,0)M π处的切线方程为1. 求描述气球膨胀状态的函数()r V =.2. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数在点1x =处的切线方程.理: §3.2.2复合函数求导复合函数的分解，求复合函数的导数.1617 复习1：求)4(23-=x x y 的导数第三章-导数-导学案11 / 30复习2：求函数2(23)y x =+的导数二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：复合函数的求导法则 问题：求(sin 2)x '=?解答：由于(sin )cos x x '=，故(sin 2)cos2x x '= 这个解答正确吗?新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x = 复合函数的求导法则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：x u x y y u '''=，其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.试试：(sin 2)x '=反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
高中数学导学案全套第三章 导数及其运用
第三章 导数及其运用 §3.1 导数的概念、计算【典题导引】例1．求下列函数的导数：(1) 2ln 2x y e x x -=++；(2) 2cos log y x x =⋅；(3)tan y x =；(4)y =(5) （理科）ln(21)x y x+=．例2．（1）（2016⋅山东改编）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数①()sin g x x =，②()ln h x x =，③3()k x x =，④()e x m x x =-中具有T 性质的函数的序号是 ．（2）已知函数22()2log ln 2x xf x x x =+-，则(1)f '= ．例3．（2016⋅盐城三模改编）设函数()ln f x a x =()a R ∈，线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12y x b =+（b R ∈）．（1）求a 、b 的值；（2）求证：函数()y f x =与1()(0)2x g x x x-=>的图象有且只有一条公切线，并求该公切线方程．例4．已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．（1）指出函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，证明：211x x -≥；（3）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．例5．（理科）设函数2()(,)x f x ax e b a b R =⋅+∈，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为20x y -+=． （1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 的极值．§3.2 导数的应用（1）【典题导引】例1．已知函数()ln x f x e e x e =--，()f x '是函数()f x 的导函数，其中e 是自然对数的底数． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若不等式ln 0x e ae x x x--≥对1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．例2．（2017⋅苏锡常镇二模）已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+（a 为正实数，且为常数）.（1）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若不等式(1)()0x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．例3．设函数2()ln 2x f x a x =-，()(1)g x a x =-．（1）当1,12a x =>时，求证：()()f x g x >；（2）当[1,]x e ∈时，求函数()()()F x f x g x =+的最小值．例4．设a R ∈，函数1ln ()a x f x x+=．（1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）若对0x ∀>，()1f x ≤成立，求实数a 的取值范围．§3.3 导数的应用（2）【典题导引】例1．已知函数()ln 1x f x e x =--，其中e 是自然对数的底数．（1）求证：函数()f x 存在极小值；（2）若1[,)2x ∃∈+∞，使得不等式ln 0x e mx x x--≤成立，求实数m 的取值范围．例2．设函数()ln f x ax x =，且曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程为20x y b --=(其中e 是自然对数的底数)． （1）求实数a 、b 的值； （2）设集合321393{|,[3,)}x x x A y y bx --+==∈-+∞，{}2()(1)0B x f x m x =--≤．①求集合A ；②若A B ⊆，求实数m 的取值范围．例3．设a R ∈，函数()x f x e ax =-(其中e 是自然对数的底数)，21()12g x x =+． （1）若1a =．①求证：()1f x ≥；②当0x ≥时，求证：()()f x g x ≥；（2）试讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由．例4．设a ∈R ，函数()()1x f x ax e x R =-+∈(e 是自然对数的底数)． （1）若不等式()0f x ≤对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的值；（2）当1a >时，求证：函数()f x 存在两个零点．§3.4 函数的应用题【典题导引】例1．如图是某海滨浴场平面示意图．ABCD 为矩形，400AB =米，(400BC =-米，CD 的中点O 为圆弧AEB 所在圆的圆心，//EF AB ．圆弧AE 及线段EF ，OF 为水中救生线，其总长度记为y 米，设2EOF θ∠=．（1）求y 关于θ的函数的解析式，并指出该函数的定义域；（2）求水中救生线总长度最长时θ的值． [参考数据：tan 212π=例2．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．ABC E F例3．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12,l l ，山区边 界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M N ，为C 的两个端点，测得点M 到 12,l l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12,l l 的距离分别为20千米和2.5千米，以 2l ，1l 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中,a b 为常数）模型. （1）求,a b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.例4．如图，圆O 是某城区一块半径为1km 的空地，AB 是圆O 东西方向的直径，点E 在AB南侧，满足OE AB ⊥，且1km 2OE =．现规划在圆O 的内接四边形ABCD 区域内建商业区，其中，AD DC =．在AB 南侧的半圆区域内，过点E 建道路(GH GH 为圆O 的 弦），在GOH ∆区域内建最大的圆形舞台（如图）．其它区域内建配套设施和休闲娱乐 设施．（1）求商业区四边形ABCD 面积最大时，AOD ∠的大小； （2）求圆形舞台面积最大时，道路GH 的长度．OE例5．（2016⋅南通三模）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30 m 的围墙．现有两种方案：方案① 多边形为直角三角形AEB （90AEB ∠=），如图1所示，其中AE +EB =30 m ；方案② 多边形为等腰梯形AEFB （AB EF >），如图2所示，其 中AE =EF =BF =10 m ．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗 圃面积最大的方案．§3.5 导数部分总结【命题研究】命题角度一 导数的几何意义[命题要点] ①求切线的倾斜角、斜率；②求切线方程；③已知切线方程，确定字母参数的取值． 例1．（1）（2016⋅南通三模）已知两曲线()cos ,(),(0,)2f x xg x x x π==∈相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点，则线段BC 的长为 ． （2）已知曲线3:()C f x x ax a =-+，若过曲线C 外一点(1,0)A 引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．（3）（2016⋅淮安四模）设函数2()ex ax f x =，直线1e y x =为曲线()y f x =的切线（e 为自然对数的底数），则实数a 的值为 ．命题角度二 导数与函数单调性A图2图1BAB （例5图）[命题要点] ①已知函数，求单调区间；②已知单调区间，求字母参数的取值范围．例2．设函数1()ln ()f x x a x a R x=-+∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．命题角度三 导数与函数极值、最值[命题要点] ①已知函数，求极值或最值；②已知极值或最值，求字母参数的取值范围． 例3．设函数32(),f x x ax bx x =+-∈R ，其中,a b ∈R ，且函数()f x 的导函数()f x '是偶函 数．（1）若0b ≤，求不等式2212(log (2))(log )0f x f x -+≤的解集；（2）设函数()f x 存在极值．①若0x 为函数()f x 的极值点，且10()()f x f x =，10x x ≠，试探究1x 与02x -的关系； ②求函数(),[1,1]y f x x =∈-的最小值．命题角度四 导数的综合应用[命题要点] ①应用导数研究函数单调性、极值、最值等，将导数内部的知识进行综合；②将函数、方程与不等式等知识板块之间进行综合．例4．（2017⋅江苏改编）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x ' 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >．（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．例5．(2017⋅新课标Ⅱ)已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<．命题角度五 导数在实际问题中的应用[命题要点] 试题模式固定化，先建立函数模型，再应用导数研究函数模型中的最值问题． 例6．如图，有一块矩形空地ABCD ，2AB km =，4BC km =．现规划在该空地四边形AEFG 内建一个商业区，其中顶点,,,A E F G 为商业区的四个入口，且入口F 在边BC 上（不 包含顶点），入口,E G 分别在边,AB AD 上，AE EF =，AG GF =，矩形内其余区域均 为绿化区．（1）设BF t =km ，求t 的取值范围．（2）设商业区的面积为1S ，绿化区的面积为2S ，问入口F 如何选址，即t 为何值时，可使得该商业区的环境舒适度指数21SS 最大？A BC D E F G。
导数导学案3
新知：当割线PP n 无限地趋近于某一极限 位置PT 我们就把极限位置上的直线 PT ,叫做曲线C 在点P 处的切线* 割线的斜率是：k n _________________________当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线 PT 的斜率.因此，函数f(x)在X X 0处的导 数就是切线PT 的斜率k ，即k lim 丄^^一X)f(X 0) f /、八X 0 新知：函数y f(x)在x o 处的导数的几何意义 是曲线y即 k =f(x 0) lim f(x x) f(x 0)x 0探典型例题例1如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数§.1.3导数的几何意义上一学习目标一 _ 通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率, 会运用概念求导数. 理解导数的概念并 心学习过程-、课前准备(预习教材P 11〜P 13，找出疑惑之处) 1:曲线上向上P(X 1,y 1),p(X 1x,y 1 y)的连线称为曲线的割线，斜率 复习 复习 改变 称为函数f (x)在点x 0的瞬时变化率. 记作：当 2：设函数y f(x)在x o 附近有定义当自变量在 x X o 附近改变 x 时， ，如果当x __________ 时，平均变化率趋近于一个常数 函数值也相应地 I ，则数I 时, 二、新课导学 探学习探究探究任务：导数的几何意义问题1:当点 R(X n ,f(X n ))( n 1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P (x 。
，f^))时，割线的变化 f(x)在P(x o ，f(X0))处切线的斜率. 2h(t) 4.9t 6.5t 10的图象.根据图象请描述、比较曲线h(t)在t o,t l,t2附近的变化情况.小结：练1.求双曲线y丄在点(丄,2)处的切线的斜率，并写出切线方程.x 2练2.求y x2在点x 1处的导数.三、总结提升探学习小结函数y f(x)在X o处的导数的几何意义是曲线y f(x)在P(x o, f (x o))处切线的斜率.即k=f(x o) lim f(x x) f(x o)x o其切线方程为__________________________________探知识拓展导数的物理意义：如果把函数y f (x)看做是物体的运动方程(也叫做位移公式，自变量x表示时间)，那么导数f (X o)表示运动物体在时刻x的速度，而运动物体的速度v(t)对时间t的导数，即，即在X o的瞬时速度.即v xo f (xj lim」to x v(t) lim」称为物体运动时的瞬时加速度.\ 1 t O t__学习评价…一探自我评价你完成本节导学案的情况为(A.很好B.较好C. 一般D.较差探当堂检测(时量：5分钟满分：1O分)计分：1.已知曲线y 2x2上一点，则点A(2,8)处的切线斜率为(A. 42.曲线yA. yC. yB. 162x21在点4x 14x3. f (x)在x x o可导,h都有关C. 8D. 2P( 1,3)处的切线方程为(B. yD. ylim迪h 0hB.仅与x。
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》常见函数的导数导学案 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》3.2.1常见函数的导数导学案苏教版选修1-1学习目标：1．能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2．能利用导数公式求简单函数的导数．教学重点：基本初等函数的导数公式的应用．课前预习：1．在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？2．用导数的定义求下列各函数的导数：（1）bkxxf+=)(（bk,为常数）；（2）Cxf=)(（C为常数）；（3）xxf=)(；（4）2)(xxf=；（5）3)(xxf=；（6）xxf1)(=；（7）xxf=)(．思考由上面的结果，你能发现什么规律？3．基本初等函数的导数：课堂探究：1.利用求导公式求下列函数导数．（1）5-=xy；（2）xxxy=； (3)3sinπ=y；（4）xy4=；(5)xy3log=；（6）)2sin(xy+=π；（7）)2cos(xy-=π．5.已知直线1:-=x y l ，点P 为2x y =上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短．课堂检测：1．求下列函数的导函数（1）2y x -= （2）35y x =（3）41y x = （4）2x y =（5）4log y x = （6）ln y x =（7）sin()2y x π=- （8）3cos()2y x π=+。
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》复习导学案3 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》复习3导学案苏教版选修1-1复习要求：1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求简单的多项式、分式函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．课前预习：1．知识要点回顾：(1)导数的概念：（2）导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为（3）基本初等函数的导数公式：（4）导数的运算法则（5）曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：2．判断：(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同；( )(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)；( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个交点；( )(4)若f(a)＝a3＋2ax－x2，则f′(a)＝3a2＋2x。
( )3．某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－12g t2，g＝10 m/s2，则当t＝2 s时，汽车的加速度=4．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x)′＝3xlog3e；②(l og2x)′＝1x·ln 2；③⎝⎛⎭⎪⎫sinπ3′＝cosπ3；④⎝⎛⎭⎪⎫1ln x′＝x.5．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．课堂探究：1.求下列函数的导数：(1)y＝exsin x (2) y＝ex＋1ex－1(3) y＝3xex－lnx＋e (4) y＝3－x＋e2x.变式：3.(1)若曲线y＝x2＋ax＋b在点P(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，求a,b的值.(2)直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋ln x相切，求b的值。
高中数学 第3章《导数及其应用》复习导学案1 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》复习1导学案 苏教版选修1-1复习要求：1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求简单的多项式、分式函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．课前预习：1．知识要点回顾：(1)导数的概念：（2）导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为（3）基本初等函数的导数公式：（4）导数的运算法则（5）曲线y ＝f(x)“在点P(x 0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：2．判断：(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同；( )(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)；( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个交点；( )(4)若f(a)＝a3＋2ax －x2，则f′(a)＝3a2＋2x 。
( )3．某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－12gt2，g ＝10 m/s2，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度= 4．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x)′＝3xlog3e ；②(log2x)′＝1x·ln 2；③⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；④⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝x.2.已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．3.(1)若曲线y＝x2＋ax＋b在点P(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，求a,b的值.(2)直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋ln x相切，求b的值。
部编版2020学年高中数学第三章导数同步导学案新人教B版选修79
3.1.3导数的几何意义学习目标：1通过函数图象直观地理解导数的几何意义2 会利用导数求切线的方程德育目标：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神重点：理解函数()x f y =在点（00,y x ）处的导数与函数()x f y =图象在点（00,y x ）处的切线的斜率间的关系，掌握导数的几何意义难点：已知函数解析式，会求函数在点（00,y x ）处切线的斜率，能求过点（00,y x ）的切线方程活动一：自主预习，知识梳理一．曲线割线的斜率已知函数()x f y =图象上两点A ()()x x f x x B x f x ∆+∆+0000,(),,(，过A,B 两点割线的斜率是，即曲线割线的斜率就是二、函数()x f y =在点0x 处的导数的几何意义曲线()x f y =在点()),(00x f x 处的导数)(0/x f 的几何意义为活动二：问题探究1. 是否任何曲线割线均有斜率？2.与曲线只有一个公共点的直线一定式曲线的切线吗？3.曲线的切线与曲线只有一个交点吗？活动三：要点导学，合作探究要点一：求曲线的切线方程例1： 求抛物线2x y =在点（1,1）切线的斜率例2：求双曲线x y 1=在点（2，21）的切线方程练习：（1）曲线2212-=x y 在点⎪⎭⎫⎝⎛-23,1处的切线方程为（2）已知曲线331x y =上一点P )38,2(求：1.点P 处的切线的斜率2.点P 处的切线方程例3：求抛物线2x y =过点)6,25(的切线方程练习：求曲线2x y =过P )0,1(的切线方程要点二：求切点坐标例4：曲线2x y =的切线分别满足下列条件，求出切点的坐标 （1） 平行于直线54-=x y（2） 垂直于直线0562=+-y x（3）与x 轴成ο135的倾斜角作业：P85习题A,B小结:1.求切线方程的步骤 2.求切点坐标的步骤反思。
高中数学第3章导数及其应用导数与函数的综合性问题导学案苏教版选修11
江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》导数与函数的综合性问题导学案苏教版选修1-1学习目标：1.掌握用导数法求解函数单调性、极值、最值、参数等问题.2.理解导数与方程、函数、不等式等知识的综合.重点：导数与方程、函数、不等式等知识的综合课前预习：1.已知e为自然对数的底数,则函数y=xex的单调递增区间是2.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线通过点(0,-1),则x0的值为3.函数f(x)的概念域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点个.4.等比数列{an}中,a1=1,a2012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),求函数f(x)在点(0,0)处的切线方程.课堂探讨：一、若函数xaxxxf221ln)(2--=存在单调递减区间,求实数a的取值范围.二、已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线, 求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.3、已知x>0,证明不等式x >ln(1+x).五、已知函数f(x)=ax-ln x,x ∈(0,e],g(x)x x ln =，其中e 是自然常数,a ∈R.(1)当a=1时,求f(x)的极值,并证明f(x)>g(x)21+恒成立.(2)是不是存在实数a,使f(x)的最小值为3?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.课堂检测：1.函数f(x)的概念域为(0,+∞),且f(x)>0,f'(x)>0,则函数y=xf(x)( ).A.存在极大值 B .存在极小值 C .是增函数 D.是减函数2.函数x x y 33+=在(0,+∞)上的最小值为3.已知函数f(x)=aln x+x 在区间[2,3]上单调递增,则实数a 的取值范围是 .4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ).A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=05.若函数b ae ae x f x x ++=1)( (a>0)在点(2,f(2))处的切线方程为x y 23=, 求a,b 的值.。
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§3.1.1 变化率问题1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化.7880复习1：曲线221259x y +=与曲线221(9)259x y k k k+=<--的（ ） A ．长、短轴长相等 B ．焦距相等 C ．离心率相等 D ．准线相同复习2：当α从0 到180 变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？二、新课导学※学习探究 探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：2121()()f x f x fx x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即 x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值yx∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.※ 典型例题例 1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则yx∆∆=例 2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]小结：2※ 动手试试练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.（发现：y kx b =+在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？三、总结提升※ 学习小结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率※ 知识拓展平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆C ．3t +∆D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____课后作业1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器 甲中水的体积0.1()52tV t -=⨯（单位：3cm ）， 计算第一个10s 内V 的平均变化率.T(月)W(kg) 639 123.56.58.6 11§3.1.2 导数的概念1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．7880复习1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是()r V =V 从0增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0 (3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.※ 典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求ts∆∆.(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度45§3.1.3 导数的几何意义学习目标通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.学习过程一、课前准备7880 复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，斜率yk x∆==∆复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.记作：当x ∆ 时， →l二、新课导学※ 学习探究探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆※ 典型例题例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.小结：例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)6§3.2.1几个常用函数导数1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 8889复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆= （2）求平均变化率yx∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim =二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.试试： 求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ （3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？※ 典型例题例1 求函数1()y f x x ==的导数变式： 求函数2()y f x x ==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.例2 画出函数1y x =的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.※动手试试练1. 求曲线221y x=-的斜率等于4的切线方程.(理科用)练2.求函数()y f x==三、总结提升※学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，，.2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.※知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神.”※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.()0f x=的导数是（）A．0 B．1 C．不存在D．不确定2.已知2()f x x=,则(3)f'=（）A．0 B．2x C．6 D．93. 在曲线2y x=上的切线的倾斜角为4π的点为（）A．(0,0)B．(2,4)C．11(,)416D．11(,)24 4. 过曲线1yx=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是5. 物体的运动方程为3s t=，则物体在1t=时的速度为，在4t=时的速度为.1. 已知圆面积2S rπ=，根据导数定义求()S r'.2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t天后，氡气的剩余量为()5000.834tA t=⨯，问氡气的散发速度是多少？8§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 9092 复习1：常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=； ()ln (0)x x a a a a '=>；()x x e e '=；1()(0,ln log a x a x a '=>且1)a ≠；1(ln)x x '=.复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数 （1）6y x = （2）y （3）21y x =（4）y =二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=± [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'=试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数.※ 典型例题例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?变式：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x =<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%； （2）98%.小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附10近变化的快慢. ※ 动手试试练1. 求下列函数的导数：（1）2log y x =； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-.练2. 求下列函数的导数：（1）32log y x x =+；（2）n xy x e =；（3）31sin x y x-=三、总结提升※ 学习小结 1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误. ※ 知识拓展1．复合函数的导数：设函数()u g x =在点x 处有导数()xu g x ''=，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数()uy f u ''=，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅=2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导—※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数1y x x =+的导数是（ ）A ．211x -B ．11x -C ．211x +D ．11x+2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ） A ．cos 2cos x x - B ．cos 2sin x x + C ．cos 2cos x x + D ．2cos cos x x +3. cos xy x =的导数是（ ）A ．2sin xx- B ．sin x -C ．2sin cos x xx x +- D ．2cos cos x x x x+- 4. 函数2()138f x x =-+，且0()4f x '=， 则0x =5.曲线sin xy x=在点(,0)M π处的切线方程为1. 求描述气球膨胀状态的函数()r V =.2. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数在点1x =处的切线方程.理: §3.2.2 复合函数求导复合函数的分解，求复合函数的导数.1617 复习1：求)4(23-=x x y 的导数复习2：求函数2(23)y x =+的导数二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：复合函数的求导法则问题：求(sin 2)x '=?解答：由于(sin )cos x x '=，故(sin 2)cos 2x x '= 这个解答正确吗?新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x =复合函数的求导法则： 两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：x u x y y u '''= ，其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 试试：(sin 2)x '=反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。